Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  esumpfinvallem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem esumpfinvallem 32713
Description: Lemma for esumpfinval 32714. (Contributed by Thierry Arnoux, 28-Jun-2017.)
Assertion
Ref Expression
esumpfinvallem ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) → (ℂfld Σg 𝐹) = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg 𝐹))

Proof of Theorem esumpfinvallem
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fex 7181 . . . 4 ((𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞) ∧ 𝐴𝑉) → 𝐹 ∈ V)
21ancoms 460 . . 3 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) → 𝐹 ∈ V)
3 ovexd 7397 . . 3 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) → (ℂflds (0[,)+∞)) ∈ V)
4 ovexd 7397 . . 3 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) → (ℝ*𝑠s (0[,)+∞)) ∈ V)
5 rge0ssre 13380 . . . . . . 7 (0[,)+∞) ⊆ ℝ
6 ax-resscn 11115 . . . . . . 7 ℝ ⊆ ℂ
75, 6sstri 3958 . . . . . 6 (0[,)+∞) ⊆ ℂ
8 eqid 2737 . . . . . . 7 (ℂflds (0[,)+∞)) = (ℂflds (0[,)+∞))
9 cnfldbas 20816 . . . . . . 7 ℂ = (Base‘ℂfld)
108, 9ressbas2 17127 . . . . . 6 ((0[,)+∞) ⊆ ℂ → (0[,)+∞) = (Base‘(ℂflds (0[,)+∞))))
117, 10ax-mp 5 . . . . 5 (0[,)+∞) = (Base‘(ℂflds (0[,)+∞)))
12 icossxr 13356 . . . . . 6 (0[,)+∞) ⊆ ℝ*
13 eqid 2737 . . . . . . 7 (ℝ*𝑠s (0[,)+∞)) = (ℝ*𝑠s (0[,)+∞))
14 xrsbas 20829 . . . . . . 7 * = (Base‘ℝ*𝑠)
1513, 14ressbas2 17127 . . . . . 6 ((0[,)+∞) ⊆ ℝ* → (0[,)+∞) = (Base‘(ℝ*𝑠s (0[,)+∞))))
1612, 15ax-mp 5 . . . . 5 (0[,)+∞) = (Base‘(ℝ*𝑠s (0[,)+∞)))
1711, 16eqtr3i 2767 . . . 4 (Base‘(ℂflds (0[,)+∞))) = (Base‘(ℝ*𝑠s (0[,)+∞)))
1817a1i 11 . . 3 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) → (Base‘(ℂflds (0[,)+∞))) = (Base‘(ℝ*𝑠s (0[,)+∞))))
19 simprl 770 . . . . 5 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(ℂflds (0[,)+∞))) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(ℂflds (0[,)+∞))))) → 𝑥 ∈ (Base‘(ℂflds (0[,)+∞))))
2019, 11eleqtrrdi 2849 . . . 4 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(ℂflds (0[,)+∞))) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(ℂflds (0[,)+∞))))) → 𝑥 ∈ (0[,)+∞))
21 simprr 772 . . . . 5 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(ℂflds (0[,)+∞))) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(ℂflds (0[,)+∞))))) → 𝑦 ∈ (Base‘(ℂflds (0[,)+∞))))
2221, 11eleqtrrdi 2849 . . . 4 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(ℂflds (0[,)+∞))) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(ℂflds (0[,)+∞))))) → 𝑦 ∈ (0[,)+∞))
23 ge0addcl 13384 . . . . 5 ((𝑥 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ (0[,)+∞))
24 ovex 7395 . . . . . . 7 (0[,)+∞) ∈ V
25 cnfldadd 20817 . . . . . . . 8 + = (+g‘ℂfld)
268, 25ressplusg 17178 . . . . . . 7 ((0[,)+∞) ∈ V → + = (+g‘(ℂflds (0[,)+∞))))
2724, 26ax-mp 5 . . . . . 6 + = (+g‘(ℂflds (0[,)+∞)))
2827oveqi 7375 . . . . 5 (𝑥 + 𝑦) = (𝑥(+g‘(ℂflds (0[,)+∞)))𝑦)
2923, 28, 113eltr3g 2854 . . . 4 ((𝑥 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) → (𝑥(+g‘(ℂflds (0[,)+∞)))𝑦) ∈ (Base‘(ℂflds (0[,)+∞))))
3020, 22, 29syl2anc 585 . . 3 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(ℂflds (0[,)+∞))) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(ℂflds (0[,)+∞))))) → (𝑥(+g‘(ℂflds (0[,)+∞)))𝑦) ∈ (Base‘(ℂflds (0[,)+∞))))
31 simpl 484 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) → 𝑥 ∈ (0[,)+∞))
325, 31sselid 3947 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) → 𝑥 ∈ ℝ)
33 simpr 486 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) → 𝑦 ∈ (0[,)+∞))
345, 33sselid 3947 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) → 𝑦 ∈ ℝ)
35 rexadd 13158 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 +𝑒 𝑦) = (𝑥 + 𝑦))
3635eqcomd 2743 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 + 𝑦) = (𝑥 +𝑒 𝑦))
3732, 34, 36syl2anc 585 . . . . 5 ((𝑥 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) → (𝑥 + 𝑦) = (𝑥 +𝑒 𝑦))
38 xrsadd 20830 . . . . . . . 8 +𝑒 = (+g‘ℝ*𝑠)
3913, 38ressplusg 17178 . . . . . . 7 ((0[,)+∞) ∈ V → +𝑒 = (+g‘(ℝ*𝑠s (0[,)+∞))))
4024, 39ax-mp 5 . . . . . 6 +𝑒 = (+g‘(ℝ*𝑠s (0[,)+∞)))
4140oveqi 7375 . . . . 5 (𝑥 +𝑒 𝑦) = (𝑥(+g‘(ℝ*𝑠s (0[,)+∞)))𝑦)
4237, 28, 413eqtr3g 2800 . . . 4 ((𝑥 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) → (𝑥(+g‘(ℂflds (0[,)+∞)))𝑦) = (𝑥(+g‘(ℝ*𝑠s (0[,)+∞)))𝑦))
4320, 22, 42syl2anc 585 . . 3 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(ℂflds (0[,)+∞))) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(ℂflds (0[,)+∞))))) → (𝑥(+g‘(ℂflds (0[,)+∞)))𝑦) = (𝑥(+g‘(ℝ*𝑠s (0[,)+∞)))𝑦))
44 simpr 486 . . . 4 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) → 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞))
4544ffund 6677 . . 3 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) → Fun 𝐹)
4644frnd 6681 . . . 4 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) → ran 𝐹 ⊆ (0[,)+∞))
4746, 11sseqtrdi 3999 . . 3 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) → ran 𝐹 ⊆ (Base‘(ℂflds (0[,)+∞))))
482, 3, 4, 18, 30, 43, 45, 47gsumpropd2 18542 . 2 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) → ((ℂflds (0[,)+∞)) Σg 𝐹) = ((ℝ*𝑠s (0[,)+∞)) Σg 𝐹))
49 cnfldex 20815 . . . 4 fld ∈ V
5049a1i 11 . . 3 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) → ℂfld ∈ V)
51 simpl 484 . . 3 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) → 𝐴𝑉)
527a1i 11 . . 3 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) → (0[,)+∞) ⊆ ℂ)
53 0e0icopnf 13382 . . . 4 0 ∈ (0[,)+∞)
5453a1i 11 . . 3 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) → 0 ∈ (0[,)+∞))
55 simpr 486 . . . . 5 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝑥 ∈ ℂ)
5655addid2d 11363 . . . 4 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (0 + 𝑥) = 𝑥)
5755addid1d 11362 . . . 4 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑥 + 0) = 𝑥)
5856, 57jca 513 . . 3 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((0 + 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 + 0) = 𝑥))
599, 25, 8, 50, 51, 52, 44, 54, 58gsumress 18544 . 2 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) → (ℂfld Σg 𝐹) = ((ℂflds (0[,)+∞)) Σg 𝐹))
60 xrge0base 31918 . . 3 (0[,]+∞) = (Base‘(ℝ*𝑠s (0[,]+∞)))
61 xrge0plusg 31920 . . 3 +𝑒 = (+g‘(ℝ*𝑠s (0[,]+∞)))
62 ovex 7395 . . . . 5 (0[,]+∞) ∈ V
63 ressress 17136 . . . . 5 (((0[,]+∞) ∈ V ∧ (0[,)+∞) ∈ V) → ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ↾s (0[,)+∞)) = (ℝ*𝑠s ((0[,]+∞) ∩ (0[,)+∞))))
6462, 24, 63mp2an 691 . . . 4 ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ↾s (0[,)+∞)) = (ℝ*𝑠s ((0[,]+∞) ∩ (0[,)+∞)))
65 incom 4166 . . . . . 6 ((0[,]+∞) ∩ (0[,)+∞)) = ((0[,)+∞) ∩ (0[,]+∞))
66 icossicc 13360 . . . . . . 7 (0[,)+∞) ⊆ (0[,]+∞)
67 dfss 3933 . . . . . . 7 ((0[,)+∞) ⊆ (0[,]+∞) ↔ (0[,)+∞) = ((0[,)+∞) ∩ (0[,]+∞)))
6866, 67mpbi 229 . . . . . 6 (0[,)+∞) = ((0[,)+∞) ∩ (0[,]+∞))
6965, 68eqtr4i 2768 . . . . 5 ((0[,]+∞) ∩ (0[,)+∞)) = (0[,)+∞)
7069oveq2i 7373 . . . 4 (ℝ*𝑠s ((0[,]+∞) ∩ (0[,)+∞))) = (ℝ*𝑠s (0[,)+∞))
7164, 70eqtr2i 2766 . . 3 (ℝ*𝑠s (0[,)+∞)) = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ↾s (0[,)+∞))
72 ovexd 7397 . . 3 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) → (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ V)
7366a1i 11 . . 3 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) → (0[,)+∞) ⊆ (0[,]+∞))
74 iccssxr 13354 . . . . . 6 (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
75 simpr 486 . . . . . 6 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (0[,]+∞)) → 𝑥 ∈ (0[,]+∞))
7674, 75sselid 3947 . . . . 5 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (0[,]+∞)) → 𝑥 ∈ ℝ*)
77 xaddid2 13168 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℝ* → (0 +𝑒 𝑥) = 𝑥)
7876, 77syl 17 . . . 4 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (0[,]+∞)) → (0 +𝑒 𝑥) = 𝑥)
79 xaddid1 13167 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℝ* → (𝑥 +𝑒 0) = 𝑥)
8076, 79syl 17 . . . 4 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (0[,]+∞)) → (𝑥 +𝑒 0) = 𝑥)
8178, 80jca 513 . . 3 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (0[,]+∞)) → ((0 +𝑒 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 +𝑒 0) = 𝑥))
8260, 61, 71, 72, 51, 73, 44, 54, 81gsumress 18544 . 2 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) → ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg 𝐹) = ((ℝ*𝑠s (0[,)+∞)) Σg 𝐹))
8348, 59, 823eqtr4d 2787 1 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) → (ℂfld Σg 𝐹) = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg 𝐹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  Vcvv 3448  cin 3914  wss 3915  ran crn 5639  wf 6497  cfv 6501  (class class class)co 7362  cc 11056  cr 11057  0cc0 11058   + caddc 11061  +∞cpnf 11193  *cxr 11195   +𝑒 cxad 13038  [,)cico 13273  [,]cicc 13274  Basecbs 17090  s cress 17119  +gcplusg 17140   Σg cgsu 17329  *𝑠cxrs 17389  fldccnfld 20812
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-addf 11137
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-4 12225  df-5 12226  df-6 12227  df-7 12228  df-8 12229  df-9 12230  df-n0 12421  df-z 12507  df-dec 12626  df-uz 12771  df-xadd 13041  df-ico 13277  df-icc 13278  df-fz 13432  df-seq 13914  df-struct 17026  df-sets 17043  df-slot 17061  df-ndx 17073  df-base 17091  df-ress 17120  df-plusg 17153  df-mulr 17154  df-starv 17155  df-tset 17159  df-ple 17160  df-ds 17162  df-unif 17163  df-0g 17330  df-gsum 17331  df-xrs 17391  df-cnfld 20813
This theorem is referenced by:  esumpfinval  32714  esumpfinvalf  32715  esumpcvgval  32717  esumcvg  32725
  Copyright terms: Public domain W3C validator