Theorem dnibndlem9 37529

Description: Lemma for dnibnd 37534. (Contributed by Asger C. Ipsen, 4-Apr-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
dnibndlem9.1	⊢ 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
dnibndlem9.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
dnibndlem9.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
dnibndlem9.4	⊢ (𝜑 → (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) = ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 1))

Assertion

Ref	Expression
dnibndlem9	⊢ (𝜑 → (abs‘((𝑇‘𝐵) − (𝑇‘𝐴))) ≤ (abs‘(𝐵 − 𝐴)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝑇(𝑥)

Proof of Theorem dnibndlem9

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dnibndlem9.3	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
2	1	dnicld1 37515	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵)) ∈ ℝ)
3	2	recnd 11361	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵)) ∈ ℂ)
4		dnibndlem9.2	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
5	4	dnicld1 37515	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)) ∈ ℝ)
6	5	recnd 11361	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)) ∈ ℂ)
7	3, 6	subcld 11693	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵)) − (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴))) ∈ ℂ)
8	7	abscld 15632	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (abs‘((abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵)) − (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)))) ∈ ℝ)
9		halfre 12583	. . . . . . . 8 ⊢ (1 / 2) ∈ ℝ
10	9	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (1 / 2) ∈ ℝ)
11	10, 2	jca 521	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((1 / 2) ∈ ℝ ∧ (abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵)) ∈ ℝ))
12		resubcl 11646	. . . . . 6 ⊢ (((1 / 2) ∈ ℝ ∧ (abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵)) ∈ ℝ) → ((1 / 2) − (abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵))) ∈ ℝ)
13	11, 12	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((1 / 2) − (abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵))) ∈ ℝ)
14	10, 5	jca 521	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((1 / 2) ∈ ℝ ∧ (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)) ∈ ℝ))
15		resubcl 11646	. . . . . 6 ⊢ (((1 / 2) ∈ ℝ ∧ (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)) ∈ ℝ) → ((1 / 2) − (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴))) ∈ ℝ)
16	14, 15	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((1 / 2) − (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴))) ∈ ℝ)
17	13, 16	readdcld 11362	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((1 / 2) − (abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵))) + ((1 / 2) − (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)))) ∈ ℝ)
18	1	recnd 11361	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
19	1, 10	readdcld 11362	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐵 + (1 / 2)) ∈ ℝ)
20		reflcl 13960	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 + (1 / 2)) ∈ ℝ → (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) ∈ ℝ)
21	19, 20	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) ∈ ℝ)
22	21	recnd 11361	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) ∈ ℂ)
23	10	recnd 11361	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (1 / 2) ∈ ℂ)
24	22, 23	subcld 11693	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − (1 / 2)) ∈ ℂ)
25	18, 24	subcld 11693	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − ((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − (1 / 2))) ∈ ℂ)
26	4, 10	readdcld 11362	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + (1 / 2)) ∈ ℝ)
27		reflcl 13960	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 + (1 / 2)) ∈ ℝ → (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) ∈ ℝ)
28	26, 27	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) ∈ ℝ)
29	28	recnd 11361	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) ∈ ℂ)
30	29, 23	addcld 11352	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2)) ∈ ℂ)
31	4	recnd 11361	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
32	30, 31	subcld 11693	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2)) − 𝐴) ∈ ℂ)
33	25, 32	addcld 11352	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 − ((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − (1 / 2))) + (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2)) − 𝐴)) ∈ ℂ)
34	33	abscld 15632	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (abs‘((𝐵 − ((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − (1 / 2))) + (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2)) − 𝐴))) ∈ ℝ)
35	4, 1	dnibndlem6 37526	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (abs‘((abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵)) − (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)))) ≤ (((1 / 2) − (abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵))) + ((1 / 2) − (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)))))
36	21, 10	jca 521	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) ∈ ℝ ∧ (1 / 2) ∈ ℝ))
37		resubcl 11646	. . . . . . . . 9 ⊢ (((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) ∈ ℝ ∧ (1 / 2) ∈ ℝ) → ((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − (1 / 2)) ∈ ℝ)
38	36, 37	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − (1 / 2)) ∈ ℝ)
39	1, 38	jca 521	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ ℝ ∧ ((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − (1 / 2)) ∈ ℝ))
40		resubcl 11646	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ ((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − (1 / 2)) ∈ ℝ) → (𝐵 − ((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − (1 / 2))) ∈ ℝ)
41	39, 40	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − ((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − (1 / 2))) ∈ ℝ)
42	28, 10	readdcld 11362	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2)) ∈ ℝ)
43	42, 4	jca 521	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2)) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ))
44		resubcl 11646	. . . . . . 7 ⊢ ((((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2)) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2)) − 𝐴) ∈ ℝ)
45	43, 44	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2)) − 𝐴) ∈ ℝ)
46	1	dnibndlem7 37527	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((1 / 2) − (abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵))) ≤ (𝐵 − ((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − (1 / 2))))
47	4	dnibndlem8 37528	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((1 / 2) − (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴))) ≤ (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2)) − 𝐴))
48	13, 16, 41, 45, 46, 47	le2addd 11959	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((1 / 2) − (abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵))) + ((1 / 2) − (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)))) ≤ ((𝐵 − ((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − (1 / 2))) + (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2)) − 𝐴)))
49	41, 45	readdcld 11362	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 − ((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − (1 / 2))) + (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2)) − 𝐴)) ∈ ℝ)
50		dnibndlem4 37524	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 0 ≤ (𝐵 − ((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − (1 / 2))))
51	1, 50	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝐵 − ((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − (1 / 2))))
52		0red 11335	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
53		dnibndlem5 37525	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 0 < (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2)) − 𝐴))
54	4, 53	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 < (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2)) − 𝐴))
55	52, 45, 54	ltled 11482	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2)) − 𝐴))
56	41, 45, 51, 55	addge0d 11916	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ ((𝐵 − ((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − (1 / 2))) + (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2)) − 𝐴)))
57	49, 56	absidd 15616	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (abs‘((𝐵 − ((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − (1 / 2))) + (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2)) − 𝐴))) = ((𝐵 − ((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − (1 / 2))) + (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2)) − 𝐴)))
58	57	eqcomd 2769	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 − ((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − (1 / 2))) + (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2)) − 𝐴)) = (abs‘((𝐵 − ((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − (1 / 2))) + (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2)) − 𝐴))))
59	48, 58	breqtrd 5134	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((1 / 2) − (abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵))) + ((1 / 2) − (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)))) ≤ (abs‘((𝐵 − ((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − (1 / 2))) + (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2)) − 𝐴))))
60	8, 17, 34, 35, 59	letrd 11491	. . 3 ⊢ (𝜑 → (abs‘((abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵)) − (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)))) ≤ (abs‘((𝐵 − ((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − (1 / 2))) + (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2)) − 𝐴))))
61		dnibndlem9.1	. . . . 5 ⊢ 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
62		dnibndlem9.4	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) = ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 1))
63	61, 4, 1, 62	dnibndlem3 37523	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐵 − 𝐴)) = (abs‘((𝐵 − ((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − (1 / 2))) + (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2)) − 𝐴))))
64	63	eqcomd 2769	. . 3 ⊢ (𝜑 → (abs‘((𝐵 − ((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − (1 / 2))) + (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2)) − 𝐴))) = (abs‘(𝐵 − 𝐴)))
65	60, 64	breqtrd 5134	. 2 ⊢ (𝜑 → (abs‘((abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵)) − (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)))) ≤ (abs‘(𝐵 − 𝐴)))
66	61, 4, 1	dnibndlem1 37521	. 2 ⊢ (𝜑 → ((abs‘((𝑇‘𝐵) − (𝑇‘𝐴))) ≤ (abs‘(𝐵 − 𝐴)) ↔ (abs‘((abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵)) − (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)))) ≤ (abs‘(𝐵 − 𝐴))))
67	65, 66	mpbird 260	1 ⊢ (𝜑 → (abs‘((𝑇‘𝐵) − (𝑇‘𝐴))) ≤ (abs‘(𝐵 − 𝐴)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   class class class wbr 5106   ↦ cmpt 5189  ‘cfv 6555  (class class class)co 7440  ℝcr 11223  0cc0 11224  1c1 11225   + caddc 11227   < clt 11367   ≤ cle 11368   − cmin 11565   / cdiv 11997  2c2 12421  ⌊cfl 13954  abscabs 15427

