Theorem esumpfinvallem 31328

Description: Lemma for esumpfinval 31329. (Contributed by Thierry Arnoux, 28-Jun-2017.)

Assertion

Ref	Expression
esumpfinvallem	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) → (ℂfld Σg 𝐹) = ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg 𝐹))

Proof of Theorem esumpfinvallem

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fex 6983	. . . 4 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞) ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → 𝐹 ∈ V)
2	1	ancoms 461	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) → 𝐹 ∈ V)
3		ovexd 7185	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) → (ℂfld ↾s (0[,)+∞)) ∈ V)
4		ovexd 7185	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) → (ℝ*𝑠 ↾s (0[,)+∞)) ∈ V)
5		rge0ssre 12838	. . . . . . 7 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ ℝ
6		ax-resscn 10588	. . . . . . 7 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
7	5, 6	sstri 3976	. . . . . 6 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ ℂ
8		eqid 2821	. . . . . . 7 ⊢ (ℂfld ↾s (0[,)+∞)) = (ℂfld ↾s (0[,)+∞))
9		cnfldbas 20543	. . . . . . 7 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
10	8, 9	ressbas2 16549	. . . . . 6 ⊢ ((0[,)+∞) ⊆ ℂ → (0[,)+∞) = (Base‘(ℂfld ↾s (0[,)+∞))))
11	7, 10	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (0[,)+∞) = (Base‘(ℂfld ↾s (0[,)+∞)))
12		icossxr 12815	. . . . . 6 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ ℝ*
13		eqid 2821	. . . . . . 7 ⊢ (ℝ*𝑠 ↾s (0[,)+∞)) = (ℝ*𝑠 ↾s (0[,)+∞))
14		xrsbas 20555	. . . . . . 7 ⊢ ℝ* = (Base‘ℝ*𝑠)
15	13, 14	ressbas2 16549	. . . . . 6 ⊢ ((0[,)+∞) ⊆ ℝ* → (0[,)+∞) = (Base‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,)+∞))))
16	12, 15	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (0[,)+∞) = (Base‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,)+∞)))
17	11, 16	eqtr3i 2846	. . . 4 ⊢ (Base‘(ℂfld ↾s (0[,)+∞))) = (Base‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,)+∞)))
18	17	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) → (Base‘(ℂfld ↾s (0[,)+∞))) = (Base‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,)+∞))))
19		simprl 769	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(ℂfld ↾s (0[,)+∞))) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(ℂfld ↾s (0[,)+∞))))) → 𝑥 ∈ (Base‘(ℂfld ↾s (0[,)+∞))))
20	19, 11	eleqtrrdi 2924	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(ℂfld ↾s (0[,)+∞))) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(ℂfld ↾s (0[,)+∞))))) → 𝑥 ∈ (0[,)+∞))
21		simprr 771	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(ℂfld ↾s (0[,)+∞))) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(ℂfld ↾s (0[,)+∞))))) → 𝑦 ∈ (Base‘(ℂfld ↾s (0[,)+∞))))
22	21, 11	eleqtrrdi 2924	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(ℂfld ↾s (0[,)+∞))) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(ℂfld ↾s (0[,)+∞))))) → 𝑦 ∈ (0[,)+∞))
23		ge0addcl 12842	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ (0[,)+∞))
24		ovex 7183	. . . . . . 7 ⊢ (0[,)+∞) ∈ V
25		cnfldadd 20544	. . . . . . . 8 ⊢ + = (+g‘ℂfld)
26	8, 25	ressplusg 16606	. . . . . . 7 ⊢ ((0[,)+∞) ∈ V → + = (+g‘(ℂfld ↾s (0[,)+∞))))
27	24, 26	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ + = (+g‘(ℂfld ↾s (0[,)+∞)))
28	27	oveqi 7163	. . . . 5 ⊢ (𝑥 + 𝑦) = (𝑥(+g‘(ℂfld ↾s (0[,)+∞)))𝑦)
29	23, 28, 11	3eltr3g 2929	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) → (𝑥(+g‘(ℂfld ↾s (0[,)+∞)))𝑦) ∈ (Base‘(ℂfld ↾s (0[,)+∞))))
30	20, 22, 29	syl2anc 586	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(ℂfld ↾s (0[,)+∞))) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(ℂfld ↾s (0[,)+∞))))) → (𝑥(+g‘(ℂfld ↾s (0[,)+∞)))𝑦) ∈ (Base‘(ℂfld ↾s (0[,)+∞))))
31		simpl 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) → 𝑥 ∈ (0[,)+∞))
32	5, 31	sseldi 3965	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) → 𝑥 ∈ ℝ)
33		simpr 487	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) → 𝑦 ∈ (0[,)+∞))
34	5, 33	sseldi 3965	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) → 𝑦 ∈ ℝ)
35		rexadd 12619	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 +𝑒 𝑦) = (𝑥 + 𝑦))
36	35	eqcomd 2827	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 + 𝑦) = (𝑥 +𝑒 𝑦))
37	32, 34, 36	syl2anc 586	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) → (𝑥 + 𝑦) = (𝑥 +𝑒 𝑦))
38		xrsadd 20556	. . . . . . . 8 ⊢ +𝑒 = (+g‘ℝ*𝑠)
39	13, 38	ressplusg 16606	. . . . . . 7 ⊢ ((0[,)+∞) ∈ V → +𝑒 = (+g‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,)+∞))))
40	24, 39	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ +𝑒 = (+g‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,)+∞)))
41	40	oveqi 7163	. . . . 5 ⊢ (𝑥 +𝑒 𝑦) = (𝑥(+g‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,)+∞)))𝑦)
