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Theorem cmpsublem 23347
Description: Lemma for cmpsub 23348. (Contributed by Jeff Hankins, 28-Jun-2009.)
Hypothesis
Ref Expression
cmpsub.1 𝑋 = 𝐽
Assertion
Ref Expression
cmpsublem ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) → (∀𝑐 ∈ 𝒫 𝐽(𝑆 𝑐 → ∃𝑑 ∈ (𝒫 𝑐 ∩ Fin)𝑆 𝑑) → ∀𝑠 ∈ 𝒫 (𝐽t 𝑆)( (𝐽t 𝑆) = 𝑠 → ∃𝑡 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin) (𝐽t 𝑆) = 𝑡)))
Distinct variable groups:   𝑐,𝑑,𝑠,𝑡,𝐽   𝑆,𝑐,𝑑,𝑠,𝑡   𝑋,𝑐,𝑑,𝑠,𝑡

Proof of Theorem cmpsublem
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑢 𝑣 𝑤 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rabexg 5334 . . . . . . 7 (𝐽 ∈ Top → {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠} ∈ V)
21ad2antrr 724 . . . . . 6 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 (𝐽t 𝑆)) → {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠} ∈ V)
3 ssrab2 4073 . . . . . . 7 {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠} ⊆ 𝐽
4 elpwg 4607 . . . . . . 7 ({𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠} ∈ V → ({𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠} ∈ 𝒫 𝐽 ↔ {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠} ⊆ 𝐽))
53, 4mpbiri 257 . . . . . 6 ({𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠} ∈ V → {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠} ∈ 𝒫 𝐽)
62, 5syl 17 . . . . 5 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 (𝐽t 𝑆)) → {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠} ∈ 𝒫 𝐽)
7 unieq 4920 . . . . . . . 8 (𝑐 = {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠} → 𝑐 = {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠})
87sseq2d 4009 . . . . . . 7 (𝑐 = {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠} → (𝑆 𝑐𝑆 {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠}))
9 pweq 4618 . . . . . . . . 9 (𝑐 = {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠} → 𝒫 𝑐 = 𝒫 {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠})
109ineq1d 4209 . . . . . . . 8 (𝑐 = {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠} → (𝒫 𝑐 ∩ Fin) = (𝒫 {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠} ∩ Fin))
1110rexeqdv 3315 . . . . . . 7 (𝑐 = {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠} → (∃𝑑 ∈ (𝒫 𝑐 ∩ Fin)𝑆 𝑑 ↔ ∃𝑑 ∈ (𝒫 {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠} ∩ Fin)𝑆 𝑑))
128, 11imbi12d 343 . . . . . 6 (𝑐 = {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠} → ((𝑆 𝑐 → ∃𝑑 ∈ (𝒫 𝑐 ∩ Fin)𝑆 𝑑) ↔ (𝑆 {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠} → ∃𝑑 ∈ (𝒫 {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠} ∩ Fin)𝑆 𝑑)))
1312rspcva 3604 . . . . 5 (({𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠} ∈ 𝒫 𝐽 ∧ ∀𝑐 ∈ 𝒫 𝐽(𝑆 𝑐 → ∃𝑑 ∈ (𝒫 𝑐 ∩ Fin)𝑆 𝑑)) → (𝑆 {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠} → ∃𝑑 ∈ (𝒫 {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠} ∩ Fin)𝑆 𝑑))
146, 13sylan 578 . . . 4 ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 (𝐽t 𝑆)) ∧ ∀𝑐 ∈ 𝒫 𝐽(𝑆 𝑐 → ∃𝑑 ∈ (𝒫 𝑐 ∩ Fin)𝑆 𝑑)) → (𝑆 {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠} → ∃𝑑 ∈ (𝒫 {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠} ∩ Fin)𝑆 𝑑))
