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Theorem tgioo 24312
Description: The topology generated by open intervals of reals is the same as the open sets of the standard metric space on the reals. (Contributed by NM, 7-May-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Nov-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
remet.1 𝐷 = ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))
tgioo.2 𝐽 = (MetOpenβ€˜π·)
Assertion
Ref Expression
tgioo (topGenβ€˜ran (,)) = 𝐽

Proof of Theorem tgioo
Dummy variables π‘₯ 𝑦 𝑧 π‘Ž 𝑏 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 remet.1 . . . 4 𝐷 = ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))
21rexmet 24307 . . 3 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜β„)
3 tgioo.2 . . . 4 𝐽 = (MetOpenβ€˜π·)
43mopnval 23944 . . 3 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜β„) β†’ 𝐽 = (topGenβ€˜ran (ballβ€˜π·)))
52, 4ax-mp 5 . 2 𝐽 = (topGenβ€˜ran (ballβ€˜π·))
61blssioo 24311 . . 3 ran (ballβ€˜π·) βŠ† ran (,)
7 elssuni 4942 . . . . . . 7 (𝑣 ∈ ran (,) β†’ 𝑣 βŠ† βˆͺ ran (,))
8 unirnioo 13426 . . . . . . 7 ℝ = βˆͺ ran (,)
97, 8sseqtrrdi 4034 . . . . . 6 (𝑣 ∈ ran (,) β†’ 𝑣 βŠ† ℝ)
10 retopbas 24277 . . . . . . . . . 10 ran (,) ∈ TopBases
1110a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝑣 ∈ ran (,) ∧ π‘₯ ∈ 𝑣) β†’ ran (,) ∈ TopBases)
12 simpl 484 . . . . . . . . 9 ((𝑣 ∈ ran (,) ∧ π‘₯ ∈ 𝑣) β†’ 𝑣 ∈ ran (,))
139sselda 3983 . . . . . . . . . 10 ((𝑣 ∈ ran (,) ∧ π‘₯ ∈ 𝑣) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
14 1re 11214 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ ℝ
151bl2ioo 24308 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) β†’ (π‘₯(ballβ€˜π·)1) = ((π‘₯ βˆ’ 1)(,)(π‘₯ + 1)))
1614, 15mpan2 690 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ ∈ ℝ β†’ (π‘₯(ballβ€˜π·)1) = ((π‘₯ βˆ’ 1)(,)(π‘₯ + 1)))
17 ioof 13424 . . . . . . . . . . . . 13 (,):(ℝ* Γ— ℝ*)βŸΆπ’« ℝ
18 ffn 6718 . . . . . . . . . . . . 13 ((,):(ℝ* Γ— ℝ*)βŸΆπ’« ℝ β†’ (,) Fn (ℝ* Γ— ℝ*))
1917, 18ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 (,) Fn (ℝ* Γ— ℝ*)
20 peano2rem 11527 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ ∈ ℝ β†’ (π‘₯ βˆ’ 1) ∈ ℝ)
2120rexrd 11264 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ ∈ ℝ β†’ (π‘₯ βˆ’ 1) ∈ ℝ*)
22 peano2re 11387 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ ∈ ℝ β†’ (π‘₯ + 1) ∈ ℝ)
2322rexrd 11264 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ ∈ ℝ β†’ (π‘₯ + 1) ∈ ℝ*)
24 fnovrn 7582 . . . . . . . . . . . 12 (((,) Fn (ℝ* Γ— ℝ*) ∧ (π‘₯ βˆ’ 1) ∈ ℝ* ∧ (π‘₯ + 1) ∈ ℝ*) β†’ ((π‘₯ βˆ’ 1)(,)(π‘₯ + 1)) ∈ ran (,))
