Theorem afv2fvn0fveq 47262

Description: If the function's value at an argument is not the empty set, it equals the alternate function value at this argument. (Contributed by AV, 3-Sep-2022.)

Assertion

Ref	Expression
afv2fvn0fveq	⊢ ((𝐹‘𝐴) ≠ ∅ → (𝐹''''𝐴) = (𝐹‘𝐴))

Proof of Theorem afv2fvn0fveq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvfundmfvn0 6901	. . 3 ⊢ ((𝐹‘𝐴) ≠ ∅ → (𝐴 ∈ dom 𝐹 ∧ Fun (𝐹 ↾ {𝐴})))
2		df-dfat 47117	. . 3 ⊢ (𝐹 defAt 𝐴 ↔ (𝐴 ∈ dom 𝐹 ∧ Fun (𝐹 ↾ {𝐴})))
3	1, 2	sylibr 234	. 2 ⊢ ((𝐹‘𝐴) ≠ ∅ → 𝐹 defAt 𝐴)
4		dfatafv2eqfv 47259	. 2 ⊢ (𝐹 defAt 𝐴 → (𝐹''''𝐴) = (𝐹‘𝐴))
5	3, 4	syl 17	1 ⊢ ((𝐹‘𝐴) ≠ ∅ → (𝐹''''𝐴) = (𝐹‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  ∅c0 4296  {csn 4589  dom cdm 5638   ↾ cres 5640  Fun wfun 6505  ‘cfv 6511   defAt wdfat 47114  ''''cafv2 47206

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pr 5387

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3406  df-v 3449  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-br 5108  df-opab 5170  df-id 5533  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-res 5650  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fv 6519  df-dfat 47117  df-afv2 47207

This theorem is referenced by: (None)