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Theorem cmpsublem 21410
Description: Lemma for cmpsub 21411. (Contributed by Jeff Hankins, 28-Jun-2009.)
Hypothesis
Ref Expression
cmpsub.1 𝑋 = 𝐽
Assertion
Ref Expression
cmpsublem ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) → (∀𝑐 ∈ 𝒫 𝐽(𝑆 𝑐 → ∃𝑑 ∈ (𝒫 𝑐 ∩ Fin)𝑆 𝑑) → ∀𝑠 ∈ 𝒫 (𝐽t 𝑆)( (𝐽t 𝑆) = 𝑠 → ∃𝑡 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin) (𝐽t 𝑆) = 𝑡)))
Distinct variable groups:   𝑐,𝑑,𝑠,𝑡,𝐽   𝑆,𝑐,𝑑,𝑠,𝑡   𝑋,𝑐,𝑑,𝑠,𝑡

Proof of Theorem cmpsublem
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑢 𝑣 𝑤 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rabexg 5000 . . . . . . 7 (𝐽 ∈ Top → {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠} ∈ V)
21ad2antrr 708 . . . . . 6 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 (𝐽t 𝑆)) → {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠} ∈ V)
3 ssrab2 3878 . . . . . . 7 {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠} ⊆ 𝐽
4 elpwg 4353 . . . . . . 7 ({𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠} ∈ V → ({𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠} ∈ 𝒫 𝐽 ↔ {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠} ⊆ 𝐽))
53, 4mpbiri 249 . . . . . 6 ({𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠} ∈ V → {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠} ∈ 𝒫 𝐽)
62, 5syl 17 . . . . 5 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 (𝐽t 𝑆)) → {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠} ∈ 𝒫 𝐽)
7 unieq 4631 . . . . . . . 8 (𝑐 = {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠} → 𝑐 = {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠})
87sseq2d 3824 . . . . . . 7 (𝑐 = {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠} → (𝑆 𝑐𝑆 {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠}))
9 pweq 4348 . . . . . . . . 9 (𝑐 = {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠} → 𝒫 𝑐 = 𝒫 {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠})
109ineq1d 4006 . . . . . . . 8 (𝑐 = {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠} → (𝒫 𝑐 ∩ Fin) = (𝒫 {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠} ∩ Fin))
1110rexeqdv 3330 . . . . . . 7 (𝑐 = {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠} → (∃𝑑 ∈ (𝒫 𝑐 ∩ Fin)𝑆 𝑑 ↔ ∃𝑑 ∈ (𝒫 {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠} ∩ Fin)𝑆 𝑑))
128, 11imbi12d 335 . . . . . 6 (𝑐 = {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠} → ((𝑆 𝑐 → ∃𝑑 ∈ (𝒫 𝑐 ∩ Fin)𝑆 𝑑) ↔ (𝑆 {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠} → ∃𝑑 ∈ (𝒫 {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠} ∩ Fin)𝑆 𝑑)))
1312rspcva 3496 . . . . 5 (({𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠} ∈ 𝒫 𝐽 ∧ ∀𝑐 ∈ 𝒫 𝐽(𝑆 𝑐 → ∃𝑑 ∈ (𝒫 𝑐 ∩ Fin)𝑆 𝑑)) → (𝑆 {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠} → ∃𝑑 ∈ (𝒫 {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠} ∩ Fin)𝑆 𝑑))
