Theorem nnord 7868

Description: A natural number is ordinal. (Contributed by NM, 17-Oct-1995.)

Assertion

Ref	Expression
nnord	⊢ (𝐴 ∈ ω → Ord 𝐴)

Proof of Theorem nnord

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnon 7866	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ∈ On)
2		eloni 6370	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ On → Ord 𝐴)
3	1, 2	syl 18	1 ⊢ (𝐴 ∈ ω → Ord 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2142  Ord word 6359  Oncon0 6360  ωcom 7860

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-ext 2734

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-tru 1572  df-ex 1809  df-sb 2096  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-ral 3079  df-rab 3416  df-v 3456  df-ss 3921  df-uni 4872  df-tr 5218  df-po 5568  df-so 5569  df-fr 5613  df-we 5615  df-ord 6363  df-on 6364  df-om 7861

This theorem is used by:  nnlim  7874  nnsuc  7878  omsucne  7879  omun  7882  nnaordi  8602  nnaord  8603  nnaword  8611  nnmord  8616  nnmwordi  8619  nnawordex  8621  nnaordex2  8623  omsmo  8642  eldifsucnn  8648  enrefnn  9041  pssnn  9151  unfi  9153  phplem2  9187  php  9189  php4  9192  nndomog  9195  onomeneq  9196  ominf  9222  isinf  9223  dif1ennnALT  9235  findcard3  9241  unblem1  9250  isfinite2  9256  unfilem1  9263  inf3lem5  9599  inf3lem6  9600  cantnfp1lem2  9646  cantnfp1lem3  9647  ttrcltr  9683  ttrclss  9687  dmttrcl  9688  rnttrcl  9689  ttrclselem2  9693  dif1card  10001  nnadju  10188  pwsdompw  10193  ackbij1lem5  10213  ackbij1lem14  10222  ackbij1lem16  10224  ackbij1b  10228  ackbij2  10232  sornom  10267  infpssrlem4  10296  infpssrlem5  10297  fin23lem26  10315  fin23lem23  10316  isf32lem2  10344  isf32lem3  10345  isf32lem4  10346  domtriomlem  10432  axdc3lem2  10441  axdc3lem4  10443  canthp1lem2  10644  elni2  10868  piord  10871  addnidpi  10892  indpi  10898  om2uzf1oi  13996  fzennn  14011  hashp1i  14446  om2noseqf1o  28505  bnj529  35139  bnj1098  35181  bnj570  35302  bnj594  35309  bnj580  35310  bnj967  35342  bnj1001  35356  bnj1053  35373  bnj1071  35374  fineqvnttrclselem2  35543  fineqvnttrclselem3  35544  nnuni  36227  hfun  36678  finminlem  36857  mh-inf3f1  37080  finxpsuclem  38071  finxpsuc  38072  wepwso  43798  dflim5  44084  hashnnlt  45759