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Theorem tgioo 24159

Description: The topology generated by open intervals of reals is the same as the open sets of the standard metric space on the reals. (Contributed by NM, 7-May-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Nov-2013.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
remet.1	⊢ 𝐷 = ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))
tgioo.2	⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)

**Assertion**
Ref	Expression
tgioo	⊢ (topGen‘ran (,)) = 𝐽

Proof of Theorem tgioo Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 𝑎 𝑏 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		remet.1	. . . 4 ⊢ 𝐷 = ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))
2	1	rexmet 24154	. . 3 ⊢ 𝐷 ∈ (∞Met‘ℝ)
3		tgioo.2	. . . 4 ⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
4	3	mopnval 23791	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘ℝ) → 𝐽 = (topGen‘ran (ball‘𝐷)))
5	2, 4	ax-mp 5	. 2 ⊢ 𝐽 = (topGen‘ran (ball‘𝐷))
6	1	blssioo 24158	. . 3 ⊢ ran (ball‘𝐷) ⊆ ran (,)
7		elssuni 4898	. . . . . . 7 ⊢ (𝑣 ∈ ran (,) → 𝑣 ⊆ ∪ ran (,))
8		unirnioo 13366	. . . . . . 7 ⊢ ℝ = ∪ ran (,)
9	7, 8	sseqtrrdi 3995	. . . . . 6 ⊢ (𝑣 ∈ ran (,) → 𝑣 ⊆ ℝ)
10		retopbas 24124	. . . . . . . . . 10 ⊢ ran (,) ∈ TopBases
11	10	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑣 ∈ ran (,) ∧ 𝑥 ∈ 𝑣) → ran (,) ∈ TopBases)
12		simpl 483	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑣 ∈ ran (,) ∧ 𝑥 ∈ 𝑣) → 𝑣 ∈ ran (,))
13	9	sselda 3944	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑣 ∈ ran (,) ∧ 𝑥 ∈ 𝑣) → 𝑥 ∈ ℝ)
14		1re 11155	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ∈ ℝ
15	1	bl2ioo 24155	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝑥(ball‘𝐷)1) = ((𝑥 − 1)(,)(𝑥 + 1)))
16	14, 15	mpan2 689	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥(ball‘𝐷)1) = ((𝑥 − 1)(,)(𝑥 + 1)))
17		ioof 13364	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (,):(ℝ^* × ℝ^*)⟶𝒫 ℝ
18		ffn 6668	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((,):(ℝ^* × ℝ^)⟶𝒫 ℝ → (,) Fn (ℝ^ × ℝ^*))
19	17, 18	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (,) Fn (ℝ^* × ℝ^*)
20		peano2rem 11468	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 − 1) ∈ ℝ)
21	20	rexrd 11205	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 − 1) ∈ ℝ^*)
22		peano2re 11328	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 + 1) ∈ ℝ)
23	22	rexrd 11205	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 + 1) ∈ ℝ^*)
24		fnovrn 7529	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((,) Fn (ℝ^* × ℝ^) ∧ (𝑥 − 1) ∈ ℝ^ ∧ (𝑥 + 1) ∈ ℝ^*) → ((𝑥 − 1)(,)(𝑥 + 1)) ∈ ran (,))
25	19, 21, 23, 24	mp3an2i 1466	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → ((𝑥 − 1)(,)(𝑥 + 1)) ∈ ran (,))
