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Theorem cmpsublem 22766
Description: Lemma for cmpsub 22767. (Contributed by Jeff Hankins, 28-Jun-2009.)
Hypothesis
Ref Expression
cmpsub.1 𝑋 = 𝐽
Assertion
Ref Expression
cmpsublem ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) → (∀𝑐 ∈ 𝒫 𝐽(𝑆 𝑐 → ∃𝑑 ∈ (𝒫 𝑐 ∩ Fin)𝑆 𝑑) → ∀𝑠 ∈ 𝒫 (𝐽t 𝑆)( (𝐽t 𝑆) = 𝑠 → ∃𝑡 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin) (𝐽t 𝑆) = 𝑡)))
Distinct variable groups:   𝑐,𝑑,𝑠,𝑡,𝐽   𝑆,𝑐,𝑑,𝑠,𝑡   𝑋,𝑐,𝑑,𝑠,𝑡

Proof of Theorem cmpsublem
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑢 𝑣 𝑤 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rabexg 5289 . . . . . . 7 (𝐽 ∈ Top → {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠} ∈ V)
21ad2antrr 725 . . . . . 6 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 (𝐽t 𝑆)) → {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠} ∈ V)
3 ssrab2 4038 . . . . . . 7 {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠} ⊆ 𝐽
4 elpwg 4564 . . . . . . 7 ({𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠} ∈ V → ({𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠} ∈ 𝒫 𝐽 ↔ {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠} ⊆ 𝐽))
53, 4mpbiri 258 . . . . . 6 ({𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠} ∈ V → {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠} ∈ 𝒫 𝐽)
62, 5syl 17 . . . . 5 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 (𝐽t 𝑆)) → {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠} ∈ 𝒫 𝐽)
7 unieq 4877 . . . . . . . 8 (𝑐 = {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠} → 𝑐 = {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠})
87sseq2d 3977 . . . . . . 7 (𝑐 = {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠} → (𝑆 𝑐𝑆 {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠}))
9 pweq 4575 . . . . . . . . 9 (𝑐 = {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠} → 𝒫 𝑐 = 𝒫 {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠})
109ineq1d 4172 . . . . . . . 8 (𝑐 = {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠} → (𝒫 𝑐 ∩ Fin) = (𝒫 {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠} ∩ Fin))
1110rexeqdv 3313 . . . . . . 7 (𝑐 = {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠} → (∃𝑑 ∈ (𝒫 𝑐 ∩ Fin)𝑆 𝑑 ↔ ∃𝑑 ∈ (𝒫 {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠} ∩ Fin)𝑆 𝑑))
128, 11imbi12d 345 . . . . . 6 (𝑐 = {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠} → ((𝑆 𝑐 → ∃𝑑 ∈ (𝒫 𝑐 ∩ Fin)𝑆 𝑑) ↔ (𝑆 {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠} → ∃𝑑 ∈ (𝒫 {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠} ∩ Fin)𝑆 𝑑)))
1312rspcva 3578 . . . . 5 (({𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠} ∈ 𝒫 𝐽 ∧ ∀𝑐 ∈ 𝒫 𝐽(𝑆 𝑐 → ∃𝑑 ∈ (𝒫 𝑐 ∩ Fin)𝑆 𝑑)) → (𝑆 {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠} → ∃𝑑 ∈ (𝒫 {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠} ∩ Fin)𝑆 𝑑))
146, 13sylan 581 . . . 4 ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 (𝐽t 𝑆)) ∧ ∀𝑐 ∈ 𝒫 𝐽(𝑆 𝑐 → ∃𝑑 ∈ (𝒫 𝑐 ∩ Fin)𝑆 𝑑)) → (𝑆 {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠} → ∃𝑑 ∈ (𝒫 {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠} ∩ Fin)𝑆 𝑑))
