Theorem f12dfv 7293

Description: A one-to-one function with a domain with at least two different elements in terms of function values. (Contributed by Alexander van der Vekens, 2-Mar-2018.)

Hypothesis

Ref	Expression
f12dfv.a	⊢ 𝐴 = {𝑋, 𝑌}

Assertion

Ref	Expression
f12dfv	⊢ (((𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → (𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ↔ (𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ (𝐹‘𝑋) ≠ (𝐹‘𝑌))))

Proof of Theorem f12dfv

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dff14b 7291	. 2 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ↔ (𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥})(𝐹‘𝑥) ≠ (𝐹‘𝑦)))
2		f12dfv.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = {𝑋, 𝑌}
3	2	raleqi 3324	. . . 4 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥})(𝐹‘𝑥) ≠ (𝐹‘𝑦) ↔ ∀𝑥 ∈ {𝑋, 𝑌}∀𝑦 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥})(𝐹‘𝑥) ≠ (𝐹‘𝑦))
4		sneq 4636	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → {𝑥} = {𝑋})
5	4	difeq2d 4126	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝐴 ∖ {𝑥}) = (𝐴 ∖ {𝑋}))
6		fveq2 6906	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑋))
7	6	neeq1d 3000	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → ((𝐹‘𝑥) ≠ (𝐹‘𝑦) ↔ (𝐹‘𝑋) ≠ (𝐹‘𝑦)))
8	5, 7	raleqbidv 3346	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (∀𝑦 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥})(𝐹‘𝑥) ≠ (𝐹‘𝑦) ↔ ∀𝑦 ∈ (𝐴 ∖ {𝑋})(𝐹‘𝑋) ≠ (𝐹‘𝑦)))
9		sneq 4636	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑌 → {𝑥} = {𝑌})
10	9	difeq2d 4126	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑌 → (𝐴 ∖ {𝑥}) = (𝐴 ∖ {𝑌}))
11		fveq2 6906	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑌 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑌))
12	11	neeq1d 3000	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑌 → ((𝐹‘𝑥) ≠ (𝐹‘𝑦) ↔ (𝐹‘𝑌) ≠ (𝐹‘𝑦)))
13	10, 12	raleqbidv 3346	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑌 → (∀𝑦 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥})(𝐹‘𝑥) ≠ (𝐹‘𝑦) ↔ ∀𝑦 ∈ (𝐴 ∖ {𝑌})(𝐹‘𝑌) ≠ (𝐹‘𝑦)))
14	8, 13	ralprg 4696	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (∀𝑥 ∈ {𝑋, 𝑌}∀𝑦 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥})(𝐹‘𝑥) ≠ (𝐹‘𝑦) ↔ (∀𝑦 ∈ (𝐴 ∖ {𝑋})(𝐹‘𝑋) ≠ (𝐹‘𝑦) ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴 ∖ {𝑌})(𝐹‘𝑌) ≠ (𝐹‘𝑦))))
15	14	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → (∀𝑥 ∈ {𝑋, 𝑌}∀𝑦 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥})(𝐹‘𝑥) ≠ (𝐹‘𝑦) ↔ (∀𝑦 ∈ (𝐴 ∖ {𝑋})(𝐹‘𝑋) ≠ (𝐹‘𝑦) ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴 ∖ {𝑌})(𝐹‘𝑌) ≠ (𝐹‘𝑦))))
16	2	difeq1i 4122	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∖ {𝑋}) = ({𝑋, 𝑌} ∖ {𝑋})
17		difprsn1 4800	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑋 ≠ 𝑌 → ({𝑋, 𝑌} ∖ {𝑋}) = {𝑌})
18	16, 17	eqtrid 2789	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑋 ≠ 𝑌 → (𝐴 ∖ {𝑋}) = {𝑌})
19	18	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → (𝐴 ∖ {𝑋}) = {𝑌})
20	19	raleqdv 3326	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → (∀𝑦 ∈ (𝐴 ∖ {𝑋})(𝐹‘𝑋) ≠ (𝐹‘𝑦) ↔ ∀𝑦 ∈ {𝑌} (𝐹‘𝑋) ≠ (𝐹‘𝑦)))
21		fveq2 6906	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → (𝐹‘𝑦) = (𝐹‘𝑌))
22	21	neeq2d 3001	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → ((𝐹‘𝑋) ≠ (𝐹‘𝑦) ↔ (𝐹‘𝑋) ≠ (𝐹‘𝑌)))
23	22	ralsng 4675	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑌 ∈ 𝑉 → (∀𝑦 ∈ {𝑌} (𝐹‘𝑋) ≠ (𝐹‘𝑦) ↔ (𝐹‘𝑋) ≠ (𝐹‘𝑌)))
