Theorem esumpfinvallem 34373

Description: Lemma for esumpfinval 34374. (Contributed by Thierry Arnoux, 28-Jun-2017.)

Assertion

Ref	Expression
esumpfinvallem	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) → (ℂfld Σg 𝐹) = ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg 𝐹))

Proof of Theorem esumpfinvallem

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fex 7212	. . . 4 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞) ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → 𝐹 ∈ V)
2	1	ancoms 462	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) → 𝐹 ∈ V)
3		ovexd 7433	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) → (ℂfld ↾s (0[,)+∞)) ∈ V)
4		ovexd 7433	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) → (ℝ*𝑠 ↾s (0[,)+∞)) ∈ V)
5		rge0ssre 13462	. . . . . . 7 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ ℝ
6		ax-resscn 11132	. . . . . . 7 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
7	5, 6	sstri 3947	. . . . . 6 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ ℂ
8		eqid 2764	. . . . . . 7 ⊢ (ℂfld ↾s (0[,)+∞)) = (ℂfld ↾s (0[,)+∞))
9		cnfldbas 21430	. . . . . . 7 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
10	8, 9	ressbas2 17276	. . . . . 6 ⊢ ((0[,)+∞) ⊆ ℂ → (0[,)+∞) = (Base‘(ℂfld ↾s (0[,)+∞))))
11	7, 10	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (0[,)+∞) = (Base‘(ℂfld ↾s (0[,)+∞)))
12		icossxr 13438	. . . . . 6 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ ℝ*
13		eqid 2764	. . . . . . 7 ⊢ (ℝ*𝑠 ↾s (0[,)+∞)) = (ℝ*𝑠 ↾s (0[,)+∞))
14		xrsbas 17638	. . . . . . 7 ⊢ ℝ* = (Base‘ℝ*𝑠)
15	13, 14	ressbas2 17276	. . . . . 6 ⊢ ((0[,)+∞) ⊆ ℝ* → (0[,)+∞) = (Base‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,)+∞))))
16	12, 15	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (0[,)+∞) = (Base‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,)+∞)))
17	11, 16	eqtr3i 2789	. . . 4 ⊢ (Base‘(ℂfld ↾s (0[,)+∞))) = (Base‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,)+∞)))
18	17	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) → (Base‘(ℂfld ↾s (0[,)+∞))) = (Base‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,)+∞))))
19		simprl 780	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(ℂfld ↾s (0[,)+∞))) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(ℂfld ↾s (0[,)+∞))))) → 𝑥 ∈ (Base‘(ℂfld ↾s (0[,)+∞))))
20	19, 11	eleqtrrdi 2875	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(ℂfld ↾s (0[,)+∞))) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(ℂfld ↾s (0[,)+∞))))) → 𝑥 ∈ (0[,)+∞))
21		simprr 782	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(ℂfld ↾s (0[,)+∞))) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(ℂfld ↾s (0[,)+∞))))) → 𝑦 ∈ (Base‘(ℂfld ↾s (0[,)+∞))))
22	21, 11	eleqtrrdi 2875	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(ℂfld ↾s (0[,)+∞))) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(ℂfld ↾s (0[,)+∞))))) → 𝑦 ∈ (0[,)+∞))
23		ge0addcl 13466	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ (0[,)+∞))
24		ovex 7431	. . . . . . 7 ⊢ (0[,)+∞) ∈ V
25		cnfldadd 21432	. . . . . . . 8 ⊢ + = (+g‘ℂfld)
26	8, 25	ressplusg 17322	. . . . . . 7 ⊢ ((0[,)+∞) ∈ V → + = (+g‘(ℂfld ↾s (0[,)+∞))))
27	24, 26	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ + = (+g‘(ℂfld ↾s (0[,)+∞)))
28	27	oveqi 7411	. . . . 5 ⊢ (𝑥 + 𝑦) = (𝑥(+g‘(ℂfld ↾s (0[,)+∞)))𝑦)
29	23, 28, 11	3eltr3g 2880	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) → (𝑥(+g‘(ℂfld ↾s (0[,)+∞)))𝑦) ∈ (Base‘(ℂfld ↾s (0[,)+∞))))
30	20, 22, 29	syl2anc 593	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(ℂfld ↾s (0[,)+∞))) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(ℂfld ↾s (0[,)+∞))))) → (𝑥(+g‘(ℂfld ↾s (0[,)+∞)))𝑦) ∈ (Base‘(ℂfld ↾s (0[,)+∞))))
31		simpl 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) → 𝑥 ∈ (0[,)+∞))
32	5, 31	sselid 3936	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) → 𝑥 ∈ ℝ)
33		simpr 488	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) → 𝑦 ∈ (0[,)+∞))
34	5, 33	sselid 3936	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) → 𝑦 ∈ ℝ)
35		rexadd 13237	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 +𝑒 𝑦) = (𝑥 + 𝑦))
36	35	eqcomd 2770	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 + 𝑦) = (𝑥 +𝑒 𝑦))
37	32, 34, 36	syl2anc 593	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) → (𝑥 + 𝑦) = (𝑥 +𝑒 𝑦))
38		xrsadd 21444	. . . . . . . 8 ⊢ +𝑒 = (+g‘ℝ*𝑠)
39	13, 38	ressplusg 17322	. . . . . . 7 ⊢ ((0[,)+∞) ∈ V → +𝑒 = (+g‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,)+∞))))
40	24, 39	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ +𝑒 = (+g‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,)+∞)))
41	40	oveqi 7411	. . . . 5 ⊢ (𝑥 +𝑒 𝑦) = (𝑥(+g‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,)+∞)))𝑦)
