Theorem xrge00 33454

Description: The zero of the extended nonnegative real numbers monoid. (Contributed by Thierry Arnoux, 30-Jan-2017.)

Assertion

Ref	Expression
xrge00	⊢ 0 = (0g‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)))

Proof of Theorem xrge00

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2760	. . 3 ⊢ (ℝ*𝑠 ↾s (ℝ* ∖ {-∞})) = (ℝ*𝑠 ↾s (ℝ* ∖ {-∞}))
2	1	xrs1mnd 21653	. 2 ⊢ (ℝ*𝑠 ↾s (ℝ* ∖ {-∞})) ∈ Mnd
3		xrge0cmn 21657	. . 3 ⊢ (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ CMnd
4		cmnmnd 19924	. . 3 ⊢ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ CMnd → (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ Mnd)
5	3, 4	ax-mp 5	. 2 ⊢ (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ Mnd
6		mnflt0 13176	. . . . . . 7 ⊢ -∞ < 0
7		mnfxr 11290	. . . . . . . 8 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
8		0xr 11280	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℝ*
9		xrltnle 11300	. . . . . . . 8 ⊢ ((-∞ ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*) → (-∞ < 0 ↔ ¬ 0 ≤ -∞))
10	7, 8, 9	mp2an 705	. . . . . . 7 ⊢ (-∞ < 0 ↔ ¬ 0 ≤ -∞)
11	6, 10	mpbi 233	. . . . . 6 ⊢ ¬ 0 ≤ -∞
12	11	intnan 492	. . . . 5 ⊢ ¬ (-∞ ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ -∞)
13		elxrge0 13510	. . . . 5 ⊢ (-∞ ∈ (0[,]+∞) ↔ (-∞ ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ -∞))
14	12, 13	mtbir 326	. . . 4 ⊢ ¬ -∞ ∈ (0[,]+∞)
15		difsn 4761	. . . 4 ⊢ (¬ -∞ ∈ (0[,]+∞) → ((0[,]+∞) ∖ {-∞}) = (0[,]+∞))
16	14, 15	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ((0[,]+∞) ∖ {-∞}) = (0[,]+∞)
17		iccssxr 13483	. . . 4 ⊢ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
18		ssdif 4091	. . . 4 ⊢ ((0[,]+∞) ⊆ ℝ* → ((0[,]+∞) ∖ {-∞}) ⊆ (ℝ* ∖ {-∞}))
19	17, 18	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ((0[,]+∞) ∖ {-∞}) ⊆ (ℝ* ∖ {-∞})
20	16, 19	eqsstrri 3978	. 2 ⊢ (0[,]+∞) ⊆ (ℝ* ∖ {-∞})
21		0e0iccpnf 13512	. 2 ⊢ 0 ∈ (0[,]+∞)
22		difss 4083	. . . . 5 ⊢ (ℝ* ∖ {-∞}) ⊆ ℝ*
23		dfss2 3917	. . . . 5 ⊢ ((ℝ* ∖ {-∞}) ⊆ ℝ* ↔ ((ℝ* ∖ {-∞}) ∩ ℝ*) = (ℝ* ∖ {-∞}))
24	22, 23	mpbi 233	. . . 4 ⊢ ((ℝ* ∖ {-∞}) ∩ ℝ*) = (ℝ* ∖ {-∞})
25		xrex 13037	. . . . . 6 ⊢ ℝ* ∈ V
26		difexg 5294	. . . . . 6 ⊢ (ℝ* ∈ V → (ℝ* ∖ {-∞}) ∈ V)
27	25, 26	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (ℝ* ∖ {-∞}) ∈ V
28		xrsbas 17692	. . . . . 6 ⊢ ℝ* = (Base‘ℝ*𝑠)
29	1, 28	ressbas 17328	. . . . 5 ⊢ ((ℝ* ∖ {-∞}) ∈ V → ((ℝ* ∖ {-∞}) ∩ ℝ*) = (Base‘(ℝ*𝑠 ↾s (ℝ* ∖ {-∞}))))
30	27, 29	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ((ℝ* ∖ {-∞}) ∩ ℝ*) = (Base‘(ℝ*𝑠 ↾s (ℝ* ∖ {-∞})))
