Theorem esumpfinvallem 34232

Description: Lemma for esumpfinval 34233. (Contributed by Thierry Arnoux, 28-Jun-2017.)

Assertion

Ref	Expression
esumpfinvallem	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) → (ℂfld Σg 𝐹) = ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg 𝐹))

Proof of Theorem esumpfinvallem

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fex 7172	. . . 4 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞) ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → 𝐹 ∈ V)
2	1	ancoms 458	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) → 𝐹 ∈ V)
3		ovexd 7393	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) → (ℂfld ↾s (0[,)+∞)) ∈ V)
4		ovexd 7393	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) → (ℝ*𝑠 ↾s (0[,)+∞)) ∈ V)
5		rge0ssre 13398	. . . . . . 7 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ ℝ
6		ax-resscn 11084	. . . . . . 7 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
7	5, 6	sstri 3932	. . . . . 6 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ ℂ
8		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (ℂfld ↾s (0[,)+∞)) = (ℂfld ↾s (0[,)+∞))
9		cnfldbas 21346	. . . . . . 7 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
10	8, 9	ressbas2 17197	. . . . . 6 ⊢ ((0[,)+∞) ⊆ ℂ → (0[,)+∞) = (Base‘(ℂfld ↾s (0[,)+∞))))
11	7, 10	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (0[,)+∞) = (Base‘(ℂfld ↾s (0[,)+∞)))
12		icossxr 13374	. . . . . 6 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ ℝ*
13		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (ℝ*𝑠 ↾s (0[,)+∞)) = (ℝ*𝑠 ↾s (0[,)+∞))
14		xrsbas 17559	. . . . . . 7 ⊢ ℝ* = (Base‘ℝ*𝑠)
15	13, 14	ressbas2 17197	. . . . . 6 ⊢ ((0[,)+∞) ⊆ ℝ* → (0[,)+∞) = (Base‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,)+∞))))
16	12, 15	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (0[,)+∞) = (Base‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,)+∞)))
17	11, 16	eqtr3i 2762	. . . 4 ⊢ (Base‘(ℂfld ↾s (0[,)+∞))) = (Base‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,)+∞)))
18	17	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) → (Base‘(ℂfld ↾s (0[,)+∞))) = (Base‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,)+∞))))
19		simprl 771	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(ℂfld ↾s (0[,)+∞))) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(ℂfld ↾s (0[,)+∞))))) → 𝑥 ∈ (Base‘(ℂfld ↾s (0[,)+∞))))
20	19, 11	eleqtrrdi 2848	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(ℂfld ↾s (0[,)+∞))) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(ℂfld ↾s (0[,)+∞))))) → 𝑥 ∈ (0[,)+∞))
21		simprr 773	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(ℂfld ↾s (0[,)+∞))) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(ℂfld ↾s (0[,)+∞))))) → 𝑦 ∈ (Base‘(ℂfld ↾s (0[,)+∞))))
22	21, 11	eleqtrrdi 2848	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(ℂfld ↾s (0[,)+∞))) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(ℂfld ↾s (0[,)+∞))))) → 𝑦 ∈ (0[,)+∞))
23		ge0addcl 13402	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ (0[,)+∞))
24		ovex 7391	. . . . . . 7 ⊢ (0[,)+∞) ∈ V
25		cnfldadd 21348	. . . . . . . 8 ⊢ + = (+g‘ℂfld)
26	8, 25	ressplusg 17243	. . . . . . 7 ⊢ ((0[,)+∞) ∈ V → + = (+g‘(ℂfld ↾s (0[,)+∞))))
27	24, 26	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ + = (+g‘(ℂfld ↾s (0[,)+∞)))
28	27	oveqi 7371	. . . . 5 ⊢ (𝑥 + 𝑦) = (𝑥(+g‘(ℂfld ↾s (0[,)+∞)))𝑦)
29	23, 28, 11	3eltr3g 2853	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) → (𝑥(+g‘(ℂfld ↾s (0[,)+∞)))𝑦) ∈ (Base‘(ℂfld ↾s (0[,)+∞))))
30	20, 22, 29	syl2anc 585	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(ℂfld ↾s (0[,)+∞))) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(ℂfld ↾s (0[,)+∞))))) → (𝑥(+g‘(ℂfld ↾s (0[,)+∞)))𝑦) ∈ (Base‘(ℂfld ↾s (0[,)+∞))))
31		simpl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) → 𝑥 ∈ (0[,)+∞))
32	5, 31	sselid 3920	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) → 𝑥 ∈ ℝ)
33		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) → 𝑦 ∈ (0[,)+∞))
34	5, 33	sselid 3920	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) → 𝑦 ∈ ℝ)
35		rexadd 13173	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 +𝑒 𝑦) = (𝑥 + 𝑦))
36	35	eqcomd 2743	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 + 𝑦) = (𝑥 +𝑒 𝑦))
37	32, 34, 36	syl2anc 585	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) → (𝑥 + 𝑦) = (𝑥 +𝑒 𝑦))
38		xrsadd 21373	. . . . . . . 8 ⊢ +𝑒 = (+g‘ℝ*𝑠)
39	13, 38	ressplusg 17243	. . . . . . 7 ⊢ ((0[,)+∞) ∈ V → +𝑒 = (+g‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,)+∞))))
40	24, 39	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ +𝑒 = (+g‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,)+∞)))
41	40	oveqi 7371	. . . . 5 ⊢ (𝑥 +𝑒 𝑦) = (𝑥(+g‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,)+∞)))𝑦)
