Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  measxun2 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem measxun2 33197
Description: The measure the union of two complementary sets is the sum of their measures. (Contributed by Thierry Arnoux, 10-Mar-2017.)
Assertion
Ref Expression
measxun2 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐡 ∈ 𝑆) ∧ 𝐡 βŠ† 𝐴) β†’ (π‘€β€˜π΄) = ((π‘€β€˜π΅) +𝑒 (π‘€β€˜(𝐴 βˆ– 𝐡))))
Proof of Theorem measxun2
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp1 1137 . . 3 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐡 ∈ 𝑆) ∧ 𝐡 βŠ† 𝐴) β†’ 𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†))
2 simp2r 1201 . . . 4 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐡 ∈ 𝑆) ∧ 𝐡 βŠ† 𝐴) β†’ 𝐡 ∈ 𝑆)
3 measbase 33184 . . . . . 6 (𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) β†’ 𝑆 ∈ βˆͺ ran sigAlgebra)
41, 3syl 17 . . . . 5 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐡 ∈ 𝑆) ∧ 𝐡 βŠ† 𝐴) β†’ 𝑆 ∈ βˆͺ ran sigAlgebra)
5 simp2l 1200 . . . . 5 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐡 ∈ 𝑆) ∧ 𝐡 βŠ† 𝐴) β†’ 𝐴 ∈ 𝑆)
6 difelsiga 33120 . . . . 5 ((𝑆 ∈ βˆͺ ran sigAlgebra ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐡 ∈ 𝑆) β†’ (𝐴 βˆ– 𝐡) ∈ 𝑆)
74, 5, 2, 6syl3anc 1372 . . . 4 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐡 ∈ 𝑆) ∧ 𝐡 βŠ† 𝐴) β†’ (𝐴 βˆ– 𝐡) ∈ 𝑆)
8 prelpwi 5447 . . . 4 ((𝐡 ∈ 𝑆 ∧ (𝐴 βˆ– 𝐡) ∈ 𝑆) β†’ {𝐡, (𝐴 βˆ– 𝐡)} ∈ 𝒫 𝑆)
92, 7, 8syl2anc 585 . . 3 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐡 ∈ 𝑆) ∧ 𝐡 βŠ† 𝐴) β†’ {𝐡, (𝐴 βˆ– 𝐡)} ∈ 𝒫 𝑆)
10 prct 31927 . . . . 5 ((𝐡 ∈ 𝑆 ∧ (𝐴 βˆ– 𝐡) ∈ 𝑆) β†’ {𝐡, (𝐴 βˆ– 𝐡)} β‰Ό Ο‰)
112, 7, 10syl2anc 585 . . . 4 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐡 ∈ 𝑆) ∧ 𝐡 βŠ† 𝐴) β†’ {𝐡, (𝐴 βˆ– 𝐡)} β‰Ό Ο‰)
12 simp3 1139 . . . . 5 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐡 ∈ 𝑆) ∧ 𝐡 βŠ† 𝐴) β†’ 𝐡 βŠ† 𝐴)
13 disjdifprg2 31795 . . . . . 6 (𝐴 ∈ 𝑆 β†’ Disj π‘₯ ∈ {(𝐴 βˆ– 𝐡), (𝐴 ∩ 𝐡)}π‘₯)
14 prcom 4736 . . . . . . . . 9 {(𝐴 βˆ– 𝐡), 𝐡} = {𝐡, (𝐴 βˆ– 𝐡)}
15 dfss 3966 . . . . . . . . . . . 12 (𝐡 βŠ† 𝐴 ↔ 𝐡 = (𝐡 ∩ 𝐴))
1615biimpi 215 . . . . . . . . . . 11 (𝐡 βŠ† 𝐴 β†’ 𝐡 = (𝐡 ∩ 𝐴))
17 incom 4201 . . . . . . . . . . 11 (𝐡 ∩ 𝐴) = (𝐴 ∩ 𝐡)
1816, 17eqtrdi 2789 . . . . . . . . . 10 (𝐡 βŠ† 𝐴 β†’ 𝐡 = (𝐴 ∩ 𝐡))
1918preq2d 4744 . . . . . . . . 9 (𝐡 βŠ† 𝐴 β†’ {(𝐴 βˆ– 𝐡), 𝐡} = {(𝐴 βˆ– 𝐡), (𝐴 ∩ 𝐡)})
2014, 19eqtr3id 2787 . . . . . . . 8 (𝐡 βŠ† 𝐴 β†’ {𝐡, (𝐴 βˆ– 𝐡)} = {(𝐴 βˆ– 𝐡), (𝐴 ∩ 𝐡)})
2120disjeq1d 5121 . . . . . . 7 (𝐡 βŠ† 𝐴 β†’ (Disj π‘₯ ∈ {𝐡, (𝐴 βˆ– 𝐡)}π‘₯ ↔ Disj π‘₯ ∈ {(𝐴 βˆ– 𝐡), (𝐴 ∩ 𝐡)}π‘₯))