1514ex 411 . . 3 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 (𝐽t 𝑆)) → (∀𝑐 ∈ 𝒫 𝐽(𝑆 𝑐 → ∃𝑑 ∈ (𝒫 𝑐 ∩ Fin)𝑆 𝑑) → (𝑆 {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠} → ∃𝑑 ∈ (𝒫 {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠} ∩ Fin)𝑆 𝑑)))
16 cmpsub.1 . . . . . . . 8 𝑋 = 𝐽
1716restuni 23110 . . . . . . 7 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) → 𝑆 = (𝐽t 𝑆))
1817adantr 479 . . . . . 6 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 (𝐽t 𝑆)) → 𝑆 = (𝐽t 𝑆))
1918eqeq1d 2727 . . . . 5 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 (𝐽t 𝑆)) → (𝑆 = 𝑠 (𝐽t 𝑆) = 𝑠))
20 velpw 4609 . . . . . . . . . . 11 (𝑠 ∈ 𝒫 (𝐽t 𝑆) ↔ 𝑠 ⊆ (𝐽t 𝑆))
21 eleq2 2814 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑆 = 𝑠 → (𝑡𝑆𝑡 𝑠))
22 eluni 4912 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑡 𝑠 ↔ ∃𝑢(𝑡𝑢𝑢𝑠))
2321, 22bitrdi 286 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑆 = 𝑠 → (𝑡𝑆 ↔ ∃𝑢(𝑡𝑢𝑢𝑠)))
2423adantl 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑠 ⊆ (𝐽t 𝑆)) ∧ 𝑆 = 𝑠) → (𝑡𝑆 ↔ ∃𝑢(𝑡𝑢𝑢𝑠)))
25 ssel 3970 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑠 ⊆ (𝐽t 𝑆) → (𝑢𝑠𝑢 ∈ (𝐽t 𝑆)))
2616sseq2i 4006 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑆𝑋𝑆 𝐽)
27 uniexg 7746 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝐽 ∈ Top → 𝐽 ∈ V)
28 ssexg 5324 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑆 𝐽 𝐽 ∈ V) → 𝑆 ∈ V)
2928ancoms 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (( 𝐽 ∈ V ∧ 𝑆 𝐽) → 𝑆 ∈ V)
3027, 29sylan 578 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 𝐽) → 𝑆 ∈ V)
3126, 30sylan2b 592 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) → 𝑆 ∈ V)
32 elrest 17412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ V) → (𝑢 ∈ (𝐽t 𝑆) ↔ ∃𝑤𝐽 𝑢 = (𝑤𝑆)))
3331, 32syldan 589 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) → (𝑢 ∈ (𝐽t 𝑆) ↔ ∃𝑤𝐽 𝑢 = (𝑤𝑆)))
34 inss1 4227 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑤𝑆) ⊆ 𝑤
35 sseq1 4002 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑢 = (𝑤𝑆) → (𝑢𝑤 ↔ (𝑤𝑆) ⊆ 𝑤))
3634, 35mpbiri 257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑢 = (𝑤𝑆) → 𝑢𝑤)
3736sselda 3976 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑢 = (𝑤𝑆) ∧ 𝑡𝑢) → 𝑡𝑤)
38373ad2antl3 1184 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑤𝐽𝑢 = (𝑤𝑆)) ∧ 𝑡𝑢) → 𝑡𝑤)
39383adant2 1128 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑤𝐽𝑢 = (𝑤𝑆)) ∧ 𝑢𝑠𝑡𝑢) → 𝑡𝑤)
40 ineq1 4203 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑦 = 𝑤 → (𝑦𝑆) = (𝑤𝑆))
4140eleq1d 2810 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑦 = 𝑤 → ((𝑦𝑆) ∈ 𝑠 ↔ (𝑤𝑆) ∈ 𝑠))
42 simp12 1201 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑤𝐽𝑢 = (𝑤𝑆)) ∧ 𝑢𝑠𝑡𝑢) → 𝑤𝐽)
43 eleq1 2813 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑢 = (𝑤𝑆) → (𝑢𝑠 ↔ (𝑤𝑆) ∈ 𝑠))
4443biimpa 475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑢 = (𝑤𝑆) ∧ 𝑢𝑠) → (𝑤𝑆) ∈ 𝑠)
45443ad2antl3 1184 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑤𝐽𝑢 = (𝑤𝑆)) ∧ 𝑢𝑠) → (𝑤𝑆) ∈ 𝑠)
46453adant3 1129 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑤𝐽𝑢 = (𝑤𝑆)) ∧ 𝑢𝑠𝑡𝑢) → (𝑤𝑆) ∈ 𝑠)
4741, 42, 46elrabd 3681 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑤𝐽𝑢 = (𝑤𝑆)) ∧ 𝑢𝑠𝑡𝑢) → 𝑤 ∈ {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠})
48 vex 3465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 𝑤 ∈ V
