Theorem dnival 35650

Description: Value of the "distance to nearest integer" function. (Contributed by Asger C. Ipsen, 4-Apr-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
dnival.1	⊢ 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))

Assertion

Ref	Expression
dnival	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝑇‘𝐴) = (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)))

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Allowed substitution hint:   𝑇(𝑥)

Proof of Theorem dnival

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvoveq1 7434	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) = (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))))
2		id 22	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → 𝑥 = 𝐴)
3	1, 2	oveq12d 7429	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥) = ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴))
4	3	fveq2d 6895	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)) = (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)))
5		dnival.1	. 2 ⊢ 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
6		fvex 6904	. 2 ⊢ (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)) ∈ V
7	4, 5, 6	fvmpt 6998	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝑇‘𝐴) = (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ↦ cmpt 5231  ‘cfv 6543  (class class class)co 7411  ℝcr 11111  1c1 11113   + caddc 11115   − cmin 11448   / cdiv 11875  2c2 12271  ⌊cfl 13759  abscabs 15185

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pr 5427

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3433  df-v 3476  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fv 6551  df-ov 7414

This theorem is referenced by:  dnicld2  35652  dnizeq0  35654  dnizphlfeqhlf  35655  dnibndlem1  35657  knoppcnlem4  35675