42	37, 28, 41	3eqtr3g 2795	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) → (𝑥(+g‘(ℂfld ↾s (0[,)+∞)))𝑦) = (𝑥(+g‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,)+∞)))𝑦))
43	20, 22, 42	syl2anc 585	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(ℂfld ↾s (0[,)+∞))) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(ℂfld ↾s (0[,)+∞))))) → (𝑥(+g‘(ℂfld ↾s (0[,)+∞)))𝑦) = (𝑥(+g‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,)+∞)))𝑦))
44		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) → 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞))
45	44	ffund 6664	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) → Fun 𝐹)
46	44	frnd 6668	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) → ran 𝐹 ⊆ (0[,)+∞))
47	46, 11	sseqtrdi 3963	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) → ran 𝐹 ⊆ (Base‘(ℂfld ↾s (0[,)+∞))))
48	2, 3, 4, 18, 30, 43, 45, 47	gsumpropd2 18637	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) → ((ℂfld ↾s (0[,)+∞)) Σg 𝐹) = ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,)+∞)) Σg 𝐹))
49		cnfldex 21345	. . . 4 ⊢ ℂfld ∈ V
50	49	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) → ℂfld ∈ V)
51		simpl 482	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) → 𝐴 ∈ 𝑉)
52	7	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) → (0[,)+∞) ⊆ ℂ)
53		0e0icopnf 13400	. . . 4 ⊢ 0 ∈ (0[,)+∞)
54	53	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) → 0 ∈ (0[,)+∞))
55		simpr 484	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝑥 ∈ ℂ)
56	55	addlidd 11336	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (0 + 𝑥) = 𝑥)
57	55	addridd 11335	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑥 + 0) = 𝑥)
58	56, 57	jca 511	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((0 + 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 + 0) = 𝑥))
59	9, 25, 8, 50, 51, 52, 44, 54, 58	gsumress 18639	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) → (ℂfld Σg 𝐹) = ((ℂfld ↾s (0[,)+∞)) Σg 𝐹))
60		xrge0base 17560	. . 3 ⊢ (0[,]+∞) = (Base‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)))
61		xrge0plusg 21427	. . 3 ⊢ +𝑒 = (+g‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)))
62		ovex 7391	. . . . 5 ⊢ (0[,]+∞) ∈ V
63		ressress 17206	. . . . 5 ⊢ (((0[,]+∞) ∈ V ∧ (0[,)+∞) ∈ V) → ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ↾s (0[,)+∞)) = (ℝ*𝑠 ↾s ((0[,]+∞) ∩ (0[,)+∞))))
64	62, 24, 63	mp2an 693	. . . 4 ⊢ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ↾s (0[,)+∞)) = (ℝ*𝑠 ↾s ((0[,]+∞) ∩ (0[,)+∞)))
65		incom 4150	. . . . . 6 ⊢ ((0[,]+∞) ∩ (0[,)+∞)) = ((0[,)+∞) ∩ (0[,]+∞))
66		icossicc 13378	. . . . . . 7 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ (0[,]+∞)
67		dfss 3909	. . . . . . 7 ⊢ ((0[,)+∞) ⊆ (0[,]+∞) ↔ (0[,)+∞) = ((0[,)+∞) ∩ (0[,]+∞)))
68	66, 67	mpbi 230	. . . . . 6 ⊢ (0[,)+∞) = ((0[,)+∞) ∩ (0[,]+∞))
69	65, 68	eqtr4i 2763	. . . . 5 ⊢ ((0[,]+∞) ∩ (0[,)+∞)) = (0[,)+∞)
70	69	oveq2i 7369	. . . 4 ⊢ (ℝ*𝑠 ↾s ((0[,]+∞) ∩ (0[,)+∞))) = (ℝ*𝑠 ↾s (0[,)+∞))
71	64, 70	eqtr2i 2761	. . 3 ⊢ (ℝ*𝑠 ↾s (0[,)+∞)) = ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ↾s (0[,)+∞))
72		ovexd 7393	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) → (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ V)
73	66	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) → (0[,)+∞) ⊆ (0[,]+∞))
74		iccssxr 13372	. . . . . 6 ⊢ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
75		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (0[,]+∞)) → 𝑥 ∈ (0[,]+∞))
76	74, 75	sselid 3920	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (0[,]+∞)) → 𝑥 ∈ ℝ*)
77		xaddlid 13183	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ* → (0 +𝑒 𝑥) = 𝑥)
78	76, 77	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (0[,]+∞)) → (0 +𝑒 𝑥) = 𝑥)
79		xaddrid 13182	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ* → (𝑥 +𝑒 0) = 𝑥)
80	76, 79	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (0[,]+∞)) → (𝑥 +𝑒 0) = 𝑥)
81	78, 80	jca 511	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (0[,]+∞)) → ((0 +𝑒 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 +𝑒 0) = 𝑥))
82	60, 61, 71, 72, 51, 73, 44, 54, 81	gsumress 18639	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) → ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg 𝐹) = ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,)+∞)) Σg 𝐹))
83	48, 59, 82	3eqtr4d 2782	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) → (ℂfld Σg 𝐹) = ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg 𝐹))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3430   ∩ cin 3889   ⊆ wss 3890  ran crn 5623  ⟶wf 6486  ‘cfv 6490  (class class class)co 7358  ℂcc 11025  ℝcr 11026  0cc0 11027   + caddc 11030  +∞cpnf 11165  ℝ^*cxr 11167   +_𝑒 cxad 13050  [,)cico 13289  [,]cicc 13290  Basecbs 17168   ↾_s cress 17189  +_gcplusg 17209   Σ_g cgsu 17392  ℝ^*_𝑠cxrs 17453  ℂ_fldccnfld 21342

