Theorem dflim7 43235

Description: A limit ordinal is a non-zero ordinal that contains all the successors of its elements. Lemma 1.18 of [Schloeder] p. 2. Closely related to dflim4 7885. (Contributed by RP, 17-Jan-2025.)

Assertion

Ref	Expression
dflim7	⊢ (Lim 𝐴 ↔ (Ord 𝐴 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝐴 suc 𝑏 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 ≠ ∅))

Distinct variable group:   𝐴,𝑏

Proof of Theorem dflim7

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dflim4 7885	. 2 ⊢ (Lim 𝐴 ↔ (Ord 𝐴 ∧ ∅ ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝐴 suc 𝑏 ∈ 𝐴))
2		ord0eln0 6450	. . . . . 6 ⊢ (Ord 𝐴 → (∅ ∈ 𝐴 ↔ 𝐴 ≠ ∅))
3	2	anbi1d 630	. . . . 5 ⊢ (Ord 𝐴 → ((∅ ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝐴 suc 𝑏 ∈ 𝐴) ↔ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑏 ∈ 𝐴 suc 𝑏 ∈ 𝐴)))
4	3	biancomd 463	. . . 4 ⊢ (Ord 𝐴 → ((∅ ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝐴 suc 𝑏 ∈ 𝐴) ↔ (∀𝑏 ∈ 𝐴 suc 𝑏 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 ≠ ∅)))
5	4	pm5.32i 574	. . 3 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ (∅ ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝐴 suc 𝑏 ∈ 𝐴)) ↔ (Ord 𝐴 ∧ (∀𝑏 ∈ 𝐴 suc 𝑏 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 ≠ ∅)))
6		3anass 1095	. . 3 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ ∅ ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝐴 suc 𝑏 ∈ 𝐴) ↔ (Ord 𝐴 ∧ (∅ ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝐴 suc 𝑏 ∈ 𝐴)))
7		3anass 1095	. . 3 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝐴 suc 𝑏 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 ≠ ∅) ↔ (Ord 𝐴 ∧ (∀𝑏 ∈ 𝐴 suc 𝑏 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 ≠ ∅)))
8	5, 6, 7	3bitr4i 303	. 2 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ ∅ ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝐴 suc 𝑏 ∈ 𝐴) ↔ (Ord 𝐴 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝐴 suc 𝑏 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 ≠ ∅))
9	1, 8	bitri 275	1 ⊢ (Lim 𝐴 ↔ (Ord 𝐴 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝐴 suc 𝑏 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 ≠ ∅))

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2946  ∀wral 3067  ∅c0 4352  Ord word 6394  Lim wlim 6396  suc csuc 6397

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pr 5447  ax-un 7770

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-sb 2065  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rab 3444  df-v 3490  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-br 5167  df-opab 5229  df-tr 5284  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401

This theorem is referenced by: (None)