| Step | Hyp | Ref
| Expression |
| 1 | | sge0resplit.a |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉) |
| 2 | | sge0resplit.f |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑈⟶(0[,]+∞)) |
| 3 | | ssun1 4178 |
. . . . . . . . . 10
⊢ 𝐴 ⊆ (𝐴 ∪ 𝐵) |
| 4 | | sge0resplit.u |
. . . . . . . . . . 11
⊢ 𝑈 = (𝐴 ∪ 𝐵) |
| 5 | 4 | eqcomi 2746 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑈 |
| 6 | 3, 5 | sseqtri 4032 |
. . . . . . . . 9
⊢ 𝐴 ⊆ 𝑈 |
| 7 | 6 | a1i 11 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝑈) |
| 8 | 2, 7 | fssresd 6775 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ 𝐴):𝐴⟶(0[,]+∞)) |
| 9 | 4 | a1i 11 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → 𝑈 = (𝐴 ∪ 𝐵)) |
| 10 | | sge0resplit.b |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊) |
| 11 | | unexg 7763 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ V) |
| 12 | 1, 10, 11 | syl2anc 584 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ V) |
| 13 | 9, 12 | eqeltrd 2841 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ V) |
| 14 | | sge0resplit.re |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 →
(Σ^‘𝐹) ∈ ℝ) |
| 15 | 13, 2, 14 | sge0ssre 46412 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 →
(Σ^‘(𝐹 ↾ 𝐴)) ∈ ℝ) |
| 16 | 1, 8, 15 | sge0supre 46404 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 →
(Σ^‘(𝐹 ↾ 𝐴)) = sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦)), ℝ, < )) |
| 17 | 16, 15 | eqeltrrd 2842 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦)), ℝ, < ) ∈
ℝ) |
| 18 | | ssun2 4179 |
. . . . . . . . . 10
⊢ 𝐵 ⊆ (𝐴 ∪ 𝐵) |
| 19 | 18, 5 | sseqtri 4032 |
. . . . . . . . 9
⊢ 𝐵 ⊆ 𝑈 |
| 20 | 19 | a1i 11 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝑈) |
| 21 | 2, 20 | fssresd 6775 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ 𝐵):𝐵⟶(0[,]+∞)) |
| 22 | 13, 2, 14 | sge0ssre 46412 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 →
(Σ^‘(𝐹 ↾ 𝐵)) ∈ ℝ) |
| 23 | 10, 21, 22 | sge0supre 46404 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 →
(Σ^‘(𝐹 ↾ 𝐵)) = sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑦)), ℝ, < )) |
| 24 | 23, 22 | eqeltrrd 2842 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑦)), ℝ, < ) ∈
ℝ) |
| 25 | | rexadd 13274 |
. . . . 5
⊢ ((sup(ran
(𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦)), ℝ, < ) ∈ ℝ ∧
sup(ran (𝑥 ∈
(𝒫 𝐵 ∩ Fin)
↦ Σ𝑦 ∈
𝑥 ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑦)), ℝ, < ) ∈ ℝ) →
(sup(ran (𝑥 ∈
(𝒫 𝐴 ∩ Fin)
↦ Σ𝑦 ∈
𝑥 ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦)), ℝ, < ) +𝑒
sup(ran (𝑥 ∈
(𝒫 𝐵 ∩ Fin)
↦ Σ𝑦 ∈
𝑥 ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑦)), ℝ, < )) = (sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦)), ℝ, < ) + sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑦)), ℝ, < ))) |
| 26 | 17, 24, 25 | syl2anc 584 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → (sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦)), ℝ, < ) +𝑒
sup(ran (𝑥 ∈
(𝒫 𝐵 ∩ Fin)
↦ Σ𝑦 ∈
𝑥 ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑦)), ℝ, < )) = (sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦)), ℝ, < ) + sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑦)), ℝ, < ))) |
| 27 | 13, 2, 14 | sge0rern 46403 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → ¬ +∞ ∈ ran
𝐹) |
| 28 | | nelrnres 45192 |
. . . . . . . 8
⊢ (¬
+∞ ∈ ran 𝐹
→ ¬ +∞ ∈ ran (𝐹 ↾ 𝐴)) |
| 29 | 27, 28 | syl 17 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → ¬ +∞ ∈ ran
(𝐹 ↾ 𝐴)) |
| 30 | 8, 29 | fge0iccico 46385 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ 𝐴):𝐴⟶(0[,)+∞)) |
| 31 | 30 | sge0rnre 46379 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦)) ⊆ ℝ) |
| 32 | | sge0rnn0 46383 |
. . . . . 6
⊢ ran
(𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦)) ≠ ∅ |
| 33 | 32 | a1i 11 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦)) ≠ ∅) |
| 34 | 1, 30 | sge0reval 46387 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 →
(Σ^‘(𝐹 ↾ 𝐴)) = sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦)), ℝ*, <
)) |
| 35 | 34 | eqcomd 2743 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦)), ℝ*, < ) =
(Σ^‘(𝐹 ↾ 𝐴))) |
| 36 | 35, 15 | eqeltrd 2841 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦)), ℝ*, < ) ∈
ℝ) |
| 37 | | supxrre3 45336 |
. . . . . . 7
⊢ ((ran
(𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦)) ⊆ ℝ ∧ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦)) ≠ ∅) → (sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦)), ℝ*, < ) ∈
ℝ ↔ ∃𝑤
∈ ℝ ∀𝑡
∈ ran (𝑥 ∈
(𝒫 𝐴 ∩ Fin)
↦ Σ𝑦 ∈
𝑥 ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦))𝑡 ≤ 𝑤)) |
| 38 | 31, 33, 37 | syl2anc 584 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → (sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦)), ℝ*, < ) ∈
ℝ ↔ ∃𝑤
∈ ℝ ∀𝑡
∈ ran (𝑥 ∈
(𝒫 𝐴 ∩ Fin)
↦ Σ𝑦 ∈
𝑥 ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦))𝑡 ≤ 𝑤)) |
| 39 | 36, 38 | mpbid 232 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → ∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦))𝑡 ≤ 𝑤) |
| 40 | | nelrnres 45192 |
. . . . . . . 8
⊢ (¬
+∞ ∈ ran 𝐹
→ ¬ +∞ ∈ ran (𝐹 ↾ 𝐵)) |
| 41 | 27, 40 | syl 17 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → ¬ +∞ ∈ ran
(𝐹 ↾ 𝐵)) |
| 42 | 21, 41 | fge0iccico 46385 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ 𝐵):𝐵⟶(0[,)+∞)) |
| 43 | 42 | sge0rnre 46379 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑦)) ⊆ ℝ) |
| 44 | | sge0rnn0 46383 |
. . . . . 6
⊢ ran
(𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑦)) ≠ ∅ |
| 45 | 44 | a1i 11 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑦)) ≠ ∅) |
| 46 | 10, 42 | sge0reval 46387 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 →
(Σ^‘(𝐹 ↾ 𝐵)) = sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑦)), ℝ*, <
)) |
| 47 | 46 | eqcomd 2743 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑦)), ℝ*, < ) =
(Σ^‘(𝐹 ↾ 𝐵))) |
| 48 | 47, 22 | eqeltrd 2841 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑦)), ℝ*, < ) ∈
ℝ) |
| 49 | | supxrre3 45336 |
. . . . . . 7
⊢ ((ran
(𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑦)) ⊆ ℝ ∧ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑦)) ≠ ∅) → (sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑦)), ℝ*, < ) ∈
ℝ ↔ ∃𝑤
∈ ℝ ∀𝑡
∈ ran (𝑥 ∈
(𝒫 𝐵 ∩ Fin)
↦ Σ𝑦 ∈
𝑥 ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑦))𝑡 ≤ 𝑤)) |
| 50 | 43, 45, 49 | syl2anc 584 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → (sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑦)), ℝ*, < ) ∈
ℝ ↔ ∃𝑤
∈ ℝ ∀𝑡
∈ ran (𝑥 ∈
(𝒫 𝐵 ∩ Fin)
↦ Σ𝑦 ∈
