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Theorem tgioo 23865

Description: The topology generated by open intervals of reals is the same as the open sets of the standard metric space on the reals. (Contributed by NM, 7-May-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Nov-2013.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
remet.1	⊢ 𝐷 = ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))
tgioo.2	⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)

**Assertion**
Ref	Expression
tgioo	⊢ (topGen‘ran (,)) = 𝐽

Proof of Theorem tgioo Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 𝑎 𝑏 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		remet.1	. . . 4 ⊢ 𝐷 = ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))
2	1	rexmet 23860	. . 3 ⊢ 𝐷 ∈ (∞Met‘ℝ)
3		tgioo.2	. . . 4 ⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
4	3	mopnval 23499	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘ℝ) → 𝐽 = (topGen‘ran (ball‘𝐷)))
5	2, 4	ax-mp 5	. 2 ⊢ 𝐽 = (topGen‘ran (ball‘𝐷))
6	1	blssioo 23864	. . 3 ⊢ ran (ball‘𝐷) ⊆ ran (,)
7		elssuni 4868	. . . . . . 7 ⊢ (𝑣 ∈ ran (,) → 𝑣 ⊆ ∪ ran (,))
8		unirnioo 13110	. . . . . . 7 ⊢ ℝ = ∪ ran (,)
9	7, 8	sseqtrrdi 3968	. . . . . 6 ⊢ (𝑣 ∈ ran (,) → 𝑣 ⊆ ℝ)
10		retopbas 23830	. . . . . . . . . 10 ⊢ ran (,) ∈ TopBases
11	10	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑣 ∈ ran (,) ∧ 𝑥 ∈ 𝑣) → ran (,) ∈ TopBases)
12		simpl 482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑣 ∈ ran (,) ∧ 𝑥 ∈ 𝑣) → 𝑣 ∈ ran (,))
13	9	sselda 3917	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑣 ∈ ran (,) ∧ 𝑥 ∈ 𝑣) → 𝑥 ∈ ℝ)
14		1re 10906	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ∈ ℝ
15	1	bl2ioo 23861	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝑥(ball‘𝐷)1) = ((𝑥 − 1)(,)(𝑥 + 1)))
16	14, 15	mpan2 687	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥(ball‘𝐷)1) = ((𝑥 − 1)(,)(𝑥 + 1)))
17		ioof 13108	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (,):(ℝ^* × ℝ^*)⟶𝒫 ℝ
18		ffn 6584	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((,):(ℝ^* × ℝ^)⟶𝒫 ℝ → (,) Fn (ℝ^ × ℝ^*))
19	17, 18	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (,) Fn (ℝ^* × ℝ^*)
20		peano2rem 11218	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 − 1) ∈ ℝ)
21	20	rexrd 10956	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 − 1) ∈ ℝ^*)
22		peano2re 11078	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 + 1) ∈ ℝ)
23	22	rexrd 10956	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 + 1) ∈ ℝ^*)
24		fnovrn 7425	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((,) Fn (ℝ^* × ℝ^) ∧ (𝑥 − 1) ∈ ℝ^ ∧ (𝑥 + 1) ∈ ℝ^*) → ((𝑥 − 1)(,)(𝑥 + 1)) ∈ ran (,))
25	19, 21, 23, 24	mp3an2i 1464	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → ((𝑥 − 1)(,)(𝑥 + 1)) ∈ ran (,))
