Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  xrge00 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xrge00 31702
Description: The zero of the extended nonnegative real numbers monoid. (Contributed by Thierry Arnoux, 30-Jan-2017.)
Assertion
Ref Expression
xrge00 0 = (0g‘(ℝ*𝑠s (0[,]+∞)))

Proof of Theorem xrge00
StepHypRef Expression
1 eqid 2738 . . 3 (ℝ*𝑠s (ℝ* ∖ {-∞})) = (ℝ*𝑠s (ℝ* ∖ {-∞}))
21xrs1mnd 20788 . 2 (ℝ*𝑠s (ℝ* ∖ {-∞})) ∈ Mnd
3 xrge0cmn 20792 . . 3 (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ CMnd
4 cmnmnd 19538 . . 3 ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ CMnd → (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ Mnd)
53, 4ax-mp 5 . 2 (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ Mnd
6 mnflt0 13001 . . . . . . 7 -∞ < 0
7 mnfxr 11171 . . . . . . . 8 -∞ ∈ ℝ*
8 0xr 11161 . . . . . . . 8 0 ∈ ℝ*
9 xrltnle 11181 . . . . . . . 8 ((-∞ ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*) → (-∞ < 0 ↔ ¬ 0 ≤ -∞))
107, 8, 9mp2an 691 . . . . . . 7 (-∞ < 0 ↔ ¬ 0 ≤ -∞)
116, 10mpbi 229 . . . . . 6 ¬ 0 ≤ -∞
1211intnan 488 . . . . 5 ¬ (-∞ ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ -∞)
13 elxrge0 13329 . . . . 5 (-∞ ∈ (0[,]+∞) ↔ (-∞ ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ -∞))
1412, 13mtbir 323 . . . 4 ¬ -∞ ∈ (0[,]+∞)
15 difsn 4757 . . . 4 (¬ -∞ ∈ (0[,]+∞) → ((0[,]+∞) ∖ {-∞}) = (0[,]+∞))
1614, 15ax-mp 5 . . 3 ((0[,]+∞) ∖ {-∞}) = (0[,]+∞)
17 iccssxr 13302 . . . 4 (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
18 ssdif 4098 . . . 4 ((0[,]+∞) ⊆ ℝ* → ((0[,]+∞) ∖ {-∞}) ⊆ (ℝ* ∖ {-∞}))
1917, 18ax-mp 5 . . 3 ((0[,]+∞) ∖ {-∞}) ⊆ (ℝ* ∖ {-∞})
2016, 19eqsstrri 3978 . 2 (0[,]+∞) ⊆ (ℝ* ∖ {-∞})
21 0e0iccpnf 13331 . 2 0 ∈ (0[,]+∞)
22 difss 4090 . . . . 5 (ℝ* ∖ {-∞}) ⊆ ℝ*
23 df-ss 3926 . . . . 5 ((ℝ* ∖ {-∞}) ⊆ ℝ* ↔ ((ℝ* ∖ {-∞}) ∩ ℝ*) = (ℝ* ∖ {-∞}))
2422, 23mpbi 229 . . . 4 ((ℝ* ∖ {-∞}) ∩ ℝ*) = (ℝ* ∖ {-∞})
25 xrex 12867 . . . . . 6 * ∈ V
26 difexg 5283 . . . . . 6 (ℝ* ∈ V → (ℝ* ∖ {-∞}) ∈ V)
2725, 26ax-mp 5 . . . . 5 (ℝ* ∖ {-∞}) ∈ V
28 xrsbas 20766 . . . . . 6 * = (Base‘ℝ*𝑠)
291, 28ressbas 17078 . . . . 5 ((ℝ* ∖ {-∞}) ∈ V → ((ℝ* ∖ {-∞}) ∩ ℝ*) = (Base‘(ℝ*𝑠s (ℝ* ∖ {-∞}))))
3027, 29ax-mp 5 . . . 4 ((ℝ* ∖ {-∞}) ∩ ℝ*) = (Base‘(ℝ*𝑠s (ℝ* ∖ {-∞})))
3124, 30eqtr3i 2768 . . 3 (ℝ* ∖ {-∞}) = (Base‘(ℝ*𝑠s (ℝ* ∖ {-∞})))
321xrs10 20789 . . 3 0 = (0g‘(ℝ*𝑠s (ℝ* ∖ {-∞})))
33 ovex 7385 . . . . 5 (0[,]+∞) ∈ V
34 ressress 17089 . . . . 5 (((ℝ* ∖ {-∞}) ∈ V ∧ (0[,]+∞) ∈ V) → ((ℝ*𝑠s (ℝ* ∖ {-∞})) ↾s (0[,]+∞)) = (ℝ*𝑠s ((ℝ* ∖ {-∞}) ∩ (0[,]+∞))))
3527, 33, 34mp2an 691 . . . 4 ((ℝ*𝑠s (ℝ* ∖ {-∞})) ↾s (0[,]+∞)) = (ℝ*𝑠s ((ℝ* ∖ {-∞}) ∩ (0[,]+∞)))
36 dfss 3927 . . . . . . 7 ((0[,]+∞) ⊆ (ℝ* ∖ {-∞}) ↔ (0[,]+∞) = ((0[,]+∞) ∩ (ℝ* ∖ {-∞})))
3720, 36mpbi 229 . . . . . 6 (0[,]+∞) = ((0[,]+∞) ∩ (ℝ* ∖ {-∞}))
38 incom 4160 . . . . . 6 ((0[,]+∞) ∩ (ℝ* ∖ {-∞})) = ((ℝ* ∖ {-∞}) ∩ (0[,]+∞))
3937, 38eqtr2i 2767 . . . . 5 ((ℝ* ∖ {-∞}) ∩ (0[,]+∞)) = (0[,]+∞)
4039oveq2i 7363 . . . 4 (ℝ*𝑠s ((ℝ* ∖ {-∞}) ∩ (0[,]+∞))) = (ℝ*𝑠s (0[,]+∞))