26	16, 25	eqeltrd 2838	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥(ball‘𝐷)1) ∈ ran (,))
27	13, 26	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑣 ∈ ran (,) ∧ 𝑥 ∈ 𝑣) → (𝑥(ball‘𝐷)1) ∈ ran (,))
28		simpr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑣 ∈ ran (,) ∧ 𝑥 ∈ 𝑣) → 𝑥 ∈ 𝑣)
29		1rp 12919	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ∈ ℝ⁺
30		blcntr 23766	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ⁺) → 𝑥 ∈ (𝑥(ball‘𝐷)1))
31	2, 29, 30	mp3an13 1452	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ (𝑥(ball‘𝐷)1))
32	13, 31	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑣 ∈ ran (,) ∧ 𝑥 ∈ 𝑣) → 𝑥 ∈ (𝑥(ball‘𝐷)1))
33	28, 32	elind 4154	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑣 ∈ ran (,) ∧ 𝑥 ∈ 𝑣) → 𝑥 ∈ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1)))
34		basis2 22301	. . . . . . . . 9 ⊢ (((ran (,) ∈ TopBases ∧ 𝑣 ∈ ran (,)) ∧ ((𝑥(ball‘𝐷)1) ∈ ran (,) ∧ 𝑥 ∈ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1)))) → ∃𝑧 ∈ ran (,)(𝑥 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 ⊆ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1))))
35	11, 12, 27, 33, 34	syl22anc 837	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑣 ∈ ran (,) ∧ 𝑥 ∈ 𝑣) → ∃𝑧 ∈ ran (,)(𝑥 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 ⊆ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1))))
36		ovelrn 7530	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((,) Fn (ℝ^* × ℝ^) → (𝑧 ∈ ran (,) ↔ ∃𝑎 ∈ ℝ^ ∃𝑏 ∈ ℝ^* 𝑧 = (𝑎(,)𝑏)))
37	19, 36	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ ran (,) ↔ ∃𝑎 ∈ ℝ^* ∃𝑏 ∈ ℝ^* 𝑧 = (𝑎(,)𝑏))
38		eleq2 2826	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑧 = (𝑎(,)𝑏) → (𝑥 ∈ 𝑧 ↔ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)))
39		sseq1 3969	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑧 = (𝑎(,)𝑏) → (𝑧 ⊆ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1)) ↔ (𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1))))
40	38, 39	anbi12d 631	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 = (𝑎(,)𝑏) → ((𝑥 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 ⊆ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1))) ↔ (𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1)))))
41		inss2 4189	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1)) ⊆ (𝑥(ball‘𝐷)1)
42		sstr 3952	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1)) ∧ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1)) ⊆ (𝑥(ball‘𝐷)1)) → (𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝑥(ball‘𝐷)1))
43	41, 42	mpan2 689	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1)) → (𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝑥(ball‘𝐷)1))
44	43	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1))) → (𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝑥(ball‘𝐷)1))
