Users' Mathboxes Mathbox for Asger C. Ipsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dnibndlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dnibndlem1 33051
Description: Lemma for dnibnd 33064. (Contributed by Asger C. Ipsen, 4-Apr-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
dnibndlem1.1 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
dnibndlem1.2 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
dnibndlem1.3 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
dnibndlem1 (𝜑 → ((abs‘((𝑇𝐵) − (𝑇𝐴))) ≤ 𝑆 ↔ (abs‘((abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵)) − (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)))) ≤ 𝑆))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝑆(𝑥)   𝑇(𝑥)

Proof of Theorem dnibndlem1
StepHypRef Expression
1 dnibndlem1.3 . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
2 dnibndlem1.1 . . . . . 6 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
32dnival 33044 . . . . 5 (𝐵 ∈ ℝ → (𝑇𝐵) = (abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵)))
41, 3syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝑇𝐵) = (abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵)))
5 dnibndlem1.2 . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
62dnival 33044 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → (𝑇𝐴) = (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)))
75, 6syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝑇𝐴) = (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)))
84, 7oveq12d 6940 . . 3 (𝜑 → ((𝑇𝐵) − (𝑇𝐴)) = ((abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵)) − (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴))))
98fveq2d 6450 . 2 (𝜑 → (abs‘((𝑇𝐵) − (𝑇𝐴))) = (abs‘((abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵)) − (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)))))
109breq1d 4896 1 (𝜑 → ((abs‘((𝑇𝐵) − (𝑇𝐴))) ≤ 𝑆 ↔ (abs‘((abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵)) − (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)))) ≤ 𝑆))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198   = wceq 1601  wcel 2107   class class class wbr 4886  cmpt 4965  cfv 6135  (class class class)co 6922  cr 10271  1c1 10273   + caddc 10275  cle 10412  cmin 10606   / cdiv 11032  2c2 11430  cfl 12910  abscabs 14381
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pr 5138
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ral 3095  df-rex 3096  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-nul 4142  df-if 4308  df-sn 4399  df-pr 4401  df-op 4405  df-uni 4672  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-id 5261  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fv 6143  df-ov 6925
This theorem is referenced by:  dnibndlem2  33052  dnibndlem9  33059  dnibndlem12  33062
  Copyright terms: Public domain W3C validator