Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  xrge00 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xrge00 31671
Description: The zero of the extended nonnegative real numbers monoid. (Contributed by Thierry Arnoux, 30-Jan-2017.)
Assertion
Ref Expression
xrge00 0 = (0g‘(ℝ*𝑠s (0[,]+∞)))

Proof of Theorem xrge00
StepHypRef Expression
1 eqid 2737 . . 3 (ℝ*𝑠s (ℝ* ∖ {-∞})) = (ℝ*𝑠s (ℝ* ∖ {-∞}))
21xrs1mnd 20758 . 2 (ℝ*𝑠s (ℝ* ∖ {-∞})) ∈ Mnd
3 xrge0cmn 20762 . . 3 (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ CMnd
4 cmnmnd 19508 . . 3 ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ CMnd → (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ Mnd)
53, 4ax-mp 5 . 2 (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ Mnd
6 mnflt0 12974 . . . . . . 7 -∞ < 0
7 mnfxr 11145 . . . . . . . 8 -∞ ∈ ℝ*
8 0xr 11135 . . . . . . . 8 0 ∈ ℝ*
9 xrltnle 11155 . . . . . . . 8 ((-∞ ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*) → (-∞ < 0 ↔ ¬ 0 ≤ -∞))
107, 8, 9mp2an 690 . . . . . . 7 (-∞ < 0 ↔ ¬ 0 ≤ -∞)
116, 10mpbi 229 . . . . . 6 ¬ 0 ≤ -∞
1211intnan 487 . . . . 5 ¬ (-∞ ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ -∞)
13 elxrge0 13302 . . . . 5 (-∞ ∈ (0[,]+∞) ↔ (-∞ ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ -∞))
1412, 13mtbir 322 . . . 4 ¬ -∞ ∈ (0[,]+∞)
15 difsn 4756 . . . 4 (¬ -∞ ∈ (0[,]+∞) → ((0[,]+∞) ∖ {-∞}) = (0[,]+∞))
1614, 15ax-mp 5 . . 3 ((0[,]+∞) ∖ {-∞}) = (0[,]+∞)
17 iccssxr 13275 . . . 4 (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
18 ssdif 4097 . . . 4 ((0[,]+∞) ⊆ ℝ* → ((0[,]+∞) ∖ {-∞}) ⊆ (ℝ* ∖ {-∞}))
1917, 18ax-mp 5 . . 3 ((0[,]+∞) ∖ {-∞}) ⊆ (ℝ* ∖ {-∞})
2016, 19eqsstrri 3977 . 2 (0[,]+∞) ⊆ (ℝ* ∖ {-∞})
21 0e0iccpnf 13304 . 2 0 ∈ (0[,]+∞)
22 difss 4089 . . . . 5 (ℝ* ∖ {-∞}) ⊆ ℝ*
23 df-ss 3925 . . . . 5 ((ℝ* ∖ {-∞}) ⊆ ℝ* ↔ ((ℝ* ∖ {-∞}) ∩ ℝ*) = (ℝ* ∖ {-∞}))
2422, 23mpbi 229 . . . 4 ((ℝ* ∖ {-∞}) ∩ ℝ*) = (ℝ* ∖ {-∞})
25 xrex 12840 . . . . . 6 * ∈ V
26 difexg 5282 . . . . . 6 (ℝ* ∈ V → (ℝ* ∖ {-∞}) ∈ V)
2725, 26ax-mp 5 . . . . 5 (ℝ* ∖ {-∞}) ∈ V
28 xrsbas 20736 . . . . . 6 * = (Base‘ℝ*𝑠)
291, 28ressbas 17052 . . . . 5 ((ℝ* ∖ {-∞}) ∈ V → ((ℝ* ∖ {-∞}) ∩ ℝ*) = (Base‘(ℝ*𝑠s (ℝ* ∖ {-∞}))))
3027, 29ax-mp 5 . . . 4 ((ℝ* ∖ {-∞}) ∩ ℝ*) = (Base‘(ℝ*𝑠s (ℝ* ∖ {-∞})))
3124, 30eqtr3i 2767 . . 3 (ℝ* ∖ {-∞}) = (Base‘(ℝ*𝑠s (ℝ* ∖ {-∞})))
321xrs10 20759 . . 3 0 = (0g‘(ℝ*𝑠s (ℝ* ∖ {-∞})))
33 ovex 7382 . . . . 5 (0[,]+∞) ∈ V
34 ressress 17063 . . . . 5 (((ℝ* ∖ {-∞}) ∈ V ∧ (0[,]+∞) ∈ V) → ((ℝ*𝑠s (ℝ* ∖ {-∞})) ↾s (0[,]+∞)) = (ℝ*𝑠s ((ℝ* ∖ {-∞}) ∩ (0[,]+∞))))
3527, 33, 34mp2an 690 . . . 4 ((ℝ*𝑠s (ℝ* ∖ {-∞})) ↾s (0[,]+∞)) = (ℝ*𝑠s ((ℝ* ∖ {-∞}) ∩ (0[,]+∞)))
36 dfss 3926 . . . . . . 7 ((0[,]+∞) ⊆ (ℝ* ∖ {-∞}) ↔ (0[,]+∞) = ((0[,]+∞) ∩ (ℝ* ∖ {-∞})))
3720, 36mpbi 229 . . . . . 6 (0[,]+∞) = ((0[,]+∞) ∩ (ℝ* ∖ {-∞}))
38 incom 4159 . . . . . 6 ((0[,]+∞) ∩ (ℝ* ∖ {-∞})) = ((ℝ* ∖ {-∞}) ∩ (0[,]+∞))
3937, 38eqtr2i 2766 . . . . 5 ((ℝ* ∖ {-∞}) ∩ (0[,]+∞)) = (0[,]+∞)
