| Step | Hyp | Ref | Expression | 
|---|
| 1 |  | axtgupdim2ALTV.1 | . . 3
⊢ (𝜑 → (𝑋 − 𝑈) = (𝑋 − 𝑉)) | 
| 2 |  | axtgupdim2ALTV.2 | . . 3
⊢ (𝜑 → (𝑌 − 𝑈) = (𝑌 − 𝑉)) | 
| 3 |  | axtgupdim2ALTV.3 | . . 3
⊢ (𝜑 → (𝑍 − 𝑈) = (𝑍 − 𝑉)) | 
| 4 | 1, 2, 3 | 3jca 1128 | . 2
⊢ (𝜑 → ((𝑋 − 𝑈) = (𝑋 − 𝑉) ∧ (𝑌 − 𝑈) = (𝑌 − 𝑉) ∧ (𝑍 − 𝑈) = (𝑍 − 𝑉))) | 
| 5 |  | axtgupdim2ALTV.0 | . 2
⊢ (𝜑 → 𝑈 ≠ 𝑉) | 
| 6 |  | axtgupdim2ALTV.g | . . . . . 6
⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈
TarskiG2D) | 
| 7 |  | istrkg2d.p | . . . . . . 7
⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺) | 
| 8 |  | istrkg2d.d | . . . . . . 7
⊢  − =
(dist‘𝐺) | 
| 9 |  | istrkg2d.i | . . . . . . 7
⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺) | 
| 10 | 7, 8, 9 | istrkg2d 34682 | . . . . . 6
⊢ (𝐺 ∈ TarskiG2D
↔ (𝐺 ∈ V ∧
(∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑃 ∀𝑦 ∈ 𝑃 ∀𝑧 ∈ 𝑃 ∀𝑢 ∈ 𝑃 ∀𝑣 ∈ 𝑃 ((((𝑥 − 𝑢) = (𝑥 − 𝑣) ∧ (𝑦 − 𝑢) = (𝑦 − 𝑣) ∧ (𝑧 − 𝑢) = (𝑧 − 𝑣)) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) → (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)))))) | 
| 11 | 6, 10 | sylib 218 | . . . . 5
⊢ (𝜑 → (𝐺 ∈ V ∧ (∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑃 ∀𝑦 ∈ 𝑃 ∀𝑧 ∈ 𝑃 ∀𝑢 ∈ 𝑃 ∀𝑣 ∈ 𝑃 ((((𝑥 − 𝑢) = (𝑥 − 𝑣) ∧ (𝑦 − 𝑢) = (𝑦 − 𝑣) ∧ (𝑧 − 𝑢) = (𝑧 − 𝑣)) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) → (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)))))) | 
| 12 | 11 | simprrd 773 | . . . 4
⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑃 ∀𝑦 ∈ 𝑃 ∀𝑧 ∈ 𝑃 ∀𝑢 ∈ 𝑃 ∀𝑣 ∈ 𝑃 ((((𝑥 − 𝑢) = (𝑥 − 𝑣) ∧ (𝑦 − 𝑢) = (𝑦 − 𝑣) ∧ (𝑧 − 𝑢) = (𝑧 − 𝑣)) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) → (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)))) | 
| 13 |  | axtgupdim2ALTV.x | . . . . 5
⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃) | 
| 14 |  | axtgupdim2ALTV.y | . . . . 5
⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃) | 
| 15 |  | axtgupdim2ALTV.z | . . . . 5
⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑃) | 
| 16 |  | oveq1 7439 | . . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 − 𝑢) = (𝑋 − 𝑢)) | 
| 17 |  | oveq1 7439 | . . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 − 𝑣) = (𝑋 − 𝑣)) | 
| 18 | 16, 17 | eqeq12d 2752 | . . . . . . . . . 10
⊢ (𝑥 = 𝑋 → ((𝑥 − 𝑢) = (𝑥 − 𝑣) ↔ (𝑋 − 𝑢) = (𝑋 − 𝑣))) | 
| 19 | 18 | 3anbi1d 1441 | . . . . . . . . 9
