Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  measxun2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem measxun2 34174
Description: The measure the union of two complementary sets is the sum of their measures. (Contributed by Thierry Arnoux, 10-Mar-2017.)
Assertion
Ref Expression
measxun2 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆) ∧ 𝐵𝐴) → (𝑀𝐴) = ((𝑀𝐵) +𝑒 (𝑀‘(𝐴𝐵))))

Proof of Theorem measxun2
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp1 1136 . . 3 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆) ∧ 𝐵𝐴) → 𝑀 ∈ (measures‘𝑆))
2 simp2r 1200 . . . 4 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆) ∧ 𝐵𝐴) → 𝐵𝑆)
3 measbase 34161 . . . . . 6 (𝑀 ∈ (measures‘𝑆) → 𝑆 ran sigAlgebra)
41, 3syl 17 . . . . 5 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆) ∧ 𝐵𝐴) → 𝑆 ran sigAlgebra)
5 simp2l 1199 . . . . 5 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆) ∧ 𝐵𝐴) → 𝐴𝑆)
6 difelsiga 34097 . . . . 5 ((𝑆 ran sigAlgebra ∧ 𝐴𝑆𝐵𝑆) → (𝐴𝐵) ∈ 𝑆)
74, 5, 2, 6syl3anc 1371 . . . 4 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆) ∧ 𝐵𝐴) → (𝐴𝐵) ∈ 𝑆)
8 prelpwi 5467 . . . 4 ((𝐵𝑆 ∧ (𝐴𝐵) ∈ 𝑆) → {𝐵, (𝐴𝐵)} ∈ 𝒫 𝑆)
92, 7, 8syl2anc 583 . . 3 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆) ∧ 𝐵𝐴) → {𝐵, (𝐴𝐵)} ∈ 𝒫 𝑆)
10 prct 32728 . . . . 5 ((𝐵𝑆 ∧ (𝐴𝐵) ∈ 𝑆) → {𝐵, (𝐴𝐵)} ≼ ω)
112, 7, 10syl2anc 583 . . . 4 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆) ∧ 𝐵𝐴) → {𝐵, (𝐴𝐵)} ≼ ω)
12 simp3 1138 . . . . 5 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆) ∧ 𝐵𝐴) → 𝐵𝐴)
13 disjdifprg2 32598 . . . . . 6 (𝐴𝑆Disj 𝑥 ∈ {(𝐴𝐵), (𝐴𝐵)}𝑥)
14 prcom 4757 . . . . . . . . 9 {(𝐴𝐵), 𝐵} = {𝐵, (𝐴𝐵)}
15 dfss 3995 . . . . . . . . . . . 12 (𝐵𝐴𝐵 = (𝐵𝐴))
1615biimpi 216 . . . . . . . . . . 11 (𝐵𝐴𝐵 = (𝐵𝐴))
17 incom 4230 . . . . . . . . . . 11 (𝐵𝐴) = (𝐴𝐵)
1816, 17eqtrdi 2796 . . . . . . . . . 10 (𝐵𝐴𝐵 = (𝐴𝐵))
1918preq2d 4765 . . . . . . . . 9 (𝐵𝐴 → {(𝐴𝐵), 𝐵} = {(𝐴𝐵), (𝐴𝐵)})
2014, 19eqtr3id 2794 . . . . . . . 8 (𝐵𝐴 → {𝐵, (𝐴𝐵)} = {(𝐴𝐵), (𝐴𝐵)})
2120disjeq1d 5141 . . . . . . 7 (𝐵𝐴 → (Disj 𝑥 ∈ {𝐵, (𝐴𝐵)}𝑥Disj 𝑥 ∈ {(𝐴𝐵), (𝐴𝐵)}𝑥))
2221biimprd 248 . . . . . 6 (𝐵𝐴 → (Disj 𝑥 ∈ {(𝐴𝐵), (𝐴𝐵)}𝑥Disj 𝑥 ∈ {𝐵, (𝐴𝐵)}𝑥))
2313, 22mpan9 506 . . . . 5 ((𝐴𝑆𝐵𝐴) → Disj 𝑥 ∈ {𝐵, (𝐴𝐵)}𝑥)
245, 12, 23syl2anc 583 . . . 4 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆) ∧ 𝐵𝐴) → Disj 𝑥 ∈ {𝐵, (𝐴𝐵)}𝑥)
2511, 24jca 511 . . 3 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆) ∧ 𝐵𝐴) → ({𝐵, (𝐴𝐵)} ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ {𝐵, (𝐴𝐵)}𝑥))
26 measvun 34173 . . 3 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ {𝐵, (𝐴𝐵)} ∈ 𝒫 𝑆 ∧ ({𝐵, (𝐴𝐵)} ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ {𝐵, (𝐴𝐵)}𝑥)) → (𝑀 {𝐵, (𝐴𝐵)}) = Σ*𝑥 ∈ {𝐵, (𝐴𝐵)} (𝑀𝑥))
271, 9, 25, 26syl3anc 1371 . 2 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆) ∧ 𝐵𝐴) → (𝑀 {𝐵, (𝐴𝐵)}) = Σ*𝑥 ∈ {𝐵, (𝐴𝐵)} (𝑀𝑥))
282, 7jca 511 . . 3 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆) ∧ 𝐵𝐴) → (𝐵𝑆 ∧ (𝐴𝐵) ∈ 𝑆))
