Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mbfresmf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mbfresmf 46270
Description: A real-valued measurable function is a sigma-measurable function (w.r.t. the Lebesgue measure on the Reals). (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
mbfresmf.1 (𝜑𝐹 ∈ MblFn)
mbfresmf.2 (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ ℝ)
mbfresmf.3 𝑆 = dom vol
Assertion
Ref Expression
mbfresmf (𝜑𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))

Proof of Theorem mbfresmf
Dummy variables 𝑎 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfv 1909 . 2 𝑎𝜑
2 mbfresmf.3 . . . 4 𝑆 = dom vol
32a1i 11 . . 3 (𝜑𝑆 = dom vol)
4 dmvolsal 45877 . . . 4 dom vol ∈ SAlg
54a1i 11 . . 3 (𝜑 → dom vol ∈ SAlg)
63, 5eqeltrd 2825 . 2 (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
7 mbfresmf.1 . . . 4 (𝜑𝐹 ∈ MblFn)
8 mbfdmssre 45531 . . . 4 (𝐹 ∈ MblFn → dom 𝐹 ⊆ ℝ)
97, 8syl 17 . . 3 (𝜑 → dom 𝐹 ⊆ ℝ)
102unieqi 4921 . . . 4 𝑆 = dom vol
11 unidmvol 25531 . . . 4 dom vol = ℝ
1210, 11eqtri 2753 . . 3 𝑆 = ℝ
139, 12sseqtrrdi 4028 . 2 (𝜑 → dom 𝐹 𝑆)
14 mbff 25615 . . . . 5 (𝐹 ∈ MblFn → 𝐹:dom 𝐹⟶ℂ)
15 ffn 6723 . . . . 5 (𝐹:dom 𝐹⟶ℂ → 𝐹 Fn dom 𝐹)
167, 14, 153syl 18 . . . 4 (𝜑𝐹 Fn dom 𝐹)
17 mbfresmf.2 . . . 4 (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ ℝ)
1816, 17jca 510 . . 3 (𝜑 → (𝐹 Fn dom 𝐹 ∧ ran 𝐹 ⊆ ℝ))
19 df-f 6553 . . 3 (𝐹:dom 𝐹⟶ℝ ↔ (𝐹 Fn dom 𝐹 ∧ ran 𝐹 ⊆ ℝ))
2018, 19sylibr 233 . 2 (𝜑𝐹:dom 𝐹⟶ℝ)
2120adantr 479 . . . . 5 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → 𝐹:dom 𝐹⟶ℝ)
22 rexr 11297 . . . . . 6 (𝑎 ∈ ℝ → 𝑎 ∈ ℝ*)
2322adantl 480 . . . . 5 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → 𝑎 ∈ ℝ*)
2421, 23preimaioomnf 46250 . . . 4 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → (𝐹 “ (-∞(,)𝑎)) = {𝑥 ∈ dom 𝐹 ∣ (𝐹𝑥) < 𝑎})
2524eqcomd 2731 . . 3 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → {𝑥 ∈ dom 𝐹 ∣ (𝐹𝑥) < 𝑎} = (𝐹 “ (-∞(,)𝑎)))
264elexi 3482 . . . . . 6 dom vol ∈ V
272, 26eqeltri 2821 . . . . 5 𝑆 ∈ V
2827a1i 11 . . . 4 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → 𝑆 ∈ V)
297dmexd 7911 . . . . 5 (𝜑 → dom 𝐹 ∈ V)
3029adantr 479 . . . 4 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → dom 𝐹 ∈ V)
31 mbfima 25620 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:dom 𝐹⟶ℝ) → (𝐹 “ (-∞(,)𝑎)) ∈ dom vol)
327, 20, 31syl2anc 582 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹 “ (-∞(,)𝑎)) ∈ dom vol)
3332, 3eleqtrrd 2828 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹 “ (-∞(,)𝑎)) ∈ 𝑆)
3433adantr 479 . . . 4 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → (𝐹 “ (-∞(,)𝑎)) ∈ 𝑆)
35 cnvimass 6086 . . . . 5 (𝐹 “ (-∞(,)𝑎)) ⊆ dom 𝐹
