Theorem ditgeq123dv 37010

Description: Equality theorem for the directed integral. Deduction form. General version of ditgeq3sdv 37012. (Contributed by GG, 1-Sep-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
ditgeq123dv.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
ditgeq123dv.2	⊢ (𝜑 → 𝐶 = 𝐷)
ditgeq123dv.3	⊢ (𝜑 → 𝐸 = 𝐹)

Assertion

Ref	Expression
ditgeq123dv	⊢ (𝜑 → ⨜[𝐴 → 𝐶]𝐸 d𝑥 = ⨜[𝐵 → 𝐷]𝐹 d𝑥)

Distinct variable group:   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑥)   𝐷(𝑥)   𝐸(𝑥)   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem ditgeq123dv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ditgeq123dv.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
2		ditgeq123dv.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = 𝐷)
3	1, 2	breq12d 5116	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≤ 𝐶 ↔ 𝐵 ≤ 𝐷))
4	1, 2	oveq12d 7438	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴(,)𝐶) = (𝐵(,)𝐷))
5		ditgeq123dv.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐸 = 𝐹)
6	4, 5	itgeq12sdv 37008	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∫(𝐴(,)𝐶)𝐸 d𝑥 = ∫(𝐵(,)𝐷)𝐹 d𝑥)
7	2, 1	oveq12d 7438	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐶(,)𝐴) = (𝐷(,)𝐵))
8	7, 5	itgeq12sdv 37008	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∫(𝐶(,)𝐴)𝐸 d𝑥 = ∫(𝐷(,)𝐵)𝐹 d𝑥)
9	8	negeqd 11551	. . 3 ⊢ (𝜑 → -∫(𝐶(,)𝐴)𝐸 d𝑥 = -∫(𝐷(,)𝐵)𝐹 d𝑥)
10	3, 6, 9	ifbieq12d 4511	. 2 ⊢ (𝜑 → if(𝐴 ≤ 𝐶, ∫(𝐴(,)𝐶)𝐸 d𝑥, -∫(𝐶(,)𝐴)𝐸 d𝑥) = if(𝐵 ≤ 𝐷, ∫(𝐵(,)𝐷)𝐹 d𝑥, -∫(𝐷(,)𝐵)𝐹 d𝑥))
11		df-ditg 26167	. 2 ⊢ ⨜[𝐴 → 𝐶]𝐸 d𝑥 = if(𝐴 ≤ 𝐶, ∫(𝐴(,)𝐶)𝐸 d𝑥, -∫(𝐶(,)𝐴)𝐸 d𝑥)
12		df-ditg 26167	. 2 ⊢ ⨜[𝐵 → 𝐷]𝐹 d𝑥 = if(𝐵 ≤ 𝐷, ∫(𝐵(,)𝐷)𝐹 d𝑥, -∫(𝐷(,)𝐵)𝐹 d𝑥)
13	10, 11, 12	3eqtr4g 2821	1 ⊢ (𝜑 → ⨜[𝐴 → 𝐶]𝐸 d𝑥 = ⨜[𝐵 → 𝐷]𝐹 d𝑥)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570  ifcif 4482   class class class wbr 5103  (class class class)co 7420   ≤ cle 11344   -cneg 11542  (,)cioo 13476  ∫citg 25939  ⨜cdit 26166

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-ext 2733

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2100  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-xp 5657  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6304  df-iota 6494  df-fv 6546  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-neg 11544  df-seq 14145  df-sum 15854  df-itg 25944  df-ditg 26167

This theorem is used by:  ditgeq3sdv  37012