Users' Mathboxes Mathbox for Asger C. Ipsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dnibndlem9 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dnibndlem9 34403
Description: Lemma for dnibnd 34408. (Contributed by Asger C. Ipsen, 4-Apr-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
dnibndlem9.1 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
dnibndlem9.2 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
dnibndlem9.3 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
dnibndlem9.4 (𝜑 → (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) = ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 1))
Assertion
Ref Expression
dnibndlem9 (𝜑 → (abs‘((𝑇𝐵) − (𝑇𝐴))) ≤ (abs‘(𝐵𝐴)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝑇(𝑥)

Proof of Theorem dnibndlem9
StepHypRef Expression
1 dnibndlem9.3 . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
21dnicld1 34389 . . . . . . 7 (𝜑 → (abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵)) ∈ ℝ)
32recnd 10861 . . . . . 6 (𝜑 → (abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵)) ∈ ℂ)
4 dnibndlem9.2 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
54dnicld1 34389 . . . . . . 7 (𝜑 → (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)) ∈ ℝ)
65recnd 10861 . . . . . 6 (𝜑 → (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)) ∈ ℂ)
73, 6subcld 11189 . . . . 5 (𝜑 → ((abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵)) − (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴))) ∈ ℂ)
87abscld 15000 . . . 4 (𝜑 → (abs‘((abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵)) − (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)))) ∈ ℝ)
9 halfre 12044 . . . . . . . 8 (1 / 2) ∈ ℝ
109a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → (1 / 2) ∈ ℝ)
1110, 2jca 515 . . . . . 6 (𝜑 → ((1 / 2) ∈ ℝ ∧ (abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵)) ∈ ℝ))
12 resubcl 11142 . . . . . 6 (((1 / 2) ∈ ℝ ∧ (abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵)) ∈ ℝ) → ((1 / 2) − (abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵))) ∈ ℝ)
1311, 12syl 17 . . . . 5 (𝜑 → ((1 / 2) − (abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵))) ∈ ℝ)
1410, 5jca 515 . . . . . 6 (𝜑 → ((1 / 2) ∈ ℝ ∧ (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)) ∈ ℝ))
15 resubcl 11142 . . . . . 6 (((1 / 2) ∈ ℝ ∧ (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)) ∈ ℝ) → ((1 / 2) − (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴))) ∈ ℝ)
1614, 15syl 17 . . . . 5 (𝜑 → ((1 / 2) − (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴))) ∈ ℝ)
1713, 16readdcld 10862 . . . 4 (𝜑 → (((1 / 2) − (abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵))) + ((1 / 2) − (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)))) ∈ ℝ)
181recnd 10861 . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
191, 10readdcld 10862 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐵 + (1 / 2)) ∈ ℝ)
20 reflcl 13371 . . . . . . . . . 10 ((𝐵 + (1 / 2)) ∈ ℝ → (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) ∈ ℝ)
2119, 20syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) ∈ ℝ)
2221recnd 10861 . . . . . . . 8 (𝜑 → (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) ∈ ℂ)
2310recnd 10861 . . . . . . . 8 (𝜑 → (1 / 2) ∈ ℂ)
2422, 23subcld 11189 . . . . . . 7 (𝜑 → ((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − (1 / 2)) ∈ ℂ)
2518, 24subcld 11189 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐵 − ((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − (1 / 2))) ∈ ℂ)
264, 10readdcld 10862 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐴 + (1 / 2)) ∈ ℝ)
27 reflcl 13371 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 + (1 / 2)) ∈ ℝ → (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) ∈ ℝ)
2826, 27syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) ∈ ℝ)
2928recnd 10861 . . . . . . . 8 (𝜑 → (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) ∈ ℂ)
3029, 23addcld 10852 . . . . . . 7 (𝜑 → ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2)) ∈ ℂ)
314recnd 10861 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
3230, 31subcld 11189 . . . . . 6 (𝜑 → (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2)) − 𝐴) ∈ ℂ)
3325, 32addcld 10852 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐵 − ((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − (1 / 2))) + (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2)) − 𝐴)) ∈ ℂ)
3433abscld 15000 . . . 4 (𝜑 → (abs‘((𝐵 − ((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − (1 / 2))) + (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2)) − 𝐴))) ∈ ℝ)
354, 1dnibndlem6 34400 . . . 4 (𝜑 → (abs‘((abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵)) − (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)))) ≤ (((1 / 2) − (abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵))) + ((1 / 2) − (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)))))
3621, 10jca 515 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) ∈ ℝ ∧ (1 / 2) ∈ ℝ))
37 resubcl 11142 . . . . . . . . 9 (((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) ∈ ℝ ∧ (1 / 2) ∈ ℝ) → ((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − (1 / 2)) ∈ ℝ)
3836, 37syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − (1 / 2)) ∈ ℝ)
391, 38jca 515 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐵 ∈ ℝ ∧ ((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − (1 / 2)) ∈ ℝ))
40 resubcl 11142 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ ((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − (1 / 2)) ∈ ℝ) → (𝐵 − ((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − (1 / 2))) ∈ ℝ)
4139, 40syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐵 − ((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − (1 / 2))) ∈ ℝ)
4228, 10readdcld 10862 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2)) ∈ ℝ)