⊢ (𝑥 = 𝑋 → (((𝑥 − 𝑢) = (𝑥 − 𝑣) ∧ (𝑦 − 𝑢) = (𝑦 − 𝑣) ∧ (𝑧 − 𝑢) = (𝑧 − 𝑣)) ↔ ((𝑋 − 𝑢) = (𝑋 − 𝑣) ∧ (𝑦 − 𝑢) = (𝑦 − 𝑣) ∧ (𝑧 − 𝑢) = (𝑧 − 𝑣)))) | 
| 20 | 19 | anbi1d 631 | . . . . . . . 8
⊢ (𝑥 = 𝑋 → ((((𝑥 − 𝑢) = (𝑥 − 𝑣) ∧ (𝑦 − 𝑢) = (𝑦 − 𝑣) ∧ (𝑧 − 𝑢) = (𝑧 − 𝑣)) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ↔ (((𝑋 − 𝑢) = (𝑋 − 𝑣) ∧ (𝑦 − 𝑢) = (𝑦 − 𝑣) ∧ (𝑧 − 𝑢) = (𝑧 − 𝑣)) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣))) | 
| 21 |  | oveq1 7439 | . . . . . . . . . 10
⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑥𝐼𝑦) = (𝑋𝐼𝑦)) | 
| 22 | 21 | eleq2d 2826 | . . . . . . . . 9
⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ↔ 𝑧 ∈ (𝑋𝐼𝑦))) | 
| 23 |  | eleq1 2828 | . . . . . . . . 9
⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ↔ 𝑋 ∈ (𝑧𝐼𝑦))) | 
| 24 |  | oveq1 7439 | . . . . . . . . . 10
⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑥𝐼𝑧) = (𝑋𝐼𝑧)) | 
| 25 | 24 | eleq2d 2826 | . . . . . . . . 9
⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧) ↔ 𝑦 ∈ (𝑋𝐼𝑧))) | 
| 26 | 22, 23, 25 | 3orbi123d 1436 | . . . . . . . 8
⊢ (𝑥 = 𝑋 → ((𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)) ↔ (𝑧 ∈ (𝑋𝐼𝑦) ∨ 𝑋 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑋𝐼𝑧)))) | 
| 27 | 20, 26 | imbi12d 344 | . . . . . . 7
⊢ (𝑥 = 𝑋 → (((((𝑥 − 𝑢) = (𝑥 − 𝑣) ∧ (𝑦 − 𝑢) = (𝑦 − 𝑣) ∧ (𝑧 − 𝑢) = (𝑧 − 𝑣)) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) → (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧))) ↔ ((((𝑋 − 𝑢) = (𝑋 − 𝑣) ∧ (𝑦 − 𝑢) = (𝑦 − 𝑣) ∧ (𝑧 − 𝑢) = (𝑧 − 𝑣)) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) → (𝑧 ∈ (𝑋𝐼𝑦) ∨ 𝑋 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑋𝐼𝑧))))) | 
| 28 | 27 | 2ralbidv 3220 | . . . . . 6
⊢ (𝑥 = 𝑋 → (∀𝑢 ∈ 𝑃 ∀𝑣 ∈ 𝑃 ((((𝑥 − 𝑢) = (𝑥 − 𝑣) ∧ (𝑦 − 𝑢) = (𝑦 − 𝑣) ∧ (𝑧 − 𝑢) = (𝑧 − 𝑣)) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) → (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧))) ↔ ∀𝑢 ∈ 𝑃 ∀𝑣 ∈ 𝑃 ((((𝑋 − 𝑢) = (𝑋 − 𝑣) ∧ (𝑦 − 𝑢) = (𝑦 − 𝑣) ∧ (𝑧 − 𝑢) = (𝑧 − 𝑣)) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) → (𝑧 ∈ (𝑋𝐼𝑦) ∨ 𝑋 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑋𝐼𝑧))))) | 
| 29 |  | oveq1 7439 | . . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑦 = 𝑌 → (𝑦 − 𝑢) = (𝑌 − 𝑢)) | 
| 30 |  | oveq1 7439 | . . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑦 = 𝑌 → (𝑦 − 𝑣) = (𝑌 − 𝑣)) | 
| 31 | 29, 30 | eqeq12d 2752 | . . . . . . . . . 10
⊢ (𝑦 = 𝑌 → ((𝑦 − 𝑢) = (𝑦 − 𝑣) ↔ (𝑌 − 𝑢) = (𝑌 − 𝑣))) | 
| 32 | 31 | 3anbi2d 1442 | . . . . . . . . 9
