Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  esumpfinvallem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem esumpfinvallem 33629
Description: Lemma for esumpfinval 33630. (Contributed by Thierry Arnoux, 28-Jun-2017.)
Assertion
Ref Expression
esumpfinvallem ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) → (ℂfld Σg 𝐹) = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg 𝐹))

Proof of Theorem esumpfinvallem
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fex 7232 . . . 4 ((𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞) ∧ 𝐴𝑉) → 𝐹 ∈ V)
21ancoms 458 . . 3 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) → 𝐹 ∈ V)
3 ovexd 7449 . . 3 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) → (ℂflds (0[,)+∞)) ∈ V)
4 ovexd 7449 . . 3 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) → (ℝ*𝑠s (0[,)+∞)) ∈ V)
5 rge0ssre 13457 . . . . . . 7 (0[,)+∞) ⊆ ℝ
6 ax-resscn 11187 . . . . . . 7 ℝ ⊆ ℂ
75, 6sstri 3987 . . . . . 6 (0[,)+∞) ⊆ ℂ
8 eqid 2727 . . . . . . 7 (ℂflds (0[,)+∞)) = (ℂflds (0[,)+∞))
9 cnfldbas 21270 . . . . . . 7 ℂ = (Base‘ℂfld)
108, 9ressbas2 17209 . . . . . 6 ((0[,)+∞) ⊆ ℂ → (0[,)+∞) = (Base‘(ℂflds (0[,)+∞))))
117, 10ax-mp 5 . . . . 5 (0[,)+∞) = (Base‘(ℂflds (0[,)+∞)))
12 icossxr 13433 . . . . . 6 (0[,)+∞) ⊆ ℝ*
13 eqid 2727 . . . . . . 7 (ℝ*𝑠s (0[,)+∞)) = (ℝ*𝑠s (0[,)+∞))
14 xrsbas 21298 . . . . . . 7 * = (Base‘ℝ*𝑠)
1513, 14ressbas2 17209 . . . . . 6 ((0[,)+∞) ⊆ ℝ* → (0[,)+∞) = (Base‘(ℝ*𝑠s (0[,)+∞))))
1612, 15ax-mp 5 . . . . 5 (0[,)+∞) = (Base‘(ℝ*𝑠s (0[,)+∞)))
1711, 16eqtr3i 2757 . . . 4 (Base‘(ℂflds (0[,)+∞))) = (Base‘(ℝ*𝑠s (0[,)+∞)))
1817a1i 11 . . 3 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) → (Base‘(ℂflds (0[,)+∞))) = (Base‘(ℝ*𝑠s (0[,)+∞))))
19 simprl 770 . . . . 5 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(ℂflds (0[,)+∞))) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(ℂflds (0[,)+∞))))) → 𝑥 ∈ (Base‘(ℂflds (0[,)+∞))))
2019, 11eleqtrrdi 2839 . . . 4 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(ℂflds (0[,)+∞))) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(ℂflds (0[,)+∞))))) → 𝑥 ∈ (0[,)+∞))
21 simprr 772 . . . . 5 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(ℂflds (0[,)+∞))) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(ℂflds (0[,)+∞))))) → 𝑦 ∈ (Base‘(ℂflds (0[,)+∞))))
2221, 11eleqtrrdi 2839 . . . 4 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(ℂflds (0[,)+∞))) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(ℂflds (0[,)+∞))))) → 𝑦 ∈ (0[,)+∞))
23 ge0addcl 13461 . . . . 5 ((𝑥 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ (0[,)+∞))
24 ovex 7447 . . . . . . 7 (0[,)+∞) ∈ V
25 cnfldadd 21272 . . . . . . . 8 + = (+g‘ℂfld)
268, 25ressplusg 17262 . . . . . . 7 ((0[,)+∞) ∈ V → + = (+g‘(ℂflds (0[,)+∞))))
2724, 26ax-mp 5 . . . . . 6 + = (+g‘(ℂflds (0[,)+∞)))
2827oveqi 7427 . . . . 5 (𝑥 + 𝑦) = (𝑥(+g‘(ℂflds (0[,)+∞)))𝑦)
2923, 28, 113eltr3g 2844 . . . 4 ((𝑥 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) → (𝑥(+g‘(ℂflds (0[,)+∞)))𝑦) ∈ (Base‘(ℂflds (0[,)+∞))))
3020, 22, 29syl2anc 583 . . 3 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(ℂflds (0[,)+∞))) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(ℂflds (0[,)+∞))))) → (𝑥(+g‘(ℂflds (0[,)+∞)))𝑦) ∈ (Base‘(ℂflds (0[,)+∞))))
