Theorem dfss 4098

Description: Variant of subclass definition dfss2 4097. (Contributed by NM, 21-Jun-1993.)

Assertion

Ref	Expression
dfss	⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ 𝐴 = (𝐴 ∩ 𝐵))

Proof of Theorem dfss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfss2 4097	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ (𝐴 ∩ 𝐵) = 𝐴)
2		eqcom 2770	. 2 ⊢ ((𝐴 ∩ 𝐵) = 𝐴 ↔ 𝐴 = (𝐴 ∩ 𝐵))
3	1, 2	bitri 278	1 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ 𝐴 = (𝐴 ∩ 𝐵))

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   = wceq 1570   ⊆ wss 3900   ∩ cin 4092

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-ext 2735

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-3an 1105  df-ex 1813  df-sb 2102  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-ss 3901  df-in 4094

This theorem is used by:  iinrab2  5031  wefrc  5650  cnvcnv  6197  ordtri2or3  6486  onelini  6503  funimass1  6647  sbthlem5  9141  dmaddpi  11005  dmmulpi  11006  smndex1bas  19137  restcldi  23524  cmpsublem  23750  ustuqtop5  24597  tgioo  25148  cphsscph  25605  mdbr3  32932  mdbr4  32933  ssmd1  32946  xrge00  33651  esumpfinvallem  34789  measxun2  34926  eulerpartgbij  35087  reprfz1  35336  tr0elw  37463  tr0el  37464  bj-ismooredr2  38235  bndss  38923  redundss3  39847  dfrcl2  44877  isotone2  45252  wfac8prim  46198  restuni4  46351  fourierdlem93  47424  sge0resplit  47631  mbfresmf  47964