MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dff14b Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dff14b 7011
Description: A one-to-one function in terms of different function values for different arguments. (Contributed by Alexander van der Vekens, 26-Jan-2018.)
Assertion
Ref Expression
dff14b (𝐹:𝐴1-1𝐵 ↔ (𝐹:𝐴𝐵 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥})(𝐹𝑥) ≠ (𝐹𝑦)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐹,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem dff14b
StepHypRef Expression
1 dff14a 7010 . 2 (𝐹:𝐴1-1𝐵 ↔ (𝐹:𝐴𝐵 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥𝑦 → (𝐹𝑥) ≠ (𝐹𝑦))))
2 necom 3043 . . . . . . 7 (𝑥𝑦𝑦𝑥)
32imbi1i 353 . . . . . 6 ((𝑥𝑦 → (𝐹𝑥) ≠ (𝐹𝑦)) ↔ (𝑦𝑥 → (𝐹𝑥) ≠ (𝐹𝑦)))
43ralbii 3136 . . . . 5 (∀𝑦𝐴 (𝑥𝑦 → (𝐹𝑥) ≠ (𝐹𝑦)) ↔ ∀𝑦𝐴 (𝑦𝑥 → (𝐹𝑥) ≠ (𝐹𝑦)))
5 raldifsnb 4692 . . . . 5 (∀𝑦𝐴 (𝑦𝑥 → (𝐹𝑥) ≠ (𝐹𝑦)) ↔ ∀𝑦 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥})(𝐹𝑥) ≠ (𝐹𝑦))
64, 5bitri 278 . . . 4 (∀𝑦𝐴 (𝑥𝑦 → (𝐹𝑥) ≠ (𝐹𝑦)) ↔ ∀𝑦 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥})(𝐹𝑥) ≠ (𝐹𝑦))
76ralbii 3136 . . 3 (∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥𝑦 → (𝐹𝑥) ≠ (𝐹𝑦)) ↔ ∀𝑥𝐴𝑦 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥})(𝐹𝑥) ≠ (𝐹𝑦))
87anbi2i 625 . 2 ((𝐹:𝐴𝐵 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥𝑦 → (𝐹𝑥) ≠ (𝐹𝑦))) ↔ (𝐹:𝐴𝐵 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥})(𝐹𝑥) ≠ (𝐹𝑦)))
91, 8bitri 278 1 (𝐹:𝐴1-1𝐵 ↔ (𝐹:𝐴𝐵 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥})(𝐹𝑥) ≠ (𝐹𝑦)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399  wne 2990  wral 3109  cdif 3881  {csn 4528  wf 6324  1-1wf1 6325  cfv 6328
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pr 5298
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-v 3446  df-sbc 3724  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-nul 4247  df-if 4429  df-sn 4529  df-pr 4531  df-op 4535  df-uni 4804  df-br 5034  df-opab 5096  df-id 5428  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fv 6336
This theorem is referenced by:  f12dfv  7012  f13dfv  7013
  Copyright terms: Public domain W3C validator