Theorem esumpfinvallem 31615

Description: Lemma for esumpfinval 31616. (Contributed by Thierry Arnoux, 28-Jun-2017.)

Assertion

Ref	Expression
esumpfinvallem	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) → (ℂfld Σg 𝐹) = ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg 𝐹))

Proof of Theorem esumpfinvallem

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fex 7002	. . . 4 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞) ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → 𝐹 ∈ V)
2	1	ancoms 462	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) → 𝐹 ∈ V)
3		ovexd 7208	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) → (ℂfld ↾s (0[,)+∞)) ∈ V)
4		ovexd 7208	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) → (ℝ*𝑠 ↾s (0[,)+∞)) ∈ V)
5		rge0ssre 12933	. . . . . . 7 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ ℝ
6		ax-resscn 10675	. . . . . . 7 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
7	5, 6	sstri 3887	. . . . . 6 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ ℂ
8		eqid 2739	. . . . . . 7 ⊢ (ℂfld ↾s (0[,)+∞)) = (ℂfld ↾s (0[,)+∞))
9		cnfldbas 20224	. . . . . . 7 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
10	8, 9	ressbas2 16661	. . . . . 6 ⊢ ((0[,)+∞) ⊆ ℂ → (0[,)+∞) = (Base‘(ℂfld ↾s (0[,)+∞))))
11	7, 10	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (0[,)+∞) = (Base‘(ℂfld ↾s (0[,)+∞)))
12		icossxr 12909	. . . . . 6 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ ℝ*
13		eqid 2739	. . . . . . 7 ⊢ (ℝ*𝑠 ↾s (0[,)+∞)) = (ℝ*𝑠 ↾s (0[,)+∞))
14		xrsbas 20236	. . . . . . 7 ⊢ ℝ* = (Base‘ℝ*𝑠)
15	13, 14	ressbas2 16661	. . . . . 6 ⊢ ((0[,)+∞) ⊆ ℝ* → (0[,)+∞) = (Base‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,)+∞))))
16	12, 15	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (0[,)+∞) = (Base‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,)+∞)))
17	11, 16	eqtr3i 2764	. . . 4 ⊢ (Base‘(ℂfld ↾s (0[,)+∞))) = (Base‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,)+∞)))
18	17	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) → (Base‘(ℂfld ↾s (0[,)+∞))) = (Base‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,)+∞))))
19		simprl 771	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(ℂfld ↾s (0[,)+∞))) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(ℂfld ↾s (0[,)+∞))))) → 𝑥 ∈ (Base‘(ℂfld ↾s (0[,)+∞))))
20	19, 11	eleqtrrdi 2845	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(ℂfld ↾s (0[,)+∞))) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(ℂfld ↾s (0[,)+∞))))) → 𝑥 ∈ (0[,)+∞))
21		simprr 773	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(ℂfld ↾s (0[,)+∞))) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(ℂfld ↾s (0[,)+∞))))) → 𝑦 ∈ (Base‘(ℂfld ↾s (0[,)+∞))))
22	21, 11	eleqtrrdi 2845	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(ℂfld ↾s (0[,)+∞))) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(ℂfld ↾s (0[,)+∞))))) → 𝑦 ∈ (0[,)+∞))
23		ge0addcl 12937	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ (0[,)+∞))
24		ovex 7206	. . . . . . 7 ⊢ (0[,)+∞) ∈ V
25		cnfldadd 20225	. . . . . . . 8 ⊢ + = (+g‘ℂfld)
26	8, 25	ressplusg 16718	. . . . . . 7 ⊢ ((0[,)+∞) ∈ V → + = (+g‘(ℂfld ↾s (0[,)+∞))))
27	24, 26	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ + = (+g‘(ℂfld ↾s (0[,)+∞)))
28	27	oveqi 7186	. . . . 5 ⊢ (𝑥 + 𝑦) = (𝑥(+g‘(ℂfld ↾s (0[,)+∞)))𝑦)
29	23, 28, 11	3eltr3g 2850	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) → (𝑥(+g‘(ℂfld ↾s (0[,)+∞)))𝑦) ∈ (Base‘(ℂfld ↾s (0[,)+∞))))
30	20, 22, 29	syl2anc 587	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(ℂfld ↾s (0[,)+∞))) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(ℂfld ↾s (0[,)+∞))))) → (𝑥(+g‘(ℂfld ↾s (0[,)+∞)))𝑦) ∈ (Base‘(ℂfld ↾s (0[,)+∞))))
31		simpl 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) → 𝑥 ∈ (0[,)+∞))
32	5, 31	sseldi 3876	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) → 𝑥 ∈ ℝ)
33		simpr 488	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) → 𝑦 ∈ (0[,)+∞))
34	5, 33	sseldi 3876	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) → 𝑦 ∈ ℝ)
35		rexadd 12711	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 +𝑒 𝑦) = (𝑥 + 𝑦))
36	35	eqcomd 2745	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 + 𝑦) = (𝑥 +𝑒 𝑦))
37	32, 34, 36	syl2anc 587	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) → (𝑥 + 𝑦) = (𝑥 +𝑒 𝑦))
38		xrsadd 20237	. . . . . . . 8 ⊢ +𝑒 = (+g‘ℝ*𝑠)
39	13, 38	ressplusg 16718	. . . . . . 7 ⊢ ((0[,)+∞) ∈ V → +𝑒 = (+g‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,)+∞))))
40	24, 39	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ +𝑒 = (+g‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,)+∞)))
41	40	oveqi 7186	. . . . 5 ⊢ (𝑥 +𝑒 𝑦) = (𝑥(+g‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,)+∞)))𝑦)
