Theorem esumpfinvallem 34051

Description: Lemma for esumpfinval 34052. (Contributed by Thierry Arnoux, 28-Jun-2017.)

Assertion

Ref	Expression
esumpfinvallem	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) → (ℂfld Σg 𝐹) = ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg 𝐹))

Proof of Theorem esumpfinvallem

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fex 7217	. . . 4 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞) ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → 𝐹 ∈ V)
2	1	ancoms 458	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) → 𝐹 ∈ V)
3		ovexd 7438	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) → (ℂfld ↾s (0[,)+∞)) ∈ V)
4		ovexd 7438	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) → (ℝ*𝑠 ↾s (0[,)+∞)) ∈ V)
5		rge0ssre 13471	. . . . . . 7 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ ℝ
6		ax-resscn 11184	. . . . . . 7 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
7	5, 6	sstri 3968	. . . . . 6 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ ℂ
8		eqid 2735	. . . . . . 7 ⊢ (ℂfld ↾s (0[,)+∞)) = (ℂfld ↾s (0[,)+∞))
9		cnfldbas 21317	. . . . . . 7 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
10	8, 9	ressbas2 17257	. . . . . 6 ⊢ ((0[,)+∞) ⊆ ℂ → (0[,)+∞) = (Base‘(ℂfld ↾s (0[,)+∞))))
11	7, 10	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (0[,)+∞) = (Base‘(ℂfld ↾s (0[,)+∞)))
12		icossxr 13447	. . . . . 6 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ ℝ*
13		eqid 2735	. . . . . . 7 ⊢ (ℝ*𝑠 ↾s (0[,)+∞)) = (ℝ*𝑠 ↾s (0[,)+∞))
14		xrsbas 21344	. . . . . . 7 ⊢ ℝ* = (Base‘ℝ*𝑠)
15	13, 14	ressbas2 17257	. . . . . 6 ⊢ ((0[,)+∞) ⊆ ℝ* → (0[,)+∞) = (Base‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,)+∞))))
16	12, 15	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (0[,)+∞) = (Base‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,)+∞)))
17	11, 16	eqtr3i 2760	. . . 4 ⊢ (Base‘(ℂfld ↾s (0[,)+∞))) = (Base‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,)+∞)))
18	17	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) → (Base‘(ℂfld ↾s (0[,)+∞))) = (Base‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,)+∞))))
19		simprl 770	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(ℂfld ↾s (0[,)+∞))) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(ℂfld ↾s (0[,)+∞))))) → 𝑥 ∈ (Base‘(ℂfld ↾s (0[,)+∞))))
20	19, 11	eleqtrrdi 2845	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(ℂfld ↾s (0[,)+∞))) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(ℂfld ↾s (0[,)+∞))))) → 𝑥 ∈ (0[,)+∞))
21		simprr 772	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(ℂfld ↾s (0[,)+∞))) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(ℂfld ↾s (0[,)+∞))))) → 𝑦 ∈ (Base‘(ℂfld ↾s (0[,)+∞))))
22	21, 11	eleqtrrdi 2845	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(ℂfld ↾s (0[,)+∞))) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(ℂfld ↾s (0[,)+∞))))) → 𝑦 ∈ (0[,)+∞))
23		ge0addcl 13475	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ (0[,)+∞))
24		ovex 7436	. . . . . . 7 ⊢ (0[,)+∞) ∈ V
25		cnfldadd 21319	. . . . . . . 8 ⊢ + = (+g‘ℂfld)
26	8, 25	ressplusg 17303	. . . . . . 7 ⊢ ((0[,)+∞) ∈ V → + = (+g‘(ℂfld ↾s (0[,)+∞))))
27	24, 26	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ + = (+g‘(ℂfld ↾s (0[,)+∞)))
28	27	oveqi 7416	. . . . 5 ⊢ (𝑥 + 𝑦) = (𝑥(+g‘(ℂfld ↾s (0[,)+∞)))𝑦)
29	23, 28, 11	3eltr3g 2850	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) → (𝑥(+g‘(ℂfld ↾s (0[,)+∞)))𝑦) ∈ (Base‘(ℂfld ↾s (0[,)+∞))))
