Theorem disjxrn 36960

Description: Two ways of saying that a range Cartesian product is disjoint. (Contributed by Peter Mazsa, 17-Jun-2020.) (Revised by Peter Mazsa, 21-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
disjxrn	⊢ ( Disj (𝑅 ⋉ 𝑆) ↔ ( ≀ ◡𝑅 ∩ ≀ ◡𝑆) ⊆ I )

Proof of Theorem disjxrn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrnrel 36587	. . 3 ⊢ Rel (𝑅 ⋉ 𝑆)
2		dfdisjALTV2 36928	. . 3 ⊢ ( Disj (𝑅 ⋉ 𝑆) ↔ ( ≀ ◡(𝑅 ⋉ 𝑆) ⊆ I ∧ Rel (𝑅 ⋉ 𝑆)))
3	1, 2	mpbiran2 708	. 2 ⊢ ( Disj (𝑅 ⋉ 𝑆) ↔ ≀ ◡(𝑅 ⋉ 𝑆) ⊆ I )
4		1cosscnvxrn 36689	. . 3 ⊢ ≀ ◡(𝑅 ⋉ 𝑆) = ( ≀ ◡𝑅 ∩ ≀ ◡𝑆)
5	4	sseq1i 3954	. 2 ⊢ ( ≀ ◡(𝑅 ⋉ 𝑆) ⊆ I ↔ ( ≀ ◡𝑅 ∩ ≀ ◡𝑆) ⊆ I )
6	3, 5	bitri 275	1 ⊢ ( Disj (𝑅 ⋉ 𝑆) ↔ ( ≀ ◡𝑅 ∩ ≀ ◡𝑆) ⊆ I )

Syntax hints:   ↔ wb 205   ∩ cin 3891   ⊆ wss 3892   I cid 5499  ^◡ccnv 5599  Rel wrel 5605   ⋉ cxrn 36380   ≀ ccoss 36381   Disj wdisjALTV 36415

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2707  ax-sep 5232  ax-nul 5239  ax-pr 5361  ax-un 7620

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3333  df-v 3439  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-nul 4263  df-if 4466  df-sn 4566  df-pr 4568  df-op 4572  df-uni 4845  df-br 5082  df-opab 5144  df-mpt 5165  df-id 5500  df-xp 5606  df-rel 5607  df-cnv 5608  df-co 5609  df-dm 5610  df-rn 5611  df-res 5612  df-ima 5613  df-iota 6410  df-fun 6460  df-fn 6461  df-f 6462  df-fo 6464  df-fv 6466  df-1st 7863  df-2nd 7864  df-ec 8531  df-xrn 36585  df-coss 36625  df-cnvrefrel 36741  df-disjALTV 36919

This theorem is referenced by:  disjorimxrn  36962