42	37, 28, 41	3eqtr3g 2822	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) → (𝑥(+g‘(ℂfld ↾s (0[,)+∞)))𝑦) = (𝑥(+g‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,)+∞)))𝑦))
43	20, 22, 42	syl2anc 593	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(ℂfld ↾s (0[,)+∞))) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(ℂfld ↾s (0[,)+∞))))) → (𝑥(+g‘(ℂfld ↾s (0[,)+∞)))𝑦) = (𝑥(+g‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,)+∞)))𝑦))
44		simpr 488	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) → 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞))
45	44	ffund 6698	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) → Fun 𝐹)
46	44	frnd 6702	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) → ran 𝐹 ⊆ (0[,)+∞))
47	46, 11	sseqtrdi 3978	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) → ran 𝐹 ⊆ (Base‘(ℂfld ↾s (0[,)+∞))))
48	2, 3, 4, 18, 30, 43, 45, 47	gsumpropd2 18716	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) → ((ℂfld ↾s (0[,)+∞)) Σg 𝐹) = ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,)+∞)) Σg 𝐹))
49		cnfldex 21429	. . . 4 ⊢ ℂfld ∈ V
50	49	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) → ℂfld ∈ V)
51		simpl 486	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) → 𝐴 ∈ 𝑉)
52	7	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) → (0[,)+∞) ⊆ ℂ)
53		0e0icopnf 13464	. . . 4 ⊢ 0 ∈ (0[,)+∞)
54	53	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) → 0 ∈ (0[,)+∞))
55		simpr 488	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝑥 ∈ ℂ)
56	55	addlidd 11386	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (0 + 𝑥) = 𝑥)
57	55	addridd 11385	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑥 + 0) = 𝑥)
58	56, 57	jca 519	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((0 + 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 + 0) = 𝑥))
59	9, 25, 8, 50, 51, 52, 44, 54, 58	gsumress 18718	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) → (ℂfld Σg 𝐹) = ((ℂfld ↾s (0[,)+∞)) Σg 𝐹))
60		xrge0base 17639	. . 3 ⊢ (0[,]+∞) = (Base‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)))
61		xrge0plusg 21493	. . 3 ⊢ +𝑒 = (+g‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)))
62		ovex 7431	. . . . 5 ⊢ (0[,]+∞) ∈ V
63		ressress 17285	. . . . 5 ⊢ (((0[,]+∞) ∈ V ∧ (0[,)+∞) ∈ V) → ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ↾s (0[,)+∞)) = (ℝ*𝑠 ↾s ((0[,]+∞) ∩ (0[,)+∞))))
64	62, 24, 63	mp2an 702	. . . 4 ⊢ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ↾s (0[,)+∞)) = (ℝ*𝑠 ↾s ((0[,]+∞) ∩ (0[,)+∞)))
65		incom 4163	. . . . . 6 ⊢ ((0[,]+∞) ∩ (0[,)+∞)) = ((0[,)+∞) ∩ (0[,]+∞))
66		icossicc 13442	. . . . . . 7 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ (0[,]+∞)
67		dfss 3925	. . . . . . 7 ⊢ ((0[,)+∞) ⊆ (0[,]+∞) ↔ (0[,)+∞) = ((0[,)+∞) ∩ (0[,]+∞)))
68	66, 67	mpbi 232	. . . . . 6 ⊢ (0[,)+∞) = ((0[,)+∞) ∩ (0[,]+∞))
69	65, 68	eqtr4i 2790	. . . . 5 ⊢ ((0[,]+∞) ∩ (0[,)+∞)) = (0[,)+∞)
70	69	oveq2i 7409	. . . 4 ⊢ (ℝ*𝑠 ↾s ((0[,]+∞) ∩ (0[,)+∞))) = (ℝ*𝑠 ↾s (0[,)+∞))
71	64, 70	eqtr2i 2788	. . 3 ⊢ (ℝ*𝑠 ↾s (0[,)+∞)) = ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ↾s (0[,)+∞))
72		ovexd 7433	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) → (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ V)
73	66	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) → (0[,)+∞) ⊆ (0[,]+∞))
74		iccssxr 13436	. . . . . 6 ⊢ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
75		simpr 488	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (0[,]+∞)) → 𝑥 ∈ (0[,]+∞))
76	74, 75	sselid 3936	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (0[,]+∞)) → 𝑥 ∈ ℝ*)
77		xaddlid 13247	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ* → (0 +𝑒 𝑥) = 𝑥)
78	76, 77	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (0[,]+∞)) → (0 +𝑒 𝑥) = 𝑥)
79		xaddrid 13246	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ* → (𝑥 +𝑒 0) = 𝑥)
80	76, 79	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (0[,]+∞)) → (𝑥 +𝑒 0) = 𝑥)
81	78, 80	jca 519	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (0[,]+∞)) → ((0 +𝑒 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 +𝑒 0) = 𝑥))
82	60, 61, 71, 72, 51, 73, 44, 54, 81	gsumress 18718	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) → ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg 𝐹) = ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,)+∞)) Σg 𝐹))
83	48, 59, 82	3eqtr4d 2809	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) → (ℂfld Σg 𝐹) = ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg 𝐹))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1562   ∈ wcel 2144  Vcvv 3456   ∩ cin 3905   ⊆ wss 3906  ran crn 5650  ⟶wf 6519  ‘cfv 6523  (class class class)co 7398  ℂcc 11073  ℝcr 11074  0cc0 11075   + caddc 11078  +∞cpnf 11215  ℝ^*cxr 11217   +_𝑒 cxad 13114  [,)cico 13353  [,]cicc 13354  Basecbs 17247   ↾_s cress 17268  +_gcplusg 17288   Σ_g cgsu 17471  ℝ^*_𝑠cxrs 17532  ℂ_fldccnfld 21426