⊢ (𝑦 = 𝑌 → (((𝑋 − 𝑢) = (𝑋 − 𝑣) ∧ (𝑦 − 𝑢) = (𝑦 − 𝑣) ∧ (𝑧 − 𝑢) = (𝑧 − 𝑣)) ↔ ((𝑋 − 𝑢) = (𝑋 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑢) = (𝑌 − 𝑣) ∧ (𝑧 − 𝑢) = (𝑧 − 𝑣)))) | 
| 33 | 32 | anbi1d 631 | . . . . . . . 8
⊢ (𝑦 = 𝑌 → ((((𝑋 − 𝑢) = (𝑋 − 𝑣) ∧ (𝑦 − 𝑢) = (𝑦 − 𝑣) ∧ (𝑧 − 𝑢) = (𝑧 − 𝑣)) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ↔ (((𝑋 − 𝑢) = (𝑋 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑢) = (𝑌 − 𝑣) ∧ (𝑧 − 𝑢) = (𝑧 − 𝑣)) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣))) | 
| 34 |  | oveq2 7440 | . . . . . . . . . 10
⊢ (𝑦 = 𝑌 → (𝑋𝐼𝑦) = (𝑋𝐼𝑌)) | 
| 35 | 34 | eleq2d 2826 | . . . . . . . . 9
⊢ (𝑦 = 𝑌 → (𝑧 ∈ (𝑋𝐼𝑦) ↔ 𝑧 ∈ (𝑋𝐼𝑌))) | 
| 36 |  | oveq2 7440 | . . . . . . . . . 10
⊢ (𝑦 = 𝑌 → (𝑧𝐼𝑦) = (𝑧𝐼𝑌)) | 
| 37 | 36 | eleq2d 2826 | . . . . . . . . 9
⊢ (𝑦 = 𝑌 → (𝑋 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ↔ 𝑋 ∈ (𝑧𝐼𝑌))) | 
| 38 |  | eleq1 2828 | . . . . . . . . 9
⊢ (𝑦 = 𝑌 → (𝑦 ∈ (𝑋𝐼𝑧) ↔ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑧))) | 
| 39 | 35, 37, 38 | 3orbi123d 1436 | . . . . . . . 8
⊢ (𝑦 = 𝑌 → ((𝑧 ∈ (𝑋𝐼𝑦) ∨ 𝑋 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑋𝐼𝑧)) ↔ (𝑧 ∈ (𝑋𝐼𝑌) ∨ 𝑋 ∈ (𝑧𝐼𝑌) ∨ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑧)))) | 
| 40 | 33, 39 | imbi12d 344 | . . . . . . 7
⊢ (𝑦 = 𝑌 → (((((𝑋 − 𝑢) = (𝑋 − 𝑣) ∧ (𝑦 − 𝑢) = (𝑦 − 𝑣) ∧ (𝑧 − 𝑢) = (𝑧 − 𝑣)) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) → (𝑧 ∈ (𝑋𝐼𝑦) ∨ 𝑋 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑋𝐼𝑧))) ↔ ((((𝑋 − 𝑢) = (𝑋 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑢) = (𝑌 − 𝑣) ∧ (𝑧 − 𝑢) = (𝑧 − 𝑣)) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) → (𝑧 ∈ (𝑋𝐼𝑌) ∨ 𝑋 ∈ (𝑧𝐼𝑌) ∨ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑧))))) | 
| 41 | 40 | 2ralbidv 3220 | . . . . . 6
⊢ (𝑦 = 𝑌 → (∀𝑢 ∈ 𝑃 ∀𝑣 ∈ 𝑃 ((((𝑋 − 𝑢) = (𝑋 − 𝑣) ∧ (𝑦 − 𝑢) = (𝑦 − 𝑣) ∧ (𝑧 − 𝑢) = (𝑧 − 𝑣)) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) → (𝑧 ∈ (𝑋𝐼𝑦) ∨ 𝑋 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑋𝐼𝑧))) ↔ ∀𝑢 ∈ 𝑃 ∀𝑣 ∈ 𝑃 ((((𝑋 − 𝑢) = (𝑋 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑢) = (𝑌 − 𝑣) ∧ (𝑧 − 𝑢) = (𝑧 − 𝑣)) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) → (𝑧 ∈ (𝑋𝐼𝑌) ∨ 𝑋 ∈ (𝑧𝐼𝑌) ∨ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑧))))) | 
| 42 |  | oveq1 7439 | . . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑧 = 𝑍 → (𝑧 − 𝑢) = (𝑍 − 𝑢)) | 
| 43 |  | oveq1 7439 | . . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑧 = 𝑍 → (𝑧 − 𝑣) = (𝑍 − 𝑣)) | 
