Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  xrge00 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xrge00 31659
Description: The zero of the extended nonnegative real numbers monoid. (Contributed by Thierry Arnoux, 30-Jan-2017.)
Assertion
Ref Expression
xrge00 0 = (0g‘(ℝ*𝑠s (0[,]+∞)))

Proof of Theorem xrge00
StepHypRef Expression
1 eqid 2738 . . 3 (ℝ*𝑠s (ℝ* ∖ {-∞})) = (ℝ*𝑠s (ℝ* ∖ {-∞}))
21xrs1mnd 20758 . 2 (ℝ*𝑠s (ℝ* ∖ {-∞})) ∈ Mnd
3 xrge0cmn 20762 . . 3 (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ CMnd
4 cmnmnd 19508 . . 3 ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ CMnd → (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ Mnd)
53, 4ax-mp 5 . 2 (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ Mnd
6 mnflt0 12975 . . . . . . 7 -∞ < 0
7 mnfxr 11146 . . . . . . . 8 -∞ ∈ ℝ*
8 0xr 11136 . . . . . . . 8 0 ∈ ℝ*
9 xrltnle 11156 . . . . . . . 8 ((-∞ ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*) → (-∞ < 0 ↔ ¬ 0 ≤ -∞))
107, 8, 9mp2an 691 . . . . . . 7 (-∞ < 0 ↔ ¬ 0 ≤ -∞)
116, 10mpbi 229 . . . . . 6 ¬ 0 ≤ -∞
1211intnan 488 . . . . 5 ¬ (-∞ ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ -∞)
13 elxrge0 13303 . . . . 5 (-∞ ∈ (0[,]+∞) ↔ (-∞ ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ -∞))
1412, 13mtbir 323 . . . 4 ¬ -∞ ∈ (0[,]+∞)
15 difsn 4757 . . . 4 (¬ -∞ ∈ (0[,]+∞) → ((0[,]+∞) ∖ {-∞}) = (0[,]+∞))
1614, 15ax-mp 5 . . 3 ((0[,]+∞) ∖ {-∞}) = (0[,]+∞)
17 iccssxr 13276 . . . 4 (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
18 ssdif 4098 . . . 4 ((0[,]+∞) ⊆ ℝ* → ((0[,]+∞) ∖ {-∞}) ⊆ (ℝ* ∖ {-∞}))
1917, 18ax-mp 5 . . 3 ((0[,]+∞) ∖ {-∞}) ⊆ (ℝ* ∖ {-∞})
2016, 19eqsstrri 3978 . 2 (0[,]+∞) ⊆ (ℝ* ∖ {-∞})
21 0e0iccpnf 13305 . 2 0 ∈ (0[,]+∞)
22 difss 4090 . . . . 5 (ℝ* ∖ {-∞}) ⊆ ℝ*
23 df-ss 3926 . . . . 5 ((ℝ* ∖ {-∞}) ⊆ ℝ* ↔ ((ℝ* ∖ {-∞}) ∩ ℝ*) = (ℝ* ∖ {-∞}))
2422, 23mpbi 229 . . . 4 ((ℝ* ∖ {-∞}) ∩ ℝ*) = (ℝ* ∖ {-∞})
25 xrex 12841 . . . . . 6 * ∈ V
26 difexg 5283 . . . . . 6 (ℝ* ∈ V → (ℝ* ∖ {-∞}) ∈ V)
2725, 26ax-mp 5 . . . . 5 (ℝ* ∖ {-∞}) ∈ V
28 xrsbas 20736 . . . . . 6 * = (Base‘ℝ*𝑠)
291, 28ressbas 17053 . . . . 5 ((ℝ* ∖ {-∞}) ∈ V → ((ℝ* ∖ {-∞}) ∩ ℝ*) = (Base‘(ℝ*𝑠s (ℝ* ∖ {-∞}))))
3027, 29ax-mp 5 . . . 4 ((ℝ* ∖ {-∞}) ∩ ℝ*) = (Base‘(ℝ*𝑠s (ℝ* ∖ {-∞})))
3124, 30eqtr3i 2768 . . 3 (ℝ* ∖ {-∞}) = (Base‘(ℝ*𝑠s (ℝ* ∖ {-∞})))
321xrs10 20759 . . 3 0 = (0g‘(ℝ*𝑠s (ℝ* ∖ {-∞})))
33 ovex 7383 . . . . 5 (0[,]+∞) ∈ V
34 ressress 17064 . . . . 5 (((ℝ* ∖ {-∞}) ∈ V ∧ (0[,]+∞) ∈ V) → ((ℝ*𝑠s (ℝ* ∖ {-∞})) ↾s (0[,]+∞)) = (ℝ*𝑠s ((ℝ* ∖ {-∞}) ∩ (0[,]+∞))))
3527, 33, 34mp2an 691 . . . 4 ((ℝ*𝑠s (ℝ* ∖ {-∞})) ↾s (0[,]+∞)) = (ℝ*𝑠s ((ℝ* ∖ {-∞}) ∩ (0[,]+∞)))
36 dfss 3927 . . . . . . 7 ((0[,]+∞) ⊆ (ℝ* ∖ {-∞}) ↔ (0[,]+∞) = ((0[,]+∞) ∩ (ℝ* ∖ {-∞})))
3720, 36mpbi 229 . . . . . 6 (0[,]+∞) = ((0[,]+∞) ∩ (ℝ* ∖ {-∞}))
38 incom 4160 . . . . . 6 ((0[,]+∞) ∩ (ℝ* ∖ {-∞})) = ((ℝ* ∖ {-∞}) ∩ (0[,]+∞))
3937, 38eqtr2i 2767 . . . . 5 ((ℝ* ∖ {-∞}) ∩ (0[,]+∞)) = (0[,]+∞)