𝑥 ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑦))𝑡 ≤ 𝑤)) |
| 51 | 48, 50 | mpbid 232 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → ∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑦))𝑡 ≤ 𝑤) |
| 52 | | eqid 2737 |
. . . . 5
⊢ {𝑧 ∣ ∃𝑣 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦))∃𝑢 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑦))𝑧 = (𝑣 + 𝑢)} = {𝑧 ∣ ∃𝑣 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦))∃𝑢 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑦))𝑧 = (𝑣 + 𝑢)} |
| 53 | 31, 33, 39, 43, 45, 51, 52 | supadd 12236 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → (sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦)), ℝ, < ) + sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑦)), ℝ, < )) = sup({𝑧 ∣ ∃𝑣 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦))∃𝑢 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑦))𝑧 = (𝑣 + 𝑢)}, ℝ, < )) |
| 54 | | simpl 482 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑣 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦))∃𝑢 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑦))𝑧 = (𝑣 + 𝑢)}) → 𝜑) |
| 55 | | vex 3484 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ 𝑟 ∈ V |
| 56 | | eqeq1 2741 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝑧 = 𝑟 → (𝑧 = (𝑣 + 𝑢) ↔ 𝑟 = (𝑣 + 𝑢))) |
| 57 | 56 | rexbidv 3179 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑧 = 𝑟 → (∃𝑢 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑦))𝑧 = (𝑣 + 𝑢) ↔ ∃𝑢 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑦))𝑟 = (𝑣 + 𝑢))) |
| 58 | 57 | rexbidv 3179 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑧 = 𝑟 → (∃𝑣 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦))∃𝑢 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑦))𝑧 = (𝑣 + 𝑢) ↔ ∃𝑣 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦))∃𝑢 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑦))𝑟 = (𝑣 + 𝑢))) |
| 59 | 55, 58 | elab 3679 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑟 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑣 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦))∃𝑢 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑦))𝑧 = (𝑣 + 𝑢)} ↔ ∃𝑣 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦))∃𝑢 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑦))𝑟 = (𝑣 + 𝑢)) |
| 60 | 59 | biimpi 216 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑟 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑣 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦))∃𝑢 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑦))𝑧 = (𝑣 + 𝑢)} → ∃𝑣 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦))∃𝑢 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑦))𝑟 = (𝑣 + 𝑢)) |
| 61 | 60 | adantl 481 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑣 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦))∃𝑢 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑦))𝑧 = (𝑣 + 𝑢)}) → ∃𝑣 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦))∃𝑢 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑦))𝑟 = (𝑣 + 𝑢)) |
| 62 | | simpl 482 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦)) ∧ 𝑢 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑦)))) → 𝜑) |
| 63 | | vex 3484 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ 𝑣 ∈ V |
| 64 | | sumeq1 15725 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (𝑥 = 𝑎 → Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦) = Σ𝑦 ∈ 𝑎 ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦)) |
| 65 | 64 | cbvmptv 5255 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦)) = (𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑎 ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦)) |
| 66 | 65 | elrnmpt 5969 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (𝑣 ∈ V → (𝑣 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦)) ↔ ∃𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)𝑣 = Σ𝑦 ∈ 𝑎 ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦))) |
| 67 | 63, 66 | ax-mp 5 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝑣 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦)) ↔ ∃𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)𝑣 = Σ𝑦 ∈ 𝑎 ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦)) |
| 68 | 67 | biimpi 216 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝑣 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦)) → ∃𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)𝑣 = Σ𝑦 ∈ 𝑎 ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦)) |
| 69 | 68 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝑣 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦)) ∧ 𝑢 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑦))) → ∃𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)𝑣 = Σ𝑦 ∈ 𝑎 ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦)) |
| 70 | | vex 3484 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ 𝑢 ∈ V |
| 71 | | sumeq1 15725 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (𝑥 = 𝑏 → Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑦) = Σ𝑦 ∈ 𝑏 ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑦)) |
| 72 | 71 | cbvmptv 5255 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑦)) = (𝑏 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑏 ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑦)) |
| 73 | 72 | elrnmpt 5969 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (𝑢 ∈ V → (𝑢 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑦)) ↔ ∃𝑏 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)𝑢 = Σ𝑦 ∈ 𝑏 ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑦))) |
| 74 | 70, 73 | ax-mp 5 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝑢 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑦)) ↔ ∃𝑏 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)𝑢 = Σ𝑦 ∈ 𝑏 ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑦)) |
| 75 | 74 | biimpi 216 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝑢 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑦)) → ∃𝑏 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)𝑢 = Σ𝑦 ∈ 𝑏 ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑦)) |
| 76 | 75 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝑣 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦)) ∧ 𝑢 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑦))) → ∃𝑏 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)𝑢 = Σ𝑦 ∈ 𝑏 ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑦)) |
