Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  measxun2 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem measxun2 33663
Description: The measure the union of two complementary sets is the sum of their measures. (Contributed by Thierry Arnoux, 10-Mar-2017.)
Assertion
Ref Expression
measxun2 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐡 ∈ 𝑆) ∧ 𝐡 βŠ† 𝐴) β†’ (π‘€β€˜π΄) = ((π‘€β€˜π΅) +𝑒 (π‘€β€˜(𝐴 βˆ– 𝐡))))
Proof of Theorem measxun2
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp1 1133 . . 3 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐡 ∈ 𝑆) ∧ 𝐡 βŠ† 𝐴) β†’ 𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†))
2 simp2r 1197 . . . 4 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐡 ∈ 𝑆) ∧ 𝐡 βŠ† 𝐴) β†’ 𝐡 ∈ 𝑆)
3 measbase 33650 . . . . . 6 (𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) β†’ 𝑆 ∈ βˆͺ ran sigAlgebra)
41, 3syl 17 . . . . 5 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐡 ∈ 𝑆) ∧ 𝐡 βŠ† 𝐴) β†’ 𝑆 ∈ βˆͺ ran sigAlgebra)
5 simp2l 1196 . . . . 5 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐡 ∈ 𝑆) ∧ 𝐡 βŠ† 𝐴) β†’ 𝐴 ∈ 𝑆)
6 difelsiga 33586 . . . . 5 ((𝑆 ∈ βˆͺ ran sigAlgebra ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐡 ∈ 𝑆) β†’ (𝐴 βˆ– 𝐡) ∈ 𝑆)
74, 5, 2, 6syl3anc 1368 . . . 4 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐡 ∈ 𝑆) ∧ 𝐡 βŠ† 𝐴) β†’ (𝐴 βˆ– 𝐡) ∈ 𝑆)
8 prelpwi 5437 . . . 4 ((𝐡 ∈ 𝑆 ∧ (𝐴 βˆ– 𝐡) ∈ 𝑆) β†’ {𝐡, (𝐴 βˆ– 𝐡)} ∈ 𝒫 𝑆)
92, 7, 8syl2anc 583 . . 3 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐡 ∈ 𝑆) ∧ 𝐡 βŠ† 𝐴) β†’ {𝐡, (𝐴 βˆ– 𝐡)} ∈ 𝒫 𝑆)
10 prct 32374 . . . . 5 ((𝐡 ∈ 𝑆 ∧ (𝐴 βˆ– 𝐡) ∈ 𝑆) β†’ {𝐡, (𝐴 βˆ– 𝐡)} β‰Ό Ο‰)
112, 7, 10syl2anc 583 . . . 4 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐡 ∈ 𝑆) ∧ 𝐡 βŠ† 𝐴) β†’ {𝐡, (𝐴 βˆ– 𝐡)} β‰Ό Ο‰)
12 simp3 1135 . . . . 5 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐡 ∈ 𝑆) ∧ 𝐡 βŠ† 𝐴) β†’ 𝐡 βŠ† 𝐴)
13 disjdifprg2 32242 . . . . . 6 (𝐴 ∈ 𝑆 β†’ Disj π‘₯ ∈ {(𝐴 βˆ– 𝐡), (𝐴 ∩ 𝐡)}π‘₯)
14 prcom 4728 . . . . . . . . 9 {(𝐴 βˆ– 𝐡), 𝐡} = {𝐡, (𝐴 βˆ– 𝐡)}
15 dfss 3958 . . . . . . . . . . . 12 (𝐡 βŠ† 𝐴 ↔ 𝐡 = (𝐡 ∩ 𝐴))
1615biimpi 215 . . . . . . . . . . 11 (𝐡 βŠ† 𝐴 β†’ 𝐡 = (𝐡 ∩ 𝐴))
17 incom 4193 . . . . . . . . . . 11 (𝐡 ∩ 𝐴) = (𝐴 ∩ 𝐡)
1816, 17eqtrdi 2780 . . . . . . . . . 10 (𝐡 βŠ† 𝐴 β†’ 𝐡 = (𝐴 ∩ 𝐡))
1918preq2d 4736 . . . . . . . . 9 (𝐡 βŠ† 𝐴 β†’ {(𝐴 βˆ– 𝐡), 𝐡} = {(𝐴 βˆ– 𝐡), (𝐴 ∩ 𝐡)})
2014, 19eqtr3id 2778 . . . . . . . 8 (𝐡 βŠ† 𝐴 β†’ {𝐡, (𝐴 βˆ– 𝐡)} = {(𝐴 βˆ– 𝐡), (𝐴 ∩ 𝐡)})
2120disjeq1d 5111 . . . . . . 7 (𝐡 βŠ† 𝐴 β†’ (Disj π‘₯ ∈ {𝐡, (𝐴 βˆ– 𝐡)}π‘₯ ↔ Disj π‘₯ ∈ {(𝐴 βˆ– 𝐡), (𝐴 ∩ 𝐡)}π‘₯))
