Theorem nnord 7890

Description: A natural number is ordinal. (Contributed by NM, 17-Oct-1995.)

Assertion

Ref	Expression
nnord	⊢ (𝐴 ∈ ω → Ord 𝐴)

Proof of Theorem nnord

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnon 7888	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ∈ On)
2		eloni 6389	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ On → Ord 𝐴)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝐴 ∈ ω → Ord 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2100  Ord word 6378  Oncon0 6379  ωcom 7882

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2102  ax-9 2110  ax-ext 2700

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-tru 1537  df-ex 1775  df-sb 2062  df-clab 2707  df-cleq 2721  df-clel 2806  df-ral 3055  df-rab 3429  df-v 3474  df-ss 3975  df-uni 4917  df-tr 5272  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5639  df-we 5641  df-ord 6382  df-on 6383  df-om 7883

This theorem is referenced by:  nnlim  7896  nnsuc  7900  omsucne  7901  omun  7905  nnaordi  8653  nnaord  8654  nnaword  8662  nnmord  8667  nnmwordi  8670  nnawordex  8672  nnaordex2  8674  omsmo  8693  eldifsucnn  8699  enrefnn  9089  dif1enlemOLD  9199  pssnn  9210  unfi  9214  phplem2  9247  php  9249  php4  9252  nndomog  9255  phplem1OLD  9256  phplem2OLD  9257  phplem3OLD  9258  phplem4OLD  9259  phpOLD  9261  nndomogOLD  9265  onomeneq  9267  ominf  9297  ominfOLD  9298  isinf  9299  isinfOLD  9300  dif1ennnALT  9315  findcard3  9322  unblem1  9332  isfinite2  9338  unfilem1  9347  inf3lem5  9677  inf3lem6  9678  cantnfp1lem2  9724  cantnfp1lem3  9725  ttrcltr  9761  ttrclss  9765  dmttrcl  9766  rnttrcl  9767  ttrclselem2  9771  dif1card  10055  nnadju  10243  pwsdompw  10248  ackbij1lem5  10268  ackbij1lem14  10277  ackbij1lem16  10279  ackbij1b  10283  ackbij2  10287  sornom  10322  infpssrlem4  10351  infpssrlem5  10352  fin23lem26  10370  fin23lem23  10371  isf32lem2  10399  isf32lem3  10400  isf32lem4  10401  domtriomlem  10487  axdc3lem2  10496  axdc3lem4  10498  canthp1lem2  10698  elni2  10922  piord  10925  addnidpi  10946  indpi  10952  om2uzf1oi  13979  fzennn  13994  hashp1i  14427  om2noseqf1o  28276  bnj529  34663  bnj1098  34705  bnj570  34827  bnj594  34834  bnj580  34835  bnj967  34867  bnj1001  34881  bnj1053  34898  bnj1071  34899  nnuni  35635  hfun  36088  finminlem  36117  finxpsuclem  37190  finxpsuc  37191  wepwso  42819  dflim5  43110