HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  mdbr3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mdbr3 31281
Description: Binary relation expressing the modular pair property. This version quantifies an equality instead of an inference. (Contributed by NM, 6-Jul-2004.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
mdbr3 ((𝐴C𝐵C ) → (𝐴 𝑀 𝐵 ↔ ∀𝑥C (((𝑥𝐵) ∨ 𝐴) ∩ 𝐵) = ((𝑥𝐵) ∨ (𝐴𝐵))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem mdbr3
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mdbr 31278 . 2 ((𝐴C𝐵C ) → (𝐴 𝑀 𝐵 ↔ ∀𝑦C (𝑦𝐵 → ((𝑦 𝐴) ∩ 𝐵) = (𝑦 (𝐴𝐵)))))
2 chincl 30483 . . . . . . . 8 ((𝑥C𝐵C ) → (𝑥𝐵) ∈ C )
3 inss2 4190 . . . . . . . . 9 (𝑥𝐵) ⊆ 𝐵
4 sseq1 3970 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = (𝑥𝐵) → (𝑦𝐵 ↔ (𝑥𝐵) ⊆ 𝐵))
5 oveq1 7365 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = (𝑥𝐵) → (𝑦 𝐴) = ((𝑥𝐵) ∨ 𝐴))
65ineq1d 4172 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = (𝑥𝐵) → ((𝑦 𝐴) ∩ 𝐵) = (((𝑥𝐵) ∨ 𝐴) ∩ 𝐵))
7 oveq1 7365 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = (𝑥𝐵) → (𝑦 (𝐴𝐵)) = ((𝑥𝐵) ∨ (𝐴𝐵)))
86, 7eqeq12d 2749 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = (𝑥𝐵) → (((𝑦 𝐴) ∩ 𝐵) = (𝑦 (𝐴𝐵)) ↔ (((𝑥𝐵) ∨ 𝐴) ∩ 𝐵) = ((𝑥𝐵) ∨ (𝐴𝐵))))
94, 8imbi12d 345 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = (𝑥𝐵) → ((𝑦𝐵 → ((𝑦 𝐴) ∩ 𝐵) = (𝑦 (𝐴𝐵))) ↔ ((𝑥𝐵) ⊆ 𝐵 → (((𝑥𝐵) ∨ 𝐴) ∩ 𝐵) = ((𝑥𝐵) ∨ (𝐴𝐵)))))
109rspcv 3576 . . . . . . . . 9 ((𝑥𝐵) ∈ C → (∀𝑦C (𝑦𝐵 → ((𝑦 𝐴) ∩ 𝐵) = (𝑦 (𝐴𝐵))) → ((𝑥𝐵) ⊆ 𝐵 → (((𝑥𝐵) ∨ 𝐴) ∩ 𝐵) = ((𝑥𝐵) ∨ (𝐴𝐵)))))
113, 10mpii 46 . . . . . . . 8 ((𝑥𝐵) ∈ C → (∀𝑦C (𝑦𝐵 → ((𝑦 𝐴) ∩ 𝐵) = (𝑦 (𝐴𝐵))) → (((𝑥𝐵) ∨ 𝐴) ∩ 𝐵) = ((𝑥𝐵) ∨ (𝐴𝐵))))
122, 11syl 17 . . . . . . 7 ((𝑥C𝐵C ) → (∀𝑦C (𝑦𝐵 → ((𝑦 𝐴) ∩ 𝐵) = (𝑦 (𝐴𝐵))) → (((𝑥𝐵) ∨ 𝐴) ∩ 𝐵) = ((𝑥𝐵) ∨ (𝐴𝐵))))
1312ex 414 . . . . . 6 (𝑥C → (𝐵C → (∀𝑦C (𝑦𝐵 → ((𝑦 𝐴) ∩ 𝐵) = (𝑦 (𝐴𝐵))) → (((𝑥𝐵) ∨ 𝐴) ∩ 𝐵) = ((𝑥𝐵) ∨ (𝐴𝐵)))))
1413com3l 89 . . . . 5 (𝐵C → (∀𝑦C (𝑦𝐵 → ((𝑦 𝐴) ∩ 𝐵) = (𝑦 (𝐴𝐵))) → (𝑥C → (((𝑥𝐵) ∨ 𝐴) ∩ 𝐵) = ((𝑥𝐵) ∨ (𝐴𝐵)))))
1514ralrimdv 3146 . . . 4 (𝐵C → (∀𝑦C (𝑦𝐵 → ((𝑦 𝐴) ∩ 𝐵) = (𝑦 (𝐴𝐵))) → ∀𝑥C (((𝑥𝐵) ∨ 𝐴) ∩ 𝐵) = ((𝑥𝐵) ∨ (𝐴𝐵))))
16 dfss 3929 . . . . . . . . . . 11 (𝑥𝐵𝑥 = (𝑥𝐵))