146, 13sylan 571 . . . 4 ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 (𝐽t 𝑆)) ∧ ∀𝑐 ∈ 𝒫 𝐽(𝑆 𝑐 → ∃𝑑 ∈ (𝒫 𝑐 ∩ Fin)𝑆 𝑑)) → (𝑆 {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠} → ∃𝑑 ∈ (𝒫 {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠} ∩ Fin)𝑆 𝑑))
1514ex 399 . . 3 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 (𝐽t 𝑆)) → (∀𝑐 ∈ 𝒫 𝐽(𝑆 𝑐 → ∃𝑑 ∈ (𝒫 𝑐 ∩ Fin)𝑆 𝑑) → (𝑆 {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠} → ∃𝑑 ∈ (𝒫 {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠} ∩ Fin)𝑆 𝑑)))
16 cmpsub.1 . . . . . . . 8 𝑋 = 𝐽
1716restuni 21174 . . . . . . 7 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) → 𝑆 = (𝐽t 𝑆))
1817adantr 468 . . . . . 6 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 (𝐽t 𝑆)) → 𝑆 = (𝐽t 𝑆))
1918eqeq1d 2804 . . . . 5 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 (𝐽t 𝑆)) → (𝑆 = 𝑠 (𝐽t 𝑆) = 𝑠))
20 selpw 4352 . . . . . . . . . . 11 (𝑠 ∈ 𝒫 (𝐽t 𝑆) ↔ 𝑠 ⊆ (𝐽t 𝑆))
21 eleq2 2870 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑆 = 𝑠 → (𝑡𝑆𝑡 𝑠))
22 eluni 4626 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑡 𝑠 ↔ ∃𝑢(𝑡𝑢𝑢𝑠))
2321, 22syl6bb 278 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑆 = 𝑠 → (𝑡𝑆 ↔ ∃𝑢(𝑡𝑢𝑢𝑠)))
2423adantl 469 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑠 ⊆ (𝐽t 𝑆)) ∧ 𝑆 = 𝑠) → (𝑡𝑆 ↔ ∃𝑢(𝑡𝑢𝑢𝑠)))
25 ssel 3786 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑠 ⊆ (𝐽t 𝑆) → (𝑢𝑠𝑢 ∈ (𝐽t 𝑆)))
2616sseq2i 3821 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑆𝑋𝑆 𝐽)
27 uniexg 7179 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝐽 ∈ Top → 𝐽 ∈ V)
28 ssexg 4993 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑆 𝐽 𝐽 ∈ V) → 𝑆 ∈ V)
2928ancoms 448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (( 𝐽 ∈ V ∧ 𝑆 𝐽) → 𝑆 ∈ V)
3027, 29sylan 571 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 𝐽) → 𝑆 ∈ V)
3126, 30sylan2b 583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) → 𝑆 ∈ V)
32 elrest 16287 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ V) → (𝑢 ∈ (𝐽t 𝑆) ↔ ∃𝑤𝐽 𝑢 = (𝑤𝑆)))
3331, 32syldan 581 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) → (𝑢 ∈ (𝐽t 𝑆) ↔ ∃𝑤𝐽 𝑢 = (𝑤𝑆)))
34 inss1 4023 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑤𝑆) ⊆ 𝑤
35 sseq1 3817 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑢 = (𝑤𝑆) → (𝑢𝑤 ↔ (𝑤𝑆) ⊆ 𝑤))
3634, 35mpbiri 249 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑢 = (𝑤𝑆) → 𝑢𝑤)
3736sselda 3792 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑢 = (𝑤𝑆) ∧ 𝑡𝑢) → 𝑡𝑤)
38373ad2antl3 1231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑤𝐽𝑢 = (𝑤𝑆)) ∧ 𝑡𝑢) → 𝑡𝑤)
39383adant2 1154 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑤𝐽𝑢 = (𝑤𝑆)) ∧ 𝑢𝑠𝑡𝑢) → 𝑡𝑤)
40 simp12 1254 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑤𝐽𝑢 = (𝑤𝑆)) ∧ 𝑢𝑠𝑡𝑢) → 𝑤𝐽)
41 eleq1 2869 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑢 = (𝑤𝑆) → (𝑢𝑠 ↔ (𝑤𝑆) ∈ 𝑠))
4241biimpa 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑢 = (𝑤𝑆) ∧ 𝑢𝑠) → (𝑤𝑆) ∈ 𝑠)
43423ad2antl3 1231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑤𝐽𝑢 = (𝑤𝑆)) ∧ 𝑢𝑠) → (𝑤𝑆) ∈ 𝑠)
44433adant3 1155 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑤𝐽𝑢 = (𝑤𝑆)) ∧ 𝑢𝑠𝑡𝑢) → (𝑤𝑆) ∈ 𝑠)