2519, 21, 23, 24mp3an2i 1467 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ ∈ ℝ β†’ ((π‘₯ βˆ’ 1)(,)(π‘₯ + 1)) ∈ ran (,))
2616, 25eqeltrd 2834 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ ℝ β†’ (π‘₯(ballβ€˜π·)1) ∈ ran (,))
2713, 26syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝑣 ∈ ran (,) ∧ π‘₯ ∈ 𝑣) β†’ (π‘₯(ballβ€˜π·)1) ∈ ran (,))
28 simpr 486 . . . . . . . . . 10 ((𝑣 ∈ ran (,) ∧ π‘₯ ∈ 𝑣) β†’ π‘₯ ∈ 𝑣)
29 1rp 12978 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ ℝ+
30 blcntr 23919 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜β„) ∧ π‘₯ ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ+) β†’ π‘₯ ∈ (π‘₯(ballβ€˜π·)1))
312, 29, 30mp3an13 1453 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ ∈ ℝ β†’ π‘₯ ∈ (π‘₯(ballβ€˜π·)1))
3213, 31syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝑣 ∈ ran (,) ∧ π‘₯ ∈ 𝑣) β†’ π‘₯ ∈ (π‘₯(ballβ€˜π·)1))
3328, 32elind 4195 . . . . . . . . 9 ((𝑣 ∈ ran (,) ∧ π‘₯ ∈ 𝑣) β†’ π‘₯ ∈ (𝑣 ∩ (π‘₯(ballβ€˜π·)1)))
34 basis2 22454 . . . . . . . . 9 (((ran (,) ∈ TopBases ∧ 𝑣 ∈ ran (,)) ∧ ((π‘₯(ballβ€˜π·)1) ∈ ran (,) ∧ π‘₯ ∈ (𝑣 ∩ (π‘₯(ballβ€˜π·)1)))) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ ran (,)(π‘₯ ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 βŠ† (𝑣 ∩ (π‘₯(ballβ€˜π·)1))))
3511, 12, 27, 33, 34syl22anc 838 . . . . . . . 8 ((𝑣 ∈ ran (,) ∧ π‘₯ ∈ 𝑣) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ ran (,)(π‘₯ ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 βŠ† (𝑣 ∩ (π‘₯(ballβ€˜π·)1))))
36 ovelrn 7583 . . . . . . . . . . 11 ((,) Fn (ℝ* Γ— ℝ*) β†’ (𝑧 ∈ ran (,) ↔ βˆƒπ‘Ž ∈ ℝ* βˆƒπ‘ ∈ ℝ* 𝑧 = (π‘Ž(,)𝑏)))
3719, 36ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ ran (,) ↔ βˆƒπ‘Ž ∈ ℝ* βˆƒπ‘ ∈ ℝ* 𝑧 = (π‘Ž(,)𝑏))
38 eleq2 2823 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 = (π‘Ž(,)𝑏) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑧 ↔ π‘₯ ∈ (π‘Ž(,)𝑏)))
39 sseq1 4008 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 = (π‘Ž(,)𝑏) β†’ (𝑧 βŠ† (𝑣 ∩ (π‘₯(ballβ€˜π·)1)) ↔ (π‘Ž(,)𝑏) βŠ† (𝑣 ∩ (π‘₯(ballβ€˜π·)1))))
4038, 39anbi12d 632 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 = (π‘Ž(,)𝑏) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 βŠ† (𝑣 ∩ (π‘₯(ballβ€˜π·)1))) ↔ (π‘₯ ∈ (π‘Ž(,)𝑏) ∧ (π‘Ž(,)𝑏) βŠ† (𝑣 ∩ (π‘₯(ballβ€˜π·)1)))))
41 inss2 4230 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑣 ∩ (π‘₯(ballβ€˜π·)1)) βŠ† (π‘₯(ballβ€˜π·)1)
42 sstr 3991 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((π‘Ž(,)𝑏) βŠ† (𝑣 ∩ (π‘₯(ballβ€˜π·)1)) ∧ (𝑣 ∩ (π‘₯(ballβ€˜π·)1)) βŠ† (π‘₯(ballβ€˜π·)1)) β†’ (π‘Ž(,)𝑏) βŠ† (π‘₯(ballβ€˜π·)1))
