Theorem measxun2 34777

Description: The measure the union of two complementary sets is the sum of their measures. (Contributed by Thierry Arnoux, 10-Mar-2017.)

Assertion

Ref	Expression
measxun2	⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → (𝑀‘𝐴) = ((𝑀‘𝐵) +𝑒 (𝑀‘(𝐴 ∖ 𝐵))))

Proof of Theorem measxun2

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1154	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → 𝑀 ∈ (measures‘𝑆))
2		simp2r 1219	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑆)
3		measbase 34764	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ (measures‘𝑆) → 𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra)
4	1, 3	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → 𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra)
5		simp2l 1218	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → 𝐴 ∈ 𝑆)
6		difelsiga 34701	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → (𝐴 ∖ 𝐵) ∈ 𝑆)
7	4, 5, 2, 6	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → (𝐴 ∖ 𝐵) ∈ 𝑆)
8		prelpwi 5414	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑆 ∧ (𝐴 ∖ 𝐵) ∈ 𝑆) → {𝐵, (𝐴 ∖ 𝐵)} ∈ 𝒫 𝑆)
9	2, 7, 8	syl2anc 596	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → {𝐵, (𝐴 ∖ 𝐵)} ∈ 𝒫 𝑆)
10		prct 33240	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑆 ∧ (𝐴 ∖ 𝐵) ∈ 𝑆) → {𝐵, (𝐴 ∖ 𝐵)} ≼ ω)
11	2, 7, 10	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → {𝐵, (𝐴 ∖ 𝐵)} ≼ ω)
12		simp3 1156	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → 𝐵 ⊆ 𝐴)
13		disjdifprg2 33104	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑆 → Disj 𝑥 ∈ {(𝐴 ∖ 𝐵), (𝐴 ∩ 𝐵)}𝑥)
14		prcom 4692	. . . . . . . . 9 ⊢ {(𝐴 ∖ 𝐵), 𝐵} = {𝐵, (𝐴 ∖ 𝐵)}
15		dfss 3917	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐵 ⊆ 𝐴 ↔ 𝐵 = (𝐵 ∩ 𝐴))
16	15	biimpi 219	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ⊆ 𝐴 → 𝐵 = (𝐵 ∩ 𝐴))
17		incom 4154	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ∩ 𝐴) = (𝐴 ∩ 𝐵)
18	16, 17	eqtrdi 2811	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ⊆ 𝐴 → 𝐵 = (𝐴 ∩ 𝐵))
19	18	preq2d 4700	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ⊆ 𝐴 → {(𝐴 ∖ 𝐵), 𝐵} = {(𝐴 ∖ 𝐵), (𝐴 ∩ 𝐵)})
20	14, 19	eqtr3id 2809	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ⊆ 𝐴 → {𝐵, (𝐴 ∖ 𝐵)} = {(𝐴 ∖ 𝐵), (𝐴 ∩ 𝐵)})
21	20	disjeq1d 5077	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ⊆ 𝐴 → (Disj 𝑥 ∈ {𝐵, (𝐴 ∖ 𝐵)}𝑥 ↔ Disj 𝑥 ∈ {(𝐴 ∖ 𝐵), (𝐴 ∩ 𝐵)}𝑥))
22	21	biimprd 251	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ⊆ 𝐴 → (Disj 𝑥 ∈ {(𝐴 ∖ 𝐵), (𝐴 ∩ 𝐵)}𝑥 → Disj 𝑥 ∈ {𝐵, (𝐴 ∖ 𝐵)}𝑥))
23	13, 22	mpan9 516	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → Disj 𝑥 ∈ {𝐵, (𝐴 ∖ 𝐵)}𝑥)
24	5, 12, 23	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → Disj 𝑥 ∈ {𝐵, (𝐴 ∖ 𝐵)}𝑥)
25	11, 24	jca 521	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → ({𝐵, (𝐴 ∖ 𝐵)} ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ {𝐵, (𝐴 ∖ 𝐵)}𝑥))
26		measvun 34776	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ {𝐵, (𝐴 ∖ 𝐵)} ∈ 𝒫 𝑆 ∧ ({𝐵, (𝐴 ∖ 𝐵)} ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ {𝐵, (𝐴 ∖ 𝐵)}𝑥)) → (𝑀‘∪ {𝐵, (𝐴 ∖ 𝐵)}) = Σ*𝑥 ∈ {𝐵, (𝐴 ∖ 𝐵)} (𝑀‘𝑥))
27	1, 9, 25, 26	syl3anc 1398	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → (𝑀‘∪ {𝐵, (𝐴 ∖ 𝐵)}) = Σ*𝑥 ∈ {𝐵, (𝐴 ∖ 𝐵)} (𝑀‘𝑥))