30	20, 22, 29	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(ℂfld ↾s (0[,)+∞))) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(ℂfld ↾s (0[,)+∞))))) → (𝑥(+g‘(ℂfld ↾s (0[,)+∞)))𝑦) ∈ (Base‘(ℂfld ↾s (0[,)+∞))))
31		simpl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) → 𝑥 ∈ (0[,)+∞))
32	5, 31	sselid 3956	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) → 𝑥 ∈ ℝ)
33		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) → 𝑦 ∈ (0[,)+∞))
34	5, 33	sselid 3956	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) → 𝑦 ∈ ℝ)
35		rexadd 13246	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 +𝑒 𝑦) = (𝑥 + 𝑦))
36	35	eqcomd 2741	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 + 𝑦) = (𝑥 +𝑒 𝑦))
37	32, 34, 36	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) → (𝑥 + 𝑦) = (𝑥 +𝑒 𝑦))
38		xrsadd 21345	. . . . . . . 8 ⊢ +𝑒 = (+g‘ℝ*𝑠)
39	13, 38	ressplusg 17303	. . . . . . 7 ⊢ ((0[,)+∞) ∈ V → +𝑒 = (+g‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,)+∞))))
40	24, 39	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ +𝑒 = (+g‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,)+∞)))
41	40	oveqi 7416	. . . . 5 ⊢ (𝑥 +𝑒 𝑦) = (𝑥(+g‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,)+∞)))𝑦)
42	37, 28, 41	3eqtr3g 2793	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) → (𝑥(+g‘(ℂfld ↾s (0[,)+∞)))𝑦) = (𝑥(+g‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,)+∞)))𝑦))
43	20, 22, 42	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(ℂfld ↾s (0[,)+∞))) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(ℂfld ↾s (0[,)+∞))))) → (𝑥(+g‘(ℂfld ↾s (0[,)+∞)))𝑦) = (𝑥(+g‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,)+∞)))𝑦))
44		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) → 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞))
45	44	ffund 6709	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) → Fun 𝐹)
46	44	frnd 6713	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) → ran 𝐹 ⊆ (0[,)+∞))
47	46, 11	sseqtrdi 3999	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) → ran 𝐹 ⊆ (Base‘(ℂfld ↾s (0[,)+∞))))
48	2, 3, 4, 18, 30, 43, 45, 47	gsumpropd2 18656	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) → ((ℂfld ↾s (0[,)+∞)) Σg 𝐹) = ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,)+∞)) Σg 𝐹))
49		cnfldex 21316	. . . 4 ⊢ ℂfld ∈ V
50	49	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) → ℂfld ∈ V)
51		simpl 482	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) → 𝐴 ∈ 𝑉)
52	7	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) → (0[,)+∞) ⊆ ℂ)
53		0e0icopnf 13473	. . . 4 ⊢ 0 ∈ (0[,)+∞)
54	53	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) → 0 ∈ (0[,)+∞))
55		simpr 484	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝑥 ∈ ℂ)
56	55	addlidd 11434	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (0 + 𝑥) = 𝑥)
57	55	addridd 11433	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑥 + 0) = 𝑥)
58	56, 57	jca 511	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((0 + 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 + 0) = 𝑥))
59	9, 25, 8, 50, 51, 52, 44, 54, 58	gsumress 18658	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) → (ℂfld Σg 𝐹) = ((ℂfld ↾s (0[,)+∞)) Σg 𝐹))
60		xrge0base 32952	. . 3 ⊢ (0[,]+∞) = (Base‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)))
61		xrge0plusg 32954	. . 3 ⊢ +𝑒 = (+g‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)))
62		ovex 7436	. . . . 5 ⊢ (0[,]+∞) ∈ V
63		ressress 17266	. . . . 5 ⊢ (((0[,]+∞) ∈ V ∧ (0[,)+∞) ∈ V) → ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ↾s (0[,)+∞)) = (ℝ*𝑠 ↾s ((0[,]+∞) ∩ (0[,)+∞))))
