Theorem ditgeq123dv 36197

Description: Equality theorem for the directed integral. Deduction form. General version of ditgeq3sdv 36199. (Contributed by GG, 1-Sep-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
ditgeq123dv.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
ditgeq123dv.2	⊢ (𝜑 → 𝐶 = 𝐷)
ditgeq123dv.3	⊢ (𝜑 → 𝐸 = 𝐹)

Assertion

Ref	Expression
ditgeq123dv	⊢ (𝜑 → ⨜[𝐴 → 𝐶]𝐸 d𝑥 = ⨜[𝐵 → 𝐷]𝐹 d𝑥)

Distinct variable group:   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑥)   𝐷(𝑥)   𝐸(𝑥)   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem ditgeq123dv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ditgeq123dv.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
2		ditgeq123dv.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = 𝐷)
3	1, 2	breq12d 5136	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≤ 𝐶 ↔ 𝐵 ≤ 𝐷))
4	1, 2	oveq12d 7431	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴(,)𝐶) = (𝐵(,)𝐷))
5		ditgeq123dv.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐸 = 𝐹)
6	4, 5	itgeq12sdv 36195	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∫(𝐴(,)𝐶)𝐸 d𝑥 = ∫(𝐵(,)𝐷)𝐹 d𝑥)
7	2, 1	oveq12d 7431	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐶(,)𝐴) = (𝐷(,)𝐵))
8	7, 5	itgeq12sdv 36195	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∫(𝐶(,)𝐴)𝐸 d𝑥 = ∫(𝐷(,)𝐵)𝐹 d𝑥)
9	8	negeqd 11484	. . 3 ⊢ (𝜑 → -∫(𝐶(,)𝐴)𝐸 d𝑥 = -∫(𝐷(,)𝐵)𝐹 d𝑥)
10	3, 6, 9	ifbieq12d 4534	. 2 ⊢ (𝜑 → if(𝐴 ≤ 𝐶, ∫(𝐴(,)𝐶)𝐸 d𝑥, -∫(𝐶(,)𝐴)𝐸 d𝑥) = if(𝐵 ≤ 𝐷, ∫(𝐵(,)𝐷)𝐹 d𝑥, -∫(𝐷(,)𝐵)𝐹 d𝑥))
11		df-ditg 25819	. 2 ⊢ ⨜[𝐴 → 𝐶]𝐸 d𝑥 = if(𝐴 ≤ 𝐶, ∫(𝐴(,)𝐶)𝐸 d𝑥, -∫(𝐶(,)𝐴)𝐸 d𝑥)
12		df-ditg 25819	. 2 ⊢ ⨜[𝐵 → 𝐷]𝐹 d𝑥 = if(𝐵 ≤ 𝐷, ∫(𝐵(,)𝐷)𝐹 d𝑥, -∫(𝐷(,)𝐵)𝐹 d𝑥)
13	10, 11, 12	3eqtr4g 2794	1 ⊢ (𝜑 → ⨜[𝐴 → 𝐶]𝐸 d𝑥 = ⨜[𝐵 → 𝐷]𝐹 d𝑥)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539  ifcif 4505   class class class wbr 5123  (class class class)co 7413   ≤ cle 11278  -cneg 11475  (,)cioo 13369  ∫citg 25590  ⨜cdit 25818

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-ext 2706

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-sb 2064  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-nul 4314  df-if 4506  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4888  df-br 5124  df-opab 5186  df-mpt 5206  df-xp 5671  df-cnv 5673  df-co 5674  df-dm 5675  df-rn 5676  df-res 5677  df-ima 5678  df-pred 6301  df-iota 6494  df-fv 6549  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-frecs 8288  df-wrecs 8319  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-neg 11477  df-seq 14025  df-sum 15706  df-itg 25595  df-ditg 25819

This theorem is referenced by:  ditgeq3sdv  36199