| 44 | 42, 43 | eqeq12d 2752 | . . . . . . . . . 10
⊢ (𝑧 = 𝑍 → ((𝑧 − 𝑢) = (𝑧 − 𝑣) ↔ (𝑍 − 𝑢) = (𝑍 − 𝑣))) | 
| 45 | 44 | 3anbi3d 1443 | . . . . . . . . 9
⊢ (𝑧 = 𝑍 → (((𝑋 − 𝑢) = (𝑋 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑢) = (𝑌 − 𝑣) ∧ (𝑧 − 𝑢) = (𝑧 − 𝑣)) ↔ ((𝑋 − 𝑢) = (𝑋 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑢) = (𝑌 − 𝑣) ∧ (𝑍 − 𝑢) = (𝑍 − 𝑣)))) | 
| 46 | 45 | anbi1d 631 | . . . . . . . 8
⊢ (𝑧 = 𝑍 → ((((𝑋 − 𝑢) = (𝑋 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑢) = (𝑌 − 𝑣) ∧ (𝑧 − 𝑢) = (𝑧 − 𝑣)) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ↔ (((𝑋 − 𝑢) = (𝑋 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑢) = (𝑌 − 𝑣) ∧ (𝑍 − 𝑢) = (𝑍 − 𝑣)) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣))) | 
| 47 |  | eleq1 2828 | . . . . . . . . 9
⊢ (𝑧 = 𝑍 → (𝑧 ∈ (𝑋𝐼𝑌) ↔ 𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌))) | 
| 48 |  | oveq1 7439 | . . . . . . . . . 10
⊢ (𝑧 = 𝑍 → (𝑧𝐼𝑌) = (𝑍𝐼𝑌)) | 
| 49 | 48 | eleq2d 2826 | . . . . . . . . 9
⊢ (𝑧 = 𝑍 → (𝑋 ∈ (𝑧𝐼𝑌) ↔ 𝑋 ∈ (𝑍𝐼𝑌))) | 
| 50 |  | oveq2 7440 | . . . . . . . . . 10
⊢ (𝑧 = 𝑍 → (𝑋𝐼𝑧) = (𝑋𝐼𝑍)) | 
| 51 | 50 | eleq2d 2826 | . . . . . . . . 9
⊢ (𝑧 = 𝑍 → (𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑧) ↔ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍))) | 
| 52 | 47, 49, 51 | 3orbi123d 1436 | . . . . . . . 8
⊢ (𝑧 = 𝑍 → ((𝑧 ∈ (𝑋𝐼𝑌) ∨ 𝑋 ∈ (𝑧𝐼𝑌) ∨ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑧)) ↔ (𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌) ∨ 𝑋 ∈ (𝑍𝐼𝑌) ∨ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍)))) | 
| 53 | 46, 52 | imbi12d 344 | . . . . . . 7
⊢ (𝑧 = 𝑍 → (((((𝑋 − 𝑢) = (𝑋 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑢) = (𝑌 − 𝑣) ∧ (𝑧 − 𝑢) = (𝑧 − 𝑣)) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) → (𝑧 ∈ (𝑋𝐼𝑌) ∨ 𝑋 ∈ (𝑧𝐼𝑌) ∨ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑧))) ↔ ((((𝑋 − 𝑢) = (𝑋 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑢) = (𝑌 − 𝑣) ∧ (𝑍 − 𝑢) = (𝑍 − 𝑣)) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) → (𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌) ∨ 𝑋 ∈ (𝑍𝐼𝑌) ∨ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍))))) | 
| 54 | 53 | 2ralbidv 3220 | . . . . . 6
