Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  measxun2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem measxun2 32474
Description: The measure the union of two complementary sets is the sum of their measures. (Contributed by Thierry Arnoux, 10-Mar-2017.)
Assertion
Ref Expression
measxun2 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆) ∧ 𝐵𝐴) → (𝑀𝐴) = ((𝑀𝐵) +𝑒 (𝑀‘(𝐴𝐵))))

Proof of Theorem measxun2
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp1 1136 . . 3 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆) ∧ 𝐵𝐴) → 𝑀 ∈ (measures‘𝑆))
2 simp2r 1200 . . . 4 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆) ∧ 𝐵𝐴) → 𝐵𝑆)
3 measbase 32461 . . . . . 6 (𝑀 ∈ (measures‘𝑆) → 𝑆 ran sigAlgebra)
41, 3syl 17 . . . . 5 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆) ∧ 𝐵𝐴) → 𝑆 ran sigAlgebra)
5 simp2l 1199 . . . . 5 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆) ∧ 𝐵𝐴) → 𝐴𝑆)
6 difelsiga 32397 . . . . 5 ((𝑆 ran sigAlgebra ∧ 𝐴𝑆𝐵𝑆) → (𝐴𝐵) ∈ 𝑆)
74, 5, 2, 6syl3anc 1371 . . . 4 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆) ∧ 𝐵𝐴) → (𝐴𝐵) ∈ 𝑆)
8 prelpwi 5396 . . . 4 ((𝐵𝑆 ∧ (𝐴𝐵) ∈ 𝑆) → {𝐵, (𝐴𝐵)} ∈ 𝒫 𝑆)
92, 7, 8syl2anc 585 . . 3 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆) ∧ 𝐵𝐴) → {𝐵, (𝐴𝐵)} ∈ 𝒫 𝑆)
10 prct 31334 . . . . 5 ((𝐵𝑆 ∧ (𝐴𝐵) ∈ 𝑆) → {𝐵, (𝐴𝐵)} ≼ ω)
112, 7, 10syl2anc 585 . . . 4 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆) ∧ 𝐵𝐴) → {𝐵, (𝐴𝐵)} ≼ ω)
12 simp3 1138 . . . . 5 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆) ∧ 𝐵𝐴) → 𝐵𝐴)
13 disjdifprg2 31200 . . . . . 6 (𝐴𝑆Disj 𝑥 ∈ {(𝐴𝐵), (𝐴𝐵)}𝑥)
14 prcom 4684 . . . . . . . . 9 {(𝐴𝐵), 𝐵} = {𝐵, (𝐴𝐵)}
15 dfss 3919 . . . . . . . . . . . 12 (𝐵𝐴𝐵 = (𝐵𝐴))
1615biimpi 215 . . . . . . . . . . 11 (𝐵𝐴𝐵 = (𝐵𝐴))
17 incom 4152 . . . . . . . . . . 11 (𝐵𝐴) = (𝐴𝐵)
1816, 17eqtrdi 2793 . . . . . . . . . 10 (𝐵𝐴𝐵 = (𝐴𝐵))
1918preq2d 4692 . . . . . . . . 9 (𝐵𝐴 → {(𝐴𝐵), 𝐵} = {(𝐴𝐵), (𝐴𝐵)})
2014, 19eqtr3id 2791 . . . . . . . 8 (𝐵𝐴 → {𝐵, (𝐴𝐵)} = {(𝐴𝐵), (𝐴𝐵)})
2120disjeq1d 5069 . . . . . . 7 (𝐵𝐴 → (Disj 𝑥 ∈ {𝐵, (𝐴𝐵)}𝑥Disj 𝑥 ∈ {(𝐴𝐵), (𝐴𝐵)}𝑥))
2221biimprd 248 . . . . . 6 (𝐵𝐴 → (Disj 𝑥 ∈ {(𝐴𝐵), (𝐴𝐵)}𝑥Disj 𝑥 ∈ {𝐵, (𝐴𝐵)}𝑥))
2313, 22mpan9 508 . . . . 5 ((𝐴𝑆𝐵𝐴) → Disj 𝑥 ∈ {𝐵, (𝐴𝐵)}𝑥)
245, 12, 23syl2anc 585 . . . 4 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆) ∧ 𝐵𝐴) → Disj 𝑥 ∈ {𝐵, (𝐴𝐵)}𝑥)
2511, 24jca 513 . . 3 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆) ∧ 𝐵𝐴) → ({𝐵, (𝐴𝐵)} ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ {𝐵, (𝐴𝐵)}𝑥))