1514ex 414 . . 3 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 (𝐽t 𝑆)) → (∀𝑐 ∈ 𝒫 𝐽(𝑆 𝑐 → ∃𝑑 ∈ (𝒫 𝑐 ∩ Fin)𝑆 𝑑) → (𝑆 {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠} → ∃𝑑 ∈ (𝒫 {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠} ∩ Fin)𝑆 𝑑)))
16 cmpsub.1 . . . . . . . 8 𝑋 = 𝐽
1716restuni 22529 . . . . . . 7 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) → 𝑆 = (𝐽t 𝑆))
1817adantr 482 . . . . . 6 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 (𝐽t 𝑆)) → 𝑆 = (𝐽t 𝑆))
1918eqeq1d 2735 . . . . 5 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 (𝐽t 𝑆)) → (𝑆 = 𝑠 (𝐽t 𝑆) = 𝑠))
20 velpw 4566 . . . . . . . . . . 11 (𝑠 ∈ 𝒫 (𝐽t 𝑆) ↔ 𝑠 ⊆ (𝐽t 𝑆))
21 eleq2 2823 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑆 = 𝑠 → (𝑡𝑆𝑡 𝑠))
22 eluni 4869 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑡 𝑠 ↔ ∃𝑢(𝑡𝑢𝑢𝑠))
2321, 22bitrdi 287 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑆 = 𝑠 → (𝑡𝑆 ↔ ∃𝑢(𝑡𝑢𝑢𝑠)))
2423adantl 483 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑠 ⊆ (𝐽t 𝑆)) ∧ 𝑆 = 𝑠) → (𝑡𝑆 ↔ ∃𝑢(𝑡𝑢𝑢𝑠)))
25 ssel 3938 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑠 ⊆ (𝐽t 𝑆) → (𝑢𝑠𝑢 ∈ (𝐽t 𝑆)))
2616sseq2i 3974 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑆𝑋𝑆 𝐽)
27 uniexg 7678 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝐽 ∈ Top → 𝐽 ∈ V)
28 ssexg 5281 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑆 𝐽 𝐽 ∈ V) → 𝑆 ∈ V)
2928ancoms 460 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (( 𝐽 ∈ V ∧ 𝑆 𝐽) → 𝑆 ∈ V)
3027, 29sylan 581 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 𝐽) → 𝑆 ∈ V)
3126, 30sylan2b 595 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) → 𝑆 ∈ V)
32 elrest 17314 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ V) → (𝑢 ∈ (𝐽t 𝑆) ↔ ∃𝑤𝐽 𝑢 = (𝑤𝑆)))
3331, 32syldan 592 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) → (𝑢 ∈ (𝐽t 𝑆) ↔ ∃𝑤𝐽 𝑢 = (𝑤𝑆)))
34 inss1 4189 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑤𝑆) ⊆ 𝑤
35 sseq1 3970 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑢 = (𝑤𝑆) → (𝑢𝑤 ↔ (𝑤𝑆) ⊆ 𝑤))
3634, 35mpbiri 258 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑢 = (𝑤𝑆) → 𝑢𝑤)
3736sselda 3945 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑢 = (𝑤𝑆) ∧ 𝑡𝑢) → 𝑡𝑤)
38373ad2antl3 1188 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑤𝐽𝑢 = (𝑤𝑆)) ∧ 𝑡𝑢) → 𝑡𝑤)
39383adant2 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑤𝐽𝑢 = (𝑤𝑆)) ∧ 𝑢𝑠𝑡𝑢) → 𝑡𝑤)
40 ineq1 4166 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑦 = 𝑤 → (𝑦𝑆) = (𝑤𝑆))
4140eleq1d 2819 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑦 = 𝑤 → ((𝑦𝑆) ∈ 𝑠 ↔ (𝑤𝑆) ∈ 𝑠))
42 simp12 1205 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑤𝐽𝑢 = (𝑤𝑆)) ∧ 𝑢𝑠𝑡𝑢) → 𝑤𝐽)
43 eleq1 2822 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑢 = (𝑤𝑆) → (𝑢𝑠 ↔ (𝑤𝑆) ∈ 𝑠))
4443biimpa 478 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑢 = (𝑤𝑆) ∧ 𝑢𝑠) → (𝑤𝑆) ∈ 𝑠)
45443ad2antl3 1188 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑤𝐽𝑢 = (𝑤𝑆)) ∧ 𝑢𝑠) → (𝑤𝑆) ∈ 𝑠)
46453adant3 1133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑤𝐽𝑢 = (𝑤𝑆)) ∧ 𝑢𝑠𝑡𝑢) → (𝑤𝑆) ∈ 𝑠)
4741, 42, 46elrabd 3648 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑤𝐽𝑢 = (𝑤𝑆)) ∧ 𝑢𝑠𝑡𝑢) → 𝑤 ∈ {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠})
