Theorem xrge00 32960

Description: The zero of the extended nonnegative real numbers monoid. (Contributed by Thierry Arnoux, 30-Jan-2017.)

Assertion

Ref	Expression
xrge00	⊢ 0 = (0g‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)))

Proof of Theorem xrge00

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2730	. . 3 ⊢ (ℝ*𝑠 ↾s (ℝ* ∖ {-∞})) = (ℝ*𝑠 ↾s (ℝ* ∖ {-∞}))
2	1	xrs1mnd 21328	. 2 ⊢ (ℝ*𝑠 ↾s (ℝ* ∖ {-∞})) ∈ Mnd
3		xrge0cmn 21332	. . 3 ⊢ (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ CMnd
4		cmnmnd 19734	. . 3 ⊢ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ CMnd → (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ Mnd)
5	3, 4	ax-mp 5	. 2 ⊢ (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ Mnd
6		mnflt0 13092	. . . . . . 7 ⊢ -∞ < 0
7		mnfxr 11238	. . . . . . . 8 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
8		0xr 11228	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℝ*
9		xrltnle 11248	. . . . . . . 8 ⊢ ((-∞ ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*) → (-∞ < 0 ↔ ¬ 0 ≤ -∞))
10	7, 8, 9	mp2an 692	. . . . . . 7 ⊢ (-∞ < 0 ↔ ¬ 0 ≤ -∞)
11	6, 10	mpbi 230	. . . . . 6 ⊢ ¬ 0 ≤ -∞
12	11	intnan 486	. . . . 5 ⊢ ¬ (-∞ ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ -∞)
13		elxrge0 13425	. . . . 5 ⊢ (-∞ ∈ (0[,]+∞) ↔ (-∞ ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ -∞))
14	12, 13	mtbir 323	. . . 4 ⊢ ¬ -∞ ∈ (0[,]+∞)
15		difsn 4765	. . . 4 ⊢ (¬ -∞ ∈ (0[,]+∞) → ((0[,]+∞) ∖ {-∞}) = (0[,]+∞))
16	14, 15	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ((0[,]+∞) ∖ {-∞}) = (0[,]+∞)
17		iccssxr 13398	. . . 4 ⊢ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
18		ssdif 4110	. . . 4 ⊢ ((0[,]+∞) ⊆ ℝ* → ((0[,]+∞) ∖ {-∞}) ⊆ (ℝ* ∖ {-∞}))
19	17, 18	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ((0[,]+∞) ∖ {-∞}) ⊆ (ℝ* ∖ {-∞})
20	16, 19	eqsstrri 3997	. 2 ⊢ (0[,]+∞) ⊆ (ℝ* ∖ {-∞})
21		0e0iccpnf 13427	. 2 ⊢ 0 ∈ (0[,]+∞)
22		difss 4102	. . . . 5 ⊢ (ℝ* ∖ {-∞}) ⊆ ℝ*
23		dfss2 3935	. . . . 5 ⊢ ((ℝ* ∖ {-∞}) ⊆ ℝ* ↔ ((ℝ* ∖ {-∞}) ∩ ℝ*) = (ℝ* ∖ {-∞}))
24	22, 23	mpbi 230	. . . 4 ⊢ ((ℝ* ∖ {-∞}) ∩ ℝ*) = (ℝ* ∖ {-∞})
25		xrex 12953	. . . . . 6 ⊢ ℝ* ∈ V
26		difexg 5287	. . . . . 6 ⊢ (ℝ* ∈ V → (ℝ* ∖ {-∞}) ∈ V)
27	25, 26	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (ℝ* ∖ {-∞}) ∈ V
28		xrsbas 21302	. . . . . 6 ⊢ ℝ* = (Base‘ℝ*𝑠)
29	1, 28	ressbas 17213	. . . . 5 ⊢ ((ℝ* ∖ {-∞}) ∈ V → ((ℝ* ∖ {-∞}) ∩ ℝ*) = (Base‘(ℝ*𝑠 ↾s (ℝ* ∖ {-∞}))))
30	27, 29	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ((ℝ* ∖ {-∞}) ∩ ℝ*) = (Base‘(ℝ*𝑠 ↾s (ℝ* ∖ {-∞})))
