Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  esumpfinvallem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem esumpfinvallem 31337
Description: Lemma for esumpfinval 31338. (Contributed by Thierry Arnoux, 28-Jun-2017.)
Assertion
Ref Expression
esumpfinvallem ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) → (ℂfld Σg 𝐹) = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg 𝐹))

Proof of Theorem esumpfinvallem
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fex 6992 . . . 4 ((𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞) ∧ 𝐴𝑉) → 𝐹 ∈ V)
21ancoms 461 . . 3 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) → 𝐹 ∈ V)
3 ovexd 7194 . . 3 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) → (ℂflds (0[,)+∞)) ∈ V)
4 ovexd 7194 . . 3 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) → (ℝ*𝑠s (0[,)+∞)) ∈ V)
5 rge0ssre 12847 . . . . . . 7 (0[,)+∞) ⊆ ℝ
6 ax-resscn 10597 . . . . . . 7 ℝ ⊆ ℂ
75, 6sstri 3979 . . . . . 6 (0[,)+∞) ⊆ ℂ
8 eqid 2824 . . . . . . 7 (ℂflds (0[,)+∞)) = (ℂflds (0[,)+∞))
9 cnfldbas 20552 . . . . . . 7 ℂ = (Base‘ℂfld)
108, 9ressbas2 16558 . . . . . 6 ((0[,)+∞) ⊆ ℂ → (0[,)+∞) = (Base‘(ℂflds (0[,)+∞))))
117, 10ax-mp 5 . . . . 5 (0[,)+∞) = (Base‘(ℂflds (0[,)+∞)))
12 icossxr 12824 . . . . . 6 (0[,)+∞) ⊆ ℝ*
13 eqid 2824 . . . . . . 7 (ℝ*𝑠s (0[,)+∞)) = (ℝ*𝑠s (0[,)+∞))
14 xrsbas 20564 . . . . . . 7 * = (Base‘ℝ*𝑠)
1513, 14ressbas2 16558 . . . . . 6 ((0[,)+∞) ⊆ ℝ* → (0[,)+∞) = (Base‘(ℝ*𝑠s (0[,)+∞))))
1612, 15ax-mp 5 . . . . 5 (0[,)+∞) = (Base‘(ℝ*𝑠s (0[,)+∞)))
1711, 16eqtr3i 2849 . . . 4 (Base‘(ℂflds (0[,)+∞))) = (Base‘(ℝ*𝑠s (0[,)+∞)))
1817a1i 11 . . 3 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) → (Base‘(ℂflds (0[,)+∞))) = (Base‘(ℝ*𝑠s (0[,)+∞))))
19 simprl 769 . . . . 5 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(ℂflds (0[,)+∞))) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(ℂflds (0[,)+∞))))) → 𝑥 ∈ (Base‘(ℂflds (0[,)+∞))))
2019, 11eleqtrrdi 2927 . . . 4 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(ℂflds (0[,)+∞))) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(ℂflds (0[,)+∞))))) → 𝑥 ∈ (0[,)+∞))
21 simprr 771 . . . . 5 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(ℂflds (0[,)+∞))) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(ℂflds (0[,)+∞))))) → 𝑦 ∈ (Base‘(ℂflds (0[,)+∞))))
2221, 11eleqtrrdi 2927 . . . 4 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(ℂflds (0[,)+∞))) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(ℂflds (0[,)+∞))))) → 𝑦 ∈ (0[,)+∞))
23 ge0addcl 12851 . . . . 5 ((𝑥 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ (0[,)+∞))
24 ovex 7192 . . . . . . 7 (0[,)+∞) ∈ V
25 cnfldadd 20553 . . . . . . . 8 + = (+g‘ℂfld)
268, 25ressplusg 16615 . . . . . . 7 ((0[,)+∞) ∈ V → + = (+g‘(ℂflds (0[,)+∞))))
2724, 26ax-mp 5 . . . . . 6 + = (+g‘(ℂflds (0[,)+∞)))
2827oveqi 7172 . . . . 5 (𝑥 + 𝑦) = (𝑥(+g‘(ℂflds (0[,)+∞)))𝑦)
2923, 28, 113eltr3g 2932 . . . 4 ((𝑥 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) → (𝑥(+g‘(ℂflds (0[,)+∞)))𝑦) ∈ (Base‘(ℂflds (0[,)+∞))))
3020, 22, 29syl2anc 586 . . 3 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(ℂflds (0[,)+∞))) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(ℂflds (0[,)+∞))))) → (𝑥(+g‘(ℂflds (0[,)+∞)))𝑦) ∈ (Base‘(ℂflds (0[,)+∞))))
31 simpl 485 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) → 𝑥 ∈ (0[,)+∞))
325, 31sseldi 3968 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) → 𝑥 ∈ ℝ)
33 simpr 487 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) → 𝑦 ∈ (0[,)+∞))
345, 33sseldi 3968 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) → 𝑦 ∈ ℝ)
35 rexadd 12628 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 +𝑒 𝑦) = (𝑥 + 𝑦))