36 dfss 3963 . . . . . 6 ((𝐹 “ (-∞(,)𝑎)) ⊆ dom 𝐹 ↔ (𝐹 “ (-∞(,)𝑎)) = ((𝐹 “ (-∞(,)𝑎)) ∩ dom 𝐹))
3736biimpi 215 . . . . 5 ((𝐹 “ (-∞(,)𝑎)) ⊆ dom 𝐹 → (𝐹 “ (-∞(,)𝑎)) = ((𝐹 “ (-∞(,)𝑎)) ∩ dom 𝐹))
3835, 37ax-mp 5 . . . 4 (𝐹 “ (-∞(,)𝑎)) = ((𝐹 “ (-∞(,)𝑎)) ∩ dom 𝐹)
3928, 30, 34, 38elrestd 44619 . . 3 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → (𝐹 “ (-∞(,)𝑎)) ∈ (𝑆t dom 𝐹))
4025, 39eqeltrd 2825 . 2 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → {𝑥 ∈ dom 𝐹 ∣ (𝐹𝑥) < 𝑎} ∈ (𝑆t dom 𝐹))
411, 6, 13, 20, 40issmfd 46266 1 (𝜑𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394   = wceq 1533  wcel 2098  {crab 3418  Vcvv 3461  cin 3943  wss 3944   cuni 4909   class class class wbr 5149  ccnv 5677  dom cdm 5678  ran crn 5679  cima 5681   Fn wfn 6544  wf 6545  cfv 6549  (class class class)co 7419  cc 11143  cr 11144  -∞cmnf 11283  *cxr 11284   < clt 11285  (,)cioo 13364  t crest 17421  volcvol 25453  MblFncmbf 25604  SAlgcsalg 45839  SMblFncsmblfn 46226
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-inf2 9671  ax-cc 10465  ax-cnex 11201  ax-resscn 11202  ax-1cn 11203  ax-icn 11204  ax-addcl 11205  ax-addrcl 11206  ax-mulcl 11207  ax-mulrcl 11208  ax-mulcom 11209  ax-addass 11210  ax-mulass 11211  ax-distr 11212  ax-i2m1 11213  ax-1ne0 11214  ax-1rid 11215  ax-rnegex 11216  ax-rrecex 11217  ax-cnre 11218  ax-pre-lttri 11219  ax-pre-lttrn 11220  ax-pre-ltadd 11221  ax-pre-mulgt0 11222  ax-pre-sup 11223
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-int 4951  df-iun 4999  df-disj 5115  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-se 5634  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-isom 6558  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-of 7685  df-om 7872  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-2o 8488  df-er 8725  df-map 8847  df-pm 8848  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-sup 9472  df-inf 9473  df-oi 9540  df-dju 9931  df-card 9969  df-pnf 11287  df-mnf 11288  df-xr 11289  df-ltxr 11290  df-le 11291  df-sub 11483  df-neg 11484  df-div 11909  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-n0 12511  df-z 12597  df-uz 12861  df-q 12971  df-rp 13015  df-xadd 13133  df-ioo 13368  df-ico 13370  df-icc 13371  df-fz 13525  df-fzo 13668  df-fl 13798  df-seq 14008  df-exp 14068  df-hash 14334  df-cj 15090  df-re 15091  df-im 15092  df-sqrt 15226  df-abs 15227  df-clim 15476  df-rlim 15477  df-sum 15677  df-rest 17423  df-xmet 21306  df-met 21307  df-ovol 25454  df-vol 25455  df-mbf 25609  df-salg 45840  df-smblfn 46227
This theorem is referenced by:  mbfpsssmf  46314
  Copyright terms: Public domain W3C validator