31 simpl 482 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) → 𝑥 ∈ (0[,)+∞))
325, 31sselid 3976 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) → 𝑥 ∈ ℝ)
33 simpr 484 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) → 𝑦 ∈ (0[,)+∞))
345, 33sselid 3976 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) → 𝑦 ∈ ℝ)
35 rexadd 13235 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 +𝑒 𝑦) = (𝑥 + 𝑦))
3635eqcomd 2733 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 + 𝑦) = (𝑥 +𝑒 𝑦))
3732, 34, 36syl2anc 583 . . . . 5 ((𝑥 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) → (𝑥 + 𝑦) = (𝑥 +𝑒 𝑦))
38 xrsadd 21299 . . . . . . . 8 +𝑒 = (+g‘ℝ*𝑠)
3913, 38ressplusg 17262 . . . . . . 7 ((0[,)+∞) ∈ V → +𝑒 = (+g‘(ℝ*𝑠s (0[,)+∞))))
4024, 39ax-mp 5 . . . . . 6 +𝑒 = (+g‘(ℝ*𝑠s (0[,)+∞)))
4140oveqi 7427 . . . . 5 (𝑥 +𝑒 𝑦) = (𝑥(+g‘(ℝ*𝑠s (0[,)+∞)))𝑦)
4237, 28, 413eqtr3g 2790 . . . 4 ((𝑥 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) → (𝑥(+g‘(ℂflds (0[,)+∞)))𝑦) = (𝑥(+g‘(ℝ*𝑠s (0[,)+∞)))𝑦))
4320, 22, 42syl2anc 583 . . 3 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(ℂflds (0[,)+∞))) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(ℂflds (0[,)+∞))))) → (𝑥(+g‘(ℂflds (0[,)+∞)))𝑦) = (𝑥(+g‘(ℝ*𝑠s (0[,)+∞)))𝑦))
44 simpr 484 . . . 4 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) → 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞))
4544ffund 6720 . . 3 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) → Fun 𝐹)
4644frnd 6724 . . . 4 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) → ran 𝐹 ⊆ (0[,)+∞))
4746, 11sseqtrdi 4028 . . 3 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) → ran 𝐹 ⊆ (Base‘(ℂflds (0[,)+∞))))
482, 3, 4, 18, 30, 43, 45, 47gsumpropd2 18631 . 2 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) → ((ℂflds (0[,)+∞)) Σg 𝐹) = ((ℝ*𝑠s (0[,)+∞)) Σg 𝐹))
49 cnfldex 21269 . . . 4 fld ∈ V
5049a1i 11 . . 3 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) → ℂfld ∈ V)
51 simpl 482 . . 3 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) → 𝐴𝑉)
527a1i 11 . . 3 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) → (0[,)+∞) ⊆ ℂ)
53 0e0icopnf 13459 . . . 4 0 ∈ (0[,)+∞)
5453a1i 11 . . 3 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) → 0 ∈ (0[,)+∞))
55 simpr 484 . . . . 5 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝑥 ∈ ℂ)
5655addlidd 11437 . . . 4 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (0 + 𝑥) = 𝑥)
5755addridd 11436 . . . 4 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑥 + 0) = 𝑥)
5856, 57jca 511 . . 3 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((0 + 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 + 0) = 𝑥))
599, 25, 8, 50, 51, 52, 44, 54, 58gsumress 18633 . 2 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) → (ℂfld Σg 𝐹) = ((ℂflds (0[,)+∞)) Σg 𝐹))
60 xrge0base 32723 . . 3 (0[,]+∞) = (Base‘(ℝ*𝑠s (0[,]+∞)))
61 xrge0plusg 32725 . . 3 +𝑒 = (+g‘(ℝ*𝑠s (0[,]+∞)))
62 ovex 7447 . . . . 5 (0[,]+∞) ∈ V
63 ressress 17220 . . . . 5 (((0[,]+∞) ∈ V ∧ (0[,)+∞) ∈ V) → ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ↾s (0[,)+∞)) = (ℝ*𝑠s ((0[,]+∞) ∩ (0[,)+∞))))
