Theorem xrge00 33093

Description: The zero of the extended nonnegative real numbers monoid. (Contributed by Thierry Arnoux, 30-Jan-2017.)

Assertion

Ref	Expression
xrge00	⊢ 0 = (0g‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)))

Proof of Theorem xrge00

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2739	. . 3 ⊢ (ℝ*𝑠 ↾s (ℝ* ∖ {-∞})) = (ℝ*𝑠 ↾s (ℝ* ∖ {-∞}))
2	1	xrs1mnd 21415	. 2 ⊢ (ℝ*𝑠 ↾s (ℝ* ∖ {-∞})) ∈ Mnd
3		xrge0cmn 21419	. . 3 ⊢ (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ CMnd
4		cmnmnd 19763	. . 3 ⊢ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ CMnd → (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ Mnd)
5	3, 4	ax-mp 5	. 2 ⊢ (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ Mnd
6		mnflt0 13067	. . . . . . 7 ⊢ -∞ < 0
7		mnfxr 11193	. . . . . . . 8 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
8		0xr 11183	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℝ*
9		xrltnle 11203	. . . . . . . 8 ⊢ ((-∞ ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*) → (-∞ < 0 ↔ ¬ 0 ≤ -∞))
10	7, 8, 9	mp2an 698	. . . . . . 7 ⊢ (-∞ < 0 ↔ ¬ 0 ≤ -∞)
11	6, 10	mpbi 231	. . . . . 6 ⊢ ¬ 0 ≤ -∞
12	11	intnan 487	. . . . 5 ⊢ ¬ (-∞ ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ -∞)
13		elxrge0 13401	. . . . 5 ⊢ (-∞ ∈ (0[,]+∞) ↔ (-∞ ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ -∞))
14	12, 13	mtbir 324	. . . 4 ⊢ ¬ -∞ ∈ (0[,]+∞)
15		difsn 4731	. . . 4 ⊢ (¬ -∞ ∈ (0[,]+∞) → ((0[,]+∞) ∖ {-∞}) = (0[,]+∞))
16	14, 15	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ((0[,]+∞) ∖ {-∞}) = (0[,]+∞)
17		iccssxr 13374	. . . 4 ⊢ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
18		ssdif 4074	. . . 4 ⊢ ((0[,]+∞) ⊆ ℝ* → ((0[,]+∞) ∖ {-∞}) ⊆ (ℝ* ∖ {-∞}))
19	17, 18	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ((0[,]+∞) ∖ {-∞}) ⊆ (ℝ* ∖ {-∞})
20	16, 19	eqsstrri 3962	. 2 ⊢ (0[,]+∞) ⊆ (ℝ* ∖ {-∞})
21		0e0iccpnf 13403	. 2 ⊢ 0 ∈ (0[,]+∞)
22		difss 4066	. . . . 5 ⊢ (ℝ* ∖ {-∞}) ⊆ ℝ*
23		dfss2 3901	. . . . 5 ⊢ ((ℝ* ∖ {-∞}) ⊆ ℝ* ↔ ((ℝ* ∖ {-∞}) ∩ ℝ*) = (ℝ* ∖ {-∞}))
24	22, 23	mpbi 231	. . . 4 ⊢ ((ℝ* ∖ {-∞}) ∩ ℝ*) = (ℝ* ∖ {-∞})
25		xrex 12928	. . . . . 6 ⊢ ℝ* ∈ V
26		difexg 5257	. . . . . 6 ⊢ (ℝ* ∈ V → (ℝ* ∖ {-∞}) ∈ V)
27	25, 26	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (ℝ* ∖ {-∞}) ∈ V
28		xrsbas 17561	. . . . . 6 ⊢ ℝ* = (Base‘ℝ*𝑠)
29	1, 28	ressbas 17197	. . . . 5 ⊢ ((ℝ* ∖ {-∞}) ∈ V → ((ℝ* ∖ {-∞}) ∩ ℝ*) = (Base‘(ℝ*𝑠 ↾s (ℝ* ∖ {-∞}))))
30	27, 29	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ((ℝ* ∖ {-∞}) ∩ ℝ*) = (Base‘(ℝ*𝑠 ↾s (ℝ* ∖ {-∞})))
31	24, 30	eqtr3i 2764	. . 3 ⊢ (ℝ* ∖ {-∞}) = (Base‘(ℝ*𝑠 ↾s (ℝ* ∖ {-∞})))
