Theorem disjorimxrn 39497

Description: Disjointness condition for range Cartesian product. (Contributed by Peter Mazsa, 12-Jul-2020.) (Revised by Peter Mazsa, 22-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
disjorimxrn	⊢ (( Disj 𝑅 ∨ Disj 𝑆) → Disj (𝑅 ⋉ 𝑆))

Proof of Theorem disjorimxrn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfdisjALTV2 39448	. . . . 5 ⊢ ( Disj 𝑅 ↔ ( ≀ ◡𝑅 ⊆ I ∧ Rel 𝑅))
2	1	simplbi 501	. . . 4 ⊢ ( Disj 𝑅 → ≀ ◡𝑅 ⊆ I )
3		dfdisjALTV2 39448	. . . . 5 ⊢ ( Disj 𝑆 ↔ ( ≀ ◡𝑆 ⊆ I ∧ Rel 𝑆))
4	3	simplbi 501	. . . 4 ⊢ ( Disj 𝑆 → ≀ ◡𝑆 ⊆ I )
5	2, 4	orim12i 921	. . 3 ⊢ (( Disj 𝑅 ∨ Disj 𝑆) → ( ≀ ◡𝑅 ⊆ I ∨ ≀ ◡𝑆 ⊆ I ))
6		inss 4201	. . 3 ⊢ (( ≀ ◡𝑅 ⊆ I ∨ ≀ ◡𝑆 ⊆ I ) → ( ≀ ◡𝑅 ∩ ≀ ◡𝑆) ⊆ I )
7	5, 6	syl 18	. 2 ⊢ (( Disj 𝑅 ∨ Disj 𝑆) → ( ≀ ◡𝑅 ∩ ≀ ◡𝑆) ⊆ I )
8		disjxrn 39495	. 2 ⊢ ( Disj (𝑅 ⋉ 𝑆) ↔ ( ≀ ◡𝑅 ∩ ≀ ◡𝑆) ⊆ I )
9	7, 8	sylibr 237	1 ⊢ (( Disj 𝑅 ∨ Disj 𝑆) → Disj (𝑅 ⋉ 𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ∨ wo 860   ∩ cin 3904   ⊆ wss 3905   I cid 5555  ^◡ccnv 5660  Rel wrel 5666   ⋉ cxrn 38823   ≀ ccoss 38832   Disj wdisjALTV 38868

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pr 5404  ax-un 7732

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3417  df-v 3457  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4488  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5556  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-fo 6542  df-fv 6544  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-ec 8692  df-xrn 39029  df-coss 39150  df-cnvrefrel 39256  df-disjALTV 39439

This theorem is referenced by:  disjimxrn  39498