MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dff14a Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dff14a 7262
Description: A one-to-one function in terms of different function values for different arguments. (Contributed by Alexander van der Vekens, 26-Jan-2018.)
Assertion
Ref Expression
dff14a (𝐹:𝐴1-1𝐵 ↔ (𝐹:𝐴𝐵 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥𝑦 → (𝐹𝑥) ≠ (𝐹𝑦))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐹,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem dff14a
StepHypRef Expression
1 dff13 7247 . 2 (𝐹:𝐴1-1𝐵 ↔ (𝐹:𝐴𝐵 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 ((𝐹𝑥) = (𝐹𝑦) → 𝑥 = 𝑦)))
2 con34b 316 . . . . 5 (((𝐹𝑥) = (𝐹𝑦) → 𝑥 = 𝑦) ↔ (¬ 𝑥 = 𝑦 → ¬ (𝐹𝑥) = (𝐹𝑦)))
3 df-ne 2933 . . . . . . 7 (𝑥𝑦 ↔ ¬ 𝑥 = 𝑦)
43bicomi 223 . . . . . 6 𝑥 = 𝑦𝑥𝑦)
5 df-ne 2933 . . . . . . 7 ((𝐹𝑥) ≠ (𝐹𝑦) ↔ ¬ (𝐹𝑥) = (𝐹𝑦))
65bicomi 223 . . . . . 6 (¬ (𝐹𝑥) = (𝐹𝑦) ↔ (𝐹𝑥) ≠ (𝐹𝑦))
74, 6imbi12i 350 . . . . 5 ((¬ 𝑥 = 𝑦 → ¬ (𝐹𝑥) = (𝐹𝑦)) ↔ (𝑥𝑦 → (𝐹𝑥) ≠ (𝐹𝑦)))
82, 7bitri 275 . . . 4 (((𝐹𝑥) = (𝐹𝑦) → 𝑥 = 𝑦) ↔ (𝑥𝑦 → (𝐹𝑥) ≠ (𝐹𝑦)))
982ralbii 3120 . . 3 (∀𝑥𝐴𝑦𝐴 ((𝐹𝑥) = (𝐹𝑦) → 𝑥 = 𝑦) ↔ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥𝑦 → (𝐹𝑥) ≠ (𝐹𝑦)))
109anbi2i 622 . 2 ((𝐹:𝐴𝐵 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 ((𝐹𝑥) = (𝐹𝑦) → 𝑥 = 𝑦)) ↔ (𝐹:𝐴𝐵 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥𝑦 → (𝐹𝑥) ≠ (𝐹𝑦))))
111, 10bitri 275 1 (𝐹:𝐴1-1𝐵 ↔ (𝐹:𝐴𝐵 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥𝑦 → (𝐹𝑥) ≠ (𝐹𝑦))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 395   = wceq 1533  wne 2932  wral 3053  wf 6530  1-1wf1 6531  cfv 6534
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pr 5418
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-ne 2933  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rab 3425  df-v 3468  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-nul 4316  df-if 4522  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-br 5140  df-opab 5202  df-id 5565  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fv 6542
This theorem is referenced by:  dff14b  7263  pthdlem1  29518  fldhmf1  41462  nnfoctbdjlem  45717
  Copyright terms: Public domain W3C validator