| 77 | 69, 76 | jca 511 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝑣 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦)) ∧ 𝑢 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑦))) → (∃𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)𝑣 = Σ𝑦 ∈ 𝑎 ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦) ∧ ∃𝑏 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)𝑢 = Σ𝑦 ∈ 𝑏 ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑦))) |
| 78 | | reeanv 3229 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢
(∃𝑎 ∈
(𝒫 𝐴 ∩
Fin)∃𝑏 ∈
(𝒫 𝐵 ∩
Fin)(𝑣 = Σ𝑦 ∈ 𝑎 ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦) ∧ 𝑢 = Σ𝑦 ∈ 𝑏 ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑦)) ↔ (∃𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)𝑣 = Σ𝑦 ∈ 𝑎 ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦) ∧ ∃𝑏 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)𝑢 = Σ𝑦 ∈ 𝑏 ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑦))) |
| 79 | 77, 78 | sylibr 234 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝑣 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦)) ∧ 𝑢 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑦))) → ∃𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∃𝑏 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)(𝑣 = Σ𝑦 ∈ 𝑎 ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦) ∧ 𝑢 = Σ𝑦 ∈ 𝑏 ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑦))) |
| 80 | 79 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦)) ∧ 𝑢 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑦)))) → ∃𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∃𝑏 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)(𝑣 = Σ𝑦 ∈ 𝑎 ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦) ∧ 𝑢 = Σ𝑦 ∈ 𝑏 ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑦))) |
| 81 | | eqid 2737 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)) = (𝑥 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)) |
| 82 | | elinel1 4201 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢ (𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑎 ∈ 𝒫 𝐴) |
| 83 | | elpwi 4607 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢ (𝑎 ∈ 𝒫 𝐴 → 𝑎 ⊆ 𝐴) |
| 84 | | id 22 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
⊢ (𝑎 ⊆ 𝐴 → 𝑎 ⊆ 𝐴) |
| 85 | 84, 6 | sstrdi 3996 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢ (𝑎 ⊆ 𝐴 → 𝑎 ⊆ 𝑈) |
| 86 | 83, 85 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢ (𝑎 ∈ 𝒫 𝐴 → 𝑎 ⊆ 𝑈) |
| 87 | 82, 86 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ (𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑎 ⊆ 𝑈) |
| 88 | 87 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ ((𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)) → 𝑎 ⊆ 𝑈) |
| 89 | | elinel1 4201 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢ (𝑏 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) → 𝑏 ∈ 𝒫 𝐵) |
| 90 | | elpwi 4607 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢ (𝑏 ∈ 𝒫 𝐵 → 𝑏 ⊆ 𝐵) |
| 91 | | id 22 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
⊢ (𝑏 ⊆ 𝐵 → 𝑏 ⊆ 𝐵) |
| 92 | 91, 19 | sstrdi 3996 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢ (𝑏 ⊆ 𝐵 → 𝑏 ⊆ 𝑈) |
| 93 | 90, 92 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢ (𝑏 ∈ 𝒫 𝐵 → 𝑏 ⊆ 𝑈) |
| 94 | 89, 93 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ (𝑏 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) → 𝑏 ⊆ 𝑈) |
| 95 | 94 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ ((𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)) → 𝑏 ⊆ 𝑈) |
| 96 | 88, 95 | unssd 4192 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ ((𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)) → (𝑎 ∪ 𝑏) ⊆ 𝑈) |
| 97 | | vex 3484 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ 𝑎 ∈ V |
| 98 | | vex 3484 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ 𝑏 ∈ V |
| 99 | 97, 98 | unex 7764 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ (𝑎 ∪ 𝑏) ∈ V |
| 100 | 99 | elpw 4604 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ ((𝑎 ∪ 𝑏) ∈ 𝒫 𝑈 ↔ (𝑎 ∪ 𝑏) ⊆ 𝑈) |
| 101 | 96, 100 | sylibr 234 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ ((𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)) → (𝑎 ∪ 𝑏) ∈ 𝒫 𝑈) |
| 102 | | elinel2 4202 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ (𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑎 ∈ Fin) |
| 103 | 102 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ ((𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)) → 𝑎 ∈ Fin) |
| 104 | | elinel2 4202 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ (𝑏 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) → 𝑏 ∈ Fin) |
| 105 | 104 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ ((𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)) → 𝑏 ∈ Fin) |
| 106 | | unfi 9211 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ ((𝑎 ∈ Fin ∧ 𝑏 ∈ Fin) → (𝑎 ∪ 𝑏) ∈ Fin) |
| 107 | 103, 105,
106 | syl2anc 584 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ ((𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)) → (𝑎 ∪ 𝑏) ∈ Fin) |
| 108 | 101, 107 | elind 4200 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ ((𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)) → (𝑎 ∪ 𝑏) ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin)) |
| 109 | 108 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin))) → (𝑎 ∪ 𝑏) ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin)) |
| 110 | 109 | ad2antrr 726 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin))) ∧ (𝑣 = Σ𝑦 ∈ 𝑎 ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦) ∧ 𝑢 = Σ𝑦 ∈ 𝑏 ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑦))) ∧ 𝑟 = (𝑣 + 𝑢)) → (𝑎 ∪ 𝑏) ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin)) |
| 111 | | simpl 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ ((𝑣 = Σ𝑦 ∈ 𝑎 ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦) ∧ 𝑢 = Σ𝑦 ∈ 𝑏 ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑦)) → 𝑣 = Σ𝑦 ∈ 𝑎 ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦)) |
| 112 | | simpr 484 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ ((𝑣 = Σ𝑦 ∈ 𝑎 ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦) ∧ 𝑢 = Σ𝑦 ∈ 𝑏 ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑦)) → 𝑢 = Σ𝑦 ∈ 𝑏 ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑦)) |
| 113 | 111, 112 | oveq12d 7449 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ ((𝑣 = Σ𝑦 ∈ 𝑎 ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦) ∧ 𝑢 = Σ𝑦 ∈ 𝑏 ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑦)) → (𝑣 + 𝑢) = (Σ𝑦 ∈ 𝑎 ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦) + Σ𝑦 ∈ 𝑏 ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑦))) |
