Theorem mbfresmf 46270

Description: A real-valued measurable function is a sigma-measurable function (w.r.t. the Lebesgue measure on the Reals). (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
mbfresmf.1	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ MblFn)
mbfresmf.2	⊢ (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ ℝ)
mbfresmf.3	⊢ 𝑆 = dom vol

Assertion

Ref	Expression
mbfresmf	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))

Proof of Theorem mbfresmf

Dummy variables 𝑎 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1909	. 2 ⊢ Ⅎ𝑎𝜑
2		mbfresmf.3	. . . 4 ⊢ 𝑆 = dom vol
3	2	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 = dom vol)
4		dmvolsal 45877	. . . 4 ⊢ dom vol ∈ SAlg
5	4	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → dom vol ∈ SAlg)
6	3, 5	eqeltrd 2825	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
7		mbfresmf.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ MblFn)
8		mbfdmssre 45531	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ MblFn → dom 𝐹 ⊆ ℝ)
9	7, 8	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → dom 𝐹 ⊆ ℝ)
10	2	unieqi 4921	. . . 4 ⊢ ∪ 𝑆 = ∪ dom vol
11		unidmvol 25531	. . . 4 ⊢ ∪ dom vol = ℝ
12	10, 11	eqtri 2753	. . 3 ⊢ ∪ 𝑆 = ℝ
13	9, 12	sseqtrrdi 4028	. 2 ⊢ (𝜑 → dom 𝐹 ⊆ ∪ 𝑆)
14		mbff 25615	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ MblFn → 𝐹:dom 𝐹⟶ℂ)
15		ffn 6723	. . . . 5 ⊢ (𝐹:dom 𝐹⟶ℂ → 𝐹 Fn dom 𝐹)
16	7, 14, 15	3syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn dom 𝐹)
17		mbfresmf.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ ℝ)
18	16, 17	jca 510	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 Fn dom 𝐹 ∧ ran 𝐹 ⊆ ℝ))
19		df-f 6553	. . 3 ⊢ (𝐹:dom 𝐹⟶ℝ ↔ (𝐹 Fn dom 𝐹 ∧ ran 𝐹 ⊆ ℝ))
20	18, 19	sylibr 233	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹:dom 𝐹⟶ℝ)
21	20	adantr 479	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → 𝐹:dom 𝐹⟶ℝ)
22		rexr 11297	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 ∈ ℝ → 𝑎 ∈ ℝ*)
23	22	adantl 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → 𝑎 ∈ ℝ*)
24	21, 23	preimaioomnf 46250	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (◡𝐹 “ (-∞(,)𝑎)) = {𝑥 ∈ dom 𝐹 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝑎})
25	24	eqcomd 2731	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → {𝑥 ∈ dom 𝐹 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝑎} = (◡𝐹 “ (-∞(,)𝑎)))
26	4	elexi 3482	. . . . . 6 ⊢ dom vol ∈ V
27	2, 26	eqeltri 2821	. . . . 5 ⊢ 𝑆 ∈ V
28	27	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → 𝑆 ∈ V)
29	7	dmexd 7911	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom 𝐹 ∈ V)
30	29	adantr 479	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → dom 𝐹 ∈ V)
31		mbfima 25620	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:dom 𝐹⟶ℝ) → (◡𝐹 “ (-∞(,)𝑎)) ∈ dom vol)
32	7, 20, 31	syl2anc 582	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ (-∞(,)𝑎)) ∈ dom vol)
33	32, 3	eleqtrrd 2828	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ (-∞(,)𝑎)) ∈ 𝑆)
34	33	adantr 479	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (◡𝐹 “ (-∞(,)𝑎)) ∈ 𝑆)
35		cnvimass 6086	. . . . 5 ⊢ (◡𝐹 “ (-∞(,)𝑎)) ⊆ dom 𝐹
36		dfss 3963	. . . . . 6 ⊢ ((◡𝐹 “ (-∞(,)𝑎)) ⊆ dom 𝐹 ↔ (◡𝐹 “ (-∞(,)𝑎)) = ((◡𝐹 “ (-∞(,)𝑎)) ∩ dom 𝐹))
37	36	biimpi 215	. . . . 5 ⊢ ((◡𝐹 “ (-∞(,)𝑎)) ⊆ dom 𝐹 → (◡𝐹 “ (-∞(,)𝑎)) = ((◡𝐹 “ (-∞(,)𝑎)) ∩ dom 𝐹))
38	35, 37	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (◡𝐹 “ (-∞(,)𝑎)) = ((◡𝐹 “ (-∞(,)𝑎)) ∩ dom 𝐹)
39	28, 30, 34, 38	elrestd 44619	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (◡𝐹 “ (-∞(,)𝑎)) ∈ (𝑆 ↾t dom 𝐹))
40	25, 39	eqeltrd 2825	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → {𝑥 ∈ dom 𝐹 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝑎} ∈ (𝑆 ↾t dom 𝐹))
41	1, 6, 13, 20, 40	issmfd 46266	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  {crab 3418  Vcvv 3461   ∩ cin 3943   ⊆ wss 3944  ∪ cuni 4909   class class class wbr 5149  ^◡ccnv 5677  dom cdm 5678  ran crn 5679   “ cima 5681   Fn wfn 6544  ⟶wf 6545  ‘cfv 6549  (class class class)co 7419  ℂcc 11143  ℝcr 11144  -∞cmnf 11283  ℝ^*cxr 11284   < clt 11285  (,)cioo 13364   ↾_t crest 17421  volcvol 25453  MblFncmbf 25604  SAlgcsalg 45839  SMblFncsmblfn 46226

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-inf2 9671  ax-cc 10465  ax-cnex 11201  ax-resscn 11202  ax-1cn 11203  ax-icn 11204  ax-addcl 11205  ax-addrcl 11206  ax-mulcl 11207  ax-mulrcl 11208  ax-mulcom 11209  ax-addass 11210  ax-mulass 11211  ax-distr 11212  ax-i2m1 11213  ax-1ne0 11214  ax-1rid 11215  ax-rnegex 11216  ax-rrecex 11217  ax-cnre 11218  ax-pre-lttri 11219  ax-pre-lttrn 11220  ax-pre-ltadd 11221  ax-pre-mulgt0 11222  ax-pre-sup 11223

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-int 4951  df-iun 4999  df-disj 5115  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-se 5634  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-isom 6558  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-of 7685  df-om 7872  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-2o 8488  df-er 8725  df-map 8847  df-pm 8848  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-sup 9472  df-inf 9473  df-oi 9540  df-dju 9931  df-card 9969  df-pnf 11287  df-mnf 11288  df-xr 11289  df-ltxr 11290  df-le 11291  df-sub 11483  df-neg 11484  df-div 11909  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-n0 12511  df-z 12597  df-uz 12861  df-q 12971  df-rp 13015  df-xadd 13133  df-ioo 13368  df-ico 13370  df-icc 13371  df-fz 13525  df-fzo 13668  df-fl 13798  df-seq 14008  df-exp 14068  df-hash 14334  df-cj 15090  df-re 15091  df-im 15092  df-sqrt 15226  df-abs 15227  df-clim 15476  df-rlim 15477  df-sum 15677  df-rest 17423  df-xmet 21306  df-met 21307  df-ovol 25454  df-vol 25455  df-mbf 25609  df-salg 45840  df-smblfn 46227

This theorem is referenced by:  mbfpsssmf  46314