4135, 40eqtr2i 2767 . . 3 (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) = ((ℝ*𝑠s (ℝ* ∖ {-∞})) ↾s (0[,]+∞))
4231, 32, 41submnd0 18545 . 2 ((((ℝ*𝑠s (ℝ* ∖ {-∞})) ∈ Mnd ∧ (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ Mnd) ∧ ((0[,]+∞) ⊆ (ℝ* ∖ {-∞}) ∧ 0 ∈ (0[,]+∞))) → 0 = (0g‘(ℝ*𝑠s (0[,]+∞))))
432, 5, 20, 21, 42mp4an 692 1 0 = (0g‘(ℝ*𝑠s (0[,]+∞)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wb 205  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  Vcvv 3444  cdif 3906  cin 3908  wss 3909  {csn 4585   class class class wbr 5104  cfv 6494  (class class class)co 7352  0cc0 11010  +∞cpnf 11145  -∞cmnf 11146  *cxr 11147   < clt 11148  cle 11149  [,]cicc 13222  Basecbs 17043  s cress 17072  0gc0g 17281  *𝑠cxrs 17342  Mndcmnd 18516  CMndccmn 19521
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2709  ax-sep 5255  ax-nul 5262  ax-pow 5319  ax-pr 5383  ax-un 7665  ax-cnex 11066  ax-resscn 11067  ax-1cn 11068  ax-icn 11069  ax-addcl 11070  ax-addrcl 11071  ax-mulcl 11072  ax-mulrcl 11073  ax-mulcom 11074  ax-addass 11075  ax-mulass 11076  ax-distr 11077  ax-i2m1 11078  ax-1ne0 11079  ax-1rid 11080  ax-rnegex 11081  ax-rrecex 11082  ax-cnre 11083  ax-pre-lttri 11084  ax-pre-lttrn 11085  ax-pre-ltadd 11086  ax-pre-mulgt0 11087
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3064  df-rex 3073  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3739  df-csb 3855  df-dif 3912  df-un 3914  df-in 3916  df-ss 3926  df-pss 3928  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4865  df-iun 4955  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5188  df-tr 5222  df-id 5530  df-eprel 5536  df-po 5544  df-so 5545  df-fr 5587  df-we 5589  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6252  df-ord 6319  df-on 6320  df-lim 6321  df-suc 6322  df-iota 6446  df-fun 6496  df-fn 6497  df-f 6498  df-f1 6499  df-fo 6500  df-f1o 6501  df-fv 6502  df-riota 7308  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-om 7796  df-1st 7914  df-2nd 7915  df-frecs 8205  df-wrecs 8236  df-recs 8310  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-er 8607  df-en 8843  df-dom 8844  df-sdom 8845  df-fin 8846  df-pnf 11150  df-mnf 11151  df-xr 11152  df-ltxr 11153  df-le 11154  df-sub 11346  df-neg 11347  df-nn 12113  df-2 12175  df-3 12176  df-4 12177  df-5 12178  df-6 12179  df-7 12180  df-8 12181  df-9 12182  df-n0 12373  df-z 12459  df-dec 12578  df-uz 12723  df-xadd 12989  df-icc 13226  df-fz 13380  df-struct 16979  df-sets 16996  df-slot 17014  df-ndx 17026  df-base 17044  df-ress 17073  df-plusg 17106  df-mulr 17107  df-tset 17112  df-ple 17113  df-ds 17115  df-0g 17283  df-xrs 17344  df-mgm 18457  df-sgrp 18506  df-mnd 18517  df-submnd 18562  df-cmn 19523
This theorem is referenced by:  xrge0mulgnn0  31705  xrge0slmod  31964  xrge0iifmhm  32324  esumgsum  32448  esumnul  32451  esum0  32452  gsumesum  32462  esumsnf  32467  esumss  32475  esumpfinval  32478  esumpfinvalf  32479  esumcocn  32483  sitmcl  32755
  Copyright terms: Public domain W3C validator