45 ineq1 4000 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑦 = 𝑤 → (𝑦𝑆) = (𝑤𝑆))
4645eleq1d 2866 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑦 = 𝑤 → ((𝑦𝑆) ∈ 𝑠 ↔ (𝑤𝑆) ∈ 𝑠))
4746elrab 3555 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑤 ∈ {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠} ↔ (𝑤𝐽 ∧ (𝑤𝑆) ∈ 𝑠))
4840, 44, 47sylanbrc 574 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑤𝐽𝑢 = (𝑤𝑆)) ∧ 𝑢𝑠𝑡𝑢) → 𝑤 ∈ {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠})
49 vex 3390 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 𝑤 ∈ V
50 eleq2 2870 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑣 = 𝑤 → (𝑡𝑣𝑡𝑤))
51 eleq1 2869 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑣 = 𝑤 → (𝑣 ∈ {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠} ↔ 𝑤 ∈ {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠}))
5250, 51anbi12d 618 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑣 = 𝑤 → ((𝑡𝑣𝑣 ∈ {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠}) ↔ (𝑡𝑤𝑤 ∈ {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠})))
5349, 52spcev 3489 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑡𝑤𝑤 ∈ {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠}) → ∃𝑣(𝑡𝑣𝑣 ∈ {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠}))
5439, 48, 53syl2anc 575 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑤𝐽𝑢 = (𝑤𝑆)) ∧ 𝑢𝑠𝑡𝑢) → ∃𝑣(𝑡𝑣𝑣 ∈ {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠}))
55543exp 1141 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑤𝐽𝑢 = (𝑤𝑆)) → (𝑢𝑠 → (𝑡𝑢 → ∃𝑣(𝑡𝑣𝑣 ∈ {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠}))))
5655rexlimdv3a 3217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) → (∃𝑤𝐽 𝑢 = (𝑤𝑆) → (𝑢𝑠 → (𝑡𝑢 → ∃𝑣(𝑡𝑣𝑣 ∈ {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠})))))
5733, 56sylbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) → (𝑢 ∈ (𝐽t 𝑆) → (𝑢𝑠 → (𝑡𝑢 → ∃𝑣(𝑡𝑣𝑣 ∈ {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠})))))
5857com23 86 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) → (𝑢𝑠 → (𝑢 ∈ (𝐽t 𝑆) → (𝑡𝑢 → ∃𝑣(𝑡𝑣𝑣 ∈ {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠})))))
5958com4l 92 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑢𝑠 → (𝑢 ∈ (𝐽t 𝑆) → (𝑡𝑢 → ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) → ∃𝑣(𝑡𝑣𝑣 ∈ {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠})))))
6025, 59sylcom 30 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑠 ⊆ (𝐽t 𝑆) → (𝑢𝑠 → (𝑡𝑢 → ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) → ∃𝑣(𝑡𝑣𝑣 ∈ {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠})))))
6160com24 95 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑠 ⊆ (𝐽t 𝑆) → ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) → (𝑡𝑢 → (𝑢𝑠 → ∃𝑣(𝑡𝑣𝑣 ∈ {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠})))))
6261impcom 396 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑠 ⊆ (𝐽t 𝑆)) → (𝑡𝑢 → (𝑢𝑠 → ∃𝑣(𝑡𝑣𝑣 ∈ {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠}))))