26 measvun 32473 . . 3 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ {𝐵, (𝐴𝐵)} ∈ 𝒫 𝑆 ∧ ({𝐵, (𝐴𝐵)} ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ {𝐵, (𝐴𝐵)}𝑥)) → (𝑀 {𝐵, (𝐴𝐵)}) = Σ*𝑥 ∈ {𝐵, (𝐴𝐵)} (𝑀𝑥))
271, 9, 25, 26syl3anc 1371 . 2 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆) ∧ 𝐵𝐴) → (𝑀 {𝐵, (𝐴𝐵)}) = Σ*𝑥 ∈ {𝐵, (𝐴𝐵)} (𝑀𝑥))
282, 7jca 513 . . 3 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆) ∧ 𝐵𝐴) → (𝐵𝑆 ∧ (𝐴𝐵) ∈ 𝑆))
29 uniprg 4873 . . . . 5 ((𝐵𝑆 ∧ (𝐴𝐵) ∈ 𝑆) → {𝐵, (𝐴𝐵)} = (𝐵 ∪ (𝐴𝐵)))
30 undif 4432 . . . . . 6 (𝐵𝐴 ↔ (𝐵 ∪ (𝐴𝐵)) = 𝐴)
3130biimpi 215 . . . . 5 (𝐵𝐴 → (𝐵 ∪ (𝐴𝐵)) = 𝐴)
3229, 31sylan9eq 2797 . . . 4 (((𝐵𝑆 ∧ (𝐴𝐵) ∈ 𝑆) ∧ 𝐵𝐴) → {𝐵, (𝐴𝐵)} = 𝐴)
3332fveq2d 6833 . . 3 (((𝐵𝑆 ∧ (𝐴𝐵) ∈ 𝑆) ∧ 𝐵𝐴) → (𝑀 {𝐵, (𝐴𝐵)}) = (𝑀𝐴))
3428, 12, 33syl2anc 585 . 2 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆) ∧ 𝐵𝐴) → (𝑀 {𝐵, (𝐴𝐵)}) = (𝑀𝐴))
35 simpr 486 . . . 4 (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆) ∧ 𝐵𝐴) ∧ 𝑥 = 𝐵) → 𝑥 = 𝐵)
3635fveq2d 6833 . . 3 (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆) ∧ 𝐵𝐴) ∧ 𝑥 = 𝐵) → (𝑀𝑥) = (𝑀𝐵))
37 simpr 486 . . . 4 (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆) ∧ 𝐵𝐴) ∧ 𝑥 = (𝐴𝐵)) → 𝑥 = (𝐴𝐵))
3837fveq2d 6833 . . 3 (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆) ∧ 𝐵𝐴) ∧ 𝑥 = (𝐴𝐵)) → (𝑀𝑥) = (𝑀‘(𝐴𝐵)))
39 measvxrge0 32469 . . . 4 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐵𝑆) → (𝑀𝐵) ∈ (0[,]+∞))
401, 2, 39syl2anc 585 . . 3 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆) ∧ 𝐵𝐴) → (𝑀𝐵) ∈ (0[,]+∞))
41 measvxrge0 32469 . . . 4 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝐴𝐵) ∈ 𝑆) → (𝑀‘(𝐴𝐵)) ∈ (0[,]+∞))
421, 7, 41syl2anc 585 . . 3 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆) ∧ 𝐵𝐴) → (𝑀‘(𝐴𝐵)) ∈ (0[,]+∞))
43 eqimss 3991 . . . . . . . . 9 (𝐵 = (𝐴𝐵) → 𝐵 ⊆ (𝐴𝐵))
44 ssdifeq0 4435 . . . . . . . . 9 (𝐵 ⊆ (𝐴𝐵) ↔ 𝐵 = ∅)
4543, 44sylib 217 . . . . . . . 8 (𝐵 = (𝐴𝐵) → 𝐵 = ∅)
4645fveq2d 6833 . . . . . . 7 (𝐵 = (𝐴𝐵) → (𝑀𝐵) = (𝑀‘∅))
47 measvnul 32470 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ (measures‘𝑆) → (𝑀‘∅) = 0)
4846, 47sylan9eqr 2799 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐵 = (𝐴𝐵)) → (𝑀𝐵) = 0)
491, 48sylan 581 . . . . 5 (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆) ∧ 𝐵𝐴) ∧ 𝐵 = (𝐴𝐵)) → (𝑀𝐵) = 0)
5049orcd 871 . . . 4 (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆) ∧ 𝐵𝐴) ∧ 𝐵 = (𝐴𝐵)) → ((𝑀𝐵) = 0 ∨ (𝑀𝐵) = +∞))
