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Theorem tgioo 23396
Description: The topology generated by open intervals of reals is the same as the open sets of the standard metric space on the reals. (Contributed by NM, 7-May-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Nov-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
remet.1 𝐷 = ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))
tgioo.2 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
Assertion
Ref Expression
tgioo (topGen‘ran (,)) = 𝐽

Proof of Theorem tgioo
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 𝑎 𝑏 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 remet.1 . . . 4 𝐷 = ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))
21rexmet 23391 . . 3 𝐷 ∈ (∞Met‘ℝ)
3 tgioo.2 . . . 4 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
43mopnval 23040 . . 3 (𝐷 ∈ (∞Met‘ℝ) → 𝐽 = (topGen‘ran (ball‘𝐷)))
52, 4ax-mp 5 . 2 𝐽 = (topGen‘ran (ball‘𝐷))
61blssioo 23395 . . 3 ran (ball‘𝐷) ⊆ ran (,)
7 elssuni 4859 . . . . . . 7 (𝑣 ∈ ran (,) → 𝑣 ran (,))
8 unirnioo 12829 . . . . . . 7 ℝ = ran (,)
97, 8sseqtrrdi 4016 . . . . . 6 (𝑣 ∈ ran (,) → 𝑣 ⊆ ℝ)
10 retopbas 23361 . . . . . . . . . 10 ran (,) ∈ TopBases
1110a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝑣 ∈ ran (,) ∧ 𝑥𝑣) → ran (,) ∈ TopBases)
12 simpl 485 . . . . . . . . 9 ((𝑣 ∈ ran (,) ∧ 𝑥𝑣) → 𝑣 ∈ ran (,))
139sselda 3965 . . . . . . . . . 10 ((𝑣 ∈ ran (,) ∧ 𝑥𝑣) → 𝑥 ∈ ℝ)
14 1re 10633 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ ℝ
151bl2ioo 23392 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝑥(ball‘𝐷)1) = ((𝑥 − 1)(,)(𝑥 + 1)))
1614, 15mpan2 689 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥(ball‘𝐷)1) = ((𝑥 − 1)(,)(𝑥 + 1)))
17 ioof 12827 . . . . . . . . . . . . 13 (,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ
18 ffn 6507 . . . . . . . . . . . . 13 ((,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ → (,) Fn (ℝ* × ℝ*))
1917, 18ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 (,) Fn (ℝ* × ℝ*)
20 peano2rem 10945 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 − 1) ∈ ℝ)
2120rexrd 10683 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 − 1) ∈ ℝ*)
22 peano2re 10805 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 + 1) ∈ ℝ)
2322rexrd 10683 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 + 1) ∈ ℝ*)
24 fnovrn 7315 . . . . . . . . . . . 12 (((,) Fn (ℝ* × ℝ*) ∧ (𝑥 − 1) ∈ ℝ* ∧ (𝑥 + 1) ∈ ℝ*) → ((𝑥 − 1)(,)(𝑥 + 1)) ∈ ran (,))
2519, 21, 23, 24mp3an2i 1460 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ℝ → ((𝑥 − 1)(,)(𝑥 + 1)) ∈ ran (,))
2616, 25eqeltrd 2911 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥(ball‘𝐷)1) ∈ ran (,))
2713, 26syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝑣 ∈ ran (,) ∧ 𝑥𝑣) → (𝑥(ball‘𝐷)1) ∈ ran (,))
28 simpr 487 . . . . . . . . . 10 ((𝑣 ∈ ran (,) ∧ 𝑥𝑣) → 𝑥𝑣)
29 1rp 12385 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ ℝ+
