Theorem dnibndlem1 36758

Description: Lemma for dnibnd 36771. (Contributed by Asger C. Ipsen, 4-Apr-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
dnibndlem1.1	⊢ 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
dnibndlem1.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
dnibndlem1.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
dnibndlem1	⊢ (𝜑 → ((abs‘((𝑇‘𝐵) − (𝑇‘𝐴))) ≤ 𝑆 ↔ (abs‘((abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵)) − (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)))) ≤ 𝑆))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝑆(𝑥)   𝑇(𝑥)

Proof of Theorem dnibndlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dnibndlem1.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
2		dnibndlem1.1	. . . . . 6 ⊢ 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
3	2	dnival 36751	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (𝑇‘𝐵) = (abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵)))
4	1, 3	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑇‘𝐵) = (abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵)))
5		dnibndlem1.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
6	2	dnival 36751	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝑇‘𝐴) = (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)))
7	5, 6	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑇‘𝐴) = (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)))
8	4, 7	oveq12d 7380	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑇‘𝐵) − (𝑇‘𝐴)) = ((abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵)) − (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴))))
9	8	fveq2d 6840	. 2 ⊢ (𝜑 → (abs‘((𝑇‘𝐵) − (𝑇‘𝐴))) = (abs‘((abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵)) − (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)))))
10	9	breq1d 5096	1 ⊢ (𝜑 → ((abs‘((𝑇‘𝐵) − (𝑇‘𝐴))) ≤ 𝑆 ↔ (abs‘((abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵)) − (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)))) ≤ 𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5086   ↦ cmpt 5167  ‘cfv 6494  (class class class)co 7362  ℝcr 11032  1c1 11034   + caddc 11036   ≤ cle 11175   − cmin 11372   / cdiv 11802  2c2 12231  ⌊cfl 13744  abscabs 15191

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pr 5372

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3391  df-v 3432  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5521  df-xp 5632  df-rel 5633  df-cnv 5634  df-co 5635  df-dm 5636  df-iota 6450  df-fun 6496  df-fv 6502  df-ov 7365

This theorem is referenced by:  dnibndlem2  36759  dnibndlem9  36766  dnibndlem12  36769