2221biimprd 247 . . . . . 6 (𝐡 βŠ† 𝐴 β†’ (Disj π‘₯ ∈ {(𝐴 βˆ– 𝐡), (𝐴 ∩ 𝐡)}π‘₯ β†’ Disj π‘₯ ∈ {𝐡, (𝐴 βˆ– 𝐡)}π‘₯))
2313, 22mpan9 508 . . . . 5 ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐡 βŠ† 𝐴) β†’ Disj π‘₯ ∈ {𝐡, (𝐴 βˆ– 𝐡)}π‘₯)
245, 12, 23syl2anc 585 . . . 4 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐡 ∈ 𝑆) ∧ 𝐡 βŠ† 𝐴) β†’ Disj π‘₯ ∈ {𝐡, (𝐴 βˆ– 𝐡)}π‘₯)
2511, 24jca 513 . . 3 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐡 ∈ 𝑆) ∧ 𝐡 βŠ† 𝐴) β†’ ({𝐡, (𝐴 βˆ– 𝐡)} β‰Ό Ο‰ ∧ Disj π‘₯ ∈ {𝐡, (𝐴 βˆ– 𝐡)}π‘₯))
26 measvun 33196 . . 3 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ {𝐡, (𝐴 βˆ– 𝐡)} ∈ 𝒫 𝑆 ∧ ({𝐡, (𝐴 βˆ– 𝐡)} β‰Ό Ο‰ ∧ Disj π‘₯ ∈ {𝐡, (𝐴 βˆ– 𝐡)}π‘₯)) β†’ (π‘€β€˜βˆͺ {𝐡, (𝐴 βˆ– 𝐡)}) = Ξ£*π‘₯ ∈ {𝐡, (𝐴 βˆ– 𝐡)} (π‘€β€˜π‘₯))
271, 9, 25, 26syl3anc 1372 . 2 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐡 ∈ 𝑆) ∧ 𝐡 βŠ† 𝐴) β†’ (π‘€β€˜βˆͺ {𝐡, (𝐴 βˆ– 𝐡)}) = Ξ£*π‘₯ ∈ {𝐡, (𝐴 βˆ– 𝐡)} (π‘€β€˜π‘₯))
282, 7jca 513 . . 3 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐡 ∈ 𝑆) ∧ 𝐡 βŠ† 𝐴) β†’ (𝐡 ∈ 𝑆 ∧ (𝐴 βˆ– 𝐡) ∈ 𝑆))
29 uniprg 4925 . . . . 5 ((𝐡 ∈ 𝑆 ∧ (𝐴 βˆ– 𝐡) ∈ 𝑆) β†’ βˆͺ {𝐡, (𝐴 βˆ– 𝐡)} = (𝐡 βˆͺ (𝐴 βˆ– 𝐡)))
30 undif 4481 . . . . . 6 (𝐡 βŠ† 𝐴 ↔ (𝐡 βˆͺ (𝐴 βˆ– 𝐡)) = 𝐴)
3130biimpi 215 . . . . 5 (𝐡 βŠ† 𝐴 β†’ (𝐡 βˆͺ (𝐴 βˆ– 𝐡)) = 𝐴)
3229, 31sylan9eq 2793 . . . 4 (((𝐡 ∈ 𝑆 ∧ (𝐴 βˆ– 𝐡) ∈ 𝑆) ∧ 𝐡 βŠ† 𝐴) β†’ βˆͺ {𝐡, (𝐴 βˆ– 𝐡)} = 𝐴)
3332fveq2d 6893 . . 3 (((𝐡 ∈ 𝑆 ∧ (𝐴 βˆ– 𝐡) ∈ 𝑆) ∧ 𝐡 βŠ† 𝐴) β†’ (π‘€β€˜βˆͺ {𝐡, (𝐴 βˆ– 𝐡)}) = (π‘€β€˜π΄))
3428, 12, 33syl2anc 585 . 2 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐡 ∈ 𝑆) ∧ 𝐡 βŠ† 𝐴) β†’ (π‘€β€˜βˆͺ {𝐡, (𝐴 βˆ– 𝐡)}) = (π‘€β€˜π΄))
35 simpr 486 . . . 4 (((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐡 ∈ 𝑆) ∧ 𝐡 βŠ† 𝐴) ∧ π‘₯ = 𝐡) β†’ π‘₯ = 𝐡)
3635fveq2d 6893 . . 3 (((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐡 ∈ 𝑆) ∧ 𝐡 βŠ† 𝐴) ∧ π‘₯ = 𝐡) β†’ (π‘€β€˜π‘₯) = (π‘€β€˜π΅))
37 simpr 486 . . . 4 (((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐡 ∈ 𝑆) ∧ 𝐡 βŠ† 𝐴) ∧ π‘₯ = (𝐴 βˆ– 𝐡)) β†’ π‘₯ = (𝐴 βˆ– 𝐡))
3837fveq2d 6893 . . 3 (((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐡 ∈ 𝑆) ∧ 𝐡 βŠ† 𝐴) ∧ π‘₯ = (𝐴 βˆ– 𝐡)) β†’ (π‘€β€˜π‘₯) = (π‘€β€˜(𝐴 βˆ– 𝐡)))
39 measvxrge0 33192 . . . 4 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ 𝐡 ∈ 𝑆) β†’ (π‘€β€˜π΅) ∈ (0[,]+∞))
401, 2, 39syl2anc 585 . . 3 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐡 ∈ 𝑆) ∧ 𝐡 βŠ† 𝐴) β†’ (π‘€β€˜π΅) ∈ (0[,]+∞))
41 measvxrge0 33192 . . . 4 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ (𝐴 βˆ– 𝐡) ∈ 𝑆) β†’ (π‘€β€˜(𝐴 βˆ– 𝐡)) ∈ (0[,]+∞))
