Theorem f12dfv 7267

Description: A one-to-one function with a domain with at least two different elements in terms of function values. (Contributed by Alexander van der Vekens, 2-Mar-2018.)

Hypothesis

Ref	Expression
f12dfv.a	⊢ 𝐴 = {𝑋, 𝑌}

Assertion

Ref	Expression
f12dfv	⊢ (((𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → (𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ↔ (𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ (𝐹‘𝑋) ≠ (𝐹‘𝑌))))

Proof of Theorem f12dfv

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dff14b 7266	. 2 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ↔ (𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥})(𝐹‘𝑥) ≠ (𝐹‘𝑦)))
2		f12dfv.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = {𝑋, 𝑌}
3	2	raleqi 3323	. . . 4 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥})(𝐹‘𝑥) ≠ (𝐹‘𝑦) ↔ ∀𝑥 ∈ {𝑋, 𝑌}∀𝑦 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥})(𝐹‘𝑥) ≠ (𝐹‘𝑦))
4		sneq 4637	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → {𝑥} = {𝑋})
5	4	difeq2d 4121	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝐴 ∖ {𝑥}) = (𝐴 ∖ {𝑋}))
6		fveq2 6888	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑋))
7	6	neeq1d 3000	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → ((𝐹‘𝑥) ≠ (𝐹‘𝑦) ↔ (𝐹‘𝑋) ≠ (𝐹‘𝑦)))
8	5, 7	raleqbidv 3342	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (∀𝑦 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥})(𝐹‘𝑥) ≠ (𝐹‘𝑦) ↔ ∀𝑦 ∈ (𝐴 ∖ {𝑋})(𝐹‘𝑋) ≠ (𝐹‘𝑦)))
9		sneq 4637	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑌 → {𝑥} = {𝑌})
10	9	difeq2d 4121	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑌 → (𝐴 ∖ {𝑥}) = (𝐴 ∖ {𝑌}))
11		fveq2 6888	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑌 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑌))
12	11	neeq1d 3000	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑌 → ((𝐹‘𝑥) ≠ (𝐹‘𝑦) ↔ (𝐹‘𝑌) ≠ (𝐹‘𝑦)))
13	10, 12	raleqbidv 3342	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑌 → (∀𝑦 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥})(𝐹‘𝑥) ≠ (𝐹‘𝑦) ↔ ∀𝑦 ∈ (𝐴 ∖ {𝑌})(𝐹‘𝑌) ≠ (𝐹‘𝑦)))
14	8, 13	ralprg 4697	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (∀𝑥 ∈ {𝑋, 𝑌}∀𝑦 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥})(𝐹‘𝑥) ≠ (𝐹‘𝑦) ↔ (∀𝑦 ∈ (𝐴 ∖ {𝑋})(𝐹‘𝑋) ≠ (𝐹‘𝑦) ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴 ∖ {𝑌})(𝐹‘𝑌) ≠ (𝐹‘𝑦))))
15	14	adantr 481	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → (∀𝑥 ∈ {𝑋, 𝑌}∀𝑦 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥})(𝐹‘𝑥) ≠ (𝐹‘𝑦) ↔ (∀𝑦 ∈ (𝐴 ∖ {𝑋})(𝐹‘𝑋) ≠ (𝐹‘𝑦) ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴 ∖ {𝑌})(𝐹‘𝑌) ≠ (𝐹‘𝑦))))
16	2	difeq1i 4117	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∖ {𝑋}) = ({𝑋, 𝑌} ∖ {𝑋})
17		difprsn1 4802	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑋 ≠ 𝑌 → ({𝑋, 𝑌} ∖ {𝑋}) = {𝑌})
18	16, 17	eqtrid 2784	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑋 ≠ 𝑌 → (𝐴 ∖ {𝑋}) = {𝑌})
19	18	adantl 482	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → (𝐴 ∖ {𝑋}) = {𝑌})
20	19	raleqdv 3325	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → (∀𝑦 ∈ (𝐴 ∖ {𝑋})(𝐹‘𝑋) ≠ (𝐹‘𝑦) ↔ ∀𝑦 ∈ {𝑌} (𝐹‘𝑋) ≠ (𝐹‘𝑦)))
21		fveq2 6888	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → (𝐹‘𝑦) = (𝐹‘𝑌))
22	21	neeq2d 3001	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → ((𝐹‘𝑋) ≠ (𝐹‘𝑦) ↔ (𝐹‘𝑋) ≠ (𝐹‘𝑌)))
23	22	ralsng 4676	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑌 ∈ 𝑉 → (∀𝑦 ∈ {𝑌} (𝐹‘𝑋) ≠ (𝐹‘𝑦) ↔ (𝐹‘𝑋) ≠ (𝐹‘𝑌)))