64	62, 24, 63	mp2an 692	. . . 4 ⊢ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ↾s (0[,)+∞)) = (ℝ*𝑠 ↾s ((0[,]+∞) ∩ (0[,)+∞)))
65		incom 4184	. . . . . 6 ⊢ ((0[,]+∞) ∩ (0[,)+∞)) = ((0[,)+∞) ∩ (0[,]+∞))
66		icossicc 13451	. . . . . . 7 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ (0[,]+∞)
67		dfss 3945	. . . . . . 7 ⊢ ((0[,)+∞) ⊆ (0[,]+∞) ↔ (0[,)+∞) = ((0[,)+∞) ∩ (0[,]+∞)))
68	66, 67	mpbi 230	. . . . . 6 ⊢ (0[,)+∞) = ((0[,)+∞) ∩ (0[,]+∞))
69	65, 68	eqtr4i 2761	. . . . 5 ⊢ ((0[,]+∞) ∩ (0[,)+∞)) = (0[,)+∞)
70	69	oveq2i 7414	. . . 4 ⊢ (ℝ*𝑠 ↾s ((0[,]+∞) ∩ (0[,)+∞))) = (ℝ*𝑠 ↾s (0[,)+∞))
71	64, 70	eqtr2i 2759	. . 3 ⊢ (ℝ*𝑠 ↾s (0[,)+∞)) = ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ↾s (0[,)+∞))
72		ovexd 7438	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) → (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ V)
73	66	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) → (0[,)+∞) ⊆ (0[,]+∞))
74		iccssxr 13445	. . . . . 6 ⊢ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
75		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (0[,]+∞)) → 𝑥 ∈ (0[,]+∞))
76	74, 75	sselid 3956	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (0[,]+∞)) → 𝑥 ∈ ℝ*)
77		xaddlid 13256	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ* → (0 +𝑒 𝑥) = 𝑥)
78	76, 77	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (0[,]+∞)) → (0 +𝑒 𝑥) = 𝑥)
79		xaddrid 13255	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ* → (𝑥 +𝑒 0) = 𝑥)
80	76, 79	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (0[,]+∞)) → (𝑥 +𝑒 0) = 𝑥)
81	78, 80	jca 511	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (0[,]+∞)) → ((0 +𝑒 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 +𝑒 0) = 𝑥))
82	60, 61, 71, 72, 51, 73, 44, 54, 81	gsumress 18658	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) → ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg 𝐹) = ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,)+∞)) Σg 𝐹))
83	48, 59, 82	3eqtr4d 2780	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) → (ℂfld Σg 𝐹) = ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg 𝐹))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  Vcvv 3459   ∩ cin 3925   ⊆ wss 3926  ran crn 5655  ⟶wf 6526  ‘cfv 6530  (class class class)co 7403  ℂcc 11125  ℝcr 11126  0cc0 11127   + caddc 11130  +∞cpnf 11264  ℝ^*cxr 11266   +_𝑒 cxad 13124  [,)cico 13362  [,]cicc 13363  Basecbs 17226   ↾_s cress 17249  +_gcplusg 17269   Σ_g cgsu 17452  ℝ^*_𝑠cxrs 17512  ℂ_fldccnfld 21313

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7727  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204  ax-addf 11206

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-tp 4606  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6483  df-fun 6532  df-fn 6533  df-f 6534  df-f1 6535  df-fo 6536  df-f1o 6537  df-fv 6538  df-riota 7360  df-ov 7406  df-oprab 7407  df-mpo 7408  df-om 7860  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8478  df-er 8717  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11466  df-neg 11467  df-nn 12239  df-2 12301  df-3 12302  df-4 12303  df-5 12304  df-6 12305  df-7 12306  df-8 12307  df-9 12308  df-n0 12500  df-z 12587  df-dec 12707  df-uz 12851  df-xadd 13127  df-ico 13366  df-icc 13367  df-fz 13523  df-seq 14018  df-struct 17164  df-sets 17181  df-slot 17199  df-ndx 17211  df-base 17227  df-ress 17250  df-plusg 17282  df-mulr 17283  df-starv 17284  df-tset 17288  df-ple 17289  df-ds 17291  df-unif 17292  df-0g 17453  df-gsum 17454  df-xrs 17514  df-cnfld 21314

This theorem is referenced by:  esumpfinval  34052  esumpfinvalf  34053  esumpcvgval  34055  esumcvg  34063