⊢ (𝑧 = 𝑍 → (∀𝑢 ∈ 𝑃 ∀𝑣 ∈ 𝑃 ((((𝑋 − 𝑢) = (𝑋 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑢) = (𝑌 − 𝑣) ∧ (𝑧 − 𝑢) = (𝑧 − 𝑣)) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) → (𝑧 ∈ (𝑋𝐼𝑌) ∨ 𝑋 ∈ (𝑧𝐼𝑌) ∨ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑧))) ↔ ∀𝑢 ∈ 𝑃 ∀𝑣 ∈ 𝑃 ((((𝑋 − 𝑢) = (𝑋 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑢) = (𝑌 − 𝑣) ∧ (𝑍 − 𝑢) = (𝑍 − 𝑣)) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) → (𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌) ∨ 𝑋 ∈ (𝑍𝐼𝑌) ∨ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍))))) | 
| 55 | 28, 41, 54 | rspc3v 3637 | . . . . 5
⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑍 ∈ 𝑃) → (∀𝑥 ∈ 𝑃 ∀𝑦 ∈ 𝑃 ∀𝑧 ∈ 𝑃 ∀𝑢 ∈ 𝑃 ∀𝑣 ∈ 𝑃 ((((𝑥 − 𝑢) = (𝑥 − 𝑣) ∧ (𝑦 − 𝑢) = (𝑦 − 𝑣) ∧ (𝑧 − 𝑢) = (𝑧 − 𝑣)) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) → (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧))) → ∀𝑢 ∈ 𝑃 ∀𝑣 ∈ 𝑃 ((((𝑋 − 𝑢) = (𝑋 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑢) = (𝑌 − 𝑣) ∧ (𝑍 − 𝑢) = (𝑍 − 𝑣)) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) → (𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌) ∨ 𝑋 ∈ (𝑍𝐼𝑌) ∨ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍))))) | 
| 56 | 13, 14, 15, 55 | syl3anc 1372 | . . . 4
⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ 𝑃 ∀𝑦 ∈ 𝑃 ∀𝑧 ∈ 𝑃 ∀𝑢 ∈ 𝑃 ∀𝑣 ∈ 𝑃 ((((𝑥 − 𝑢) = (𝑥 − 𝑣) ∧ (𝑦 − 𝑢) = (𝑦 − 𝑣) ∧ (𝑧 − 𝑢) = (𝑧 − 𝑣)) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) → (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧))) → ∀𝑢 ∈ 𝑃 ∀𝑣 ∈ 𝑃 ((((𝑋 − 𝑢) = (𝑋 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑢) = (𝑌 − 𝑣) ∧ (𝑍 − 𝑢) = (𝑍 − 𝑣)) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) → (𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌) ∨ 𝑋 ∈ (𝑍𝐼𝑌) ∨ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍))))) | 
| 57 | 12, 56 | mpd 15 | . . 3
⊢ (𝜑 → ∀𝑢 ∈ 𝑃 ∀𝑣 ∈ 𝑃 ((((𝑋 − 𝑢) = (𝑋 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑢) = (𝑌 − 𝑣) ∧ (𝑍 − 𝑢) = (𝑍 − 𝑣)) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) → (𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌) ∨ 𝑋 ∈ (𝑍𝐼𝑌) ∨ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍)))) | 
| 58 |  | axtgupdim2ALTV.u | . . . 4
⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑃) | 
| 59 |  | axtgupdim2ALTV.v | . . . 4
⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ 𝑃) | 
| 60 |  | oveq2 7440 | . . . . . . . . 9
⊢ (𝑢 = 𝑈 → (𝑋 − 𝑢) = (𝑋 − 𝑈)) | 
| 61 | 60 | eqeq1d 2738 | . . . . . . . 8
⊢ (𝑢 = 𝑈 → ((𝑋 − 𝑢) = (𝑋 − 𝑣) ↔ (𝑋 − 𝑈) = (𝑋 − 𝑣))) | 
| 62 |  | oveq2 7440 | . . . . . . . . 9