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7772  ax-cnex 11280  ax-resscn 11281  ax-1cn 11282  ax-icn 11283  ax-addcl 11284  ax-addrcl 11285  ax-mulcl 11286  ax-mulrcl 11287  ax-mulcom 11288  ax-addass 11289  ax-mulass 11290  ax-distr 11291  ax-i2m1 11292  ax-1ne0 11293  ax-1rid 11294  ax-rnegex 11295  ax-rrecex 11296  ax-cnre 11297  ax-pre-lttri 11298  ax-pre-lttrn 11299  ax-pre-ltadd 11300  ax-pre-mulgt0 11301  ax-pre-sup 11302

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6319  df-ord 6380  df-on 6381  df-lim 6382  df-suc 6383  df-iota 6509  df-fun 6557  df-fn 6558  df-f 6559  df-f1 6560  df-fo 6561  df-f1o 6562  df-fv 6563  df-riota 7397  df-ov 7443  df-oprab 7444  df-mpo 7445  df-om 7899  df-2nd 8023  df-frecs 8324  df-wrecs 8355  df-recs 8404  df-rdg 8443  df-er 8742  df-en 8999  df-dom 9000  df-sdom 9001  df-sup 9458  df-inf 9459  df-pnf 11369  df-mnf 11370  df-xr 11371  df-ltxr 11372  df-le 11373  df-sub 11567  df-neg 11568  df-div 11998  df-nn 12360  df-2 12429  df-3 12430  df-n0 12631  df-z 12718  df-uz 12990  df-rp 13145  df-fl 13956  df-seq 14169  df-exp 14229  df-cj 15292  df-re 15293  df-im 15294  df-sqrt 15428  df-abs 15429

This theorem is used by:  dnibndlem13  37533