Users' Mathboxes Mathbox for Asger C. Ipsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dnibndlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dnibndlem1 35862
Description: Lemma for dnibnd 35875. (Contributed by Asger C. Ipsen, 4-Apr-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
dnibndlem1.1 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
dnibndlem1.2 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
dnibndlem1.3 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
dnibndlem1 (𝜑 → ((abs‘((𝑇𝐵) − (𝑇𝐴))) ≤ 𝑆 ↔ (abs‘((abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵)) − (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)))) ≤ 𝑆))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝑆(𝑥)   𝑇(𝑥)

Proof of Theorem dnibndlem1
StepHypRef Expression
1 dnibndlem1.3 . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
2 dnibndlem1.1 . . . . . 6 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
32dnival 35855 . . . . 5 (𝐵 ∈ ℝ → (𝑇𝐵) = (abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵)))
41, 3syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝑇𝐵) = (abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵)))
5 dnibndlem1.2 . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
62dnival 35855 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → (𝑇𝐴) = (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)))
75, 6syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝑇𝐴) = (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)))
84, 7oveq12d 7423 . . 3 (𝜑 → ((𝑇𝐵) − (𝑇𝐴)) = ((abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵)) − (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴))))
98fveq2d 6889 . 2 (𝜑 → (abs‘((𝑇𝐵) − (𝑇𝐴))) = (abs‘((abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵)) − (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)))))
109breq1d 5151 1 (𝜑 → ((abs‘((𝑇𝐵) − (𝑇𝐴))) ≤ 𝑆 ↔ (abs‘((abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵)) − (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)))) ≤ 𝑆))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205   = wceq 1533  wcel 2098   class class class wbr 5141  cmpt 5224  cfv 6537  (class class class)co 7405  cr 11111  1c1 11113   + caddc 11115  cle 11253  cmin 11448   / cdiv 11875  2c2 12271  cfl 13761  abscabs 15187
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pr 5420
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rab 3427  df-v 3470  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fv 6545  df-ov 7408
This theorem is referenced by:  dnibndlem2  35863  dnibndlem9  35870  dnibndlem12  35873
  Copyright terms: Public domain W3C validator