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Theorem tgioo 24182
Description: The topology generated by open intervals of reals is the same as the open sets of the standard metric space on the reals. (Contributed by NM, 7-May-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Nov-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
remet.1 𝐷 = ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))
tgioo.2 𝐽 = (MetOpenβ€˜π·)
Assertion
Ref Expression
tgioo (topGenβ€˜ran (,)) = 𝐽

Proof of Theorem tgioo
Dummy variables π‘₯ 𝑦 𝑧 π‘Ž 𝑏 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 remet.1 . . . 4 𝐷 = ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))
21rexmet 24177 . . 3 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜β„)
3 tgioo.2 . . . 4 𝐽 = (MetOpenβ€˜π·)
43mopnval 23814 . . 3 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜β„) β†’ 𝐽 = (topGenβ€˜ran (ballβ€˜π·)))
52, 4ax-mp 5 . 2 𝐽 = (topGenβ€˜ran (ballβ€˜π·))
61blssioo 24181 . . 3 ran (ballβ€˜π·) βŠ† ran (,)
7 elssuni 4902 . . . . . . 7 (𝑣 ∈ ran (,) β†’ 𝑣 βŠ† βˆͺ ran (,))
8 unirnioo 13375 . . . . . . 7 ℝ = βˆͺ ran (,)
97, 8sseqtrrdi 3999 . . . . . 6 (𝑣 ∈ ran (,) β†’ 𝑣 βŠ† ℝ)
10 retopbas 24147 . . . . . . . . . 10 ran (,) ∈ TopBases
1110a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝑣 ∈ ran (,) ∧ π‘₯ ∈ 𝑣) β†’ ran (,) ∈ TopBases)
12 simpl 484 . . . . . . . . 9 ((𝑣 ∈ ran (,) ∧ π‘₯ ∈ 𝑣) β†’ 𝑣 ∈ ran (,))
139sselda 3948 . . . . . . . . . 10 ((𝑣 ∈ ran (,) ∧ π‘₯ ∈ 𝑣) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
14 1re 11163 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ ℝ
151bl2ioo 24178 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) β†’ (π‘₯(ballβ€˜π·)1) = ((π‘₯ βˆ’ 1)(,)(π‘₯ + 1)))
1614, 15mpan2 690 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ ∈ ℝ β†’ (π‘₯(ballβ€˜π·)1) = ((π‘₯ βˆ’ 1)(,)(π‘₯ + 1)))
17 ioof 13373 . . . . . . . . . . . . 13 (,):(ℝ* Γ— ℝ*)βŸΆπ’« ℝ
18 ffn 6672 . . . . . . . . . . . . 13 ((,):(ℝ* Γ— ℝ*)βŸΆπ’« ℝ β†’ (,) Fn (ℝ* Γ— ℝ*))
1917, 18ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 (,) Fn (ℝ* Γ— ℝ*)
20 peano2rem 11476 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ ∈ ℝ β†’ (π‘₯ βˆ’ 1) ∈ ℝ)
2120rexrd 11213 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ ∈ ℝ β†’ (π‘₯ βˆ’ 1) ∈ ℝ*)
22 peano2re 11336 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ ∈ ℝ β†’ (π‘₯ + 1) ∈ ℝ)
2322rexrd 11213 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ ∈ ℝ β†’ (π‘₯ + 1) ∈ ℝ*)
24 fnovrn 7533 . . . . . . . . . . . 12 (((,) Fn (ℝ* Γ— ℝ*) ∧ (π‘₯ βˆ’ 1) ∈ ℝ* ∧ (π‘₯ + 1) ∈ ℝ*) β†’ ((π‘₯ βˆ’ 1)(,)(π‘₯ + 1)) ∈ ran (,))
