Theorem bnj529 34734

Description: First-order logic and set theory. (Contributed by Jonathan Ben-Naim, 3-Jun-2011.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
bnj529.1	⊢ 𝐷 = (ω ∖ {∅})

Assertion

Ref	Expression
bnj529	⊢ (𝑀 ∈ 𝐷 → ∅ ∈ 𝑀)

Proof of Theorem bnj529

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldifsn 4791	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ (ω ∖ {∅}) ↔ (𝑀 ∈ ω ∧ 𝑀 ≠ ∅))
2	1	biimpi 216	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ (ω ∖ {∅}) → (𝑀 ∈ ω ∧ 𝑀 ≠ ∅))
3		bnj529.1	. . 3 ⊢ 𝐷 = (ω ∖ {∅})
4	2, 3	eleq2s 2857	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ 𝐷 → (𝑀 ∈ ω ∧ 𝑀 ≠ ∅))
5		nnord 7895	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ω → Ord 𝑀)
6	5	anim1i 615	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ω ∧ 𝑀 ≠ ∅) → (Ord 𝑀 ∧ 𝑀 ≠ ∅))
7		ord0eln0 6441	. . 3 ⊢ (Ord 𝑀 → (∅ ∈ 𝑀 ↔ 𝑀 ≠ ∅))
8	7	biimpar 477	. 2 ⊢ ((Ord 𝑀 ∧ 𝑀 ≠ ∅) → ∅ ∈ 𝑀)
9	4, 6, 8	3syl 18	1 ⊢ (𝑀 ∈ 𝐷 → ∅ ∈ 𝑀)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2938   ∖ cdif 3960  ∅c0 4339  {csn 4631  Ord word 6385  ωcom 7887

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pr 5438

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-sb 2063  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3434  df-v 3480  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-tr 5266  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-ord 6389  df-on 6390  df-om 7888

This theorem is referenced by:  bnj545  34888  bnj900  34922  bnj929  34929