Theorem disjxrn 38744

Description: Two ways of saying that a range Cartesian product is disjoint. (Contributed by Peter Mazsa, 17-Jun-2020.) (Revised by Peter Mazsa, 21-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
disjxrn	⊢ ( Disj (𝑅 ⋉ 𝑆) ↔ ( ≀ ◡𝑅 ∩ ≀ ◡𝑆) ⊆ I )

Proof of Theorem disjxrn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrnrel 38361	. . 3 ⊢ Rel (𝑅 ⋉ 𝑆)
2		dfdisjALTV2 38712	. . 3 ⊢ ( Disj (𝑅 ⋉ 𝑆) ↔ ( ≀ ◡(𝑅 ⋉ 𝑆) ⊆ I ∧ Rel (𝑅 ⋉ 𝑆)))
3	1, 2	mpbiran2 710	. 2 ⊢ ( Disj (𝑅 ⋉ 𝑆) ↔ ≀ ◡(𝑅 ⋉ 𝑆) ⊆ I )
4		1cosscnvxrn 38472	. . 3 ⊢ ≀ ◡(𝑅 ⋉ 𝑆) = ( ≀ ◡𝑅 ∩ ≀ ◡𝑆)
5	4	sseq1i 3964	. 2 ⊢ ( ≀ ◡(𝑅 ⋉ 𝑆) ⊆ I ↔ ( ≀ ◡𝑅 ∩ ≀ ◡𝑆) ⊆ I )
6	3, 5	bitri 275	1 ⊢ ( Disj (𝑅 ⋉ 𝑆) ↔ ( ≀ ◡𝑅 ∩ ≀ ◡𝑆) ⊆ I )

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∩ cin 3902   ⊆ wss 3903   I cid 5513  ^◡ccnv 5618  Rel wrel 5624   ⋉ cxrn 38174   ≀ ccoss 38175   Disj wdisjALTV 38209

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pr 5371  ax-un 7671

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3395  df-v 3438  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4285  df-if 4477  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-id 5514  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-fo 6488  df-fv 6490  df-1st 7924  df-2nd 7925  df-ec 8627  df-xrn 38359  df-coss 38408  df-cnvrefrel 38524  df-disjALTV 38703

This theorem is referenced by:  disjorimxrn  38746