Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  measxun2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem measxun2 34212
Description: The measure the union of two complementary sets is the sum of their measures. (Contributed by Thierry Arnoux, 10-Mar-2017.)
Assertion
Ref Expression
measxun2 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆) ∧ 𝐵𝐴) → (𝑀𝐴) = ((𝑀𝐵) +𝑒 (𝑀‘(𝐴𝐵))))

Proof of Theorem measxun2
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp1 1136 . . 3 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆) ∧ 𝐵𝐴) → 𝑀 ∈ (measures‘𝑆))
2 simp2r 1200 . . . 4 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆) ∧ 𝐵𝐴) → 𝐵𝑆)
3 measbase 34199 . . . . . 6 (𝑀 ∈ (measures‘𝑆) → 𝑆 ran sigAlgebra)
41, 3syl 17 . . . . 5 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆) ∧ 𝐵𝐴) → 𝑆 ran sigAlgebra)
5 simp2l 1199 . . . . 5 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆) ∧ 𝐵𝐴) → 𝐴𝑆)
6 difelsiga 34135 . . . . 5 ((𝑆 ran sigAlgebra ∧ 𝐴𝑆𝐵𝑆) → (𝐴𝐵) ∈ 𝑆)
74, 5, 2, 6syl3anc 1372 . . . 4 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆) ∧ 𝐵𝐴) → (𝐴𝐵) ∈ 𝑆)
8 prelpwi 5451 . . . 4 ((𝐵𝑆 ∧ (𝐴𝐵) ∈ 𝑆) → {𝐵, (𝐴𝐵)} ∈ 𝒫 𝑆)
92, 7, 8syl2anc 584 . . 3 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆) ∧ 𝐵𝐴) → {𝐵, (𝐴𝐵)} ∈ 𝒫 𝑆)
10 prct 32727 . . . . 5 ((𝐵𝑆 ∧ (𝐴𝐵) ∈ 𝑆) → {𝐵, (𝐴𝐵)} ≼ ω)
112, 7, 10syl2anc 584 . . . 4 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆) ∧ 𝐵𝐴) → {𝐵, (𝐴𝐵)} ≼ ω)
12 simp3 1138 . . . . 5 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆) ∧ 𝐵𝐴) → 𝐵𝐴)
13 disjdifprg2 32590 . . . . . 6 (𝐴𝑆Disj 𝑥 ∈ {(𝐴𝐵), (𝐴𝐵)}𝑥)
14 prcom 4731 . . . . . . . . 9 {(𝐴𝐵), 𝐵} = {𝐵, (𝐴𝐵)}
15 dfss 3969 . . . . . . . . . . . 12 (𝐵𝐴𝐵 = (𝐵𝐴))
1615biimpi 216 . . . . . . . . . . 11 (𝐵𝐴𝐵 = (𝐵𝐴))
17 incom 4208 . . . . . . . . . . 11 (𝐵𝐴) = (𝐴𝐵)
1816, 17eqtrdi 2792 . . . . . . . . . 10 (𝐵𝐴𝐵 = (𝐴𝐵))
1918preq2d 4739 . . . . . . . . 9 (𝐵𝐴 → {(𝐴𝐵), 𝐵} = {(𝐴𝐵), (𝐴𝐵)})
2014, 19eqtr3id 2790 . . . . . . . 8 (𝐵𝐴 → {𝐵, (𝐴𝐵)} = {(𝐴𝐵), (𝐴𝐵)})
2120disjeq1d 5117 . . . . . . 7 (𝐵𝐴 → (Disj 𝑥 ∈ {𝐵, (𝐴𝐵)}𝑥Disj 𝑥 ∈ {(𝐴𝐵), (𝐴𝐵)}𝑥))
2221biimprd 248 . . . . . 6 (𝐵𝐴 → (Disj 𝑥 ∈ {(𝐴𝐵), (𝐴𝐵)}𝑥Disj 𝑥 ∈ {𝐵, (𝐴𝐵)}𝑥))
2313, 22mpan9 506 . . . . 5 ((𝐴𝑆𝐵𝐴) → Disj 𝑥 ∈ {𝐵, (𝐴𝐵)}𝑥)
245, 12, 23syl2anc 584 . . . 4 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆) ∧ 𝐵𝐴) → Disj 𝑥 ∈ {𝐵, (𝐴𝐵)}𝑥)
2511, 24jca 511 . . 3 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆) ∧ 𝐵𝐴) → ({𝐵, (𝐴𝐵)} ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ {𝐵, (𝐴𝐵)}𝑥))
26 measvun 34211 . . 3 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ {𝐵, (𝐴𝐵)} ∈ 𝒫 𝑆 ∧ ({𝐵, (𝐴𝐵)} ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ {𝐵, (𝐴𝐵)}𝑥)) → (𝑀 {𝐵, (𝐴𝐵)}) = Σ*𝑥 ∈ {𝐵, (𝐴𝐵)} (𝑀𝑥))
271, 9, 25, 26syl3anc 1372 . 2 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆) ∧ 𝐵𝐴) → (𝑀 {𝐵, (𝐴𝐵)}) = Σ*𝑥 ∈ {𝐵, (𝐴𝐵)} (𝑀𝑥))
282, 7jca 511 . . 3 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆) ∧ 𝐵𝐴) → (𝐵𝑆 ∧ (𝐴𝐵) ∈ 𝑆))