45		elioore 13294	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) → 𝑥 ∈ ℝ)
46	45	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1))) → 𝑥 ∈ ℝ)
47	46, 16	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1))) → (𝑥(ball‘𝐷)1) = ((𝑥 − 1)(,)(𝑥 + 1)))
48	44, 47	sseqtrd 3984	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1))) → (𝑎(,)𝑏) ⊆ ((𝑥 − 1)(,)(𝑥 + 1)))
49		dfss 3928	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑎(,)𝑏) ⊆ ((𝑥 − 1)(,)(𝑥 + 1)) ↔ (𝑎(,)𝑏) = ((𝑎(,)𝑏) ∩ ((𝑥 − 1)(,)(𝑥 + 1))))
50	48, 49	sylib 217	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1))) → (𝑎(,)𝑏) = ((𝑎(,)𝑏) ∩ ((𝑥 − 1)(,)(𝑥 + 1))))
51		eliooxr 13322	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) → (𝑎 ∈ ℝ^* ∧ 𝑏 ∈ ℝ^*))
52	21, 23	jca 512	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → ((𝑥 − 1) ∈ ℝ^* ∧ (𝑥 + 1) ∈ ℝ^*))
53	45, 52	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) → ((𝑥 − 1) ∈ ℝ^* ∧ (𝑥 + 1) ∈ ℝ^*))
54		iooin 13298	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ^* ∧ 𝑏 ∈ ℝ^) ∧ ((𝑥 − 1) ∈ ℝ^ ∧ (𝑥 + 1) ∈ ℝ^*)) → ((𝑎(,)𝑏) ∩ ((𝑥 − 1)(,)(𝑥 + 1))) = (if(𝑎 ≤ (𝑥 − 1), (𝑥 − 1), 𝑎)(,)if(𝑏 ≤ (𝑥 + 1), 𝑏, (𝑥 + 1))))
55	51, 53, 54	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) → ((𝑎(,)𝑏) ∩ ((𝑥 − 1)(,)(𝑥 + 1))) = (if(𝑎 ≤ (𝑥 − 1), (𝑥 − 1), 𝑎)(,)if(𝑏 ≤ (𝑥 + 1), 𝑏, (𝑥 + 1))))
56	55	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1))) → ((𝑎(,)𝑏) ∩ ((𝑥 − 1)(,)(𝑥 + 1))) = (if(𝑎 ≤ (𝑥 − 1), (𝑥 − 1), 𝑎)(,)if(𝑏 ≤ (𝑥 + 1), 𝑏, (𝑥 + 1))))
57	50, 56	eqtrd 2776	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1))) → (𝑎(,)𝑏) = (if(𝑎 ≤ (𝑥 − 1), (𝑥 − 1), 𝑎)(,)if(𝑏 ≤ (𝑥 + 1), 𝑏, (𝑥 + 1))))
58		mnfxr 11212	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ -∞ ∈ ℝ^*
59	58	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1))) → -∞ ∈ ℝ^*)
60	46, 21	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1))) → (𝑥 − 1) ∈ ℝ^*)
61	51	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1))) → (𝑎 ∈ ℝ^* ∧ 𝑏 ∈ ℝ^*))
62	61	simpld 495	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1))) → 𝑎 ∈ ℝ^*)
63	60, 62	ifcld 4532	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1))) → if(𝑎 ≤ (𝑥 − 1), (𝑥 − 1), 𝑎) ∈ ℝ^*)
64	61	simprd 496	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1))) → 𝑏 ∈ ℝ^*)
65	46, 22	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1))) → (𝑥 + 1) ∈ ℝ)
66	65	rexrd 11205	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1))) → (𝑥 + 1) ∈ ℝ^*)
67	64, 66	ifcld 4532	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1))) → if(𝑏 ≤ (𝑥 + 1), 𝑏, (𝑥 + 1)) ∈ ℝ^*)
68	45, 20	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) → (𝑥 − 1) ∈ ℝ)
69	68	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1))) → (𝑥 − 1) ∈ ℝ)