⊢ (𝑢 = 𝑈 → (𝑌 − 𝑢) = (𝑌 − 𝑈)) | 
| 63 | 62 | eqeq1d 2738 | . . . . . . . 8
⊢ (𝑢 = 𝑈 → ((𝑌 − 𝑢) = (𝑌 − 𝑣) ↔ (𝑌 − 𝑈) = (𝑌 − 𝑣))) | 
| 64 |  | oveq2 7440 | . . . . . . . . 9
⊢ (𝑢 = 𝑈 → (𝑍 − 𝑢) = (𝑍 − 𝑈)) | 
| 65 | 64 | eqeq1d 2738 | . . . . . . . 8
⊢ (𝑢 = 𝑈 → ((𝑍 − 𝑢) = (𝑍 − 𝑣) ↔ (𝑍 − 𝑈) = (𝑍 − 𝑣))) | 
| 66 | 61, 63, 65 | 3anbi123d 1437 | . . . . . . 7
⊢ (𝑢 = 𝑈 → (((𝑋 − 𝑢) = (𝑋 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑢) = (𝑌 − 𝑣) ∧ (𝑍 − 𝑢) = (𝑍 − 𝑣)) ↔ ((𝑋 − 𝑈) = (𝑋 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑈) = (𝑌 − 𝑣) ∧ (𝑍 − 𝑈) = (𝑍 − 𝑣)))) | 
| 67 |  | neeq1 3002 | . . . . . . 7
⊢ (𝑢 = 𝑈 → (𝑢 ≠ 𝑣 ↔ 𝑈 ≠ 𝑣)) | 
| 68 | 66, 67 | anbi12d 632 | . . . . . 6
⊢ (𝑢 = 𝑈 → ((((𝑋 − 𝑢) = (𝑋 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑢) = (𝑌 − 𝑣) ∧ (𝑍 − 𝑢) = (𝑍 − 𝑣)) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ↔ (((𝑋 − 𝑈) = (𝑋 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑈) = (𝑌 − 𝑣) ∧ (𝑍 − 𝑈) = (𝑍 − 𝑣)) ∧ 𝑈 ≠ 𝑣))) | 
| 69 | 68 | imbi1d 341 | . . . . 5
⊢ (𝑢 = 𝑈 → (((((𝑋 − 𝑢) = (𝑋 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑢) = (𝑌 − 𝑣) ∧ (𝑍 − 𝑢) = (𝑍 − 𝑣)) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) → (𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌) ∨ 𝑋 ∈ (𝑍𝐼𝑌) ∨ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍))) ↔ ((((𝑋 − 𝑈) = (𝑋 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑈) = (𝑌 − 𝑣) ∧ (𝑍 − 𝑈) = (𝑍 − 𝑣)) ∧ 𝑈 ≠ 𝑣) → (𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌) ∨ 𝑋 ∈ (𝑍𝐼𝑌) ∨ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍))))) | 
| 70 |  | oveq2 7440 | . . . . . . . . 9
⊢ (𝑣 = 𝑉 → (𝑋 − 𝑣) = (𝑋 − 𝑉)) | 
| 71 | 70 | eqeq2d 2747 | . . . . . . . 8
⊢ (𝑣 = 𝑉 → ((𝑋 − 𝑈) = (𝑋 − 𝑣) ↔ (𝑋 − 𝑈) = (𝑋 − 𝑉))) | 
| 72 |  | oveq2 7440 | . . . . . . . . 9
⊢ (𝑣 = 𝑉 → (𝑌 − 𝑣) = (𝑌 − 𝑉)) | 
| 73 | 72 | eqeq2d 2747 | . . . . . . . 8
⊢ (𝑣 = 𝑉 → ((𝑌 − 𝑈) = (𝑌 − 𝑣) ↔ (𝑌 − 𝑈) = (𝑌 − 𝑉))) | 
| 74 |  | oveq2 7440 | . . . . . . . . 9
⊢ (𝑣 = 𝑉 → (𝑍 − 𝑣) = (𝑍 − 𝑉)) | 
| 75 | 74 | eqeq2d 2747 | . . . . . . . 8
⊢ (𝑣 = 𝑉 → ((𝑍 − 𝑈) = (𝑍 − 𝑣) ↔ (𝑍 − 𝑈) = (𝑍 − 𝑉))) | 
| 76 | 71, 73, 75 | 3anbi123d 1437 | . . . . . . 7
⊢ (𝑣 = 𝑉 → (((𝑋 − 𝑈) = (𝑋 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑈) = (𝑌 − 𝑣) ∧ (𝑍 − 𝑈) = (𝑍 − 𝑣)) ↔ ((𝑋 − 𝑈) = (𝑋 − 𝑉) ∧ (𝑌 − 𝑈) = (𝑌 − 𝑉) ∧ (𝑍 − 𝑈) = (𝑍 − 𝑉)))) | 
| 77 |  | neeq2 3003 | . . . . . . 7
⊢ (𝑣 = 𝑉 → (𝑈 ≠ 𝑣 ↔ 𝑈 ≠ 𝑉)) | 
| 78 | 76, 77 | anbi12d 632 | . . . . . 6