5150ex 414 . . 3 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆) ∧ 𝐵𝐴) → (𝐵 = (𝐴𝐵) → ((𝑀𝐵) = 0 ∨ (𝑀𝐵) = +∞)))
5236, 38, 2, 7, 40, 42, 51esumpr2 32331 . 2 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆) ∧ 𝐵𝐴) → Σ*𝑥 ∈ {𝐵, (𝐴𝐵)} (𝑀𝑥) = ((𝑀𝐵) +𝑒 (𝑀‘(𝐴𝐵))))
5327, 34, 523eqtr3d 2785 1 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆) ∧ 𝐵𝐴) → (𝑀𝐴) = ((𝑀𝐵) +𝑒 (𝑀‘(𝐴𝐵))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397  wo 845  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  cdif 3898  cun 3899  cin 3900  wss 3901  c0 4273  𝒫 cpw 4551  {cpr 4579   cuni 4856  Disj wdisj 5061   class class class wbr 5096  ran crn 5625  cfv 6483  (class class class)co 7341  ωcom 7784  cdom 8806  0cc0 10976  +∞cpnf 11111   +𝑒 cxad 12951  [,]cicc 13187  Σ*cesum 32291  sigAlgebracsiga 32372  measurescmeas 32459
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-rep 5233  ax-sep 5247  ax-nul 5254  ax-pow 5312  ax-pr 5376  ax-un 7654  ax-inf2 9502  ax-ac2 10324  ax-cnex 11032  ax-resscn 11033  ax-1cn 11034  ax-icn 11035  ax-addcl 11036  ax-addrcl 11037  ax-mulcl 11038  ax-mulrcl 11039  ax-mulcom 11040  ax-addass 11041  ax-mulass 11042  ax-distr 11043  ax-i2m1 11044  ax-1ne0 11045  ax-1rid 11046  ax-rnegex 11047  ax-rrecex 11048  ax-cnre 11049  ax-pre-lttri 11050  ax-pre-lttrn 11051  ax-pre-ltadd 11052  ax-pre-mulgt0 11053  ax-pre-sup 11054  ax-addf 11055  ax-mulf 11056
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3405  df-v 3444  df-sbc 3731  df-csb 3847  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3920  df-nul 4274  df-if 4478  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-tp 4582  df-op 4584  df-uni 4857  df-int 4899  df-iun 4947  df-iin 4948  df-disj 5062  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5180  df-tr 5214  df-id 5522  df-eprel 5528  df-po 5536  df-so 5537  df-fr 5579  df-se 5580  df-we 5581  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6242  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6435  df-fun 6485  df-fn 6486  df-f 6487  df-f1 6488  df-fo 6489  df-f1o 6490  df-fv 6491  df-isom 6492  df-riota 7297  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-of 7599  df-om 7785  df-1st 7903  df-2nd 7904  df-supp 8052  df-frecs 8171  df-wrecs 8202  df-recs 8276  df-rdg 8315  df-1o 8371  df-2o 8372  df-er 8573  df-map 8692  df-pm 8693  df-ixp 8761  df-en 8809  df-dom 8810  df-sdom 8811  df-fin 8812  df-fsupp 9231  df-fi 