4341, 42mpan2 690 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((π‘Ž(,)𝑏) βŠ† (𝑣 ∩ (π‘₯(ballβ€˜π·)1)) β†’ (π‘Ž(,)𝑏) βŠ† (π‘₯(ballβ€˜π·)1))
4443adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((π‘₯ ∈ (π‘Ž(,)𝑏) ∧ (π‘Ž(,)𝑏) βŠ† (𝑣 ∩ (π‘₯(ballβ€˜π·)1))) β†’ (π‘Ž(,)𝑏) βŠ† (π‘₯(ballβ€˜π·)1))
45 elioore 13354 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (π‘₯ ∈ (π‘Ž(,)𝑏) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
4645adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((π‘₯ ∈ (π‘Ž(,)𝑏) ∧ (π‘Ž(,)𝑏) βŠ† (𝑣 ∩ (π‘₯(ballβ€˜π·)1))) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
4746, 16syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((π‘₯ ∈ (π‘Ž(,)𝑏) ∧ (π‘Ž(,)𝑏) βŠ† (𝑣 ∩ (π‘₯(ballβ€˜π·)1))) β†’ (π‘₯(ballβ€˜π·)1) = ((π‘₯ βˆ’ 1)(,)(π‘₯ + 1)))
4844, 47sseqtrd 4023 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((π‘₯ ∈ (π‘Ž(,)𝑏) ∧ (π‘Ž(,)𝑏) βŠ† (𝑣 ∩ (π‘₯(ballβ€˜π·)1))) β†’ (π‘Ž(,)𝑏) βŠ† ((π‘₯ βˆ’ 1)(,)(π‘₯ + 1)))
49 dfss 3967 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((π‘Ž(,)𝑏) βŠ† ((π‘₯ βˆ’ 1)(,)(π‘₯ + 1)) ↔ (π‘Ž(,)𝑏) = ((π‘Ž(,)𝑏) ∩ ((π‘₯ βˆ’ 1)(,)(π‘₯ + 1))))
5048, 49sylib 217 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((π‘₯ ∈ (π‘Ž(,)𝑏) ∧ (π‘Ž(,)𝑏) βŠ† (𝑣 ∩ (π‘₯(ballβ€˜π·)1))) β†’ (π‘Ž(,)𝑏) = ((π‘Ž(,)𝑏) ∩ ((π‘₯ βˆ’ 1)(,)(π‘₯ + 1))))
51 eliooxr 13382 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (π‘₯ ∈ (π‘Ž(,)𝑏) β†’ (π‘Ž ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*))
5221, 23jca 513 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (π‘₯ ∈ ℝ β†’ ((π‘₯ βˆ’ 1) ∈ ℝ* ∧ (π‘₯ + 1) ∈ ℝ*))
5345, 52syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (π‘₯ ∈ (π‘Ž(,)𝑏) β†’ ((π‘₯ βˆ’ 1) ∈ ℝ* ∧ (π‘₯ + 1) ∈ ℝ*))
54 iooin 13358 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((π‘Ž ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*) ∧ ((π‘₯ βˆ’ 1) ∈ ℝ* ∧ (π‘₯ + 1) ∈ ℝ*)) β†’ ((π‘Ž(,)𝑏) ∩ ((π‘₯ βˆ’ 1)(,)(π‘₯ + 1))) = (if(π‘Ž ≀ (π‘₯ βˆ’ 1), (π‘₯ βˆ’ 1), π‘Ž)(,)if(𝑏 ≀ (π‘₯ + 1), 𝑏, (π‘₯ + 1))))
5551, 53, 54syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (π‘₯ ∈ (π‘Ž(,)𝑏) β†’ ((π‘Ž(,)𝑏) ∩ ((π‘₯ βˆ’ 1)(,)(π‘₯ + 1))) = (if(π‘Ž ≀ (π‘₯ βˆ’ 1), (π‘₯ βˆ’ 1), π‘Ž)(,)if(𝑏 ≀ (π‘₯ + 1), 𝑏, (π‘₯ + 1))))
5655adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((π‘₯ ∈ (π‘Ž(,)𝑏) ∧ (π‘Ž(,)𝑏) βŠ† (𝑣 ∩ (π‘₯(ballβ€˜π·)1))) β†’ ((π‘Ž(,)𝑏) ∩ ((π‘₯ βˆ’ 1)(,)(π‘₯ + 1))) = (if(π‘Ž ≀ (π‘₯ βˆ’ 1), (π‘₯ βˆ’ 1), π‘Ž)(,)if(𝑏 ≀ (π‘₯ + 1), 𝑏, (π‘₯ + 1))))
5750, 56eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((π‘₯ ∈ (π‘Ž(,)𝑏) ∧ (π‘Ž(,)𝑏) βŠ† (𝑣 ∩ (π‘₯(ballβ€˜π·)1))) β†’ (π‘Ž(,)𝑏) = (if(π‘Ž ≀ (π‘₯ βˆ’ 1), (π‘₯ βˆ’ 1), π‘Ž)(,)if(𝑏 ≀ (π‘₯ + 1), 𝑏, (π‘₯ + 1))))
