Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  xrge00 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xrge00 31014
Description: The zero of the extended nonnegative real numbers monoid. (Contributed by Thierry Arnoux, 30-Jan-2017.)
Assertion
Ref Expression
xrge00 0 = (0g‘(ℝ*𝑠s (0[,]+∞)))

Proof of Theorem xrge00
StepHypRef Expression
1 eqid 2737 . . 3 (ℝ*𝑠s (ℝ* ∖ {-∞})) = (ℝ*𝑠s (ℝ* ∖ {-∞}))
21xrs1mnd 20401 . 2 (ℝ*𝑠s (ℝ* ∖ {-∞})) ∈ Mnd
3 xrge0cmn 20405 . . 3 (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ CMnd
4 cmnmnd 19186 . . 3 ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ CMnd → (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ Mnd)
53, 4ax-mp 5 . 2 (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ Mnd
6 mnflt0 12717 . . . . . . 7 -∞ < 0
7 mnfxr 10890 . . . . . . . 8 -∞ ∈ ℝ*
8 0xr 10880 . . . . . . . 8 0 ∈ ℝ*
9 xrltnle 10900 . . . . . . . 8 ((-∞ ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*) → (-∞ < 0 ↔ ¬ 0 ≤ -∞))
107, 8, 9mp2an 692 . . . . . . 7 (-∞ < 0 ↔ ¬ 0 ≤ -∞)
116, 10mpbi 233 . . . . . 6 ¬ 0 ≤ -∞
1211intnan 490 . . . . 5 ¬ (-∞ ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ -∞)
13 elxrge0 13045 . . . . 5 (-∞ ∈ (0[,]+∞) ↔ (-∞ ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ -∞))
1412, 13mtbir 326 . . . 4 ¬ -∞ ∈ (0[,]+∞)
15 difsn 4711 . . . 4 (¬ -∞ ∈ (0[,]+∞) → ((0[,]+∞) ∖ {-∞}) = (0[,]+∞))
1614, 15ax-mp 5 . . 3 ((0[,]+∞) ∖ {-∞}) = (0[,]+∞)
17 iccssxr 13018 . . . 4 (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
18 ssdif 4054 . . . 4 ((0[,]+∞) ⊆ ℝ* → ((0[,]+∞) ∖ {-∞}) ⊆ (ℝ* ∖ {-∞}))
1917, 18ax-mp 5 . . 3 ((0[,]+∞) ∖ {-∞}) ⊆ (ℝ* ∖ {-∞})
2016, 19eqsstrri 3936 . 2 (0[,]+∞) ⊆ (ℝ* ∖ {-∞})
21 0e0iccpnf 13047 . 2 0 ∈ (0[,]+∞)
22 difss 4046 . . . . 5 (ℝ* ∖ {-∞}) ⊆ ℝ*
23 df-ss 3883 . . . . 5 ((ℝ* ∖ {-∞}) ⊆ ℝ* ↔ ((ℝ* ∖ {-∞}) ∩ ℝ*) = (ℝ* ∖ {-∞}))
2422, 23mpbi 233 . . . 4 ((ℝ* ∖ {-∞}) ∩ ℝ*) = (ℝ* ∖ {-∞})
25 xrex 12583 . . . . . 6 * ∈ V
26 difexg 5220 . . . . . 6 (ℝ* ∈ V → (ℝ* ∖ {-∞}) ∈ V)
2725, 26ax-mp 5 . . . . 5 (ℝ* ∖ {-∞}) ∈ V
28 xrsbas 20379 . . . . . 6 * = (Base‘ℝ*𝑠)
291, 28ressbas 16790 . . . . 5 ((ℝ* ∖ {-∞}) ∈ V → ((ℝ* ∖ {-∞}) ∩ ℝ*) = (Base‘(ℝ*𝑠s (ℝ* ∖ {-∞}))))
3027, 29ax-mp 5 . . . 4 ((ℝ* ∖ {-∞}) ∩ ℝ*) = (Base‘(ℝ*𝑠s (ℝ* ∖ {-∞})))
3124, 30eqtr3i 2767 . . 3 (ℝ* ∖ {-∞}) = (Base‘(ℝ*𝑠s (ℝ* ∖ {-∞})))
321xrs10 20402 . . 3 0 = (0g‘(ℝ*𝑠s (ℝ* ∖ {-∞})))
33 ovex 7246 . . . . 5 (0[,]+∞) ∈ V
34 ressress 16799 . . . . 5 (((ℝ* ∖ {-∞}) ∈ V ∧ (0[,]+∞) ∈ V) → ((ℝ*𝑠s (ℝ* ∖ {-∞})) ↾s (0[,]+∞)) = (ℝ*𝑠s ((ℝ* ∖ {-∞}) ∩ (0[,]+∞))))
3527, 33, 34mp2an 692 . . . 4 ((ℝ*𝑠s (ℝ* ∖ {-∞})) ↾s (0[,]+∞)) = (ℝ*𝑠s ((ℝ* ∖ {-∞}) ∩ (0[,]+∞)))