3635eqcomd 2830 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 + 𝑦) = (𝑥 +𝑒 𝑦))
3732, 34, 36syl2anc 586 . . . . 5 ((𝑥 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) → (𝑥 + 𝑦) = (𝑥 +𝑒 𝑦))
38 xrsadd 20565 . . . . . . . 8 +𝑒 = (+g‘ℝ*𝑠)
3913, 38ressplusg 16615 . . . . . . 7 ((0[,)+∞) ∈ V → +𝑒 = (+g‘(ℝ*𝑠s (0[,)+∞))))
4024, 39ax-mp 5 . . . . . 6 +𝑒 = (+g‘(ℝ*𝑠s (0[,)+∞)))
4140oveqi 7172 . . . . 5 (𝑥 +𝑒 𝑦) = (𝑥(+g‘(ℝ*𝑠s (0[,)+∞)))𝑦)
4237, 28, 413eqtr3g 2882 . . . 4 ((𝑥 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) → (𝑥(+g‘(ℂflds (0[,)+∞)))𝑦) = (𝑥(+g‘(ℝ*𝑠s (0[,)+∞)))𝑦))
4320, 22, 42syl2anc 586 . . 3 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(ℂflds (0[,)+∞))) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(ℂflds (0[,)+∞))))) → (𝑥(+g‘(ℂflds (0[,)+∞)))𝑦) = (𝑥(+g‘(ℝ*𝑠s (0[,)+∞)))𝑦))
44 simpr 487 . . . 4 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) → 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞))
4544ffund 6521 . . 3 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) → Fun 𝐹)
4644frnd 6524 . . . 4 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) → ran 𝐹 ⊆ (0[,)+∞))
4746, 11sseqtrdi 4020 . . 3 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) → ran 𝐹 ⊆ (Base‘(ℂflds (0[,)+∞))))
482, 3, 4, 18, 30, 43, 45, 47gsumpropd2 17893 . 2 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) → ((ℂflds (0[,)+∞)) Σg 𝐹) = ((ℝ*𝑠s (0[,)+∞)) Σg 𝐹))
49 cnfldex 20551 . . . 4 fld ∈ V
5049a1i 11 . . 3 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) → ℂfld ∈ V)
51 simpl 485 . . 3 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) → 𝐴𝑉)
527a1i 11 . . 3 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) → (0[,)+∞) ⊆ ℂ)
53 0e0icopnf 12849 . . . 4 0 ∈ (0[,)+∞)
5453a1i 11 . . 3 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) → 0 ∈ (0[,)+∞))
55 simpr 487 . . . . 5 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝑥 ∈ ℂ)
5655addid2d 10844 . . . 4 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (0 + 𝑥) = 𝑥)
5755addid1d 10843 . . . 4 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑥 + 0) = 𝑥)
5856, 57jca 514 . . 3 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((0 + 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 + 0) = 𝑥))
599, 25, 8, 50, 51, 52, 44, 54, 58gsumress 17895 . 2 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) → (ℂfld Σg 𝐹) = ((ℂflds (0[,)+∞)) Σg 𝐹))
60 xrge0base 30676 . . 3 (0[,]+∞) = (Base‘(ℝ*𝑠s (0[,]+∞)))
61 xrge0plusg 30678 . . 3 +𝑒 = (+g‘(ℝ*𝑠s (0[,]+∞)))
62 ovex 7192 . . . . 5 (0[,]+∞) ∈ V
63 ressress 16565 . . . . 5 (((0[,]+∞) ∈ V ∧ (0[,)+∞) ∈ V) → ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ↾s (0[,)+∞)) = (ℝ*𝑠s ((0[,]+∞) ∩ (0[,)+∞))))
6462, 24, 63mp2an 690 . . . 4 ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ↾s (0[,)+∞)) = (ℝ*𝑠s ((0[,]+∞) ∩ (0[,)+∞)))
65 incom 4181 . . . . . 6 ((0[,]+∞) ∩ (0[,)+∞)) = ((0[,)+∞) ∩ (0[,]+∞))
66 icossicc 12827 . . . . . . 7 (0[,)+∞) ⊆ (0[,]+∞)
67 dfss 3956 . . . . . . 7 ((0[,)+∞) ⊆ (0[,]+∞) ↔ (0[,)+∞) = ((0[,)+∞) ∩ (0[,]+∞)))
6866, 67mpbi 232 . . . . . 6 (0[,)+∞) = ((0[,)+∞) ∩ (0[,]+∞))
6965, 68eqtr4i 2850 . . . . 5 ((0[,]+∞) ∩ (0[,)+∞)) = (0[,)+∞)
7069oveq2i 7170 . . . 4 (ℝ*𝑠s ((0[,]+∞) ∩ (0[,)+∞))) = (ℝ*𝑠s (0[,)+∞))
7164, 70eqtr2i 2848 . . 3 (ℝ*𝑠s (0[,)+∞)) = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ↾s (0[,)+∞))
72 ovexd 7194 . . 3 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) → (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ V)
7366a1i 11 . . 3 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) → (0[,)+∞) ⊆ (0[,]+∞))
74 iccssxr 12822 . . . . . 6 (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
75 simpr 487 . . . . . 6 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (0[,]+∞)) → 𝑥 ∈ (0[,]+∞))