26	16, 25	eqeltrd 2839	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥(ball‘𝐷)1) ∈ ran (,))
27	13, 26	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑣 ∈ ran (,) ∧ 𝑥 ∈ 𝑣) → (𝑥(ball‘𝐷)1) ∈ ran (,))
28		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑣 ∈ ran (,) ∧ 𝑥 ∈ 𝑣) → 𝑥 ∈ 𝑣)
29		1rp 12663	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ∈ ℝ⁺
30		blcntr 23474	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ⁺) → 𝑥 ∈ (𝑥(ball‘𝐷)1))
31	2, 29, 30	mp3an13 1450	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ (𝑥(ball‘𝐷)1))
32	13, 31	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑣 ∈ ran (,) ∧ 𝑥 ∈ 𝑣) → 𝑥 ∈ (𝑥(ball‘𝐷)1))
33	28, 32	elind 4124	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑣 ∈ ran (,) ∧ 𝑥 ∈ 𝑣) → 𝑥 ∈ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1)))
34		basis2 22009	. . . . . . . . 9 ⊢ (((ran (,) ∈ TopBases ∧ 𝑣 ∈ ran (,)) ∧ ((𝑥(ball‘𝐷)1) ∈ ran (,) ∧ 𝑥 ∈ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1)))) → ∃𝑧 ∈ ran (,)(𝑥 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 ⊆ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1))))
35	11, 12, 27, 33, 34	syl22anc 835	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑣 ∈ ran (,) ∧ 𝑥 ∈ 𝑣) → ∃𝑧 ∈ ran (,)(𝑥 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 ⊆ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1))))
36		ovelrn 7426	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((,) Fn (ℝ^* × ℝ^) → (𝑧 ∈ ran (,) ↔ ∃𝑎 ∈ ℝ^ ∃𝑏 ∈ ℝ^* 𝑧 = (𝑎(,)𝑏)))
37	19, 36	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ ran (,) ↔ ∃𝑎 ∈ ℝ^* ∃𝑏 ∈ ℝ^* 𝑧 = (𝑎(,)𝑏))
38		eleq2 2827	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑧 = (𝑎(,)𝑏) → (𝑥 ∈ 𝑧 ↔ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)))
39		sseq1 3942	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑧 = (𝑎(,)𝑏) → (𝑧 ⊆ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1)) ↔ (𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1))))
40	38, 39	anbi12d 630	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 = (𝑎(,)𝑏) → ((𝑥 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 ⊆ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1))) ↔ (𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1)))))
41		inss2 4160	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1)) ⊆ (𝑥(ball‘𝐷)1)
42		sstr 3925	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1)) ∧ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1)) ⊆ (𝑥(ball‘𝐷)1)) → (𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝑥(ball‘𝐷)1))
43	41, 42	mpan2 687	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1)) → (𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝑥(ball‘𝐷)1))
44	43	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1))) → (𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝑥(ball‘𝐷)1))
