Theorem ditgeq123dv 36164

Description: Equality theorem for the directed integral. Deduction form. General version of ditgeq3sdv 36166. (Contributed by GG, 1-Sep-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
ditgeq123dv.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
ditgeq123dv.2	⊢ (𝜑 → 𝐶 = 𝐷)
ditgeq123dv.3	⊢ (𝜑 → 𝐸 = 𝐹)

Assertion

Ref	Expression
ditgeq123dv	⊢ (𝜑 → ⨜[𝐴 → 𝐶]𝐸 d𝑥 = ⨜[𝐵 → 𝐷]𝐹 d𝑥)

Distinct variable group:   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑥)   𝐷(𝑥)   𝐸(𝑥)   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem ditgeq123dv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ditgeq123dv.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
2		ditgeq123dv.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = 𝐷)
3	1, 2	breq12d 5162	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≤ 𝐶 ↔ 𝐵 ≤ 𝐷))
4	1, 2	oveq12d 7443	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴(,)𝐶) = (𝐵(,)𝐷))
5		ditgeq123dv.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐸 = 𝐹)
6	4, 5	itgeq12sdv 36162	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∫(𝐴(,)𝐶)𝐸 d𝑥 = ∫(𝐵(,)𝐷)𝐹 d𝑥)
7	2, 1	oveq12d 7443	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐶(,)𝐴) = (𝐷(,)𝐵))
8	7, 5	itgeq12sdv 36162	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∫(𝐶(,)𝐴)𝐸 d𝑥 = ∫(𝐷(,)𝐵)𝐹 d𝑥)
9	8	negeqd 11493	. . 3 ⊢ (𝜑 → -∫(𝐶(,)𝐴)𝐸 d𝑥 = -∫(𝐷(,)𝐵)𝐹 d𝑥)
10	3, 6, 9	ifbieq12d 4558	. 2 ⊢ (𝜑 → if(𝐴 ≤ 𝐶, ∫(𝐴(,)𝐶)𝐸 d𝑥, -∫(𝐶(,)𝐴)𝐸 d𝑥) = if(𝐵 ≤ 𝐷, ∫(𝐵(,)𝐷)𝐹 d𝑥, -∫(𝐷(,)𝐵)𝐹 d𝑥))
11		df-ditg 25878	. 2 ⊢ ⨜[𝐴 → 𝐶]𝐸 d𝑥 = if(𝐴 ≤ 𝐶, ∫(𝐴(,)𝐶)𝐸 d𝑥, -∫(𝐶(,)𝐴)𝐸 d𝑥)
12		df-ditg 25878	. 2 ⊢ ⨜[𝐵 → 𝐷]𝐹 d𝑥 = if(𝐵 ≤ 𝐷, ∫(𝐵(,)𝐷)𝐹 d𝑥, -∫(𝐷(,)𝐵)𝐹 d𝑥)
13	10, 11, 12	3eqtr4g 2798	1 ⊢ (𝜑 → ⨜[𝐴 → 𝐶]𝐸 d𝑥 = ⨜[𝐵 → 𝐷]𝐹 d𝑥)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1535  ifcif 4530   class class class wbr 5149  (class class class)co 7425   ≤ cle 11287  -cneg 11484  (,)cioo 13377  ∫citg 25648  ⨜cdit 25877

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-ext 2704

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3an 1087  df-tru 1538  df-fal 1548  df-ex 1775  df-sb 2061  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2812  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4531  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4915  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-xp 5689  df-cnv 5691  df-co 5692  df-dm 5693  df-rn 5694  df-res 5695  df-ima 5696  df-pred 6317  df-iota 6510  df-fv 6566  df-ov 7428  df-oprab 7429  df-mpo 7430  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8404  df-rdg 8443  df-neg 11486  df-seq 14029  df-sum 15709  df-itg 25653  df-ditg 25878

This theorem is referenced by:  ditgeq3sdv  36166