Theorem ditgeq123dv 36417

Description: Equality theorem for the directed integral. Deduction form. General version of ditgeq3sdv 36419. (Contributed by GG, 1-Sep-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
ditgeq123dv.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
ditgeq123dv.2	⊢ (𝜑 → 𝐶 = 𝐷)
ditgeq123dv.3	⊢ (𝜑 → 𝐸 = 𝐹)

Assertion

Ref	Expression
ditgeq123dv	⊢ (𝜑 → ⨜[𝐴 → 𝐶]𝐸 d𝑥 = ⨜[𝐵 → 𝐷]𝐹 d𝑥)

Distinct variable group:   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑥)   𝐷(𝑥)   𝐸(𝑥)   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem ditgeq123dv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ditgeq123dv.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
2		ditgeq123dv.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = 𝐷)
3	1, 2	breq12d 5111	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≤ 𝐶 ↔ 𝐵 ≤ 𝐷))
4	1, 2	oveq12d 7376	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴(,)𝐶) = (𝐵(,)𝐷))
5		ditgeq123dv.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐸 = 𝐹)
6	4, 5	itgeq12sdv 36415	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∫(𝐴(,)𝐶)𝐸 d𝑥 = ∫(𝐵(,)𝐷)𝐹 d𝑥)
7	2, 1	oveq12d 7376	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐶(,)𝐴) = (𝐷(,)𝐵))
8	7, 5	itgeq12sdv 36415	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∫(𝐶(,)𝐴)𝐸 d𝑥 = ∫(𝐷(,)𝐵)𝐹 d𝑥)
9	8	negeqd 11376	. . 3 ⊢ (𝜑 → -∫(𝐶(,)𝐴)𝐸 d𝑥 = -∫(𝐷(,)𝐵)𝐹 d𝑥)
10	3, 6, 9	ifbieq12d 4508	. 2 ⊢ (𝜑 → if(𝐴 ≤ 𝐶, ∫(𝐴(,)𝐶)𝐸 d𝑥, -∫(𝐶(,)𝐴)𝐸 d𝑥) = if(𝐵 ≤ 𝐷, ∫(𝐵(,)𝐷)𝐹 d𝑥, -∫(𝐷(,)𝐵)𝐹 d𝑥))
11		df-ditg 25806	. 2 ⊢ ⨜[𝐴 → 𝐶]𝐸 d𝑥 = if(𝐴 ≤ 𝐶, ∫(𝐴(,)𝐶)𝐸 d𝑥, -∫(𝐶(,)𝐴)𝐸 d𝑥)
12		df-ditg 25806	. 2 ⊢ ⨜[𝐵 → 𝐷]𝐹 d𝑥 = if(𝐵 ≤ 𝐷, ∫(𝐵(,)𝐷)𝐹 d𝑥, -∫(𝐷(,)𝐵)𝐹 d𝑥)
13	10, 11, 12	3eqtr4g 2796	1 ⊢ (𝜑 → ⨜[𝐴 → 𝐶]𝐸 d𝑥 = ⨜[𝐵 → 𝐷]𝐹 d𝑥)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541  ifcif 4479   class class class wbr 5098  (class class class)co 7358   ≤ cle 11169  -cneg 11367  (,)cioo 13263  ∫citg 25577  ⨜cdit 25805

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-ext 2708

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-sb 2068  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-xp 5630  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-iota 6448  df-fv 6500  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-neg 11369  df-seq 13927  df-sum 15612  df-itg 25582  df-ditg 25806

This theorem is referenced by:  ditgeq3sdv  36419