MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dff14b Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dff14b 6756
Description: A one-to-one function in terms of different function values for different arguments. (Contributed by Alexander van der Vekens, 26-Jan-2018.)
Assertion
Ref Expression
dff14b (𝐹:𝐴1-1𝐵 ↔ (𝐹:𝐴𝐵 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥})(𝐹𝑥) ≠ (𝐹𝑦)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐹,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem dff14b
StepHypRef Expression
1 dff14a 6755 . 2 (𝐹:𝐴1-1𝐵 ↔ (𝐹:𝐴𝐵 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥𝑦 → (𝐹𝑥) ≠ (𝐹𝑦))))
2 necom 3024 . . . . . . 7 (𝑥𝑦𝑦𝑥)
32imbi1i 341 . . . . . 6 ((𝑥𝑦 → (𝐹𝑥) ≠ (𝐹𝑦)) ↔ (𝑦𝑥 → (𝐹𝑥) ≠ (𝐹𝑦)))
43ralbii 3161 . . . . 5 (∀𝑦𝐴 (𝑥𝑦 → (𝐹𝑥) ≠ (𝐹𝑦)) ↔ ∀𝑦𝐴 (𝑦𝑥 → (𝐹𝑥) ≠ (𝐹𝑦)))
5 raldifsnb 4515 . . . . 5 (∀𝑦𝐴 (𝑦𝑥 → (𝐹𝑥) ≠ (𝐹𝑦)) ↔ ∀𝑦 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥})(𝐹𝑥) ≠ (𝐹𝑦))
64, 5bitri 267 . . . 4 (∀𝑦𝐴 (𝑥𝑦 → (𝐹𝑥) ≠ (𝐹𝑦)) ↔ ∀𝑦 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥})(𝐹𝑥) ≠ (𝐹𝑦))
76ralbii 3161 . . 3 (∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥𝑦 → (𝐹𝑥) ≠ (𝐹𝑦)) ↔ ∀𝑥𝐴𝑦 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥})(𝐹𝑥) ≠ (𝐹𝑦))
87anbi2i 617 . 2 ((𝐹:𝐴𝐵 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥𝑦 → (𝐹𝑥) ≠ (𝐹𝑦))) ↔ (𝐹:𝐴𝐵 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥})(𝐹𝑥) ≠ (𝐹𝑦)))
91, 8bitri 267 1 (𝐹:𝐴1-1𝐵 ↔ (𝐹:𝐴𝐵 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥})(𝐹𝑥) ≠ (𝐹𝑦)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 385  wne 2971  wral 3089  cdif 3766  {csn 4368  wf 6097  1-1wf1 6098  cfv 6101
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pr 5097
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-nul 4116  df-if 4278  df-sn 4369  df-pr 4371  df-op 4375  df-uni 4629  df-br 4844  df-opab 4906  df-id 5220  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fv 6109
This theorem is referenced by:  f12dfv  6757  f13dfv  6758
  Copyright terms: Public domain W3C validator