29 uniprg 4922 . . . . 5 ((𝐵𝑆 ∧ (𝐴𝐵) ∈ 𝑆) → {𝐵, (𝐴𝐵)} = (𝐵 ∪ (𝐴𝐵)))
30 undif 4481 . . . . . 6 (𝐵𝐴 ↔ (𝐵 ∪ (𝐴𝐵)) = 𝐴)
3130biimpi 216 . . . . 5 (𝐵𝐴 → (𝐵 ∪ (𝐴𝐵)) = 𝐴)
3229, 31sylan9eq 2796 . . . 4 (((𝐵𝑆 ∧ (𝐴𝐵) ∈ 𝑆) ∧ 𝐵𝐴) → {𝐵, (𝐴𝐵)} = 𝐴)
3332fveq2d 6909 . . 3 (((𝐵𝑆 ∧ (𝐴𝐵) ∈ 𝑆) ∧ 𝐵𝐴) → (𝑀 {𝐵, (𝐴𝐵)}) = (𝑀𝐴))
3428, 12, 33syl2anc 584 . 2 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆) ∧ 𝐵𝐴) → (𝑀 {𝐵, (𝐴𝐵)}) = (𝑀𝐴))
35 simpr 484 . . . 4 (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆) ∧ 𝐵𝐴) ∧ 𝑥 = 𝐵) → 𝑥 = 𝐵)
3635fveq2d 6909 . . 3 (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆) ∧ 𝐵𝐴) ∧ 𝑥 = 𝐵) → (𝑀𝑥) = (𝑀𝐵))
37 simpr 484 . . . 4 (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆) ∧ 𝐵𝐴) ∧ 𝑥 = (𝐴𝐵)) → 𝑥 = (𝐴𝐵))
3837fveq2d 6909 . . 3 (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆) ∧ 𝐵𝐴) ∧ 𝑥 = (𝐴𝐵)) → (𝑀𝑥) = (𝑀‘(𝐴𝐵)))
39 measvxrge0 34207 . . . 4 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐵𝑆) → (𝑀𝐵) ∈ (0[,]+∞))
401, 2, 39syl2anc 584 . . 3 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆) ∧ 𝐵𝐴) → (𝑀𝐵) ∈ (0[,]+∞))
41 measvxrge0 34207 . . . 4 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝐴𝐵) ∈ 𝑆) → (𝑀‘(𝐴𝐵)) ∈ (0[,]+∞))
421, 7, 41syl2anc 584 . . 3 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆) ∧ 𝐵𝐴) → (𝑀‘(𝐴𝐵)) ∈ (0[,]+∞))
43 eqimss 4041 . . . . . . . . 9 (𝐵 = (𝐴𝐵) → 𝐵 ⊆ (𝐴𝐵))
44 ssdifeq0 4486 . . . . . . . . 9 (𝐵 ⊆ (𝐴𝐵) ↔ 𝐵 = ∅)
4543, 44sylib 218 . . . . . . . 8 (𝐵 = (𝐴𝐵) → 𝐵 = ∅)
4645fveq2d 6909 . . . . . . 7 (𝐵 = (𝐴𝐵) → (𝑀𝐵) = (𝑀‘∅))
47 measvnul 34208 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ (measures‘𝑆) → (𝑀‘∅) = 0)
4846, 47sylan9eqr 2798 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐵 = (𝐴𝐵)) → (𝑀𝐵) = 0)
491, 48sylan 580 . . . . 5 (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆) ∧ 𝐵𝐴) ∧ 𝐵 = (𝐴𝐵)) → (𝑀𝐵) = 0)
5049orcd 873 . . . 4 (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆) ∧ 𝐵𝐴) ∧ 𝐵 = (𝐴𝐵)) → ((𝑀𝐵) = 0 ∨ (𝑀𝐵) = +∞))
5150ex 412 . . 3 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆) ∧ 𝐵𝐴) → (𝐵 = (𝐴𝐵) → ((𝑀𝐵) = 0 ∨ (𝑀𝐵) = +∞)))
5236, 38, 2, 7, 40, 42, 51esumpr2 34069 . 2 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆) ∧ 𝐵𝐴) → Σ*𝑥 ∈ {𝐵, (𝐴𝐵)} (𝑀𝑥) = ((𝑀𝐵) +𝑒 (𝑀‘(𝐴𝐵))))
5327, 34, 523eqtr3d 2784 1 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆) ∧ 𝐵𝐴) → (𝑀𝐴) = ((𝑀𝐵) +𝑒 (𝑀‘(𝐴𝐵))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  wo 847  w3a 1086   = wceq 1539  wcel 2107  cdif 3947  cun 3948  cin 3949  wss 3950  c0 4332  𝒫 cpw 4599  {cpr 4627   cuni 4906  Disj wdisj 5109   class class class wbr 5142  ran crn 5685  cfv 6560  (class class class)co 7432  ωcom 7888  cdom 8984  0cc0 11156  +∞cpnf 11293   +𝑒 cxad 13153  [,]cicc 13391  Σ*cesum 34029  sigAlgebracsiga 34110  measurescmeas 34197
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-inf2 9682  ax-ac2 10504  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233  ax-pre-sup 11234  ax-addf 11235  ax-mulf 11236
