MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  df2idl2rng Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem df2idl2rng 21150
Description: Alternate (the usual textbook) definition of a two-sided ideal of a non-unital ring to be a subgroup of the additive group of the ring which is closed under left- and right-multiplication by elements of the full ring. (Contributed by AV, 21-Mar-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
df2idl2rng.u 𝑈 = (2Ideal‘𝑅)
df2idl2rng.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
df2idl2rng.t · = (.r𝑅)
Assertion
Ref Expression
df2idl2rng ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅)) → (𝐼𝑈 ↔ ∀𝑥𝐵𝑦𝐼 ((𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐼 ∧ (𝑦 · 𝑥) ∈ 𝐼)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐼,𝑦   𝑥,𝑅,𝑦
Allowed substitution hints:   · (𝑥,𝑦)   𝑈(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem df2idl2rng
StepHypRef Expression
1 eqid 2728 . . . 4 (LIdeal‘𝑅) = (LIdeal‘𝑅)
2 df2idl2rng.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝑅)
3 df2idl2rng.t . . . 4 · = (.r𝑅)
41, 2, 3dflidl2rng 21114 . . 3 ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅)) → (𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅) ↔ ∀𝑥𝐵𝑦𝐼 (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐼))
5 eqid 2728 . . . 4 (LIdeal‘(oppr𝑅)) = (LIdeal‘(oppr𝑅))
65, 2, 3isridlrng 21115 . . 3 ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅)) → (𝐼 ∈ (LIdeal‘(oppr𝑅)) ↔ ∀𝑥𝐵𝑦𝐼 (𝑦 · 𝑥) ∈ 𝐼))
74, 6anbi12d 631 . 2 ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅)) → ((𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘(oppr𝑅))) ↔ (∀𝑥𝐵𝑦𝐼 (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐼 ∧ ∀𝑥𝐵𝑦𝐼 (𝑦 · 𝑥) ∈ 𝐼)))
8 eqid 2728 . . 3 (oppr𝑅) = (oppr𝑅)
9 df2idl2rng.u . . 3 𝑈 = (2Ideal‘𝑅)
101, 8, 5, 92idlelb 21147 . 2 (𝐼𝑈 ↔ (𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘(oppr𝑅))))
11 r19.26-2 3135 . 2 (∀𝑥𝐵𝑦𝐼 ((𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐼 ∧ (𝑦 · 𝑥) ∈ 𝐼) ↔ (∀𝑥𝐵𝑦𝐼 (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐼 ∧ ∀𝑥𝐵𝑦𝐼 (𝑦 · 𝑥) ∈ 𝐼))
127, 10, 113bitr4g 314 1 ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅)) → (𝐼𝑈 ↔ ∀𝑥𝐵𝑦𝐼 ((𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐼 ∧ (𝑦 · 𝑥) ∈ 𝐼)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 395   = wceq 1534  wcel 2099  wral 3058  cfv 6548  (class class class)co 7420  Basecbs 17180  .rcmulr 17234  SubGrpcsubg 19075  Rngcrng 20092  opprcoppr 20272  LIdealclidl 21102  2Idealc2idl 21143
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11195  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215  ax-pre-mulgt0 11216
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-2nd 7994  df-tpos 8232  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-sub 11477  df-neg 11478  df-nn 12244  df-2 12306  df-3 12307  df-4 12308  df-5 12309  df-6 12310  df-7 12311  df-8 12312  df-sets 17133  df-slot 17151  df-ndx 17163  df-base 17181  df-ress 17210  df-plusg 17246  df-mulr 17247  df-sca 17249  df-vsca 17250  df-ip 17251  df-0g 17423  df-mgm 18600  df-sgrp 18679  df-mnd 18695  df-grp 18893  df-subg 19078  df-cmn 19737  df-abl 19738  df-mgp 20075  df-rng 20093  df-oppr 20273  df-lss 20816  df-sra 21058  df-rgmod 21059  df-lidl 21104  df-2idl 21144
This theorem is referenced by:  df2idl2  21151  pzriprnglem8  21414
  Copyright terms: Public domain W3C validator