Theorem disjorimxrn 38727

Description: Disjointness condition for range Cartesian product. (Contributed by Peter Mazsa, 12-Jul-2020.) (Revised by Peter Mazsa, 22-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
disjorimxrn	⊢ (( Disj 𝑅 ∨ Disj 𝑆) → Disj (𝑅 ⋉ 𝑆))

Proof of Theorem disjorimxrn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfdisjALTV2 38693	. . . . 5 ⊢ ( Disj 𝑅 ↔ ( ≀ ◡𝑅 ⊆ I ∧ Rel 𝑅))
2	1	simplbi 497	. . . 4 ⊢ ( Disj 𝑅 → ≀ ◡𝑅 ⊆ I )
3		dfdisjALTV2 38693	. . . . 5 ⊢ ( Disj 𝑆 ↔ ( ≀ ◡𝑆 ⊆ I ∧ Rel 𝑆))
4	3	simplbi 497	. . . 4 ⊢ ( Disj 𝑆 → ≀ ◡𝑆 ⊆ I )
5	2, 4	orim12i 909	. . 3 ⊢ (( Disj 𝑅 ∨ Disj 𝑆) → ( ≀ ◡𝑅 ⊆ I ∨ ≀ ◡𝑆 ⊆ I ))
6		inss 4247	. . 3 ⊢ (( ≀ ◡𝑅 ⊆ I ∨ ≀ ◡𝑆 ⊆ I ) → ( ≀ ◡𝑅 ∩ ≀ ◡𝑆) ⊆ I )
7	5, 6	syl 17	. 2 ⊢ (( Disj 𝑅 ∨ Disj 𝑆) → ( ≀ ◡𝑅 ∩ ≀ ◡𝑆) ⊆ I )
8		disjxrn 38725	. 2 ⊢ ( Disj (𝑅 ⋉ 𝑆) ↔ ( ≀ ◡𝑅 ∩ ≀ ◡𝑆) ⊆ I )
9	7, 8	sylibr 234	1 ⊢ (( Disj 𝑅 ∨ Disj 𝑆) → Disj (𝑅 ⋉ 𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ∨ wo 848   ∩ cin 3949   ⊆ wss 3950   I cid 5575  ^◡ccnv 5682  Rel wrel 5688   ⋉ cxrn 38159   ≀ ccoss 38160   Disj wdisjALTV 38194

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5294  ax-nul 5304  ax-pr 5430  ax-un 7751

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rab 3436  df-v 3481  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-nul 4333  df-if 4525  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4906  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5224  df-id 5576  df-xp 5689  df-rel 5690  df-cnv 5691  df-co 5692  df-dm 5693  df-rn 5694  df-res 5695  df-ima 5696  df-iota 6512  df-fun 6561  df-fn 6562  df-f 6563  df-fo 6565  df-fv 6567  df-1st 8010  df-2nd 8011  df-ec 8743  df-xrn 38350  df-coss 38390  df-cnvrefrel 38506  df-disjALTV 38684

This theorem is referenced by:  disjimxrn  38728