Users' Mathboxes Mathbox for Asger C. Ipsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dnibndlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dnibndlem1 34703
Description: Lemma for dnibnd 34716. (Contributed by Asger C. Ipsen, 4-Apr-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
dnibndlem1.1 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
dnibndlem1.2 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
dnibndlem1.3 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
dnibndlem1 (𝜑 → ((abs‘((𝑇𝐵) − (𝑇𝐴))) ≤ 𝑆 ↔ (abs‘((abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵)) − (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)))) ≤ 𝑆))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝑆(𝑥)   𝑇(𝑥)

Proof of Theorem dnibndlem1
StepHypRef Expression
1 dnibndlem1.3 . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
2 dnibndlem1.1 . . . . . 6 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
32dnival 34696 . . . . 5 (𝐵 ∈ ℝ → (𝑇𝐵) = (abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵)))
41, 3syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝑇𝐵) = (abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵)))
5 dnibndlem1.2 . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
62dnival 34696 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → (𝑇𝐴) = (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)))
75, 6syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝑇𝐴) = (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)))
84, 7oveq12d 7325 . . 3 (𝜑 → ((𝑇𝐵) − (𝑇𝐴)) = ((abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵)) − (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴))))
98fveq2d 6808 . 2 (𝜑 → (abs‘((𝑇𝐵) − (𝑇𝐴))) = (abs‘((abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵)) − (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)))))
109breq1d 5091 1 (𝜑 → ((abs‘((𝑇𝐵) − (𝑇𝐴))) ≤ 𝑆 ↔ (abs‘((abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵)) − (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)))) ≤ 𝑆))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205   = wceq 1539  wcel 2104   class class class wbr 5081  cmpt 5164  cfv 6458  (class class class)co 7307  cr 10916  1c1 10918   + caddc 10920  cle 11056  cmin 11251   / cdiv 11678  2c2 12074  cfl 13556  abscabs 14990
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2707  ax-sep 5232  ax-nul 5239  ax-pr 5361
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3287  df-v 3439  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-nul 4263  df-if 4466  df-sn 4566  df-pr 4568  df-op 4572  df-uni 4845  df-br 5082  df-opab 5144  df-mpt 5165  df-id 5500  df-xp 5606  df-rel 5607  df-cnv 5608  df-co 5609  df-dm 5610  df-iota 6410  df-fun 6460  df-fv 6466  df-ov 7310
This theorem is referenced by:  dnibndlem2  34704  dnibndlem9  34711  dnibndlem12  34714
  Copyright terms: Public domain W3C validator