2519, 21, 23, 24mp3an2i 1467 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ ∈ ℝ β†’ ((π‘₯ βˆ’ 1)(,)(π‘₯ + 1)) ∈ ran (,))
2616, 25eqeltrd 2834 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ ℝ β†’ (π‘₯(ballβ€˜π·)1) ∈ ran (,))
2713, 26syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝑣 ∈ ran (,) ∧ π‘₯ ∈ 𝑣) β†’ (π‘₯(ballβ€˜π·)1) ∈ ran (,))
28 simpr 486 . . . . . . . . . 10 ((𝑣 ∈ ran (,) ∧ π‘₯ ∈ 𝑣) β†’ π‘₯ ∈ 𝑣)
29 1rp 12927 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ ℝ+
30 blcntr 23789 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜β„) ∧ π‘₯ ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ+) β†’ π‘₯ ∈ (π‘₯(ballβ€˜π·)1))
312, 29, 30mp3an13 1453 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ ∈ ℝ β†’ π‘₯ ∈ (π‘₯(ballβ€˜π·)1))
3213, 31syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝑣 ∈ ran (,) ∧ π‘₯ ∈ 𝑣) β†’ π‘₯ ∈ (π‘₯(ballβ€˜π·)1))
3328, 32elind 4158 . . . . . . . . 9 ((𝑣 ∈ ran (,) ∧ π‘₯ ∈ 𝑣) β†’ π‘₯ ∈ (𝑣 ∩ (π‘₯(ballβ€˜π·)1)))
34 basis2 22324 . . . . . . . . 9 (((ran (,) ∈ TopBases ∧ 𝑣 ∈ ran (,)) ∧ ((π‘₯(ballβ€˜π·)1) ∈ ran (,) ∧ π‘₯ ∈ (𝑣 ∩ (π‘₯(ballβ€˜π·)1)))) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ ran (,)(π‘₯ ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 βŠ† (𝑣 ∩ (π‘₯(ballβ€˜π·)1))))
3511, 12, 27, 33, 34syl22anc 838 . . . . . . . 8 ((𝑣 ∈ ran (,) ∧ π‘₯ ∈ 𝑣) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ ran (,)(π‘₯ ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 βŠ† (𝑣 ∩ (π‘₯(ballβ€˜π·)1))))
36 ovelrn 7534 . . . . . . . . . . 11 ((,) Fn (ℝ* Γ— ℝ*) β†’ (𝑧 ∈ ran (,) ↔ βˆƒπ‘Ž ∈ ℝ* βˆƒπ‘ ∈ ℝ* 𝑧 = (π‘Ž(,)𝑏)))
3719, 36ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ ran (,) ↔ βˆƒπ‘Ž ∈ ℝ* βˆƒπ‘ ∈ ℝ* 𝑧 = (π‘Ž(,)𝑏))
38 eleq2 2823 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 = (π‘Ž(,)𝑏) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑧 ↔ π‘₯ ∈ (π‘Ž(,)𝑏)))
39 sseq1 3973 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 = (π‘Ž(,)𝑏) β†’ (𝑧 βŠ† (𝑣 ∩ (π‘₯(ballβ€˜π·)1)) ↔ (π‘Ž(,)𝑏) βŠ† (𝑣 ∩ (π‘₯(ballβ€˜π·)1))))
4038, 39anbi12d 632 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 = (π‘Ž(,)𝑏) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 βŠ† (𝑣 ∩ (π‘₯(ballβ€˜π·)1))) ↔ (π‘₯ ∈ (π‘Ž(,)𝑏) ∧ (π‘Ž(,)𝑏) βŠ† (𝑣 ∩ (π‘₯(ballβ€˜π·)1)))))
41 inss2 4193 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑣 ∩ (π‘₯(ballβ€˜π·)1)) βŠ† (π‘₯(ballβ€˜π·)1)
42 sstr 3956 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((π‘Ž(,)𝑏) βŠ† (𝑣 ∩ (π‘₯(ballβ€˜π·)1)) ∧ (𝑣 ∩ (π‘₯(ballβ€˜π·)1)) βŠ† (π‘₯(ballβ€˜π·)1)) β†’ (π‘Ž(,)𝑏) βŠ† (π‘₯(ballβ€˜π·)1))
4341, 42mpan2 690 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((π‘Ž(,)𝑏) βŠ† (𝑣 ∩ (π‘₯(ballβ€˜π·)1)) β†’ (π‘Ž(,)𝑏) βŠ† (π‘₯(ballβ€˜π·)1))
