Users' Mathboxes Mathbox for Peter Mazsa < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  disjxrn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem disjxrn 38747
Description: Two ways of saying that a range Cartesian product is disjoint. (Contributed by Peter Mazsa, 17-Jun-2020.) (Revised by Peter Mazsa, 21-Sep-2021.)
Assertion
Ref Expression
disjxrn ( Disj (𝑅𝑆) ↔ ( ≀ 𝑅 ∩ ≀ 𝑆) ⊆ I )

Proof of Theorem disjxrn
StepHypRef Expression
1 xrnrel 38374 . . 3 Rel (𝑅𝑆)
2 dfdisjALTV2 38715 . . 3 ( Disj (𝑅𝑆) ↔ ( ≀ (𝑅𝑆) ⊆ I ∧ Rel (𝑅𝑆)))
31, 2mpbiran2 710 . 2 ( Disj (𝑅𝑆) ↔ ≀ (𝑅𝑆) ⊆ I )
4 1cosscnvxrn 38476 . . 3 (𝑅𝑆) = ( ≀ 𝑅 ∩ ≀ 𝑆)
54sseq1i 4012 . 2 ( ≀ (𝑅𝑆) ⊆ I ↔ ( ≀ 𝑅 ∩ ≀ 𝑆) ⊆ I )
63, 5bitri 275 1 ( Disj (𝑅𝑆) ↔ ( ≀ 𝑅 ∩ ≀ 𝑆) ⊆ I )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 206  cin 3950  wss 3951   I cid 5577  ccnv 5684  Rel wrel 5690  cxrn 38181  ccoss 38182   Disj wdisjALTV 38216
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pr 5432  ax-un 7755
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3437  df-v 3482  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-fo 6567  df-fv 6569  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-ec 8747  df-xrn 38372  df-coss 38412  df-cnvrefrel 38528  df-disjALTV 38706
This theorem is referenced by:  disjorimxrn  38749
  Copyright terms: Public domain W3C validator