Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mbfresmf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mbfresmf 43215
Description: A real-valued measurable function is a sigma-measurable function (w.r.t. the Lebesgue measure on the Reals). (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
mbfresmf.1 (𝜑𝐹 ∈ MblFn)
mbfresmf.2 (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ ℝ)
mbfresmf.3 𝑆 = dom vol
Assertion
Ref Expression
mbfresmf (𝜑𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))

Proof of Theorem mbfresmf
Dummy variables 𝑎 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfv 1916 . 2 𝑎𝜑
2 mbfresmf.3 . . . 4 𝑆 = dom vol
32a1i 11 . . 3 (𝜑𝑆 = dom vol)
4 dmvolsal 42828 . . . 4 dom vol ∈ SAlg
54a1i 11 . . 3 (𝜑 → dom vol ∈ SAlg)
63, 5eqeltrd 2916 . 2 (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
7 mbfresmf.1 . . . 4 (𝜑𝐹 ∈ MblFn)
8 mbfdmssre 42484 . . . 4 (𝐹 ∈ MblFn → dom 𝐹 ⊆ ℝ)
97, 8syl 17 . . 3 (𝜑 → dom 𝐹 ⊆ ℝ)
102unieqi 4832 . . . 4 𝑆 = dom vol
11 unidmvol 24134 . . . 4 dom vol = ℝ
1210, 11eqtri 2847 . . 3 𝑆 = ℝ
139, 12sseqtrrdi 4002 . 2 (𝜑 → dom 𝐹 𝑆)
14 mbff 24218 . . . . 5 (𝐹 ∈ MblFn → 𝐹:dom 𝐹⟶ℂ)
15 ffn 6495 . . . . 5 (𝐹:dom 𝐹⟶ℂ → 𝐹 Fn dom 𝐹)
167, 14, 153syl 18 . . . 4 (𝜑𝐹 Fn dom 𝐹)
17 mbfresmf.2 . . . 4 (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ ℝ)
1816, 17jca 515 . . 3 (𝜑 → (𝐹 Fn dom 𝐹 ∧ ran 𝐹 ⊆ ℝ))
19 df-f 6340 . . 3 (𝐹:dom 𝐹⟶ℝ ↔ (𝐹 Fn dom 𝐹 ∧ ran 𝐹 ⊆ ℝ))
2018, 19sylibr 237 . 2 (𝜑𝐹:dom 𝐹⟶ℝ)
2120adantr 484 . . . . 5 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → 𝐹:dom 𝐹⟶ℝ)
22 rexr 10672 . . . . . 6 (𝑎 ∈ ℝ → 𝑎 ∈ ℝ*)
2322adantl 485 . . . . 5 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → 𝑎 ∈ ℝ*)
2421, 23preimaioomnf 43196 . . . 4 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → (𝐹 “ (-∞(,)𝑎)) = {𝑥 ∈ dom 𝐹 ∣ (𝐹𝑥) < 𝑎})
2524eqcomd 2830 . . 3 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → {𝑥 ∈ dom 𝐹 ∣ (𝐹𝑥) < 𝑎} = (𝐹 “ (-∞(,)𝑎)))
264elexi 3498 . . . . . 6 dom vol ∈ V
272, 26eqeltri 2912 . . . . 5 𝑆 ∈ V
2827a1i 11 . . . 4 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → 𝑆 ∈ V)
297dmexd 7598 . . . . 5 (𝜑 → dom 𝐹 ∈ V)
3029adantr 484 . . . 4 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → dom 𝐹 ∈ V)
31 mbfima 24223 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:dom 𝐹⟶ℝ) → (𝐹 “ (-∞(,)𝑎)) ∈ dom vol)
327, 20, 31syl2anc 587 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹 “ (-∞(,)𝑎)) ∈ dom vol)
3332, 3eleqtrrd 2919 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹 “ (-∞(,)𝑎)) ∈ 𝑆)
3433adantr 484 . . . 4 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → (𝐹 “ (-∞(,)𝑎)) ∈ 𝑆)
35 cnvimass 5930 . . . . 5 (𝐹 “ (-∞(,)𝑎)) ⊆ dom 𝐹
36 dfss 3936 . . . . . 6 ((𝐹 “ (-∞(,)𝑎)) ⊆ dom 𝐹 ↔ (𝐹 “ (-∞(,)𝑎)) = ((𝐹 “ (-∞(,)𝑎)) ∩ dom 𝐹))
3736biimpi 219 . . . . 5 ((𝐹 “ (-∞(,)𝑎)) ⊆ dom 𝐹 → (𝐹 “ (-∞(,)𝑎)) = ((𝐹 “ (-∞(,)𝑎)) ∩ dom 𝐹))
3835, 37ax-mp 5 . . . 4 (𝐹 “ (-∞(,)𝑎)) = ((𝐹 “ (-∞(,)𝑎)) ∩ dom 𝐹)
