Theorem smndex1bas 18545

Description: The base set of the monoid of endofunctions on ℕ₀ restricted to the modulo function 𝐼 and the constant functions (𝐺‘𝐾). (Contributed by AV, 12-Feb-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
smndex1ibas.m	⊢ 𝑀 = (EndoFMnd‘ℕ0)
smndex1ibas.n	⊢ 𝑁 ∈ ℕ
smndex1ibas.i	⊢ 𝐼 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝑥 mod 𝑁))
smndex1ibas.g	⊢ 𝐺 = (𝑛 ∈ (0..^𝑁) ↦ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ 𝑛))
smndex1mgm.b	⊢ 𝐵 = ({𝐼} ∪ ∪ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(𝐺‘𝑛)})
smndex1mgm.s	⊢ 𝑆 = (𝑀 ↾s 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
smndex1bas	⊢ (Base‘𝑆) = 𝐵

Distinct variable groups:   𝑥,𝑁,𝑛   𝑥,𝑀   𝑛,𝐺   𝑛,𝑀

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥,𝑛)   𝑆(𝑥,𝑛)   𝐺(𝑥)   𝐼(𝑥,𝑛)

Proof of Theorem smndex1bas

Step	Hyp	Ref	Expression
1		smndex1ibas.m	. . . 4 ⊢ 𝑀 = (EndoFMnd‘ℕ0)
2		smndex1ibas.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ
3		smndex1ibas.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝑥 mod 𝑁))
4		smndex1ibas.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (𝑛 ∈ (0..^𝑁) ↦ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ 𝑛))
5		smndex1mgm.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = ({𝐼} ∪ ∪ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(𝐺‘𝑛)})
6	1, 2, 3, 4, 5	smndex1basss 18544	. . 3 ⊢ 𝐵 ⊆ (Base‘𝑀)
7		dfss 3905	. . 3 ⊢ (𝐵 ⊆ (Base‘𝑀) ↔ 𝐵 = (𝐵 ∩ (Base‘𝑀)))
8	6, 7	mpbi 229	. 2 ⊢ 𝐵 = (𝐵 ∩ (Base‘𝑀))
9		snex 5354	. . . . 5 ⊢ {𝐼} ∈ V
10		ovex 7308	. . . . . 6 ⊢ (0..^𝑁) ∈ V
11		snex 5354	. . . . . 6 ⊢ {(𝐺‘𝑛)} ∈ V
12	10, 11	iunex 7811	. . . . 5 ⊢ ∪ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(𝐺‘𝑛)} ∈ V
13	9, 12	unex 7596	. . . 4 ⊢ ({𝐼} ∪ ∪ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(𝐺‘𝑛)}) ∈ V
14	5, 13	eqeltri 2835	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ V
15		smndex1mgm.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (𝑀 ↾s 𝐵)
16		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑀) = (Base‘𝑀)
17	15, 16	ressbas 16947	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ V → (𝐵 ∩ (Base‘𝑀)) = (Base‘𝑆))
18	14, 17	ax-mp 5	. 2 ⊢ (𝐵 ∩ (Base‘𝑀)) = (Base‘𝑆)
19	8, 18	eqtr2i 2767	1 ⊢ (Base‘𝑆) = 𝐵

Syntax hints:   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  Vcvv 3432   ∪ cun 3885   ∩ cin 3886   ⊆ wss 3887  {csn 4561  ∪ ciun 4924   ↦ cmpt 5157  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  0cc0 10871  ℕcn 11973  ℕ₀cn0 12233  ..^cfzo 13382   mod cmo 13589  Basecbs 16912   ↾_s cress 16941  EndoFMndcefmnd 18507

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-er 8498  df-map 8617  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-sup 9201  df-inf 9202  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-9 12043  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-rp 12731  df-fz 13240  df-fzo 13383  df-fl 13512  df-mod 13590  df-struct 16848  df-sets 16865  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-ress 16942  df-plusg 16975  df-tset 16981  df-efmnd 18508

This theorem is referenced by:  smndex1mgm  18546  smndex1sgrp  18547  smndex1mnd  18549  smndex1id  18550