4342, 4jca 515 . . . . . . 7 (𝜑 → (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2)) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ))
44 resubcl 11142 . . . . . . 7 ((((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2)) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2)) − 𝐴) ∈ ℝ)
4543, 44syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2)) − 𝐴) ∈ ℝ)
461dnibndlem7 34401 . . . . . 6 (𝜑 → ((1 / 2) − (abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵))) ≤ (𝐵 − ((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − (1 / 2))))
474dnibndlem8 34402 . . . . . 6 (𝜑 → ((1 / 2) − (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴))) ≤ (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2)) − 𝐴))
4813, 16, 41, 45, 46, 47le2addd 11451 . . . . 5 (𝜑 → (((1 / 2) − (abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵))) + ((1 / 2) − (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)))) ≤ ((𝐵 − ((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − (1 / 2))) + (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2)) − 𝐴)))
4941, 45readdcld 10862 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐵 − ((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − (1 / 2))) + (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2)) − 𝐴)) ∈ ℝ)
50 dnibndlem4 34398 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ ℝ → 0 ≤ (𝐵 − ((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − (1 / 2))))
511, 50syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → 0 ≤ (𝐵 − ((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − (1 / 2))))
52 0red 10836 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
53 dnibndlem5 34399 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℝ → 0 < (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2)) − 𝐴))
544, 53syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 0 < (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2)) − 𝐴))
5552, 45, 54ltled 10980 . . . . . . . 8 (𝜑 → 0 ≤ (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2)) − 𝐴))
5641, 45, 51, 55addge0d 11408 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 ≤ ((𝐵 − ((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − (1 / 2))) + (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2)) − 𝐴)))
5749, 56absidd 14986 . . . . . 6 (𝜑 → (abs‘((𝐵 − ((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − (1 / 2))) + (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2)) − 𝐴))) = ((𝐵 − ((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − (1 / 2))) + (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2)) − 𝐴)))
5857eqcomd 2743 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐵 − ((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − (1 / 2))) + (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2)) − 𝐴)) = (abs‘((𝐵 − ((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − (1 / 2))) + (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2)) − 𝐴))))
5948, 58breqtrd 5079 . . . 4 (𝜑 → (((1 / 2) − (abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵))) + ((1 / 2) − (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)))) ≤ (abs‘((𝐵 − ((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − (1 / 2))) + (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2)) − 𝐴))))
608, 17, 34, 35, 59letrd 10989 . . 3 (𝜑 → (abs‘((abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵)) − (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)))) ≤ (abs‘((𝐵 − ((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − (1 / 2))) + (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2)) − 𝐴))))
61 dnibndlem9.1 . . . . 5 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
62 dnibndlem9.4 . . . . 5 (𝜑 → (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) = ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 1))
6361, 4, 1, 62dnibndlem3 34397 . . . 4 (𝜑 → (abs‘(𝐵𝐴)) = (abs‘((𝐵 − ((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − (1 / 2))) + (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2)) − 𝐴))))
6463eqcomd 2743 . . 3 (𝜑 → (abs‘((𝐵 − ((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − (1 / 2))) + (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2)) − 𝐴))) = (abs‘(𝐵𝐴)))
6560, 64breqtrd 5079 . 2 (𝜑 → (abs‘((abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵)) − (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)))) ≤ (abs‘(𝐵𝐴)))
6661, 4, 1dnibndlem1 34395 . 2 (𝜑 → ((abs‘((𝑇𝐵) − (𝑇𝐴))) ≤ (abs‘(𝐵𝐴)) ↔ (abs‘((abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵)) − (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)))) ≤ (abs‘(𝐵𝐴))))
6765, 66mpbird 260 1 (𝜑 → (abs‘((𝑇𝐵) − (𝑇𝐴))) ≤ (abs‘(𝐵𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399   = wceq 1543  wcel 2110   class class class wbr 5053  cmpt 5135  cfv 6380  (class class class)co 7213  cr 10728  0cc0 10729  1c1 10730   + caddc 10732   < clt 10867  cle 10868  cmin 11062   / cdiv 11489  2c2 11885  cfl 13365  abscabs 14797
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-cnex 10785  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-mulcom 10793  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805  ax-pre-mulgt0 10806  ax-pre-sup 10807
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4820  df-iun 4906  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-pred 6160  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-om 7645  df-2nd 7762  df-wrecs 8047  df-recs 8108  df-rdg 8146  df-er 8391  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-sup 9058  df-inf 9059  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-xr 10871  df-ltxr 10872  df-le 10873  df-sub 11064  df-neg 11065  df-div 11490  df-nn 11831  df-2 11893  df-3 11894  df-n0 12091  df-z 12177  df-uz 12439  df-rp 12587  df-fl 13367  df-seq 13575  df-exp 13636  df-cj 14662  df-re 14663  df-im 14664  df-sqrt 14798  df-abs 14799
This theorem is referenced by:  dnibndlem13  34407
  Copyright terms: Public domain W3C validator