4443adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((π‘₯ ∈ (π‘Ž(,)𝑏) ∧ (π‘Ž(,)𝑏) βŠ† (𝑣 ∩ (π‘₯(ballβ€˜π·)1))) β†’ (π‘Ž(,)𝑏) βŠ† (π‘₯(ballβ€˜π·)1))
45 elioore 13303 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (π‘₯ ∈ (π‘Ž(,)𝑏) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
4645adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((π‘₯ ∈ (π‘Ž(,)𝑏) ∧ (π‘Ž(,)𝑏) βŠ† (𝑣 ∩ (π‘₯(ballβ€˜π·)1))) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
4746, 16syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((π‘₯ ∈ (π‘Ž(,)𝑏) ∧ (π‘Ž(,)𝑏) βŠ† (𝑣 ∩ (π‘₯(ballβ€˜π·)1))) β†’ (π‘₯(ballβ€˜π·)1) = ((π‘₯ βˆ’ 1)(,)(π‘₯ + 1)))
4844, 47sseqtrd 3988 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((π‘₯ ∈ (π‘Ž(,)𝑏) ∧ (π‘Ž(,)𝑏) βŠ† (𝑣 ∩ (π‘₯(ballβ€˜π·)1))) β†’ (π‘Ž(,)𝑏) βŠ† ((π‘₯ βˆ’ 1)(,)(π‘₯ + 1)))
49 dfss 3932 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((π‘Ž(,)𝑏) βŠ† ((π‘₯ βˆ’ 1)(,)(π‘₯ + 1)) ↔ (π‘Ž(,)𝑏) = ((π‘Ž(,)𝑏) ∩ ((π‘₯ βˆ’ 1)(,)(π‘₯ + 1))))
5048, 49sylib 217 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((π‘₯ ∈ (π‘Ž(,)𝑏) ∧ (π‘Ž(,)𝑏) βŠ† (𝑣 ∩ (π‘₯(ballβ€˜π·)1))) β†’ (π‘Ž(,)𝑏) = ((π‘Ž(,)𝑏) ∩ ((π‘₯ βˆ’ 1)(,)(π‘₯ + 1))))
51 eliooxr 13331 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (π‘₯ ∈ (π‘Ž(,)𝑏) β†’ (π‘Ž ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*))
5221, 23jca 513 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (π‘₯ ∈ ℝ β†’ ((π‘₯ βˆ’ 1) ∈ ℝ* ∧ (π‘₯ + 1) ∈ ℝ*))
5345, 52syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (π‘₯ ∈ (π‘Ž(,)𝑏) β†’ ((π‘₯ βˆ’ 1) ∈ ℝ* ∧ (π‘₯ + 1) ∈ ℝ*))
54 iooin 13307 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((π‘Ž ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*) ∧ ((π‘₯ βˆ’ 1) ∈ ℝ* ∧ (π‘₯ + 1) ∈ ℝ*)) β†’ ((π‘Ž(,)𝑏) ∩ ((π‘₯ βˆ’ 1)(,)(π‘₯ + 1))) = (if(π‘Ž ≀ (π‘₯ βˆ’ 1), (π‘₯ βˆ’ 1), π‘Ž)(,)if(𝑏 ≀ (π‘₯ + 1), 𝑏, (π‘₯ + 1))))
5551, 53, 54syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (π‘₯ ∈ (π‘Ž(,)𝑏) β†’ ((π‘Ž(,)𝑏) ∩ ((π‘₯ βˆ’ 1)(,)(π‘₯ + 1))) = (if(π‘Ž ≀ (π‘₯ βˆ’ 1), (π‘₯ βˆ’ 1), π‘Ž)(,)if(𝑏 ≀ (π‘₯ + 1), 𝑏, (π‘₯ + 1))))
5655adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((π‘₯ ∈ (π‘Ž(,)𝑏) ∧ (π‘Ž(,)𝑏) βŠ† (𝑣 ∩ (π‘₯(ballβ€˜π·)1))) β†’ ((π‘Ž(,)𝑏) ∩ ((π‘₯ βˆ’ 1)(,)(π‘₯ + 1))) = (if(π‘Ž ≀ (π‘₯ βˆ’ 1), (π‘₯ βˆ’ 1), π‘Ž)(,)if(𝑏 ≀ (π‘₯ + 1), 𝑏, (π‘₯ + 1))))
5750, 56eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((π‘₯ ∈ (π‘Ž(,)𝑏) ∧ (π‘Ž(,)𝑏) βŠ† (𝑣 ∩ (π‘₯(ballβ€˜π·)1))) β†’ (π‘Ž(,)𝑏) = (if(π‘Ž ≀ (π‘₯ βˆ’ 1), (π‘₯ βˆ’ 1), π‘Ž)(,)if(𝑏 ≀ (π‘₯ + 1), 𝑏, (π‘₯ + 1))))
58 mnfxr 11220 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 -∞ ∈ ℝ*
