Theorem dff14a 7216

Description: A one-to-one function in terms of different function values for different arguments. (Contributed by Alexander van der Vekens, 26-Jan-2018.)

Assertion

Ref	Expression
dff14a	⊢ (𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ↔ (𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ≠ 𝑦 → (𝐹‘𝑥) ≠ (𝐹‘𝑦))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐹,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem dff14a

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dff13 7200	. 2 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ↔ (𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ((𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦) → 𝑥 = 𝑦)))
2		con34b 316	. . . . 5 ⊢ (((𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦) → 𝑥 = 𝑦) ↔ (¬ 𝑥 = 𝑦 → ¬ (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦)))
3		df-ne 2933	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ≠ 𝑦 ↔ ¬ 𝑥 = 𝑦)
4	3	bicomi 224	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝑥 = 𝑦 ↔ 𝑥 ≠ 𝑦)
5		df-ne 2933	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹‘𝑥) ≠ (𝐹‘𝑦) ↔ ¬ (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦))
6	5	bicomi 224	. . . . . 6 ⊢ (¬ (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦) ↔ (𝐹‘𝑥) ≠ (𝐹‘𝑦))
7	4, 6	imbi12i 350	. . . . 5 ⊢ ((¬ 𝑥 = 𝑦 → ¬ (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦)) ↔ (𝑥 ≠ 𝑦 → (𝐹‘𝑥) ≠ (𝐹‘𝑦)))
8	2, 7	bitri 275	. . . 4 ⊢ (((𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦) → 𝑥 = 𝑦) ↔ (𝑥 ≠ 𝑦 → (𝐹‘𝑥) ≠ (𝐹‘𝑦)))
9	8	2ralbii 3111	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ((𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦) → 𝑥 = 𝑦) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ≠ 𝑦 → (𝐹‘𝑥) ≠ (𝐹‘𝑦)))
10	9	anbi2i 623	. 2 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ((𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦) → 𝑥 = 𝑦)) ↔ (𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ≠ 𝑦 → (𝐹‘𝑥) ≠ (𝐹‘𝑦))))
11	1, 10	bitri 275	1 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ↔ (𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ≠ 𝑦 → (𝐹‘𝑥) ≠ (𝐹‘𝑦))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ≠ wne 2932  ∀wral 3051  ⟶wf 6488  –1-1→wf1 6489  ‘cfv 6492

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pr 5377

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3400  df-v 3442  df-dif 3904  df-un 3906  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-br 5099  df-opab 5161  df-id 5519  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fv 6500

This theorem is referenced by:  dff14b  7217  f1ounsn  7218  resf1extb  7876  pthdlem1  29839  fldhmf1  42340  nnfoctbdjlem  46695  isubgr3stgrlem4  48211