6462, 24, 63mp2an 691 . . . 4 ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ↾s (0[,)+∞)) = (ℝ*𝑠s ((0[,]+∞) ∩ (0[,)+∞)))
65 incom 4197 . . . . . 6 ((0[,]+∞) ∩ (0[,)+∞)) = ((0[,)+∞) ∩ (0[,]+∞))
66 icossicc 13437 . . . . . . 7 (0[,)+∞) ⊆ (0[,]+∞)
67 dfss 3962 . . . . . . 7 ((0[,)+∞) ⊆ (0[,]+∞) ↔ (0[,)+∞) = ((0[,)+∞) ∩ (0[,]+∞)))
6866, 67mpbi 229 . . . . . 6 (0[,)+∞) = ((0[,)+∞) ∩ (0[,]+∞))
6965, 68eqtr4i 2758 . . . . 5 ((0[,]+∞) ∩ (0[,)+∞)) = (0[,)+∞)
7069oveq2i 7425 . . . 4 (ℝ*𝑠s ((0[,]+∞) ∩ (0[,)+∞))) = (ℝ*𝑠s (0[,)+∞))
7164, 70eqtr2i 2756 . . 3 (ℝ*𝑠s (0[,)+∞)) = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ↾s (0[,)+∞))
72 ovexd 7449 . . 3 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) → (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ V)
7366a1i 11 . . 3 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) → (0[,)+∞) ⊆ (0[,]+∞))
74 iccssxr 13431 . . . . . 6 (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
75 simpr 484 . . . . . 6 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (0[,]+∞)) → 𝑥 ∈ (0[,]+∞))
7674, 75sselid 3976 . . . . 5 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (0[,]+∞)) → 𝑥 ∈ ℝ*)
77 xaddlid 13245 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℝ* → (0 +𝑒 𝑥) = 𝑥)
7876, 77syl 17 . . . 4 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (0[,]+∞)) → (0 +𝑒 𝑥) = 𝑥)
79 xaddrid 13244 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℝ* → (𝑥 +𝑒 0) = 𝑥)
8076, 79syl 17 . . . 4 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (0[,]+∞)) → (𝑥 +𝑒 0) = 𝑥)
8178, 80jca 511 . . 3 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (0[,]+∞)) → ((0 +𝑒 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 +𝑒 0) = 𝑥))
8260, 61, 71, 72, 51, 73, 44, 54, 81gsumress 18633 . 2 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) → ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg 𝐹) = ((ℝ*𝑠s (0[,)+∞)) Σg 𝐹))
8348, 59, 823eqtr4d 2777 1 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) → (ℂfld Σg 𝐹) = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg 𝐹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1534  wcel 2099  Vcvv 3469  cin 3943  wss 3944  ran crn 5673  wf 6538  cfv 6542  (class class class)co 7414  cc 11128  cr 11129  0cc0 11130   + caddc 11133  +∞cpnf 11267  *cxr 11269   +𝑒 cxad 13114  [,)cico 13350  [,]cicc 13351  Basecbs 17171  s cress 17200  +gcplusg 17224   Σg cgsu 17413  *𝑠cxrs 17473  fldccnfld 21266
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207  ax-addf 11209
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8718  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12235  df-2 12297  df-3 12298  df-4 12299  df-5 12300  df-6 12301  df-7 12302  df-8 12303  df-9 12304  df-n0 12495  df-z 12581  df-dec 12700  df-uz 12845  df-xadd 13117  df-ico 13354  df-icc 13355  df-fz 13509  df-seq 13991  df-struct 17107  df-sets 17124  df-slot 17142  df-ndx 17154  df-base 17172  df-ress 17201  df-plusg 17237  df-mulr 17238  df-starv 17239  df-tset 17243  df-ple 17244  df-ds 17246  df-unif 17247  df-0g 17414  df-gsum 17415  df-xrs 17475  df-cnfld 21267
This theorem is referenced by:  esumpfinval  33630  esumpfinvalf  33631  esumpcvgval  33633  esumcvg  33641
  Copyright terms: Public domain W3C validator