Theorem disjxrn 39970

Description: Two ways of saying that a range Cartesian product is disjoint. (Contributed by Peter Mazsa, 17-Jun-2020.) (Revised by Peter Mazsa, 21-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
disjxrn	⊢ ( Disj (𝑅 ⋉ 𝑆) ↔ ( ≀ ◡𝑅 ∩ ≀ ◡𝑆) ⊆ I )

Proof of Theorem disjxrn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrnrel 39506	. . 3 ⊢ Rel (𝑅 ⋉ 𝑆)
2		dfdisjALTV2 39923	. . 3 ⊢ ( Disj (𝑅 ⋉ 𝑆) ↔ ( ≀ ◡(𝑅 ⋉ 𝑆) ⊆ I ∧ Rel (𝑅 ⋉ 𝑆)))
3	1, 2	mpbiran2 723	. 2 ⊢ ( Disj (𝑅 ⋉ 𝑆) ↔ ≀ ◡(𝑅 ⋉ 𝑆) ⊆ I )
4		1cosscnvxrn 39689	. . 3 ⊢ ≀ ◡(𝑅 ⋉ 𝑆) = ( ≀ ◡𝑅 ∩ ≀ ◡𝑆)
5	4	sseq1i 3941	. 2 ⊢ ( ≀ ◡(𝑅 ⋉ 𝑆) ⊆ I ↔ ( ≀ ◡𝑅 ∩ ≀ ◡𝑆) ⊆ I )
6	3, 5	bitri 278	1 ⊢ ( Disj (𝑅 ⋉ 𝑆) ↔ ( ≀ ◡𝑅 ∩ ≀ ◡𝑆) ⊆ I )

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   ⊆ wss 3900   ∩ cin 4092   I cid 5549  ^◡ccnv 5654  Rel wrel 5660   ⋉ cxrn 39298   ≀ ccoss 39307   Disj wdisjALTV 39343

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pr 5395  ax-un 7775

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-id 5550  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-fo 6564  df-fv 6566  df-1st 8025  df-2nd 8026  df-ec 8747  df-xrn 39504  df-coss 39625  df-cnvrefrel 39731  df-disjALTV 39914

This theorem is used by:  disjorimxrn  39972