29 uniprg 4947 . . . . 5 ((𝐵𝑆 ∧ (𝐴𝐵) ∈ 𝑆) → {𝐵, (𝐴𝐵)} = (𝐵 ∪ (𝐴𝐵)))
30 undif 4505 . . . . . 6 (𝐵𝐴 ↔ (𝐵 ∪ (𝐴𝐵)) = 𝐴)
3130biimpi 216 . . . . 5 (𝐵𝐴 → (𝐵 ∪ (𝐴𝐵)) = 𝐴)
3229, 31sylan9eq 2800 . . . 4 (((𝐵𝑆 ∧ (𝐴𝐵) ∈ 𝑆) ∧ 𝐵𝐴) → {𝐵, (𝐴𝐵)} = 𝐴)
3332fveq2d 6924 . . 3 (((𝐵𝑆 ∧ (𝐴𝐵) ∈ 𝑆) ∧ 𝐵𝐴) → (𝑀 {𝐵, (𝐴𝐵)}) = (𝑀𝐴))
3428, 12, 33syl2anc 583 . 2 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆) ∧ 𝐵𝐴) → (𝑀 {𝐵, (𝐴𝐵)}) = (𝑀𝐴))
35 simpr 484 . . . 4 (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆) ∧ 𝐵𝐴) ∧ 𝑥 = 𝐵) → 𝑥 = 𝐵)
3635fveq2d 6924 . . 3 (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆) ∧ 𝐵𝐴) ∧ 𝑥 = 𝐵) → (𝑀𝑥) = (𝑀𝐵))
37 simpr 484 . . . 4 (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆) ∧ 𝐵𝐴) ∧ 𝑥 = (𝐴𝐵)) → 𝑥 = (𝐴𝐵))
3837fveq2d 6924 . . 3 (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆) ∧ 𝐵𝐴) ∧ 𝑥 = (𝐴𝐵)) → (𝑀𝑥) = (𝑀‘(𝐴𝐵)))
39 measvxrge0 34169 . . . 4 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐵𝑆) → (𝑀𝐵) ∈ (0[,]+∞))
401, 2, 39syl2anc 583 . . 3 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆) ∧ 𝐵𝐴) → (𝑀𝐵) ∈ (0[,]+∞))
41 measvxrge0 34169 . . . 4 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝐴𝐵) ∈ 𝑆) → (𝑀‘(𝐴𝐵)) ∈ (0[,]+∞))
421, 7, 41syl2anc 583 . . 3 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆) ∧ 𝐵𝐴) → (𝑀‘(𝐴𝐵)) ∈ (0[,]+∞))
43 eqimss 4067 . . . . . . . . 9 (𝐵 = (𝐴𝐵) → 𝐵 ⊆ (𝐴𝐵))
44 ssdifeq0 4510 . . . . . . . . 9 (𝐵 ⊆ (𝐴𝐵) ↔ 𝐵 = ∅)
4543, 44sylib 218 . . . . . . . 8 (𝐵 = (𝐴𝐵) → 𝐵 = ∅)
4645fveq2d 6924 . . . . . . 7 (𝐵 = (𝐴𝐵) → (𝑀𝐵) = (𝑀‘∅))
47 measvnul 34170 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ (measures‘𝑆) → (𝑀‘∅) = 0)
4846, 47sylan9eqr 2802 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐵 = (𝐴𝐵)) → (𝑀𝐵) = 0)
491, 48sylan 579 . . . . 5 (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆) ∧ 𝐵𝐴) ∧ 𝐵 = (𝐴𝐵)) → (𝑀𝐵) = 0)
5049orcd 872 . . . 4 (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆) ∧ 𝐵𝐴) ∧ 𝐵 = (𝐴𝐵)) → ((𝑀𝐵) = 0 ∨ (𝑀𝐵) = +∞))
5150ex 412 . . 3 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆) ∧ 𝐵𝐴) → (𝐵 = (𝐴𝐵) → ((𝑀𝐵) = 0 ∨ (𝑀𝐵) = +∞)))
5236, 38, 2, 7, 40, 42, 51esumpr2 34031 . 2 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆) ∧ 𝐵𝐴) → Σ*𝑥 ∈ {𝐵, (𝐴𝐵)} (𝑀𝑥) = ((𝑀𝐵) +𝑒 (𝑀‘(𝐴𝐵))))
5327, 34, 523eqtr3d 2788 1 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆) ∧ 𝐵𝐴) → (𝑀𝐴) = ((𝑀𝐵) +𝑒 (𝑀‘(𝐴𝐵))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  wo 846  w3a 1087   = wceq 1537  wcel 2108  cdif 3973  cun 3974  cin 3975  wss 3976  c0 4352  𝒫 cpw 4622  {cpr 4650   cuni 4931  Disj wdisj 5133   class class class wbr 5166  ran crn 5701  cfv 6573  (class class class)co 7448  ωcom 7903  cdom 9001  0cc0 11184  +∞cpnf 11321   +𝑒 cxad 13173  [,]cicc 13410  Σ*cesum 33991  sigAlgebracsiga 34072  measurescmeas 34159
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-inf2 9710  ax-ac2 10532  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261  ax-pre-sup 11262  ax-addf 11263  ax-mulf 11264