| 114 | 113 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (((𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)) ∧ (𝑣 = Σ𝑦 ∈ 𝑎 ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦) ∧ 𝑢 = Σ𝑦 ∈ 𝑏 ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑦))) → (𝑣 + 𝑢) = (Σ𝑦 ∈ 𝑎 ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦) + Σ𝑦 ∈ 𝑏 ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑦))) |
| 115 | 82, 83 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
⊢ (𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑎 ⊆ 𝐴) |
| 116 | 115 | sselda 3983 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢ ((𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑦 ∈ 𝑎) → 𝑦 ∈ 𝐴) |
| 117 | | fvres 6925 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 → ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦) = (𝐹‘𝑦)) |
| 118 | 116, 117 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢ ((𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑦 ∈ 𝑎) → ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦) = (𝐹‘𝑦)) |
| 119 | 118 | sumeq2dv 15738 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ (𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → Σ𝑦 ∈ 𝑎 ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦) = Σ𝑦 ∈ 𝑎 (𝐹‘𝑦)) |
| 120 | 119 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ ((𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)) → Σ𝑦 ∈ 𝑎 ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦) = Σ𝑦 ∈ 𝑎 (𝐹‘𝑦)) |
| 121 | 89, 90 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
⊢ (𝑏 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) → 𝑏 ⊆ 𝐵) |
| 122 | 121 | sselda 3983 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢ ((𝑏 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∧ 𝑦 ∈ 𝑏) → 𝑦 ∈ 𝐵) |
| 123 | | fvres 6925 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢ (𝑦 ∈ 𝐵 → ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑦) = (𝐹‘𝑦)) |
| 124 | 122, 123 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢ ((𝑏 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∧ 𝑦 ∈ 𝑏) → ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑦) = (𝐹‘𝑦)) |
| 125 | 124 | sumeq2dv 15738 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ (𝑏 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) → Σ𝑦 ∈ 𝑏 ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑦) = Σ𝑦 ∈ 𝑏 (𝐹‘𝑦)) |
| 126 | 125 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ ((𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)) → Σ𝑦 ∈ 𝑏 ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑦) = Σ𝑦 ∈ 𝑏 (𝐹‘𝑦)) |
| 127 | 120, 126 | oveq12d 7449 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ ((𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)) →
(Σ𝑦 ∈ 𝑎 ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦) + Σ𝑦 ∈ 𝑏 ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑦)) = (Σ𝑦 ∈ 𝑎 (𝐹‘𝑦) + Σ𝑦 ∈ 𝑏 (𝐹‘𝑦))) |
| 128 | 127 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (((𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)) ∧ (𝑣 = Σ𝑦 ∈ 𝑎 ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦) ∧ 𝑢 = Σ𝑦 ∈ 𝑏 ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑦))) → (Σ𝑦 ∈ 𝑎 ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦) + Σ𝑦 ∈ 𝑏 ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑦)) = (Σ𝑦 ∈ 𝑎 (𝐹‘𝑦) + Σ𝑦 ∈ 𝑏 (𝐹‘𝑦))) |
| 129 | 114, 128 | eqtrd 2777 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (((𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)) ∧ (𝑣 = Σ𝑦 ∈ 𝑎 ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦) ∧ 𝑢 = Σ𝑦 ∈ 𝑏 ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑦))) → (𝑣 + 𝑢) = (Σ𝑦 ∈ 𝑎 (𝐹‘𝑦) + Σ𝑦 ∈ 𝑏 (𝐹‘𝑦))) |
| 130 | 129 | ad4ant23 753 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin))) ∧ (𝑣 = Σ𝑦 ∈ 𝑎 ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦) ∧ 𝑢 = Σ𝑦 ∈ 𝑏 ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑦))) ∧ 𝑟 = (𝑣 + 𝑢)) → (𝑣 + 𝑢) = (Σ𝑦 ∈ 𝑎 (𝐹‘𝑦) + Σ𝑦 ∈ 𝑏 (𝐹‘𝑦))) |
| 131 | | simpr 484 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin))) ∧ (𝑣 = Σ𝑦 ∈ 𝑎 ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦) ∧ 𝑢 = Σ𝑦 ∈ 𝑏 ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑦))) ∧ 𝑟 = (𝑣 + 𝑢)) → 𝑟 = (𝑣 + 𝑢)) |
| 132 | | sge0resplit.in0 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅) |
| 133 | 132 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin))) → (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅) |
| 134 | 115 | ad2antrl 728 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin))) → 𝑎 ⊆ 𝐴) |
| 135 | 121 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ ((𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)) → 𝑏 ⊆ 𝐵) |
| 136 | 135 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin))) → 𝑏 ⊆ 𝐵) |
| 137 | | ssin0 45060 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ (((𝐴 ∩ 𝐵) = ∅ ∧ 𝑎 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐵) → (𝑎 ∩ 𝑏) = ∅) |
| 138 | 133, 134,
136, 137 | syl3anc 1373 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin))) → (𝑎 ∩ 𝑏) = ∅) |
| 139 | | eqidd 2738 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin))) → (𝑎 ∪ 𝑏) = (𝑎 ∪ 𝑏)) |
| 140 | 107 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin))) → (𝑎 ∪ 𝑏) ∈ Fin) |
| 141 | | rge0ssre 13496 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢
(0[,)+∞) ⊆ ℝ |
| 142 | | ax-resscn 11212 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ ℝ
⊆ ℂ |
| 143 | 141, 142 | sstri 3993 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢
(0[,)+∞) ⊆ ℂ |
| 144 | 2, 27 | fge0iccico 46385 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑈⟶(0[,)+∞)) |
| 145 | 144 | ad2antrr 726 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑎 ∪ 𝑏)) → 𝐹:𝑈⟶(0[,)+∞)) |
| 146 | 96 | sselda 3983 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ (((𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑎 ∪ 𝑏)) → 𝑦 ∈ 𝑈) |
| 147 | 146 | adantll 714 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑎 ∪ 𝑏)) → 𝑦 ∈ 𝑈) |
| 148 | 145, 147 | ffvelcdmd 7105 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑎 ∪ 𝑏)) → (𝐹‘𝑦) ∈ (0[,)+∞)) |
| 149 | 143, 148 | sselid 3981 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑎 ∪ 𝑏)) → (𝐹‘𝑦) ∈ ℂ) |
| 150 | 138, 139,
140, 149 | fsumsplit 15777 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin))) → Σ𝑦 ∈ (𝑎 ∪ 𝑏)(𝐹‘𝑦) = (Σ𝑦 ∈ 𝑎 (𝐹‘𝑦) + Σ𝑦 ∈ 𝑏 (𝐹‘𝑦))) |
| 151 | 150 | ad2antrr 726 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin))) ∧ (𝑣 = Σ𝑦 ∈ 𝑎 ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦) ∧ 𝑢 = Σ𝑦 ∈ 𝑏 ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑦))) ∧ 𝑟 = (𝑣 + 𝑢)) → Σ𝑦 ∈ (𝑎 ∪ 𝑏)(𝐹‘𝑦) = (Σ𝑦 ∈ 𝑎 (𝐹‘𝑦) + Σ𝑦 ∈ 𝑏 (𝐹‘𝑦))) |
| 152 | 130, 131,