45		elioore 13038	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) → 𝑥 ∈ ℝ)
46	45	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1))) → 𝑥 ∈ ℝ)
47	46, 16	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1))) → (𝑥(ball‘𝐷)1) = ((𝑥 − 1)(,)(𝑥 + 1)))
48	44, 47	sseqtrd 3957	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1))) → (𝑎(,)𝑏) ⊆ ((𝑥 − 1)(,)(𝑥 + 1)))
49		dfss 3901	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑎(,)𝑏) ⊆ ((𝑥 − 1)(,)(𝑥 + 1)) ↔ (𝑎(,)𝑏) = ((𝑎(,)𝑏) ∩ ((𝑥 − 1)(,)(𝑥 + 1))))
50	48, 49	sylib 217	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1))) → (𝑎(,)𝑏) = ((𝑎(,)𝑏) ∩ ((𝑥 − 1)(,)(𝑥 + 1))))
51		eliooxr 13066	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) → (𝑎 ∈ ℝ^* ∧ 𝑏 ∈ ℝ^*))
52	21, 23	jca 511	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → ((𝑥 − 1) ∈ ℝ^* ∧ (𝑥 + 1) ∈ ℝ^*))
53	45, 52	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) → ((𝑥 − 1) ∈ ℝ^* ∧ (𝑥 + 1) ∈ ℝ^*))
54		iooin 13042	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ^* ∧ 𝑏 ∈ ℝ^) ∧ ((𝑥 − 1) ∈ ℝ^ ∧ (𝑥 + 1) ∈ ℝ^*)) → ((𝑎(,)𝑏) ∩ ((𝑥 − 1)(,)(𝑥 + 1))) = (if(𝑎 ≤ (𝑥 − 1), (𝑥 − 1), 𝑎)(,)if(𝑏 ≤ (𝑥 + 1), 𝑏, (𝑥 + 1))))
55	51, 53, 54	syl2anc 583	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) → ((𝑎(,)𝑏) ∩ ((𝑥 − 1)(,)(𝑥 + 1))) = (if(𝑎 ≤ (𝑥 − 1), (𝑥 − 1), 𝑎)(,)if(𝑏 ≤ (𝑥 + 1), 𝑏, (𝑥 + 1))))
56	55	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1))) → ((𝑎(,)𝑏) ∩ ((𝑥 − 1)(,)(𝑥 + 1))) = (if(𝑎 ≤ (𝑥 − 1), (𝑥 − 1), 𝑎)(,)if(𝑏 ≤ (𝑥 + 1), 𝑏, (𝑥 + 1))))
57	50, 56	eqtrd 2778	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1))) → (𝑎(,)𝑏) = (if(𝑎 ≤ (𝑥 − 1), (𝑥 − 1), 𝑎)(,)if(𝑏 ≤ (𝑥 + 1), 𝑏, (𝑥 + 1))))
58		mnfxr 10963	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ -∞ ∈ ℝ^*
59	58	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1))) → -∞ ∈ ℝ^*)
60	46, 21	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1))) → (𝑥 − 1) ∈ ℝ^*)
61	51	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1))) → (𝑎 ∈ ℝ^* ∧ 𝑏 ∈ ℝ^*))
62	61	simpld 494	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1))) → 𝑎 ∈ ℝ^*)
63	60, 62	ifcld 4502	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1))) → if(𝑎 ≤ (𝑥 − 1), (𝑥 − 1), 𝑎) ∈ ℝ^*)
64	61	simprd 495	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1))) → 𝑏 ∈ ℝ^*)
65	46, 22	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1))) → (𝑥 + 1) ∈ ℝ)
66	65	rexrd 10956	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1))) → (𝑥 + 1) ∈ ℝ^*)
67	64, 66	ifcld 4502	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1))) → if(𝑏 ≤ (𝑥 + 1), 𝑏, (𝑥 + 1)) ∈ ℝ^*)
68	45, 20	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) → (𝑥 − 1) ∈ ℝ)
69	68	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1))) → (𝑥 − 1) ∈ ℝ)