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-tp 4653  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-iin 5018  df-disj 5134  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-se 5653  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-isom 6582  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-of 7714  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-supp 8202  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-2o 8523  df-er 8763  df-map 8886  df-pm 8887  df-ixp 8956  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-fsupp 9432  df-fi 9480  df-sup 9511  df-inf 9512  df-oi 9579  df-dju 9970  df-card 10008  df-acn 10011  df-ac 10185  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-div 11948  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-4 12358  df-5 12359  df-6 12360  df-7 12361  df-8 12362  df-9 12363  df-n0 12554  df-z 12640  df-dec 12759  df-uz 12904  df-q 13014  df-rp 13058  df-xneg 13175  df-xadd 13176  df-xmul 13177  df-ioo 13411  df-ioc 13412  df-ico 13413  df-icc 13414  df-fz 13568  df-fzo 13712  df-fl 13843  df-mod 13921  df-seq 14053  df-exp 14113  df-fac 14323  df-bc 14352  df-hash 14380  df-shft 15116  df-cj 15148  df-re 15149  df-im 15150  df-sqrt 15284  df-abs 15285  df-limsup 15517  df-clim 15534  df-rlim 15535  df-sum 15735  df-ef 16115  df-sin 16117  df-cos 16118  df-pi 16120  df-struct 17194  df-sets 17211  df-slot 17229  df-ndx 17241  df-base 17259  df-ress 17288  df-plusg 17324  df-mulr 17325  df-starv 17326  df-sca 17327  df-vsca 17328  df-ip 17329  df-tset 17330  df-ple 17331  df-ds 17333  df-unif 17334  df-hom 17335  df-cco 17336  df-rest 17482  df-topn 17483  df-0g 17501  df-gsum 17502  df-topgen 17503  df-pt 17504  df-prds 17507  df-ordt 17561  df-xrs 17562  df-qtop 17567  df-imas 17568  df-xps 17570  df-mre 17644  df-mrc 17645  df-acs 17647  df-ps 18636  df-tsr 18637  df-plusf 18677  df-mgm 18678  df-sgrp 18757  df-mnd 18773  df-mhm 18818  df-submnd 18819  df-grp 18976  df-minusg 18977  df-sbg 18978  df-mulg 19108  df-subg 19163  df-cntz 19357  df-cmn 19824  df-abl 19825  df-mgp 20162  df-rng 20180  df-ur 20209  df-ring 20262  df-cring 20263  df-subrng 20572  df-subrg 20597  df-abv 20832  df-lmod 20882  df-scaf 20883  df-sra 21195  df-rgmod 21196  df-psmet 21379  df-xmet 21380  df-met 21381  df-bl 21382  df-mopn 21383  df-fbas 21384  df-fg 21385  df-cnfld 21388  df-top 22921  df-topon 22938  df-topsp 22960  df-bases 22974  df-cld 23048  df-ntr 23049  df-cls 23050  df-nei 23127  df-lp 23165  df-perf 23166  df-cn 23256  df-cnp 23257  df-haus 23344  df-tx 23591  df-hmeo 23784  df-fil 23875  df-fm 23967  df-flim 23968  df-flf 23969  df-tmd 24101  df-tgp 24102  df-tsms 24156  df-trg 24189  df-xms 24351  df-ms 24352  df-tms 24353  df-nm 24616  df-ngp 24617  df-nrg 24619  df-nlm 24620  df-ii 24922  df-cncf 24923  df-limc 25921  df-dv 25922  df-log 26616  df-esum 33992  df-siga 34073  df-meas 34160
This theorem is referenced by:  measun  34175
  Copyright terms: Public domain W3C validator