Theorem bnj529 34899

Description: First-order logic and set theory. (Contributed by Jonathan Ben-Naim, 3-Jun-2011.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
bnj529.1	⊢ 𝐷 = (ω ∖ {∅})

Assertion

Ref	Expression
bnj529	⊢ (𝑀 ∈ 𝐷 → ∅ ∈ 𝑀)

Proof of Theorem bnj529

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldifsn 4743	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ (ω ∖ {∅}) ↔ (𝑀 ∈ ω ∧ 𝑀 ≠ ∅))
2	1	biimpi 216	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ (ω ∖ {∅}) → (𝑀 ∈ ω ∧ 𝑀 ≠ ∅))
3		bnj529.1	. . 3 ⊢ 𝐷 = (ω ∖ {∅})
4	2, 3	eleq2s 2855	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ 𝐷 → (𝑀 ∈ ω ∧ 𝑀 ≠ ∅))
5		nnord 7818	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ω → Ord 𝑀)
6	5	anim1i 616	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ω ∧ 𝑀 ≠ ∅) → (Ord 𝑀 ∧ 𝑀 ≠ ∅))
7		ord0eln0 6374	. . 3 ⊢ (Ord 𝑀 → (∅ ∈ 𝑀 ↔ 𝑀 ≠ ∅))
8	7	biimpar 477	. 2 ⊢ ((Ord 𝑀 ∧ 𝑀 ≠ ∅) → ∅ ∈ 𝑀)
9	4, 6, 8	3syl 18	1 ⊢ (𝑀 ∈ 𝐷 → ∅ ∈ 𝑀)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933   ∖ cdif 3899  ∅c0 4286  {csn 4581  Ord word 6317  ωcom 7810

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-ext 2709  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pr 5378

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-sb 2069  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rab 3401  df-v 3443  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-br 5100  df-opab 5162  df-tr 5207  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-ord 6321  df-on 6322  df-om 7811

This theorem is referenced by:  bnj545  35053  bnj900  35087  bnj929  35094