Theorem smndex1bas 18460

Description: The base set of the monoid of endofunctions on ℕ₀ restricted to the modulo function 𝐼 and the constant functions (𝐺‘𝐾). (Contributed by AV, 12-Feb-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
smndex1ibas.m	⊢ 𝑀 = (EndoFMnd‘ℕ0)
smndex1ibas.n	⊢ 𝑁 ∈ ℕ
smndex1ibas.i	⊢ 𝐼 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝑥 mod 𝑁))
smndex1ibas.g	⊢ 𝐺 = (𝑛 ∈ (0..^𝑁) ↦ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ 𝑛))
smndex1mgm.b	⊢ 𝐵 = ({𝐼} ∪ ∪ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(𝐺‘𝑛)})
smndex1mgm.s	⊢ 𝑆 = (𝑀 ↾s 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
smndex1bas	⊢ (Base‘𝑆) = 𝐵

Distinct variable groups:   𝑥,𝑁,𝑛   𝑥,𝑀   𝑛,𝐺   𝑛,𝑀

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥,𝑛)   𝑆(𝑥,𝑛)   𝐺(𝑥)   𝐼(𝑥,𝑛)

Proof of Theorem smndex1bas

Step	Hyp	Ref	Expression
1		smndex1ibas.m	. . . 4 ⊢ 𝑀 = (EndoFMnd‘ℕ0)
2		smndex1ibas.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ
3		smndex1ibas.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝑥 mod 𝑁))
4		smndex1ibas.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (𝑛 ∈ (0..^𝑁) ↦ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ 𝑛))
5		smndex1mgm.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = ({𝐼} ∪ ∪ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(𝐺‘𝑛)})
6	1, 2, 3, 4, 5	smndex1basss 18459	. . 3 ⊢ 𝐵 ⊆ (Base‘𝑀)
7		dfss 3901	. . 3 ⊢ (𝐵 ⊆ (Base‘𝑀) ↔ 𝐵 = (𝐵 ∩ (Base‘𝑀)))
8	6, 7	mpbi 229	. 2 ⊢ 𝐵 = (𝐵 ∩ (Base‘𝑀))
9		snex 5349	. . . . 5 ⊢ {𝐼} ∈ V
10		ovex 7288	. . . . . 6 ⊢ (0..^𝑁) ∈ V
11		snex 5349	. . . . . 6 ⊢ {(𝐺‘𝑛)} ∈ V
12	10, 11	iunex 7784	. . . . 5 ⊢ ∪ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(𝐺‘𝑛)} ∈ V
13	9, 12	unex 7574	. . . 4 ⊢ ({𝐼} ∪ ∪ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(𝐺‘𝑛)}) ∈ V
14	5, 13	eqeltri 2835	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ V
15		smndex1mgm.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (𝑀 ↾s 𝐵)
16		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑀) = (Base‘𝑀)
17	15, 16	ressbas 16873	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ V → (𝐵 ∩ (Base‘𝑀)) = (Base‘𝑆))
18	14, 17	ax-mp 5	. 2 ⊢ (𝐵 ∩ (Base‘𝑀)) = (Base‘𝑆)
19	8, 18	eqtr2i 2767	1 ⊢ (Base‘𝑆) = 𝐵

Syntax hints:   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  Vcvv 3422   ∪ cun 3881   ∩ cin 3882   ⊆ wss 3883  {csn 4558  ∪ ciun 4921   ↦ cmpt 5153  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  0cc0 10802  ℕcn 11903  ℕ₀cn0 12163  ..^cfzo 13311   mod cmo 13517  Basecbs 16840   ↾_s cress 16867  EndoFMndcefmnd 18422

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-pre-sup 10880

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-er 8456  df-map 8575  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-sup 9131  df-inf 9132  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-4 11968  df-5 11969  df-6 11970  df-7 11971  df-8 11972  df-9 11973  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-rp 12660  df-fz 13169  df-fzo 13312  df-fl 13440  df-mod 13518  df-struct 16776  df-sets 16793  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-ress 16868  df-plusg 16901  df-tset 16907  df-efmnd 18423

This theorem is referenced by:  smndex1mgm  18461  smndex1sgrp  18462  smndex1mnd  18464  smndex1id  18465