70	69	mnfltd 12789	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1))) → -∞ < (𝑥 − 1))
71		xrmax2 12839	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ^* ∧ (𝑥 − 1) ∈ ℝ^*) → (𝑥 − 1) ≤ if(𝑎 ≤ (𝑥 − 1), (𝑥 − 1), 𝑎))
72	62, 60, 71	syl2anc 583	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1))) → (𝑥 − 1) ≤ if(𝑎 ≤ (𝑥 − 1), (𝑥 − 1), 𝑎))
73	59, 60, 63, 70, 72	xrltletrd 12824	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1))) → -∞ < if(𝑎 ≤ (𝑥 − 1), (𝑥 − 1), 𝑎))
74		simpl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1))) → 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏))
75	74, 57	eleqtrd 2841	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1))) → 𝑥 ∈ (if(𝑎 ≤ (𝑥 − 1), (𝑥 − 1), 𝑎)(,)if(𝑏 ≤ (𝑥 + 1), 𝑏, (𝑥 + 1))))
76		eliooxr 13066	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑥 ∈ (if(𝑎 ≤ (𝑥 − 1), (𝑥 − 1), 𝑎)(,)if(𝑏 ≤ (𝑥 + 1), 𝑏, (𝑥 + 1))) → (if(𝑎 ≤ (𝑥 − 1), (𝑥 − 1), 𝑎) ∈ ℝ^* ∧ if(𝑏 ≤ (𝑥 + 1), 𝑏, (𝑥 + 1)) ∈ ℝ^*))
77		ne0i 4265	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑥 ∈ (if(𝑎 ≤ (𝑥 − 1), (𝑥 − 1), 𝑎)(,)if(𝑏 ≤ (𝑥 + 1), 𝑏, (𝑥 + 1))) → (if(𝑎 ≤ (𝑥 − 1), (𝑥 − 1), 𝑎)(,)if(𝑏 ≤ (𝑥 + 1), 𝑏, (𝑥 + 1))) ≠ ∅)
78		ioon0 13034	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((if(𝑎 ≤ (𝑥 − 1), (𝑥 − 1), 𝑎) ∈ ℝ^* ∧ if(𝑏 ≤ (𝑥 + 1), 𝑏, (𝑥 + 1)) ∈ ℝ^*) → ((if(𝑎 ≤ (𝑥 − 1), (𝑥 − 1), 𝑎)(,)if(𝑏 ≤ (𝑥 + 1), 𝑏, (𝑥 + 1))) ≠ ∅ ↔ if(𝑎 ≤ (𝑥 − 1), (𝑥 − 1), 𝑎) < if(𝑏 ≤ (𝑥 + 1), 𝑏, (𝑥 + 1))))
79	77, 78	syl5ib 243	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((if(𝑎 ≤ (𝑥 − 1), (𝑥 − 1), 𝑎) ∈ ℝ^* ∧ if(𝑏 ≤ (𝑥 + 1), 𝑏, (𝑥 + 1)) ∈ ℝ^*) → (𝑥 ∈ (if(𝑎 ≤ (𝑥 − 1), (𝑥 − 1), 𝑎)(,)if(𝑏 ≤ (𝑥 + 1), 𝑏, (𝑥 + 1))) → if(𝑎 ≤ (𝑥 − 1), (𝑥 − 1), 𝑎) < if(𝑏 ≤ (𝑥 + 1), 𝑏, (𝑥 + 1))))
80	76, 79	mpcom 38	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑥 ∈ (if(𝑎 ≤ (𝑥 − 1), (𝑥 − 1), 𝑎)(,)if(𝑏 ≤ (𝑥 + 1), 𝑏, (𝑥 + 1))) → if(𝑎 ≤ (𝑥 − 1), (𝑥 − 1), 𝑎) < if(𝑏 ≤ (𝑥 + 1), 𝑏, (𝑥 + 1)))
81	75, 80	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1))) → if(𝑎 ≤ (𝑥 − 1), (𝑥 − 1), 𝑎) < if(𝑏 ≤ (𝑥 + 1), 𝑏, (𝑥 + 1)))
82		xrre2 12833	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((-∞ ∈ ℝ^* ∧ if(𝑎 ≤ (𝑥 − 1), (𝑥 − 1), 𝑎) ∈ ℝ^* ∧ if(𝑏 ≤ (𝑥 + 1), 𝑏, (𝑥 + 1)) ∈ ℝ^*) ∧ (-∞ < if(𝑎 ≤ (𝑥 − 1), (𝑥 − 1), 𝑎) ∧ if(𝑎 ≤ (𝑥 − 1), (𝑥 − 1), 𝑎) < if(𝑏 ≤ (𝑥 + 1), 𝑏, (𝑥 + 1)))) → if(𝑎 ≤ (𝑥 − 1), (𝑥 − 1), 𝑎) ∈ ℝ)
83	59, 63, 67, 73, 81, 82	syl32anc 1376	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1))) → if(𝑎 ≤ (𝑥 − 1), (𝑥 − 1), 𝑎) ∈ ℝ)
84		mnfle 12799	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (if(𝑎 ≤ (𝑥 − 1), (𝑥 − 1), 𝑎) ∈ ℝ^* → -∞ ≤ if(𝑎 ≤ (𝑥 − 1), (𝑥 − 1), 𝑎))
85	63, 84	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1))) → -∞ ≤ if(𝑎 ≤ (𝑥 − 1), (𝑥 − 1), 𝑎))
86	59, 63, 67, 85, 81	xrlelttrd 12823	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1))) → -∞ < if(𝑏 ≤ (𝑥 + 1), 𝑏, (𝑥 + 1)))