4039oveq2i 7360 . . . 4 (ℝ*𝑠s ((ℝ* ∖ {-∞}) ∩ (0[,]+∞))) = (ℝ*𝑠s (0[,]+∞))
4135, 40eqtr2i 2766 . . 3 (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) = ((ℝ*𝑠s (ℝ* ∖ {-∞})) ↾s (0[,]+∞))
4231, 32, 41submnd0 18519 . 2 ((((ℝ*𝑠s (ℝ* ∖ {-∞})) ∈ Mnd ∧ (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ Mnd) ∧ ((0[,]+∞) ⊆ (ℝ* ∖ {-∞}) ∧ 0 ∈ (0[,]+∞))) → 0 = (0g‘(ℝ*𝑠s (0[,]+∞))))
432, 5, 20, 21, 42mp4an 691 1 0 = (0g‘(ℝ*𝑠s (0[,]+∞)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wb 205  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  Vcvv 3443  cdif 3905  cin 3907  wss 3908  {csn 4584   class class class wbr 5103  cfv 6491  (class class class)co 7349  0cc0 10984  +∞cpnf 11119  -∞cmnf 11120  *cxr 11121   < clt 11122  cle 11123  [,]cicc 13195  Basecbs 17017  s cress 17046  0gc0g 17255  *𝑠cxrs 17316  Mndcmnd 18490  CMndccmn 19491
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7662  ax-cnex 11040  ax-resscn 11041  ax-1cn 11042  ax-icn 11043  ax-addcl 11044  ax-addrcl 11045  ax-mulcl 11046  ax-mulrcl 11047  ax-mulcom 11048  ax-addass 11049  ax-mulass 11050  ax-distr 11051  ax-i2m1 11052  ax-1ne0 11053  ax-1rid 11054  ax-rnegex 11055  ax-rrecex 11056  ax-cnre 11057  ax-pre-lttri 11058  ax-pre-lttrn 11059  ax-pre-ltadd 11060  ax-pre-mulgt0 11061
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4864  df-iun 4954  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-tr 5221  df-id 5528  df-eprel 5534  df-po 5542  df-so 5543  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5636  df-rel 5637  df-cnv 5638  df-co 5639  df-dm 5640  df-rn 5641  df-res 5642  df-ima 5643  df-pred 6249  df-ord 6316  df-on 6317  df-lim 6318  df-suc 6319  df-iota 6443  df-fun 6493  df-fn 6494  df-f 6495  df-f1 6496  df-fo 6497  df-f1o 6498  df-fv 6499  df-riota 7305  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7793  df-1st 7911  df-2nd 7912  df-frecs 8179  df-wrecs 8210  df-recs 8284  df-rdg 8323  df-1o 8379  df-er 8581  df-en 8817  df-dom 8818  df-sdom 8819  df-fin 8820  df-pnf 11124  df-mnf 11125  df-xr 11126  df-ltxr 11127  df-le 11128  df-sub 11320  df-neg 11321  df-nn 12087  df-2 12149  df-3 12150  df-4 12151  df-5 12152  df-6 12153  df-7 12154  df-8 12155  df-9 12156  df-n0 12347  df-z 12433  df-dec 12551  df-uz 12696  df-xadd 12962  df-icc 13199  df-fz 13353  df-struct 16953  df-sets 16970  df-slot 16988  df-ndx 17000  df-base 17018  df-ress 17047  df-plusg 17080  df-mulr 17081  df-tset 17086  df-ple 17087  df-ds 17089  df-0g 17257  df-xrs 17318  df-mgm 18431  df-sgrp 18480  df-mnd 18491  df-submnd 18536  df-cmn 19493
This theorem is referenced by:  xrge0mulgnn0  31674  xrge0slmod  31933  xrge0iifmhm  32293  esumgsum  32417  esumnul  32420  esum0  32421  gsumesum  32431  esumsnf  32436  esumss  32444  esumpfinval  32447  esumpfinvalf  32448  esumcocn  32452  sitmcl  32724
  Copyright terms: Public domain W3C validator