Theorem afv2fvn0fveq 47363

Description: If the function's value at an argument is not the empty set, it equals the alternate function value at this argument. (Contributed by AV, 3-Sep-2022.)

Assertion

Ref	Expression
afv2fvn0fveq	⊢ ((𝐹‘𝐴) ≠ ∅ → (𝐹''''𝐴) = (𝐹‘𝐴))

Proof of Theorem afv2fvn0fveq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvfundmfvn0 6862	. . 3 ⊢ ((𝐹‘𝐴) ≠ ∅ → (𝐴 ∈ dom 𝐹 ∧ Fun (𝐹 ↾ {𝐴})))
2		df-dfat 47218	. . 3 ⊢ (𝐹 defAt 𝐴 ↔ (𝐴 ∈ dom 𝐹 ∧ Fun (𝐹 ↾ {𝐴})))
3	1, 2	sylibr 234	. 2 ⊢ ((𝐹‘𝐴) ≠ ∅ → 𝐹 defAt 𝐴)
4		dfatafv2eqfv 47360	. 2 ⊢ (𝐹 defAt 𝐴 → (𝐹''''𝐴) = (𝐹‘𝐴))
5	3, 4	syl 17	1 ⊢ ((𝐹‘𝐴) ≠ ∅ → (𝐹''''𝐴) = (𝐹‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2928  ∅c0 4280  {csn 4573  dom cdm 5614   ↾ cres 5616  Fun wfun 6475  ‘cfv 6481   defAt wdfat 47215  ''''cafv2 47307

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-ext 2703  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pr 5368

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rab 3396  df-v 3438  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-nul 4281  df-if 4473  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-br 5090  df-opab 5152  df-id 5509  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-res 5626  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fv 6489  df-dfat 47218  df-afv2 47308

This theorem is referenced by: (None)