151 | 3eqtr4d 2787 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin))) ∧ (𝑣 = Σ𝑦 ∈ 𝑎 ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦) ∧ 𝑢 = Σ𝑦 ∈ 𝑏 ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑦))) ∧ 𝑟 = (𝑣 + 𝑢)) → 𝑟 = Σ𝑦 ∈ (𝑎 ∪ 𝑏)(𝐹‘𝑦)) |
| 153 | | sumeq1 15725 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (𝑥 = (𝑎 ∪ 𝑏) → Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦) = Σ𝑦 ∈ (𝑎 ∪ 𝑏)(𝐹‘𝑦)) |
| 154 | 153 | rspceeqv 3645 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (((𝑎 ∪ 𝑏) ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ 𝑟 = Σ𝑦 ∈ (𝑎 ∪ 𝑏)(𝐹‘𝑦)) → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin)𝑟 = Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)) |
| 155 | 110, 152,
154 | syl2anc 584 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin))) ∧ (𝑣 = Σ𝑦 ∈ 𝑎 ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦) ∧ 𝑢 = Σ𝑦 ∈ 𝑏 ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑦))) ∧ 𝑟 = (𝑣 + 𝑢)) → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin)𝑟 = Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)) |
| 156 | 55 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin))) ∧ (𝑣 = Σ𝑦 ∈ 𝑎 ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦) ∧ 𝑢 = Σ𝑦 ∈ 𝑏 ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑦))) ∧ 𝑟 = (𝑣 + 𝑢)) → 𝑟 ∈ V) |
| 157 | 81, 155, 156 | elrnmptd 5974 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin))) ∧ (𝑣 = Σ𝑦 ∈ 𝑎 ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦) ∧ 𝑢 = Σ𝑦 ∈ 𝑏 ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑦))) ∧ 𝑟 = (𝑣 + 𝑢)) → 𝑟 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦))) |
| 158 | 157 | ex 412 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin))) ∧ (𝑣 = Σ𝑦 ∈ 𝑎 ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦) ∧ 𝑢 = Σ𝑦 ∈ 𝑏 ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑦))) → (𝑟 = (𝑣 + 𝑢) → 𝑟 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)))) |
| 159 | 158 | ex 412 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin))) → ((𝑣 = Σ𝑦 ∈ 𝑎 ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦) ∧ 𝑢 = Σ𝑦 ∈ 𝑏 ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑦)) → (𝑟 = (𝑣 + 𝑢) → 𝑟 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦))))) |
| 160 | 159 | ex 412 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝜑 → ((𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)) → ((𝑣 = Σ𝑦 ∈ 𝑎 ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦) ∧ 𝑢 = Σ𝑦 ∈ 𝑏 ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑦)) → (𝑟 = (𝑣 + 𝑢) → 𝑟 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)))))) |
| 161 | 160 | rexlimdvv 3212 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝜑 → (∃𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∃𝑏 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)(𝑣 = Σ𝑦 ∈ 𝑎 ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦) ∧ 𝑢 = Σ𝑦 ∈ 𝑏 ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑦)) → (𝑟 = (𝑣 + 𝑢) → 𝑟 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦))))) |
| 162 | 161 | imp 406 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝜑 ∧ ∃𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∃𝑏 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)(𝑣 = Σ𝑦 ∈ 𝑎 ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦) ∧ 𝑢 = Σ𝑦 ∈ 𝑏 ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑦))) → (𝑟 = (𝑣 + 𝑢) → 𝑟 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)))) |
| 163 | 62, 80, 162 | syl2anc 584 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦)) ∧ 𝑢 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑦)))) → (𝑟 = (𝑣 + 𝑢) → 𝑟 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)))) |
| 164 | 163 | ex 412 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → ((𝑣 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦)) ∧ 𝑢 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑦))) → (𝑟 = (𝑣 + 𝑢) → 𝑟 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦))))) |
| 165 | 164 | rexlimdvv 3212 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → (∃𝑣 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦))∃𝑢 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑦))𝑟 = (𝑣 + 𝑢) → 𝑟 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)))) |
| 166 | 165 | imp 406 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ ∃𝑣 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦))∃𝑢 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑦))𝑟 = (𝑣 + 𝑢)) → 𝑟 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦))) |
| 167 | 54, 61, 166 | syl2anc 584 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑣 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦))∃𝑢 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑦))𝑧 = (𝑣 + 𝑢)}) → 𝑟 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦))) |
| 168 | 167 | ex 412 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → (𝑟 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑣 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦))∃𝑢 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑦))𝑧 = (𝑣 + 𝑢)} → 𝑟 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)))) |
| 169 | 81 | elrnmpt 5969 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑟 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)) → (𝑟 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin)𝑟 = Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦))) |
| 170 | 169 | ibi 267 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑟 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)) → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin)𝑟 = Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)) |
| 171 | 170 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦))) → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin)𝑟 = Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)) |
| 172 | | nfv 1914 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢
Ⅎ𝑥𝜑 |
| 173 | | nfcv 2905 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢
Ⅎ𝑥𝑟 |
| 174 | | nfmpt1 5250 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
Ⅎ𝑥(𝑥 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)) |
| 175 | 174 | nfrn 5963 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢
Ⅎ𝑥ran
(𝑥 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)) |
| 176 | 173, 175 | nfel 2920 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢
Ⅎ𝑥 𝑟 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)) |
| 177 | 172, 176 | nfan 1899 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
Ⅎ𝑥(𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦))) |