28	2, 7	jca 521	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → (𝐵 ∈ 𝑆 ∧ (𝐴 ∖ 𝐵) ∈ 𝑆))
29		uniprg 4882	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑆 ∧ (𝐴 ∖ 𝐵) ∈ 𝑆) → ∪ {𝐵, (𝐴 ∖ 𝐵)} = (𝐵 ∪ (𝐴 ∖ 𝐵)))
30		undif 4437	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ⊆ 𝐴 ↔ (𝐵 ∪ (𝐴 ∖ 𝐵)) = 𝐴)
31	30	biimpi 219	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ⊆ 𝐴 → (𝐵 ∪ (𝐴 ∖ 𝐵)) = 𝐴)
32	29, 31	sylan9eq 2815	. . . 4 ⊢ (((𝐵 ∈ 𝑆 ∧ (𝐴 ∖ 𝐵) ∈ 𝑆) ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → ∪ {𝐵, (𝐴 ∖ 𝐵)} = 𝐴)
33	32	fveq2d 6877	. . 3 ⊢ (((𝐵 ∈ 𝑆 ∧ (𝐴 ∖ 𝐵) ∈ 𝑆) ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → (𝑀‘∪ {𝐵, (𝐴 ∖ 𝐵)}) = (𝑀‘𝐴))
34	28, 12, 33	syl2anc 596	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → (𝑀‘∪ {𝐵, (𝐴 ∖ 𝐵)}) = (𝑀‘𝐴))
35		simpr 490	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑥 = 𝐵) → 𝑥 = 𝐵)
36	35	fveq2d 6877	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑥 = 𝐵) → (𝑀‘𝑥) = (𝑀‘𝐵))
37		simpr 490	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑥 = (𝐴 ∖ 𝐵)) → 𝑥 = (𝐴 ∖ 𝐵))
38	37	fveq2d 6877	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑥 = (𝐴 ∖ 𝐵)) → (𝑀‘𝑥) = (𝑀‘(𝐴 ∖ 𝐵)))
39		measvxrge0 34772	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → (𝑀‘𝐵) ∈ (0[,]+∞))
40	1, 2, 39	syl2anc 596	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → (𝑀‘𝐵) ∈ (0[,]+∞))
41		measvxrge0 34772	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝐴 ∖ 𝐵) ∈ 𝑆) → (𝑀‘(𝐴 ∖ 𝐵)) ∈ (0[,]+∞))
42	1, 7, 41	syl2anc 596	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → (𝑀‘(𝐴 ∖ 𝐵)) ∈ (0[,]+∞))
43		eqimss 3988	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 = (𝐴 ∖ 𝐵) → 𝐵 ⊆ (𝐴 ∖ 𝐵))
44		ssdifeq0 4441	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ⊆ (𝐴 ∖ 𝐵) ↔ 𝐵 = ∅)
45	43, 44	sylib 221	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 = (𝐴 ∖ 𝐵) → 𝐵 = ∅)
46	45	fveq2d 6877	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 = (𝐴 ∖ 𝐵) → (𝑀‘𝐵) = (𝑀‘∅))
47		measvnul 34773	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ (measures‘𝑆) → (𝑀‘∅) = 0)
48	46, 47	sylan9eqr 2817	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐵 = (𝐴 ∖ 𝐵)) → (𝑀‘𝐵) = 0)
49	1, 48	sylan 592	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) ∧ 𝐵 = (𝐴 ∖ 𝐵)) → (𝑀‘𝐵) = 0)
50	49	orcd 887	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) ∧ 𝐵 = (𝐴 ∖ 𝐵)) → ((𝑀‘𝐵) = 0 ∨ (𝑀‘𝐵) = +∞))
51	50	ex 418	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → (𝐵 = (𝐴 ∖ 𝐵) → ((𝑀‘𝐵) = 0 ∨ (𝑀‘𝐵) = +∞)))
52	36, 38, 2, 7, 40, 42, 51	esumpr2 34633	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → Σ*𝑥 ∈ {𝐵, (𝐴 ∖ 𝐵)} (𝑀‘𝑥) = ((𝑀‘𝐵) +𝑒 (𝑀‘(𝐴 ∖ 𝐵))))
53	27, 34, 52	3eqtr3d 2803	1 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → (𝑀‘𝐴) = ((𝑀‘𝐵) +𝑒 (𝑀‘(𝐴 ∖ 𝐵))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∨ wo 861   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ∖ cdif 3895   ∪ cun 3896   ∩ cin 3897   ⊆ wss 3898  ∅c0 4278  𝒫 cpw 4556  {cpr 4585  ∪ cuni 4866  Disj wdisj 5069   class class class wbr 5102  ran crn 5648  ‘cfv 6527  (class class class)co 7408  ωcom 7860   ≼ cdom 8949  0cc0 11172  +∞cpnf 11312   +_𝑒 cxad 13209  [,]cicc 13449  Σ^*cesum 34593  sigAlgebracsiga 34674  measurescmeas 34762

