Theorem smndex1bas 18831

Description: The base set of the monoid of endofunctions on ℕ₀ restricted to the modulo function 𝐼 and the constant functions (𝐺‘𝐾). (Contributed by AV, 12-Feb-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
smndex1ibas.m	⊢ 𝑀 = (EndoFMnd‘ℕ0)
smndex1ibas.n	⊢ 𝑁 ∈ ℕ
smndex1ibas.i	⊢ 𝐼 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝑥 mod 𝑁))
smndex1ibas.g	⊢ 𝐺 = (𝑛 ∈ (0..^𝑁) ↦ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ 𝑛))
smndex1mgm.b	⊢ 𝐵 = ({𝐼} ∪ ∪ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(𝐺‘𝑛)})
smndex1mgm.s	⊢ 𝑆 = (𝑀 ↾s 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
smndex1bas	⊢ (Base‘𝑆) = 𝐵

Distinct variable groups:   𝑥,𝑁,𝑛   𝑥,𝑀   𝑛,𝐺   𝑛,𝑀

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥,𝑛)   𝑆(𝑥,𝑛)   𝐺(𝑥)   𝐼(𝑥,𝑛)

Proof of Theorem smndex1bas

Step	Hyp	Ref	Expression
1		smndex1ibas.m	. . . 4 ⊢ 𝑀 = (EndoFMnd‘ℕ0)
2		smndex1ibas.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ
3		smndex1ibas.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝑥 mod 𝑁))
4		smndex1ibas.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (𝑛 ∈ (0..^𝑁) ↦ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ 𝑛))
5		smndex1mgm.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = ({𝐼} ∪ ∪ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(𝐺‘𝑛)})
6	1, 2, 3, 4, 5	smndex1basss 18830	. . 3 ⊢ 𝐵 ⊆ (Base‘𝑀)
7		dfss 3961	. . 3 ⊢ (𝐵 ⊆ (Base‘𝑀) ↔ 𝐵 = (𝐵 ∩ (Base‘𝑀)))
8	6, 7	mpbi 229	. 2 ⊢ 𝐵 = (𝐵 ∩ (Base‘𝑀))
9		snex 5424	. . . . 5 ⊢ {𝐼} ∈ V
10		ovex 7438	. . . . . 6 ⊢ (0..^𝑁) ∈ V
11		snex 5424	. . . . . 6 ⊢ {(𝐺‘𝑛)} ∈ V
12	10, 11	iunex 7954	. . . . 5 ⊢ ∪ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(𝐺‘𝑛)} ∈ V
13	9, 12	unex 7730	. . . 4 ⊢ ({𝐼} ∪ ∪ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(𝐺‘𝑛)}) ∈ V
14	5, 13	eqeltri 2823	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ V
15		smndex1mgm.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (𝑀 ↾s 𝐵)
16		eqid 2726	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑀) = (Base‘𝑀)
17	15, 16	ressbas 17188	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ V → (𝐵 ∩ (Base‘𝑀)) = (Base‘𝑆))
18	14, 17	ax-mp 5	. 2 ⊢ (𝐵 ∩ (Base‘𝑀)) = (Base‘𝑆)
19	8, 18	eqtr2i 2755	1 ⊢ (Base‘𝑆) = 𝐵

Syntax hints:   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3468   ∪ cun 3941   ∩ cin 3942   ⊆ wss 3943  {csn 4623  ∪ ciun 4990   ↦ cmpt 5224  ‘cfv 6537  (class class class)co 7405  0cc0 11112  ℕcn 12216  ℕ₀cn0 12476  ..^cfzo 13633   mod cmo 13840  Basecbs 17153   ↾_s cress 17182  EndoFMndcefmnd 18793

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-inf 9440  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-rp 12981  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-fl 13763  df-mod 13841  df-struct 17089  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-ress 17183  df-plusg 17219  df-tset 17225  df-efmnd 18794

This theorem is referenced by:  smndex1mgm  18832  smndex1sgrp  18833  smndex1mnd  18835  smndex1id  18836