Theorem mbfresmf 47567

Description: A real-valued measurable function is a sigma-measurable function (w.r.t. the Lebesgue measure on the Reals). (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
mbfresmf.1	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ MblFn)
mbfresmf.2	⊢ (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ ℝ)
mbfresmf.3	⊢ 𝑆 = dom vol

Assertion

Ref	Expression
mbfresmf	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))

Proof of Theorem mbfresmf

Dummy variables 𝑎 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1947	. 2 ⊢ Ⅎ𝑎𝜑
2		mbfresmf.3	. . . 4 ⊢ 𝑆 = dom vol
3	2	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 = dom vol)
4		dmvolsal 47174	. . . 4 ⊢ dom vol ∈ SAlg
5	4	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → dom vol ∈ SAlg)
6	3, 5	eqeltrd 2860	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
7		mbfresmf.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ MblFn)
8		mbfdmssre 46828	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ MblFn → dom 𝐹 ⊆ ℝ)
9	7, 8	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → dom 𝐹 ⊆ ℝ)
10	2	unieqi 4879	. . . 4 ⊢ ∪ 𝑆 = ∪ dom vol
11		unidmvol 25769	. . . 4 ⊢ ∪ dom vol = ℝ
12	10, 11	eqtri 2783	. . 3 ⊢ ∪ 𝑆 = ℝ
13	9, 12	sseqtrrdi 3972	. 2 ⊢ (𝜑 → dom 𝐹 ⊆ ∪ 𝑆)
14		mbff 25853	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ MblFn → 𝐹:dom 𝐹⟶ℂ)
15		ffn 6702	. . . . 5 ⊢ (𝐹:dom 𝐹⟶ℂ → 𝐹 Fn dom 𝐹)
16	7, 14, 15	3syl 19	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn dom 𝐹)
17		mbfresmf.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ ℝ)
18	16, 17	jca 521	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 Fn dom 𝐹 ∧ ran 𝐹 ⊆ ℝ))
19		df-f 6537	. . 3 ⊢ (𝐹:dom 𝐹⟶ℝ ↔ (𝐹 Fn dom 𝐹 ∧ ran 𝐹 ⊆ ℝ))
20	18, 19	sylibr 237	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹:dom 𝐹⟶ℝ)
21	20	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → 𝐹:dom 𝐹⟶ℝ)
22		rexr 11279	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 ∈ ℝ → 𝑎 ∈ ℝ*)
23	22	adantl 487	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → 𝑎 ∈ ℝ*)
24	21, 23	preimaioomnf 47547	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (◡𝐹 “ (-∞(,)𝑎)) = {𝑥 ∈ dom 𝐹 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝑎})
25	24	eqcomd 2766	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → {𝑥 ∈ dom 𝐹 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝑎} = (◡𝐹 “ (-∞(,)𝑎)))
26	4	elexi 3472	. . . . . 6 ⊢ dom vol ∈ V
27	2, 26	eqeltri 2856	. . . . 5 ⊢ 𝑆 ∈ V
28	27	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → 𝑆 ∈ V)
29	7	dmexd 7900	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom 𝐹 ∈ V)
30	29	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → dom 𝐹 ∈ V)
31		mbfima 25858	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:dom 𝐹⟶ℝ) → (◡𝐹 “ (-∞(,)𝑎)) ∈ dom vol)
32	7, 20, 31	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ (-∞(,)𝑎)) ∈ dom vol)
33	32, 3	eleqtrrd 2863	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ (-∞(,)𝑎)) ∈ 𝑆)
34	33	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (◡𝐹 “ (-∞(,)𝑎)) ∈ 𝑆)
35		cnvimass 6078	. . . . 5 ⊢ (◡𝐹 “ (-∞(,)𝑎)) ⊆ dom 𝐹
36		dfss 3918	. . . . . 6 ⊢ ((◡𝐹 “ (-∞(,)𝑎)) ⊆ dom 𝐹 ↔ (◡𝐹 “ (-∞(,)𝑎)) = ((◡𝐹 “ (-∞(,)𝑎)) ∩ dom 𝐹))
37	36	biimpi 219	. . . . 5 ⊢ ((◡𝐹 “ (-∞(,)𝑎)) ⊆ dom 𝐹 → (◡𝐹 “ (-∞(,)𝑎)) = ((◡𝐹 “ (-∞(,)𝑎)) ∩ dom 𝐹))
38	35, 37	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (◡𝐹 “ (-∞(,)𝑎)) = ((◡𝐹 “ (-∞(,)𝑎)) ∩ dom 𝐹)
39	28, 30, 34, 38	elrestd 45940	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (◡𝐹 “ (-∞(,)𝑎)) ∈ (𝑆 ↾t dom 𝐹))
40	25, 39	eqeltrd 2860	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → {𝑥 ∈ dom 𝐹 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝑎} ∈ (𝑆 ↾t dom 𝐹))
41	1, 6, 13, 20, 40	issmfd 47563	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  {crab 3412  Vcvv 3450   ∩ cin 3898   ⊆ wss 3899  ∪ cuni 4867   class class class wbr 5103  ^◡ccnv 5654  dom cdm 5655  ran crn 5656   “ cima 5658   Fn wfn 6528  ⟶wf 6529  ‘cfv 6533  (class class class)co 7413  ℂcc 11122  ℝcr 11123  -∞cmnf 11265  ℝ^*cxr 11266   < clt 11267  (,)cioo 13398   ↾_t crest 17505  volcvol 25691  MblFncmbf 25842  SAlgcsalg 47136  SMblFncsmblfn 47523

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-inf2 9620  ax-cc 10437  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201  ax-pre-sup 11202

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-disj 5071  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-of 7678  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-2o 8456  df-er 8696  df-map 8828  df-pm 8829  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-sup 9412  df-inf 9413  df-oi 9482  df-dju 9906  df-card 9944  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11467  df-neg 11468  df-div 11896  df-nn 12258  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12529  df-z 12616  df-uz 12888  df-q 12998  df-rp 13043  df-xadd 13164  df-ioo 13402  df-ico 13404  df-icc 13405  df-fz 13562  df-fzo 13710  df-fl 13853  df-seq 14066  df-exp 14126  df-hash 14395  df-cj 15186  df-re 15187  df-im 15188  df-sqrt 15322  df-abs 15323  df-clim 15575  df-rlim 15576  df-sum 15774  df-rest 17507  df-xmet 21578  df-met 21579  df-ovol 25692  df-vol 25693  df-mbf 25847  df-salg 47137  df-smblfn 47524

This theorem is used by:  mbfpsssmf  47611