31	24, 30	eqtr3i 2785	. . 3 ⊢ (ℝ* ∖ {-∞}) = (Base‘(ℝ*𝑠 ↾s (ℝ* ∖ {-∞})))
32	1	xrs10 21654	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘(ℝ*𝑠 ↾s (ℝ* ∖ {-∞})))
33		ovex 7446	. . . . 5 ⊢ (0[,]+∞) ∈ V
34		ressress 17339	. . . . 5 ⊢ (((ℝ* ∖ {-∞}) ∈ V ∧ (0[,]+∞) ∈ V) → ((ℝ*𝑠 ↾s (ℝ* ∖ {-∞})) ↾s (0[,]+∞)) = (ℝ*𝑠 ↾s ((ℝ* ∖ {-∞}) ∩ (0[,]+∞))))
35	27, 33, 34	mp2an 705	. . . 4 ⊢ ((ℝ*𝑠 ↾s (ℝ* ∖ {-∞})) ↾s (0[,]+∞)) = (ℝ*𝑠 ↾s ((ℝ* ∖ {-∞}) ∩ (0[,]+∞)))
36		dfss 3918	. . . . . . 7 ⊢ ((0[,]+∞) ⊆ (ℝ* ∖ {-∞}) ↔ (0[,]+∞) = ((0[,]+∞) ∩ (ℝ* ∖ {-∞})))
37	20, 36	mpbi 233	. . . . . 6 ⊢ (0[,]+∞) = ((0[,]+∞) ∩ (ℝ* ∖ {-∞}))
38		incom 4155	. . . . . 6 ⊢ ((0[,]+∞) ∩ (ℝ* ∖ {-∞})) = ((ℝ* ∖ {-∞}) ∩ (0[,]+∞))
39	37, 38	eqtr2i 2784	. . . . 5 ⊢ ((ℝ* ∖ {-∞}) ∩ (0[,]+∞)) = (0[,]+∞)
40	39	oveq2i 7424	. . . 4 ⊢ (ℝ*𝑠 ↾s ((ℝ* ∖ {-∞}) ∩ (0[,]+∞))) = (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞))
41	35, 40	eqtr2i 2784	. . 3 ⊢ (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) = ((ℝ*𝑠 ↾s (ℝ* ∖ {-∞})) ↾s (0[,]+∞))
42	31, 32, 41	submnd0 18869	. 2 ⊢ ((((ℝ*𝑠 ↾s (ℝ* ∖ {-∞})) ∈ Mnd ∧ (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ Mnd) ∧ ((0[,]+∞) ⊆ (ℝ* ∖ {-∞}) ∧ 0 ∈ (0[,]+∞))) → 0 = (0g‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞))))
43	2, 5, 20, 21, 42	mp4an 706	1 ⊢ 0 = (0g‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  Vcvv 3450   ∖ cdif 3896   ∩ cin 3898   ⊆ wss 3899  {csn 4584   class class class wbr 5103  ‘cfv 6533  (class class class)co 7413  0cc0 11124  +∞cpnf 11264  -∞cmnf 11265  ℝ^*cxr 11266   < clt 11267   ≤ cle 11268  [,]cicc 13401  Basecbs 17301   ↾_s cress 17322  0_gc0g 17524  ℝ^*_𝑠cxrs 17586  Mndcmnd 18836  CMndccmn 19907

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-er 8696  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11467  df-neg 11468  df-nn 12258  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12529  df-z 12616  df-dec 12737  df-uz 12888  df-xadd 13164  df-icc 13405  df-fz 13562  df-struct 17239  df-sets 17256  df-slot 17274  df-ndx 17286  df-base 17302  df-ress 17323  df-plusg 17355  df-mulr 17356  df-tset 17361  df-ple 17362  df-ds 17364  df-0g 17526  df-xrs 17588  df-mgm 18730  df-sgrp 18821  df-mnd 18837  df-submnd 18892  df-cmn 19909

This theorem is used by:  xrge0mulgnn0  33455  xrge0slmod  33788  xrge0iifmhm  34449  esumgsum  34555  esumnul  34558  esum0  34559  gsumesum  34569  esumsnf  34574  esumss  34582  esumpfinval  34585  esumpfinvalf  34586  esumcocn  34590  sitmcl  34862