48 vex 3448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 𝑤 ∈ V
49 eleq2 2823 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑣 = 𝑤 → (𝑡𝑣𝑡𝑤))
50 eleq1 2822 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑣 = 𝑤 → (𝑣 ∈ {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠} ↔ 𝑤 ∈ {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠}))
5149, 50anbi12d 632 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑣 = 𝑤 → ((𝑡𝑣𝑣 ∈ {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠}) ↔ (𝑡𝑤𝑤 ∈ {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠})))
5248, 51spcev 3564 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑡𝑤𝑤 ∈ {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠}) → ∃𝑣(𝑡𝑣𝑣 ∈ {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠}))
5339, 47, 52syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑤𝐽𝑢 = (𝑤𝑆)) ∧ 𝑢𝑠𝑡𝑢) → ∃𝑣(𝑡𝑣𝑣 ∈ {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠}))
54533exp 1120 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑤𝐽𝑢 = (𝑤𝑆)) → (𝑢𝑠 → (𝑡𝑢 → ∃𝑣(𝑡𝑣𝑣 ∈ {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠}))))
5554rexlimdv3a 3153 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) → (∃𝑤𝐽 𝑢 = (𝑤𝑆) → (𝑢𝑠 → (𝑡𝑢 → ∃𝑣(𝑡𝑣𝑣 ∈ {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠})))))
5633, 55sylbid 239 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) → (𝑢 ∈ (𝐽t 𝑆) → (𝑢𝑠 → (𝑡𝑢 → ∃𝑣(𝑡𝑣𝑣 ∈ {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠})))))
5756com23 86 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) → (𝑢𝑠 → (𝑢 ∈ (𝐽t 𝑆) → (𝑡𝑢 → ∃𝑣(𝑡𝑣𝑣 ∈ {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠})))))
5857com4l 92 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑢𝑠 → (𝑢 ∈ (𝐽t 𝑆) → (𝑡𝑢 → ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) → ∃𝑣(𝑡𝑣𝑣 ∈ {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠})))))
5925, 58sylcom 30 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑠 ⊆ (𝐽t 𝑆) → (𝑢𝑠 → (𝑡𝑢 → ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) → ∃𝑣(𝑡𝑣𝑣 ∈ {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠})))))
6059com24 95 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑠 ⊆ (𝐽t 𝑆) → ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) → (𝑡𝑢 → (𝑢𝑠 → ∃𝑣(𝑡𝑣𝑣 ∈ {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠})))))
6160impcom 409 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑠 ⊆ (𝐽t 𝑆)) → (𝑡𝑢 → (𝑢𝑠 → ∃𝑣(𝑡𝑣𝑣 ∈ {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠}))))
6261impd 412 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑠 ⊆ (𝐽t 𝑆)) → ((𝑡𝑢𝑢𝑠) → ∃𝑣(𝑡𝑣𝑣 ∈ {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠})))
6362exlimdv 1937 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑠 ⊆ (𝐽t 𝑆)) → (∃𝑢(𝑡𝑢𝑢𝑠) → ∃𝑣(𝑡𝑣𝑣 ∈ {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠})))
6463adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑠 ⊆ (𝐽t 𝑆)) ∧ 𝑆 = 𝑠) → (∃𝑢(𝑡𝑢𝑢𝑠) → ∃𝑣(𝑡𝑣𝑣 ∈ {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠})))
6524, 64sylbid 239 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑠 ⊆ (𝐽t 𝑆)) ∧ 𝑆 = 𝑠) → (𝑡𝑆 → ∃𝑣(𝑡𝑣𝑣 ∈ {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠})))
6665ex 414 . . . . . . . . . . 11 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑠 ⊆ (𝐽t 𝑆)) → (𝑆 = 𝑠 → (𝑡𝑆 → ∃𝑣(𝑡𝑣𝑣 ∈ {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠}))))
