Theorem bnj529 34724

Description: First-order logic and set theory. (Contributed by Jonathan Ben-Naim, 3-Jun-2011.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
bnj529.1	⊢ 𝐷 = (ω ∖ {∅})

Assertion

Ref	Expression
bnj529	⊢ (𝑀 ∈ 𝐷 → ∅ ∈ 𝑀)

Proof of Theorem bnj529

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldifsn 4746	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ (ω ∖ {∅}) ↔ (𝑀 ∈ ω ∧ 𝑀 ≠ ∅))
2	1	biimpi 216	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ (ω ∖ {∅}) → (𝑀 ∈ ω ∧ 𝑀 ≠ ∅))
3		bnj529.1	. . 3 ⊢ 𝐷 = (ω ∖ {∅})
4	2, 3	eleq2s 2846	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ 𝐷 → (𝑀 ∈ ω ∧ 𝑀 ≠ ∅))
5		nnord 7830	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ω → Ord 𝑀)
6	5	anim1i 615	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ω ∧ 𝑀 ≠ ∅) → (Ord 𝑀 ∧ 𝑀 ≠ ∅))
7		ord0eln0 6376	. . 3 ⊢ (Ord 𝑀 → (∅ ∈ 𝑀 ↔ 𝑀 ≠ ∅))
8	7	biimpar 477	. 2 ⊢ ((Ord 𝑀 ∧ 𝑀 ≠ ∅) → ∅ ∈ 𝑀)
9	4, 6, 8	3syl 18	1 ⊢ (𝑀 ∈ 𝐷 → ∅ ∈ 𝑀)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925   ∖ cdif 3908  ∅c0 4292  {csn 4585  Ord word 6319  ωcom 7822

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pr 5382

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-sb 2066  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3403  df-v 3446  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-br 5103  df-opab 5165  df-tr 5210  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-ord 6323  df-on 6324  df-om 7823

This theorem is referenced by:  bnj545  34878  bnj900  34912  bnj929  34919