58 mnfxr 11271 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 -∞ ∈ ℝ*
5958a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((π‘₯ ∈ (π‘Ž(,)𝑏) ∧ (π‘Ž(,)𝑏) βŠ† (𝑣 ∩ (π‘₯(ballβ€˜π·)1))) β†’ -∞ ∈ ℝ*)
6046, 21syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((π‘₯ ∈ (π‘Ž(,)𝑏) ∧ (π‘Ž(,)𝑏) βŠ† (𝑣 ∩ (π‘₯(ballβ€˜π·)1))) β†’ (π‘₯ βˆ’ 1) ∈ ℝ*)
6151adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((π‘₯ ∈ (π‘Ž(,)𝑏) ∧ (π‘Ž(,)𝑏) βŠ† (𝑣 ∩ (π‘₯(ballβ€˜π·)1))) β†’ (π‘Ž ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*))
6261simpld 496 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((π‘₯ ∈ (π‘Ž(,)𝑏) ∧ (π‘Ž(,)𝑏) βŠ† (𝑣 ∩ (π‘₯(ballβ€˜π·)1))) β†’ π‘Ž ∈ ℝ*)
6360, 62ifcld 4575 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((π‘₯ ∈ (π‘Ž(,)𝑏) ∧ (π‘Ž(,)𝑏) βŠ† (𝑣 ∩ (π‘₯(ballβ€˜π·)1))) β†’ if(π‘Ž ≀ (π‘₯ βˆ’ 1), (π‘₯ βˆ’ 1), π‘Ž) ∈ ℝ*)
6461simprd 497 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((π‘₯ ∈ (π‘Ž(,)𝑏) ∧ (π‘Ž(,)𝑏) βŠ† (𝑣 ∩ (π‘₯(ballβ€˜π·)1))) β†’ 𝑏 ∈ ℝ*)
6546, 22syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((π‘₯ ∈ (π‘Ž(,)𝑏) ∧ (π‘Ž(,)𝑏) βŠ† (𝑣 ∩ (π‘₯(ballβ€˜π·)1))) β†’ (π‘₯ + 1) ∈ ℝ)
6665rexrd 11264 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((π‘₯ ∈ (π‘Ž(,)𝑏) ∧ (π‘Ž(,)𝑏) βŠ† (𝑣 ∩ (π‘₯(ballβ€˜π·)1))) β†’ (π‘₯ + 1) ∈ ℝ*)
6764, 66ifcld 4575 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((π‘₯ ∈ (π‘Ž(,)𝑏) ∧ (π‘Ž(,)𝑏) βŠ† (𝑣 ∩ (π‘₯(ballβ€˜π·)1))) β†’ if(𝑏 ≀ (π‘₯ + 1), 𝑏, (π‘₯ + 1)) ∈ ℝ*)
6845, 20syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (π‘₯ ∈ (π‘Ž(,)𝑏) β†’ (π‘₯ βˆ’ 1) ∈ ℝ)
6968adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((π‘₯ ∈ (π‘Ž(,)𝑏) ∧ (π‘Ž(,)𝑏) βŠ† (𝑣 ∩ (π‘₯(ballβ€˜π·)1))) β†’ (π‘₯ βˆ’ 1) ∈ ℝ)
7069mnfltd 13104 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((π‘₯ ∈ (π‘Ž(,)𝑏) ∧ (π‘Ž(,)𝑏) βŠ† (𝑣 ∩ (π‘₯(ballβ€˜π·)1))) β†’ -∞ < (π‘₯ βˆ’ 1))
71 xrmax2 13155 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((π‘Ž ∈ ℝ* ∧ (π‘₯ βˆ’ 1) ∈ ℝ*) β†’ (π‘₯ βˆ’ 1) ≀ if(π‘Ž ≀ (π‘₯ βˆ’ 1), (π‘₯ βˆ’ 1), π‘Ž))
7262, 60, 71syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((π‘₯ ∈ (π‘Ž(,)𝑏) ∧ (π‘Ž(,)𝑏) βŠ† (𝑣 ∩ (π‘₯(ballβ€˜π·)1))) β†’ (π‘₯ βˆ’ 1) ≀ if(π‘Ž ≀ (π‘₯ βˆ’ 1), (π‘₯ βˆ’ 1), π‘Ž))
7359, 60, 63, 70, 72xrltletrd 13140 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((π‘₯ ∈ (π‘Ž(,)𝑏) ∧ (π‘Ž(,)𝑏) βŠ† (𝑣 ∩ (π‘₯(ballβ€˜π·)1))) β†’ -∞ < if(π‘Ž ≀ (π‘₯ βˆ’ 1), (π‘₯ βˆ’ 1), π‘Ž))
74 simpl 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((π‘₯ ∈ (π‘Ž(,)𝑏) ∧ (π‘Ž(,)𝑏) βŠ† (𝑣 ∩ (π‘₯(ballβ€˜π·)1))) β†’ π‘₯ ∈ (π‘Ž(,)𝑏))
