Theorem dnibndlem1 37521

Description: Lemma for dnibnd 37534. (Contributed by Asger C. Ipsen, 4-Apr-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
dnibndlem1.1	⊢ 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
dnibndlem1.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
dnibndlem1.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
dnibndlem1	⊢ (𝜑 → ((abs‘((𝑇‘𝐵) − (𝑇‘𝐴))) ≤ 𝑆 ↔ (abs‘((abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵)) − (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)))) ≤ 𝑆))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝑆(𝑥)   𝑇(𝑥)

Proof of Theorem dnibndlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dnibndlem1.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
2		dnibndlem1.1	. . . . . 6 ⊢ 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
3	2	dnival 37514	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (𝑇‘𝐵) = (abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵)))
4	1, 3	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑇‘𝐵) = (abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵)))
5		dnibndlem1.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
6	2	dnival 37514	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝑇‘𝐴) = (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)))
7	5, 6	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑇‘𝐴) = (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)))
8	4, 7	oveq12d 7458	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑇‘𝐵) − (𝑇‘𝐴)) = ((abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵)) − (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴))))
9	8	fveq2d 6909	. 2 ⊢ (𝜑 → (abs‘((𝑇‘𝐵) − (𝑇‘𝐴))) = (abs‘((abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵)) − (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)))))
10	9	breq1d 5116	1 ⊢ (𝜑 → ((abs‘((𝑇‘𝐵) − (𝑇‘𝐴))) ≤ 𝑆 ↔ (abs‘((abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵)) − (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)))) ≤ 𝑆))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   class class class wbr 5106   ↦ cmpt 5189  ‘cfv 6555  (class class class)co 7440  ℝcr 11223  1c1 11225   + caddc 11227   ≤ cle 11368   − cmin 11565   / cdiv 11997  2c2 12421  ⌊cfl 13954  abscabs 15427

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pr 5395

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-id 5550  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-iota 6509  df-fun 6557  df-fv 6563  df-ov 7443

This theorem is used by:  dnibndlem2  37522  dnibndlem9  37529  dnibndlem12  37532