Theorem dflim7 43246

Description: A limit ordinal is a non-zero ordinal that contains all the successors of its elements. Lemma 1.18 of [Schloeder] p. 2. Closely related to dflim4 7781. (Contributed by RP, 17-Jan-2025.)

Assertion

Ref	Expression
dflim7	⊢ (Lim 𝐴 ↔ (Ord 𝐴 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝐴 suc 𝑏 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 ≠ ∅))

Distinct variable group:   𝐴,𝑏

Proof of Theorem dflim7

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dflim4 7781	. 2 ⊢ (Lim 𝐴 ↔ (Ord 𝐴 ∧ ∅ ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝐴 suc 𝑏 ∈ 𝐴))
2		ord0eln0 6363	. . . . . 6 ⊢ (Ord 𝐴 → (∅ ∈ 𝐴 ↔ 𝐴 ≠ ∅))
3	2	anbi1d 631	. . . . 5 ⊢ (Ord 𝐴 → ((∅ ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝐴 suc 𝑏 ∈ 𝐴) ↔ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑏 ∈ 𝐴 suc 𝑏 ∈ 𝐴)))
4	3	biancomd 463	. . . 4 ⊢ (Ord 𝐴 → ((∅ ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝐴 suc 𝑏 ∈ 𝐴) ↔ (∀𝑏 ∈ 𝐴 suc 𝑏 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 ≠ ∅)))
5	4	pm5.32i 574	. . 3 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ (∅ ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝐴 suc 𝑏 ∈ 𝐴)) ↔ (Ord 𝐴 ∧ (∀𝑏 ∈ 𝐴 suc 𝑏 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 ≠ ∅)))
6		3anass 1094	. . 3 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ ∅ ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝐴 suc 𝑏 ∈ 𝐴) ↔ (Ord 𝐴 ∧ (∅ ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝐴 suc 𝑏 ∈ 𝐴)))
7		3anass 1094	. . 3 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝐴 suc 𝑏 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 ≠ ∅) ↔ (Ord 𝐴 ∧ (∀𝑏 ∈ 𝐴 suc 𝑏 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 ≠ ∅)))
8	5, 6, 7	3bitr4i 303	. 2 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ ∅ ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝐴 suc 𝑏 ∈ 𝐴) ↔ (Ord 𝐴 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝐴 suc 𝑏 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 ≠ ∅))
9	1, 8	bitri 275	1 ⊢ (Lim 𝐴 ↔ (Ord 𝐴 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝐴 suc 𝑏 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 ≠ ∅))

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  ∀wral 3044  ∅c0 4284  Ord word 6306  Lim wlim 6308  suc csuc 6309

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-ext 2701  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pr 5371  ax-un 7671

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-sb 2066  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3395  df-v 3438  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-br 5093  df-opab 5155  df-tr 5200  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313

This theorem is referenced by: (None)