6362impd 398 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑠 ⊆ (𝐽t 𝑆)) → ((𝑡𝑢𝑢𝑠) → ∃𝑣(𝑡𝑣𝑣 ∈ {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠})))
6463exlimdv 2023 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑠 ⊆ (𝐽t 𝑆)) → (∃𝑢(𝑡𝑢𝑢𝑠) → ∃𝑣(𝑡𝑣𝑣 ∈ {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠})))
6564adantr 468 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑠 ⊆ (𝐽t 𝑆)) ∧ 𝑆 = 𝑠) → (∃𝑢(𝑡𝑢𝑢𝑠) → ∃𝑣(𝑡𝑣𝑣 ∈ {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠})))
6624, 65sylbid 231 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑠 ⊆ (𝐽t 𝑆)) ∧ 𝑆 = 𝑠) → (𝑡𝑆 → ∃𝑣(𝑡𝑣𝑣 ∈ {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠})))
6766ex 399 . . . . . . . . . . 11 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑠 ⊆ (𝐽t 𝑆)) → (𝑆 = 𝑠 → (𝑡𝑆 → ∃𝑣(𝑡𝑣𝑣 ∈ {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠}))))
6820, 67sylan2b 583 . . . . . . . . . 10 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 (𝐽t 𝑆)) → (𝑆 = 𝑠 → (𝑡𝑆 → ∃𝑣(𝑡𝑣𝑣 ∈ {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠}))))
6968imp 395 . . . . . . . . 9 ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 (𝐽t 𝑆)) ∧ 𝑆 = 𝑠) → (𝑡𝑆 → ∃𝑣(𝑡𝑣𝑣 ∈ {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠})))
70 eluni 4626 . . . . . . . . 9 (𝑡 {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠} ↔ ∃𝑣(𝑡𝑣𝑣 ∈ {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠}))
7169, 70syl6ibr 243 . . . . . . . 8 ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 (𝐽t 𝑆)) ∧ 𝑆 = 𝑠) → (𝑡𝑆𝑡 {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠}))
7271ssrdv 3798 . . . . . . 7 ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 (𝐽t 𝑆)) ∧ 𝑆 = 𝑠) → 𝑆 {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠})
73 pm2.27 42 . . . . . . . . 9 (𝑆 {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠} → ((𝑆 {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠} → ∃𝑑 ∈ (𝒫 {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠} ∩ Fin)𝑆 𝑑) → ∃𝑑 ∈ (𝒫 {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠} ∩ Fin)𝑆 𝑑))
74 elin 3989 . . . . . . . . . . 11 (𝑑 ∈ (𝒫 {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠} ∩ Fin) ↔ (𝑑 ∈ 𝒫 {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠} ∧ 𝑑 ∈ Fin))
75 vex 3390 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑡 ∈ V
76 eqeq1 2806 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 = 𝑡 → (𝑥 = (𝑧𝑆) ↔ 𝑡 = (𝑧𝑆)))
7776rexbidv 3236 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 = 𝑡 → (∃𝑧𝑑 𝑥 = (𝑧𝑆) ↔ ∃𝑧𝑑 𝑡 = (𝑧𝑆)))
7875, 77elab 3541 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑡 ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑧𝑑 𝑥 = (𝑧𝑆)} ↔ ∃𝑧𝑑 𝑡 = (𝑧𝑆))
79 selpw 4352 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑑 ∈ 𝒫 {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠} ↔ 𝑑 ⊆ {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠})
80 ssel 3786 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑑 ⊆ {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠} → (𝑧𝑑𝑧 ∈ {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠}))