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7734  ax-inf2 9620  ax-cnex 11228  ax-resscn 11229  ax-1cn 11230  ax-icn 11231  ax-addcl 11232  ax-addrcl 11233  ax-mulcl 11234  ax-mulrcl 11235  ax-mulcom 11236  ax-addass 11237  ax-mulass 11238  ax-distr 11239  ax-i2m1 11240  ax-1ne0 11241  ax-1rid 11242  ax-rnegex 11243  ax-rrecex 11244  ax-cnre 11245  ax-pre-lttri 11246  ax-pre-lttrn 11247  ax-pre-ltadd 11248  ax-pre-mulgt0 11249  ax-pre-sup 11250  ax-addf 11251  ax-mulf 11252

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-tp 4588  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-disj 5070  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-se 5601  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6293  df-ord 6354  df-on 6355  df-lim 6356  df-suc 6357  df-iota 6483  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-isom 6536  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-of 7676  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-supp 8156  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8454  df-2o 8455  df-er 8695  df-map 8827  df-pm 8828  df-ixp 8904  df-en 8952  df-dom 8953  df-sdom 8954  df-fin 8955  df-fsupp 9332  df-fi 9381  df-sup 9412  df-inf 9413  df-oi 9482  df-dju 9954  df-card 9992  df-pnf 11317  df-mnf 11318  df-xr 11319  df-ltxr 11320  df-le 11321  df-sub 11515  df-neg 11516  df-div 11944  df-nn 12306  df-2 12375  df-3 12376  df-4 12377  df-5 12378  df-6 12379  df-7 12380  df-8 12381  df-9 12382  df-n0 12577  df-z 12664  df-dec 12785  df-uz 12936  df-q 13046  df-rp 13091  df-xneg 13211  df-xadd 13212  df-xmul 13213  df-ioo 13450  df-ioc 13451  df-ico 13452  df-icc 13453  df-fz 13610  df-fzo 13758  df-fl 13901  df-mod 13979  df-seq 14114  df-exp 14174  df-fac 14386  df-bc 14415  df-hash 14443  df-shft 15188  df-cj 15234  df-re 15235  df-im 15236  df-sqrt 15370  df-abs 15371  df-limsup 15606  df-clim 15623  df-rlim 15624  df-sum 15822  df-ef 16201  df-sin 16203  df-cos 16204  df-pi 16206  df-struct 17287  df-sets 17304  df-slot 17322  df-ndx 17334  df-base 17350  df-ress 17371  df-plusg 17403  df-mulr 17404  df-starv 17405  df-sca 17406  df-vsca 17407  df-ip 17408  df-tset 17409  df-ple 17410  df-ds 17412  df-unif 17413  df-hom 17414  df-cco 17415  df-rest 17555  df-topn 17556  df-0g 17574  df-gsum 17575  df-topgen 17576  df-pt 17577  df-prds 17580  df-ordt 17635  df-xrs 17636  df-qtop 17641  df-imas 17642  df-xps 17644  df-mre 17718  df-mrc 17719  df-acs 17721  df-ps 18702  df-tsr 18703  df-plusf 18777  df-mgm 18778  df-sgrp 18870  df-mnd 18886  df-mhm 18940  df-submnd 18941  df-grp 19109  df-minusg 19110  df-sbg 19111  df-mulg 19240  df-subg 19295  df-cntz 19493  df-cmn 19958  df-abl 19959  df-mgp 20323  df-rng 20337  df-ur 20370  df-ring 20423  df-cring 20424  df-subrng 20760  df-subrg 20784  df-abv 21028  df-lmod 21099  df-scaf 21100  df-sra 21410  df-rgmod 21411  df-psmet 21632  df-xmet 21633  df-met 21634  df-bl 21635  df-mopn 21636  df-fbas 21637  df-fg 21638  df-cnfld 21641  df-top 23174  df-topon 23191  df-topsp 23213  df-bases 23226  df-cld 23299  df-ntr 23300  df-cls 23301  df-nei 23378  df-lp 23416  df-perf 23417  df-cn 23507  df-cnp 23508  df-haus 23595  df-tx 23843  df-hmeo 24036  df-fil 24127  df-fm 24219  df-flim 24220  df-flf 24221  df-tmd 24353  df-tgp 24354  df-tsms 24408  df-trg 24441  df-xms 24601  df-ms 24602  df-tms 24603  df-nm 24863  df-ngp 24864  df-nrg 24866  df-nlm 24867  df-ii 25160  df-cncf 25161  df-limc 26148  df-dv 26149  df-log 26848  df-esum 34594  df-siga 34675  df-meas 34763

This theorem is used by:  measun  34778