Users' Mathboxes Mathbox for Peter Mazsa < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  disjxrn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem disjxrn 38728
Description: Two ways of saying that a range Cartesian product is disjoint. (Contributed by Peter Mazsa, 17-Jun-2020.) (Revised by Peter Mazsa, 21-Sep-2021.)
Assertion
Ref Expression
disjxrn ( Disj (𝑅𝑆) ↔ ( ≀ 𝑅 ∩ ≀ 𝑆) ⊆ I )

Proof of Theorem disjxrn
StepHypRef Expression
1 xrnrel 38355 . . 3 Rel (𝑅𝑆)
2 dfdisjALTV2 38696 . . 3 ( Disj (𝑅𝑆) ↔ ( ≀ (𝑅𝑆) ⊆ I ∧ Rel (𝑅𝑆)))
31, 2mpbiran2 710 . 2 ( Disj (𝑅𝑆) ↔ ≀ (𝑅𝑆) ⊆ I )
4 1cosscnvxrn 38457 . . 3 (𝑅𝑆) = ( ≀ 𝑅 ∩ ≀ 𝑆)
54sseq1i 4024 . 2 ( ≀ (𝑅𝑆) ⊆ I ↔ ( ≀ 𝑅 ∩ ≀ 𝑆) ⊆ I )
63, 5bitri 275 1 ( Disj (𝑅𝑆) ↔ ( ≀ 𝑅 ∩ ≀ 𝑆) ⊆ I )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 206  cin 3962  wss 3963   I cid 5582  ccnv 5688  Rel wrel 5694  cxrn 38161  ccoss 38162   Disj wdisjALTV 38196
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pr 5438  ax-un 7754
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3434  df-v 3480  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-fo 6569  df-fv 6571  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-ec 8746  df-xrn 38353  df-coss 38393  df-cnvrefrel 38509  df-disjALTV 38687
This theorem is referenced by:  disjorimxrn  38730
  Copyright terms: Public domain W3C validator