Theorem dff14a 7290

Description: A one-to-one function in terms of different function values for different arguments. (Contributed by Alexander van der Vekens, 26-Jan-2018.)

Assertion

Ref	Expression
dff14a	⊢ (𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ↔ (𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ≠ 𝑦 → (𝐹‘𝑥) ≠ (𝐹‘𝑦))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐹,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem dff14a

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dff13 7275	. 2 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ↔ (𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ((𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦) → 𝑥 = 𝑦)))
2		con34b 316	. . . . 5 ⊢ (((𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦) → 𝑥 = 𝑦) ↔ (¬ 𝑥 = 𝑦 → ¬ (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦)))
3		df-ne 2941	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ≠ 𝑦 ↔ ¬ 𝑥 = 𝑦)
4	3	bicomi 224	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝑥 = 𝑦 ↔ 𝑥 ≠ 𝑦)
5		df-ne 2941	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹‘𝑥) ≠ (𝐹‘𝑦) ↔ ¬ (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦))
6	5	bicomi 224	. . . . . 6 ⊢ (¬ (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦) ↔ (𝐹‘𝑥) ≠ (𝐹‘𝑦))
7	4, 6	imbi12i 350	. . . . 5 ⊢ ((¬ 𝑥 = 𝑦 → ¬ (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦)) ↔ (𝑥 ≠ 𝑦 → (𝐹‘𝑥) ≠ (𝐹‘𝑦)))
8	2, 7	bitri 275	. . . 4 ⊢ (((𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦) → 𝑥 = 𝑦) ↔ (𝑥 ≠ 𝑦 → (𝐹‘𝑥) ≠ (𝐹‘𝑦)))
9	8	2ralbii 3128	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ((𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦) → 𝑥 = 𝑦) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ≠ 𝑦 → (𝐹‘𝑥) ≠ (𝐹‘𝑦)))
10	9	anbi2i 623	. 2 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ((𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦) → 𝑥 = 𝑦)) ↔ (𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ≠ 𝑦 → (𝐹‘𝑥) ≠ (𝐹‘𝑦))))
11	1, 10	bitri 275	1 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ↔ (𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ≠ 𝑦 → (𝐹‘𝑥) ≠ (𝐹‘𝑦))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ≠ wne 2940  ∀wral 3061  ⟶wf 6557  –1-1→wf1 6558  ‘cfv 6561

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pr 5432

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3437  df-v 3482  df-dif 3954  df-un 3956  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-id 5578  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fv 6569

This theorem is referenced by:  dff14b  7291  f1ounsn  7292  resf1extb  7956  pthdlem1  29786  fldhmf1  42091  nnfoctbdjlem  46470  isubgr3stgrlem4  47936