7574, 57eleqtrd 2836 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((π‘₯ ∈ (π‘Ž(,)𝑏) ∧ (π‘Ž(,)𝑏) βŠ† (𝑣 ∩ (π‘₯(ballβ€˜π·)1))) β†’ π‘₯ ∈ (if(π‘Ž ≀ (π‘₯ βˆ’ 1), (π‘₯ βˆ’ 1), π‘Ž)(,)if(𝑏 ≀ (π‘₯ + 1), 𝑏, (π‘₯ + 1))))
76 eliooxr 13382 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (π‘₯ ∈ (if(π‘Ž ≀ (π‘₯ βˆ’ 1), (π‘₯ βˆ’ 1), π‘Ž)(,)if(𝑏 ≀ (π‘₯ + 1), 𝑏, (π‘₯ + 1))) β†’ (if(π‘Ž ≀ (π‘₯ βˆ’ 1), (π‘₯ βˆ’ 1), π‘Ž) ∈ ℝ* ∧ if(𝑏 ≀ (π‘₯ + 1), 𝑏, (π‘₯ + 1)) ∈ ℝ*))
77 ne0i 4335 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (π‘₯ ∈ (if(π‘Ž ≀ (π‘₯ βˆ’ 1), (π‘₯ βˆ’ 1), π‘Ž)(,)if(𝑏 ≀ (π‘₯ + 1), 𝑏, (π‘₯ + 1))) β†’ (if(π‘Ž ≀ (π‘₯ βˆ’ 1), (π‘₯ βˆ’ 1), π‘Ž)(,)if(𝑏 ≀ (π‘₯ + 1), 𝑏, (π‘₯ + 1))) β‰  βˆ…)
78 ioon0 13350 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((if(π‘Ž ≀ (π‘₯ βˆ’ 1), (π‘₯ βˆ’ 1), π‘Ž) ∈ ℝ* ∧ if(𝑏 ≀ (π‘₯ + 1), 𝑏, (π‘₯ + 1)) ∈ ℝ*) β†’ ((if(π‘Ž ≀ (π‘₯ βˆ’ 1), (π‘₯ βˆ’ 1), π‘Ž)(,)if(𝑏 ≀ (π‘₯ + 1), 𝑏, (π‘₯ + 1))) β‰  βˆ… ↔ if(π‘Ž ≀ (π‘₯ βˆ’ 1), (π‘₯ βˆ’ 1), π‘Ž) < if(𝑏 ≀ (π‘₯ + 1), 𝑏, (π‘₯ + 1))))
7977, 78imbitrid 243 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((if(π‘Ž ≀ (π‘₯ βˆ’ 1), (π‘₯ βˆ’ 1), π‘Ž) ∈ ℝ* ∧ if(𝑏 ≀ (π‘₯ + 1), 𝑏, (π‘₯ + 1)) ∈ ℝ*) β†’ (π‘₯ ∈ (if(π‘Ž ≀ (π‘₯ βˆ’ 1), (π‘₯ βˆ’ 1), π‘Ž)(,)if(𝑏 ≀ (π‘₯ + 1), 𝑏, (π‘₯ + 1))) β†’ if(π‘Ž ≀ (π‘₯ βˆ’ 1), (π‘₯ βˆ’ 1), π‘Ž) < if(𝑏 ≀ (π‘₯ + 1), 𝑏, (π‘₯ + 1))))
8076, 79mpcom 38 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (π‘₯ ∈ (if(π‘Ž ≀ (π‘₯ βˆ’ 1), (π‘₯ βˆ’ 1), π‘Ž)(,)if(𝑏 ≀ (π‘₯ + 1), 𝑏, (π‘₯ + 1))) β†’ if(π‘Ž ≀ (π‘₯ βˆ’ 1), (π‘₯ βˆ’ 1), π‘Ž) < if(𝑏 ≀ (π‘₯ + 1), 𝑏, (π‘₯ + 1)))
8175, 80syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((π‘₯ ∈ (π‘Ž(,)𝑏) ∧ (π‘Ž(,)𝑏) βŠ† (𝑣 ∩ (π‘₯(ballβ€˜π·)1))) β†’ if(π‘Ž ≀ (π‘₯ βˆ’ 1), (π‘₯ βˆ’ 1), π‘Ž) < if(𝑏 ≀ (π‘₯ + 1), 𝑏, (π‘₯ + 1)))
82 xrre2 13149 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((-∞ ∈ ℝ* ∧ if(π‘Ž ≀ (π‘₯ βˆ’ 1), (π‘₯ βˆ’ 1), π‘Ž) ∈ ℝ* ∧ if(𝑏 ≀ (π‘₯ + 1), 𝑏, (π‘₯ + 1)) ∈ ℝ*) ∧ (-∞ < if(π‘Ž ≀ (π‘₯ βˆ’ 1), (π‘₯ βˆ’ 1), π‘Ž) ∧ if(π‘Ž ≀ (π‘₯ βˆ’ 1), (π‘₯ βˆ’ 1), π‘Ž) < if(𝑏 ≀ (π‘₯ + 1), 𝑏, (π‘₯ + 1)))) β†’ if(π‘Ž ≀ (π‘₯ βˆ’ 1), (π‘₯ βˆ’ 1), π‘Ž) ∈ ℝ)
8359, 63, 67, 73, 81, 82syl32anc 1379 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((π‘₯ ∈ (π‘Ž(,)𝑏) ∧ (π‘Ž(,)𝑏) βŠ† (𝑣 ∩ (π‘₯(ballβ€˜π·)1))) β†’ if(π‘Ž ≀ (π‘₯ βˆ’ 1), (π‘₯ βˆ’ 1), π‘Ž) ∈ ℝ)
84 mnfle 13114 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (if(π‘Ž ≀ (π‘₯ βˆ’ 1), (π‘₯ βˆ’ 1), π‘Ž) ∈ ℝ* β†’ -∞ ≀ if(π‘Ž ≀ (π‘₯ βˆ’ 1), (π‘₯ βˆ’ 1), π‘Ž))
8563, 84syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((π‘₯ ∈ (π‘Ž(,)𝑏) ∧ (π‘Ž(,)𝑏) βŠ† (𝑣 ∩ (π‘₯(ballβ€˜π·)1))) β†’ -∞ ≀ if(π‘Ž ≀ (π‘₯ βˆ’ 1), (π‘₯ βˆ’ 1), π‘Ž))