6720, 66sylan2b 595 . . . . . . . . . 10 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 (𝐽t 𝑆)) → (𝑆 = 𝑠 → (𝑡𝑆 → ∃𝑣(𝑡𝑣𝑣 ∈ {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠}))))
6867imp 408 . . . . . . . . 9 ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 (𝐽t 𝑆)) ∧ 𝑆 = 𝑠) → (𝑡𝑆 → ∃𝑣(𝑡𝑣𝑣 ∈ {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠})))
69 eluni 4869 . . . . . . . . 9 (𝑡 {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠} ↔ ∃𝑣(𝑡𝑣𝑣 ∈ {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠}))
7068, 69syl6ibr 252 . . . . . . . 8 ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 (𝐽t 𝑆)) ∧ 𝑆 = 𝑠) → (𝑡𝑆𝑡 {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠}))
7170ssrdv 3951 . . . . . . 7 ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 (𝐽t 𝑆)) ∧ 𝑆 = 𝑠) → 𝑆 {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠})
72 pm2.27 42 . . . . . . . . 9 (𝑆 {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠} → ((𝑆 {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠} → ∃𝑑 ∈ (𝒫 {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠} ∩ Fin)𝑆 𝑑) → ∃𝑑 ∈ (𝒫 {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠} ∩ Fin)𝑆 𝑑))
73 elin 3927 . . . . . . . . . . 11 (𝑑 ∈ (𝒫 {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠} ∩ Fin) ↔ (𝑑 ∈ 𝒫 {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠} ∧ 𝑑 ∈ Fin))
74 vex 3448 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑡 ∈ V
75 eqeq1 2737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 = 𝑡 → (𝑥 = (𝑧𝑆) ↔ 𝑡 = (𝑧𝑆)))
7675rexbidv 3172 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 = 𝑡 → (∃𝑧𝑑 𝑥 = (𝑧𝑆) ↔ ∃𝑧𝑑 𝑡 = (𝑧𝑆)))
7774, 76elab 3631 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑡 ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑧𝑑 𝑥 = (𝑧𝑆)} ↔ ∃𝑧𝑑 𝑡 = (𝑧𝑆))
78 velpw 4566 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑑 ∈ 𝒫 {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠} ↔ 𝑑 ⊆ {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠})
79 ssel 3938 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑑 ⊆ {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠} → (𝑧𝑑𝑧 ∈ {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠}))
80 ineq1 4166 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑦 = 𝑧 → (𝑦𝑆) = (𝑧𝑆))
8180eleq1d 2819 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑦 = 𝑧 → ((𝑦𝑆) ∈ 𝑠 ↔ (𝑧𝑆) ∈ 𝑠))
8281elrab 3646 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑧 ∈ {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠} ↔ (𝑧𝐽 ∧ (𝑧𝑆) ∈ 𝑠))
83 eleq1a 2829 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑧𝑆) ∈ 𝑠 → (𝑡 = (𝑧𝑆) → 𝑡𝑠))
8482, 83simplbiim 506 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑧 ∈ {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠} → (𝑡 = (𝑧𝑆) → 𝑡𝑠))
8579, 84syl6 35 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑑 ⊆ {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠} → (𝑧𝑑 → (𝑡 = (𝑧𝑆) → 𝑡𝑠)))
86852a1d 26 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑑 ⊆ {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠} → (𝑆 𝑑 → ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 (𝐽t 𝑆)) ∧ 𝑆 = 𝑠) → (𝑧𝑑 → (𝑡 = (𝑧𝑆) → 𝑡𝑠)))))