7674, 75sseldi 3968 . . . . 5 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (0[,]+∞)) → 𝑥 ∈ ℝ*)
77 xaddid2 12638 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℝ* → (0 +𝑒 𝑥) = 𝑥)
7876, 77syl 17 . . . 4 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (0[,]+∞)) → (0 +𝑒 𝑥) = 𝑥)
79 xaddid1 12637 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℝ* → (𝑥 +𝑒 0) = 𝑥)
8076, 79syl 17 . . . 4 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (0[,]+∞)) → (𝑥 +𝑒 0) = 𝑥)
8178, 80jca 514 . . 3 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (0[,]+∞)) → ((0 +𝑒 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 +𝑒 0) = 𝑥))
8260, 61, 71, 72, 51, 73, 44, 54, 81gsumress 17895 . 2 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) → ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg 𝐹) = ((ℝ*𝑠s (0[,)+∞)) Σg 𝐹))
8348, 59, 823eqtr4d 2869 1 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) → (ℂfld Σg 𝐹) = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg 𝐹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 398   = wceq 1536  wcel 2113  Vcvv 3497  cin 3938  wss 3939  ran crn 5559  wf 6354  cfv 6358  (class class class)co 7159  cc 10538  cr 10539  0cc0 10540   + caddc 10543  +∞cpnf 10675  *cxr 10677   +𝑒 cxad 12508  [,)cico 12743  [,]cicc 12744  Basecbs 16486  s cress 16487  +gcplusg 16568   Σg cgsu 16717  *𝑠cxrs 16776  fldccnfld 20548
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2796  ax-rep 5193  ax-sep 5206  ax-nul 5213  ax-pow 5269  ax-pr 5333  ax-un 7464  ax-cnex 10596  ax-resscn 10597  ax-1cn 10598  ax-icn 10599  ax-addcl 10600  ax-addrcl 10601  ax-mulcl 10602  ax-mulrcl 10603  ax-mulcom 10604  ax-addass 10605  ax-mulass 10606  ax-distr 10607  ax-i2m1 10608  ax-1ne0 10609  ax-1rid 10610  ax-rnegex 10611  ax-rrecex 10612  ax-cnre 10613  ax-pre-lttri 10614  ax-pre-lttrn 10615  ax-pre-ltadd 10616  ax-pre-mulgt0 10617  ax-addf 10619
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1539  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-mo 2621  df-eu 2653  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2966  df-ne 3020  df-nel 3127  df-ral 3146  df-rex 3147  df-reu 3148  df-rmo 3149  df-rab 3150  df-v 3499  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4571  df-pr 4573  df-tp 4575  df-op 4577  df-uni 4842  df-int 4880  df-iun 4924  df-br 5070  df-opab 5132  df-mpt 5150  df-tr 5176  df-id 5463  df-eprel 5468  df-po 5477  df-so 5478  df-fr 5517  df-we 5519  df-xp 5564  df-rel 5565  df-cnv 5566  df-co 5567  df-dm 5568  df-rn 5569  df-res 5570  df-ima 5571  df-pred 6151  df-ord 6197  df-on 6198  df-lim 6199  df-suc 6200  df-iota 6317  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-riota 7117  df-ov 7162  df-oprab 7163  df-mpo 7164  df-om 7584  df-1st 7692  df-2nd 7693  df-wrecs 7950  df-recs 8011  df-rdg 8049  df-1o 8105  df-oadd 8109  df-er 8292  df-en 8513  df-dom 8514  df-sdom 8515  df-fin 8516  df-pnf 10680  df-mnf 10681  df-xr 10682  df-ltxr 10683  df-le 10684  df-sub 10875  df-neg 10876  df-nn 11642  df-2 11703  df-3 11704  df-4 11705  df-5 11706  df-6 11707  df-7 11708  df-8 11709  df-9 11710  df-n0 11901  df-z 11985  df-dec 12102  df-uz 12247  df-xadd 12511  df-ico 12747  df-icc 12748  df-fz 12896  df-seq 13373  df-struct 16488  df-ndx 16489  df-slot 16490  df-base 16492  df-sets 16493  df-ress 16494  df-plusg 16581  df-mulr 16582  df-starv 16583  df-tset 16587  df-ple 16588  df-ds 16590  df-unif 16591  df-0g 16718  df-gsum 16719  df-xrs 16778  df-cnfld 20549
This theorem is referenced by:  esumpfinval  31338  esumpfinvalf  31339  esumpcvgval  31341  esumcvg  31349
  Copyright terms: Public domain W3C validator