Theorem mbfresmf 45441

Description: A real-valued measurable function is a sigma-measurable function (w.r.t. the Lebesgue measure on the Reals). (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
mbfresmf.1	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ MblFn)
mbfresmf.2	⊢ (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ ℝ)
mbfresmf.3	⊢ 𝑆 = dom vol

Assertion

Ref	Expression
mbfresmf	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))

Proof of Theorem mbfresmf

Dummy variables 𝑎 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1917	. 2 ⊢ Ⅎ𝑎𝜑
2		mbfresmf.3	. . . 4 ⊢ 𝑆 = dom vol
3	2	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 = dom vol)
4		dmvolsal 45048	. . . 4 ⊢ dom vol ∈ SAlg
5	4	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → dom vol ∈ SAlg)
6	3, 5	eqeltrd 2833	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
7		mbfresmf.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ MblFn)
8		mbfdmssre 44702	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ MblFn → dom 𝐹 ⊆ ℝ)
9	7, 8	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → dom 𝐹 ⊆ ℝ)
10	2	unieqi 4920	. . . 4 ⊢ ∪ 𝑆 = ∪ dom vol
11		unidmvol 25049	. . . 4 ⊢ ∪ dom vol = ℝ
12	10, 11	eqtri 2760	. . 3 ⊢ ∪ 𝑆 = ℝ
13	9, 12	sseqtrrdi 4032	. 2 ⊢ (𝜑 → dom 𝐹 ⊆ ∪ 𝑆)
14		mbff 25133	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ MblFn → 𝐹:dom 𝐹⟶ℂ)
15		ffn 6714	. . . . 5 ⊢ (𝐹:dom 𝐹⟶ℂ → 𝐹 Fn dom 𝐹)
16	7, 14, 15	3syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn dom 𝐹)
17		mbfresmf.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ ℝ)
18	16, 17	jca 512	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 Fn dom 𝐹 ∧ ran 𝐹 ⊆ ℝ))
19		df-f 6544	. . 3 ⊢ (𝐹:dom 𝐹⟶ℝ ↔ (𝐹 Fn dom 𝐹 ∧ ran 𝐹 ⊆ ℝ))
20	18, 19	sylibr 233	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹:dom 𝐹⟶ℝ)
21	20	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → 𝐹:dom 𝐹⟶ℝ)
22		rexr 11256	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 ∈ ℝ → 𝑎 ∈ ℝ*)
23	22	adantl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → 𝑎 ∈ ℝ*)
24	21, 23	preimaioomnf 45421	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (◡𝐹 “ (-∞(,)𝑎)) = {𝑥 ∈ dom 𝐹 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝑎})
25	24	eqcomd 2738	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → {𝑥 ∈ dom 𝐹 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝑎} = (◡𝐹 “ (-∞(,)𝑎)))
26	4	elexi 3493	. . . . . 6 ⊢ dom vol ∈ V
27	2, 26	eqeltri 2829	. . . . 5 ⊢ 𝑆 ∈ V
28	27	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → 𝑆 ∈ V)
29	7	dmexd 7892	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom 𝐹 ∈ V)
30	29	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → dom 𝐹 ∈ V)
31		mbfima 25138	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:dom 𝐹⟶ℝ) → (◡𝐹 “ (-∞(,)𝑎)) ∈ dom vol)
32	7, 20, 31	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ (-∞(,)𝑎)) ∈ dom vol)
33	32, 3	eleqtrrd 2836	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ (-∞(,)𝑎)) ∈ 𝑆)
34	33	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (◡𝐹 “ (-∞(,)𝑎)) ∈ 𝑆)
35		cnvimass 6077	. . . . 5 ⊢ (◡𝐹 “ (-∞(,)𝑎)) ⊆ dom 𝐹
36		dfss 3965	. . . . . 6 ⊢ ((◡𝐹 “ (-∞(,)𝑎)) ⊆ dom 𝐹 ↔ (◡𝐹 “ (-∞(,)𝑎)) = ((◡𝐹 “ (-∞(,)𝑎)) ∩ dom 𝐹))
37	36	biimpi 215	. . . . 5 ⊢ ((◡𝐹 “ (-∞(,)𝑎)) ⊆ dom 𝐹 → (◡𝐹 “ (-∞(,)𝑎)) = ((◡𝐹 “ (-∞(,)𝑎)) ∩ dom 𝐹))
38	35, 37	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (◡𝐹 “ (-∞(,)𝑎)) = ((◡𝐹 “ (-∞(,)𝑎)) ∩ dom 𝐹)
39	28, 30, 34, 38	elrestd 43782	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (◡𝐹 “ (-∞(,)𝑎)) ∈ (𝑆 ↾t dom 𝐹))
40	25, 39	eqeltrd 2833	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → {𝑥 ∈ dom 𝐹 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝑎} ∈ (𝑆 ↾t dom 𝐹))
41	1, 6, 13, 20, 40	issmfd 45437	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  {crab 3432  Vcvv 3474   ∩ cin 3946   ⊆ wss 3947  ∪ cuni 4907   class class class wbr 5147  ^◡ccnv 5674  dom cdm 5675  ran crn 5676   “ cima 5678   Fn wfn 6535  ⟶wf 6536  ‘cfv 6540  (class class class)co 7405  ℂcc 11104  ℝcr 11105  -∞cmnf 11242  ℝ^*cxr 11243   < clt 11244  (,)cioo 13320   ↾_t crest 17362  volcvol 24971  MblFncmbf 25122  SAlgcsalg 45010  SMblFncsmblfn 45397

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-inf2 9632  ax-cc 10426  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-disj 5113  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7666  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-er 8699  df-map 8818  df-pm 8819  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-sup 9433  df-inf 9434  df-oi 9501  df-dju 9892  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-q 12929  df-rp 12971  df-xadd 13089  df-ioo 13324  df-ico 13326  df-icc 13327  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-fl 13753  df-seq 13963  df-exp 14024  df-hash 14287  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-clim 15428  df-rlim 15429  df-sum 15629  df-rest 17364  df-xmet 20929  df-met 20930  df-ovol 24972  df-vol 24973  df-mbf 25127  df-salg 45011  df-smblfn 45398

This theorem is referenced by:  mbfpsssmf  45485