30 blcntr 23015 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐷 ∈ (∞Met‘ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ (𝑥(ball‘𝐷)1))
312, 29, 30mp3an13 1446 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ (𝑥(ball‘𝐷)1))
3213, 31syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝑣 ∈ ran (,) ∧ 𝑥𝑣) → 𝑥 ∈ (𝑥(ball‘𝐷)1))
3328, 32elind 4169 . . . . . . . . 9 ((𝑣 ∈ ran (,) ∧ 𝑥𝑣) → 𝑥 ∈ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1)))
34 basis2 21551 . . . . . . . . 9 (((ran (,) ∈ TopBases ∧ 𝑣 ∈ ran (,)) ∧ ((𝑥(ball‘𝐷)1) ∈ ran (,) ∧ 𝑥 ∈ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1)))) → ∃𝑧 ∈ ran (,)(𝑥𝑧𝑧 ⊆ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1))))
3511, 12, 27, 33, 34syl22anc 836 . . . . . . . 8 ((𝑣 ∈ ran (,) ∧ 𝑥𝑣) → ∃𝑧 ∈ ran (,)(𝑥𝑧𝑧 ⊆ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1))))
36 ovelrn 7316 . . . . . . . . . . 11 ((,) Fn (ℝ* × ℝ*) → (𝑧 ∈ ran (,) ↔ ∃𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ* 𝑧 = (𝑎(,)𝑏)))
3719, 36ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ ran (,) ↔ ∃𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ* 𝑧 = (𝑎(,)𝑏))
38 eleq2 2899 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 = (𝑎(,)𝑏) → (𝑥𝑧𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)))
39 sseq1 3990 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 = (𝑎(,)𝑏) → (𝑧 ⊆ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1)) ↔ (𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1))))
4038, 39anbi12d 632 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 = (𝑎(,)𝑏) → ((𝑥𝑧𝑧 ⊆ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1))) ↔ (𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1)))))
41 inss2 4204 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1)) ⊆ (𝑥(ball‘𝐷)1)
42 sstr 3973 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1)) ∧ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1)) ⊆ (𝑥(ball‘𝐷)1)) → (𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝑥(ball‘𝐷)1))
4341, 42mpan2 689 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1)) → (𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝑥(ball‘𝐷)1))
4443adantl 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1))) → (𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝑥(ball‘𝐷)1))
45 elioore 12760 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) → 𝑥 ∈ ℝ)
4645adantr 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1))) → 𝑥 ∈ ℝ)
4746, 16syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1))) → (𝑥(ball‘𝐷)1) = ((𝑥 − 1)(,)(𝑥 + 1)))
4844, 47sseqtrd 4005 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1))) → (𝑎(,)𝑏) ⊆ ((𝑥 − 1)(,)(𝑥 + 1)))
49 dfss 3951 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑎(,)𝑏) ⊆ ((𝑥 − 1)(,)(𝑥 + 1)) ↔ (𝑎(,)𝑏) = ((𝑎(,)𝑏) ∩ ((𝑥 − 1)(,)(𝑥 + 1))))
5048, 49sylib 220 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1))) → (𝑎(,)𝑏) = ((𝑎(,)𝑏) ∩ ((𝑥 − 1)(,)(𝑥 + 1))))