8659, 63, 67, 85, 81xrlelttrd 13139 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((π‘₯ ∈ (π‘Ž(,)𝑏) ∧ (π‘Ž(,)𝑏) βŠ† (𝑣 ∩ (π‘₯(ballβ€˜π·)1))) β†’ -∞ < if(𝑏 ≀ (π‘₯ + 1), 𝑏, (π‘₯ + 1)))
87 xrmin2 13157 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑏 ∈ ℝ* ∧ (π‘₯ + 1) ∈ ℝ*) β†’ if(𝑏 ≀ (π‘₯ + 1), 𝑏, (π‘₯ + 1)) ≀ (π‘₯ + 1))
8864, 66, 87syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((π‘₯ ∈ (π‘Ž(,)𝑏) ∧ (π‘Ž(,)𝑏) βŠ† (𝑣 ∩ (π‘₯(ballβ€˜π·)1))) β†’ if(𝑏 ≀ (π‘₯ + 1), 𝑏, (π‘₯ + 1)) ≀ (π‘₯ + 1))
89 xrre 13148 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((if(𝑏 ≀ (π‘₯ + 1), 𝑏, (π‘₯ + 1)) ∈ ℝ* ∧ (π‘₯ + 1) ∈ ℝ) ∧ (-∞ < if(𝑏 ≀ (π‘₯ + 1), 𝑏, (π‘₯ + 1)) ∧ if(𝑏 ≀ (π‘₯ + 1), 𝑏, (π‘₯ + 1)) ≀ (π‘₯ + 1))) β†’ if(𝑏 ≀ (π‘₯ + 1), 𝑏, (π‘₯ + 1)) ∈ ℝ)
9067, 65, 86, 88, 89syl22anc 838 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((π‘₯ ∈ (π‘Ž(,)𝑏) ∧ (π‘Ž(,)𝑏) βŠ† (𝑣 ∩ (π‘₯(ballβ€˜π·)1))) β†’ if(𝑏 ≀ (π‘₯ + 1), 𝑏, (π‘₯ + 1)) ∈ ℝ)
911ioo2blex 24310 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((if(π‘Ž ≀ (π‘₯ βˆ’ 1), (π‘₯ βˆ’ 1), π‘Ž) ∈ ℝ ∧ if(𝑏 ≀ (π‘₯ + 1), 𝑏, (π‘₯ + 1)) ∈ ℝ) β†’ (if(π‘Ž ≀ (π‘₯ βˆ’ 1), (π‘₯ βˆ’ 1), π‘Ž)(,)if(𝑏 ≀ (π‘₯ + 1), 𝑏, (π‘₯ + 1))) ∈ ran (ballβ€˜π·))
9283, 90, 91syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((π‘₯ ∈ (π‘Ž(,)𝑏) ∧ (π‘Ž(,)𝑏) βŠ† (𝑣 ∩ (π‘₯(ballβ€˜π·)1))) β†’ (if(π‘Ž ≀ (π‘₯ βˆ’ 1), (π‘₯ βˆ’ 1), π‘Ž)(,)if(𝑏 ≀ (π‘₯ + 1), 𝑏, (π‘₯ + 1))) ∈ ran (ballβ€˜π·))
9357, 92eqeltrd 2834 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘₯ ∈ (π‘Ž(,)𝑏) ∧ (π‘Ž(,)𝑏) βŠ† (𝑣 ∩ (π‘₯(ballβ€˜π·)1))) β†’ (π‘Ž(,)𝑏) ∈ ran (ballβ€˜π·))
94 inss1 4229 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑣 ∩ (π‘₯(ballβ€˜π·)1)) βŠ† 𝑣
95 sstr 3991 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((π‘Ž(,)𝑏) βŠ† (𝑣 ∩ (π‘₯(ballβ€˜π·)1)) ∧ (𝑣 ∩ (π‘₯(ballβ€˜π·)1)) βŠ† 𝑣) β†’ (π‘Ž(,)𝑏) βŠ† 𝑣)
9694, 95mpan2 690 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((π‘Ž(,)𝑏) βŠ† (𝑣 ∩ (π‘₯(ballβ€˜π·)1)) β†’ (π‘Ž(,)𝑏) βŠ† 𝑣)
9796adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘₯ ∈ (π‘Ž(,)𝑏) ∧ (π‘Ž(,)𝑏) βŠ† (𝑣 ∩ (π‘₯(ballβ€˜π·)1))) β†’ (π‘Ž(,)𝑏) βŠ† 𝑣)
98 sseq1 4008 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑧 = (π‘Ž(,)𝑏) β†’ (𝑧 βŠ† 𝑣 ↔ (π‘Ž(,)𝑏) βŠ† 𝑣))
9938, 98anbi12d 632 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑧 = (π‘Ž(,)𝑏) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 βŠ† 𝑣) ↔ (π‘₯ ∈ (π‘Ž(,)𝑏) ∧ (π‘Ž(,)𝑏) βŠ† 𝑣)))
10099rspcev 3613 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((π‘Ž(,)𝑏) ∈ ran (ballβ€˜π·) ∧ (π‘₯ ∈ (π‘Ž(,)𝑏) ∧ (π‘Ž(,)𝑏) βŠ† 𝑣)) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ ran (ballβ€˜π·)(π‘₯ ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 βŠ† 𝑣))