421, 7, 41syl2anc 585 . . 3 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐡 ∈ 𝑆) ∧ 𝐡 βŠ† 𝐴) β†’ (π‘€β€˜(𝐴 βˆ– 𝐡)) ∈ (0[,]+∞))
43 eqimss 4040 . . . . . . . . 9 (𝐡 = (𝐴 βˆ– 𝐡) β†’ 𝐡 βŠ† (𝐴 βˆ– 𝐡))
44 ssdifeq0 4486 . . . . . . . . 9 (𝐡 βŠ† (𝐴 βˆ– 𝐡) ↔ 𝐡 = βˆ…)
4543, 44sylib 217 . . . . . . . 8 (𝐡 = (𝐴 βˆ– 𝐡) β†’ 𝐡 = βˆ…)
4645fveq2d 6893 . . . . . . 7 (𝐡 = (𝐴 βˆ– 𝐡) β†’ (π‘€β€˜π΅) = (π‘€β€˜βˆ…))
47 measvnul 33193 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) β†’ (π‘€β€˜βˆ…) = 0)
4846, 47sylan9eqr 2795 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ 𝐡 = (𝐴 βˆ– 𝐡)) β†’ (π‘€β€˜π΅) = 0)
491, 48sylan 581 . . . . 5 (((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐡 ∈ 𝑆) ∧ 𝐡 βŠ† 𝐴) ∧ 𝐡 = (𝐴 βˆ– 𝐡)) β†’ (π‘€β€˜π΅) = 0)
5049orcd 872 . . . 4 (((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐡 ∈ 𝑆) ∧ 𝐡 βŠ† 𝐴) ∧ 𝐡 = (𝐴 βˆ– 𝐡)) β†’ ((π‘€β€˜π΅) = 0 ∨ (π‘€β€˜π΅) = +∞))
5150ex 414 . . 3 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐡 ∈ 𝑆) ∧ 𝐡 βŠ† 𝐴) β†’ (𝐡 = (𝐴 βˆ– 𝐡) β†’ ((π‘€β€˜π΅) = 0 ∨ (π‘€β€˜π΅) = +∞)))
5236, 38, 2, 7, 40, 42, 51esumpr2 33054 . 2 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐡 ∈ 𝑆) ∧ 𝐡 βŠ† 𝐴) β†’ Ξ£*π‘₯ ∈ {𝐡, (𝐴 βˆ– 𝐡)} (π‘€β€˜π‘₯) = ((π‘€β€˜π΅) +𝑒 (π‘€β€˜(𝐴 βˆ– 𝐡))))
5327, 34, 523eqtr3d 2781 1 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐡 ∈ 𝑆) ∧ 𝐡 βŠ† 𝐴) β†’ (π‘€β€˜π΄) = ((π‘€β€˜π΅) +𝑒 (π‘€β€˜(𝐴 βˆ– 𝐡))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∨ wo 846   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   βˆ– cdif 3945   βˆͺ cun 3946   ∩ cin 3947   βŠ† wss 3948  βˆ…c0 4322  π’« cpw 4602  {cpr 4630  βˆͺ cuni 4908  Disj wdisj 5113   class class class wbr 5148  ran crn 5677  β€˜cfv 6541  (class class class)co 7406  Ο‰com 7852   β‰Ό cdom 8934  0cc0 11107  +∞cpnf 11242   +𝑒 cxad 13087  [,]cicc 13324  Ξ£*cesum 33014  sigAlgebracsiga 33095  measurescmeas 33182
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7722  ax-inf2 9633  ax-ac2 10455  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184  ax-pre-sup 11185  ax-addf 11186  ax-mulf 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-disj 5114  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6298  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-isom 6550  df-riota 7362  df-ov 7409  df-oprab 7410  df-mpo 7411  df-of 7667  df-om 7853  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-supp 8144  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8368  df-rdg 8407  df-1o 8463  