51 eliooxr 12787 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) → (𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*))
5221, 23jca 514 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 ∈ ℝ → ((𝑥 − 1) ∈ ℝ* ∧ (𝑥 + 1) ∈ ℝ*))
5345, 52syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) → ((𝑥 − 1) ∈ ℝ* ∧ (𝑥 + 1) ∈ ℝ*))
54 iooin 12764 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*) ∧ ((𝑥 − 1) ∈ ℝ* ∧ (𝑥 + 1) ∈ ℝ*)) → ((𝑎(,)𝑏) ∩ ((𝑥 − 1)(,)(𝑥 + 1))) = (if(𝑎 ≤ (𝑥 − 1), (𝑥 − 1), 𝑎)(,)if(𝑏 ≤ (𝑥 + 1), 𝑏, (𝑥 + 1))))
5551, 53, 54syl2anc 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) → ((𝑎(,)𝑏) ∩ ((𝑥 − 1)(,)(𝑥 + 1))) = (if(𝑎 ≤ (𝑥 − 1), (𝑥 − 1), 𝑎)(,)if(𝑏 ≤ (𝑥 + 1), 𝑏, (𝑥 + 1))))
5655adantr 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1))) → ((𝑎(,)𝑏) ∩ ((𝑥 − 1)(,)(𝑥 + 1))) = (if(𝑎 ≤ (𝑥 − 1), (𝑥 − 1), 𝑎)(,)if(𝑏 ≤ (𝑥 + 1), 𝑏, (𝑥 + 1))))
5750, 56eqtrd 2854 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1))) → (𝑎(,)𝑏) = (if(𝑎 ≤ (𝑥 − 1), (𝑥 − 1), 𝑎)(,)if(𝑏 ≤ (𝑥 + 1), 𝑏, (𝑥 + 1))))
58 mnfxr 10690 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 -∞ ∈ ℝ*
5958a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1))) → -∞ ∈ ℝ*)
6046, 21syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1))) → (𝑥 − 1) ∈ ℝ*)
6151adantr 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1))) → (𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*))
6261simpld 497 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1))) → 𝑎 ∈ ℝ*)
6360, 62ifcld 4510 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1))) → if(𝑎 ≤ (𝑥 − 1), (𝑥 − 1), 𝑎) ∈ ℝ*)
6461simprd 498 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1))) → 𝑏 ∈ ℝ*)
6546, 22syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1))) → (𝑥 + 1) ∈ ℝ)
6665rexrd 10683 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1))) → (𝑥 + 1) ∈ ℝ*)
6764, 66ifcld 4510 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1))) → if(𝑏 ≤ (𝑥 + 1), 𝑏, (𝑥 + 1)) ∈ ℝ*)
6845, 20syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) → (𝑥 − 1) ∈ ℝ)
6968adantr 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1))) → (𝑥 − 1) ∈ ℝ)
7069mnfltd 12511 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1))) → -∞ < (𝑥 − 1))
71 xrmax2 12561 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑎 ∈ ℝ* ∧ (𝑥 − 1) ∈ ℝ*) → (𝑥 − 1) ≤ if(𝑎 ≤ (𝑥 − 1), (𝑥 − 1), 𝑎))
7262, 60, 71syl2anc 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1))) → (𝑥 − 1) ≤ if(𝑎 ≤ (𝑥 − 1), (𝑥 − 1), 𝑎))
7359, 60, 63, 70, 72xrltletrd 12546 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1))) → -∞ < if(𝑎 ≤ (𝑥 − 1), (𝑥 − 1), 𝑎))
74 simpl 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1))) → 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏))
7574, 57eleqtrd 2913 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1))) → 𝑥 ∈ (if(𝑎 ≤ (𝑥 − 1), (𝑥 − 1), 𝑎)(,)if(𝑏 ≤ (𝑥 + 1), 𝑏, (𝑥 + 1))))
76 eliooxr 12787 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 ∈ (if(𝑎 ≤ (𝑥 − 1), (𝑥 − 1), 𝑎)(,)if(𝑏 ≤ (𝑥 + 1), 𝑏, (𝑥 + 1))) → (if(𝑎 ≤ (𝑥 − 1), (𝑥 − 1), 𝑎) ∈ ℝ* ∧ if(𝑏 ≤ (𝑥 + 1), 𝑏, (𝑥 + 1)) ∈ ℝ*))
