Theorem dnibndlem1 36461

Description: Lemma for dnibnd 36474. (Contributed by Asger C. Ipsen, 4-Apr-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
dnibndlem1.1	⊢ 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
dnibndlem1.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
dnibndlem1.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
dnibndlem1	⊢ (𝜑 → ((abs‘((𝑇‘𝐵) − (𝑇‘𝐴))) ≤ 𝑆 ↔ (abs‘((abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵)) − (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)))) ≤ 𝑆))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝑆(𝑥)   𝑇(𝑥)

Proof of Theorem dnibndlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dnibndlem1.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
2		dnibndlem1.1	. . . . . 6 ⊢ 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
3	2	dnival 36454	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (𝑇‘𝐵) = (abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵)))
4	1, 3	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑇‘𝐵) = (abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵)))
5		dnibndlem1.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
6	2	dnival 36454	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝑇‘𝐴) = (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)))
7	5, 6	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑇‘𝐴) = (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)))
8	4, 7	oveq12d 7407	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑇‘𝐵) − (𝑇‘𝐴)) = ((abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵)) − (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴))))
9	8	fveq2d 6864	. 2 ⊢ (𝜑 → (abs‘((𝑇‘𝐵) − (𝑇‘𝐴))) = (abs‘((abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵)) − (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)))))
10	9	breq1d 5119	1 ⊢ (𝜑 → ((abs‘((𝑇‘𝐵) − (𝑇‘𝐴))) ≤ 𝑆 ↔ (abs‘((abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵)) − (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)))) ≤ 𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5109   ↦ cmpt 5190  ‘cfv 6513  (class class class)co 7389  ℝcr 11073  1c1 11075   + caddc 11077   ≤ cle 11215   − cmin 11411   / cdiv 11841  2c2 12242  ⌊cfl 13758  abscabs 15206

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5253  ax-nul 5263  ax-pr 5389

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rab 3409  df-v 3452  df-dif 3919  df-un 3921  df-ss 3933  df-nul 4299  df-if 4491  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-id 5535  df-xp 5646  df-rel 5647  df-cnv 5648  df-co 5649  df-dm 5650  df-iota 6466  df-fun 6515  df-fv 6521  df-ov 7392

This theorem is referenced by:  dnibndlem2  36462  dnibndlem9  36469  dnibndlem12  36472