70	69	mnfltd 13045	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1))) → -∞ < (𝑥 − 1))
71		xrmax2 13095	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ^* ∧ (𝑥 − 1) ∈ ℝ^*) → (𝑥 − 1) ≤ if(𝑎 ≤ (𝑥 − 1), (𝑥 − 1), 𝑎))
72	62, 60, 71	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1))) → (𝑥 − 1) ≤ if(𝑎 ≤ (𝑥 − 1), (𝑥 − 1), 𝑎))
73	59, 60, 63, 70, 72	xrltletrd 13080	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1))) → -∞ < if(𝑎 ≤ (𝑥 − 1), (𝑥 − 1), 𝑎))
74		simpl 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1))) → 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏))
75	74, 57	eleqtrd 2840	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1))) → 𝑥 ∈ (if(𝑎 ≤ (𝑥 − 1), (𝑥 − 1), 𝑎)(,)if(𝑏 ≤ (𝑥 + 1), 𝑏, (𝑥 + 1))))
76		eliooxr 13322	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑥 ∈ (if(𝑎 ≤ (𝑥 − 1), (𝑥 − 1), 𝑎)(,)if(𝑏 ≤ (𝑥 + 1), 𝑏, (𝑥 + 1))) → (if(𝑎 ≤ (𝑥 − 1), (𝑥 − 1), 𝑎) ∈ ℝ^* ∧ if(𝑏 ≤ (𝑥 + 1), 𝑏, (𝑥 + 1)) ∈ ℝ^*))
77		ne0i 4294	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑥 ∈ (if(𝑎 ≤ (𝑥 − 1), (𝑥 − 1), 𝑎)(,)if(𝑏 ≤ (𝑥 + 1), 𝑏, (𝑥 + 1))) → (if(𝑎 ≤ (𝑥 − 1), (𝑥 − 1), 𝑎)(,)if(𝑏 ≤ (𝑥 + 1), 𝑏, (𝑥 + 1))) ≠ ∅)
78		ioon0 13290	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((if(𝑎 ≤ (𝑥 − 1), (𝑥 − 1), 𝑎) ∈ ℝ^* ∧ if(𝑏 ≤ (𝑥 + 1), 𝑏, (𝑥 + 1)) ∈ ℝ^*) → ((if(𝑎 ≤ (𝑥 − 1), (𝑥 − 1), 𝑎)(,)if(𝑏 ≤ (𝑥 + 1), 𝑏, (𝑥 + 1))) ≠ ∅ ↔ if(𝑎 ≤ (𝑥 − 1), (𝑥 − 1), 𝑎) < if(𝑏 ≤ (𝑥 + 1), 𝑏, (𝑥 + 1))))
79	77, 78	imbitrid 243	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((if(𝑎 ≤ (𝑥 − 1), (𝑥 − 1), 𝑎) ∈ ℝ^* ∧ if(𝑏 ≤ (𝑥 + 1), 𝑏, (𝑥 + 1)) ∈ ℝ^*) → (𝑥 ∈ (if(𝑎 ≤ (𝑥 − 1), (𝑥 − 1), 𝑎)(,)if(𝑏 ≤ (𝑥 + 1), 𝑏, (𝑥 + 1))) → if(𝑎 ≤ (𝑥 − 1), (𝑥 − 1), 𝑎) < if(𝑏 ≤ (𝑥 + 1), 𝑏, (𝑥 + 1))))
80	76, 79	mpcom 38	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑥 ∈ (if(𝑎 ≤ (𝑥 − 1), (𝑥 − 1), 𝑎)(,)if(𝑏 ≤ (𝑥 + 1), 𝑏, (𝑥 + 1))) → if(𝑎 ≤ (𝑥 − 1), (𝑥 − 1), 𝑎) < if(𝑏 ≤ (𝑥 + 1), 𝑏, (𝑥 + 1)))
81	75, 80	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1))) → if(𝑎 ≤ (𝑥 − 1), (𝑥 − 1), 𝑎) < if(𝑏 ≤ (𝑥 + 1), 𝑏, (𝑥 + 1)))
82		xrre2 13089	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((-∞ ∈ ℝ^* ∧ if(𝑎 ≤ (𝑥 − 1), (𝑥 − 1), 𝑎) ∈ ℝ^* ∧ if(𝑏 ≤ (𝑥 + 1), 𝑏, (𝑥 + 1)) ∈ ℝ^*) ∧ (-∞ < if(𝑎 ≤ (𝑥 − 1), (𝑥 − 1), 𝑎) ∧ if(𝑎 ≤ (𝑥 − 1), (𝑥 − 1), 𝑎) < if(𝑏 ≤ (𝑥 + 1), 𝑏, (𝑥 + 1)))) → if(𝑎 ≤ (𝑥 − 1), (𝑥 − 1), 𝑎) ∈ ℝ)
83	59, 63, 67, 73, 81, 82	syl32anc 1378	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1))) → if(𝑎 ≤ (𝑥 − 1), (𝑥 − 1), 𝑎) ∈ ℝ)
84		mnfle 13055	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (if(𝑎 ≤ (𝑥 − 1), (𝑥 − 1), 𝑎) ∈ ℝ^* → -∞ ≤ if(𝑎 ≤ (𝑥 − 1), (𝑥 − 1), 𝑎))
85	63, 84	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1))) → -∞ ≤ if(𝑎 ≤ (𝑥 − 1), (𝑥 − 1), 𝑎))
86	59, 63, 67, 85, 81	xrlelttrd 13079	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1))) → -∞ < if(𝑏 ≤ (𝑥 + 1), 𝑏, (𝑥 + 1)))