42	37, 28, 41	3eqtr3g 2879	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) → (𝑥(+g‘(ℂfld ↾s (0[,)+∞)))𝑦) = (𝑥(+g‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,)+∞)))𝑦))
43	20, 22, 42	syl2anc 586	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(ℂfld ↾s (0[,)+∞))) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(ℂfld ↾s (0[,)+∞))))) → (𝑥(+g‘(ℂfld ↾s (0[,)+∞)))𝑦) = (𝑥(+g‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,)+∞)))𝑦))
44		simpr 487	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) → 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞))
45	44	ffund 6513	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) → Fun 𝐹)
46	44	frnd 6516	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) → ran 𝐹 ⊆ (0[,)+∞))
47	46, 11	sseqtrdi 4017	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) → ran 𝐹 ⊆ (Base‘(ℂfld ↾s (0[,)+∞))))
48	2, 3, 4, 18, 30, 43, 45, 47	gsumpropd2 17884	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) → ((ℂfld ↾s (0[,)+∞)) Σg 𝐹) = ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,)+∞)) Σg 𝐹))
49		cnfldex 20542	. . . 4 ⊢ ℂfld ∈ V
50	49	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) → ℂfld ∈ V)
51		simpl 485	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) → 𝐴 ∈ 𝑉)
52	7	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) → (0[,)+∞) ⊆ ℂ)
53		0e0icopnf 12840	. . . 4 ⊢ 0 ∈ (0[,)+∞)
54	53	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) → 0 ∈ (0[,)+∞))
55		simpr 487	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝑥 ∈ ℂ)
56	55	addid2d 10835	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (0 + 𝑥) = 𝑥)
57	55	addid1d 10834	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑥 + 0) = 𝑥)
58	56, 57	jca 514	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((0 + 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 + 0) = 𝑥))
59	9, 25, 8, 50, 51, 52, 44, 54, 58	gsumress 17886	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) → (ℂfld Σg 𝐹) = ((ℂfld ↾s (0[,)+∞)) Σg 𝐹))
60		xrge0base 30667	. . 3 ⊢ (0[,]+∞) = (Base‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)))
61		xrge0plusg 30669	. . 3 ⊢ +𝑒 = (+g‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)))
62		ovex 7183	. . . . 5 ⊢ (0[,]+∞) ∈ V
63		ressress 16556	. . . . 5 ⊢ (((0[,]+∞) ∈ V ∧ (0[,)+∞) ∈ V) → ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ↾s (0[,)+∞)) = (ℝ*𝑠 ↾s ((0[,]+∞) ∩ (0[,)+∞))))
64	62, 24, 63	mp2an 690	. . . 4 ⊢ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ↾s (0[,)+∞)) = (ℝ*𝑠 ↾s ((0[,]+∞) ∩ (0[,)+∞)))
65		incom 4178	. . . . . 6 ⊢ ((0[,]+∞) ∩ (0[,)+∞)) = ((0[,)+∞) ∩ (0[,]+∞))
66		icossicc 12818	. . . . . . 7 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ (0[,]+∞)
67		dfss 3953	. . . . . . 7 ⊢ ((0[,)+∞) ⊆ (0[,]+∞) ↔ (0[,)+∞) = ((0[,)+∞) ∩ (0[,]+∞)))
68	66, 67	mpbi 232	. . . . . 6 ⊢ (0[,)+∞) = ((0[,)+∞) ∩ (0[,]+∞))
69	65, 68	eqtr4i 2847	. . . . 5 ⊢ ((0[,]+∞) ∩ (0[,)+∞)) = (0[,)+∞)
70	69	oveq2i 7161	. . . 4 ⊢ (ℝ*𝑠 ↾s ((0[,]+∞) ∩ (0[,)+∞))) = (ℝ*𝑠 ↾s (0[,)+∞))
71	64, 70	eqtr2i 2845	. . 3 ⊢ (ℝ*𝑠 ↾s (0[,)+∞)) = ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ↾s (0[,)+∞))
72		ovexd 7185	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) → (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ V)
73	66	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) → (0[,)+∞) ⊆ (0[,]+∞))
74		iccssxr 12813	. . . . . 6 ⊢ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
75		simpr 487	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (0[,]+∞)) → 𝑥 ∈ (0[,]+∞))
76	74, 75	sseldi 3965	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (0[,]+∞)) → 𝑥 ∈ ℝ*)
77		xaddid2 12629	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ* → (0 +𝑒 𝑥) = 𝑥)
78	76, 77	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (0[,]+∞)) → (0 +𝑒 𝑥) = 𝑥)
79		xaddid1 12628	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ* → (𝑥 +𝑒 0) = 𝑥)
80	76, 79	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (0[,]+∞)) → (𝑥 +𝑒 0) = 𝑥)
81	78, 80	jca 514	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (0[,]+∞)) → ((0 +𝑒 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 +𝑒 0) = 𝑥))
82	60, 61, 71, 72, 51, 73, 44, 54, 81	gsumress 17886	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) → ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg 𝐹) = ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,)+∞)) Σg 𝐹))
83	48, 59, 82	3eqtr4d 2866	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) → (ℂfld Σg 𝐹) = ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg 𝐹))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1533   ∈ wcel 2110  Vcvv 3495   ∩ cin 3935   ⊆ wss 3936  ran crn 5551  ⟶wf 6346  ‘cfv 6350  (class class class)co 7150  ℂcc 10529  ℝcr 10530  0cc0 10531   + caddc 10534  +∞cpnf 10666  ℝ^*cxr 10668   +_𝑒 cxad 12499  [,)cico 12734  [,]cicc 12735  Basecbs 16477   ↾_s cress 16478  +_gcplusg 16559   Σ_g cgsu 16708  ℝ^*_𝑠cxrs 16767  ℂ_fldccnfld 20539

