Theorem dnival 36406

Description: Value of the "distance to nearest integer" function. (Contributed by Asger C. Ipsen, 4-Apr-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
dnival.1	⊢ 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))

Assertion

Ref	Expression
dnival	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝑇‘𝐴) = (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)))

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Allowed substitution hint:   𝑇(𝑥)

Proof of Theorem dnival

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvoveq1 7435	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) = (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))))
2		id 22	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → 𝑥 = 𝐴)
3	1, 2	oveq12d 7430	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥) = ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴))
4	3	fveq2d 6889	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)) = (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)))
5		dnival.1	. 2 ⊢ 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
6		fvex 6898	. 2 ⊢ (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)) ∈ V
7	4, 5, 6	fvmpt 6995	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝑇‘𝐴) = (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2107   ↦ cmpt 5205  ‘cfv 6540  (class class class)co 7412  ℝcr 11135  1c1 11137   + caddc 11139   − cmin 11473   / cdiv 11901  2c2 12302  ⌊cfl 13811  abscabs 15254

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-sep 5276  ax-nul 5286  ax-pr 5412

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rab 3420  df-v 3465  df-dif 3934  df-un 3936  df-ss 3948  df-nul 4314  df-if 4506  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4888  df-br 5124  df-opab 5186  df-mpt 5206  df-id 5558  df-xp 5671  df-rel 5672  df-cnv 5673  df-co 5674  df-dm 5675  df-iota 6493  df-fun 6542  df-fv 6548  df-ov 7415

This theorem is referenced by:  dnicld2  36408  dnizeq0  36410  dnizphlfeqhlf  36411  dnibndlem1  36413  knoppcnlem4  36431