24	23	adantl 482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (∀𝑦 ∈ {𝑌} (𝐹‘𝑋) ≠ (𝐹‘𝑦) ↔ (𝐹‘𝑋) ≠ (𝐹‘𝑌)))
25	24	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → (∀𝑦 ∈ {𝑌} (𝐹‘𝑋) ≠ (𝐹‘𝑦) ↔ (𝐹‘𝑋) ≠ (𝐹‘𝑌)))
26	20, 25	bitrd 278	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → (∀𝑦 ∈ (𝐴 ∖ {𝑋})(𝐹‘𝑋) ≠ (𝐹‘𝑦) ↔ (𝐹‘𝑋) ≠ (𝐹‘𝑌)))
27	2	difeq1i 4117	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∖ {𝑌}) = ({𝑋, 𝑌} ∖ {𝑌})
28		difprsn2 4803	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑋 ≠ 𝑌 → ({𝑋, 𝑌} ∖ {𝑌}) = {𝑋})
29	27, 28	eqtrid 2784	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑋 ≠ 𝑌 → (𝐴 ∖ {𝑌}) = {𝑋})
30	29	adantl 482	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → (𝐴 ∖ {𝑌}) = {𝑋})
31	30	raleqdv 3325	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → (∀𝑦 ∈ (𝐴 ∖ {𝑌})(𝐹‘𝑌) ≠ (𝐹‘𝑦) ↔ ∀𝑦 ∈ {𝑋} (𝐹‘𝑌) ≠ (𝐹‘𝑦)))
32		fveq2 6888	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = 𝑋 → (𝐹‘𝑦) = (𝐹‘𝑋))
33	32	neeq2d 3001	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = 𝑋 → ((𝐹‘𝑌) ≠ (𝐹‘𝑦) ↔ (𝐹‘𝑌) ≠ (𝐹‘𝑋)))
34	33	ralsng 4676	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑈 → (∀𝑦 ∈ {𝑋} (𝐹‘𝑌) ≠ (𝐹‘𝑦) ↔ (𝐹‘𝑌) ≠ (𝐹‘𝑋)))
35	34	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (∀𝑦 ∈ {𝑋} (𝐹‘𝑌) ≠ (𝐹‘𝑦) ↔ (𝐹‘𝑌) ≠ (𝐹‘𝑋)))
36	35	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → (∀𝑦 ∈ {𝑋} (𝐹‘𝑌) ≠ (𝐹‘𝑦) ↔ (𝐹‘𝑌) ≠ (𝐹‘𝑋)))
37	31, 36	bitrd 278	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → (∀𝑦 ∈ (𝐴 ∖ {𝑌})(𝐹‘𝑌) ≠ (𝐹‘𝑦) ↔ (𝐹‘𝑌) ≠ (𝐹‘𝑋)))
38	26, 37	anbi12d 631	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → ((∀𝑦 ∈ (𝐴 ∖ {𝑋})(𝐹‘𝑋) ≠ (𝐹‘𝑦) ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴 ∖ {𝑌})(𝐹‘𝑌) ≠ (𝐹‘𝑦)) ↔ ((𝐹‘𝑋) ≠ (𝐹‘𝑌) ∧ (𝐹‘𝑌) ≠ (𝐹‘𝑋))))
39		necom 2994	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹‘𝑋) ≠ (𝐹‘𝑌) ↔ (𝐹‘𝑌) ≠ (𝐹‘𝑋))
40	39	biimpi 215	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹‘𝑋) ≠ (𝐹‘𝑌) → (𝐹‘𝑌) ≠ (𝐹‘𝑋))
41	40	pm4.71i 560	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹‘𝑋) ≠ (𝐹‘𝑌) ↔ ((𝐹‘𝑋) ≠ (𝐹‘𝑌) ∧ (𝐹‘𝑌) ≠ (𝐹‘𝑋)))
42	38, 41	bitr4di 288	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → ((∀𝑦 ∈ (𝐴 ∖ {𝑋})(𝐹‘𝑋) ≠ (𝐹‘𝑦) ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴 ∖ {𝑌})(𝐹‘𝑌) ≠ (𝐹‘𝑦)) ↔ (𝐹‘𝑋) ≠ (𝐹‘𝑌)))
43	15, 42	bitrd 278	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → (∀𝑥 ∈ {𝑋, 𝑌}∀𝑦 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥})(𝐹‘𝑥) ≠ (𝐹‘𝑦) ↔ (𝐹‘𝑋) ≠ (𝐹‘𝑌)))
44	3, 43	bitrid 282	. . 3 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥})(𝐹‘𝑥) ≠ (𝐹‘𝑦) ↔ (𝐹‘𝑋) ≠ (𝐹‘𝑌)))
45	44	anbi2d 629	. 2 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥})(𝐹‘𝑥) ≠ (𝐹‘𝑦)) ↔ (𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ (𝐹‘𝑋) ≠ (𝐹‘𝑌))))
46	1, 45	bitrid 282	1 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → (𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ↔ (𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ (𝐹‘𝑋) ≠ (𝐹‘𝑌))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2940  ∀wral 3061   ∖ cdif 3944  {csn 4627  {cpr 4629  ⟶wf 6536  –1-1→wf1 6537  ‘cfv 6540

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pr 5426

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3433  df-v 3476  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-br 5148  df-opab 5210  df-id 5573  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fv 6548

This theorem is referenced by:  usgr2trlncl  29006