8786adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑑 ⊆ {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠} ∧ 𝑑 ∈ Fin) → (𝑆 𝑑 → ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 (𝐽t 𝑆)) ∧ 𝑆 = 𝑠) → (𝑧𝑑 → (𝑡 = (𝑧𝑆) → 𝑡𝑠)))))
8878, 87sylanb 582 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑑 ∈ 𝒫 {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠} ∧ 𝑑 ∈ Fin) → (𝑆 𝑑 → ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 (𝐽t 𝑆)) ∧ 𝑆 = 𝑠) → (𝑧𝑑 → (𝑡 = (𝑧𝑆) → 𝑡𝑠)))))
89883imp 1112 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑑 ∈ 𝒫 {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠} ∧ 𝑑 ∈ Fin) ∧ 𝑆 𝑑 ∧ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 (𝐽t 𝑆)) ∧ 𝑆 = 𝑠)) → (𝑧𝑑 → (𝑡 = (𝑧𝑆) → 𝑡𝑠)))
9089rexlimdv 3147 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑑 ∈ 𝒫 {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠} ∧ 𝑑 ∈ Fin) ∧ 𝑆 𝑑 ∧ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 (𝐽t 𝑆)) ∧ 𝑆 = 𝑠)) → (∃𝑧𝑑 𝑡 = (𝑧𝑆) → 𝑡𝑠))
9177, 90biimtrid 241 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑑 ∈ 𝒫 {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠} ∧ 𝑑 ∈ Fin) ∧ 𝑆 𝑑 ∧ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 (𝐽t 𝑆)) ∧ 𝑆 = 𝑠)) → (𝑡 ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑧𝑑 𝑥 = (𝑧𝑆)} → 𝑡𝑠))
9291ssrdv 3951 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑑 ∈ 𝒫 {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠} ∧ 𝑑 ∈ Fin) ∧ 𝑆 𝑑 ∧ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 (𝐽t 𝑆)) ∧ 𝑆 = 𝑠)) → {𝑥 ∣ ∃𝑧𝑑 𝑥 = (𝑧𝑆)} ⊆ 𝑠)
93 vex 3448 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑑 ∈ V
9493abrexex 7896 . . . . . . . . . . . . . . . 16 {𝑥 ∣ ∃𝑧𝑑 𝑥 = (𝑧𝑆)} ∈ V
9594elpw 4565 . . . . . . . . . . . . . . 15 ({𝑥 ∣ ∃𝑧𝑑 𝑥 = (𝑧𝑆)} ∈ 𝒫 𝑠 ↔ {𝑥 ∣ ∃𝑧𝑑 𝑥 = (𝑧𝑆)} ⊆ 𝑠)
9692, 95sylibr 233 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑑 ∈ 𝒫 {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠} ∧ 𝑑 ∈ Fin) ∧ 𝑆 𝑑 ∧ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 (𝐽t 𝑆)) ∧ 𝑆 = 𝑠)) → {𝑥 ∣ ∃𝑧𝑑 𝑥 = (𝑧𝑆)} ∈ 𝒫 𝑠)
97 abrexfi 9299 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑑 ∈ Fin → {𝑥 ∣ ∃𝑧𝑑 𝑥 = (𝑧𝑆)} ∈ Fin)
9897ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑑 ∈ 𝒫 {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠} ∧ 𝑑 ∈ Fin) ∧ 𝑆 𝑑) → {𝑥 ∣ ∃𝑧𝑑 𝑥 = (𝑧𝑆)} ∈ Fin)
99983adant3 1133 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑑 ∈ 𝒫 {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠} ∧ 𝑑 ∈ Fin) ∧ 𝑆 𝑑 ∧ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 (𝐽t 𝑆)) ∧ 𝑆 = 𝑠)) → {𝑥 ∣ ∃𝑧𝑑 𝑥 = (𝑧𝑆)} ∈ Fin)
10096, 99elind 4155 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑑 ∈ 𝒫 {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠} ∧ 𝑑 ∈ Fin) ∧ 𝑆 𝑑 ∧ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 (𝐽t 𝑆)) ∧ 𝑆 = 𝑠)) → {𝑥 ∣ ∃𝑧𝑑 𝑥 = (𝑧𝑆)} ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin))
101 dfss 3929 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑆 𝑑𝑆 = (𝑆 𝑑))
102101biimpi 215 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑆 𝑑𝑆 = (𝑆 𝑑))
103 uniiun 5019 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑑 = 𝑧𝑑 𝑧
104103ineq2i 4170 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑆 𝑑) = (𝑆 𝑧𝑑 𝑧)
