Users' Mathboxes Mathbox for Peter Mazsa < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  disjorimxrn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem disjorimxrn 37177
Description: Disjointness condition for range Cartesian product. (Contributed by Peter Mazsa, 12-Jul-2020.) (Revised by Peter Mazsa, 22-Sep-2021.)
Assertion
Ref Expression
disjorimxrn (( Disj 𝑅 ∨ Disj 𝑆) → Disj (𝑅𝑆))

Proof of Theorem disjorimxrn
StepHypRef Expression
1 dfdisjALTV2 37143 . . . . 5 ( Disj 𝑅 ↔ ( ≀ 𝑅 ⊆ I ∧ Rel 𝑅))
21simplbi 498 . . . 4 ( Disj 𝑅 → ≀ 𝑅 ⊆ I )
3 dfdisjALTV2 37143 . . . . 5 ( Disj 𝑆 ↔ ( ≀ 𝑆 ⊆ I ∧ Rel 𝑆))
43simplbi 498 . . . 4 ( Disj 𝑆 → ≀ 𝑆 ⊆ I )
52, 4orim12i 907 . . 3 (( Disj 𝑅 ∨ Disj 𝑆) → ( ≀ 𝑅 ⊆ I ∨ ≀ 𝑆 ⊆ I ))
6 inss 4196 . . 3 (( ≀ 𝑅 ⊆ I ∨ ≀ 𝑆 ⊆ I ) → ( ≀ 𝑅 ∩ ≀ 𝑆) ⊆ I )
75, 6syl 17 . 2 (( Disj 𝑅 ∨ Disj 𝑆) → ( ≀ 𝑅 ∩ ≀ 𝑆) ⊆ I )
8 disjxrn 37175 . 2 ( Disj (𝑅𝑆) ↔ ( ≀ 𝑅 ∩ ≀ 𝑆) ⊆ I )
97, 8sylibr 233 1 (( Disj 𝑅 ∨ Disj 𝑆) → Disj (𝑅𝑆))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wo 845  cin 3907  wss 3908   I cid 5528  ccnv 5630  Rel wrel 5636  cxrn 36600  ccoss 36601   Disj wdisjALTV 36635
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pr 5382  ax-un 7668
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3406  df-v 3445  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4281  df-if 4485  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4864  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-id 5529  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-fo 6499  df-fv 6501  df-1st 7917  df-2nd 7918  df-ec 8646  df-xrn 36800  df-coss 36840  df-cnvrefrel 36956  df-disjALTV 37134
This theorem is referenced by:  disjimxrn  37178
  Copyright terms: Public domain W3C validator