49 eleq2 2814 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑣 = 𝑤 → (𝑡𝑣𝑡𝑤))
50 eleq1 2813 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑣 = 𝑤 → (𝑣 ∈ {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠} ↔ 𝑤 ∈ {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠}))
5149, 50anbi12d 630 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑣 = 𝑤 → ((𝑡𝑣𝑣 ∈ {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠}) ↔ (𝑡𝑤𝑤 ∈ {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠})))
5248, 51spcev 3590 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑡𝑤𝑤 ∈ {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠}) → ∃𝑣(𝑡𝑣𝑣 ∈ {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠}))
5339, 47, 52syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑤𝐽𝑢 = (𝑤𝑆)) ∧ 𝑢𝑠𝑡𝑢) → ∃𝑣(𝑡𝑣𝑣 ∈ {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠}))
54533exp 1116 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑤𝐽𝑢 = (𝑤𝑆)) → (𝑢𝑠 → (𝑡𝑢 → ∃𝑣(𝑡𝑣𝑣 ∈ {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠}))))
5554rexlimdv3a 3148 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) → (∃𝑤𝐽 𝑢 = (𝑤𝑆) → (𝑢𝑠 → (𝑡𝑢 → ∃𝑣(𝑡𝑣𝑣 ∈ {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠})))))
5633, 55sylbid 239 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) → (𝑢 ∈ (𝐽t 𝑆) → (𝑢𝑠 → (𝑡𝑢 → ∃𝑣(𝑡𝑣𝑣 ∈ {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠})))))
5756com23 86 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) → (𝑢𝑠 → (𝑢 ∈ (𝐽t 𝑆) → (𝑡𝑢 → ∃𝑣(𝑡𝑣𝑣 ∈ {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠})))))
5857com4l 92 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑢𝑠 → (𝑢 ∈ (𝐽t 𝑆) → (𝑡𝑢 → ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) → ∃𝑣(𝑡𝑣𝑣 ∈ {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠})))))
5925, 58sylcom 30 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑠 ⊆ (𝐽t 𝑆) → (𝑢𝑠 → (𝑡𝑢 → ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) → ∃𝑣(𝑡𝑣𝑣 ∈ {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠})))))
6059com24 95 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑠 ⊆ (𝐽t 𝑆) → ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) → (𝑡𝑢 → (𝑢𝑠 → ∃𝑣(𝑡𝑣𝑣 ∈ {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠})))))
6160impcom 406 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑠 ⊆ (𝐽t 𝑆)) → (𝑡𝑢 → (𝑢𝑠 → ∃𝑣(𝑡𝑣𝑣 ∈ {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠}))))
6261impd 409 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑠 ⊆ (𝐽t 𝑆)) → ((𝑡𝑢𝑢𝑠) → ∃𝑣(𝑡𝑣𝑣 ∈ {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠})))
6362exlimdv 1928 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑠 ⊆ (𝐽t 𝑆)) → (∃𝑢(𝑡𝑢𝑢𝑠) → ∃𝑣(𝑡𝑣𝑣 ∈ {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠})))
6463adantr 479 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑠 ⊆ (𝐽t 𝑆)) ∧ 𝑆 = 𝑠) → (∃𝑢(𝑡𝑢𝑢𝑠) → ∃𝑣(𝑡𝑣𝑣 ∈ {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠})))
6524, 64sylbid 239 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑠 ⊆ (𝐽t 𝑆)) ∧ 𝑆 = 𝑠) → (𝑡𝑆 → ∃𝑣(𝑡𝑣𝑣 ∈ {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠})))
6665ex 411 . . . . . . . . . . 11 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑠 ⊆ (𝐽t 𝑆)) → (𝑆 = 𝑠 → (𝑡𝑆 → ∃𝑣(𝑡𝑣𝑣 ∈ {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠}))))