4039oveq2i 7361 . . . 4 (ℝ*𝑠s ((ℝ* ∖ {-∞}) ∩ (0[,]+∞))) = (ℝ*𝑠s (0[,]+∞))
4135, 40eqtr2i 2767 . . 3 (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) = ((ℝ*𝑠s (ℝ* ∖ {-∞})) ↾s (0[,]+∞))
4231, 32, 41submnd0 18520 . 2 ((((ℝ*𝑠s (ℝ* ∖ {-∞})) ∈ Mnd ∧ (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ Mnd) ∧ ((0[,]+∞) ⊆ (ℝ* ∖ {-∞}) ∧ 0 ∈ (0[,]+∞))) → 0 = (0g‘(ℝ*𝑠s (0[,]+∞))))
432, 5, 20, 21, 42mp4an 692 1 0 = (0g‘(ℝ*𝑠s (0[,]+∞)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wb 205  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  Vcvv 3444  cdif 3906  cin 3908  wss 3909  {csn 4585   class class class wbr 5104  cfv 6492  (class class class)co 7350  0cc0 10985  +∞cpnf 11120  -∞cmnf 11121  *cxr 11122   < clt 11123  cle 11124  [,]cicc 13196  Basecbs 17018  s cress 17047  0gc0g 17256  *𝑠cxrs 17317  Mndcmnd 18491  CMndccmn 19491
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2709  ax-sep 5255  ax-nul 5262  ax-pow 5319  ax-pr 5383  ax-un 7663  ax-cnex 11041  ax-resscn 11042  ax-1cn 11043  ax-icn 11044  ax-addcl 11045  ax-addrcl 11046  ax-mulcl 11047  ax-mulrcl 11048  ax-mulcom 11049  ax-addass 11050  ax-mulass 11051  ax-distr 11052  ax-i2m1 11053  ax-1ne0 11054  ax-1rid 11055  ax-rnegex 11056  ax-rrecex 11057  ax-cnre 11058  ax-pre-lttri 11059  ax-pre-lttrn 11060  ax-pre-ltadd 11061  ax-pre-mulgt0 11062
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3064  df-rex 3073  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3739  df-csb 3855  df-dif 3912  df-un 3914  df-in 3916  df-ss 3926  df-pss 3928  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4865  df-iun 4955  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5188  df-tr 5222  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6250  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6444  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7306  df-ov 7353  df-oprab 7354  df-mpo 7355  df-om 7794  df-1st 7912  df-2nd 7913  df-frecs 8180  df-wrecs 8211  df-recs 8285  df-rdg 8324  df-1o 8380  df-er 8582  df-en 8818  df-dom 8819  df-sdom 8820  df-fin 8821  df-pnf 11125  df-mnf 11126  df-xr 11127  df-ltxr 11128  df-le 11129  df-sub 11321  df-neg 11322  df-nn 12088  df-2 12150  df-3 12151  df-4 12152  df-5 12153  df-6 12154  df-7 12155  df-8 12156  df-9 12157  df-n0 12348  df-z 12434  df-dec 12552  df-uz 12697  df-xadd 12963  df-icc 13200  df-fz 13354  df-struct 16954  df-sets 16971  df-slot 16989  df-ndx 17001  df-base 17019  df-ress 17048  df-plusg 17081  df-mulr 17082  df-tset 17087  df-ple 17088  df-ds 17090  df-0g 17258  df-xrs 17319  df-mgm 18432  df-sgrp 18481  df-mnd 18492  df-submnd 18537  df-cmn 19493
This theorem is referenced by:  xrge0mulgnn0  31662  xrge0slmod  31921  xrge0iifmhm  32281  esumgsum  32405  esumnul  32408  esum0  32409  gsumesum  32419  esumsnf  32424  esumss  32432  esumpfinval  32435  esumpfinvalf  32436  esumcocn  32440  sitmcl  32712
  Copyright terms: Public domain W3C validator