| 178 | | nfmpt1 5250 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢
Ⅎ𝑥(𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦)) |
| 179 | 178 | nfrn 5963 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢
Ⅎ𝑥ran
(𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦)) |
| 180 | | nfmpt1 5250 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
Ⅎ𝑥(𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑦)) |
| 181 | 180 | nfrn 5963 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢
Ⅎ𝑥ran
(𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑦)) |
| 182 | | nfv 1914 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢
Ⅎ𝑥 𝑟 = (𝑣 + 𝑢) |
| 183 | 181, 182 | nfrexw 3313 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢
Ⅎ𝑥∃𝑢 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑦))𝑟 = (𝑣 + 𝑢) |
| 184 | 179, 183 | nfrexw 3313 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
Ⅎ𝑥∃𝑣 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦))∃𝑢 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑦))𝑟 = (𝑣 + 𝑢) |
| 185 | | inss2 4238 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (𝑥 ∩ 𝐴) ⊆ 𝐴 |
| 186 | 185 | sseli 3979 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (𝑦 ∈ (𝑥 ∩ 𝐴) → 𝑦 ∈ 𝐴) |
| 187 | 186 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((𝑥 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥 ∩ 𝐴)) → 𝑦 ∈ 𝐴) |
| 188 | 117 | eqcomd 2743 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 → (𝐹‘𝑦) = ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦)) |
| 189 | 187, 188 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((𝑥 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥 ∩ 𝐴)) → (𝐹‘𝑦) = ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦)) |
| 190 | 189 | sumeq2dv 15738 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) → Σ𝑦 ∈ (𝑥 ∩ 𝐴)(𝐹‘𝑦) = Σ𝑦 ∈ (𝑥 ∩ 𝐴)((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦)) |
| 191 | | sumeq1 15725 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝑥 = 𝑧 → Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦) = Σ𝑦 ∈ 𝑧 ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦)) |
| 192 | 191 | cbvmptv 5255 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦)) = (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑧 ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦)) |
| 193 | | vex 3484 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ 𝑥 ∈ V |
| 194 | 193 | inex1 5317 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (𝑥 ∩ 𝐴) ∈ V |
| 195 | 194 | elpw 4604 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((𝑥 ∩ 𝐴) ∈ 𝒫 𝐴 ↔ (𝑥 ∩ 𝐴) ⊆ 𝐴) |
| 196 | 185, 195 | mpbir 231 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (𝑥 ∩ 𝐴) ∈ 𝒫 𝐴 |
| 197 | 196 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) → (𝑥 ∩ 𝐴) ∈ 𝒫 𝐴) |
| 198 | | elinel2 4202 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) → 𝑥 ∈ Fin) |
| 199 | | inss1 4237 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (𝑥 ∩ 𝐴) ⊆ 𝑥 |
| 200 | 199 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) → (𝑥 ∩ 𝐴) ⊆ 𝑥) |
| 201 | | ssfi 9213 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((𝑥 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∩ 𝐴) ⊆ 𝑥) → (𝑥 ∩ 𝐴) ∈ Fin) |
| 202 | 198, 200,
201 | syl2anc 584 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) → (𝑥 ∩ 𝐴) ∈ Fin) |
| 203 | 197, 202 | elind 4200 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) → (𝑥 ∩ 𝐴) ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) |
| 204 | | eqidd 2738 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) → Σ𝑦 ∈ (𝑥 ∩ 𝐴)((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦) = Σ𝑦 ∈ (𝑥 ∩ 𝐴)((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦)) |
| 205 | | sumeq1 15725 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (𝑧 = (𝑥 ∩ 𝐴) → Σ𝑦 ∈ 𝑧 ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦) = Σ𝑦 ∈ (𝑥 ∩ 𝐴)((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦)) |
| 206 | 205 | rspceeqv 3645 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (((𝑥 ∩ 𝐴) ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ Σ𝑦 ∈ (𝑥 ∩ 𝐴)((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦) = Σ𝑦 ∈ (𝑥 ∩ 𝐴)((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦)) → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)Σ𝑦 ∈ (𝑥 ∩ 𝐴)((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦) = Σ𝑦 ∈ 𝑧 ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦)) |
| 207 | 203, 204,
206 | syl2anc 584 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)Σ𝑦 ∈ (𝑥 ∩ 𝐴)((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦) = Σ𝑦 ∈ 𝑧 ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦)) |
| 208 | | sumex 15724 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢
Σ𝑦 ∈
(𝑥 ∩ 𝐴)((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦) ∈ V |
| 209 | 208 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) → Σ𝑦 ∈ (𝑥 ∩ 𝐴)((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦) ∈ V) |
| 210 | 192, 207,
209 | elrnmptd 5974 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) → Σ𝑦 ∈ (𝑥 ∩ 𝐴)((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦) ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦))) |
| 211 | 190, 210 | eqeltrd 2841 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) → Σ𝑦 ∈ (𝑥 ∩ 𝐴)(𝐹‘𝑦) ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦))) |
| 212 | 211 | 3ad2ant2 1135 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ 𝑟 = Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)) → Σ𝑦 ∈ (𝑥 ∩ 𝐴)(𝐹‘𝑦) ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦))) |
| 213 | | sumeq1 15725 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝑥 = 𝑧 → Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑦) = Σ𝑦 ∈ 𝑧 ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑦)) |
| 214 | 213 | cbvmptv 5255 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑦)) = (𝑧 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑧 ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑦)) |
| 215 | | inss2 4238 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (𝑥 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐵 |
| 216 | 193 | inex1 5317 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (𝑥 ∩ 𝐵) ∈ V |
| 217 | 216 | elpw 4604 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((𝑥 ∩ 𝐵) ∈ 𝒫 𝐵 ↔ (𝑥 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐵) |
| 218 | 215, 217 | mpbir 231 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (𝑥 ∩ 𝐵) ∈ 𝒫 𝐵 |
| 219 | 218 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ 𝑟 = Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)) → (𝑥 ∩ 𝐵) ∈ 𝒫 𝐵) |