87		xrmin2 12841	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑏 ∈ ℝ^* ∧ (𝑥 + 1) ∈ ℝ^*) → if(𝑏 ≤ (𝑥 + 1), 𝑏, (𝑥 + 1)) ≤ (𝑥 + 1))
88	64, 66, 87	syl2anc 583	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1))) → if(𝑏 ≤ (𝑥 + 1), 𝑏, (𝑥 + 1)) ≤ (𝑥 + 1))
89		xrre 12832	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((if(𝑏 ≤ (𝑥 + 1), 𝑏, (𝑥 + 1)) ∈ ℝ^* ∧ (𝑥 + 1) ∈ ℝ) ∧ (-∞ < if(𝑏 ≤ (𝑥 + 1), 𝑏, (𝑥 + 1)) ∧ if(𝑏 ≤ (𝑥 + 1), 𝑏, (𝑥 + 1)) ≤ (𝑥 + 1))) → if(𝑏 ≤ (𝑥 + 1), 𝑏, (𝑥 + 1)) ∈ ℝ)
90	67, 65, 86, 88, 89	syl22anc 835	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1))) → if(𝑏 ≤ (𝑥 + 1), 𝑏, (𝑥 + 1)) ∈ ℝ)
91	1	ioo2blex 23863	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((if(𝑎 ≤ (𝑥 − 1), (𝑥 − 1), 𝑎) ∈ ℝ ∧ if(𝑏 ≤ (𝑥 + 1), 𝑏, (𝑥 + 1)) ∈ ℝ) → (if(𝑎 ≤ (𝑥 − 1), (𝑥 − 1), 𝑎)(,)if(𝑏 ≤ (𝑥 + 1), 𝑏, (𝑥 + 1))) ∈ ran (ball‘𝐷))
92	83, 90, 91	syl2anc 583	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1))) → (if(𝑎 ≤ (𝑥 − 1), (𝑥 − 1), 𝑎)(,)if(𝑏 ≤ (𝑥 + 1), 𝑏, (𝑥 + 1))) ∈ ran (ball‘𝐷))
93	57, 92	eqeltrd 2839	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1))) → (𝑎(,)𝑏) ∈ ran (ball‘𝐷))
94		inss1 4159	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1)) ⊆ 𝑣
95		sstr 3925	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1)) ∧ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1)) ⊆ 𝑣) → (𝑎(,)𝑏) ⊆ 𝑣)
96	94, 95	mpan2 687	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1)) → (𝑎(,)𝑏) ⊆ 𝑣)
97	96	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1))) → (𝑎(,)𝑏) ⊆ 𝑣)
98		sseq1 3942	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑧 = (𝑎(,)𝑏) → (𝑧 ⊆ 𝑣 ↔ (𝑎(,)𝑏) ⊆ 𝑣))
99	38, 98	anbi12d 630	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑧 = (𝑎(,)𝑏) → ((𝑥 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 ⊆ 𝑣) ↔ (𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ 𝑣)))
100	99	rspcev 3552	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑎(,)𝑏) ∈ ran (ball‘𝐷) ∧ (𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ 𝑣)) → ∃𝑧 ∈ ran (ball‘𝐷)(𝑥 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 ⊆ 𝑣))
101	93, 74, 97, 100	syl12anc 833	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1))) → ∃𝑧 ∈ ran (ball‘𝐷)(𝑥 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 ⊆ 𝑣))
102		blssex 23488	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (∃𝑧 ∈ ran (ball‘𝐷)(𝑥 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 ⊆ 𝑣) ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ⁺ (𝑥(ball‘𝐷)𝑦) ⊆ 𝑣))
103	2, 46, 102	sylancr 586	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1))) → (∃𝑧 ∈ ran (ball‘𝐷)(𝑥 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 ⊆ 𝑣) ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ⁺ (𝑥(ball‘𝐷)𝑦) ⊆ 𝑣))
104	101, 103	mpbid 231	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1))) → ∃𝑦 ∈ ℝ⁺ (𝑥(ball‘𝐷)𝑦) ⊆ 𝑣)