87		xrmin2 13097	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑏 ∈ ℝ^* ∧ (𝑥 + 1) ∈ ℝ^*) → if(𝑏 ≤ (𝑥 + 1), 𝑏, (𝑥 + 1)) ≤ (𝑥 + 1))
88	64, 66, 87	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1))) → if(𝑏 ≤ (𝑥 + 1), 𝑏, (𝑥 + 1)) ≤ (𝑥 + 1))
89		xrre 13088	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((if(𝑏 ≤ (𝑥 + 1), 𝑏, (𝑥 + 1)) ∈ ℝ^* ∧ (𝑥 + 1) ∈ ℝ) ∧ (-∞ < if(𝑏 ≤ (𝑥 + 1), 𝑏, (𝑥 + 1)) ∧ if(𝑏 ≤ (𝑥 + 1), 𝑏, (𝑥 + 1)) ≤ (𝑥 + 1))) → if(𝑏 ≤ (𝑥 + 1), 𝑏, (𝑥 + 1)) ∈ ℝ)
90	67, 65, 86, 88, 89	syl22anc 837	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1))) → if(𝑏 ≤ (𝑥 + 1), 𝑏, (𝑥 + 1)) ∈ ℝ)
91	1	ioo2blex 24157	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((if(𝑎 ≤ (𝑥 − 1), (𝑥 − 1), 𝑎) ∈ ℝ ∧ if(𝑏 ≤ (𝑥 + 1), 𝑏, (𝑥 + 1)) ∈ ℝ) → (if(𝑎 ≤ (𝑥 − 1), (𝑥 − 1), 𝑎)(,)if(𝑏 ≤ (𝑥 + 1), 𝑏, (𝑥 + 1))) ∈ ran (ball‘𝐷))
92	83, 90, 91	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1))) → (if(𝑎 ≤ (𝑥 − 1), (𝑥 − 1), 𝑎)(,)if(𝑏 ≤ (𝑥 + 1), 𝑏, (𝑥 + 1))) ∈ ran (ball‘𝐷))
93	57, 92	eqeltrd 2838	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1))) → (𝑎(,)𝑏) ∈ ran (ball‘𝐷))
94		inss1 4188	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1)) ⊆ 𝑣
95		sstr 3952	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1)) ∧ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1)) ⊆ 𝑣) → (𝑎(,)𝑏) ⊆ 𝑣)
96	94, 95	mpan2 689	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1)) → (𝑎(,)𝑏) ⊆ 𝑣)
97	96	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1))) → (𝑎(,)𝑏) ⊆ 𝑣)
98		sseq1 3969	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑧 = (𝑎(,)𝑏) → (𝑧 ⊆ 𝑣 ↔ (𝑎(,)𝑏) ⊆ 𝑣))
99	38, 98	anbi12d 631	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑧 = (𝑎(,)𝑏) → ((𝑥 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 ⊆ 𝑣) ↔ (𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ 𝑣)))
100	99	rspcev 3581	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑎(,)𝑏) ∈ ran (ball‘𝐷) ∧ (𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ 𝑣)) → ∃𝑧 ∈ ran (ball‘𝐷)(𝑥 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 ⊆ 𝑣))
101	93, 74, 97, 100	syl12anc 835	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1))) → ∃𝑧 ∈ ran (ball‘𝐷)(𝑥 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 ⊆ 𝑣))
102		blssex 23780	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (∃𝑧 ∈ ran (ball‘𝐷)(𝑥 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 ⊆ 𝑣) ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ⁺ (𝑥(ball‘𝐷)𝑦) ⊆ 𝑣))
103	2, 46, 102	sylancr 587	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1))) → (∃𝑧 ∈ ran (ball‘𝐷)(𝑥 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 ⊆ 𝑣) ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ⁺ (𝑥(ball‘𝐷)𝑦) ⊆ 𝑣))
104	101, 103	mpbid 231	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1))) → ∃𝑦 ∈ ℝ⁺ (𝑥(ball‘𝐷)𝑦) ⊆ 𝑣)
