Theorem disjxrn 36137

Description: Two ways of saying that a range Cartesian product is disjoint. (Contributed by Peter Mazsa, 17-Jun-2020.) (Revised by Peter Mazsa, 21-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
disjxrn	⊢ ( Disj (𝑅 ⋉ 𝑆) ↔ ( ≀ ◡𝑅 ∩ ≀ ◡𝑆) ⊆ I )

Proof of Theorem disjxrn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrnrel 35785	. . 3 ⊢ Rel (𝑅 ⋉ 𝑆)
2		dfdisjALTV2 36107	. . 3 ⊢ ( Disj (𝑅 ⋉ 𝑆) ↔ ( ≀ ◡(𝑅 ⋉ 𝑆) ⊆ I ∧ Rel (𝑅 ⋉ 𝑆)))
3	1, 2	mpbiran2 709	. 2 ⊢ ( Disj (𝑅 ⋉ 𝑆) ↔ ≀ ◡(𝑅 ⋉ 𝑆) ⊆ I )
4		1cosscnvxrn 35875	. . 3 ⊢ ≀ ◡(𝑅 ⋉ 𝑆) = ( ≀ ◡𝑅 ∩ ≀ ◡𝑆)
5	4	sseq1i 3943	. 2 ⊢ ( ≀ ◡(𝑅 ⋉ 𝑆) ⊆ I ↔ ( ≀ ◡𝑅 ∩ ≀ ◡𝑆) ⊆ I )
6	3, 5	bitri 278	1 ⊢ ( Disj (𝑅 ⋉ 𝑆) ↔ ( ≀ ◡𝑅 ∩ ≀ ◡𝑆) ⊆ I )

Syntax hints:   ↔ wb 209   ∩ cin 3880   ⊆ wss 3881   I cid 5424  ^◡ccnv 5518  Rel wrel 5524   ⋉ cxrn 35612   ≀ ccoss 35613   Disj wdisjALTV 35647

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-ral 3111  df-rex 3112  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-if 4426  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4801  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-id 5425  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-fo 6330  df-fv 6332  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-ec 8274  df-xrn 35783  df-coss 35819  df-cnvrefrel 35925  df-disjALTV 36098

This theorem is referenced by:  disjorimxrn  36138