6720, 66sylan2b 592 . . . . . . . . . 10 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 (𝐽t 𝑆)) → (𝑆 = 𝑠 → (𝑡𝑆 → ∃𝑣(𝑡𝑣𝑣 ∈ {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠}))))
6867imp 405 . . . . . . . . 9 ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 (𝐽t 𝑆)) ∧ 𝑆 = 𝑠) → (𝑡𝑆 → ∃𝑣(𝑡𝑣𝑣 ∈ {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠})))
69 eluni 4912 . . . . . . . . 9 (𝑡 {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠} ↔ ∃𝑣(𝑡𝑣𝑣 ∈ {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠}))
7068, 69imbitrrdi 251 . . . . . . . 8 ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 (𝐽t 𝑆)) ∧ 𝑆 = 𝑠) → (𝑡𝑆𝑡 {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠}))
7170ssrdv 3982 . . . . . . 7 ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 (𝐽t 𝑆)) ∧ 𝑆 = 𝑠) → 𝑆 {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠})
72 pm2.27 42 . . . . . . . . 9 (𝑆 {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠} → ((𝑆 {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠} → ∃𝑑 ∈ (𝒫 {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠} ∩ Fin)𝑆 𝑑) → ∃𝑑 ∈ (𝒫 {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠} ∩ Fin)𝑆 𝑑))
73 elin 3960 . . . . . . . . . . 11 (𝑑 ∈ (𝒫 {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠} ∩ Fin) ↔ (𝑑 ∈ 𝒫 {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠} ∧ 𝑑 ∈ Fin))
74 vex 3465 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑡 ∈ V
75 eqeq1 2729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 = 𝑡 → (𝑥 = (𝑧𝑆) ↔ 𝑡 = (𝑧𝑆)))
7675rexbidv 3168 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 = 𝑡 → (∃𝑧𝑑 𝑥 = (𝑧𝑆) ↔ ∃𝑧𝑑 𝑡 = (𝑧𝑆)))
7774, 76elab 3664 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑡 ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑧𝑑 𝑥 = (𝑧𝑆)} ↔ ∃𝑧𝑑 𝑡 = (𝑧𝑆))
78 velpw 4609 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑑 ∈ 𝒫 {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠} ↔ 𝑑 ⊆ {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠})
79 ssel 3970 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑑 ⊆ {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠} → (𝑧𝑑𝑧 ∈ {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠}))
80 ineq1 4203 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑦 = 𝑧 → (𝑦𝑆) = (𝑧𝑆))
8180eleq1d 2810 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑦 = 𝑧 → ((𝑦𝑆) ∈ 𝑠 ↔ (𝑧𝑆) ∈ 𝑠))
8281elrab 3679 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑧 ∈ {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠} ↔ (𝑧𝐽 ∧ (𝑧𝑆) ∈ 𝑠))
83 eleq1a 2820 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑧𝑆) ∈ 𝑠 → (𝑡 = (𝑧𝑆) → 𝑡𝑠))
8482, 83simplbiim 503 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑧 ∈ {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠} → (𝑡 = (𝑧𝑆) → 𝑡𝑠))
8579, 84syl6 35 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑑 ⊆ {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠} → (𝑧𝑑 → (𝑡 = (𝑧𝑆) → 𝑡𝑠)))
86852a1d 26 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑑 ⊆ {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠} → (𝑆 𝑑 → ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 (𝐽t 𝑆)) ∧ 𝑆 = 𝑠) → (𝑧𝑑 → (𝑡 = (𝑧𝑆) → 𝑡𝑠)))))
