Theorem disjorimxrn 38691

Description: Disjointness condition for range Cartesian product. (Contributed by Peter Mazsa, 12-Jul-2020.) (Revised by Peter Mazsa, 22-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
disjorimxrn	⊢ (( Disj 𝑅 ∨ Disj 𝑆) → Disj (𝑅 ⋉ 𝑆))

Proof of Theorem disjorimxrn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfdisjALTV2 38657	. . . . 5 ⊢ ( Disj 𝑅 ↔ ( ≀ ◡𝑅 ⊆ I ∧ Rel 𝑅))
2	1	simplbi 497	. . . 4 ⊢ ( Disj 𝑅 → ≀ ◡𝑅 ⊆ I )
3		dfdisjALTV2 38657	. . . . 5 ⊢ ( Disj 𝑆 ↔ ( ≀ ◡𝑆 ⊆ I ∧ Rel 𝑆))
4	3	simplbi 497	. . . 4 ⊢ ( Disj 𝑆 → ≀ ◡𝑆 ⊆ I )
5	2, 4	orim12i 907	. . 3 ⊢ (( Disj 𝑅 ∨ Disj 𝑆) → ( ≀ ◡𝑅 ⊆ I ∨ ≀ ◡𝑆 ⊆ I ))
6		inss 4255	. . 3 ⊢ (( ≀ ◡𝑅 ⊆ I ∨ ≀ ◡𝑆 ⊆ I ) → ( ≀ ◡𝑅 ∩ ≀ ◡𝑆) ⊆ I )
7	5, 6	syl 17	. 2 ⊢ (( Disj 𝑅 ∨ Disj 𝑆) → ( ≀ ◡𝑅 ∩ ≀ ◡𝑆) ⊆ I )
8		disjxrn 38689	. 2 ⊢ ( Disj (𝑅 ⋉ 𝑆) ↔ ( ≀ ◡𝑅 ∩ ≀ ◡𝑆) ⊆ I )
9	7, 8	sylibr 234	1 ⊢ (( Disj 𝑅 ∨ Disj 𝑆) → Disj (𝑅 ⋉ 𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ∨ wo 846   ∩ cin 3962   ⊆ wss 3963   I cid 5575  ^◡ccnv 5682  Rel wrel 5688   ⋉ cxrn 38121   ≀ ccoss 38122   Disj wdisjALTV 38156

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2137  ax-11 2153  ax-12 2173  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pr 5430  ax-un 7747

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3an 1087  df-tru 1538  df-fal 1548  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2536  df-eu 2565  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2812  df-nfc 2888  df-ne 2937  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rab 3433  df-v 3479  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4531  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4915  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5576  df-xp 5689  df-rel 5690  df-cnv 5691  df-co 5692  df-dm 5693  df-rn 5694  df-res 5695  df-ima 5696  df-iota 6510  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-fo 6564  df-fv 6566  df-1st 8007  df-2nd 8008  df-ec 8740  df-xrn 38314  df-coss 38354  df-cnvrefrel 38470  df-disjALTV 38648

This theorem is referenced by:  disjimxrn  38692