Theorem restuni4 43810

Description: The underlying set of a subspace induced by the ↾_t operator. The result can be applied, for instance, to topologies and sigma-algebras. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
restuni4.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
restuni4.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ ∪ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
restuni4	⊢ (𝜑 → ∪ (𝐴 ↾t 𝐵) = 𝐵)

Proof of Theorem restuni4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		incom 4202	. . 3 ⊢ (𝐵 ∩ ∪ 𝐴) = (∪ 𝐴 ∩ 𝐵)
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∩ ∪ 𝐴) = (∪ 𝐴 ∩ 𝐵))
3		restuni4.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ ∪ 𝐴)
4		dfss 3967	. . 3 ⊢ (𝐵 ⊆ ∪ 𝐴 ↔ 𝐵 = (𝐵 ∩ ∪ 𝐴))
5	3, 4	sylib 217	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (𝐵 ∩ ∪ 𝐴))
6		restuni4.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
7	6	uniexd 7732	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝐴 ∈ V)
8	7, 3	ssexd 5325	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ V)
9	6, 8	restuni3 43807	. 2 ⊢ (𝜑 → ∪ (𝐴 ↾t 𝐵) = (∪ 𝐴 ∩ 𝐵))
10	2, 5, 9	3eqtr4rd 2784	1 ⊢ (𝜑 → ∪ (𝐴 ↾t 𝐵) = 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  Vcvv 3475   ∩ cin 3948   ⊆ wss 3949  ∪ cuni 4909  (class class class)co 7409   ↾_t crest 17366

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pr 5428  ax-un 7725

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-rest 17368

This theorem is referenced by:  restuni6  43811  restuni5  43812  subsaluni  45076  issmflelem  45460  issmfgtlem  45471  issmfgt  45472  issmfgelem  45485  smfresal  45504