Theorem disjxrn 39164

Description: Two ways of saying that a range Cartesian product is disjoint. (Contributed by Peter Mazsa, 17-Jun-2020.) (Revised by Peter Mazsa, 21-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
disjxrn	⊢ ( Disj (𝑅 ⋉ 𝑆) ↔ ( ≀ ◡𝑅 ∩ ≀ ◡𝑆) ⊆ I )

Proof of Theorem disjxrn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrnrel 38700	. . 3 ⊢ Rel (𝑅 ⋉ 𝑆)
2		dfdisjALTV2 39117	. . 3 ⊢ ( Disj (𝑅 ⋉ 𝑆) ↔ ( ≀ ◡(𝑅 ⋉ 𝑆) ⊆ I ∧ Rel (𝑅 ⋉ 𝑆)))
3	1, 2	mpbiran2 711	. 2 ⊢ ( Disj (𝑅 ⋉ 𝑆) ↔ ≀ ◡(𝑅 ⋉ 𝑆) ⊆ I )
4		1cosscnvxrn 38883	. . 3 ⊢ ≀ ◡(𝑅 ⋉ 𝑆) = ( ≀ ◡𝑅 ∩ ≀ ◡𝑆)
5	4	sseq1i 3951	. 2 ⊢ ( ≀ ◡(𝑅 ⋉ 𝑆) ⊆ I ↔ ( ≀ ◡𝑅 ∩ ≀ ◡𝑆) ⊆ I )
6	3, 5	bitri 275	1 ⊢ ( Disj (𝑅 ⋉ 𝑆) ↔ ( ≀ ◡𝑅 ∩ ≀ ◡𝑆) ⊆ I )

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∩ cin 3889   ⊆ wss 3890   I cid 5522  ^◡ccnv 5627  Rel wrel 5633   ⋉ cxrn 38492   ≀ ccoss 38501   Disj wdisjALTV 38537

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pr 5374  ax-un 7686

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3391  df-v 3432  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5523  df-xp 5634  df-rel 5635  df-cnv 5636  df-co 5637  df-dm 5638  df-rn 5639  df-res 5640  df-ima 5641  df-iota 6452  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-fo 6502  df-fv 6504  df-1st 7939  df-2nd 7940  df-ec 8642  df-xrn 38698  df-coss 38819  df-cnvrefrel 38925  df-disjALTV 39108

This theorem is referenced by:  disjorimxrn  39166