77 ne0i 4298 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥 ∈ (if(𝑎 ≤ (𝑥 − 1), (𝑥 − 1), 𝑎)(,)if(𝑏 ≤ (𝑥 + 1), 𝑏, (𝑥 + 1))) → (if(𝑎 ≤ (𝑥 − 1), (𝑥 − 1), 𝑎)(,)if(𝑏 ≤ (𝑥 + 1), 𝑏, (𝑥 + 1))) ≠ ∅)
78 ioon0 12756 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((if(𝑎 ≤ (𝑥 − 1), (𝑥 − 1), 𝑎) ∈ ℝ* ∧ if(𝑏 ≤ (𝑥 + 1), 𝑏, (𝑥 + 1)) ∈ ℝ*) → ((if(𝑎 ≤ (𝑥 − 1), (𝑥 − 1), 𝑎)(,)if(𝑏 ≤ (𝑥 + 1), 𝑏, (𝑥 + 1))) ≠ ∅ ↔ if(𝑎 ≤ (𝑥 − 1), (𝑥 − 1), 𝑎) < if(𝑏 ≤ (𝑥 + 1), 𝑏, (𝑥 + 1))))
7977, 78syl5ib 246 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((if(𝑎 ≤ (𝑥 − 1), (𝑥 − 1), 𝑎) ∈ ℝ* ∧ if(𝑏 ≤ (𝑥 + 1), 𝑏, (𝑥 + 1)) ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (if(𝑎 ≤ (𝑥 − 1), (𝑥 − 1), 𝑎)(,)if(𝑏 ≤ (𝑥 + 1), 𝑏, (𝑥 + 1))) → if(𝑎 ≤ (𝑥 − 1), (𝑥 − 1), 𝑎) < if(𝑏 ≤ (𝑥 + 1), 𝑏, (𝑥 + 1))))
8076, 79mpcom 38 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 ∈ (if(𝑎 ≤ (𝑥 − 1), (𝑥 − 1), 𝑎)(,)if(𝑏 ≤ (𝑥 + 1), 𝑏, (𝑥 + 1))) → if(𝑎 ≤ (𝑥 − 1), (𝑥 − 1), 𝑎) < if(𝑏 ≤ (𝑥 + 1), 𝑏, (𝑥 + 1)))
8175, 80syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1))) → if(𝑎 ≤ (𝑥 − 1), (𝑥 − 1), 𝑎) < if(𝑏 ≤ (𝑥 + 1), 𝑏, (𝑥 + 1)))
82 xrre2 12555 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((-∞ ∈ ℝ* ∧ if(𝑎 ≤ (𝑥 − 1), (𝑥 − 1), 𝑎) ∈ ℝ* ∧ if(𝑏 ≤ (𝑥 + 1), 𝑏, (𝑥 + 1)) ∈ ℝ*) ∧ (-∞ < if(𝑎 ≤ (𝑥 − 1), (𝑥 − 1), 𝑎) ∧ if(𝑎 ≤ (𝑥 − 1), (𝑥 − 1), 𝑎) < if(𝑏 ≤ (𝑥 + 1), 𝑏, (𝑥 + 1)))) → if(𝑎 ≤ (𝑥 − 1), (𝑥 − 1), 𝑎) ∈ ℝ)
8359, 63, 67, 73, 81, 82syl32anc 1373 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1))) → if(𝑎 ≤ (𝑥 − 1), (𝑥 − 1), 𝑎) ∈ ℝ)
84 mnfle 12521 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (if(𝑎 ≤ (𝑥 − 1), (𝑥 − 1), 𝑎) ∈ ℝ* → -∞ ≤ if(𝑎 ≤ (𝑥 − 1), (𝑥 − 1), 𝑎))
8563, 84syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1))) → -∞ ≤ if(𝑎 ≤ (𝑥 − 1), (𝑥 − 1), 𝑎))
8659, 63, 67, 85, 81xrlelttrd 12545 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1))) → -∞ < if(𝑏 ≤ (𝑥 + 1), 𝑏, (𝑥 + 1)))
87 xrmin2 12563 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑏 ∈ ℝ* ∧ (𝑥 + 1) ∈ ℝ*) → if(𝑏 ≤ (𝑥 + 1), 𝑏, (𝑥 + 1)) ≤ (𝑥 + 1))
8864, 66, 87syl2anc 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1))) → if(𝑏 ≤ (𝑥 + 1), 𝑏, (𝑥 + 1)) ≤ (𝑥 + 1))
89 xrre 12554 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((if(𝑏 ≤ (𝑥 + 1), 𝑏, (𝑥 + 1)) ∈ ℝ* ∧ (𝑥 + 1) ∈ ℝ) ∧ (-∞ < if(𝑏 ≤ (𝑥 + 1), 𝑏, (𝑥 + 1)) ∧ if(𝑏 ≤ (𝑥 + 1), 𝑏, (𝑥 + 1)) ≤ (𝑥 + 1))) → if(𝑏 ≤ (𝑥 + 1), 𝑏, (𝑥 + 1)) ∈ ℝ)
9067, 65, 86, 88, 89syl22anc 836 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1))) → if(𝑏 ≤ (𝑥 + 1), 𝑏, (𝑥 + 1)) ∈ ℝ)
911ioo2blex 23394 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((if(𝑎 ≤ (𝑥 − 1), (𝑥 − 1), 𝑎) ∈ ℝ ∧ if(𝑏 ≤ (𝑥 + 1), 𝑏, (𝑥 + 1)) ∈ ℝ) → (if(𝑎 ≤ (𝑥 − 1), (𝑥 − 1), 𝑎)(,)if(𝑏 ≤ (𝑥 + 1), 𝑏, (𝑥 + 1))) ∈ ran (ball‘𝐷))
9283, 90, 91syl2anc 586 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1))) → (if(𝑎 ≤ (𝑥 − 1), (𝑥 − 1), 𝑎)(,)if(𝑏 ≤ (𝑥 + 1), 𝑏, (𝑥 + 1))) ∈ ran (ball‘𝐷))
