Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  smndex1bas Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem smndex1bas 18050
 Description: The base set of the monoid of endofunctions on ℕ0 restricted to the modulo function 𝐼 and the constant functions (𝐺‘𝐾). (Contributed by AV, 12-Feb-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
smndex1ibas.m 𝑀 = (EndoFMnd‘ℕ0)
smndex1ibas.n 𝑁 ∈ ℕ
smndex1ibas.i 𝐼 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝑥 mod 𝑁))
smndex1ibas.g 𝐺 = (𝑛 ∈ (0..^𝑁) ↦ (𝑥 ∈ ℕ0𝑛))
smndex1mgm.b 𝐵 = ({𝐼} ∪ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(𝐺𝑛)})
smndex1mgm.s 𝑆 = (𝑀s 𝐵)
Assertion
Ref Expression
smndex1bas (Base‘𝑆) = 𝐵
Distinct variable groups:   𝑥,𝑁,𝑛   𝑥,𝑀   𝑛,𝐺   𝑛,𝑀
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥,𝑛)   𝑆(𝑥,𝑛)   𝐺(𝑥)   𝐼(𝑥,𝑛)

Proof of Theorem smndex1bas
StepHypRef Expression
1 smndex1ibas.m . . . 4 𝑀 = (EndoFMnd‘ℕ0)
2 smndex1ibas.n . . . 4 𝑁 ∈ ℕ
3 smndex1ibas.i . . . 4 𝐼 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝑥 mod 𝑁))
4 smndex1ibas.g . . . 4 𝐺 = (𝑛 ∈ (0..^𝑁) ↦ (𝑥 ∈ ℕ0𝑛))
5 smndex1mgm.b . . . 4 𝐵 = ({𝐼} ∪ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(𝐺𝑛)})
61, 2, 3, 4, 5smndex1basss 18049 . . 3 𝐵 ⊆ (Base‘𝑀)
7 dfss 3928 . . 3 (𝐵 ⊆ (Base‘𝑀) ↔ 𝐵 = (𝐵 ∩ (Base‘𝑀)))
86, 7mpbi 233 . 2 𝐵 = (𝐵 ∩ (Base‘𝑀))
9 snex 5305 . . . . 5 {𝐼} ∈ V
10 ovex 7163 . . . . . 6 (0..^𝑁) ∈ V
11 snex 5305 . . . . . 6 {(𝐺𝑛)} ∈ V
1210, 11iunex 7644 . . . . 5 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(𝐺𝑛)} ∈ V
139, 12unex 7444 . . . 4 ({𝐼} ∪ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(𝐺𝑛)}) ∈ V
145, 13eqeltri 2908 . . 3 𝐵 ∈ V
15 smndex1mgm.s . . . 4 𝑆 = (𝑀s 𝐵)
16 eqid 2821 . . . 4 (Base‘𝑀) = (Base‘𝑀)
1715, 16ressbas 16533 . . 3 (𝐵 ∈ V → (𝐵 ∩ (Base‘𝑀)) = (Base‘𝑆))
1814, 17ax-mp 5 . 2 (𝐵 ∩ (Base‘𝑀)) = (Base‘𝑆)
198, 18eqtr2i 2845 1 (Base‘𝑆) = 𝐵
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   = wceq 1538   ∈ wcel 2115  Vcvv 3471   ∪ cun 3908   ∩ cin 3909   ⊆ wss 3910  {csn 4540  ∪ ciun 4892   ↦ cmpt 5119  ‘cfv 6328  (class class class)co 7130  0cc0 10514  ℕcn 11615  ℕ0cn0 11875  ..^cfzo 13016   mod cmo 13220  Basecbs 16462   ↾s cress 16463  EndoFMndcefmnd 18012 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2178  ax-ext 2793  ax-rep 5163  ax-sep 5176  ax-nul 5183  ax-pow 5239  ax-pr 5303  ax-un 7436  ax-cnex 10570  ax-resscn 10571  ax-1cn 10572  ax-icn 10573  ax-addcl 10574  ax-addrcl 10575  ax-mulcl 10576  ax-mulrcl 10577  ax-mulcom 10578  ax-addass 10579  ax-mulass 10580  ax-distr 10581  ax-i2m1 10582  ax-1ne0 10583  ax-1rid 10584  ax-rnegex 10585  ax-rrecex 10586  ax-cnre 10587  ax-pre-lttri 10588  ax-pre-lttrn 10589  ax-pre-ltadd 10590  ax-pre-mulgt0 10591  ax-pre-sup 10592 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2623  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2892  df-nfc 2960  df-ne 3008  df-nel 3112  df-ral 3131  df-rex 3132  df-reu 3133  df-rmo 3134  df-rab 3135  df-v 3473  df-sbc 3750  df-csb 3858  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4267  df-if 4441  df-pw 4514  df-sn 4541  df-pr 4543  df-tp 4545  df-op 4547  df-uni 4812  df-int 4850  df-iun 4894  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5120  df-tr 5146  df-id 5433  df-eprel 5438  df-po 5447  df-so 5448  df-fr 5487  df-we 5489  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-pred 6121  df-ord 6167  df-on 6168  df-lim 6169  df-suc 6170  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7088  df-ov 7133  df-oprab 7134  df-mpo 7135  df-om 7556  df-1st 7664  df-2nd 7665  df-wrecs 7922  df-recs 7983  df-rdg 8021  df-1o 8077  df-oadd 8081  df-er 8264  df-map 8383  df-en 8485  df-dom 8486  df-sdom 8487  df-fin 8488  df-sup 8882  df-inf 8883  df-pnf 10654  df-mnf 10655  df-xr 10656  df-ltxr 10657  df-le 10658  df-sub 10849  df-neg 10850  df-div 11275  df-nn 11616  df-2 11678  df-3 11679  df-4 11680  df-5 11681  df-6 11682  df-7 11683  df-8 11684  df-9 11685  df-n0 11876  df-z 11960  df-uz 12222  df-rp 12368  df-fz 12876  df-fzo 13017  df-fl 13145  df-mod 13221  df-struct 16464  df-ndx 16465  df-slot 16466  df-base 16468  df-sets 16469  df-ress 16470  df-plusg 16557  df-tset 16563  df-efmnd 18013 This theorem is referenced by:  smndex1mgm  18051  smndex1sgrp  18052  smndex1mnd  18054  smndex1id  18055
 Copyright terms: Public domain W3C validator