Theorem dff14b 7271

Description: A one-to-one function in terms of different function values for different arguments. (Contributed by Alexander van der Vekens, 26-Jan-2018.)

Assertion

Ref	Expression
dff14b	⊢ (𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ↔ (𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥})(𝐹‘𝑥) ≠ (𝐹‘𝑦)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐹,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥, 𝑦)

Proof of Theorem dff14b

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dff14a 7270	. 2 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ↔ (𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ≠ 𝑦 → (𝐹‘𝑥) ≠ (𝐹‘𝑦))))
2		necom 3013	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ≠ 𝑦 ↔ 𝑦 ≠ 𝑥)
3	2	imbi1i 352	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ≠ 𝑦 → (𝐹‘𝑥) ≠ (𝐹‘𝑦)) ↔ (𝑦 ≠ 𝑥 → (𝐹‘𝑥) ≠ (𝐹‘𝑦)))
4	3	ralbii 3113	. . . . 5 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ≠ 𝑦 → (𝐹‘𝑥) ≠ (𝐹‘𝑦)) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑦 ≠ 𝑥 → (𝐹‘𝑥) ≠ (𝐹‘𝑦)))
5		raldifsnb 4766	. . . . 5 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑦 ≠ 𝑥 → (𝐹‘𝑥) ≠ (𝐹‘𝑦)) ↔ ∀𝑦 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥})(𝐹‘𝑥) ≠ (𝐹‘𝑦))
6	4, 5	bitri 278	. . . 4 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ≠ 𝑦 → (𝐹‘𝑥) ≠ (𝐹‘𝑦)) ↔ ∀𝑦 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥})(𝐹‘𝑥) ≠ (𝐹‘𝑦))
7	6	ralbii 3113	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ≠ 𝑦 → (𝐹‘𝑥) ≠ (𝐹‘𝑦)) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥})(𝐹‘𝑥) ≠ (𝐹‘𝑦))
8	7	anbi2i 635	. 2 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ≠ 𝑦 → (𝐹‘𝑥) ≠ (𝐹‘𝑦))) ↔ (𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥})(𝐹‘𝑥) ≠ (𝐹‘𝑦)))
9	1, 8	bitri 278	1 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ↔ (𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥})(𝐹‘𝑥) ≠ (𝐹‘𝑦)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ≠ wne 2960  ∀wral 3081   ∖ cdif 3903  {csn 4591  ⟶wf 6536  –1-1→wf1 6537  ‘cfv 6540

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pr 5406

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rab 3419  df-v 3459  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4287  df-if 4490  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-br 5112  df-opab 5176  df-id 5558  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fv 6548

This theorem is used by:  f12dfv  7277  f13dfv  7278