81 ineq1 4000 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑦 = 𝑧 → (𝑦𝑆) = (𝑧𝑆))
8281eleq1d 2866 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑦 = 𝑧 → ((𝑦𝑆) ∈ 𝑠 ↔ (𝑧𝑆) ∈ 𝑠))
8382elrab 3555 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑧 ∈ {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠} ↔ (𝑧𝐽 ∧ (𝑧𝑆) ∈ 𝑠))
84 eleq1a 2876 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑧𝑆) ∈ 𝑠 → (𝑡 = (𝑧𝑆) → 𝑡𝑠))
8584adantl 469 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑧𝐽 ∧ (𝑧𝑆) ∈ 𝑠) → (𝑡 = (𝑧𝑆) → 𝑡𝑠))
8683, 85sylbi 208 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑧 ∈ {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠} → (𝑡 = (𝑧𝑆) → 𝑡𝑠))
8780, 86syl6 35 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑑 ⊆ {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠} → (𝑧𝑑 → (𝑡 = (𝑧𝑆) → 𝑡𝑠)))
88872a1d 26 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑑 ⊆ {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠} → (𝑆 𝑑 → ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 (𝐽t 𝑆)) ∧ 𝑆 = 𝑠) → (𝑧𝑑 → (𝑡 = (𝑧𝑆) → 𝑡𝑠)))))
8988adantr 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑑 ⊆ {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠} ∧ 𝑑 ∈ Fin) → (𝑆 𝑑 → ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 (𝐽t 𝑆)) ∧ 𝑆 = 𝑠) → (𝑧𝑑 → (𝑡 = (𝑧𝑆) → 𝑡𝑠)))))
9079, 89sylanb 572 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑑 ∈ 𝒫 {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠} ∧ 𝑑 ∈ Fin) → (𝑆 𝑑 → ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 (𝐽t 𝑆)) ∧ 𝑆 = 𝑠) → (𝑧𝑑 → (𝑡 = (𝑧𝑆) → 𝑡𝑠)))))
91903imp 1130 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑑 ∈ 𝒫 {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠} ∧ 𝑑 ∈ Fin) ∧ 𝑆 𝑑 ∧ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 (𝐽t 𝑆)) ∧ 𝑆 = 𝑠)) → (𝑧𝑑 → (𝑡 = (𝑧𝑆) → 𝑡𝑠)))
9291rexlimdv 3214 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑑 ∈ 𝒫 {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠} ∧ 𝑑 ∈ Fin) ∧ 𝑆 𝑑 ∧ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 (𝐽t 𝑆)) ∧ 𝑆 = 𝑠)) → (∃𝑧𝑑 𝑡 = (𝑧𝑆) → 𝑡𝑠))
9378, 92syl5bi 233 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑑 ∈ 𝒫 {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠} ∧ 𝑑 ∈ Fin) ∧ 𝑆 𝑑 ∧ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 (𝐽t 𝑆)) ∧ 𝑆 = 𝑠)) → (𝑡 ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑧𝑑 𝑥 = (𝑧𝑆)} → 𝑡𝑠))
9493ssrdv 3798 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑑 ∈ 𝒫 {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠} ∧ 𝑑 ∈ Fin) ∧ 𝑆 𝑑 ∧ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 (𝐽t 𝑆)) ∧ 𝑆 = 𝑠)) → {𝑥 ∣ ∃𝑧𝑑 𝑥 = (𝑧𝑆)} ⊆ 𝑠)
95 vex 3390 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑑 ∈ V
9695abrexex 7365 . . . . . . . . . . . . . . . 16 {𝑥 ∣ ∃𝑧𝑑 𝑥 = (𝑧𝑆)} ∈ V
9796elpw 4351 . . . . . . . . . . . . . . 15 ({𝑥 ∣ ∃𝑧𝑑 𝑥 = (𝑧𝑆)} ∈ 𝒫 𝑠 ↔ {𝑥 ∣ ∃𝑧𝑑 𝑥 = (𝑧𝑆)} ⊆ 𝑠)
9894, 97sylibr 225 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑑 ∈ 𝒫 {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠} ∧ 𝑑 ∈ Fin) ∧ 𝑆 𝑑 ∧ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 (𝐽t 𝑆)) ∧ 𝑆 = 𝑠)) → {𝑥 ∣ ∃𝑧𝑑 𝑥 = (𝑧𝑆)} ∈ 𝒫 𝑠)