8786adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑑 ⊆ {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠} ∧ 𝑑 ∈ Fin) → (𝑆 𝑑 → ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 (𝐽t 𝑆)) ∧ 𝑆 = 𝑠) → (𝑧𝑑 → (𝑡 = (𝑧𝑆) → 𝑡𝑠)))))
8878, 87sylanb 579 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑑 ∈ 𝒫 {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠} ∧ 𝑑 ∈ Fin) → (𝑆 𝑑 → ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 (𝐽t 𝑆)) ∧ 𝑆 = 𝑠) → (𝑧𝑑 → (𝑡 = (𝑧𝑆) → 𝑡𝑠)))))
89883imp 1108 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑑 ∈ 𝒫 {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠} ∧ 𝑑 ∈ Fin) ∧ 𝑆 𝑑 ∧ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 (𝐽t 𝑆)) ∧ 𝑆 = 𝑠)) → (𝑧𝑑 → (𝑡 = (𝑧𝑆) → 𝑡𝑠)))
9089rexlimdv 3142 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑑 ∈ 𝒫 {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠} ∧ 𝑑 ∈ Fin) ∧ 𝑆 𝑑 ∧ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 (𝐽t 𝑆)) ∧ 𝑆 = 𝑠)) → (∃𝑧𝑑 𝑡 = (𝑧𝑆) → 𝑡𝑠))
9177, 90biimtrid 241 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑑 ∈ 𝒫 {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠} ∧ 𝑑 ∈ Fin) ∧ 𝑆 𝑑 ∧ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 (𝐽t 𝑆)) ∧ 𝑆 = 𝑠)) → (𝑡 ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑧𝑑 𝑥 = (𝑧𝑆)} → 𝑡𝑠))
9291ssrdv 3982 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑑 ∈ 𝒫 {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠} ∧ 𝑑 ∈ Fin) ∧ 𝑆 𝑑 ∧ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 (𝐽t 𝑆)) ∧ 𝑆 = 𝑠)) → {𝑥 ∣ ∃𝑧𝑑 𝑥 = (𝑧𝑆)} ⊆ 𝑠)
93 vex 3465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑑 ∈ V
9493abrexex 7967 . . . . . . . . . . . . . . . 16 {𝑥 ∣ ∃𝑧𝑑 𝑥 = (𝑧𝑆)} ∈ V
9594elpw 4608 . . . . . . . . . . . . . . 15 ({𝑥 ∣ ∃𝑧𝑑 𝑥 = (𝑧𝑆)} ∈ 𝒫 𝑠 ↔ {𝑥 ∣ ∃𝑧𝑑 𝑥 = (𝑧𝑆)} ⊆ 𝑠)
9692, 95sylibr 233 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑑 ∈ 𝒫 {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠} ∧ 𝑑 ∈ Fin) ∧ 𝑆 𝑑 ∧ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 (𝐽t 𝑆)) ∧ 𝑆 = 𝑠)) → {𝑥 ∣ ∃𝑧𝑑 𝑥 = (𝑧𝑆)} ∈ 𝒫 𝑠)
97 abrexfi 9378 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑑 ∈ Fin → {𝑥 ∣ ∃𝑧𝑑 𝑥 = (𝑧𝑆)} ∈ Fin)
9897ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑑 ∈ 𝒫 {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠} ∧ 𝑑 ∈ Fin) ∧ 𝑆 𝑑) → {𝑥 ∣ ∃𝑧𝑑 𝑥 = (𝑧𝑆)} ∈ Fin)
99983adant3 1129 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑑 ∈ 𝒫 {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠} ∧ 𝑑 ∈ Fin) ∧ 𝑆 𝑑 ∧ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 (𝐽t 𝑆)) ∧ 𝑆 = 𝑠)) → {𝑥 ∣ ∃𝑧𝑑 𝑥 = (𝑧𝑆)} ∈ Fin)
10096, 99elind 4192 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑑 ∈ 𝒫 {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠} ∧ 𝑑 ∈ Fin) ∧ 𝑆 𝑑 ∧ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 (𝐽t 𝑆)) ∧ 𝑆 = 𝑠)) → {𝑥 ∣ ∃𝑧𝑑 𝑥 = (𝑧𝑆)} ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin))
101 dfss 3963 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑆 𝑑𝑆 = (𝑆 𝑑))
102101biimpi 215 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑆 𝑑𝑆 = (𝑆 𝑑))
103 uniiun 5062 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑑 = 𝑧𝑑 𝑧
104103ineq2i 4207 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑆 𝑑) = (𝑆 𝑧𝑑 𝑧)
105 iunin2 5075 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑧𝑑 (𝑆𝑧) = (𝑆 𝑧𝑑 𝑧)