2221biimprd 247 . . . . . 6 (𝐡 βŠ† 𝐴 β†’ (Disj π‘₯ ∈ {(𝐴 βˆ– 𝐡), (𝐴 ∩ 𝐡)}π‘₯ β†’ Disj π‘₯ ∈ {𝐡, (𝐴 βˆ– 𝐡)}π‘₯))
2313, 22mpan9 506 . . . . 5 ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐡 βŠ† 𝐴) β†’ Disj π‘₯ ∈ {𝐡, (𝐴 βˆ– 𝐡)}π‘₯)
245, 12, 23syl2anc 583 . . . 4 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐡 ∈ 𝑆) ∧ 𝐡 βŠ† 𝐴) β†’ Disj π‘₯ ∈ {𝐡, (𝐴 βˆ– 𝐡)}π‘₯)
2511, 24jca 511 . . 3 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐡 ∈ 𝑆) ∧ 𝐡 βŠ† 𝐴) β†’ ({𝐡, (𝐴 βˆ– 𝐡)} β‰Ό Ο‰ ∧ Disj π‘₯ ∈ {𝐡, (𝐴 βˆ– 𝐡)}π‘₯))
26 measvun 33662 . . 3 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ {𝐡, (𝐴 βˆ– 𝐡)} ∈ 𝒫 𝑆 ∧ ({𝐡, (𝐴 βˆ– 𝐡)} β‰Ό Ο‰ ∧ Disj π‘₯ ∈ {𝐡, (𝐴 βˆ– 𝐡)}π‘₯)) β†’ (π‘€β€˜βˆͺ {𝐡, (𝐴 βˆ– 𝐡)}) = Ξ£*π‘₯ ∈ {𝐡, (𝐴 βˆ– 𝐡)} (π‘€β€˜π‘₯))
271, 9, 25, 26syl3anc 1368 . 2 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐡 ∈ 𝑆) ∧ 𝐡 βŠ† 𝐴) β†’ (π‘€β€˜βˆͺ {𝐡, (𝐴 βˆ– 𝐡)}) = Ξ£*π‘₯ ∈ {𝐡, (𝐴 βˆ– 𝐡)} (π‘€β€˜π‘₯))
282, 7jca 511 . . 3 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐡 ∈ 𝑆) ∧ 𝐡 βŠ† 𝐴) β†’ (𝐡 ∈ 𝑆 ∧ (𝐴 βˆ– 𝐡) ∈ 𝑆))
29 uniprg 4915 . . . . 5 ((𝐡 ∈ 𝑆 ∧ (𝐴 βˆ– 𝐡) ∈ 𝑆) β†’ βˆͺ {𝐡, (𝐴 βˆ– 𝐡)} = (𝐡 βˆͺ (𝐴 βˆ– 𝐡)))
30 undif 4473 . . . . . 6 (𝐡 βŠ† 𝐴 ↔ (𝐡 βˆͺ (𝐴 βˆ– 𝐡)) = 𝐴)
3130biimpi 215 . . . . 5 (𝐡 βŠ† 𝐴 β†’ (𝐡 βˆͺ (𝐴 βˆ– 𝐡)) = 𝐴)
3229, 31sylan9eq 2784 . . . 4 (((𝐡 ∈ 𝑆 ∧ (𝐴 βˆ– 𝐡) ∈ 𝑆) ∧ 𝐡 βŠ† 𝐴) β†’ βˆͺ {𝐡, (𝐴 βˆ– 𝐡)} = 𝐴)
3332fveq2d 6885 . . 3 (((𝐡 ∈ 𝑆 ∧ (𝐴 βˆ– 𝐡) ∈ 𝑆) ∧ 𝐡 βŠ† 𝐴) β†’ (π‘€β€˜βˆͺ {𝐡, (𝐴 βˆ– 𝐡)}) = (π‘€β€˜π΄))
3428, 12, 33syl2anc 583 . 2 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐡 ∈ 𝑆) ∧ 𝐡 βŠ† 𝐴) β†’ (π‘€β€˜βˆͺ {𝐡, (𝐴 βˆ– 𝐡)}) = (π‘€β€˜π΄))
35 simpr 484 . . . 4 (((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐡 ∈ 𝑆) ∧ 𝐡 βŠ† 𝐴) ∧ π‘₯ = 𝐡) β†’ π‘₯ = 𝐡)
3635fveq2d 6885 . . 3 (((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐡 ∈ 𝑆) ∧ 𝐡 βŠ† 𝐴) ∧ π‘₯ = 𝐡) β†’ (π‘€β€˜π‘₯) = (π‘€β€˜π΅))
37 simpr 484 . . . 4 (((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐡 ∈ 𝑆) ∧ 𝐡 βŠ† 𝐴) ∧ π‘₯ = (𝐴 βˆ– 𝐡)) β†’ π‘₯ = (𝐴 βˆ– 𝐡))
3837fveq2d 6885 . . 3 (((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐡 ∈ 𝑆) ∧ 𝐡 βŠ† 𝐴) ∧ π‘₯ = (𝐴 βˆ– 𝐡)) β†’ (π‘€β€˜π‘₯) = (π‘€β€˜(𝐴 βˆ– 𝐡)))
39 measvxrge0 33658 . . . 4 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ 𝐡 ∈ 𝑆) β†’ (π‘€β€˜π΅) ∈ (0[,]+∞))
401, 2, 39syl2anc 583 . . 3 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐡 ∈ 𝑆) ∧ 𝐡 βŠ† 𝐴) β†’ (π‘€β€˜π΅) ∈ (0[,]+∞))
41 measvxrge0 33658 . . . 4 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ (𝐴 βˆ– 𝐡) ∈ 𝑆) β†’ (π‘€β€˜(𝐴 βˆ– 𝐡)) ∈ (0[,]+∞))
