Theorem dnival 37259

Description: Value of the "distance to nearest integer" function. (Contributed by Asger C. Ipsen, 4-Apr-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
dnival.1	⊢ 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))

Assertion

Ref	Expression
dnival	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝑇‘𝐴) = (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)))

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Allowed substitution hint:   𝑇(𝑥)

Proof of Theorem dnival

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvoveq1 7431	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) = (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))))
2		id 23	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → 𝑥 = 𝐴)
3	1, 2	oveq12d 7426	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥) = ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴))
4	3	fveq2d 6877	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)) = (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)))
5		dnival.1	. 2 ⊢ 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
6		fvex 6886	. 2 ⊢ (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)) ∈ V
7	4, 5, 6	fvmpt 6981	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝑇‘𝐴) = (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ↦ cmpt 5185  ‘cfv 6527  (class class class)co 7408  ℝcr 11170  1c1 11172   + caddc 11174   − cmin 11512   / cdiv 11942  2c2 12366  ⌊cfl 13898  abscabs 15368

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pr 5390

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-nul 4279  df-if 4482  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5542  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-iota 6483  df-fun 6529  df-fv 6535  df-ov 7411

This theorem is used by:  dnicld2  37261  dnizeq0  37263  dnizphlfeqhlf  37264  dnibndlem1  37266  knoppcnlem4  37284