| 220 | | inss1 4237 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (𝑥 ∩ 𝐵) ⊆ 𝑥 |
| 221 | 220 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) → (𝑥 ∩ 𝐵) ⊆ 𝑥) |
| 222 | | ssfi 9213 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((𝑥 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∩ 𝐵) ⊆ 𝑥) → (𝑥 ∩ 𝐵) ∈ Fin) |
| 223 | 198, 221,
222 | syl2anc 584 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) → (𝑥 ∩ 𝐵) ∈ Fin) |
| 224 | 223 | 3ad2ant2 1135 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ 𝑟 = Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)) → (𝑥 ∩ 𝐵) ∈ Fin) |
| 225 | 219, 224 | elind 4200 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ 𝑟 = Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)) → (𝑥 ∩ 𝐵) ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)) |
| 226 | 215 | sseli 3979 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (𝑦 ∈ (𝑥 ∩ 𝐵) → 𝑦 ∈ 𝐵) |
| 227 | 123 | eqcomd 2743 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (𝑦 ∈ 𝐵 → (𝐹‘𝑦) = ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑦)) |
| 228 | 226, 227 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (𝑦 ∈ (𝑥 ∩ 𝐵) → (𝐹‘𝑦) = ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑦)) |
| 229 | 228 | sumeq2i 15734 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢
Σ𝑦 ∈
(𝑥 ∩ 𝐵)(𝐹‘𝑦) = Σ𝑦 ∈ (𝑥 ∩ 𝐵)((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑦) |
| 230 | 229 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin)) → Σ𝑦 ∈ (𝑥 ∩ 𝐵)(𝐹‘𝑦) = Σ𝑦 ∈ (𝑥 ∩ 𝐵)((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑦)) |
| 231 | 230 | 3adant3 1133 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ 𝑟 = Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)) → Σ𝑦 ∈ (𝑥 ∩ 𝐵)(𝐹‘𝑦) = Σ𝑦 ∈ (𝑥 ∩ 𝐵)((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑦)) |
| 232 | | sumeq1 15725 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝑧 = (𝑥 ∩ 𝐵) → Σ𝑦 ∈ 𝑧 ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑦) = Σ𝑦 ∈ (𝑥 ∩ 𝐵)((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑦)) |
| 233 | 232 | rspceeqv 3645 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (((𝑥 ∩ 𝐵) ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∧ Σ𝑦 ∈ (𝑥 ∩ 𝐵)(𝐹‘𝑦) = Σ𝑦 ∈ (𝑥 ∩ 𝐵)((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑦)) → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)Σ𝑦 ∈ (𝑥 ∩ 𝐵)(𝐹‘𝑦) = Σ𝑦 ∈ 𝑧 ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑦)) |
| 234 | 225, 231,
233 | syl2anc 584 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ 𝑟 = Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)) → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)Σ𝑦 ∈ (𝑥 ∩ 𝐵)(𝐹‘𝑦) = Σ𝑦 ∈ 𝑧 ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑦)) |
| 235 | | sumex 15724 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢
Σ𝑦 ∈
(𝑥 ∩ 𝐵)(𝐹‘𝑦) ∈ V |
| 236 | 235 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ 𝑟 = Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)) → Σ𝑦 ∈ (𝑥 ∩ 𝐵)(𝐹‘𝑦) ∈ V) |
| 237 | 214, 234,
236 | elrnmptd 5974 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ 𝑟 = Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)) → Σ𝑦 ∈ (𝑥 ∩ 𝐵)(𝐹‘𝑦) ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑦))) |
| 238 | | simp3 1139 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ 𝑟 = Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)) → 𝑟 = Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)) |
| 239 | 185 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (𝜑 → (𝑥 ∩ 𝐴) ⊆ 𝐴) |
| 240 | 215 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (𝜑 → (𝑥 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐵) |
| 241 | | ssin0 45060 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (((𝐴 ∩ 𝐵) = ∅ ∧ (𝑥 ∩ 𝐴) ⊆ 𝐴 ∧ (𝑥 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐵) → ((𝑥 ∩ 𝐴) ∩ (𝑥 ∩ 𝐵)) = ∅) |
| 242 | 132, 239,
240, 241 | syl3anc 1373 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∩ 𝐴) ∩ (𝑥 ∩ 𝐵)) = ∅) |
| 243 | 242 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin)) → ((𝑥 ∩ 𝐴) ∩ (𝑥 ∩ 𝐵)) = ∅) |
| 244 | | elinel1 4201 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) → 𝑥 ∈ 𝒫 𝑈) |
| 245 | | elpwi 4607 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑈 → 𝑥 ⊆ 𝑈) |
| 246 | 244, 245 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) → 𝑥 ⊆ 𝑈) |
| 247 | 4 | ineq2i 4217 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (𝑥 ∩ 𝑈) = (𝑥 ∩ (𝐴 ∪ 𝐵)) |
| 248 | 247 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (𝑥 ⊆ 𝑈 → (𝑥 ∩ 𝑈) = (𝑥 ∩ (𝐴 ∪ 𝐵))) |
| 249 | | dfss 3970 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (𝑥 ⊆ 𝑈 ↔ 𝑥 = (𝑥 ∩ 𝑈)) |
| 250 | 249 | biimpi 216 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (𝑥 ⊆ 𝑈 → 𝑥 = (𝑥 ∩ 𝑈)) |
| 251 | | indi 4284 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (𝑥 ∩ (𝐴 ∪ 𝐵)) = ((𝑥 ∩ 𝐴) ∪ (𝑥 ∩ 𝐵)) |
| 252 | 251 | eqcomi 2746 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ ((𝑥 ∩ 𝐴) ∪ (𝑥 ∩ 𝐵)) = (𝑥 ∩ (𝐴 ∪ 𝐵)) |
| 253 | 252 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (𝑥 ⊆ 𝑈 → ((𝑥 ∩ 𝐴) ∪ (𝑥 ∩ 𝐵)) = (𝑥 ∩ (𝐴 ∪ 𝐵))) |
| 254 | 248, 250,
253 | 3eqtr4d 2787 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (𝑥 ⊆ 𝑈 → 𝑥 = ((𝑥 ∩ 𝐴) ∪ (𝑥 ∩ 𝐵))) |
| 255 | 246, 254 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) → 𝑥 = ((𝑥 ∩ 𝐴) ∪ (𝑥 ∩ 𝐵))) |
| 256 | 255 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin)) → 𝑥 = ((𝑥 ∩ 𝐴) ∪ (𝑥 ∩ 𝐵))) |
| 257 | 198 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin)) → 𝑥 ∈ Fin) |
| 258 | 144 | ad2antrr 726 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝐹:𝑈⟶(0[,)+∞)) |
| 259 | 246 | sselda 3983 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((𝑥 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑦 ∈ 𝑈) |
| 260 | 259 | adantll 714 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑦 ∈ 𝑈) |
| 261 | 258, 260 | ffvelcdmd 7105 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → (𝐹‘𝑦) ∈ (0[,)+∞)) |
| 262 | 143, 261 | sselid 3981 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → (𝐹‘𝑦) ∈ ℂ) |
| 263 | 243, 256,
257, 262 | fsumsplit 15777 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin)) → Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦) = (Σ𝑦 ∈ (𝑥 ∩ 𝐴)(𝐹‘𝑦) + Σ𝑦 ∈ (𝑥 ∩ 𝐵)(𝐹‘𝑦))) |
| 264 | 263 | 3adant3 1133 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ 𝑟 = Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)) → Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦) = (Σ𝑦 ∈ (𝑥 ∩ 𝐴)(𝐹‘𝑦) + Σ𝑦 ∈ (𝑥 ∩ 𝐵)(𝐹‘𝑦))) |
| 265 | 238, 264 | eqtrd 2777 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ 𝑟 = Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)) → 𝑟 = (Σ𝑦 ∈ (𝑥 ∩ 𝐴)(𝐹‘𝑦) + Σ𝑦 ∈ (𝑥 ∩ 𝐵)(𝐹‘𝑦))) |