105	40, 104	syl6bi 252	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 = (𝑎(,)𝑏) → ((𝑥 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 ⊆ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1))) → ∃𝑦 ∈ ℝ⁺ (𝑥(ball‘𝐷)𝑦) ⊆ 𝑣))
106	105	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ^* ∧ 𝑏 ∈ ℝ^*) → (𝑧 = (𝑎(,)𝑏) → ((𝑥 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 ⊆ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1))) → ∃𝑦 ∈ ℝ⁺ (𝑥(ball‘𝐷)𝑦) ⊆ 𝑣)))
107	106	rexlimivv 3220	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∃𝑎 ∈ ℝ^* ∃𝑏 ∈ ℝ^* 𝑧 = (𝑎(,)𝑏) → ((𝑥 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 ⊆ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1))) → ∃𝑦 ∈ ℝ⁺ (𝑥(ball‘𝐷)𝑦) ⊆ 𝑣))
108	107	imp 406	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((∃𝑎 ∈ ℝ^* ∃𝑏 ∈ ℝ^* 𝑧 = (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑥 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 ⊆ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1)))) → ∃𝑦 ∈ ℝ⁺ (𝑥(ball‘𝐷)𝑦) ⊆ 𝑣)
109	37, 108	sylanb 580	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 ∈ ran (,) ∧ (𝑥 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 ⊆ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1)))) → ∃𝑦 ∈ ℝ⁺ (𝑥(ball‘𝐷)𝑦) ⊆ 𝑣)
110	109	rexlimiva 3209	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑧 ∈ ran (,)(𝑥 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 ⊆ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1))) → ∃𝑦 ∈ ℝ⁺ (𝑥(ball‘𝐷)𝑦) ⊆ 𝑣)
111	35, 110	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑣 ∈ ran (,) ∧ 𝑥 ∈ 𝑣) → ∃𝑦 ∈ ℝ⁺ (𝑥(ball‘𝐷)𝑦) ⊆ 𝑣)
112	111	ralrimiva 3107	. . . . . 6 ⊢ (𝑣 ∈ ran (,) → ∀𝑥 ∈ 𝑣 ∃𝑦 ∈ ℝ⁺ (𝑥(ball‘𝐷)𝑦) ⊆ 𝑣)
113	3	elmopn2 23506	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘ℝ) → (𝑣 ∈ 𝐽 ↔ (𝑣 ⊆ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑣 ∃𝑦 ∈ ℝ⁺ (𝑥(ball‘𝐷)𝑦) ⊆ 𝑣)))
114	2, 113	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (𝑣 ∈ 𝐽 ↔ (𝑣 ⊆ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑣 ∃𝑦 ∈ ℝ⁺ (𝑥(ball‘𝐷)𝑦) ⊆ 𝑣))
115	9, 112, 114	sylanbrc 582	. . . . 5 ⊢ (𝑣 ∈ ran (,) → 𝑣 ∈ 𝐽)
116	115	ssriv 3921	. . . 4 ⊢ ran (,) ⊆ 𝐽
117	116, 5	sseqtri 3953	. . 3 ⊢ ran (,) ⊆ (topGen‘ran (ball‘𝐷))
118		2basgen 22048	. . 3 ⊢ ((ran (ball‘𝐷) ⊆ ran (,) ∧ ran (,) ⊆ (topGen‘ran (ball‘𝐷))) → (topGen‘ran (ball‘𝐷)) = (topGen‘ran (,)))
119	6, 117, 118	mp2an 688	. 2 ⊢ (topGen‘ran (ball‘𝐷)) = (topGen‘ran (,))
120	5, 119	eqtr2i 2767	1 ⊢ (topGen‘ran (,)) = 𝐽

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ↔ wb 205 ∧ wa 395 = wceq 1539 ∈ wcel 2108 ≠ wne 2942 ∀wral 3063 ∃wrex 3064 ∩ cin 3882 ⊆ wss 3883 ∅c0 4253 ifcif 4456 𝒫 cpw 4530 ∪ cuni 4836 class class class wbr 5070 × cxp 5578 ran crn 5581 ↾ cres 5582 ∘ ccom 5584 Fn wfn 6413 ⟶wf 6414 ‘cfv 6418 (class class class)co 7255 ℝcr 10801 1c1 10803 + caddc 10805 -∞cmnf 10938 ℝ^*cxr 10939 < clt 10940 ≤ cle 10941 − cmin 11135 ℝ⁺crp 12659 (,)cioo 13008 abscabs 14873 topGenctg 17065 ∞Metcxmet 20495 ballcbl 20497 MetOpencmopn 20500 TopBasesctb 22003