5958a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((π‘₯ ∈ (π‘Ž(,)𝑏) ∧ (π‘Ž(,)𝑏) βŠ† (𝑣 ∩ (π‘₯(ballβ€˜π·)1))) β†’ -∞ ∈ ℝ*)
6046, 21syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((π‘₯ ∈ (π‘Ž(,)𝑏) ∧ (π‘Ž(,)𝑏) βŠ† (𝑣 ∩ (π‘₯(ballβ€˜π·)1))) β†’ (π‘₯ βˆ’ 1) ∈ ℝ*)
6151adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((π‘₯ ∈ (π‘Ž(,)𝑏) ∧ (π‘Ž(,)𝑏) βŠ† (𝑣 ∩ (π‘₯(ballβ€˜π·)1))) β†’ (π‘Ž ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*))
6261simpld 496 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((π‘₯ ∈ (π‘Ž(,)𝑏) ∧ (π‘Ž(,)𝑏) βŠ† (𝑣 ∩ (π‘₯(ballβ€˜π·)1))) β†’ π‘Ž ∈ ℝ*)
6360, 62ifcld 4536 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((π‘₯ ∈ (π‘Ž(,)𝑏) ∧ (π‘Ž(,)𝑏) βŠ† (𝑣 ∩ (π‘₯(ballβ€˜π·)1))) β†’ if(π‘Ž ≀ (π‘₯ βˆ’ 1), (π‘₯ βˆ’ 1), π‘Ž) ∈ ℝ*)
6461simprd 497 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((π‘₯ ∈ (π‘Ž(,)𝑏) ∧ (π‘Ž(,)𝑏) βŠ† (𝑣 ∩ (π‘₯(ballβ€˜π·)1))) β†’ 𝑏 ∈ ℝ*)
6546, 22syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((π‘₯ ∈ (π‘Ž(,)𝑏) ∧ (π‘Ž(,)𝑏) βŠ† (𝑣 ∩ (π‘₯(ballβ€˜π·)1))) β†’ (π‘₯ + 1) ∈ ℝ)
6665rexrd 11213 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((π‘₯ ∈ (π‘Ž(,)𝑏) ∧ (π‘Ž(,)𝑏) βŠ† (𝑣 ∩ (π‘₯(ballβ€˜π·)1))) β†’ (π‘₯ + 1) ∈ ℝ*)
6764, 66ifcld 4536 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((π‘₯ ∈ (π‘Ž(,)𝑏) ∧ (π‘Ž(,)𝑏) βŠ† (𝑣 ∩ (π‘₯(ballβ€˜π·)1))) β†’ if(𝑏 ≀ (π‘₯ + 1), 𝑏, (π‘₯ + 1)) ∈ ℝ*)
6845, 20syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (π‘₯ ∈ (π‘Ž(,)𝑏) β†’ (π‘₯ βˆ’ 1) ∈ ℝ)
6968adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((π‘₯ ∈ (π‘Ž(,)𝑏) ∧ (π‘Ž(,)𝑏) βŠ† (𝑣 ∩ (π‘₯(ballβ€˜π·)1))) β†’ (π‘₯ βˆ’ 1) ∈ ℝ)
7069mnfltd 13053 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((π‘₯ ∈ (π‘Ž(,)𝑏) ∧ (π‘Ž(,)𝑏) βŠ† (𝑣 ∩ (π‘₯(ballβ€˜π·)1))) β†’ -∞ < (π‘₯ βˆ’ 1))
71 xrmax2 13104 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((π‘Ž ∈ ℝ* ∧ (π‘₯ βˆ’ 1) ∈ ℝ*) β†’ (π‘₯ βˆ’ 1) ≀ if(π‘Ž ≀ (π‘₯ βˆ’ 1), (π‘₯ βˆ’ 1), π‘Ž))
7262, 60, 71syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((π‘₯ ∈ (π‘Ž(,)𝑏) ∧ (π‘Ž(,)𝑏) βŠ† (𝑣 ∩ (π‘₯(ballβ€˜π·)1))) β†’ (π‘₯ βˆ’ 1) ≀ if(π‘Ž ≀ (π‘₯ βˆ’ 1), (π‘₯ βˆ’ 1), π‘Ž))
7359, 60, 63, 70, 72xrltletrd 13089 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((π‘₯ ∈ (π‘Ž(,)𝑏) ∧ (π‘Ž(,)𝑏) βŠ† (𝑣 ∩ (π‘₯(ballβ€˜π·)1))) β†’ -∞ < if(π‘Ž ≀ (π‘₯ βˆ’ 1), (π‘₯ βˆ’ 1), π‘Ž))
74 simpl 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((π‘₯ ∈ (π‘Ž(,)𝑏) ∧ (π‘Ž(,)𝑏) βŠ† (𝑣 ∩ (π‘₯(ballβ€˜π·)1))) β†’ π‘₯ ∈ (π‘Ž(,)𝑏))
7574, 57eleqtrd 2836 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((π‘₯ ∈ (π‘Ž(,)𝑏) ∧ (π‘Ž(,)𝑏) βŠ† (𝑣 ∩ (π‘₯(ballβ€˜π·)1))) β†’ π‘₯ ∈ (if(π‘Ž ≀ (π‘₯ βˆ’ 1), (π‘₯ βˆ’ 1), π‘Ž)(,)if(𝑏 ≀ (π‘₯ + 1), 𝑏, (π‘₯ + 1))))