36 dfss 3884 . . . . . . 7 ((0[,]+∞) ⊆ (ℝ* ∖ {-∞}) ↔ (0[,]+∞) = ((0[,]+∞) ∩ (ℝ* ∖ {-∞})))
3720, 36mpbi 233 . . . . . 6 (0[,]+∞) = ((0[,]+∞) ∩ (ℝ* ∖ {-∞}))
38 incom 4115 . . . . . 6 ((0[,]+∞) ∩ (ℝ* ∖ {-∞})) = ((ℝ* ∖ {-∞}) ∩ (0[,]+∞))
3937, 38eqtr2i 2766 . . . . 5 ((ℝ* ∖ {-∞}) ∩ (0[,]+∞)) = (0[,]+∞)
4039oveq2i 7224 . . . 4 (ℝ*𝑠s ((ℝ* ∖ {-∞}) ∩ (0[,]+∞))) = (ℝ*𝑠s (0[,]+∞))
4135, 40eqtr2i 2766 . . 3 (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) = ((ℝ*𝑠s (ℝ* ∖ {-∞})) ↾s (0[,]+∞))
4231, 32, 41submnd0 18202 . 2 ((((ℝ*𝑠s (ℝ* ∖ {-∞})) ∈ Mnd ∧ (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ Mnd) ∧ ((0[,]+∞) ⊆ (ℝ* ∖ {-∞}) ∧ 0 ∈ (0[,]+∞))) → 0 = (0g‘(ℝ*𝑠s (0[,]+∞))))
432, 5, 20, 21, 42mp4an 693 1 0 = (0g‘(ℝ*𝑠s (0[,]+∞)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wb 209  wa 399   = wceq 1543  wcel 2110  Vcvv 3408  cdif 3863  cin 3865  wss 3866  {csn 4541   class class class wbr 5053  cfv 6380  (class class class)co 7213  0cc0 10729  +∞cpnf 10864  -∞cmnf 10865  *cxr 10866   < clt 10867  cle 10868  [,]cicc 12938  Basecbs 16760  s cress 16784  0gc0g 16944  *𝑠cxrs 17005  Mndcmnd 18173  CMndccmn 19170
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-cnex 10785  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-mulcom 10793  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805  ax-pre-mulgt0 10806
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4820  df-iun 4906  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-pred 6160  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-om 7645  df-1st 7761  df-2nd 7762  df-wrecs 8047  df-recs 8108  df-rdg 8146  df-1o 8202  df-er 8391  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-fin 8630  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-xr 10871  df-ltxr 10872  df-le 10873  df-sub 11064  df-neg 11065  df-nn 11831  df-2 11893  df-3 11894  df-4 11895  df-5 11896  df-6 11897  df-7 11898  df-8 11899  df-9 11900  df-n0 12091  df-z 12177  df-dec 12294  df-uz 12439  df-xadd 12705  df-icc 12942  df-fz 13096  df-struct 16700  df-sets 16717  df-slot 16735  df-ndx 16745  df-base 16761  df-ress 16785  df-plusg 16815  df-mulr 16816  df-tset 16821  df-ple 16822  df-ds 16824  df-0g 16946  df-xrs 17007  df-mgm 18114  df-sgrp 18163  df-mnd 18174  df-submnd 18219  df-cmn 19172
This theorem is referenced by:  xrge0mulgnn0  31017  xrge0slmod  31262  xrge0iifmhm  31603  esumgsum  31725  esumnul  31728  esum0  31729  gsumesum  31739  esumsnf  31744  esumss  31752  esumpfinval  31755  esumpfinvalf  31756  esumcocn  31760  sitmcl  32030
  Copyright terms: Public domain W3C validator