Theorem disjorimxrn 38785

Description: Disjointness condition for range Cartesian product. (Contributed by Peter Mazsa, 12-Jul-2020.) (Revised by Peter Mazsa, 22-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
disjorimxrn	⊢ (( Disj 𝑅 ∨ Disj 𝑆) → Disj (𝑅 ⋉ 𝑆))

Proof of Theorem disjorimxrn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfdisjALTV2 38751	. . . . 5 ⊢ ( Disj 𝑅 ↔ ( ≀ ◡𝑅 ⊆ I ∧ Rel 𝑅))
2	1	simplbi 497	. . . 4 ⊢ ( Disj 𝑅 → ≀ ◡𝑅 ⊆ I )
3		dfdisjALTV2 38751	. . . . 5 ⊢ ( Disj 𝑆 ↔ ( ≀ ◡𝑆 ⊆ I ∧ Rel 𝑆))
4	3	simplbi 497	. . . 4 ⊢ ( Disj 𝑆 → ≀ ◡𝑆 ⊆ I )
5	2, 4	orim12i 908	. . 3 ⊢ (( Disj 𝑅 ∨ Disj 𝑆) → ( ≀ ◡𝑅 ⊆ I ∨ ≀ ◡𝑆 ⊆ I ))
6		inss 4198	. . 3 ⊢ (( ≀ ◡𝑅 ⊆ I ∨ ≀ ◡𝑆 ⊆ I ) → ( ≀ ◡𝑅 ∩ ≀ ◡𝑆) ⊆ I )
7	5, 6	syl 17	. 2 ⊢ (( Disj 𝑅 ∨ Disj 𝑆) → ( ≀ ◡𝑅 ∩ ≀ ◡𝑆) ⊆ I )
8		disjxrn 38783	. 2 ⊢ ( Disj (𝑅 ⋉ 𝑆) ↔ ( ≀ ◡𝑅 ∩ ≀ ◡𝑆) ⊆ I )
9	7, 8	sylibr 234	1 ⊢ (( Disj 𝑅 ∨ Disj 𝑆) → Disj (𝑅 ⋉ 𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ∨ wo 847   ∩ cin 3901   ⊆ wss 3902   I cid 5510  ^◡ccnv 5615  Rel wrel 5621   ⋉ cxrn 38213   ≀ ccoss 38214   Disj wdisjALTV 38248

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pr 5370  ax-un 7668

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rab 3396  df-v 3438  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4284  df-if 4476  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-id 5511  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-fo 6487  df-fv 6489  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-ec 8624  df-xrn 38398  df-coss 38447  df-cnvrefrel 38563  df-disjALTV 38742

This theorem is referenced by:  disjimxrn  38786