10193, 74, 97, 100syl12anc 836 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘₯ ∈ (π‘Ž(,)𝑏) ∧ (π‘Ž(,)𝑏) βŠ† (𝑣 ∩ (π‘₯(ballβ€˜π·)1))) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ ran (ballβ€˜π·)(π‘₯ ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 βŠ† 𝑣))
102 blssex 23933 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜β„) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (βˆƒπ‘§ ∈ ran (ballβ€˜π·)(π‘₯ ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 βŠ† 𝑣) ↔ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ (π‘₯(ballβ€˜π·)𝑦) βŠ† 𝑣))
1032, 46, 102sylancr 588 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘₯ ∈ (π‘Ž(,)𝑏) ∧ (π‘Ž(,)𝑏) βŠ† (𝑣 ∩ (π‘₯(ballβ€˜π·)1))) β†’ (βˆƒπ‘§ ∈ ran (ballβ€˜π·)(π‘₯ ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 βŠ† 𝑣) ↔ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ (π‘₯(ballβ€˜π·)𝑦) βŠ† 𝑣))
104101, 103mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘₯ ∈ (π‘Ž(,)𝑏) ∧ (π‘Ž(,)𝑏) βŠ† (𝑣 ∩ (π‘₯(ballβ€˜π·)1))) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ (π‘₯(ballβ€˜π·)𝑦) βŠ† 𝑣)
10540, 104syl6bi 253 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 = (π‘Ž(,)𝑏) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 βŠ† (𝑣 ∩ (π‘₯(ballβ€˜π·)1))) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ (π‘₯(ballβ€˜π·)𝑦) βŠ† 𝑣))
106105a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘Ž ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*) β†’ (𝑧 = (π‘Ž(,)𝑏) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 βŠ† (𝑣 ∩ (π‘₯(ballβ€˜π·)1))) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ (π‘₯(ballβ€˜π·)𝑦) βŠ† 𝑣)))
107106rexlimivv 3200 . . . . . . . . . . 11 (βˆƒπ‘Ž ∈ ℝ* βˆƒπ‘ ∈ ℝ* 𝑧 = (π‘Ž(,)𝑏) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 βŠ† (𝑣 ∩ (π‘₯(ballβ€˜π·)1))) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ (π‘₯(ballβ€˜π·)𝑦) βŠ† 𝑣))
108107imp 408 . . . . . . . . . 10 ((βˆƒπ‘Ž ∈ ℝ* βˆƒπ‘ ∈ ℝ* 𝑧 = (π‘Ž(,)𝑏) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 βŠ† (𝑣 ∩ (π‘₯(ballβ€˜π·)1)))) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ (π‘₯(ballβ€˜π·)𝑦) βŠ† 𝑣)
10937, 108sylanb 582 . . . . . . . . 9 ((𝑧 ∈ ran (,) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 βŠ† (𝑣 ∩ (π‘₯(ballβ€˜π·)1)))) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ (π‘₯(ballβ€˜π·)𝑦) βŠ† 𝑣)
110109rexlimiva 3148 . . . . . . . 8 (βˆƒπ‘§ ∈ ran (,)(π‘₯ ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 βŠ† (𝑣 ∩ (π‘₯(ballβ€˜π·)1))) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ (π‘₯(ballβ€˜π·)𝑦) βŠ† 𝑣)