105 iunin2 5032 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑧𝑑 (𝑆𝑧) = (𝑆 𝑧𝑑 𝑧)
106 incom 4162 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑆𝑧) = (𝑧𝑆)
107106a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑧𝑑 → (𝑆𝑧) = (𝑧𝑆))
108107iuneq2i 4976 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑧𝑑 (𝑆𝑧) = 𝑧𝑑 (𝑧𝑆)
109104, 105, 1083eqtr2i 2767 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑆 𝑑) = 𝑧𝑑 (𝑧𝑆)
110102, 109eqtrdi 2789 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑆 𝑑𝑆 = 𝑧𝑑 (𝑧𝑆))
1111103ad2ant2 1135 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑑 ∈ 𝒫 {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠} ∧ 𝑑 ∈ Fin) ∧ 𝑆 𝑑 ∧ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 (𝐽t 𝑆)) ∧ 𝑆 = 𝑠)) → 𝑆 = 𝑧𝑑 (𝑧𝑆))
11218ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑆 𝑑 ∧ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 (𝐽t 𝑆)) ∧ 𝑆 = 𝑠)) → 𝑆 = (𝐽t 𝑆))
1131123adant1 1131 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑑 ∈ 𝒫 {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠} ∧ 𝑑 ∈ Fin) ∧ 𝑆 𝑑 ∧ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 (𝐽t 𝑆)) ∧ 𝑆 = 𝑠)) → 𝑆 = (𝐽t 𝑆))
114 vex 3448 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑧 ∈ V
115114inex1 5275 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑧𝑆) ∈ V
116115dfiun2 4994 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑧𝑑 (𝑧𝑆) = {𝑥 ∣ ∃𝑧𝑑 𝑥 = (𝑧𝑆)}
117116a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑑 ∈ 𝒫 {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠} ∧ 𝑑 ∈ Fin) ∧ 𝑆 𝑑 ∧ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 (𝐽t 𝑆)) ∧ 𝑆 = 𝑠)) → 𝑧𝑑 (𝑧𝑆) = {𝑥 ∣ ∃𝑧𝑑 𝑥 = (𝑧𝑆)})
118111, 113, 1173eqtr3d 2781 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑑 ∈ 𝒫 {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠} ∧ 𝑑 ∈ Fin) ∧ 𝑆 𝑑 ∧ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 (𝐽t 𝑆)) ∧ 𝑆 = 𝑠)) → (𝐽t 𝑆) = {𝑥 ∣ ∃𝑧𝑑 𝑥 = (𝑧𝑆)})
119 unieq 4877 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑡 = {𝑥 ∣ ∃𝑧𝑑 𝑥 = (𝑧𝑆)} → 𝑡 = {𝑥 ∣ ∃𝑧𝑑 𝑥 = (𝑧𝑆)})
120119rspceeqv 3596 . . . . . . . . . . . . 13 (({𝑥 ∣ ∃𝑧𝑑 𝑥 = (𝑧𝑆)} ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin) ∧ (𝐽t 𝑆) = {𝑥 ∣ ∃𝑧𝑑 𝑥 = (𝑧𝑆)}) → ∃𝑡 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin) (𝐽t 𝑆) = 𝑡)
121100, 118, 120syl2anc 585 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑑 ∈ 𝒫 {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠} ∧ 𝑑 ∈ Fin) ∧ 𝑆 𝑑 ∧ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 (𝐽t 𝑆)) ∧ 𝑆 = 𝑠)) → ∃𝑡 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin) (𝐽t 𝑆) = 𝑡)
1221213exp 1120 . . . . . . . . . . 11 ((𝑑 ∈ 𝒫 {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠} ∧ 𝑑 ∈ Fin) → (𝑆 𝑑 → ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 (𝐽t 𝑆)) ∧ 𝑆 = 𝑠) → ∃𝑡 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin) (𝐽t 𝑆) = 𝑡)))
12373, 122sylbi 216 . . . . . . . . . 10 (𝑑 ∈ (𝒫 {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠} ∩ Fin) → (𝑆 𝑑 → ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 (𝐽t 𝑆)) ∧ 𝑆 = 𝑠) → ∃𝑡 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin) (𝐽t 𝑆) = 𝑡)))