42	37, 28, 41	3eqtr3g 2797	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) → (𝑥(+g‘(ℂfld ↾s (0[,)+∞)))𝑦) = (𝑥(+g‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,)+∞)))𝑦))
43	20, 22, 42	syl2anc 587	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(ℂfld ↾s (0[,)+∞))) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(ℂfld ↾s (0[,)+∞))))) → (𝑥(+g‘(ℂfld ↾s (0[,)+∞)))𝑦) = (𝑥(+g‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,)+∞)))𝑦))
44		simpr 488	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) → 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞))
45	44	ffund 6509	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) → Fun 𝐹)
46	44	frnd 6513	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) → ran 𝐹 ⊆ (0[,)+∞))
47	46, 11	sseqtrdi 3928	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) → ran 𝐹 ⊆ (Base‘(ℂfld ↾s (0[,)+∞))))
48	2, 3, 4, 18, 30, 43, 45, 47	gsumpropd2 18009	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) → ((ℂfld ↾s (0[,)+∞)) Σg 𝐹) = ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,)+∞)) Σg 𝐹))
49		cnfldex 20223	. . . 4 ⊢ ℂfld ∈ V
50	49	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) → ℂfld ∈ V)
51		simpl 486	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) → 𝐴 ∈ 𝑉)
52	7	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) → (0[,)+∞) ⊆ ℂ)
53		0e0icopnf 12935	. . . 4 ⊢ 0 ∈ (0[,)+∞)
54	53	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) → 0 ∈ (0[,)+∞))
55		simpr 488	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝑥 ∈ ℂ)
56	55	addid2d 10922	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (0 + 𝑥) = 𝑥)
57	55	addid1d 10921	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑥 + 0) = 𝑥)
58	56, 57	jca 515	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((0 + 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 + 0) = 𝑥))
59	9, 25, 8, 50, 51, 52, 44, 54, 58	gsumress 18011	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) → (ℂfld Σg 𝐹) = ((ℂfld ↾s (0[,)+∞)) Σg 𝐹))
60		xrge0base 30874	. . 3 ⊢ (0[,]+∞) = (Base‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)))
61		xrge0plusg 30876	. . 3 ⊢ +𝑒 = (+g‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)))
62		ovex 7206	. . . . 5 ⊢ (0[,]+∞) ∈ V
63		ressress 16668	. . . . 5 ⊢ (((0[,]+∞) ∈ V ∧ (0[,)+∞) ∈ V) → ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ↾s (0[,)+∞)) = (ℝ*𝑠 ↾s ((0[,]+∞) ∩ (0[,)+∞))))
64	62, 24, 63	mp2an 692	. . . 4 ⊢ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ↾s (0[,)+∞)) = (ℝ*𝑠 ↾s ((0[,]+∞) ∩ (0[,)+∞)))
65		incom 4092	. . . . . 6 ⊢ ((0[,]+∞) ∩ (0[,)+∞)) = ((0[,)+∞) ∩ (0[,]+∞))
66		icossicc 12913	. . . . . . 7 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ (0[,]+∞)
67		dfss 3862	. . . . . . 7 ⊢ ((0[,)+∞) ⊆ (0[,]+∞) ↔ (0[,)+∞) = ((0[,)+∞) ∩ (0[,]+∞)))
68	66, 67	mpbi 233	. . . . . 6 ⊢ (0[,)+∞) = ((0[,)+∞) ∩ (0[,]+∞))
69	65, 68	eqtr4i 2765	. . . . 5 ⊢ ((0[,]+∞) ∩ (0[,)+∞)) = (0[,)+∞)
70	69	oveq2i 7184	. . . 4 ⊢ (ℝ*𝑠 ↾s ((0[,]+∞) ∩ (0[,)+∞))) = (ℝ*𝑠 ↾s (0[,)+∞))
71	64, 70	eqtr2i 2763	. . 3 ⊢ (ℝ*𝑠 ↾s (0[,)+∞)) = ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ↾s (0[,)+∞))
72		ovexd 7208	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) → (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ V)
73	66	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) → (0[,)+∞) ⊆ (0[,]+∞))
74		iccssxr 12907	. . . . . 6 ⊢ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
75		simpr 488	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (0[,]+∞)) → 𝑥 ∈ (0[,]+∞))
76	74, 75	sseldi 3876	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (0[,]+∞)) → 𝑥 ∈ ℝ*)
77		xaddid2 12721	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ* → (0 +𝑒 𝑥) = 𝑥)
78	76, 77	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (0[,]+∞)) → (0 +𝑒 𝑥) = 𝑥)
79		xaddid1 12720	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ* → (𝑥 +𝑒 0) = 𝑥)
80	76, 79	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (0[,]+∞)) → (𝑥 +𝑒 0) = 𝑥)
81	78, 80	jca 515	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (0[,]+∞)) → ((0 +𝑒 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 +𝑒 0) = 𝑥))
82	60, 61, 71, 72, 51, 73, 44, 54, 81	gsumress 18011	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) → ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg 𝐹) = ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,)+∞)) Σg 𝐹))
83	48, 59, 82	3eqtr4d 2784	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) → (ℂfld Σg 𝐹) = ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg 𝐹))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3399   ∩ cin 3843   ⊆ wss 3844  ran crn 5527  ⟶wf 6336  ‘cfv 6340  (class class class)co 7173  ℂcc 10616  ℝcr 10617  0cc0 10618   + caddc 10621  +∞cpnf 10753  ℝ^*cxr 10755   +_𝑒 cxad 12591  [,)cico 12826  [,]cicc 12827  Basecbs 16589   ↾_s cress 16590  +_gcplusg 16671   Σ_g cgsu 16820  ℝ^*_𝑠cxrs 16879  ℂ_fldccnfld 20220

