Theorem dmafv2rnb 44608

Description: The alternate function value at a class 𝐴 is defined, i.e., in the range of the function, iff 𝐴 is in the domain of the function. (Contributed by AV, 3-Sep-2022.)

Assertion

Ref	Expression
dmafv2rnb	⊢ (Fun (𝐹 ↾ {𝐴}) → (𝐴 ∈ dom 𝐹 ↔ (𝐹''''𝐴) ∈ ran 𝐹))

Proof of Theorem dmafv2rnb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iba 527	. 2 ⊢ (Fun (𝐹 ↾ {𝐴}) → (𝐴 ∈ dom 𝐹 ↔ (𝐴 ∈ dom 𝐹 ∧ Fun (𝐹 ↾ {𝐴}))))
2		df-dfat 44498	. . 3 ⊢ (𝐹 defAt 𝐴 ↔ (𝐴 ∈ dom 𝐹 ∧ Fun (𝐹 ↾ {𝐴})))
3		dfatafv2rnb 44606	. . 3 ⊢ (𝐹 defAt 𝐴 ↔ (𝐹''''𝐴) ∈ ran 𝐹)
4	2, 3	bitr3i 276	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ dom 𝐹 ∧ Fun (𝐹 ↾ {𝐴})) ↔ (𝐹''''𝐴) ∈ ran 𝐹)
5	1, 4	bitrdi 286	1 ⊢ (Fun (𝐹 ↾ {𝐴}) → (𝐴 ∈ dom 𝐹 ↔ (𝐹''''𝐴) ∈ ran 𝐹))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∈ wcel 2108  {csn 4558  dom cdm 5580  ran crn 5581   ↾ cres 5582  Fun wfun 6412   defAt wdfat 44495  ''''cafv2 44587

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pr 5347  ax-un 7566

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-rab 3072  df-v 3424  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-br 5071  df-opab 5133  df-id 5480  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-iota 6376  df-fun 6420  df-dfat 44498  df-afv2 44588

This theorem is referenced by:  fundmafv2rnb  44609