Theorem xrge00 33096

Description: The zero of the extended nonnegative real numbers monoid. (Contributed by Thierry Arnoux, 30-Jan-2017.)

Assertion

Ref	Expression
xrge00	⊢ 0 = (0g‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)))

Proof of Theorem xrge00

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2736	. . 3 ⊢ (ℝ*𝑠 ↾s (ℝ* ∖ {-∞})) = (ℝ*𝑠 ↾s (ℝ* ∖ {-∞}))
2	1	xrs1mnd 21395	. 2 ⊢ (ℝ*𝑠 ↾s (ℝ* ∖ {-∞})) ∈ Mnd
3		xrge0cmn 21399	. . 3 ⊢ (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ CMnd
4		cmnmnd 19726	. . 3 ⊢ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ CMnd → (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ Mnd)
5	3, 4	ax-mp 5	. 2 ⊢ (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ Mnd
6		mnflt0 13039	. . . . . . 7 ⊢ -∞ < 0
7		mnfxr 11189	. . . . . . . 8 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
8		0xr 11179	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℝ*
9		xrltnle 11199	. . . . . . . 8 ⊢ ((-∞ ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*) → (-∞ < 0 ↔ ¬ 0 ≤ -∞))
10	7, 8, 9	mp2an 692	. . . . . . 7 ⊢ (-∞ < 0 ↔ ¬ 0 ≤ -∞)
11	6, 10	mpbi 230	. . . . . 6 ⊢ ¬ 0 ≤ -∞
12	11	intnan 486	. . . . 5 ⊢ ¬ (-∞ ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ -∞)
13		elxrge0 13373	. . . . 5 ⊢ (-∞ ∈ (0[,]+∞) ↔ (-∞ ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ -∞))
14	12, 13	mtbir 323	. . . 4 ⊢ ¬ -∞ ∈ (0[,]+∞)
15		difsn 4754	. . . 4 ⊢ (¬ -∞ ∈ (0[,]+∞) → ((0[,]+∞) ∖ {-∞}) = (0[,]+∞))
16	14, 15	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ((0[,]+∞) ∖ {-∞}) = (0[,]+∞)
17		iccssxr 13346	. . . 4 ⊢ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
18		ssdif 4096	. . . 4 ⊢ ((0[,]+∞) ⊆ ℝ* → ((0[,]+∞) ∖ {-∞}) ⊆ (ℝ* ∖ {-∞}))
19	17, 18	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ((0[,]+∞) ∖ {-∞}) ⊆ (ℝ* ∖ {-∞})
20	16, 19	eqsstrri 3981	. 2 ⊢ (0[,]+∞) ⊆ (ℝ* ∖ {-∞})
21		0e0iccpnf 13375	. 2 ⊢ 0 ∈ (0[,]+∞)
22		difss 4088	. . . . 5 ⊢ (ℝ* ∖ {-∞}) ⊆ ℝ*
23		dfss2 3919	. . . . 5 ⊢ ((ℝ* ∖ {-∞}) ⊆ ℝ* ↔ ((ℝ* ∖ {-∞}) ∩ ℝ*) = (ℝ* ∖ {-∞}))
24	22, 23	mpbi 230	. . . 4 ⊢ ((ℝ* ∖ {-∞}) ∩ ℝ*) = (ℝ* ∖ {-∞})
25		xrex 12900	. . . . . 6 ⊢ ℝ* ∈ V
26		difexg 5274	. . . . . 6 ⊢ (ℝ* ∈ V → (ℝ* ∖ {-∞}) ∈ V)
27	25, 26	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (ℝ* ∖ {-∞}) ∈ V
28		xrsbas 17527	. . . . . 6 ⊢ ℝ* = (Base‘ℝ*𝑠)
29	1, 28	ressbas 17163	. . . . 5 ⊢ ((ℝ* ∖ {-∞}) ∈ V → ((ℝ* ∖ {-∞}) ∩ ℝ*) = (Base‘(ℝ*𝑠 ↾s (ℝ* ∖ {-∞}))))
30	27, 29	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ((ℝ* ∖ {-∞}) ∩ ℝ*) = (Base‘(ℝ*𝑠 ↾s (ℝ* ∖ {-∞})))
