MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dff14b Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dff14b 7215
Description: A one-to-one function in terms of different function values for different arguments. (Contributed by Alexander van der Vekens, 26-Jan-2018.)
Assertion
Ref Expression
dff14b (𝐹:𝐴1-1𝐵 ↔ (𝐹:𝐴𝐵 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥})(𝐹𝑥) ≠ (𝐹𝑦)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐹,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem dff14b
StepHypRef Expression
1 dff14a 7214 . 2 (𝐹:𝐴1-1𝐵 ↔ (𝐹:𝐴𝐵 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥𝑦 → (𝐹𝑥) ≠ (𝐹𝑦))))
2 necom 2996 . . . . . . 7 (𝑥𝑦𝑦𝑥)
32imbi1i 349 . . . . . 6 ((𝑥𝑦 → (𝐹𝑥) ≠ (𝐹𝑦)) ↔ (𝑦𝑥 → (𝐹𝑥) ≠ (𝐹𝑦)))
43ralbii 3095 . . . . 5 (∀𝑦𝐴 (𝑥𝑦 → (𝐹𝑥) ≠ (𝐹𝑦)) ↔ ∀𝑦𝐴 (𝑦𝑥 → (𝐹𝑥) ≠ (𝐹𝑦)))
5 raldifsnb 4755 . . . . 5 (∀𝑦𝐴 (𝑦𝑥 → (𝐹𝑥) ≠ (𝐹𝑦)) ↔ ∀𝑦 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥})(𝐹𝑥) ≠ (𝐹𝑦))
64, 5bitri 274 . . . 4 (∀𝑦𝐴 (𝑥𝑦 → (𝐹𝑥) ≠ (𝐹𝑦)) ↔ ∀𝑦 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥})(𝐹𝑥) ≠ (𝐹𝑦))
76ralbii 3095 . . 3 (∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥𝑦 → (𝐹𝑥) ≠ (𝐹𝑦)) ↔ ∀𝑥𝐴𝑦 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥})(𝐹𝑥) ≠ (𝐹𝑦))
87anbi2i 623 . 2 ((𝐹:𝐴𝐵 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥𝑦 → (𝐹𝑥) ≠ (𝐹𝑦))) ↔ (𝐹:𝐴𝐵 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥})(𝐹𝑥) ≠ (𝐹𝑦)))
91, 8bitri 274 1 (𝐹:𝐴1-1𝐵 ↔ (𝐹:𝐴𝐵 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥})(𝐹𝑥) ≠ (𝐹𝑦)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  wne 2942  wral 3063  cdif 3906  {csn 4585  wf 6490  1-1wf1 6491  cfv 6494
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5255  ax-nul 5262  ax-pr 5383
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3064  df-rex 3073  df-rab 3407  df-v 3446  df-dif 3912  df-un 3914  df-in 3916  df-ss 3926  df-nul 4282  df-if 4486  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4865  df-br 5105  df-opab 5167  df-id 5530  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-iota 6446  df-fun 6496  df-fn 6497  df-f 6498  df-f1 6499  df-fv 6502
This theorem is referenced by:  f12dfv  7216  f13dfv  7217
  Copyright terms: Public domain W3C validator