9357, 92eqeltrd 2911 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1))) → (𝑎(,)𝑏) ∈ ran (ball‘𝐷))
94 inss1 4203 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1)) ⊆ 𝑣
95 sstr 3973 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1)) ∧ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1)) ⊆ 𝑣) → (𝑎(,)𝑏) ⊆ 𝑣)
9694, 95mpan2 689 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1)) → (𝑎(,)𝑏) ⊆ 𝑣)
9796adantl 484 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1))) → (𝑎(,)𝑏) ⊆ 𝑣)
98 sseq1 3990 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑧 = (𝑎(,)𝑏) → (𝑧𝑣 ↔ (𝑎(,)𝑏) ⊆ 𝑣))
9938, 98anbi12d 632 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑧 = (𝑎(,)𝑏) → ((𝑥𝑧𝑧𝑣) ↔ (𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ 𝑣)))
10099rspcev 3621 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑎(,)𝑏) ∈ ran (ball‘𝐷) ∧ (𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ 𝑣)) → ∃𝑧 ∈ ran (ball‘𝐷)(𝑥𝑧𝑧𝑣))
10193, 74, 97, 100syl12anc 834 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1))) → ∃𝑧 ∈ ran (ball‘𝐷)(𝑥𝑧𝑧𝑣))
102 blssex 23029 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐷 ∈ (∞Met‘ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (∃𝑧 ∈ ran (ball‘𝐷)(𝑥𝑧𝑧𝑣) ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ+ (𝑥(ball‘𝐷)𝑦) ⊆ 𝑣))
1032, 46, 102sylancr 589 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1))) → (∃𝑧 ∈ ran (ball‘𝐷)(𝑥𝑧𝑧𝑣) ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ+ (𝑥(ball‘𝐷)𝑦) ⊆ 𝑣))
104101, 103mpbid 234 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1))) → ∃𝑦 ∈ ℝ+ (𝑥(ball‘𝐷)𝑦) ⊆ 𝑣)
10540, 104syl6bi 255 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 = (𝑎(,)𝑏) → ((𝑥𝑧𝑧 ⊆ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1))) → ∃𝑦 ∈ ℝ+ (𝑥(ball‘𝐷)𝑦) ⊆ 𝑣))
106105a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*) → (𝑧 = (𝑎(,)𝑏) → ((𝑥𝑧𝑧 ⊆ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1))) → ∃𝑦 ∈ ℝ+ (𝑥(ball‘𝐷)𝑦) ⊆ 𝑣)))
107106rexlimivv 3290 . . . . . . . . . . 11 (∃𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ* 𝑧 = (𝑎(,)𝑏) → ((𝑥𝑧𝑧 ⊆ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1))) → ∃𝑦 ∈ ℝ+ (𝑥(ball‘𝐷)𝑦) ⊆ 𝑣))
108107imp 409 . . . . . . . . . 10 ((∃𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ* 𝑧 = (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑥𝑧𝑧 ⊆ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1)))) → ∃𝑦 ∈ ℝ+ (𝑥(ball‘𝐷)𝑦) ⊆ 𝑣)
10937, 108sylanb 583 . . . . . . . . 9 ((𝑧 ∈ ran (,) ∧ (𝑥𝑧𝑧 ⊆ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1)))) → ∃𝑦 ∈ ℝ+ (𝑥(ball‘𝐷)𝑦) ⊆ 𝑣)
110109rexlimiva 3279 . . . . . . . 8 (∃𝑧 ∈ ran (,)(𝑥𝑧𝑧 ⊆ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1))) → ∃𝑦 ∈ ℝ+ (𝑥(ball‘𝐷)𝑦) ⊆ 𝑣)
11135, 110syl 17 . . . . . . 7 ((𝑣 ∈ ran (,) ∧ 𝑥𝑣) → ∃𝑦 ∈ ℝ+ (𝑥(ball‘𝐷)𝑦) ⊆ 𝑣)
112111ralrimiva 3180 . . . . . 6 (𝑣 ∈ ran (,) → ∀𝑥𝑣𝑦 ∈ ℝ+ (𝑥(ball‘𝐷)𝑦) ⊆ 𝑣)
1133elmopn2 23047 . . . . . . 7 (𝐷 ∈ (∞Met‘ℝ) → (𝑣𝐽 ↔ (𝑣 ⊆ ℝ ∧ ∀𝑥𝑣𝑦 ∈ ℝ+ (𝑥(ball‘𝐷)𝑦) ⊆ 𝑣)))