df-2o 8464  df-er 8700  df-map 8819  df-pm 8820  df-ixp 8889  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-fsupp 9359  df-fi 9403  df-sup 9434  df-inf 9435  df-oi 9502  df-dju 9893  df-card 9931  df-acn 9934  df-ac 10108  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11869  df-nn 12210  df-2 12272  df-3 12273  df-4 12274  df-5 12275  df-6 12276  df-7 12277  df-8 12278  df-9 12279  df-n0 12470  df-z 12556  df-dec 12675  df-uz 12820  df-q 12930  df-rp 12972  df-xneg 13089  df-xadd 13090  df-xmul 13091  df-ioo 13325  df-ioc 13326  df-ico 13327  df-icc 13328  df-fz 13482  df-fzo 13625  df-fl 13754  df-mod 13832  df-seq 13964  df-exp 14025  df-fac 14231  df-bc 14260  df-hash 14288  df-shft 15011  df-cj 15043  df-re 15044  df-im 15045  df-sqrt 15179  df-abs 15180  df-limsup 15412  df-clim 15429  df-rlim 15430  df-sum 15630  df-ef 16008  df-sin 16010  df-cos 16011  df-pi 16013  df-struct 17077  df-sets 17094  df-slot 17112  df-ndx 17124  df-base 17142  df-ress 17171  df-plusg 17207  df-mulr 17208  df-starv 17209  df-sca 17210  df-vsca 17211  df-ip 17212  df-tset 17213  df-ple 17214  df-ds 17216  df-unif 17217  df-hom 17218  df-cco 17219  df-rest 17365  df-topn 17366  df-0g 17384  df-gsum 17385  df-topgen 17386  df-pt 17387  df-prds 17390  df-ordt 17444  df-xrs 17445  df-qtop 17450  df-imas 17451  df-xps 17453  df-mre 17527  df-mrc 17528  df-acs 17530  df-ps 18516  df-tsr 18517  df-plusf 18557  df-mgm 18558  df-sgrp 18607  df-mnd 18623  df-mhm 18668  df-submnd 18669  df-grp 18819  df-minusg 18820  df-sbg 18821  df-mulg 18946  df-subg 18998  df-cntz 19176  df-cmn 19645  df-abl 19646  df-mgp 19983  df-ur 20000  df-ring 20052  df-cring 20053  df-subrg 20354  df-abv 20418  df-lmod 20466  df-scaf 20467  df-sra 20778  df-rgmod 20779  df-psmet 20929  df-xmet 20930  df-met 20931  df-bl 20932  df-mopn 20933  df-fbas 20934  df-fg 20935  df-cnfld 20938  df-top 22388  df-topon 22405  df-topsp 22427  df-bases 22441  df-cld 22515  df-ntr 22516  df-cls 22517  df-nei 22594  df-lp 22632  df-perf 22633  df-cn 22723  df-cnp 22724  df-haus 22811  df-tx 23058  df-hmeo 23251  df-fil 23342  df-fm 23434  df-flim 23435  df-flf 23436  df-tmd 23568  df-tgp 23569  df-tsms 23623  df-trg 23656  df-xms 23818  df-ms 23819  df-tms 23820  df-nm 24083  df-ngp 24084  df-nrg 24086  df-nlm 24087  df-ii 24385  df-cncf 24386  df-limc 25375  df-dv 25376  df-log 26057  df-esum 33015  df-siga 33096  df-meas 33183
This theorem is referenced by:  measun  33198
  Copyright terms: Public domain W3C validator