124123rexlimiv 3142 . . . . . . . . 9 (∃𝑑 ∈ (𝒫 {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠} ∩ Fin)𝑆 𝑑 → ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 (𝐽t 𝑆)) ∧ 𝑆 = 𝑠) → ∃𝑡 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin) (𝐽t 𝑆) = 𝑡))
12572, 124syl6 35 . . . . . . . 8 (𝑆 {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠} → ((𝑆 {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠} → ∃𝑑 ∈ (𝒫 {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠} ∩ Fin)𝑆 𝑑) → ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 (𝐽t 𝑆)) ∧ 𝑆 = 𝑠) → ∃𝑡 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin) (𝐽t 𝑆) = 𝑡)))
126125com3r 87 . . . . . . 7 ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 (𝐽t 𝑆)) ∧ 𝑆 = 𝑠) → (𝑆 {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠} → ((𝑆 {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠} → ∃𝑑 ∈ (𝒫 {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠} ∩ Fin)𝑆 𝑑) → ∃𝑡 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin) (𝐽t 𝑆) = 𝑡)))
12771, 126mpd 15 . . . . . 6 ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 (𝐽t 𝑆)) ∧ 𝑆 = 𝑠) → ((𝑆 {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠} → ∃𝑑 ∈ (𝒫 {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠} ∩ Fin)𝑆 𝑑) → ∃𝑡 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin) (𝐽t 𝑆) = 𝑡))
128127ex 414 . . . . 5 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 (𝐽t 𝑆)) → (𝑆 = 𝑠 → ((𝑆 {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠} → ∃𝑑 ∈ (𝒫 {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠} ∩ Fin)𝑆 𝑑) → ∃𝑡 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin) (𝐽t 𝑆) = 𝑡)))
12919, 128sylbird 260 . . . 4 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 (𝐽t 𝑆)) → ( (𝐽t 𝑆) = 𝑠 → ((𝑆 {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠} → ∃𝑑 ∈ (𝒫 {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠} ∩ Fin)𝑆 𝑑) → ∃𝑡 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin) (𝐽t 𝑆) = 𝑡)))
130129com23 86 . . 3 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 (𝐽t 𝑆)) → ((𝑆 {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠} → ∃𝑑 ∈ (𝒫 {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠} ∩ Fin)𝑆 𝑑) → ( (𝐽t 𝑆) = 𝑠 → ∃𝑡 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin) (𝐽t 𝑆) = 𝑡)))
13115, 130syld 47 . 2 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 (𝐽t 𝑆)) → (∀𝑐 ∈ 𝒫 𝐽(𝑆 𝑐 → ∃𝑑 ∈ (𝒫 𝑐 ∩ Fin)𝑆 𝑑) → ( (𝐽t 𝑆) = 𝑠 → ∃𝑡 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin) (𝐽t 𝑆) = 𝑡)))
132131ralrimdva 3148 1 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) → (∀𝑐 ∈ 𝒫 𝐽(𝑆 𝑐 → ∃𝑑 ∈ (𝒫 𝑐 ∩ Fin)𝑆 𝑑) → ∀𝑠 ∈ 𝒫 (𝐽t 𝑆)( (𝐽t 𝑆) = 𝑠 → ∃𝑡 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin) (𝐽t 𝑆) = 𝑡)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397  w3a 1088   = wceq 1542  wex 1782  wcel 2107  {cab 2710  wral 3061  wrex 3070  {crab 3406  Vcvv 3444  cin 3910  wss 3911  𝒫 cpw 4561   cuni 4866   ciun 4955  (class class class)co 7358  Fincfn 8886  t crest 17307  Topctop 22258
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-1o 8413  df-er 8651  df-en 8887  df-dom 8888  df-fin 8890  df-fi 9352  df-rest 17309  df-topgen 17330  df-top 22259  df-topon 22276  df-bases 22312
This theorem is referenced by:  cmpsub  22767
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