11135, 110syl 17 . . . . . . 7 ((𝑣 ∈ ran (,) ∧ π‘₯ ∈ 𝑣) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ (π‘₯(ballβ€˜π·)𝑦) βŠ† 𝑣)
112111ralrimiva 3147 . . . . . 6 (𝑣 ∈ ran (,) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑣 βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ (π‘₯(ballβ€˜π·)𝑦) βŠ† 𝑣)
1133elmopn2 23951 . . . . . . 7 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜β„) β†’ (𝑣 ∈ 𝐽 ↔ (𝑣 βŠ† ℝ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑣 βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ (π‘₯(ballβ€˜π·)𝑦) βŠ† 𝑣)))
1142, 113ax-mp 5 . . . . . 6 (𝑣 ∈ 𝐽 ↔ (𝑣 βŠ† ℝ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑣 βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ (π‘₯(ballβ€˜π·)𝑦) βŠ† 𝑣))
1159, 112, 114sylanbrc 584 . . . . 5 (𝑣 ∈ ran (,) β†’ 𝑣 ∈ 𝐽)
116115ssriv 3987 . . . 4 ran (,) βŠ† 𝐽
117116, 5sseqtri 4019 . . 3 ran (,) βŠ† (topGenβ€˜ran (ballβ€˜π·))
118 2basgen 22493 . . 3 ((ran (ballβ€˜π·) βŠ† ran (,) ∧ ran (,) βŠ† (topGenβ€˜ran (ballβ€˜π·))) β†’ (topGenβ€˜ran (ballβ€˜π·)) = (topGenβ€˜ran (,)))
1196, 117, 118mp2an 691 . 2 (topGenβ€˜ran (ballβ€˜π·)) = (topGenβ€˜ran (,))
1205, 119eqtr2i 2762 1 (topGenβ€˜ran (,)) = 𝐽
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941  βˆ€wral 3062  βˆƒwrex 3071   ∩ cin 3948   βŠ† wss 3949  βˆ…c0 4323  ifcif 4529  π’« cpw 4603  βˆͺ cuni 4909   class class class wbr 5149   Γ— cxp 5675  ran crn 5678   β†Ύ cres 5679   ∘ ccom 5681   Fn wfn 6539  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  β„cr 11109  1c1 11111   + caddc 11113  -∞cmnf 11246  β„*cxr 11247   < clt 11248   ≀ cle 11249   βˆ’ cmin 11444  β„+crp 12974  (,)cioo 13324  abscabs 15181  topGenctg 17383  βˆžMetcxmet 20929  ballcbl 20931  MetOpencmopn 20934  TopBasesctb 22448
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-sup 9437  df-inf 9438  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-q 12933  df-rp 12975  df-xneg 13092  df-xadd 13093  df-xmul 13094  df-ioo 13328  df-seq 13967  df-exp 14028  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-topgen 17389  df-psmet 20936  df-xmet 20937  df-met 20938  df-bl 20939  df-mopn 20940  df-bases 22449
This theorem is referenced by:  qdensere2  24313  rehaus  24315  resubmet  24318  tgioo2  24319  xrsmopn  24328  iccntr  24337  icccmplem3  24340  reconnlem2  24343  opnreen  24347  metdscn2  24373  evthicc  24976  opnmbllem  25118  dvlip2  25512  lhop  25533  dvcnvre  25536  nmcvcn  29948  opnrebl  35205  opnrebl2  35206  ptrecube  36488  poimirlem30  36518  opnmbllem0  36524  reheibor  36707
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