32	1	xrs10 21416	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘(ℝ*𝑠 ↾s (ℝ* ∖ {-∞})))
33		ovex 7389	. . . . 5 ⊢ (0[,]+∞) ∈ V
34		ressress 17208	. . . . 5 ⊢ (((ℝ* ∖ {-∞}) ∈ V ∧ (0[,]+∞) ∈ V) → ((ℝ*𝑠 ↾s (ℝ* ∖ {-∞})) ↾s (0[,]+∞)) = (ℝ*𝑠 ↾s ((ℝ* ∖ {-∞}) ∩ (0[,]+∞))))
35	27, 33, 34	mp2an 698	. . . 4 ⊢ ((ℝ*𝑠 ↾s (ℝ* ∖ {-∞})) ↾s (0[,]+∞)) = (ℝ*𝑠 ↾s ((ℝ* ∖ {-∞}) ∩ (0[,]+∞)))
36		dfss 3902	. . . . . . 7 ⊢ ((0[,]+∞) ⊆ (ℝ* ∖ {-∞}) ↔ (0[,]+∞) = ((0[,]+∞) ∩ (ℝ* ∖ {-∞})))
37	20, 36	mpbi 231	. . . . . 6 ⊢ (0[,]+∞) = ((0[,]+∞) ∩ (ℝ* ∖ {-∞}))
38		incom 4138	. . . . . 6 ⊢ ((0[,]+∞) ∩ (ℝ* ∖ {-∞})) = ((ℝ* ∖ {-∞}) ∩ (0[,]+∞))
39	37, 38	eqtr2i 2763	. . . . 5 ⊢ ((ℝ* ∖ {-∞}) ∩ (0[,]+∞)) = (0[,]+∞)
40	39	oveq2i 7367	. . . 4 ⊢ (ℝ*𝑠 ↾s ((ℝ* ∖ {-∞}) ∩ (0[,]+∞))) = (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞))
41	35, 40	eqtr2i 2763	. . 3 ⊢ (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) = ((ℝ*𝑠 ↾s (ℝ* ∖ {-∞})) ↾s (0[,]+∞))
42	31, 32, 41	submnd0 18722	. 2 ⊢ ((((ℝ*𝑠 ↾s (ℝ* ∖ {-∞})) ∈ Mnd ∧ (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ Mnd) ∧ ((0[,]+∞) ⊆ (ℝ* ∖ {-∞}) ∧ 0 ∈ (0[,]+∞))) → 0 = (0g‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞))))
43	2, 5, 20, 21, 42	mp4an 699	1 ⊢ 0 = (0g‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 207   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  Vcvv 3431   ∖ cdif 3880   ∩ cin 3882   ⊆ wss 3883  {csn 4555   class class class wbr 5072  ‘cfv 6485  (class class class)co 7356  0cc0 11029  +∞cpnf 11167  -∞cmnf 11168  ℝ^*cxr 11169   < clt 11170   ≤ cle 11171  [,]cicc 13292  Basecbs 17170   ↾_s cress 17191  0_gc0g 17393  ℝ^*_𝑠cxrs 17455  Mndcmnd 18693  CMndccmn 19746

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-tp 4560  df-op 4562  df-uni 4839  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-er 8633  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-4 12237  df-5 12238  df-6 12239  df-7 12240  df-8 12241  df-9 12242  df-n0 12429  df-z 12516  df-dec 12636  df-uz 12780  df-xadd 13055  df-icc 13296  df-fz 13453  df-struct 17108  df-sets 17125  df-slot 17143  df-ndx 17155  df-base 17171  df-ress 17192  df-plusg 17224  df-mulr 17225  df-tset 17230  df-ple 17231  df-ds 17233  df-0g 17395  df-xrs 17457  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-submnd 18743  df-cmn 19748

This theorem is referenced by:  xrge0mulgnn0  33094  xrge0slmod  33431  xrge0iifmhm  34123  esumgsum  34229  esumnul  34232  esum0  34233  gsumesum  34243  esumsnf  34248  esumss  34256  esumpfinval  34259  esumpfinvalf  34260  esumcocn  34264  sitmcl  34535