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2711  ax-rep 5155  ax-sep 5168  ax-nul 5175  ax-pow 5233  ax-pr 5297  ax-un 7482  ax-cnex 10674  ax-resscn 10675  ax-1cn 10676  ax-icn 10677  ax-addcl 10678  ax-addrcl 10679  ax-mulcl 10680  ax-mulrcl 10681  ax-mulcom 10682  ax-addass 10683  ax-mulass 10684  ax-distr 10685  ax-i2m1 10686  ax-1ne0 10687  ax-1rid 10688  ax-rnegex 10689  ax-rrecex 10690  ax-cnre 10691  ax-pre-lttri 10692  ax-pre-lttrn 10693  ax-pre-ltadd 10694  ax-pre-mulgt0 10695  ax-addf 10697

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2541  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2812  df-nfc 2882  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3059  df-rex 3060  df-reu 3061  df-rmo 3062  df-rab 3063  df-v 3401  df-sbc 3682  df-csb 3792  df-dif 3847  df-un 3849  df-in 3851  df-ss 3861  df-pss 3863  df-nul 4213  df-if 4416  df-pw 4491  df-sn 4518  df-pr 4520  df-tp 4522  df-op 4524  df-uni 4798  df-iun 4884  df-br 5032  df-opab 5094  df-mpt 5112  df-tr 5138  df-id 5430  df-eprel 5435  df-po 5443  df-so 5444  df-fr 5484  df-we 5486  df-xp 5532  df-rel 5533  df-cnv 5534  df-co 5535  df-dm 5536  df-rn 5537  df-res 5538  df-ima 5539  df-pred 6130  df-ord 6176  df-on 6177  df-lim 6178  df-suc 6179  df-iota 6298  df-fun 6342  df-fn 6343  df-f 6344  df-f1 6345  df-fo 6346  df-f1o 6347  df-fv 6348  df-riota 7130  df-ov 7176  df-oprab 7177  df-mpo 7178  df-om 7603  df-1st 7717  df-2nd 7718  df-wrecs 7979  df-recs 8040  df-rdg 8078  df-1o 8134  df-er 8323  df-en 8559  df-dom 8560  df-sdom 8561  df-fin 8562  df-pnf 10758  df-mnf 10759  df-xr 10760  df-ltxr 10761  df-le 10762  df-sub 10953  df-neg 10954  df-nn 11720  df-2 11782  df-3 11783  df-4 11784  df-5 11785  df-6 11786  df-7 11787  df-8 11788  df-9 11789  df-n0 11980  df-z 12066  df-dec 12183  df-uz 12328  df-xadd 12594  df-ico 12830  df-icc 12831  df-fz 12985  df-seq 13464  df-struct 16591  df-ndx 16592  df-slot 16593  df-base 16595  df-sets 16596  df-ress 16597  df-plusg 16684  df-mulr 16685  df-starv 16686  df-tset 16690  df-ple 16691  df-ds 16693  df-unif 16694  df-0g 16821  df-gsum 16822  df-xrs 16881  df-cnfld 20221

This theorem is referenced by:  esumpfinval  31616  esumpfinvalf  31617  esumpcvgval  31619  esumcvg  31627