Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  esumpfinvallem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem esumpfinvallem 30518
Description: Lemma for esumpfinval 30519. (Contributed by Thierry Arnoux, 28-Jun-2017.)
Assertion
Ref Expression
esumpfinvallem ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) → (ℂfld Σg 𝐹) = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg 𝐹))

Proof of Theorem esumpfinvallem
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fex 6682 . . . 4 ((𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞) ∧ 𝐴𝑉) → 𝐹 ∈ V)
21ancoms 450 . . 3 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) → 𝐹 ∈ V)
3 ovexd 6876 . . 3 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) → (ℂflds (0[,)+∞)) ∈ V)
4 ovexd 6876 . . 3 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) → (ℝ*𝑠s (0[,)+∞)) ∈ V)
5 rge0ssre 12484 . . . . . . 7 (0[,)+∞) ⊆ ℝ
6 ax-resscn 10246 . . . . . . 7 ℝ ⊆ ℂ
75, 6sstri 3770 . . . . . 6 (0[,)+∞) ⊆ ℂ
8 eqid 2765 . . . . . . 7 (ℂflds (0[,)+∞)) = (ℂflds (0[,)+∞))
9 cnfldbas 20023 . . . . . . 7 ℂ = (Base‘ℂfld)
108, 9ressbas2 16205 . . . . . 6 ((0[,)+∞) ⊆ ℂ → (0[,)+∞) = (Base‘(ℂflds (0[,)+∞))))
117, 10ax-mp 5 . . . . 5 (0[,)+∞) = (Base‘(ℂflds (0[,)+∞)))
12 icossxr 12460 . . . . . 6 (0[,)+∞) ⊆ ℝ*
13 eqid 2765 . . . . . . 7 (ℝ*𝑠s (0[,)+∞)) = (ℝ*𝑠s (0[,)+∞))
14 xrsbas 20035 . . . . . . 7 * = (Base‘ℝ*𝑠)
1513, 14ressbas2 16205 . . . . . 6 ((0[,)+∞) ⊆ ℝ* → (0[,)+∞) = (Base‘(ℝ*𝑠s (0[,)+∞))))
1612, 15ax-mp 5 . . . . 5 (0[,)+∞) = (Base‘(ℝ*𝑠s (0[,)+∞)))
1711, 16eqtr3i 2789 . . . 4 (Base‘(ℂflds (0[,)+∞))) = (Base‘(ℝ*𝑠s (0[,)+∞)))
1817a1i 11 . . 3 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) → (Base‘(ℂflds (0[,)+∞))) = (Base‘(ℝ*𝑠s (0[,)+∞))))
19 simprl 787 . . . . 5 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(ℂflds (0[,)+∞))) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(ℂflds (0[,)+∞))))) → 𝑥 ∈ (Base‘(ℂflds (0[,)+∞))))
2019, 11syl6eleqr 2855 . . . 4 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(ℂflds (0[,)+∞))) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(ℂflds (0[,)+∞))))) → 𝑥 ∈ (0[,)+∞))
21 simprr 789 . . . . 5 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(ℂflds (0[,)+∞))) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(ℂflds (0[,)+∞))))) → 𝑦 ∈ (Base‘(ℂflds (0[,)+∞))))
2221, 11syl6eleqr 2855 . . . 4 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(ℂflds (0[,)+∞))) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(ℂflds (0[,)+∞))))) → 𝑦 ∈ (0[,)+∞))
23 ge0addcl 12488 . . . . 5 ((𝑥 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ (0[,)+∞))
24 ovex 6874 . . . . . . 7 (0[,)+∞) ∈ V
25 cnfldadd 20024 . . . . . . . 8 + = (+g‘ℂfld)
268, 25ressplusg 16267 . . . . . . 7 ((0[,)+∞) ∈ V → + = (+g‘(ℂflds (0[,)+∞))))
2724, 26ax-mp 5 . . . . . 6 + = (+g‘(ℂflds (0[,)+∞)))
2827oveqi 6855 . . . . 5 (𝑥 + 𝑦) = (𝑥(+g‘(ℂflds (0[,)+∞)))𝑦)
2923, 28, 113eltr3g 2860 . . . 4 ((𝑥 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) → (𝑥(+g‘(ℂflds (0[,)+∞)))𝑦) ∈ (Base‘(ℂflds (0[,)+∞))))
3020, 22, 29syl2anc 579 . . 3 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(ℂflds (0[,)+∞))) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(ℂflds (0[,)+∞))))) → (𝑥(+g‘(ℂflds (0[,)+∞)))𝑦) ∈ (Base‘(ℂflds (0[,)+∞))))
31 simpl 474 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) → 𝑥 ∈ (0[,)+∞))
325, 31sseldi 3759 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) → 𝑥 ∈ ℝ)
33 simpr 477 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) → 𝑦 ∈ (0[,)+∞))
345, 33sseldi 3759 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) → 𝑦 ∈ ℝ)