31	24, 30	eqtr3i 2761	. . 3 ⊢ (ℝ* ∖ {-∞}) = (Base‘(ℝ*𝑠 ↾s (ℝ* ∖ {-∞})))
32	1	xrs10 21396	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘(ℝ*𝑠 ↾s (ℝ* ∖ {-∞})))
33		ovex 7391	. . . . 5 ⊢ (0[,]+∞) ∈ V
34		ressress 17174	. . . . 5 ⊢ (((ℝ* ∖ {-∞}) ∈ V ∧ (0[,]+∞) ∈ V) → ((ℝ*𝑠 ↾s (ℝ* ∖ {-∞})) ↾s (0[,]+∞)) = (ℝ*𝑠 ↾s ((ℝ* ∖ {-∞}) ∩ (0[,]+∞))))
35	27, 33, 34	mp2an 692	. . . 4 ⊢ ((ℝ*𝑠 ↾s (ℝ* ∖ {-∞})) ↾s (0[,]+∞)) = (ℝ*𝑠 ↾s ((ℝ* ∖ {-∞}) ∩ (0[,]+∞)))
36		dfss 3920	. . . . . . 7 ⊢ ((0[,]+∞) ⊆ (ℝ* ∖ {-∞}) ↔ (0[,]+∞) = ((0[,]+∞) ∩ (ℝ* ∖ {-∞})))
37	20, 36	mpbi 230	. . . . . 6 ⊢ (0[,]+∞) = ((0[,]+∞) ∩ (ℝ* ∖ {-∞}))
38		incom 4161	. . . . . 6 ⊢ ((0[,]+∞) ∩ (ℝ* ∖ {-∞})) = ((ℝ* ∖ {-∞}) ∩ (0[,]+∞))
39	37, 38	eqtr2i 2760	. . . . 5 ⊢ ((ℝ* ∖ {-∞}) ∩ (0[,]+∞)) = (0[,]+∞)
40	39	oveq2i 7369	. . . 4 ⊢ (ℝ*𝑠 ↾s ((ℝ* ∖ {-∞}) ∩ (0[,]+∞))) = (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞))
41	35, 40	eqtr2i 2760	. . 3 ⊢ (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) = ((ℝ*𝑠 ↾s (ℝ* ∖ {-∞})) ↾s (0[,]+∞))
42	31, 32, 41	submnd0 18688	. 2 ⊢ ((((ℝ*𝑠 ↾s (ℝ* ∖ {-∞})) ∈ Mnd ∧ (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ Mnd) ∧ ((0[,]+∞) ⊆ (ℝ* ∖ {-∞}) ∧ 0 ∈ (0[,]+∞))) → 0 = (0g‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞))))
43	2, 5, 20, 21, 42	mp4an 693	1 ⊢ 0 = (0g‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  Vcvv 3440   ∖ cdif 3898   ∩ cin 3900   ⊆ wss 3901  {csn 4580   class class class wbr 5098  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  0cc0 11026  +∞cpnf 11163  -∞cmnf 11164  ℝ^*cxr 11165   < clt 11166   ≤ cle 11167  [,]cicc 13264  Basecbs 17136   ↾_s cress 17157  0_gc0g 17359  ℝ^*_𝑠cxrs 17421  Mndcmnd 18659  CMndccmn 19709

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-tp 4585  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-nn 12146  df-2 12208  df-3 12209  df-4 12210  df-5 12211  df-6 12212  df-7 12213  df-8 12214  df-9 12215  df-n0 12402  df-z 12489  df-dec 12608  df-uz 12752  df-xadd 13027  df-icc 13268  df-fz 13424  df-struct 17074  df-sets 17091  df-slot 17109  df-ndx 17121  df-base 17137  df-ress 17158  df-plusg 17190  df-mulr 17191  df-tset 17196  df-ple 17197  df-ds 17199  df-0g 17361  df-xrs 17423  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-submnd 18709  df-cmn 19711

This theorem is referenced by:  xrge0mulgnn0  33097  xrge0slmod  33429  xrge0iifmhm  34096  esumgsum  34202  esumnul  34205  esum0  34206  gsumesum  34216  esumsnf  34221  esumss  34229  esumpfinval  34232  esumpfinvalf  34233  esumcocn  34237  sitmcl  34508