76 eliooxr 13331 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (π‘₯ ∈ (if(π‘Ž ≀ (π‘₯ βˆ’ 1), (π‘₯ βˆ’ 1), π‘Ž)(,)if(𝑏 ≀ (π‘₯ + 1), 𝑏, (π‘₯ + 1))) β†’ (if(π‘Ž ≀ (π‘₯ βˆ’ 1), (π‘₯ βˆ’ 1), π‘Ž) ∈ ℝ* ∧ if(𝑏 ≀ (π‘₯ + 1), 𝑏, (π‘₯ + 1)) ∈ ℝ*))
77 ne0i 4298 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (π‘₯ ∈ (if(π‘Ž ≀ (π‘₯ βˆ’ 1), (π‘₯ βˆ’ 1), π‘Ž)(,)if(𝑏 ≀ (π‘₯ + 1), 𝑏, (π‘₯ + 1))) β†’ (if(π‘Ž ≀ (π‘₯ βˆ’ 1), (π‘₯ βˆ’ 1), π‘Ž)(,)if(𝑏 ≀ (π‘₯ + 1), 𝑏, (π‘₯ + 1))) β‰  βˆ…)
78 ioon0 13299 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((if(π‘Ž ≀ (π‘₯ βˆ’ 1), (π‘₯ βˆ’ 1), π‘Ž) ∈ ℝ* ∧ if(𝑏 ≀ (π‘₯ + 1), 𝑏, (π‘₯ + 1)) ∈ ℝ*) β†’ ((if(π‘Ž ≀ (π‘₯ βˆ’ 1), (π‘₯ βˆ’ 1), π‘Ž)(,)if(𝑏 ≀ (π‘₯ + 1), 𝑏, (π‘₯ + 1))) β‰  βˆ… ↔ if(π‘Ž ≀ (π‘₯ βˆ’ 1), (π‘₯ βˆ’ 1), π‘Ž) < if(𝑏 ≀ (π‘₯ + 1), 𝑏, (π‘₯ + 1))))
7977, 78imbitrid 243 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((if(π‘Ž ≀ (π‘₯ βˆ’ 1), (π‘₯ βˆ’ 1), π‘Ž) ∈ ℝ* ∧ if(𝑏 ≀ (π‘₯ + 1), 𝑏, (π‘₯ + 1)) ∈ ℝ*) β†’ (π‘₯ ∈ (if(π‘Ž ≀ (π‘₯ βˆ’ 1), (π‘₯ βˆ’ 1), π‘Ž)(,)if(𝑏 ≀ (π‘₯ + 1), 𝑏, (π‘₯ + 1))) β†’ if(π‘Ž ≀ (π‘₯ βˆ’ 1), (π‘₯ βˆ’ 1), π‘Ž) < if(𝑏 ≀ (π‘₯ + 1), 𝑏, (π‘₯ + 1))))
8076, 79mpcom 38 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (π‘₯ ∈ (if(π‘Ž ≀ (π‘₯ βˆ’ 1), (π‘₯ βˆ’ 1), π‘Ž)(,)if(𝑏 ≀ (π‘₯ + 1), 𝑏, (π‘₯ + 1))) β†’ if(π‘Ž ≀ (π‘₯ βˆ’ 1), (π‘₯ βˆ’ 1), π‘Ž) < if(𝑏 ≀ (π‘₯ + 1), 𝑏, (π‘₯ + 1)))
8175, 80syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((π‘₯ ∈ (π‘Ž(,)𝑏) ∧ (π‘Ž(,)𝑏) βŠ† (𝑣 ∩ (π‘₯(ballβ€˜π·)1))) β†’ if(π‘Ž ≀ (π‘₯ βˆ’ 1), (π‘₯ βˆ’ 1), π‘Ž) < if(𝑏 ≀ (π‘₯ + 1), 𝑏, (π‘₯ + 1)))
82 xrre2 13098 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((-∞ ∈ ℝ* ∧ if(π‘Ž ≀ (π‘₯ βˆ’ 1), (π‘₯ βˆ’ 1), π‘Ž) ∈ ℝ* ∧ if(𝑏 ≀ (π‘₯ + 1), 𝑏, (π‘₯ + 1)) ∈ ℝ*) ∧ (-∞ < if(π‘Ž ≀ (π‘₯ βˆ’ 1), (π‘₯ βˆ’ 1), π‘Ž) ∧ if(π‘Ž ≀ (π‘₯ βˆ’ 1), (π‘₯ βˆ’ 1), π‘Ž) < if(𝑏 ≀ (π‘₯ + 1), 𝑏, (π‘₯ + 1)))) β†’ if(π‘Ž ≀ (π‘₯ βˆ’ 1), (π‘₯ βˆ’ 1), π‘Ž) ∈ ℝ)
8359, 63, 67, 73, 81, 82syl32anc 1379 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((π‘₯ ∈ (π‘Ž(,)𝑏) ∧ (π‘Ž(,)𝑏) βŠ† (𝑣 ∩ (π‘₯(ballβ€˜π·)1))) β†’ if(π‘Ž ≀ (π‘₯ βˆ’ 1), (π‘₯ βˆ’ 1), π‘Ž) ∈ ℝ)
84 mnfle 13063 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (if(π‘Ž ≀ (π‘₯ βˆ’ 1), (π‘₯ βˆ’ 1), π‘Ž) ∈ ℝ* β†’ -∞ ≀ if(π‘Ž ≀ (π‘₯ βˆ’ 1), (π‘₯ βˆ’ 1), π‘Ž))
8563, 84syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((π‘₯ ∈ (π‘Ž(,)𝑏) ∧ (π‘Ž(,)𝑏) βŠ† (𝑣 ∩ (π‘₯(ballβ€˜π·)1))) β†’ -∞ ≀ if(π‘Ž ≀ (π‘₯ βˆ’ 1), (π‘₯ βˆ’ 1), π‘Ž))
8659, 63, 67, 85, 81xrlelttrd 13088 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((π‘₯ ∈ (π‘Ž(,)𝑏) ∧ (π‘Ž(,)𝑏) βŠ† (𝑣 ∩ (π‘₯(ballβ€˜π·)1))) β†’ -∞ < if(𝑏 ≀ (π‘₯ + 1), 𝑏, (π‘₯ + 1)))