24	23	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (∀𝑦 ∈ {𝑌} (𝐹‘𝑋) ≠ (𝐹‘𝑦) ↔ (𝐹‘𝑋) ≠ (𝐹‘𝑌)))
25	24	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → (∀𝑦 ∈ {𝑌} (𝐹‘𝑋) ≠ (𝐹‘𝑦) ↔ (𝐹‘𝑋) ≠ (𝐹‘𝑌)))
26	20, 25	bitrd 279	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → (∀𝑦 ∈ (𝐴 ∖ {𝑋})(𝐹‘𝑋) ≠ (𝐹‘𝑦) ↔ (𝐹‘𝑋) ≠ (𝐹‘𝑌)))
27	2	difeq1i 4122	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∖ {𝑌}) = ({𝑋, 𝑌} ∖ {𝑌})
28		difprsn2 4801	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑋 ≠ 𝑌 → ({𝑋, 𝑌} ∖ {𝑌}) = {𝑋})
29	27, 28	eqtrid 2789	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑋 ≠ 𝑌 → (𝐴 ∖ {𝑌}) = {𝑋})
30	29	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → (𝐴 ∖ {𝑌}) = {𝑋})
31	30	raleqdv 3326	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → (∀𝑦 ∈ (𝐴 ∖ {𝑌})(𝐹‘𝑌) ≠ (𝐹‘𝑦) ↔ ∀𝑦 ∈ {𝑋} (𝐹‘𝑌) ≠ (𝐹‘𝑦)))
32		fveq2 6906	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = 𝑋 → (𝐹‘𝑦) = (𝐹‘𝑋))
33	32	neeq2d 3001	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = 𝑋 → ((𝐹‘𝑌) ≠ (𝐹‘𝑦) ↔ (𝐹‘𝑌) ≠ (𝐹‘𝑋)))
34	33	ralsng 4675	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑈 → (∀𝑦 ∈ {𝑋} (𝐹‘𝑌) ≠ (𝐹‘𝑦) ↔ (𝐹‘𝑌) ≠ (𝐹‘𝑋)))
35	34	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (∀𝑦 ∈ {𝑋} (𝐹‘𝑌) ≠ (𝐹‘𝑦) ↔ (𝐹‘𝑌) ≠ (𝐹‘𝑋)))
36	35	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → (∀𝑦 ∈ {𝑋} (𝐹‘𝑌) ≠ (𝐹‘𝑦) ↔ (𝐹‘𝑌) ≠ (𝐹‘𝑋)))
37	31, 36	bitrd 279	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → (∀𝑦 ∈ (𝐴 ∖ {𝑌})(𝐹‘𝑌) ≠ (𝐹‘𝑦) ↔ (𝐹‘𝑌) ≠ (𝐹‘𝑋)))
38	26, 37	anbi12d 632	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → ((∀𝑦 ∈ (𝐴 ∖ {𝑋})(𝐹‘𝑋) ≠ (𝐹‘𝑦) ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴 ∖ {𝑌})(𝐹‘𝑌) ≠ (𝐹‘𝑦)) ↔ ((𝐹‘𝑋) ≠ (𝐹‘𝑌) ∧ (𝐹‘𝑌) ≠ (𝐹‘𝑋))))
39		necom 2994	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹‘𝑋) ≠ (𝐹‘𝑌) ↔ (𝐹‘𝑌) ≠ (𝐹‘𝑋))
40	39	biimpi 216	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹‘𝑋) ≠ (𝐹‘𝑌) → (𝐹‘𝑌) ≠ (𝐹‘𝑋))
41	40	pm4.71i 559	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹‘𝑋) ≠ (𝐹‘𝑌) ↔ ((𝐹‘𝑋) ≠ (𝐹‘𝑌) ∧ (𝐹‘𝑌) ≠ (𝐹‘𝑋)))
42	38, 41	bitr4di 289	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → ((∀𝑦 ∈ (𝐴 ∖ {𝑋})(𝐹‘𝑋) ≠ (𝐹‘𝑦) ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴 ∖ {𝑌})(𝐹‘𝑌) ≠ (𝐹‘𝑦)) ↔ (𝐹‘𝑋) ≠ (𝐹‘𝑌)))
43	15, 42	bitrd 279	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → (∀𝑥 ∈ {𝑋, 𝑌}∀𝑦 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥})(𝐹‘𝑥) ≠ (𝐹‘𝑦) ↔ (𝐹‘𝑋) ≠ (𝐹‘𝑌)))
44	3, 43	bitrid 283	. . 3 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥})(𝐹‘𝑥) ≠ (𝐹‘𝑦) ↔ (𝐹‘𝑋) ≠ (𝐹‘𝑌)))
45	44	anbi2d 630	. 2 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥})(𝐹‘𝑥) ≠ (𝐹‘𝑦)) ↔ (𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ (𝐹‘𝑋) ≠ (𝐹‘𝑌))))
46	1, 45	bitrid 283	1 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → (𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ↔ (𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ (𝐹‘𝑋) ≠ (𝐹‘𝑌))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2940  ∀wral 3061   ∖ cdif 3948  {csn 4626  {cpr 4628  ⟶wf 6557  –1-1→wf1 6558  ‘cfv 6561

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pr 5432

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3437  df-v 3482  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-id 5578  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fv 6569

This theorem is referenced by:  usgr2trlncl  29780