Theorem smndex1bas 18849

Description: The base set of the monoid of endofunctions on ℕ₀ restricted to the modulo function 𝐼 and the constant functions (𝐺‘𝐾). (Contributed by AV, 12-Feb-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
smndex1ibas.m	⊢ 𝑀 = (EndoFMnd‘ℕ0)
smndex1ibas.n	⊢ 𝑁 ∈ ℕ
smndex1ibas.i	⊢ 𝐼 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝑥 mod 𝑁))
smndex1ibas.g	⊢ 𝐺 = (𝑛 ∈ (0..^𝑁) ↦ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ 𝑛))
smndex1mgm.b	⊢ 𝐵 = ({𝐼} ∪ ∪ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(𝐺‘𝑛)})
smndex1mgm.s	⊢ 𝑆 = (𝑀 ↾s 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
smndex1bas	⊢ (Base‘𝑆) = 𝐵

Distinct variable groups:   𝑥,𝑁,𝑛   𝑥,𝑀   𝑛,𝐺   𝑛,𝑀

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥,𝑛)   𝑆(𝑥,𝑛)   𝐺(𝑥)   𝐼(𝑥,𝑛)

Proof of Theorem smndex1bas

Step	Hyp	Ref	Expression
1		smndex1ibas.m	. . . 4 ⊢ 𝑀 = (EndoFMnd‘ℕ0)
2		smndex1ibas.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ
3		smndex1ibas.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝑥 mod 𝑁))
4		smndex1ibas.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (𝑛 ∈ (0..^𝑁) ↦ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ 𝑛))
5		smndex1mgm.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = ({𝐼} ∪ ∪ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(𝐺‘𝑛)})
6	1, 2, 3, 4, 5	smndex1basss 18848	. . 3 ⊢ 𝐵 ⊆ (Base‘𝑀)
7		dfss 3962	. . 3 ⊢ (𝐵 ⊆ (Base‘𝑀) ↔ 𝐵 = (𝐵 ∩ (Base‘𝑀)))
8	6, 7	mpbi 229	. 2 ⊢ 𝐵 = (𝐵 ∩ (Base‘𝑀))
9		snex 5427	. . . . 5 ⊢ {𝐼} ∈ V
10		ovex 7447	. . . . . 6 ⊢ (0..^𝑁) ∈ V
11		snex 5427	. . . . . 6 ⊢ {(𝐺‘𝑛)} ∈ V
12	10, 11	iunex 7966	. . . . 5 ⊢ ∪ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(𝐺‘𝑛)} ∈ V
13	9, 12	unex 7742	. . . 4 ⊢ ({𝐼} ∪ ∪ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(𝐺‘𝑛)}) ∈ V
14	5, 13	eqeltri 2824	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ V
15		smndex1mgm.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (𝑀 ↾s 𝐵)
16		eqid 2727	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑀) = (Base‘𝑀)
17	15, 16	ressbas 17206	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ V → (𝐵 ∩ (Base‘𝑀)) = (Base‘𝑆))
18	14, 17	ax-mp 5	. 2 ⊢ (𝐵 ∩ (Base‘𝑀)) = (Base‘𝑆)
19	8, 18	eqtr2i 2756	1 ⊢ (Base‘𝑆) = 𝐵

Syntax hints:   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  Vcvv 3469   ∪ cun 3942   ∩ cin 3943   ⊆ wss 3944  {csn 4624  ∪ ciun 4991   ↦ cmpt 5225  ‘cfv 6542  (class class class)co 7414  0cc0 11130  ℕcn 12234  ℕ₀cn0 12494  ..^cfzo 13651   mod cmo 13858  Basecbs 17171   ↾_s cress 17200  EndoFMndcefmnd 18811

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207  ax-pre-sup 11208

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8718  df-map 8838  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-sup 9457  df-inf 9458  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11894  df-nn 12235  df-2 12297  df-3 12298  df-4 12299  df-5 12300  df-6 12301  df-7 12302  df-8 12303  df-9 12304  df-n0 12495  df-z 12581  df-uz 12845  df-rp 12999  df-fz 13509  df-fzo 13652  df-fl 13781  df-mod 13859  df-struct 17107  df-sets 17124  df-slot 17142  df-ndx 17154  df-base 17172  df-ress 17201  df-plusg 17237  df-tset 17243  df-efmnd 18812

This theorem is referenced by:  smndex1mgm  18850  smndex1sgrp  18851  smndex1mnd  18853  smndex1id  18854