Theorem restcldi 23202

Description: A closed set is closed in the subspace topology. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)

Hypothesis

Ref	Expression
restcldi.1	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽

Assertion

Ref	Expression
restcldi	⊢ ((𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → 𝐵 ∈ (Clsd‘(𝐽 ↾t 𝐴)))

Proof of Theorem restcldi

Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp2 1137	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → 𝐵 ∈ (Clsd‘𝐽))
2		dfss 3995	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ⊆ 𝐴 ↔ 𝐵 = (𝐵 ∩ 𝐴))
3	2	biimpi 216	. . . 4 ⊢ (𝐵 ⊆ 𝐴 → 𝐵 = (𝐵 ∩ 𝐴))
4	3	3ad2ant3 1135	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → 𝐵 = (𝐵 ∩ 𝐴))
5		ineq1 4234	. . . 4 ⊢ (𝑣 = 𝐵 → (𝑣 ∩ 𝐴) = (𝐵 ∩ 𝐴))
6	5	rspceeqv 3658	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ 𝐵 = (𝐵 ∩ 𝐴)) → ∃𝑣 ∈ (Clsd‘𝐽)𝐵 = (𝑣 ∩ 𝐴))
7	1, 4, 6	syl2anc 583	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → ∃𝑣 ∈ (Clsd‘𝐽)𝐵 = (𝑣 ∩ 𝐴))
8		cldrcl 23055	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ (Clsd‘𝐽) → 𝐽 ∈ Top)
9	8	3ad2ant2 1134	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → 𝐽 ∈ Top)
10		simp1 1136	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → 𝐴 ⊆ 𝑋)
11		restcldi.1	. . . 4 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
12	11	restcld 23201	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) → (𝐵 ∈ (Clsd‘(𝐽 ↾t 𝐴)) ↔ ∃𝑣 ∈ (Clsd‘𝐽)𝐵 = (𝑣 ∩ 𝐴)))
13	9, 10, 12	syl2anc 583	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → (𝐵 ∈ (Clsd‘(𝐽 ↾t 𝐴)) ↔ ∃𝑣 ∈ (Clsd‘𝐽)𝐵 = (𝑣 ∩ 𝐴)))
14	7, 13	mpbird 257	1 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → 𝐵 ∈ (Clsd‘(𝐽 ↾t 𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ w3a 1087   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  ∃wrex 3076   ∩ cin 3975   ⊆ wss 3976  ∪ cuni 4931  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448   ↾_t crest 17480  Topctop 22920  Clsdccld 23045

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-en 9004  df-fin 9007  df-fi 9480  df-rest 17482  df-topgen 17503  df-top 22921  df-topon 22938  df-bases 22974  df-cld 23048

This theorem is referenced by:  txkgen  23681  qtoprest  23746  cnmpopc  24974  cnheiborlem  25005  abelth  26503  zarmxt1  33826  cvmliftlem10  35262  icccldii  48598