MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ustuqtop5 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem ustuqtop5 23971
Description: Lemma for ustuqtop 23972. (Contributed by Thierry Arnoux, 11-Jan-2018.)
Hypothesis
Ref Expression
utopustuq.1 𝑁 = (𝑝 ∈ 𝑋 ↦ ran (𝑣 ∈ π‘ˆ ↦ (𝑣 β€œ {𝑝})))
Assertion
Ref Expression
ustuqtop5 ((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑝 ∈ 𝑋) β†’ 𝑋 ∈ (π‘β€˜π‘))
Distinct variable groups:   𝑣,𝑝,π‘ˆ   𝑋,𝑝,𝑣   𝑁,𝑝
Allowed substitution hint:   𝑁(𝑣)
Proof of Theorem ustuqtop5
Dummy variable 𝑀 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ustbasel 23932 . . 3 (π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) β†’ (𝑋 Γ— 𝑋) ∈ π‘ˆ)
2 snssi 4811 . . . . . . . . 9 (𝑝 ∈ 𝑋 β†’ {𝑝} βŠ† 𝑋)
3 dfss 3966 . . . . . . . . 9 ({𝑝} βŠ† 𝑋 ↔ {𝑝} = ({𝑝} ∩ 𝑋))
42, 3sylib 217 . . . . . . . 8 (𝑝 ∈ 𝑋 β†’ {𝑝} = ({𝑝} ∩ 𝑋))
5 incom 4201 . . . . . . . 8 ({𝑝} ∩ 𝑋) = (𝑋 ∩ {𝑝})
64, 5eqtr2di 2788 . . . . . . 7 (𝑝 ∈ 𝑋 β†’ (𝑋 ∩ {𝑝}) = {𝑝})
7 snnzg 4778 . . . . . . 7 (𝑝 ∈ 𝑋 β†’ {𝑝} β‰  βˆ…)
86, 7eqnetrd 3007 . . . . . 6 (𝑝 ∈ 𝑋 β†’ (𝑋 ∩ {𝑝}) β‰  βˆ…)
98adantl 481 . . . . 5 ((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑝 ∈ 𝑋) β†’ (𝑋 ∩ {𝑝}) β‰  βˆ…)
10 xpima2 6183 . . . . 5 ((𝑋 ∩ {𝑝}) β‰  βˆ… β†’ ((𝑋 Γ— 𝑋) β€œ {𝑝}) = 𝑋)
119, 10syl 17 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑝 ∈ 𝑋) β†’ ((𝑋 Γ— 𝑋) β€œ {𝑝}) = 𝑋)
1211eqcomd 2737 . . 3 ((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑝 ∈ 𝑋) β†’ 𝑋 = ((𝑋 Γ— 𝑋) β€œ {𝑝}))
13 imaeq1 6054 . . . 4 (𝑀 = (𝑋 Γ— 𝑋) β†’ (𝑀 β€œ {𝑝}) = ((𝑋 Γ— 𝑋) β€œ {𝑝}))
1413rspceeqv 3633 . . 3 (((𝑋 Γ— 𝑋) ∈ π‘ˆ ∧ 𝑋 = ((𝑋 Γ— 𝑋) β€œ {𝑝})) β†’ βˆƒπ‘€ ∈ π‘ˆ 𝑋 = (𝑀 β€œ {𝑝}))
151, 12, 14syl2an2r 682 . 2 ((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑝 ∈ 𝑋) β†’ βˆƒπ‘€ ∈ π‘ˆ 𝑋 = (𝑀 β€œ {𝑝}))
16 elfvex 6929 . . 3 (π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) β†’ 𝑋 ∈ V)
17 utopustuq.1 . . . 4 𝑁 = (𝑝 ∈ 𝑋 ↦ ran (𝑣 ∈ π‘ˆ ↦ (𝑣 β€œ {𝑝})))
1817ustuqtoplem 23965 . . 3 (((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑝 ∈ 𝑋) ∧ 𝑋 ∈ V) β†’ (𝑋 ∈ (π‘β€˜π‘) ↔ βˆƒπ‘€ ∈ π‘ˆ 𝑋 = (𝑀 β€œ {𝑝})))
1916, 18mpidan 686 . 2 ((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑝 ∈ 𝑋) β†’ (𝑋 ∈ (π‘β€˜π‘) ↔ βˆƒπ‘€ ∈ π‘ˆ 𝑋 = (𝑀 β€œ {𝑝})))
2015, 19mpbird 257 1 ((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑝 ∈ 𝑋) β†’ 𝑋 ∈ (π‘β€˜π‘))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   β‰  wne 2939  βˆƒwrex 3069  Vcvv 3473   ∩ cin 3947   βŠ† wss 3948  βˆ…c0 4322  {csn 4628   ↦ cmpt 5231   Γ— cxp 5674  ran crn 5677   β€œ cima 5679  β€˜cfv 6543  UnifOncust 23925
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7728
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ust 23926
This theorem is referenced by:  ustuqtop  23972  utopsnneiplem  23973
  Copyright terms: Public domain W3C validator