Theorem ditgeq123dv 36205

Description: Equality theorem for the directed integral. Deduction form. General version of ditgeq3sdv 36207. (Contributed by GG, 1-Sep-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
ditgeq123dv.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
ditgeq123dv.2	⊢ (𝜑 → 𝐶 = 𝐷)
ditgeq123dv.3	⊢ (𝜑 → 𝐸 = 𝐹)

Assertion

Ref	Expression
ditgeq123dv	⊢ (𝜑 → ⨜[𝐴 → 𝐶]𝐸 d𝑥 = ⨜[𝐵 → 𝐷]𝐹 d𝑥)

Distinct variable group:   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑥)   𝐷(𝑥)   𝐸(𝑥)   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem ditgeq123dv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ditgeq123dv.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
2		ditgeq123dv.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = 𝐷)
3	1, 2	breq12d 5105	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≤ 𝐶 ↔ 𝐵 ≤ 𝐷))
4	1, 2	oveq12d 7367	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴(,)𝐶) = (𝐵(,)𝐷))
5		ditgeq123dv.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐸 = 𝐹)
6	4, 5	itgeq12sdv 36203	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∫(𝐴(,)𝐶)𝐸 d𝑥 = ∫(𝐵(,)𝐷)𝐹 d𝑥)
7	2, 1	oveq12d 7367	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐶(,)𝐴) = (𝐷(,)𝐵))
8	7, 5	itgeq12sdv 36203	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∫(𝐶(,)𝐴)𝐸 d𝑥 = ∫(𝐷(,)𝐵)𝐹 d𝑥)
9	8	negeqd 11357	. . 3 ⊢ (𝜑 → -∫(𝐶(,)𝐴)𝐸 d𝑥 = -∫(𝐷(,)𝐵)𝐹 d𝑥)
10	3, 6, 9	ifbieq12d 4505	. 2 ⊢ (𝜑 → if(𝐴 ≤ 𝐶, ∫(𝐴(,)𝐶)𝐸 d𝑥, -∫(𝐶(,)𝐴)𝐸 d𝑥) = if(𝐵 ≤ 𝐷, ∫(𝐵(,)𝐷)𝐹 d𝑥, -∫(𝐷(,)𝐵)𝐹 d𝑥))
11		df-ditg 25746	. 2 ⊢ ⨜[𝐴 → 𝐶]𝐸 d𝑥 = if(𝐴 ≤ 𝐶, ∫(𝐴(,)𝐶)𝐸 d𝑥, -∫(𝐶(,)𝐴)𝐸 d𝑥)
12		df-ditg 25746	. 2 ⊢ ⨜[𝐵 → 𝐷]𝐹 d𝑥 = if(𝐵 ≤ 𝐷, ∫(𝐵(,)𝐷)𝐹 d𝑥, -∫(𝐷(,)𝐵)𝐹 d𝑥)
13	10, 11, 12	3eqtr4g 2789	1 ⊢ (𝜑 → ⨜[𝐴 → 𝐶]𝐸 d𝑥 = ⨜[𝐵 → 𝐷]𝐹 d𝑥)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540  ifcif 4476   class class class wbr 5092  (class class class)co 7349   ≤ cle 11150  -cneg 11348  (,)cioo 13248  ∫citg 25517  ⨜cdit 25745

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-ext 2701

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-sb 2066  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4285  df-if 4477  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-xp 5625  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-iota 6438  df-fv 6490  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-neg 11350  df-seq 13909  df-sum 15594  df-itg 25522  df-ditg 25746

This theorem is referenced by:  ditgeq3sdv  36207