421, 7, 41syl2anc 583 . . 3 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐡 ∈ 𝑆) ∧ 𝐡 βŠ† 𝐴) β†’ (π‘€β€˜(𝐴 βˆ– 𝐡)) ∈ (0[,]+∞))
43 eqimss 4032 . . . . . . . . 9 (𝐡 = (𝐴 βˆ– 𝐡) β†’ 𝐡 βŠ† (𝐴 βˆ– 𝐡))
44 ssdifeq0 4478 . . . . . . . . 9 (𝐡 βŠ† (𝐴 βˆ– 𝐡) ↔ 𝐡 = βˆ…)
4543, 44sylib 217 . . . . . . . 8 (𝐡 = (𝐴 βˆ– 𝐡) β†’ 𝐡 = βˆ…)
4645fveq2d 6885 . . . . . . 7 (𝐡 = (𝐴 βˆ– 𝐡) β†’ (π‘€β€˜π΅) = (π‘€β€˜βˆ…))
47 measvnul 33659 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) β†’ (π‘€β€˜βˆ…) = 0)
4846, 47sylan9eqr 2786 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ 𝐡 = (𝐴 βˆ– 𝐡)) β†’ (π‘€β€˜π΅) = 0)
491, 48sylan 579 . . . . 5 (((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐡 ∈ 𝑆) ∧ 𝐡 βŠ† 𝐴) ∧ 𝐡 = (𝐴 βˆ– 𝐡)) β†’ (π‘€β€˜π΅) = 0)
5049orcd 870 . . . 4 (((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐡 ∈ 𝑆) ∧ 𝐡 βŠ† 𝐴) ∧ 𝐡 = (𝐴 βˆ– 𝐡)) β†’ ((π‘€β€˜π΅) = 0 ∨ (π‘€β€˜π΅) = +∞))
5150ex 412 . . 3 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐡 ∈ 𝑆) ∧ 𝐡 βŠ† 𝐴) β†’ (𝐡 = (𝐴 βˆ– 𝐡) β†’ ((π‘€β€˜π΅) = 0 ∨ (π‘€β€˜π΅) = +∞)))
5236, 38, 2, 7, 40, 42, 51esumpr2 33520 . 2 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐡 ∈ 𝑆) ∧ 𝐡 βŠ† 𝐴) β†’ Ξ£*π‘₯ ∈ {𝐡, (𝐴 βˆ– 𝐡)} (π‘€β€˜π‘₯) = ((π‘€β€˜π΅) +𝑒 (π‘€β€˜(𝐴 βˆ– 𝐡))))
5327, 34, 523eqtr3d 2772 1 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐡 ∈ 𝑆) ∧ 𝐡 βŠ† 𝐴) β†’ (π‘€β€˜π΄) = ((π‘€β€˜π΅) +𝑒 (π‘€β€˜(𝐴 βˆ– 𝐡))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 844   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   βˆ– cdif 3937   βˆͺ cun 3938   ∩ cin 3939   βŠ† wss 3940  βˆ…c0 4314  π’« cpw 4594  {cpr 4622  βˆͺ cuni 4899  Disj wdisj 5103   class class class wbr 5138  ran crn 5667  β€˜cfv 6533  (class class class)co 7401  Ο‰com 7848   β‰Ό cdom 8932  0cc0 11105  +∞cpnf 11241   +𝑒 cxad 13086  [,]cicc 13323  Ξ£*cesum 33480  sigAlgebracsiga 33561  measurescmeas 33648
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-inf2 9631  ax-ac2 10453  ax-cnex 11161  ax-resscn 11162  ax-1cn 11163  ax-icn 11164  ax-addcl 11165  ax-addrcl 11166  ax-mulcl 11167  ax-mulrcl 11168  ax-mulcom 11169  ax-addass 11170  ax-mulass 11171  ax-distr 11172  ax-i2m1 11173  ax-1ne0 11174  ax-1rid 11175  ax-rnegex 11176  ax-rrecex 11177  ax-cnre 11178  ax-pre-lttri 11179  ax-pre-lttrn 11180  ax-pre-ltadd 11181  ax-pre-mulgt0 11182  ax-pre-sup 11183  ax-addf 11184  ax-mulf 11185