3928, 30, 34, 38elrestd 41582 . . 3 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → (𝐹 “ (-∞(,)𝑎)) ∈ (𝑆t dom 𝐹))
4025, 39eqeltrd 2916 . 2 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → {𝑥 ∈ dom 𝐹 ∣ (𝐹𝑥) < 𝑎} ∈ (𝑆t dom 𝐹))
411, 6, 13, 20, 40issmfd 43211 1 (𝜑𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399   = wceq 1538  wcel 2115  {crab 3136  Vcvv 3479  cin 3917  wss 3918   cuni 4819   class class class wbr 5047  ccnv 5535  dom cdm 5536  ran crn 5537  cima 5539   Fn wfn 6331  wf 6332  cfv 6336  (class class class)co 7138  cc 10520  cr 10521  -∞cmnf 10658  *cxr 10659   < clt 10660  (,)cioo 12724  t crest 16683  volcvol 24056  MblFncmbf 24207  SAlgcsalg 42792  SMblFncsmblfn 43176
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5171  ax-sep 5184  ax-nul 5191  ax-pow 5247  ax-pr 5311  ax-un 7444  ax-inf2 9088  ax-cc 9842  ax-cnex 10578  ax-resscn 10579  ax-1cn 10580  ax-icn 10581  ax-addcl 10582  ax-addrcl 10583  ax-mulcl 10584  ax-mulrcl 10585  ax-mulcom 10586  ax-addass 10587  ax-mulass 10588  ax-distr 10589  ax-i2m1 10590  ax-1ne0 10591  ax-1rid 10592  ax-rnegex 10593  ax-rrecex 10594  ax-cnre 10595  ax-pre-lttri 10596  ax-pre-lttrn 10597  ax-pre-ltadd 10598  ax-pre-mulgt0 10599  ax-pre-sup 10600
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3014  df-nel 3118  df-ral 3137  df-rex 3138  df-reu 3139  df-rmo 3140  df-rab 3141  df-v 3481  df-sbc 3758  df-csb 3866  df-dif 3921  df-un 3923  df-in 3925  df-ss 3935  df-pss 3937  df-nul 4275  df-if 4449  df-pw 4522  df-sn 4549  df-pr 4551  df-tp 4553  df-op 4555  df-uni 4820  df-int 4858  df-iun 4902  df-disj 5013  df-br 5048  df-opab 5110  df-mpt 5128  df-tr 5154  df-id 5441  df-eprel 5446  df-po 5455  df-so 5456  df-fr 5495  df-se 5496  df-we 5497  df-xp 5542  df-rel 5543  df-cnv 5544  df-co 5545  df-dm 5546  df-rn 5547  df-res 5548  df-ima 5549  df-pred 6129  df-ord 6175  df-on 6176  df-lim 6177  df-suc 6178  df-iota 6295  df-fun 6338  df-fn 6339  df-f 6340  df-f1 6341  df-fo 6342  df-f1o 6343  df-fv 6344  df-isom 6345  df-riota 7096  df-ov 7141  df-oprab 7142  df-mpo 7143  df-of 7392  df-om 7564  df-1st 7672  df-2nd 7673  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-2o 8086  df-oadd 8089  df-er 8272  df-map 8391  df-pm 8392  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-sup 8890  df-inf 8891  df-oi 8958  df-dju 9314  df-card 9352  df-pnf 10662  df-mnf 10663  df-xr 10664  df-ltxr 10665  df-le 10666  df-sub 10857  df-neg 10858  df-div 11283  df-nn 11624  df-2 11686  df-3 11687  df-n0 11884  df-z 11968  df-uz 12230  df-q 12335  df-rp 12376  df-xadd 12494  df-ioo 12728  df-ico 12730  df-icc 12731  df-fz 12884  df-fzo 13027  df-fl 13155  df-seq 13363  df-exp 13424  df-hash 13685  df-cj 14447  df-re 14448  df-im 14449  df-sqrt 14583  df-abs 14584  df-clim 14834  df-rlim 14835  df-sum 15032  df-rest 16685  df-xmet 20524  df-met 20525  df-ovol 24057  df-vol 24058  df-mbf 24212  df-salg 42793  df-smblfn 43177
This theorem is referenced by:  mbfpsssmf  43258
  Copyright terms: Public domain W3C validator