⊢ (𝑣 = 𝑉 → ((((𝑋 − 𝑈) = (𝑋 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑈) = (𝑌 − 𝑣) ∧ (𝑍 − 𝑈) = (𝑍 − 𝑣)) ∧ 𝑈 ≠ 𝑣) ↔ (((𝑋 − 𝑈) = (𝑋 − 𝑉) ∧ (𝑌 − 𝑈) = (𝑌 − 𝑉) ∧ (𝑍 − 𝑈) = (𝑍 − 𝑉)) ∧ 𝑈 ≠ 𝑉))) | 
| 79 | 78 | imbi1d 341 | . . . . 5
⊢ (𝑣 = 𝑉 → (((((𝑋 − 𝑈) = (𝑋 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑈) = (𝑌 − 𝑣) ∧ (𝑍 − 𝑈) = (𝑍 − 𝑣)) ∧ 𝑈 ≠ 𝑣) → (𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌) ∨ 𝑋 ∈ (𝑍𝐼𝑌) ∨ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍))) ↔ ((((𝑋 − 𝑈) = (𝑋 − 𝑉) ∧ (𝑌 − 𝑈) = (𝑌 − 𝑉) ∧ (𝑍 − 𝑈) = (𝑍 − 𝑉)) ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) → (𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌) ∨ 𝑋 ∈ (𝑍𝐼𝑌) ∨ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍))))) | 
| 80 | 69, 79 | rspc2v 3632 | . . . 4
⊢ ((𝑈 ∈ 𝑃 ∧ 𝑉 ∈ 𝑃) → (∀𝑢 ∈ 𝑃 ∀𝑣 ∈ 𝑃 ((((𝑋 − 𝑢) = (𝑋 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑢) = (𝑌 − 𝑣) ∧ (𝑍 − 𝑢) = (𝑍 − 𝑣)) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) → (𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌) ∨ 𝑋 ∈ (𝑍𝐼𝑌) ∨ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍))) → ((((𝑋 − 𝑈) = (𝑋 − 𝑉) ∧ (𝑌 − 𝑈) = (𝑌 − 𝑉) ∧ (𝑍 − 𝑈) = (𝑍 − 𝑉)) ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) → (𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌) ∨ 𝑋 ∈ (𝑍𝐼𝑌) ∨ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍))))) | 
| 81 | 58, 59, 80 | syl2anc 584 | . . 3
⊢ (𝜑 → (∀𝑢 ∈ 𝑃 ∀𝑣 ∈ 𝑃 ((((𝑋 − 𝑢) = (𝑋 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑢) = (𝑌 − 𝑣) ∧ (𝑍 − 𝑢) = (𝑍 − 𝑣)) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) → (𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌) ∨ 𝑋 ∈ (𝑍𝐼𝑌) ∨ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍))) → ((((𝑋 − 𝑈) = (𝑋 − 𝑉) ∧ (𝑌 − 𝑈) = (𝑌 − 𝑉) ∧ (𝑍 − 𝑈) = (𝑍 − 𝑉)) ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) → (𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌) ∨ 𝑋 ∈ (𝑍𝐼𝑌) ∨ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍))))) | 
| 82 | 57, 81 | mpd 15 | . 2
⊢ (𝜑 → ((((𝑋 − 𝑈) = (𝑋 − 𝑉) ∧ (𝑌 − 𝑈) = (𝑌 − 𝑉) ∧ (𝑍 − 𝑈) = (𝑍 − 𝑉)) ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) → (𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌) ∨ 𝑋 ∈ (𝑍𝐼𝑌) ∨ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍)))) | 
| 83 | 4, 5, 82 | mp2and 699 | 1
⊢ (𝜑 → (𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌) ∨ 𝑋 ∈ (𝑍𝐼𝑌) ∨ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍))) |