Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  reprfz1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem reprfz1 32598
Description: Corollary of reprinfz1 32596. (Contributed by Thierry Arnoux, 14-Dec-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
reprfz1.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
reprfz1.s (𝜑𝑆 ∈ ℕ0)
Assertion
Ref Expression
reprfz1 (𝜑 → (ℕ(repr‘𝑆)𝑁) = ((1...𝑁)(repr‘𝑆)𝑁))

Proof of Theorem reprfz1
StepHypRef Expression
1 reprfz1.n . . 3 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
2 reprfz1.s . . 3 (𝜑𝑆 ∈ ℕ0)
3 ssidd 3949 . . 3 (𝜑 → ℕ ⊆ ℕ)
41, 2, 3reprinfz1 32596 . 2 (𝜑 → (ℕ(repr‘𝑆)𝑁) = ((ℕ ∩ (1...𝑁))(repr‘𝑆)𝑁))
5 fz1ssnn 13284 . . . . 5 (1...𝑁) ⊆ ℕ
6 dfss 3910 . . . . 5 ((1...𝑁) ⊆ ℕ ↔ (1...𝑁) = ((1...𝑁) ∩ ℕ))
75, 6mpbi 229 . . . 4 (1...𝑁) = ((1...𝑁) ∩ ℕ)
8 incom 4140 . . . 4 ((1...𝑁) ∩ ℕ) = (ℕ ∩ (1...𝑁))
97, 8eqtri 2768 . . 3 (1...𝑁) = (ℕ ∩ (1...𝑁))
109oveq1i 7279 . 2 ((1...𝑁)(repr‘𝑆)𝑁) = ((ℕ ∩ (1...𝑁))(repr‘𝑆)𝑁)
114, 10eqtr4di 2798 1 (𝜑 → (ℕ(repr‘𝑆)𝑁) = ((1...𝑁)(repr‘𝑆)𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1542  wcel 2110  cin 3891  wss 3892  cfv 6431  (class class class)co 7269  1c1 10871  cn 11971  0cn0 12231  ...cfz 13236  reprcrepr 32582
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-rep 5214  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pow 5292  ax-pr 5356  ax-un 7580  ax-inf2 9375  ax-cnex 10926  ax-resscn 10927  ax-1cn 10928  ax-icn 10929  ax-addcl 10930  ax-addrcl 10931  ax-mulcl 10932  ax-mulrcl 10933  ax-mulcom 10934  ax-addass 10935  ax-mulass 10936  ax-distr 10937  ax-i2m1 10938  ax-1ne0 10939  ax-1rid 10940  ax-rnegex 10941  ax-rrecex 10942  ax-cnre 10943  ax-pre-lttri 10944  ax-pre-lttrn 10945  ax-pre-ltadd 10946  ax-pre-mulgt0 10947  ax-pre-sup 10948
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ne 2946  df-nel 3052  df-ral 3071  df-rex 3072  df-reu 3073  df-rmo 3074  df-rab 3075  df-v 3433  df-sbc 3721  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4846  df-int 4886  df-iun 4932  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5163  df-tr 5197  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-se 5545  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6200  df-ord 6267  df-on 6268  df-lim 6269  df-suc 6270  df-iota 6389  df-fun 6433  df-fn 6434  df-f 6435  df-f1 6436  df-fo 6437  df-f1o 6438  df-fv 6439  df-isom 6440  df-riota 7226  df-ov 7272  df-oprab 7273  df-mpo 7274  df-om 7705  df-1st 7822  df-2nd 7823  df-frecs 8086  df-wrecs 8117  df-recs 8191  df-rdg 8230  df-1o 8286  df-er 8479  df-map 8598  df-en 8715  df-dom 8716  df-sdom 8717  df-fin 8718  df-sup 9177  df-oi 9245  df-card 9696  df-pnf 11010  df-mnf 11011  df-xr 11012  df-ltxr 11013  df-le 11014  df-sub 11205  df-neg 11206  df-div 11631  df-nn 11972  df-2 12034  df-3 12035  df-n0 12232  df-z 12318  df-uz 12580  df-rp 12728  df-ico 13082  df-fz 13237  df-fzo 13380  df-seq 13718  df-exp 13779  df-hash 14041  df-cj 14806  df-re 14807  df-im 14808  df-sqrt 14942  df-abs 14943  df-clim 15193  df-sum 15394  df-repr 32583
This theorem is referenced by:  hashrepr  32599  circlemeth  32614
  Copyright terms: Public domain W3C validator