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1799 ax-4 1813 ax-5 1914 ax-6 1972 ax-7 2012 ax-8 2110 ax-9 2118 ax-10 2139 ax-11 2156 ax-12 2173 ax-ext 2709 ax-sep 5218 ax-nul 5225 ax-pow 5283 ax-pr 5347 ax-un 7566 ax-cnex 10858 ax-resscn 10859 ax-1cn 10860 ax-icn 10861 ax-addcl 10862 ax-addrcl 10863 ax-mulcl 10864 ax-mulrcl 10865 ax-mulcom 10866 ax-addass 10867 ax-mulass 10868 ax-distr 10869 ax-i2m1 10870 ax-1ne0 10871 ax-1rid 10872 ax-rnegex 10873 ax-rrecex 10874 ax-cnre 10875 ax-pre-lttri 10876 ax-pre-lttrn 10877 ax-pre-ltadd 10878 ax-pre-mulgt0 10879 ax-pre-sup 10880

This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 396 df-or 844 df-3or 1086 df-3an 1087 df-tru 1542 df-fal 1552 df-ex 1784 df-nf 1788 df-sb 2069 df-mo 2540 df-eu 2569 df-clab 2716 df-cleq 2730 df-clel 2817 df-nfc 2888 df-ne 2943 df-nel 3049 df-ral 3068 df-rex 3069 df-reu 3070 df-rmo 3071 df-rab 3072 df-v 3424 df-sbc 3712 df-csb 3829 df-dif 3886 df-un 3888 df-in 3890 df-ss 3900 df-pss 3902 df-nul 4254 df-if 4457 df-pw 4532 df-sn 4559 df-pr 4561 df-tp 4563 df-op 4565 df-uni 4837 df-iun 4923 df-br 5071 df-opab 5133 df-mpt 5154 df-tr 5188 df-id 5480 df-eprel 5486 df-po 5494 df-so 5495 df-fr 5535 df-we 5537 df-xp 5586 df-rel 5587 df-cnv 5588 df-co 5589 df-dm 5590 df-rn 5591 df-res 5592 df-ima 5593 df-pred 6191 df-ord 6254 df-on 6255 df-lim 6256 df-suc 6257 df-iota 6376 df-fun 6420 df-fn 6421 df-f 6422 df-f1 6423 df-fo 6424 df-f1o 6425 df-fv 6426 df-riota 7212 df-ov 7258 df-oprab 7259 df-mpo 7260 df-om 7688 df-1st 7804 df-2nd 7805 df-frecs 8068 df-wrecs 8099 df-recs 8173 df-rdg 8212 df-er 8456 df-map 8575 df-en 8692 df-dom 8693 df-sdom 8694 df-sup 9131 df-inf 9132 df-pnf 10942 df-mnf 10943 df-xr 10944 df-ltxr 10945 df-le 10946 df-sub 11137 df-neg 11138 df-div 11563 df-nn 11904 df-2 11966 df-3 11967 df-n0 12164 df-z 12250 df-uz 12512 df-q 12618 df-rp 12660 df-xneg 12777 df-xadd 12778 df-xmul 12779 df-ioo 13012 df-seq 13650 df-exp 13711 df-cj 14738 df-re 14739 df-im 14740 df-sqrt 14874 df-abs 14875 df-topgen 17071 df-psmet 20502 df-xmet 20503 df-met 20504 df-bl 20505 df-mopn 20506 df-bases 22004

This theorem is referenced by: qdensere2 23866 rehaus 23868 resubmet 23871 tgioo2 23872 xrsmopn 23881 iccntr 23890 icccmplem3 23893 reconnlem2 23896 opnreen 23900 metdscn2 23926 evthicc 24528 opnmbllem 24670 dvlip2 25064 lhop 25085 dvcnvre 25088 nmcvcn 28958 opnrebl 34436 opnrebl2 34437 ptrecube 35704 poimirlem30 35734 opnmbllem0 35740 reheibor 35924

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