106 incom 4199 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑆𝑧) = (𝑧𝑆)
107106a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑧𝑑 → (𝑆𝑧) = (𝑧𝑆))
108107iuneq2i 5018 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑧𝑑 (𝑆𝑧) = 𝑧𝑑 (𝑧𝑆)
109104, 105, 1083eqtr2i 2759 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑆 𝑑) = 𝑧𝑑 (𝑧𝑆)
110102, 109eqtrdi 2781 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑆 𝑑𝑆 = 𝑧𝑑 (𝑧𝑆))
1111103ad2ant2 1131 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑑 ∈ 𝒫 {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠} ∧ 𝑑 ∈ Fin) ∧ 𝑆 𝑑 ∧ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 (𝐽t 𝑆)) ∧ 𝑆 = 𝑠)) → 𝑆 = 𝑧𝑑 (𝑧𝑆))
11218ad2antrl 726 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑆 𝑑 ∧ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 (𝐽t 𝑆)) ∧ 𝑆 = 𝑠)) → 𝑆 = (𝐽t 𝑆))
1131123adant1 1127 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑑 ∈ 𝒫 {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠} ∧ 𝑑 ∈ Fin) ∧ 𝑆 𝑑 ∧ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 (𝐽t 𝑆)) ∧ 𝑆 = 𝑠)) → 𝑆 = (𝐽t 𝑆))
114 vex 3465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑧 ∈ V
115114inex1 5318 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑧𝑆) ∈ V
116115dfiun2 5037 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑧𝑑 (𝑧𝑆) = {𝑥 ∣ ∃𝑧𝑑 𝑥 = (𝑧𝑆)}
117116a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑑 ∈ 𝒫 {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠} ∧ 𝑑 ∈ Fin) ∧ 𝑆 𝑑 ∧ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 (𝐽t 𝑆)) ∧ 𝑆 = 𝑠)) → 𝑧𝑑 (𝑧𝑆) = {𝑥 ∣ ∃𝑧𝑑 𝑥 = (𝑧𝑆)})
118111, 113, 1173eqtr3d 2773 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑑 ∈ 𝒫 {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠} ∧ 𝑑 ∈ Fin) ∧ 𝑆 𝑑 ∧ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 (𝐽t 𝑆)) ∧ 𝑆 = 𝑠)) → (𝐽t 𝑆) = {𝑥 ∣ ∃𝑧𝑑 𝑥 = (𝑧𝑆)})
119 unieq 4920 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑡 = {𝑥 ∣ ∃𝑧𝑑 𝑥 = (𝑧𝑆)} → 𝑡 = {𝑥 ∣ ∃𝑧𝑑 𝑥 = (𝑧𝑆)})
120119rspceeqv 3628 . . . . . . . . . . . . 13 (({𝑥 ∣ ∃𝑧𝑑 𝑥 = (𝑧𝑆)} ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin) ∧ (𝐽t 𝑆) = {𝑥 ∣ ∃𝑧𝑑 𝑥 = (𝑧𝑆)}) → ∃𝑡 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin) (𝐽t 𝑆) = 𝑡)
121100, 118, 120syl2anc 582 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑑 ∈ 𝒫 {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠} ∧ 𝑑 ∈ Fin) ∧ 𝑆 𝑑 ∧ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 (𝐽t 𝑆)) ∧ 𝑆 = 𝑠)) → ∃𝑡 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin) (𝐽t 𝑆) = 𝑡)
1221213exp 1116 . . . . . . . . . . 11 ((𝑑 ∈ 𝒫 {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠} ∧ 𝑑 ∈ Fin) → (𝑆 𝑑 → ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 (𝐽t 𝑆)) ∧ 𝑆 = 𝑠) → ∃𝑡 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin) (𝐽t 𝑆) = 𝑡)))
12373, 122sylbi 216 . . . . . . . . . 10 (𝑑 ∈ (𝒫 {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠} ∩ Fin) → (𝑆 𝑑 → ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 (𝐽t 𝑆)) ∧ 𝑆 = 𝑠) → ∃𝑡 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin) (𝐽t 𝑆) = 𝑡)))
124123rexlimiv 3137 . . . . . . . . 9 (∃𝑑 ∈ (𝒫 {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠} ∩ Fin)𝑆 𝑑 → ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 (𝐽t 𝑆)) ∧ 𝑆 = 𝑠) → ∃𝑡 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin) (𝐽t 𝑆) = 𝑡))
