Users' Mathboxes Mathbox for Asger C. Ipsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dnibndlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dnibndlem1 36421
Description: Lemma for dnibnd 36434. (Contributed by Asger C. Ipsen, 4-Apr-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
dnibndlem1.1 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
dnibndlem1.2 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
dnibndlem1.3 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
dnibndlem1 (𝜑 → ((abs‘((𝑇𝐵) − (𝑇𝐴))) ≤ 𝑆 ↔ (abs‘((abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵)) − (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)))) ≤ 𝑆))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝑆(𝑥)   𝑇(𝑥)

Proof of Theorem dnibndlem1
StepHypRef Expression
1 dnibndlem1.3 . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
2 dnibndlem1.1 . . . . . 6 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
32dnival 36414 . . . . 5 (𝐵 ∈ ℝ → (𝑇𝐵) = (abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵)))
41, 3syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝑇𝐵) = (abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵)))
5 dnibndlem1.2 . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
62dnival 36414 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → (𝑇𝐴) = (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)))
75, 6syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝑇𝐴) = (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)))
84, 7oveq12d 7443 . . 3 (𝜑 → ((𝑇𝐵) − (𝑇𝐴)) = ((abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵)) − (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴))))
98fveq2d 6905 . 2 (𝜑 → (abs‘((𝑇𝐵) − (𝑇𝐴))) = (abs‘((abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵)) − (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)))))
109breq1d 5159 1 (𝜑 → ((abs‘((𝑇𝐵) − (𝑇𝐴))) ≤ 𝑆 ↔ (abs‘((abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵)) − (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)))) ≤ 𝑆))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206   = wceq 1535  wcel 2104   class class class wbr 5149  cmpt 5232  cfv 6558  (class class class)co 7425  cr 11145  1c1 11147   + caddc 11149  cle 11287  cmin 11483   / cdiv 11911  2c2 12312  cfl 13816  abscabs 15259
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2137  ax-11 2153  ax-12 2173  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pr 5430
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3an 1087  df-tru 1538  df-fal 1548  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2536  df-eu 2565  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2812  df-nfc 2888  df-ne 2937  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rab 3433  df-v 3479  df-dif 3966  df-un 3968  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4531  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4915  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5576  df-xp 5689  df-rel 5690  df-cnv 5691  df-co 5692  df-dm 5693  df-iota 6510  df-fun 6560  df-fv 6566  df-ov 7428
This theorem is referenced by:  dnibndlem2  36422  dnibndlem9  36429  dnibndlem12  36432
  Copyright terms: Public domain W3C validator