35 rexadd 12265 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 +𝑒 𝑦) = (𝑥 + 𝑦))
3635eqcomd 2771 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 + 𝑦) = (𝑥 +𝑒 𝑦))
3732, 34, 36syl2anc 579 . . . . 5 ((𝑥 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) → (𝑥 + 𝑦) = (𝑥 +𝑒 𝑦))
38 xrsadd 20036 . . . . . . . 8 +𝑒 = (+g‘ℝ*𝑠)
3913, 38ressplusg 16267 . . . . . . 7 ((0[,)+∞) ∈ V → +𝑒 = (+g‘(ℝ*𝑠s (0[,)+∞))))
4024, 39ax-mp 5 . . . . . 6 +𝑒 = (+g‘(ℝ*𝑠s (0[,)+∞)))
4140oveqi 6855 . . . . 5 (𝑥 +𝑒 𝑦) = (𝑥(+g‘(ℝ*𝑠s (0[,)+∞)))𝑦)
4237, 28, 413eqtr3g 2822 . . . 4 ((𝑥 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) → (𝑥(+g‘(ℂflds (0[,)+∞)))𝑦) = (𝑥(+g‘(ℝ*𝑠s (0[,)+∞)))𝑦))
4320, 22, 42syl2anc 579 . . 3 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(ℂflds (0[,)+∞))) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(ℂflds (0[,)+∞))))) → (𝑥(+g‘(ℂflds (0[,)+∞)))𝑦) = (𝑥(+g‘(ℝ*𝑠s (0[,)+∞)))𝑦))
44 simpr 477 . . . 4 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) → 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞))
4544ffund 6227 . . 3 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) → Fun 𝐹)
4644frnd 6230 . . . 4 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) → ran 𝐹 ⊆ (0[,)+∞))
4746, 11syl6sseq 3811 . . 3 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) → ran 𝐹 ⊆ (Base‘(ℂflds (0[,)+∞))))
482, 3, 4, 18, 30, 43, 45, 47gsumpropd2 17542 . 2 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) → ((ℂflds (0[,)+∞)) Σg 𝐹) = ((ℝ*𝑠s (0[,)+∞)) Σg 𝐹))
49 cnfldex 20022 . . . 4 fld ∈ V
5049a1i 11 . . 3 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) → ℂfld ∈ V)
51 simpl 474 . . 3 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) → 𝐴𝑉)
527a1i 11 . . 3 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) → (0[,)+∞) ⊆ ℂ)
53 0e0icopnf 12486 . . . 4 0 ∈ (0[,)+∞)
5453a1i 11 . . 3 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) → 0 ∈ (0[,)+∞))
55 simpr 477 . . . . 5 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝑥 ∈ ℂ)
5655addid2d 10491 . . . 4 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (0 + 𝑥) = 𝑥)
5755addid1d 10490 . . . 4 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑥 + 0) = 𝑥)
5856, 57jca 507 . . 3 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((0 + 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 + 0) = 𝑥))
599, 25, 8, 50, 51, 52, 44, 54, 58gsumress 17544 . 2 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) → (ℂfld Σg 𝐹) = ((ℂflds (0[,)+∞)) Σg 𝐹))
60 xrge0base 30067 . . 3 (0[,]+∞) = (Base‘(ℝ*𝑠s (0[,]+∞)))
61 xrge0plusg 30069 . . 3 +𝑒 = (+g‘(ℝ*𝑠s (0[,]+∞)))
62 ovex 6874 . . . . 5 (0[,]+∞) ∈ V
63 ressress 16213 . . . . 5 (((0[,]+∞) ∈ V ∧ (0[,)+∞) ∈ V) → ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ↾s (0[,)+∞)) = (ℝ*𝑠s ((0[,]+∞) ∩ (0[,)+∞))))
6462, 24, 63mp2an 683 . . . 4 ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ↾s (0[,)+∞)) = (ℝ*𝑠s ((0[,]+∞) ∩ (0[,)+∞)))
65 incom 3967 . . . . . 6 ((0[,]+∞) ∩ (0[,)+∞)) = ((0[,)+∞) ∩ (0[,]+∞))
66 icossicc 12463 . . . . . . 7 (0[,)+∞) ⊆ (0[,]+∞)
67 dfss 3747 . . . . . . 7 ((0[,)+∞) ⊆ (0[,]+∞) ↔ (0[,)+∞) = ((0[,)+∞) ∩ (0[,]+∞)))
6866, 67mpbi 221 . . . . . 6 (0[,)+∞) = ((0[,)+∞) ∩ (0[,]+∞))
6965, 68eqtr4i 2790 . . . . 5 ((0[,]+∞) ∩ (0[,)+∞)) = (0[,)+∞)
7069oveq2i 6853 . . . 4 (ℝ*𝑠s ((0[,]+∞) ∩ (0[,)+∞))) = (ℝ*𝑠s (0[,)+∞))
7164, 70eqtr2i 2788 . . 3 (ℝ*𝑠s (0[,)+∞)) = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ↾s (0[,)+∞))
72 ovexd 6876 . . 3 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) → (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ V)
