Theorem dflim7 43718

Description: A limit ordinal is a nonzero ordinal that contains all the successors of its elements. Lemma 1.18 of [Schloeder] p. 2. Closely related to dflim4 7788. (Contributed by RP, 17-Jan-2025.)

Assertion

Ref	Expression
dflim7	⊢ (Lim 𝐴 ↔ (Ord 𝐴 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝐴 suc 𝑏 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 ≠ ∅))

Distinct variable group:   𝐴,𝑏

Proof of Theorem dflim7

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dflim4 7788	. 2 ⊢ (Lim 𝐴 ↔ (Ord 𝐴 ∧ ∅ ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝐴 suc 𝑏 ∈ 𝐴))
2		ord0eln0 6366	. . . . . 6 ⊢ (Ord 𝐴 → (∅ ∈ 𝐴 ↔ 𝐴 ≠ ∅))
3	2	anbi1d 637	. . . . 5 ⊢ (Ord 𝐴 → ((∅ ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝐴 suc 𝑏 ∈ 𝐴) ↔ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑏 ∈ 𝐴 suc 𝑏 ∈ 𝐴)))
4	3	biancomd 464	. . . 4 ⊢ (Ord 𝐴 → ((∅ ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝐴 suc 𝑏 ∈ 𝐴) ↔ (∀𝑏 ∈ 𝐴 suc 𝑏 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 ≠ ∅)))
5	4	pm5.32i 579	. . 3 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ (∅ ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝐴 suc 𝑏 ∈ 𝐴)) ↔ (Ord 𝐴 ∧ (∀𝑏 ∈ 𝐴 suc 𝑏 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 ≠ ∅)))
6		3anass 1100	. . 3 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ ∅ ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝐴 suc 𝑏 ∈ 𝐴) ↔ (Ord 𝐴 ∧ (∅ ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝐴 suc 𝑏 ∈ 𝐴)))
7		3anass 1100	. . 3 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝐴 suc 𝑏 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 ≠ ∅) ↔ (Ord 𝐴 ∧ (∀𝑏 ∈ 𝐴 suc 𝑏 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 ≠ ∅)))
8	5, 6, 7	3bitr4i 304	. 2 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ ∅ ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝐴 suc 𝑏 ∈ 𝐴) ↔ (Ord 𝐴 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝐴 suc 𝑏 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 ≠ ∅))
9	1, 8	bitri 276	1 ⊢ (Lim 𝐴 ↔ (Ord 𝐴 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝐴 suc 𝑏 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 ≠ ∅))

Syntax hints:   ↔ wb 207   ∧ wa 396   ∧ w3a 1092   ∈ wcel 2119   ≠ wne 2934  ∀wral 3053  ∅c0 4261  Ord word 6309  Lim wlim 6311  suc csuc 6312

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-ext 2711  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pr 5362  ax-un 7678

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-sb 2074  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-ne 2935  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rab 3392  df-v 3433  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-br 5073  df-opab 5135  df-tr 5180  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-we 5573  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316

This theorem is referenced by: (None)