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5300  ax-pr 5368  ax-un 7680  ax-cnex 11083  ax-resscn 11084  ax-1cn 11085  ax-icn 11086  ax-addcl 11087  ax-addrcl 11088  ax-mulcl 11089  ax-mulrcl 11090  ax-mulcom 11091  ax-addass 11092  ax-mulass 11093  ax-distr 11094  ax-i2m1 11095  ax-1ne0 11096  ax-1rid 11097  ax-rnegex 11098  ax-rrecex 11099  ax-cnre 11100  ax-pre-lttri 11101  ax-pre-lttrn 11102  ax-pre-ltadd 11103  ax-pre-mulgt0 11104  ax-addf 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8222  df-wrecs 8253  df-recs 8302  df-rdg 8340  df-1o 8396  df-er 8634  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-fin 8888  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-nn 12164  df-2 12233  df-3 12234  df-4 12235  df-5 12236  df-6 12237  df-7 12238  df-8 12239  df-9 12240  df-n0 12427  df-z 12514  df-dec 12634  df-uz 12778  df-xadd 13053  df-ico 13293  df-icc 13294  df-fz 13451  df-seq 13953  df-struct 17106  df-sets 17123  df-slot 17141  df-ndx 17153  df-base 17169  df-ress 17190  df-plusg 17222  df-mulr 17223  df-starv 17224  df-tset 17228  df-ple 17229  df-ds 17231  df-unif 17232  df-0g 17393  df-gsum 17394  df-xrs 17455  df-cnfld 21343

This theorem is referenced by:  esumpfinval  34233  esumpfinvalf  34234  esumpcvgval  34236  esumcvg  34244