Theorem mbfresmf 46660

Description: A real-valued measurable function is a sigma-measurable function (w.r.t. the Lebesgue measure on the Reals). (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
mbfresmf.1	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ MblFn)
mbfresmf.2	⊢ (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ ℝ)
mbfresmf.3	⊢ 𝑆 = dom vol

Assertion

Ref	Expression
mbfresmf	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))

Proof of Theorem mbfresmf

Dummy variables 𝑎 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1913	. 2 ⊢ Ⅎ𝑎𝜑
2		mbfresmf.3	. . . 4 ⊢ 𝑆 = dom vol
3	2	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 = dom vol)
4		dmvolsal 46267	. . . 4 ⊢ dom vol ∈ SAlg
5	4	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → dom vol ∈ SAlg)
6	3, 5	eqeltrd 2844	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
7		mbfresmf.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ MblFn)
8		mbfdmssre 45921	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ MblFn → dom 𝐹 ⊆ ℝ)
9	7, 8	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → dom 𝐹 ⊆ ℝ)
10	2	unieqi 4943	. . . 4 ⊢ ∪ 𝑆 = ∪ dom vol
11		unidmvol 25595	. . . 4 ⊢ ∪ dom vol = ℝ
12	10, 11	eqtri 2768	. . 3 ⊢ ∪ 𝑆 = ℝ
13	9, 12	sseqtrrdi 4060	. 2 ⊢ (𝜑 → dom 𝐹 ⊆ ∪ 𝑆)
14		mbff 25679	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ MblFn → 𝐹:dom 𝐹⟶ℂ)
15		ffn 6747	. . . . 5 ⊢ (𝐹:dom 𝐹⟶ℂ → 𝐹 Fn dom 𝐹)
16	7, 14, 15	3syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn dom 𝐹)
17		mbfresmf.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ ℝ)
18	16, 17	jca 511	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 Fn dom 𝐹 ∧ ran 𝐹 ⊆ ℝ))
19		df-f 6577	. . 3 ⊢ (𝐹:dom 𝐹⟶ℝ ↔ (𝐹 Fn dom 𝐹 ∧ ran 𝐹 ⊆ ℝ))
20	18, 19	sylibr 234	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹:dom 𝐹⟶ℝ)
21	20	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → 𝐹:dom 𝐹⟶ℝ)
22		rexr 11336	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 ∈ ℝ → 𝑎 ∈ ℝ*)
23	22	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → 𝑎 ∈ ℝ*)
24	21, 23	preimaioomnf 46640	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (◡𝐹 “ (-∞(,)𝑎)) = {𝑥 ∈ dom 𝐹 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝑎})
25	24	eqcomd 2746	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → {𝑥 ∈ dom 𝐹 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝑎} = (◡𝐹 “ (-∞(,)𝑎)))
26	4	elexi 3511	. . . . . 6 ⊢ dom vol ∈ V
27	2, 26	eqeltri 2840	. . . . 5 ⊢ 𝑆 ∈ V
28	27	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → 𝑆 ∈ V)
29	7	dmexd 7943	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom 𝐹 ∈ V)
30	29	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → dom 𝐹 ∈ V)
31		mbfima 25684	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:dom 𝐹⟶ℝ) → (◡𝐹 “ (-∞(,)𝑎)) ∈ dom vol)
32	7, 20, 31	syl2anc 583	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ (-∞(,)𝑎)) ∈ dom vol)
33	32, 3	eleqtrrd 2847	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ (-∞(,)𝑎)) ∈ 𝑆)
34	33	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (◡𝐹 “ (-∞(,)𝑎)) ∈ 𝑆)
35		cnvimass 6111	. . . . 5 ⊢ (◡𝐹 “ (-∞(,)𝑎)) ⊆ dom 𝐹
36		dfss 3995	. . . . . 6 ⊢ ((◡𝐹 “ (-∞(,)𝑎)) ⊆ dom 𝐹 ↔ (◡𝐹 “ (-∞(,)𝑎)) = ((◡𝐹 “ (-∞(,)𝑎)) ∩ dom 𝐹))
37	36	biimpi 216	. . . . 5 ⊢ ((◡𝐹 “ (-∞(,)𝑎)) ⊆ dom 𝐹 → (◡𝐹 “ (-∞(,)𝑎)) = ((◡𝐹 “ (-∞(,)𝑎)) ∩ dom 𝐹))
38	35, 37	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (◡𝐹 “ (-∞(,)𝑎)) = ((◡𝐹 “ (-∞(,)𝑎)) ∩ dom 𝐹)
39	28, 30, 34, 38	elrestd 45010	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (◡𝐹 “ (-∞(,)𝑎)) ∈ (𝑆 ↾t dom 𝐹))
40	25, 39	eqeltrd 2844	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → {𝑥 ∈ dom 𝐹 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝑎} ∈ (𝑆 ↾t dom 𝐹))
41	1, 6, 13, 20, 40	issmfd 46656	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  {crab 3443  Vcvv 3488   ∩ cin 3975   ⊆ wss 3976  ∪ cuni 4931   class class class wbr 5166  ^◡ccnv 5699  dom cdm 5700  ran crn 5701   “ cima 5703   Fn wfn 6568  ⟶wf 6569  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  ℂcc 11182  ℝcr 11183  -∞cmnf 11322  ℝ^*cxr 11323   < clt 11324  (,)cioo 13407   ↾_t crest 17480  volcvol 25517  MblFncmbf 25668  SAlgcsalg 46229  SMblFncsmblfn 46616

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-inf2 9710  ax-cc 10504  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261  ax-pre-sup 11262

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-disj 5134  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-se 5653  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-isom 6582  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-of 7714  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-2o 8523  df-er 8763  df-map 8886  df-pm 8887  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-sup 9511  df-inf 9512  df-oi 9579  df-dju 9970  df-card 10008  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-div 11948  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-n0 12554  df-z 12640  df-uz 12904  df-q 13014  df-rp 13058  df-xadd 13176  df-ioo 13411  df-ico 13413  df-icc 13414  df-fz 13568  df-fzo 13712  df-fl 13843  df-seq 14053  df-exp 14113  df-hash 14380  df-cj 15148  df-re 15149  df-im 15150  df-sqrt 15284  df-abs 15285  df-clim 15534  df-rlim 15535  df-sum 15735  df-rest 17482  df-xmet 21380  df-met 21381  df-ovol 25518  df-vol 25519  df-mbf 25673  df-salg 46230  df-smblfn 46617

This theorem is referenced by:  mbfpsssmf  46704