1142, 113ax-mp 5 . . . . . 6 (𝑣𝐽 ↔ (𝑣 ⊆ ℝ ∧ ∀𝑥𝑣𝑦 ∈ ℝ+ (𝑥(ball‘𝐷)𝑦) ⊆ 𝑣))
1159, 112, 114sylanbrc 585 . . . . 5 (𝑣 ∈ ran (,) → 𝑣𝐽)
116115ssriv 3969 . . . 4 ran (,) ⊆ 𝐽
117116, 5sseqtri 4001 . . 3 ran (,) ⊆ (topGen‘ran (ball‘𝐷))
118 2basgen 21590 . . 3 ((ran (ball‘𝐷) ⊆ ran (,) ∧ ran (,) ⊆ (topGen‘ran (ball‘𝐷))) → (topGen‘ran (ball‘𝐷)) = (topGen‘ran (,)))
1196, 117, 118mp2an 690 . 2 (topGen‘ran (ball‘𝐷)) = (topGen‘ran (,))
1205, 119eqtr2i 2843 1 (topGen‘ran (,)) = 𝐽
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 208  wa 398   = wceq 1531  wcel 2108  wne 3014  wral 3136  wrex 3137  cin 3933  wss 3934  c0 4289  ifcif 4465  𝒫 cpw 4537   cuni 4830   class class class wbr 5057   × cxp 5546  ran crn 5549  cres 5550  ccom 5552   Fn wfn 6343  wf 6344  cfv 6348  (class class class)co 7148  cr 10528  1c1 10530   + caddc 10532  -∞cmnf 10665  *cxr 10666   < clt 10667  cle 10668  cmin 10862  +crp 12381  (,)cioo 12730  abscabs 14585  topGenctg 16703  ∞Metcxmet 20522  ballcbl 20524  MetOpencmopn 20527  TopBasesctb 21545
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1905  ax-6 1964  ax-7 2009  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2154  ax-12 2170  ax-ext 2791  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7453  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606  ax-pre-sup 10607
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1083  df-3an 1084  df-tru 1534  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2064  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-nel 3122  df-ral 3141  df-rex 3142  df-reu 3143  df-rmo 3144  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3882  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-pss 3952  df-nul 4290  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-tp 4564  df-op 4566  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-om 7573  df-1st 7681  df-2nd 7682  df-wrecs 7939  df-recs 8000  df-rdg 8038  df-er 8281  df-map 8400  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-sup 8898  df-inf 8899  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-div 11290  df-nn 11631  df-2 11692  df-3 11693  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-q 12341  df-rp 12382  df-xneg 12499  df-xadd 12500  df-xmul 12501  df-ioo 12734  df-seq 13362  df-exp 13422  df-cj 14450  df-re 14451  df-im 14452  df-sqrt 14586  df-abs 14587  df-topgen 16709  df-psmet 20529  df-xmet 20530  df-met 20531  df-bl 20532  df-mopn 20533  df-bases 21546
This theorem is referenced by:  qdensere2  23397  rehaus  23399  resubmet  23402  tgioo2  23403  xrsmopn  23412  iccntr  23421  icccmplem3  23424  reconnlem2  23427  opnreen  23431  metdscn2  23457  evthicc  24052  opnmbllem  24194  dvlip2  24584  lhop  24605  dvcnvre  24608  nmcvcn  28464  opnrebl  33661  opnrebl2  33662  ptrecube  34884  poimirlem30  34914  opnmbllem0  34920  reheibor  35109
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