Theorem afv2fvn0fveq 46703

Description: If the function's value at an argument is not the empty set, it equals the alternate function value at this argument. (Contributed by AV, 3-Sep-2022.)

Assertion

Ref	Expression
afv2fvn0fveq	⊢ ((𝐹‘𝐴) ≠ ∅ → (𝐹''''𝐴) = (𝐹‘𝐴))

Proof of Theorem afv2fvn0fveq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvfundmfvn0 6933	. . 3 ⊢ ((𝐹‘𝐴) ≠ ∅ → (𝐴 ∈ dom 𝐹 ∧ Fun (𝐹 ↾ {𝐴})))
2		df-dfat 46558	. . 3 ⊢ (𝐹 defAt 𝐴 ↔ (𝐴 ∈ dom 𝐹 ∧ Fun (𝐹 ↾ {𝐴})))
3	1, 2	sylibr 233	. 2 ⊢ ((𝐹‘𝐴) ≠ ∅ → 𝐹 defAt 𝐴)
4		dfatafv2eqfv 46700	. 2 ⊢ (𝐹 defAt 𝐴 → (𝐹''''𝐴) = (𝐹‘𝐴))
5	3, 4	syl 17	1 ⊢ ((𝐹‘𝐴) ≠ ∅ → (𝐹''''𝐴) = (𝐹‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2930  ∅c0 4319  {csn 4625  dom cdm 5673   ↾ cres 5675  Fun wfun 6537  ‘cfv 6543   defAt wdfat 46555  ''''cafv2 46647

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pr 5424

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-ne 2931  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3420  df-v 3465  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-nul 4320  df-if 4526  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4905  df-br 5145  df-opab 5207  df-id 5571  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-res 5685  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fv 6551  df-dfat 46558  df-afv2 46648

This theorem is referenced by: (None)