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2156  ax-12 2172  ax-ext 2793  ax-rep 5183  ax-sep 5196  ax-nul 5203  ax-pow 5259  ax-pr 5322  ax-un 7455  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608  ax-addf 10610

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3497  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4833  df-int 4870  df-iun 4914  df-br 5060  df-opab 5122  df-mpt 5140  df-tr 5166  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5469  df-so 5470  df-fr 5509  df-we 5511  df-xp 5556  df-rel 5557  df-cnv 5558  df-co 5559  df-dm 5560  df-rn 5561  df-res 5562  df-ima 5563  df-pred 6143  df-ord 6189  df-on 6190  df-lim 6191  df-suc 6192  df-iota 6309  df-fun 6352  df-fn 6353  df-f 6354  df-f1 6355  df-fo 6356  df-f1o 6357  df-fv 6358  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7575  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-1o 8096  df-oadd 8100  df-er 8283  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-fin 8507  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-nn 11633  df-2 11694  df-3 11695  df-4 11696  df-5 11697  df-6 11698  df-7 11699  df-8 11700  df-9 11701  df-n0 11892  df-z 11976  df-dec 12093  df-uz 12238  df-xadd 12502  df-ico 12738  df-icc 12739  df-fz 12887  df-seq 13364  df-struct 16479  df-ndx 16480  df-slot 16481  df-base 16483  df-sets 16484  df-ress 16485  df-plusg 16572  df-mulr 16573  df-starv 16574  df-tset 16578  df-ple 16579  df-ds 16581  df-unif 16582  df-0g 16709  df-gsum 16710  df-xrs 16769  df-cnfld 20540

This theorem is referenced by:  esumpfinval  31329  esumpfinvalf  31330  esumpcvgval  31332  esumcvg  31340