Theorem nnord 7895

Description: A natural number is ordinal. (Contributed by NM, 17-Oct-1995.)

Assertion

Ref	Expression
nnord	⊢ (𝐴 ∈ ω → Ord 𝐴)

Proof of Theorem nnord

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnon 7893	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ∈ On)
2		eloni 6396	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ On → Ord 𝐴)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝐴 ∈ ω → Ord 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2106  Ord word 6385  Oncon0 6386  ωcom 7887

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-ext 2706

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-tru 1540  df-ex 1777  df-sb 2063  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-ral 3060  df-rab 3434  df-v 3480  df-ss 3980  df-uni 4913  df-tr 5266  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-ord 6389  df-on 6390  df-om 7888

This theorem is referenced by:  nnlim  7901  nnsuc  7905  omsucne  7906  omun  7910  nnaordi  8655  nnaord  8656  nnaword  8664  nnmord  8669  nnmwordi  8672  nnawordex  8674  nnaordex2  8676  omsmo  8695  eldifsucnn  8701  enrefnn  9086  dif1enlemOLD  9196  pssnn  9207  unfi  9210  phplem2  9243  php  9245  php4  9248  nndomog  9251  phplem1OLD  9252  phplem2OLD  9253  phplem3OLD  9254  phplem4OLD  9255  phpOLD  9257  nndomogOLD  9261  onomeneq  9263  ominf  9292  ominfOLD  9293  isinf  9294  isinfOLD  9295  dif1ennnALT  9309  findcard3  9316  unblem1  9326  isfinite2  9332  unfilem1  9341  inf3lem5  9670  inf3lem6  9671  cantnfp1lem2  9717  cantnfp1lem3  9718  ttrcltr  9754  ttrclss  9758  dmttrcl  9759  rnttrcl  9760  ttrclselem2  9764  dif1card  10048  nnadju  10236  pwsdompw  10241  ackbij1lem5  10261  ackbij1lem14  10270  ackbij1lem16  10272  ackbij1b  10276  ackbij2  10280  sornom  10315  infpssrlem4  10344  infpssrlem5  10345  fin23lem26  10363  fin23lem23  10364  isf32lem2  10392  isf32lem3  10393  isf32lem4  10394  domtriomlem  10480  axdc3lem2  10489  axdc3lem4  10491  canthp1lem2  10691  elni2  10915  piord  10918  addnidpi  10939  indpi  10945  om2uzf1oi  13991  fzennn  14006  hashp1i  14439  om2noseqf1o  28322  bnj529  34734  bnj1098  34776  bnj570  34898  bnj594  34905  bnj580  34906  bnj967  34938  bnj1001  34952  bnj1053  34969  bnj1071  34970  nnuni  35707  hfun  36160  finminlem  36301  finxpsuclem  37380  finxpsuc  37381  wepwso  43032  dflim5  43319