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-tp 4630  df-op 4632  df-uni 4907  df-int 4946  df-iun 4992  df-iin 4993  df-disj 5110  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-se 5637  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-isom 6569  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-of 7698  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-supp 8187  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-1o 8507  df-2o 8508  df-er 8746  df-map 8869  df-pm 8870  df-ixp 8939  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-fin 8990  df-fsupp 9403  df-fi 9452  df-sup 9483  df-inf 9484  df-oi 9551  df-dju 9942  df-card 9980  df-acn 9983  df-ac 10157  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-div 11922  df-nn 12268  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-7 12335  df-8 12336  df-9 12337  df-n0 12529  df-z 12616  df-dec 12736  df-uz 12880  df-q 12992  df-rp 13036  df-xneg 13155  df-xadd 13156  df-xmul 13157  df-ioo 13392  df-ioc 13393  df-ico 13394  df-icc 13395  df-fz 13549  df-fzo 13696  df-fl 13833  df-mod 13911  df-seq 14044  df-exp 14104  df-fac 14314  df-bc 14343  df-hash 14371  df-shft 15107  df-cj 15139  df-re 15140  df-im 15141  df-sqrt 15275  df-abs 15276  df-limsup 15508  df-clim 15525  df-rlim 15526  df-sum 15724  df-ef 16104  df-sin 16106  df-cos 16107  df-pi 16109  df-struct 17185  df-sets 17202  df-slot 17220  df-ndx 17232  df-base 17249  df-ress 17276  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-starv 17313  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-unif 17321  df-hom 17322  df-cco 17323  df-rest 17468  df-topn 17469  df-0g 17487  df-gsum 17488  df-topgen 17489  df-pt 17490  df-prds 17493  df-ordt 17547  df-xrs 17548  df-qtop 17553  df-imas 17554  df-xps 17556  df-mre 17630  df-mrc 17631  df-acs 17633  df-ps 18612  df-tsr 18613  df-plusf 18653  df-mgm 18654  df-sgrp 18733  df-mnd 18749  df-mhm 18797  df-submnd 18798  df-grp 18955  df-minusg 18956  df-sbg 18957  df-mulg 19087  df-subg 19142  df-cntz 19336  df-cmn 19801  df-abl 19802  df-mgp 20139  df-rng 20151  df-ur 20180  df-ring 20233  df-cring 20234  df-subrng 20547  df-subrg 20571  df-abv 20811  df-lmod 20861  df-scaf 20862  df-sra 21173  df-rgmod 21174  df-psmet 21357  df-xmet 21358  df-met 21359  df-bl 21360  df-mopn 21361  df-fbas 21362  df-fg 21363  df-cnfld 21366  df-top 22901  df-topon 22918  df-topsp 22940  df-bases 22954  df-cld 23028  df-ntr 23029  df-cls 23030  df-nei 23107  df-lp 23145  df-perf 23146  df-cn 23236  df-cnp 23237  df-haus 23324  df-tx 23571  df-hmeo 23764  df-fil 23855  df-fm 23947  df-flim 23948  df-flf 23949  df-tmd 24081  df-tgp 24082  df-tsms 24136  df-trg 24169  df-xms 24331  df-ms 24332  df-tms 24333  df-nm 24596  df-ngp 24597  df-nrg 24599  df-nlm 24600  df-ii 24904  df-cncf 24905  df-limc 25902  df-dv 25903  df-log 26599  df-esum 34030  df-siga 34111  df-meas 34198
This theorem is referenced by:  measun  34213
  Copyright terms: Public domain W3C validator