31	24, 30	eqtr3i 2755	. . 3 ⊢ (ℝ* ∖ {-∞}) = (Base‘(ℝ*𝑠 ↾s (ℝ* ∖ {-∞})))
32	1	xrs10 21329	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘(ℝ*𝑠 ↾s (ℝ* ∖ {-∞})))
33		ovex 7423	. . . . 5 ⊢ (0[,]+∞) ∈ V
34		ressress 17224	. . . . 5 ⊢ (((ℝ* ∖ {-∞}) ∈ V ∧ (0[,]+∞) ∈ V) → ((ℝ*𝑠 ↾s (ℝ* ∖ {-∞})) ↾s (0[,]+∞)) = (ℝ*𝑠 ↾s ((ℝ* ∖ {-∞}) ∩ (0[,]+∞))))
35	27, 33, 34	mp2an 692	. . . 4 ⊢ ((ℝ*𝑠 ↾s (ℝ* ∖ {-∞})) ↾s (0[,]+∞)) = (ℝ*𝑠 ↾s ((ℝ* ∖ {-∞}) ∩ (0[,]+∞)))
36		dfss 3936	. . . . . . 7 ⊢ ((0[,]+∞) ⊆ (ℝ* ∖ {-∞}) ↔ (0[,]+∞) = ((0[,]+∞) ∩ (ℝ* ∖ {-∞})))
37	20, 36	mpbi 230	. . . . . 6 ⊢ (0[,]+∞) = ((0[,]+∞) ∩ (ℝ* ∖ {-∞}))
38		incom 4175	. . . . . 6 ⊢ ((0[,]+∞) ∩ (ℝ* ∖ {-∞})) = ((ℝ* ∖ {-∞}) ∩ (0[,]+∞))
39	37, 38	eqtr2i 2754	. . . . 5 ⊢ ((ℝ* ∖ {-∞}) ∩ (0[,]+∞)) = (0[,]+∞)
40	39	oveq2i 7401	. . . 4 ⊢ (ℝ*𝑠 ↾s ((ℝ* ∖ {-∞}) ∩ (0[,]+∞))) = (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞))
41	35, 40	eqtr2i 2754	. . 3 ⊢ (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) = ((ℝ*𝑠 ↾s (ℝ* ∖ {-∞})) ↾s (0[,]+∞))
42	31, 32, 41	submnd0 18697	. 2 ⊢ ((((ℝ*𝑠 ↾s (ℝ* ∖ {-∞})) ∈ Mnd ∧ (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ Mnd) ∧ ((0[,]+∞) ⊆ (ℝ* ∖ {-∞}) ∧ 0 ∈ (0[,]+∞))) → 0 = (0g‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞))))
43	2, 5, 20, 21, 42	mp4an 693	1 ⊢ 0 = (0g‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3450   ∖ cdif 3914   ∩ cin 3916   ⊆ wss 3917  {csn 4592   class class class wbr 5110  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  0cc0 11075  +∞cpnf 11212  -∞cmnf 11213  ℝ^*cxr 11214   < clt 11215   ≤ cle 11216  [,]cicc 13316  Basecbs 17186   ↾_s cress 17207  0_gc0g 17409  ℝ^*_𝑠cxrs 17470  Mndcmnd 18668  CMndccmn 19717

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-tp 4597  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-4 12258  df-5 12259  df-6 12260  df-7 12261  df-8 12262  df-9 12263  df-n0 12450  df-z 12537  df-dec 12657  df-uz 12801  df-xadd 13080  df-icc 13320  df-fz 13476  df-struct 17124  df-sets 17141  df-slot 17159  df-ndx 17171  df-base 17187  df-ress 17208  df-plusg 17240  df-mulr 17241  df-tset 17246  df-ple 17247  df-ds 17249  df-0g 17411  df-xrs 17472  df-mgm 18574  df-sgrp 18653  df-mnd 18669  df-submnd 18718  df-cmn 19719

This theorem is referenced by:  xrge0mulgnn0  32963  xrge0slmod  33326  xrge0iifmhm  33936  esumgsum  34042  esumnul  34045  esum0  34046  gsumesum  34056  esumsnf  34061  esumss  34069  esumpfinval  34072  esumpfinvalf  34073  esumcocn  34077  sitmcl  34349