87 xrmin2 13106 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑏 ∈ ℝ* ∧ (π‘₯ + 1) ∈ ℝ*) β†’ if(𝑏 ≀ (π‘₯ + 1), 𝑏, (π‘₯ + 1)) ≀ (π‘₯ + 1))
8864, 66, 87syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((π‘₯ ∈ (π‘Ž(,)𝑏) ∧ (π‘Ž(,)𝑏) βŠ† (𝑣 ∩ (π‘₯(ballβ€˜π·)1))) β†’ if(𝑏 ≀ (π‘₯ + 1), 𝑏, (π‘₯ + 1)) ≀ (π‘₯ + 1))
89 xrre 13097 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((if(𝑏 ≀ (π‘₯ + 1), 𝑏, (π‘₯ + 1)) ∈ ℝ* ∧ (π‘₯ + 1) ∈ ℝ) ∧ (-∞ < if(𝑏 ≀ (π‘₯ + 1), 𝑏, (π‘₯ + 1)) ∧ if(𝑏 ≀ (π‘₯ + 1), 𝑏, (π‘₯ + 1)) ≀ (π‘₯ + 1))) β†’ if(𝑏 ≀ (π‘₯ + 1), 𝑏, (π‘₯ + 1)) ∈ ℝ)
9067, 65, 86, 88, 89syl22anc 838 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((π‘₯ ∈ (π‘Ž(,)𝑏) ∧ (π‘Ž(,)𝑏) βŠ† (𝑣 ∩ (π‘₯(ballβ€˜π·)1))) β†’ if(𝑏 ≀ (π‘₯ + 1), 𝑏, (π‘₯ + 1)) ∈ ℝ)
911ioo2blex 24180 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((if(π‘Ž ≀ (π‘₯ βˆ’ 1), (π‘₯ βˆ’ 1), π‘Ž) ∈ ℝ ∧ if(𝑏 ≀ (π‘₯ + 1), 𝑏, (π‘₯ + 1)) ∈ ℝ) β†’ (if(π‘Ž ≀ (π‘₯ βˆ’ 1), (π‘₯ βˆ’ 1), π‘Ž)(,)if(𝑏 ≀ (π‘₯ + 1), 𝑏, (π‘₯ + 1))) ∈ ran (ballβ€˜π·))
9283, 90, 91syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((π‘₯ ∈ (π‘Ž(,)𝑏) ∧ (π‘Ž(,)𝑏) βŠ† (𝑣 ∩ (π‘₯(ballβ€˜π·)1))) β†’ (if(π‘Ž ≀ (π‘₯ βˆ’ 1), (π‘₯ βˆ’ 1), π‘Ž)(,)if(𝑏 ≀ (π‘₯ + 1), 𝑏, (π‘₯ + 1))) ∈ ran (ballβ€˜π·))
9357, 92eqeltrd 2834 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘₯ ∈ (π‘Ž(,)𝑏) ∧ (π‘Ž(,)𝑏) βŠ† (𝑣 ∩ (π‘₯(ballβ€˜π·)1))) β†’ (π‘Ž(,)𝑏) ∈ ran (ballβ€˜π·))
94 inss1 4192 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑣 ∩ (π‘₯(ballβ€˜π·)1)) βŠ† 𝑣
95 sstr 3956 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((π‘Ž(,)𝑏) βŠ† (𝑣 ∩ (π‘₯(ballβ€˜π·)1)) ∧ (𝑣 ∩ (π‘₯(ballβ€˜π·)1)) βŠ† 𝑣) β†’ (π‘Ž(,)𝑏) βŠ† 𝑣)
9694, 95mpan2 690 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((π‘Ž(,)𝑏) βŠ† (𝑣 ∩ (π‘₯(ballβ€˜π·)1)) β†’ (π‘Ž(,)𝑏) βŠ† 𝑣)
9796adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘₯ ∈ (π‘Ž(,)𝑏) ∧ (π‘Ž(,)𝑏) βŠ† (𝑣 ∩ (π‘₯(ballβ€˜π·)1))) β†’ (π‘Ž(,)𝑏) βŠ† 𝑣)
98 sseq1 3973 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑧 = (π‘Ž(,)𝑏) β†’ (𝑧 βŠ† 𝑣 ↔ (π‘Ž(,)𝑏) βŠ† 𝑣))
9938, 98anbi12d 632 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑧 = (π‘Ž(,)𝑏) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 βŠ† 𝑣) ↔ (π‘₯ ∈ (π‘Ž(,)𝑏) ∧ (π‘Ž(,)𝑏) βŠ† 𝑣)))
10099rspcev 3583 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((π‘Ž(,)𝑏) ∈ ran (ballβ€˜π·) ∧ (π‘₯ ∈ (π‘Ž(,)𝑏) ∧ (π‘Ž(,)𝑏) βŠ† 𝑣)) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ ran (ballβ€˜π·)(π‘₯ ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 βŠ† 𝑣))
10193, 74, 97, 100syl12anc 836 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘₯ ∈ (π‘Ž(,)𝑏) ∧ (π‘Ž(,)𝑏) βŠ† (𝑣 ∩ (π‘₯(ballβ€˜π·)1))) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ ran (ballβ€˜π·)(π‘₯ ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 βŠ† 𝑣))