12572, 124syl6 35 . . . . . . . 8 (𝑆 {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠} → ((𝑆 {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠} → ∃𝑑 ∈ (𝒫 {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠} ∩ Fin)𝑆 𝑑) → ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 (𝐽t 𝑆)) ∧ 𝑆 = 𝑠) → ∃𝑡 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin) (𝐽t 𝑆) = 𝑡)))
126125com3r 87 . . . . . . 7 ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 (𝐽t 𝑆)) ∧ 𝑆 = 𝑠) → (𝑆 {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠} → ((𝑆 {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠} → ∃𝑑 ∈ (𝒫 {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠} ∩ Fin)𝑆 𝑑) → ∃𝑡 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin) (𝐽t 𝑆) = 𝑡)))
12771, 126mpd 15 . . . . . 6 ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 (𝐽t 𝑆)) ∧ 𝑆 = 𝑠) → ((𝑆 {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠} → ∃𝑑 ∈ (𝒫 {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠} ∩ Fin)𝑆 𝑑) → ∃𝑡 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin) (𝐽t 𝑆) = 𝑡))
128127ex 411 . . . . 5 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 (𝐽t 𝑆)) → (𝑆 = 𝑠 → ((𝑆 {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠} → ∃𝑑 ∈ (𝒫 {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠} ∩ Fin)𝑆 𝑑) → ∃𝑡 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin) (𝐽t 𝑆) = 𝑡)))
12919, 128sylbird 259 . . . 4 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 (𝐽t 𝑆)) → ( (𝐽t 𝑆) = 𝑠 → ((𝑆 {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠} → ∃𝑑 ∈ (𝒫 {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠} ∩ Fin)𝑆 𝑑) → ∃𝑡 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin) (𝐽t 𝑆) = 𝑡)))
130129com23 86 . . 3 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 (𝐽t 𝑆)) → ((𝑆 {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠} → ∃𝑑 ∈ (𝒫 {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠} ∩ Fin)𝑆 𝑑) → ( (𝐽t 𝑆) = 𝑠 → ∃𝑡 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin) (𝐽t 𝑆) = 𝑡)))
13115, 130syld 47 . 2 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 (𝐽t 𝑆)) → (∀𝑐 ∈ 𝒫 𝐽(𝑆 𝑐 → ∃𝑑 ∈ (𝒫 𝑐 ∩ Fin)𝑆 𝑑) → ( (𝐽t 𝑆) = 𝑠 → ∃𝑡 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin) (𝐽t 𝑆) = 𝑡)))
132131ralrimdva 3143 1 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) → (∀𝑐 ∈ 𝒫 𝐽(𝑆 𝑐 → ∃𝑑 ∈ (𝒫 𝑐 ∩ Fin)𝑆 𝑑) → ∀𝑠 ∈ 𝒫 (𝐽t 𝑆)( (𝐽t 𝑆) = 𝑠 → ∃𝑡 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin) (𝐽t 𝑆) = 𝑡)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 394  w3a 1084   = wceq 1533  wex 1773  wcel 2098  {cab 2702  wral 3050  wrex 3059  {crab 3418  Vcvv 3461  cin 3943  wss 3944  𝒫 cpw 4604   cuni 4909   ciun 4997  (class class class)co 7419  Fincfn 8964  t crest 17405  Topctop 22839
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7872  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-1o 8487  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-fin 8968  df-fi 9436  df-rest 17407  df-topgen 17428  df-top 22840  df-topon 22857  df-bases 22893
This theorem is referenced by:  cmpsub  23348
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