105	40, 104	syl6bi 252	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 = (𝑎(,)𝑏) → ((𝑥 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 ⊆ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1))) → ∃𝑦 ∈ ℝ⁺ (𝑥(ball‘𝐷)𝑦) ⊆ 𝑣))
106	105	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ^* ∧ 𝑏 ∈ ℝ^*) → (𝑧 = (𝑎(,)𝑏) → ((𝑥 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 ⊆ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1))) → ∃𝑦 ∈ ℝ⁺ (𝑥(ball‘𝐷)𝑦) ⊆ 𝑣)))
107	106	rexlimivv 3196	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∃𝑎 ∈ ℝ^* ∃𝑏 ∈ ℝ^* 𝑧 = (𝑎(,)𝑏) → ((𝑥 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 ⊆ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1))) → ∃𝑦 ∈ ℝ⁺ (𝑥(ball‘𝐷)𝑦) ⊆ 𝑣))
108	107	imp 407	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((∃𝑎 ∈ ℝ^* ∃𝑏 ∈ ℝ^* 𝑧 = (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑥 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 ⊆ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1)))) → ∃𝑦 ∈ ℝ⁺ (𝑥(ball‘𝐷)𝑦) ⊆ 𝑣)
109	37, 108	sylanb 581	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 ∈ ran (,) ∧ (𝑥 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 ⊆ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1)))) → ∃𝑦 ∈ ℝ⁺ (𝑥(ball‘𝐷)𝑦) ⊆ 𝑣)
110	109	rexlimiva 3144	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑧 ∈ ran (,)(𝑥 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 ⊆ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1))) → ∃𝑦 ∈ ℝ⁺ (𝑥(ball‘𝐷)𝑦) ⊆ 𝑣)
111	35, 110	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑣 ∈ ran (,) ∧ 𝑥 ∈ 𝑣) → ∃𝑦 ∈ ℝ⁺ (𝑥(ball‘𝐷)𝑦) ⊆ 𝑣)
112	111	ralrimiva 3143	. . . . . 6 ⊢ (𝑣 ∈ ran (,) → ∀𝑥 ∈ 𝑣 ∃𝑦 ∈ ℝ⁺ (𝑥(ball‘𝐷)𝑦) ⊆ 𝑣)
113	3	elmopn2 23798	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘ℝ) → (𝑣 ∈ 𝐽 ↔ (𝑣 ⊆ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑣 ∃𝑦 ∈ ℝ⁺ (𝑥(ball‘𝐷)𝑦) ⊆ 𝑣)))
114	2, 113	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (𝑣 ∈ 𝐽 ↔ (𝑣 ⊆ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑣 ∃𝑦 ∈ ℝ⁺ (𝑥(ball‘𝐷)𝑦) ⊆ 𝑣))
115	9, 112, 114	sylanbrc 583	. . . . 5 ⊢ (𝑣 ∈ ran (,) → 𝑣 ∈ 𝐽)
116	115	ssriv 3948	. . . 4 ⊢ ran (,) ⊆ 𝐽
117	116, 5	sseqtri 3980	. . 3 ⊢ ran (,) ⊆ (topGen‘ran (ball‘𝐷))
118		2basgen 22340	. . 3 ⊢ ((ran (ball‘𝐷) ⊆ ran (,) ∧ ran (,) ⊆ (topGen‘ran (ball‘𝐷))) → (topGen‘ran (ball‘𝐷)) = (topGen‘ran (,)))
119	6, 117, 118	mp2an 690	. 2 ⊢ (topGen‘ran (ball‘𝐷)) = (topGen‘ran (,))
120	5, 119	eqtr2i 2765	1 ⊢ (topGen‘ran (,)) = 𝐽

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ↔ wb 205 ∧ wa 396 = wceq 1541 ∈ wcel 2106 ≠ wne 2943 ∀wral 3064 ∃wrex 3073 ∩ cin 3909 ⊆ wss 3910 ∅c0 4282 ifcif 4486 𝒫 cpw 4560 ∪ cuni 4865 class class class wbr 5105 × cxp 5631 ran crn 5634 ↾ cres 5635 ∘ ccom 5637 Fn wfn 6491 ⟶wf 6492 ‘cfv 6496 (class class class)co 7357 ℝcr 11050 1c1 11052 + caddc 11054 -∞cmnf 11187 ℝ^*cxr 11188 < clt 11189 ≤ cle 11190 − cmin 11385 ℝ⁺crp 12915 (,)cioo 13264 abscabs 15119 topGenctg 17319 ∞Metcxmet 20781 ballcbl 20783 MetOpencmopn 20786 TopBasesctb 22295