7366a1i 11 . . 3 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) → (0[,)+∞) ⊆ (0[,]+∞))
74 iccssxr 12458 . . . . . 6 (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
75 simpr 477 . . . . . 6 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (0[,]+∞)) → 𝑥 ∈ (0[,]+∞))
7674, 75sseldi 3759 . . . . 5 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (0[,]+∞)) → 𝑥 ∈ ℝ*)
77 xaddid2 12275 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℝ* → (0 +𝑒 𝑥) = 𝑥)
7876, 77syl 17 . . . 4 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (0[,]+∞)) → (0 +𝑒 𝑥) = 𝑥)
79 xaddid1 12274 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℝ* → (𝑥 +𝑒 0) = 𝑥)
8076, 79syl 17 . . . 4 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (0[,]+∞)) → (𝑥 +𝑒 0) = 𝑥)
8178, 80jca 507 . . 3 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (0[,]+∞)) → ((0 +𝑒 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 +𝑒 0) = 𝑥))
8260, 61, 71, 72, 51, 73, 44, 54, 81gsumress 17544 . 2 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) → ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg 𝐹) = ((ℝ*𝑠s (0[,)+∞)) Σg 𝐹))
8348, 59, 823eqtr4d 2809 1 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) → (ℂfld Σg 𝐹) = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg 𝐹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1652  wcel 2155  Vcvv 3350  cin 3731  wss 3732  ran crn 5278  wf 6064  cfv 6068  (class class class)co 6842  cc 10187  cr 10188  0cc0 10189   + caddc 10192  +∞cpnf 10325  *cxr 10327   +𝑒 cxad 12144  [,)cico 12379  [,]cicc 12380  Basecbs 16132  s cress 16133  +gcplusg 16216   Σg cgsu 16369  *𝑠cxrs 16428  fldccnfld 20019
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4930  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147  ax-cnex 10245  ax-resscn 10246  ax-1cn 10247  ax-icn 10248  ax-addcl 10249  ax-addrcl 10250  ax-mulcl 10251  ax-mulrcl 10252  ax-mulcom 10253  ax-addass 10254  ax-mulass 10255  ax-distr 10256  ax-i2m1 10257  ax-1ne0 10258  ax-1rid 10259  ax-rnegex 10260  ax-rrecex 10261  ax-cnre 10262  ax-pre-lttri 10263  ax-pre-lttrn 10264  ax-pre-ltadd 10265  ax-pre-mulgt0 10266  ax-addf 10268
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-pss 3748  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-tp 4339  df-op 4341  df-uni 4595  df-int 4634  df-iun 4678  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-tr 4912  df-id 5185  df-eprel 5190  df-po 5198  df-so 5199  df-fr 5236  df-we 5238  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-pred 5865  df-ord 5911  df-on 5912  df-lim 5913  df-suc 5914  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-riota 6803  df-ov 6845  df-oprab 6846  df-mpt2 6847  df-om 7264  df-1st 7366  df-2nd 7367  df-wrecs 7610  df-recs 7672  df-rdg 7710  df-1o 7764  df-oadd 7768  df-er 7947  df-en 8161  df-dom 8162  df-sdom 8163  df-fin 8164  df-pnf 10330  df-mnf 10331  df-xr 10332  df-ltxr 10333  df-le 10334  df-sub 10522  df-neg 10523  df-nn 11275  df-2 11335  df-3 11336  df-4 11337  df-5 11338  df-6 11339  df-7 11340  df-8 11341  df-9 11342  df-n0 11539  df-z 11625  df-dec 11741  df-uz 11887  df-xadd 12147  df-ico 12383  df-icc 12384  df-fz 12534  df-seq 13009  df-struct 16134  df-ndx 16135  df-slot 16136  df-base 16138  df-sets 16139  df-ress 16140  df-plusg 16229  df-mulr 16230  df-starv 16231  df-tset 16235  df-ple 16236  df-ds 16238  df-unif 16239  df-0g 16370  df-gsum 16371  df-xrs 16430  df-cnfld 20020
This theorem is referenced by:  esumpfinval  30519  esumpfinvalf  30520  esumpcvgval  30522  esumcvg  30530
  Copyright terms: Public domain W3C validator