9272  df-sup 9303  df-inf 9304  df-oi 9371  df-dju 9762  df-card 9800  df-acn 9803  df-ac 9977  df-pnf 11116  df-mnf 11117  df-xr 11118  df-ltxr 11119  df-le 11120  df-sub 11312  df-neg 11313  df-div 11738  df-nn 12079  df-2 12141  df-3 12142  df-4 12143  df-5 12144  df-6 12145  df-7 12146  df-8 12147  df-9 12148  df-n0 12339  df-z 12425  df-dec 12543  df-uz 12688  df-q 12794  df-rp 12836  df-xneg 12953  df-xadd 12954  df-xmul 12955  df-ioo 13188  df-ioc 13189  df-ico 13190  df-icc 13191  df-fz 13345  df-fzo 13488  df-fl 13617  df-mod 13695  df-seq 13827  df-exp 13888  df-fac 14093  df-bc 14122  df-hash 14150  df-shft 14877  df-cj 14909  df-re 14910  df-im 14911  df-sqrt 15045  df-abs 15046  df-limsup 15279  df-clim 15296  df-rlim 15297  df-sum 15497  df-ef 15876  df-sin 15878  df-cos 15879  df-pi 15881  df-struct 16945  df-sets 16962  df-slot 16980  df-ndx 16992  df-base 17010  df-ress 17039  df-plusg 17072  df-mulr 17073  df-starv 17074  df-sca 17075  df-vsca 17076  df-ip 17077  df-tset 17078  df-ple 17079  df-ds 17081  df-unif 17082  df-hom 17083  df-cco 17084  df-rest 17230  df-topn 17231  df-0g 17249  df-gsum 17250  df-topgen 17251  df-pt 17252  df-prds 17255  df-ordt 17309  df-xrs 17310  df-qtop 17315  df-imas 17316  df-xps 17318  df-mre 17392  df-mrc 17393  df-acs 17395  df-ps 18381  df-tsr 18382  df-plusf 18422  df-mgm 18423  df-sgrp 18472  df-mnd 18483  df-mhm 18527  df-submnd 18528  df-grp 18676  df-minusg 18677  df-sbg 18678  df-mulg 18797  df-subg 18848  df-cntz 19019  df-cmn 19483  df-abl 19484  df-mgp 19815  df-ur 19832  df-ring 19879  df-cring 19880  df-subrg 20126  df-abv 20182  df-lmod 20230  df-scaf 20231  df-sra 20539  df-rgmod 20540  df-psmet 20694  df-xmet 20695  df-met 20696  df-bl 20697  df-mopn 20698  df-fbas 20699  df-fg 20700  df-cnfld 20703  df-top 22148  df-topon 22165  df-topsp 22187  df-bases 22201  df-cld 22275  df-ntr 22276  df-cls 22277  df-nei 22354  df-lp 22392  df-perf 22393  df-cn 22483  df-cnp 22484  df-haus 22571  df-tx 22818  df-hmeo 23011  df-fil 23102  df-fm 23194  df-flim 23195  df-flf 23196  df-tmd 23328  df-tgp 23329  df-tsms 23383  df-trg 23416  df-xms 23578  df-ms 23579  df-tms 23580  df-nm 23843  df-ngp 23844  df-nrg 23846  df-nlm 23847  df-ii 24145  df-cncf 24146  df-limc 25135  df-dv 25136  df-log 25817  df-esum 32292  df-siga 32373  df-meas 32460
This theorem is referenced by:  measun  32475
  Copyright terms: Public domain W3C validator