99 abrexfi 8499 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑑 ∈ Fin → {𝑥 ∣ ∃𝑧𝑑 𝑥 = (𝑧𝑆)} ∈ Fin)
10099ad2antlr 709 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑑 ∈ 𝒫 {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠} ∧ 𝑑 ∈ Fin) ∧ 𝑆 𝑑) → {𝑥 ∣ ∃𝑧𝑑 𝑥 = (𝑧𝑆)} ∈ Fin)
1011003adant3 1155 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑑 ∈ 𝒫 {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠} ∧ 𝑑 ∈ Fin) ∧ 𝑆 𝑑 ∧ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 (𝐽t 𝑆)) ∧ 𝑆 = 𝑠)) → {𝑥 ∣ ∃𝑧𝑑 𝑥 = (𝑧𝑆)} ∈ Fin)
10298, 101elind 3991 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑑 ∈ 𝒫 {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠} ∧ 𝑑 ∈ Fin) ∧ 𝑆 𝑑 ∧ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 (𝐽t 𝑆)) ∧ 𝑆 = 𝑠)) → {𝑥 ∣ ∃𝑧𝑑 𝑥 = (𝑧𝑆)} ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin))
103 dfss 3778 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑆 𝑑𝑆 = (𝑆 𝑑))
104103biimpi 207 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑆 𝑑𝑆 = (𝑆 𝑑))
105 uniiun 4758 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑑 = 𝑧𝑑 𝑧
106105ineq2i 4004 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑆 𝑑) = (𝑆 𝑧𝑑 𝑧)
107 iunin2 4769 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑧𝑑 (𝑆𝑧) = (𝑆 𝑧𝑑 𝑧)
108 incom 3998 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑆𝑧) = (𝑧𝑆)
109108a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑧𝑑 → (𝑆𝑧) = (𝑧𝑆))
110109iuneq2i 4724 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑧𝑑 (𝑆𝑧) = 𝑧𝑑 (𝑧𝑆)
111106, 107, 1103eqtr2i 2830 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑆 𝑑) = 𝑧𝑑 (𝑧𝑆)
112104, 111syl6eq 2852 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑆 𝑑𝑆 = 𝑧𝑑 (𝑧𝑆))
1131123ad2ant2 1157 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑑 ∈ 𝒫 {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠} ∧ 𝑑 ∈ Fin) ∧ 𝑆 𝑑 ∧ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 (𝐽t 𝑆)) ∧ 𝑆 = 𝑠)) → 𝑆 = 𝑧𝑑 (𝑧𝑆))
11418ad2antrl 710 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑆 𝑑 ∧ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 (𝐽t 𝑆)) ∧ 𝑆 = 𝑠)) → 𝑆 = (𝐽t 𝑆))
1151143adant1 1153 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑑 ∈ 𝒫 {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠} ∧ 𝑑 ∈ Fin) ∧ 𝑆 𝑑 ∧ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 (𝐽t 𝑆)) ∧ 𝑆 = 𝑠)) → 𝑆 = (𝐽t 𝑆))
116 vex 3390 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑧 ∈ V
117116inex1 4988 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑧𝑆) ∈ V
118117dfiun2 4739 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑧𝑑 (𝑧𝑆) = {𝑥 ∣ ∃𝑧𝑑 𝑥 = (𝑧𝑆)}
119118a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑑 ∈ 𝒫 {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠} ∧ 𝑑 ∈ Fin) ∧ 𝑆 𝑑 ∧ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 (𝐽t 𝑆)) ∧ 𝑆 = 𝑠)) → 𝑧𝑑 (𝑧𝑆) = {𝑥 ∣ ∃𝑧𝑑 𝑥 = (𝑧𝑆)})
120113, 115, 1193eqtr3d 2844 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑑 ∈ 𝒫 {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠} ∧ 𝑑 ∈ Fin) ∧ 𝑆 𝑑 ∧ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 (𝐽t 𝑆)) ∧ 𝑆 = 𝑠)) → (𝐽t 𝑆) = {𝑥 ∣ ∃𝑧𝑑 𝑥 = (𝑧𝑆)})
121 unieq 4631 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑡 = {𝑥 ∣ ∃𝑧𝑑 𝑥 = (𝑧𝑆)} → 𝑡 = {𝑥 ∣ ∃𝑧𝑑 𝑥 = (𝑧𝑆)})
122121rspceeqv 3516 . . . . . . . . . . . . 13 (({𝑥 ∣ ∃𝑧𝑑 𝑥 = (𝑧𝑆)} ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin) ∧ (𝐽t 𝑆) = {𝑥 ∣ ∃𝑧𝑑 𝑥 = (𝑧𝑆)}) → ∃𝑡 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin) (𝐽t 𝑆) = 𝑡)
123102, 120, 122syl2anc 575 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑑 ∈ 𝒫 {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠} ∧ 𝑑 ∈ Fin) ∧ 𝑆 𝑑 ∧ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 (𝐽t 𝑆)) ∧ 𝑆 = 𝑠)) → ∃𝑡 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin) (𝐽t 𝑆) = 𝑡)
1241233exp 1141 . . . . . . . . . . 11 ((𝑑 ∈ 𝒫 {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠} ∧ 𝑑 ∈ Fin) → (𝑆 𝑑 → ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 (𝐽t 𝑆)) ∧ 𝑆 = 𝑠) → ∃𝑡 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin) (𝐽t 𝑆) = 𝑡)))
12574, 124sylbi 208 . . . . . . . . . 10 (𝑑 ∈ (𝒫 {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠} ∩ Fin) → (𝑆 𝑑 → ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 (𝐽t 𝑆)) ∧ 𝑆 = 𝑠) → ∃𝑡 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin) (𝐽t 𝑆) = 𝑡)))
126125rexlimiv 3211 . . . . . . . . 9 (∃𝑑 ∈ (𝒫 {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠} ∩ Fin)𝑆 𝑑 → ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 (𝐽t 𝑆)) ∧ 𝑆 = 𝑠) → ∃𝑡 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin) (𝐽t 𝑆) = 𝑡))
12773, 126syl6 35 . . . . . . . 8 (𝑆 {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠} → ((𝑆 {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠} → ∃𝑑 ∈ (𝒫 {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠} ∩ Fin)𝑆 𝑑) → ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 (𝐽t 𝑆)) ∧ 𝑆 = 𝑠) → ∃𝑡 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin) (𝐽t 𝑆) = 𝑡)))
128127com3r 87 . . . . . . 7 ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 (𝐽t 𝑆)) ∧ 𝑆 = 𝑠) → (𝑆 {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠} → ((𝑆 {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠} → ∃𝑑 ∈ (𝒫 {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠} ∩ Fin)𝑆 𝑑) → ∃𝑡 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin) (𝐽t 𝑆) = 𝑡)))
12972, 128mpd 15 . . . . . 6 ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 (𝐽t 𝑆)) ∧ 𝑆 = 𝑠) → ((𝑆 {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠} → ∃𝑑 ∈ (𝒫 {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠} ∩ Fin)𝑆 𝑑) → ∃𝑡 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin) (𝐽t 𝑆) = 𝑡))
130129ex 399 . . . . 5 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 (𝐽t 𝑆)) → (𝑆 = 𝑠 → ((𝑆 {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠} → ∃𝑑 ∈ (𝒫 {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠} ∩ Fin)𝑆 𝑑) → ∃𝑡 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin) (𝐽t 𝑆) = 𝑡)))
13119, 130sylbird 251 . . . 4 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 (𝐽t 𝑆)) → ( (𝐽t 𝑆) = 𝑠 → ((𝑆 {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠} → ∃𝑑 ∈ (𝒫 {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠} ∩ Fin)𝑆 𝑑) → ∃𝑡 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin) (𝐽t 𝑆) = 𝑡)))
132131com23 86 . . 3 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 (𝐽t 𝑆)) → ((𝑆 {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠} → ∃𝑑 ∈ (𝒫 {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠} ∩ Fin)𝑆 𝑑) → ( (𝐽t 𝑆) = 𝑠 → ∃𝑡 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin) (𝐽t 𝑆) = 𝑡)))
13315, 132syld 47 . 2 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 (𝐽t 𝑆)) → (∀𝑐 ∈ 𝒫 𝐽(𝑆 𝑐 → ∃𝑑 ∈ (𝒫 𝑐 ∩ Fin)𝑆 𝑑) → ( (𝐽t 𝑆) = 𝑠 → ∃𝑡 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin) (𝐽t 𝑆) = 𝑡)))
134133ralrimdva 3153 1 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) → (∀𝑐 ∈ 𝒫 𝐽(𝑆 𝑐 → ∃𝑑 ∈ (𝒫 𝑐 ∩ Fin)𝑆 𝑑) → ∀𝑠 ∈ 𝒫 (𝐽t 𝑆)( (𝐽t 𝑆) = 𝑠 → ∃𝑡 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin) (𝐽t 𝑆) = 𝑡)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 197  wa 384  w3a 1100   = wceq 1637  wex 1859  wcel 2155  {cab 2788  wral 3092  wrex 3093  {crab 3096  Vcvv 3387  cin 3762  wss 3763  𝒫 cpw 4345   cuni 4623   ciun 4705  (class class class)co 6868  Fincfn 8186  t crest 16280  Topctop 20905
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1877  ax-4 1894  ax-5 2001  ax-6 2067  ax-7 2103  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2184  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2419  ax-ext 2781  ax-rep 4957  ax-sep 4968  ax-nul 4977  ax-pow 5029  ax-pr 5090  ax-un 7173
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3or 1101  df-3an 1102  df-tru 1641  df-ex 1860  df-nf 1864  df-sb 2060  df-eu 2633  df-mo 2634  df-clab 2789  df-cleq 2795  df-clel 2798  df-nfc 2933  df-ne 2975  df-ral 3097  df-rex 3098  df-reu 3099  df-rab 3101  df-v 3389  df-sbc 3628  df-csb 3723  df-dif 3766  df-un 3768  df-in 3770  df-ss 3777  df-pss 3779  df-nul 4111  df-if 4274  df-pw 4347  df-sn 4365  df-pr 4367  df-tp 4369  df-op 4371  df-uni 4624  df-int 4663  df-iun 4707  df-br 4838  df-opab 4900  df-mpt 4917  df-tr 4940  df-id 5213  df-eprel 5218  df-po 5226  df-so 5227  df-fr 5264  df-we 5266  df-xp 5311  df-rel 5312  df-cnv 5313  df-co 5314  df-dm 5315  df-rn 5316  df-res 5317  df-ima 5318  df-pred 5887  df-ord 5933  df-on 5934  df-lim 5935  df-suc 5936  df-iota 6058  df-fun 6097  df-fn 6098  df-f 6099  df-f1 6100  df-fo 6101  df-f1o 6102  df-fv 6103  df-ov 6871  df-oprab 6872  df-mpt2 6873  df-om 7290  df-1st 7392  df-2nd 7393  df-wrecs 7636  df-recs 7698  df-rdg 7736  df-1o 7790  df-oadd 7794  df-er 7973  df-en 8187  df-dom 8188  df-fin 8190  df-fi 8550  df-rest 16282  df-topgen 16303  df-top 20906  df-topon 20923  df-bases 20958
This theorem is referenced by:  cmpsub  21411
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