| 266 | | oveq2 7439 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝑢 = Σ𝑦 ∈ (𝑥 ∩ 𝐵)(𝐹‘𝑦) → (Σ𝑦 ∈ (𝑥 ∩ 𝐴)(𝐹‘𝑦) + 𝑢) = (Σ𝑦 ∈ (𝑥 ∩ 𝐴)(𝐹‘𝑦) + Σ𝑦 ∈ (𝑥 ∩ 𝐵)(𝐹‘𝑦))) |
| 267 | 266 | rspceeqv 3645 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢
((Σ𝑦 ∈
(𝑥 ∩ 𝐵)(𝐹‘𝑦) ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑦)) ∧ 𝑟 = (Σ𝑦 ∈ (𝑥 ∩ 𝐴)(𝐹‘𝑦) + Σ𝑦 ∈ (𝑥 ∩ 𝐵)(𝐹‘𝑦))) → ∃𝑢 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑦))𝑟 = (Σ𝑦 ∈ (𝑥 ∩ 𝐴)(𝐹‘𝑦) + 𝑢)) |
| 268 | 237, 265,
267 | syl2anc 584 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ 𝑟 = Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)) → ∃𝑢 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑦))𝑟 = (Σ𝑦 ∈ (𝑥 ∩ 𝐴)(𝐹‘𝑦) + 𝑢)) |
| 269 | | oveq1 7438 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝑣 = Σ𝑦 ∈ (𝑥 ∩ 𝐴)(𝐹‘𝑦) → (𝑣 + 𝑢) = (Σ𝑦 ∈ (𝑥 ∩ 𝐴)(𝐹‘𝑦) + 𝑢)) |
| 270 | 269 | eqeq2d 2748 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝑣 = Σ𝑦 ∈ (𝑥 ∩ 𝐴)(𝐹‘𝑦) → (𝑟 = (𝑣 + 𝑢) ↔ 𝑟 = (Σ𝑦 ∈ (𝑥 ∩ 𝐴)(𝐹‘𝑦) + 𝑢))) |
| 271 | 270 | rexbidv 3179 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝑣 = Σ𝑦 ∈ (𝑥 ∩ 𝐴)(𝐹‘𝑦) → (∃𝑢 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑦))𝑟 = (𝑣 + 𝑢) ↔ ∃𝑢 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑦))𝑟 = (Σ𝑦 ∈ (𝑥 ∩ 𝐴)(𝐹‘𝑦) + 𝑢))) |
| 272 | 271 | rspcev 3622 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
((Σ𝑦 ∈
(𝑥 ∩ 𝐴)(𝐹‘𝑦) ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦)) ∧ ∃𝑢 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑦))𝑟 = (Σ𝑦 ∈ (𝑥 ∩ 𝐴)(𝐹‘𝑦) + 𝑢)) → ∃𝑣 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦))∃𝑢 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑦))𝑟 = (𝑣 + 𝑢)) |
| 273 | 212, 268,
272 | syl2anc 584 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ 𝑟 = Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)) → ∃𝑣 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦))∃𝑢 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑦))𝑟 = (𝑣 + 𝑢)) |
| 274 | 273 | 3exp 1120 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) → (𝑟 = Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦) → ∃𝑣 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦))∃𝑢 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑦))𝑟 = (𝑣 + 𝑢)))) |
| 275 | 274 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦))) → (𝑥 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) → (𝑟 = Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦) → ∃𝑣 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦))∃𝑢 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑦))𝑟 = (𝑣 + 𝑢)))) |
| 276 | 177, 184,
275 | rexlimd 3266 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦))) → (∃𝑥 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin)𝑟 = Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦) → ∃𝑣 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦))∃𝑢 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑦))𝑟 = (𝑣 + 𝑢))) |
| 277 | 171, 276 | mpd 15 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦))) → ∃𝑣 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦))∃𝑢 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑦))𝑟 = (𝑣 + 𝑢)) |
| 278 | 277, 59 | sylibr 234 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦))) → 𝑟 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑣 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦))∃𝑢 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑦))𝑧 = (𝑣 + 𝑢)}) |
| 279 | 278 | ex 412 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → (𝑟 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)) → 𝑟 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑣 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦))∃𝑢 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑦))𝑧 = (𝑣 + 𝑢)})) |
| 280 | 168, 279 | impbid 212 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → (𝑟 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑣 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦))∃𝑢 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑦))𝑧 = (𝑣 + 𝑢)} ↔ 𝑟 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)))) |
| 281 | 280 | alrimiv 1927 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → ∀𝑟(𝑟 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑣 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦))∃𝑢 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑦))𝑧 = (𝑣 + 𝑢)} ↔ 𝑟 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)))) |
| 282 | | dfcleq 2730 |
. . . . . 6
⊢ ({𝑧 ∣ ∃𝑣 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦))∃𝑢 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑦))𝑧 = (𝑣 + 𝑢)} = ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)) ↔ ∀𝑟(𝑟 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑣 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦))∃𝑢 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑦))𝑧 = (𝑣 + 𝑢)} ↔ 𝑟 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)))) |
| 283 | 281, 282 | sylibr 234 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → {𝑧 ∣ ∃𝑣 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦))∃𝑢 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑦))𝑧 = (𝑣 + 𝑢)} = ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦))) |
| 284 | 283 | supeq1d 9486 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → sup({𝑧 ∣ ∃𝑣 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦))∃𝑢 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑦))𝑧 = (𝑣 + 𝑢)}, ℝ, < ) = sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)), ℝ, < )) |
| 285 | 26, 53, 284 | 3eqtrrd 2782 |
. . 3
⊢ (𝜑 → sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)), ℝ, < ) = (sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦)), ℝ, < ) +𝑒
sup(ran (𝑥 ∈
(𝒫 𝐵 ∩ Fin)
↦ Σ𝑦 ∈
𝑥 ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑦)), ℝ, < ))) |
| 286 | 13, 2, 14 | sge0supre 46404 |
. . 3
⊢ (𝜑 →
(Σ^‘𝐹) = sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)), ℝ, < )) |
| 287 | 16, 23 | oveq12d 7449 |
. . 3
⊢ (𝜑 →
((Σ^‘(𝐹 ↾ 𝐴)) +𝑒
(Σ^‘(𝐹 ↾ 𝐵))) = (sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦)), ℝ, < ) +𝑒
sup(ran (𝑥 ∈
(𝒫 𝐵 ∩ Fin)
↦ Σ𝑦 ∈
𝑥 ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑦)), ℝ, < ))) |
| 288 | 285, 286,
287 | 3eqtr4d 2787 |
. 2
⊢ (𝜑 →
(Σ^‘𝐹) =
((Σ^‘(𝐹 ↾ 𝐴)) +𝑒
(Σ^‘(𝐹 ↾ 𝐵)))) |
| 289 | | rexadd 13274 |
. . 3
⊢
(((Σ^‘(𝐹 ↾ 𝐴)) ∈ ℝ ∧
(Σ^‘(𝐹 ↾ 𝐵)) ∈ ℝ) →
((Σ^‘(𝐹 ↾ 𝐴)) +𝑒
(Σ^‘(𝐹 ↾ 𝐵))) =
((Σ^‘(𝐹 ↾ 𝐴)) +
(Σ^‘(𝐹 ↾ 𝐵)))) |
| 290 | 15, 22, 289 | syl2anc 584 |
. 2
⊢ (𝜑 →
((Σ^‘(𝐹 ↾ 𝐴)) +𝑒
(Σ^‘(𝐹 ↾ 𝐵))) =
((Σ^‘(𝐹 ↾ 𝐴)) +
(Σ^‘(𝐹 ↾ 𝐵)))) |
| 291 | 288, 290 | eqtrd 2777 |
1
⊢ (𝜑 →
(Σ^‘𝐹) =
((Σ^‘(𝐹 ↾ 𝐴)) +
(Σ^‘(𝐹 ↾ 𝐵)))) |