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1817  ax-4 1831  ax-5 1932  ax-6 1989  ax-7 2030  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2214  ax-ext 2736  ax-rep 5229  ax-sep 5248  ax-nul 5258  ax-pow 5324  ax-pr 5392  ax-un 7720  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-addf 11154

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1565  df-fal 1575  df-ex 1802  df-nf 1806  df-sb 2093  df-mo 2568  df-eu 2598  df-clab 2743  df-cleq 2756  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3458  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5544  df-eprel 5549  df-po 5557  df-so 5558  df-fr 5602  df-we 5604  df-xp 5655  df-rel 5656  df-cnv 5657  df-co 5658  df-dm 5659  df-rn 5660  df-res 5661  df-ima 5662  df-pred 6290  df-ord 6351  df-on 6352  df-lim 6353  df-suc 6354  df-iota 6479  df-fun 6525  df-fn 6526  df-f 6527  df-f1 6528  df-fo 6529  df-f1o 6530  df-fv 6531  df-riota 7355  df-ov 7401  df-oprab 7402  df-mpo 7403  df-om 7849  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8344  df-rdg 8383  df-1o 8439  df-er 8680  df-en 8930  df-dom 8931  df-sdom 8932  df-fin 8933  df-pnf 11220  df-mnf 11221  df-xr 11222  df-ltxr 11223  df-le 11224  df-sub 11418  df-neg 11419  df-nn 12213  df-2 12282  df-3 12283  df-4 12284  df-5 12285  df-6 12286  df-7 12287  df-8 12288  df-9 12289  df-n0 12484  df-z 12571  df-dec 12691  df-uz 12842  df-xadd 13117  df-ico 13357  df-icc 13358  df-fz 13515  df-seq 14017  df-struct 17185  df-sets 17202  df-slot 17220  df-ndx 17232  df-base 17248  df-ress 17269  df-plusg 17301  df-mulr 17302  df-starv 17303  df-tset 17307  df-ple 17308  df-ds 17310  df-unif 17311  df-0g 17472  df-gsum 17473  df-xrs 17534  df-cnfld 21427

This theorem is referenced by:  esumpfinval  34374  esumpfinvalf  34375  esumpcvgval  34377  esumcvg  34385