102 blssex 23803 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜β„) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (βˆƒπ‘§ ∈ ran (ballβ€˜π·)(π‘₯ ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 βŠ† 𝑣) ↔ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ (π‘₯(ballβ€˜π·)𝑦) βŠ† 𝑣))
1032, 46, 102sylancr 588 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘₯ ∈ (π‘Ž(,)𝑏) ∧ (π‘Ž(,)𝑏) βŠ† (𝑣 ∩ (π‘₯(ballβ€˜π·)1))) β†’ (βˆƒπ‘§ ∈ ran (ballβ€˜π·)(π‘₯ ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 βŠ† 𝑣) ↔ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ (π‘₯(ballβ€˜π·)𝑦) βŠ† 𝑣))
104101, 103mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘₯ ∈ (π‘Ž(,)𝑏) ∧ (π‘Ž(,)𝑏) βŠ† (𝑣 ∩ (π‘₯(ballβ€˜π·)1))) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ (π‘₯(ballβ€˜π·)𝑦) βŠ† 𝑣)
10540, 104syl6bi 253 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 = (π‘Ž(,)𝑏) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 βŠ† (𝑣 ∩ (π‘₯(ballβ€˜π·)1))) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ (π‘₯(ballβ€˜π·)𝑦) βŠ† 𝑣))
106105a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘Ž ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*) β†’ (𝑧 = (π‘Ž(,)𝑏) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 βŠ† (𝑣 ∩ (π‘₯(ballβ€˜π·)1))) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ (π‘₯(ballβ€˜π·)𝑦) βŠ† 𝑣)))
107106rexlimivv 3193 . . . . . . . . . . 11 (βˆƒπ‘Ž ∈ ℝ* βˆƒπ‘ ∈ ℝ* 𝑧 = (π‘Ž(,)𝑏) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 βŠ† (𝑣 ∩ (π‘₯(ballβ€˜π·)1))) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ (π‘₯(ballβ€˜π·)𝑦) βŠ† 𝑣))
108107imp 408 . . . . . . . . . 10 ((βˆƒπ‘Ž ∈ ℝ* βˆƒπ‘ ∈ ℝ* 𝑧 = (π‘Ž(,)𝑏) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 βŠ† (𝑣 ∩ (π‘₯(ballβ€˜π·)1)))) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ (π‘₯(ballβ€˜π·)𝑦) βŠ† 𝑣)
10937, 108sylanb 582 . . . . . . . . 9 ((𝑧 ∈ ran (,) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 βŠ† (𝑣 ∩ (π‘₯(ballβ€˜π·)1)))) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ (π‘₯(ballβ€˜π·)𝑦) βŠ† 𝑣)
110109rexlimiva 3141 . . . . . . . 8 (βˆƒπ‘§ ∈ ran (,)(π‘₯ ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 βŠ† (𝑣 ∩ (π‘₯(ballβ€˜π·)1))) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ (π‘₯(ballβ€˜π·)𝑦) βŠ† 𝑣)
11135, 110syl 17 . . . . . . 7 ((𝑣 ∈ ran (,) ∧ π‘₯ ∈ 𝑣) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ (π‘₯(ballβ€˜π·)𝑦) βŠ† 𝑣)
112111ralrimiva 3140 . . . . . 6 (𝑣 ∈ ran (,) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑣 βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ (π‘₯(ballβ€˜π·)𝑦) βŠ† 𝑣)