1716biimpi 215 . . . . . . . . . 10 (𝑥𝐵𝑥 = (𝑥𝐵))
1817oveq1d 7373 . . . . . . . . 9 (𝑥𝐵 → (𝑥 𝐴) = ((𝑥𝐵) ∨ 𝐴))
1918ineq1d 4172 . . . . . . . 8 (𝑥𝐵 → ((𝑥 𝐴) ∩ 𝐵) = (((𝑥𝐵) ∨ 𝐴) ∩ 𝐵))
2017oveq1d 7373 . . . . . . . 8 (𝑥𝐵 → (𝑥 (𝐴𝐵)) = ((𝑥𝐵) ∨ (𝐴𝐵)))
2119, 20eqeq12d 2749 . . . . . . 7 (𝑥𝐵 → (((𝑥 𝐴) ∩ 𝐵) = (𝑥 (𝐴𝐵)) ↔ (((𝑥𝐵) ∨ 𝐴) ∩ 𝐵) = ((𝑥𝐵) ∨ (𝐴𝐵))))
2221biimprcd 250 . . . . . 6 ((((𝑥𝐵) ∨ 𝐴) ∩ 𝐵) = ((𝑥𝐵) ∨ (𝐴𝐵)) → (𝑥𝐵 → ((𝑥 𝐴) ∩ 𝐵) = (𝑥 (𝐴𝐵))))
2322ralimi 3083 . . . . 5 (∀𝑥C (((𝑥𝐵) ∨ 𝐴) ∩ 𝐵) = ((𝑥𝐵) ∨ (𝐴𝐵)) → ∀𝑥C (𝑥𝐵 → ((𝑥 𝐴) ∩ 𝐵) = (𝑥 (𝐴𝐵))))
24 sseq1 3970 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥𝐵𝑦𝐵))
25 oveq1 7365 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 𝐴) = (𝑦 𝐴))
2625ineq1d 4172 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥 𝐴) ∩ 𝐵) = ((𝑦 𝐴) ∩ 𝐵))
27 oveq1 7365 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 (𝐴𝐵)) = (𝑦 (𝐴𝐵)))
2826, 27eqeq12d 2749 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑦 → (((𝑥 𝐴) ∩ 𝐵) = (𝑥 (𝐴𝐵)) ↔ ((𝑦 𝐴) ∩ 𝐵) = (𝑦 (𝐴𝐵))))
2924, 28imbi12d 345 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥𝐵 → ((𝑥 𝐴) ∩ 𝐵) = (𝑥 (𝐴𝐵))) ↔ (𝑦𝐵 → ((𝑦 𝐴) ∩ 𝐵) = (𝑦 (𝐴𝐵)))))
3029cbvralvw 3224 . . . . 5 (∀𝑥C (𝑥𝐵 → ((𝑥 𝐴) ∩ 𝐵) = (𝑥 (𝐴𝐵))) ↔ ∀𝑦C (𝑦𝐵 → ((𝑦 𝐴) ∩ 𝐵) = (𝑦 (𝐴𝐵))))
3123, 30sylib 217 . . . 4 (∀𝑥C (((𝑥𝐵) ∨ 𝐴) ∩ 𝐵) = ((𝑥𝐵) ∨ (𝐴𝐵)) → ∀𝑦C (𝑦𝐵 → ((𝑦 𝐴) ∩ 𝐵) = (𝑦 (𝐴𝐵))))
3215, 31impbid1 224 . . 3 (𝐵C → (∀𝑦C (𝑦𝐵 → ((𝑦 𝐴) ∩ 𝐵) = (𝑦 (𝐴𝐵))) ↔ ∀𝑥C (((𝑥𝐵) ∨ 𝐴) ∩ 𝐵) = ((𝑥𝐵) ∨ (𝐴𝐵))))
3332adantl 483 . 2 ((𝐴C𝐵C ) → (∀𝑦C (𝑦𝐵 → ((𝑦 𝐴) ∩ 𝐵) = (𝑦 (𝐴𝐵))) ↔ ∀𝑥C (((𝑥𝐵) ∨ 𝐴) ∩ 𝐵) = ((𝑥𝐵) ∨ (𝐴𝐵))))
341, 33bitrd 279 1 ((𝐴C𝐵C ) → (𝐴 𝑀 𝐵 ↔ ∀𝑥C (((𝑥𝐵) ∨ 𝐴) ∩ 𝐵) = ((𝑥𝐵) ∨ (𝐴𝐵))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  wral 3061  cin 3910  wss 3911   class class class wbr 5106  (class class class)co 7358   C cch 29913   chj 29917   𝑀 cmd 29950
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-1cn 11114  ax-addcl 11116  ax-hilex 29983  ax-hfvadd 29984  ax-hv0cl 29987  ax-hfvmul 29989
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-map 8770  df-nn 12159  df-hlim 29956  df-sh 30191  df-ch 30205  df-md 31264
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator