Theorem restcldi 23160

Description: A closed set is closed in the subspace topology. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)

Hypothesis

Ref	Expression
restcldi.1	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽

Assertion

Ref	Expression
restcldi	⊢ ((𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → 𝐵 ∈ (Clsd‘(𝐽 ↾t 𝐴)))

Proof of Theorem restcldi

Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp2 1144	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → 𝐵 ∈ (Clsd‘𝐽))
2		dfss 3904	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ⊆ 𝐴 ↔ 𝐵 = (𝐵 ∩ 𝐴))
3	2	biimpi 218	. . . 4 ⊢ (𝐵 ⊆ 𝐴 → 𝐵 = (𝐵 ∩ 𝐴))
4	3	3ad2ant3 1142	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → 𝐵 = (𝐵 ∩ 𝐴))
5		ineq1 4145	. . . 4 ⊢ (𝑣 = 𝐵 → (𝑣 ∩ 𝐴) = (𝐵 ∩ 𝐴))
6	5	rspceeqv 3585	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ 𝐵 = (𝐵 ∩ 𝐴)) → ∃𝑣 ∈ (Clsd‘𝐽)𝐵 = (𝑣 ∩ 𝐴))
7	1, 4, 6	syl2anc 591	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → ∃𝑣 ∈ (Clsd‘𝐽)𝐵 = (𝑣 ∩ 𝐴))
8		cldrcl 23013	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ (Clsd‘𝐽) → 𝐽 ∈ Top)
9	8	3ad2ant2 1141	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → 𝐽 ∈ Top)
10		simp1 1143	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → 𝐴 ⊆ 𝑋)
11		restcldi.1	. . . 4 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
12	11	restcld 23159	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) → (𝐵 ∈ (Clsd‘(𝐽 ↾t 𝐴)) ↔ ∃𝑣 ∈ (Clsd‘𝐽)𝐵 = (𝑣 ∩ 𝐴)))
13	9, 10, 12	syl2anc 591	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → (𝐵 ∈ (Clsd‘(𝐽 ↾t 𝐴)) ↔ ∃𝑣 ∈ (Clsd‘𝐽)𝐵 = (𝑣 ∩ 𝐴)))
14	7, 13	mpbird 259	1 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → 𝐵 ∈ (Clsd‘(𝐽 ↾t 𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ w3a 1093   = wceq 1548   ∈ wcel 2121  ∃wrex 3065   ∩ cin 3884   ⊆ wss 3885  ∪ cuni 4841  ‘cfv 6489  (class class class)co 7360   ↾_t crest 17378  Topctop 22880  Clsdccld 23003

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-rep 5202  ax-sep 5221  ax-nul 5231  ax-pow 5297  ax-pr 5365  ax-un 7682

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3or 1094  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-ral 3056  df-rex 3066  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-pss 3905  df-nul 4265  df-if 4458  df-pw 4534  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4842  df-int 4881  df-iun 4926  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5157  df-tr 5183  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-en 8888  df-fin 8891  df-fi 9318  df-rest 17380  df-topgen 17401  df-top 22881  df-topon 22898  df-bases 22933  df-cld 23006

This theorem is referenced by:  txkgen  23639  qtoprest  23704  cnmpopc  24917  cnheiborlem  24943  abelth  26428  zarmxt1  34076  cvmliftlem10  35537  icccldii  49423