Theorem dff14a 7245

Description: A one-to-one function in terms of different function values for different arguments. (Contributed by Alexander van der Vekens, 26-Jan-2018.)

Assertion

Ref	Expression
dff14a	⊢ (𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ↔ (𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ≠ 𝑦 → (𝐹‘𝑥) ≠ (𝐹‘𝑦))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐹,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem dff14a

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dff13 7229	. 2 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ↔ (𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ((𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦) → 𝑥 = 𝑦)))
2		con34b 316	. . . . 5 ⊢ (((𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦) → 𝑥 = 𝑦) ↔ (¬ 𝑥 = 𝑦 → ¬ (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦)))
3		df-ne 2926	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ≠ 𝑦 ↔ ¬ 𝑥 = 𝑦)
4	3	bicomi 224	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝑥 = 𝑦 ↔ 𝑥 ≠ 𝑦)
5		df-ne 2926	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹‘𝑥) ≠ (𝐹‘𝑦) ↔ ¬ (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦))
6	5	bicomi 224	. . . . . 6 ⊢ (¬ (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦) ↔ (𝐹‘𝑥) ≠ (𝐹‘𝑦))
7	4, 6	imbi12i 350	. . . . 5 ⊢ ((¬ 𝑥 = 𝑦 → ¬ (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦)) ↔ (𝑥 ≠ 𝑦 → (𝐹‘𝑥) ≠ (𝐹‘𝑦)))
8	2, 7	bitri 275	. . . 4 ⊢ (((𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦) → 𝑥 = 𝑦) ↔ (𝑥 ≠ 𝑦 → (𝐹‘𝑥) ≠ (𝐹‘𝑦)))
9	8	2ralbii 3108	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ((𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦) → 𝑥 = 𝑦) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ≠ 𝑦 → (𝐹‘𝑥) ≠ (𝐹‘𝑦)))
10	9	anbi2i 623	. 2 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ((𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦) → 𝑥 = 𝑦)) ↔ (𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ≠ 𝑦 → (𝐹‘𝑥) ≠ (𝐹‘𝑦))))
11	1, 10	bitri 275	1 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ↔ (𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ≠ 𝑦 → (𝐹‘𝑥) ≠ (𝐹‘𝑦))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ≠ wne 2925  ∀wral 3044  ⟶wf 6507  –1-1→wf1 6508  ‘cfv 6511

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pr 5387

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3406  df-v 3449  df-dif 3917  df-un 3919  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-br 5108  df-opab 5170  df-id 5533  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fv 6519

This theorem is referenced by:  dff14b  7246  f1ounsn  7247  resf1extb  7910  pthdlem1  29696  fldhmf1  42078  nnfoctbdjlem  46453  isubgr3stgrlem4  47968