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-tp 4625  df-op 4627  df-uni 4900  df-int 4941  df-iun 4989  df-iin 4990  df-disj 5104  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-se 5622  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-of 7663  df-om 7849  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-supp 8141  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-2o 8462  df-er 8698  df-map 8817  df-pm 8818  df-ixp 8887  df-en 8935  df-dom 8936  df-sdom 8937  df-fin 8938  df-fsupp 9357  df-fi 9401  df-sup 9432  df-inf 9433  df-oi 9500  df-dju 9891  df-card 9929  df-acn 9932  df-ac 10106  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-q 12929  df-rp 12971  df-xneg 13088  df-xadd 13089  df-xmul 13090  df-ioo 13324  df-ioc 13325  df-ico 13326  df-icc 13327  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-fl 13753  df-mod 13831  df-seq 13963  df-exp 14024  df-fac 14230  df-bc 14259  df-hash 14287  df-shft 15010  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-limsup 15411  df-clim 15428  df-rlim 15429  df-sum 15629  df-ef 16007  df-sin 16009  df-cos 16010  df-pi 16012  df-struct 17078  df-sets 17095  df-slot 17113  df-ndx 17125  df-base 17143  df-ress 17172  df-plusg 17208  df-mulr 17209  df-starv 17210  df-sca 17211  df-vsca 17212  df-ip 17213  df-tset 17214  df-ple 17215  df-ds 17217  df-unif 17218  df-hom 17219  df-cco 17220  df-rest 17366  df-topn 17367  df-0g 17385  df-gsum 17386  df-topgen 17387  df-pt 17388  df-prds 17391  df-ordt 17445  df-xrs 17446  df-qtop 17451  df-imas 17452  df-xps 17454  df-mre 17528  df-mrc 17529  df-acs 17531  df-ps 18520  df-tsr 18521  df-plusf 18561  df-mgm 18562  df-sgrp 18641  df-mnd 18657  df-mhm 18702  df-submnd 18703  df-grp 18855  df-minusg 18856  df-sbg 18857  df-mulg 18985  df-subg 19039  df-cntz 19222  df-cmn 19691  df-abl 19692  df-mgp 20029  df-rng 20047  df-ur 20076  df-ring 20129  df-cring 20130  df-subrng 20435  df-subrg 20460  df-abv 20649  df-lmod 20697  df-scaf 20698  df-sra 21010  df-rgmod 21011  df-psmet 21219  df-xmet 21220  df-met 21221  df-bl 21222  df-mopn 21223  df-fbas 21224  df-fg 21225  df-cnfld 21228  df-top 22717  df-topon 22734  df-topsp 22756  df-bases 22770  df-cld 22844  df-ntr 22845  df-cls 22846  df-nei 22923  df-lp 22961  df-perf 22962  df-cn 23052  df-cnp 23053  df-haus 23140  df-tx 23387  df-hmeo 23580  df-fil 23671  df-fm 23763  df-flim 23764  df-flf 23765  df-tmd 23897  df-tgp 23898  df-tsms 23952  df-trg 23985  df-xms 24147  df-ms 24148  df-tms 24149  df-nm 24412  df-ngp 24413  df-nrg 24415  df-nlm 24416  df-ii 24718  df-cncf 24719  df-limc 25716  df-dv 25717  df-log 26406  df-esum 33481  df-siga 33562  df-meas 33649
This theorem is referenced by:  measun  33664
  Copyright terms: Public domain W3C validator