Theorem afv2fvn0fveq 48537

Description: If the function's value at an argument is not the empty set, it equals the alternate function value at this argument. (Contributed by AV, 3-Sep-2022.)

Assertion

Ref	Expression
afv2fvn0fveq	⊢ ((𝐹‘𝐴) ≠ ∅ → (𝐹''''𝐴) = (𝐹‘𝐴))

Proof of Theorem afv2fvn0fveq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvfundmfvn0 6945	. . 3 ⊢ ((𝐹‘𝐴) ≠ ∅ → (𝐴 ∈ dom 𝐹 ∧ Fun (𝐹 ↾ {𝐴})))
2		df-dfat 48393	. . 3 ⊢ (𝐹 defAt 𝐴 ↔ (𝐴 ∈ dom 𝐹 ∧ Fun (𝐹 ↾ {𝐴})))
3	1, 2	sylibr 237	. 2 ⊢ ((𝐹‘𝐴) ≠ ∅ → 𝐹 defAt 𝐴)
4		dfatafv2eqfv 48534	. 2 ⊢ (𝐹 defAt 𝐴 → (𝐹''''𝐴) = (𝐹‘𝐴))
5	3, 4	syl 18	1 ⊢ ((𝐹‘𝐴) ≠ ∅ → (𝐹''''𝐴) = (𝐹‘𝐴))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959  ∅c0 4281  {csn 4588  dom cdm 5655   ↾ cres 5657  Fun wfun 6549  ‘cfv 6555   defAt wdfat 48390  ''''cafv2 48481

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pr 5395

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-br 5107  df-opab 5171  df-id 5550  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-res 5667  df-iota 6509  df-fun 6557  df-fv 6563  df-dfat 48393  df-afv2 48482

This theorem is used by: (None)