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1797 ax-4 1811 ax-5 1913 ax-6 1971 ax-7 2011 ax-8 2108 ax-9 2116 ax-10 2137 ax-11 2154 ax-12 2171 ax-ext 2707 ax-sep 5256 ax-nul 5263 ax-pow 5320 ax-pr 5384 ax-un 7672 ax-cnex 11107 ax-resscn 11108 ax-1cn 11109 ax-icn 11110 ax-addcl 11111 ax-addrcl 11112 ax-mulcl 11113 ax-mulrcl 11114 ax-mulcom 11115 ax-addass 11116 ax-mulass 11117 ax-distr 11118 ax-i2m1 11119 ax-1ne0 11120 ax-1rid 11121 ax-rnegex 11122 ax-rrecex 11123 ax-cnre 11124 ax-pre-lttri 11125 ax-pre-lttrn 11126 ax-pre-ltadd 11127 ax-pre-mulgt0 11128 ax-pre-sup 11129

This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 397 df-or 846 df-3or 1088 df-3an 1089 df-tru 1544 df-fal 1554 df-ex 1782 df-nf 1786 df-sb 2068 df-mo 2538 df-eu 2567 df-clab 2714 df-cleq 2728 df-clel 2814 df-nfc 2889 df-ne 2944 df-nel 3050 df-ral 3065 df-rex 3074 df-rmo 3353 df-reu 3354 df-rab 3408 df-v 3447 df-sbc 3740 df-csb 3856 df-dif 3913 df-un 3915 df-in 3917 df-ss 3927 df-pss 3929 df-nul 4283 df-if 4487 df-pw 4562 df-sn 4587 df-pr 4589 df-op 4593 df-uni 4866 df-iun 4956 df-br 5106 df-opab 5168 df-mpt 5189 df-tr 5223 df-id 5531 df-eprel 5537 df-po 5545 df-so 5546 df-fr 5588 df-we 5590 df-xp 5639 df-rel 5640 df-cnv 5641 df-co 5642 df-dm 5643 df-rn 5644 df-res 5645 df-ima 5646 df-pred 6253 df-ord 6320 df-on 6321 df-lim 6322 df-suc 6323 df-iota 6448 df-fun 6498 df-fn 6499 df-f 6500 df-f1 6501 df-fo 6502 df-f1o 6503 df-fv 6504 df-riota 7313 df-ov 7360 df-oprab 7361 df-mpo 7362 df-om 7803 df-1st 7921 df-2nd 7922 df-frecs 8212 df-wrecs 8243 df-recs 8317 df-rdg 8356 df-er 8648 df-map 8767 df-en 8884 df-dom 8885 df-sdom 8886 df-sup 9378 df-inf 9379 df-pnf 11191 df-mnf 11192 df-xr 11193 df-ltxr 11194 df-le 11195 df-sub 11387 df-neg 11388 df-div 11813 df-nn 12154 df-2 12216 df-3 12217 df-n0 12414 df-z 12500 df-uz 12764 df-q 12874 df-rp 12916 df-xneg 13033 df-xadd 13034 df-xmul 13035 df-ioo 13268 df-seq 13907 df-exp 13968 df-cj 14984 df-re 14985 df-im 14986 df-sqrt 15120 df-abs 15121 df-topgen 17325 df-psmet 20788 df-xmet 20789 df-met 20790 df-bl 20791 df-mopn 20792 df-bases 22296

This theorem is referenced by: qdensere2 24160 rehaus 24162 resubmet 24165 tgioo2 24166 xrsmopn 24175 iccntr 24184 icccmplem3 24187 reconnlem2 24190 opnreen 24194 metdscn2 24220 evthicc 24823 opnmbllem 24965 dvlip2 25359 lhop 25380 dvcnvre 25383 nmcvcn 29637 opnrebl 34792 opnrebl2 34793 ptrecube 36078 poimirlem30 36108 opnmbllem0 36114 reheibor 36298

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