Users' Mathboxes Mathbox for Jonathan Ben-Naim < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  bnj529 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem bnj529 32126
Description: First-order logic and set theory. (Contributed by Jonathan Ben-Naim, 3-Jun-2011.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
bnj529.1 𝐷 = (ω ∖ {∅})
Assertion
Ref Expression
bnj529 (𝑀𝐷 → ∅ ∈ 𝑀)

Proof of Theorem bnj529
StepHypRef Expression
1 eldifsn 4683 . . . 4 (𝑀 ∈ (ω ∖ {∅}) ↔ (𝑀 ∈ ω ∧ 𝑀 ≠ ∅))
21biimpi 219 . . 3 (𝑀 ∈ (ω ∖ {∅}) → (𝑀 ∈ ω ∧ 𝑀 ≠ ∅))
3 bnj529.1 . . 3 𝐷 = (ω ∖ {∅})
42, 3eleq2s 2911 . 2 (𝑀𝐷 → (𝑀 ∈ ω ∧ 𝑀 ≠ ∅))
5 nnord 7572 . . 3 (𝑀 ∈ ω → Ord 𝑀)
65anim1i 617 . 2 ((𝑀 ∈ ω ∧ 𝑀 ≠ ∅) → (Ord 𝑀𝑀 ≠ ∅))
7 ord0eln0 6217 . . 3 (Ord 𝑀 → (∅ ∈ 𝑀𝑀 ≠ ∅))
87biimpar 481 . 2 ((Ord 𝑀𝑀 ≠ ∅) → ∅ ∈ 𝑀)
94, 6, 83syl 18 1 (𝑀𝐷 → ∅ ∈ 𝑀)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399   = wceq 1538  wcel 2112  wne 2990  cdif 3881  c0 4246  {csn 4528  Ord word 6162  ωcom 7564
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pr 5298  ax-un 7445
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-ral 3114  df-rex 3115  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-br 5034  df-opab 5096  df-tr 5140  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-we 5484  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-om 7565
This theorem is referenced by:  bnj545  32281  bnj900  32315  bnj929  32322
  Copyright terms: Public domain W3C validator