1133elmopn2 23821 . . . . . . 7 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜β„) β†’ (𝑣 ∈ 𝐽 ↔ (𝑣 βŠ† ℝ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑣 βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ (π‘₯(ballβ€˜π·)𝑦) βŠ† 𝑣)))
1142, 113ax-mp 5 . . . . . 6 (𝑣 ∈ 𝐽 ↔ (𝑣 βŠ† ℝ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑣 βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ (π‘₯(ballβ€˜π·)𝑦) βŠ† 𝑣))
1159, 112, 114sylanbrc 584 . . . . 5 (𝑣 ∈ ran (,) β†’ 𝑣 ∈ 𝐽)
116115ssriv 3952 . . . 4 ran (,) βŠ† 𝐽
117116, 5sseqtri 3984 . . 3 ran (,) βŠ† (topGenβ€˜ran (ballβ€˜π·))
118 2basgen 22363 . . 3 ((ran (ballβ€˜π·) βŠ† ran (,) ∧ ran (,) βŠ† (topGenβ€˜ran (ballβ€˜π·))) β†’ (topGenβ€˜ran (ballβ€˜π·)) = (topGenβ€˜ran (,)))
1196, 117, 118mp2an 691 . 2 (topGenβ€˜ran (ballβ€˜π·)) = (topGenβ€˜ran (,))
1205, 119eqtr2i 2762 1 (topGenβ€˜ran (,)) = 𝐽
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2940  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070   ∩ cin 3913   βŠ† wss 3914  βˆ…c0 4286  ifcif 4490  π’« cpw 4564  βˆͺ cuni 4869   class class class wbr 5109   Γ— cxp 5635  ran crn 5638   β†Ύ cres 5639   ∘ ccom 5641   Fn wfn 6495  βŸΆwf 6496  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361  β„cr 11058  1c1 11060   + caddc 11062  -∞cmnf 11195  β„*cxr 11196   < clt 11197   ≀ cle 11198   βˆ’ cmin 11393  β„+crp 12923  (,)cioo 13273  abscabs 15128  topGenctg 17327  βˆžMetcxmet 20804  ballcbl 20806  MetOpencmopn 20809  TopBasesctb 22318
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136  ax-pre-sup 11137
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-er 8654  df-map 8773  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-sup 9386  df-inf 9387  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-div 11821  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-n0 12422  df-z 12508  df-uz 12772  df-q 12882  df-rp 12924  df-xneg 13041  df-xadd 13042  df-xmul 13043  df-ioo 13277  df-seq 13916  df-exp 13977  df-cj 14993  df-re 14994  df-im 14995  df-sqrt 15129  df-abs 15130  df-topgen 17333  df-psmet 20811  df-xmet 20812  df-met 20813  df-bl 20814  df-mopn 20815  df-bases 22319
This theorem is referenced by:  qdensere2  24183  rehaus  24185  resubmet  24188  tgioo2  24189  xrsmopn  24198  iccntr  24207  icccmplem3  24210  reconnlem2  24213  opnreen  24217  metdscn2  24243  evthicc  24846  opnmbllem  24988  dvlip2  25382  lhop  25403  dvcnvre  25406  nmcvcn  29686  opnrebl  34845  opnrebl2  34846  ptrecube  36128  poimirlem30  36158  opnmbllem0  36164  reheibor  36348
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