Theorem dnibndlem9 36659

Description: Lemma for dnibnd 36664. (Contributed by Asger C. Ipsen, 4-Apr-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
dnibndlem9.1	⊢ 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
dnibndlem9.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
dnibndlem9.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
dnibndlem9.4	⊢ (𝜑 → (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) = ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 1))

Assertion

Ref	Expression
dnibndlem9	⊢ (𝜑 → (abs‘((𝑇‘𝐵) − (𝑇‘𝐴))) ≤ (abs‘(𝐵 − 𝐴)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝑇(𝑥)

Proof of Theorem dnibndlem9

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dnibndlem9.3	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
2	1	dnicld1 36645	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵)) ∈ ℝ)
3	2	recnd 11162	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵)) ∈ ℂ)
4		dnibndlem9.2	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
5	4	dnicld1 36645	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)) ∈ ℝ)
6	5	recnd 11162	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)) ∈ ℂ)
7	3, 6	subcld 11494	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵)) − (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴))) ∈ ℂ)
8	7	abscld 15364	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (abs‘((abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵)) − (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)))) ∈ ℝ)
9		halfre 12356	. . . . . . . 8 ⊢ (1 / 2) ∈ ℝ
10	9	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (1 / 2) ∈ ℝ)
11	10, 2	jca 511	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((1 / 2) ∈ ℝ ∧ (abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵)) ∈ ℝ))
12		resubcl 11447	. . . . . 6 ⊢ (((1 / 2) ∈ ℝ ∧ (abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵)) ∈ ℝ) → ((1 / 2) − (abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵))) ∈ ℝ)
13	11, 12	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((1 / 2) − (abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵))) ∈ ℝ)
14	10, 5	jca 511	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((1 / 2) ∈ ℝ ∧ (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)) ∈ ℝ))
15		resubcl 11447	. . . . . 6 ⊢ (((1 / 2) ∈ ℝ ∧ (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)) ∈ ℝ) → ((1 / 2) − (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴))) ∈ ℝ)
16	14, 15	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((1 / 2) − (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴))) ∈ ℝ)
17	13, 16	readdcld 11163	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((1 / 2) − (abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵))) + ((1 / 2) − (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)))) ∈ ℝ)
18	1	recnd 11162	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
19	1, 10	readdcld 11163	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐵 + (1 / 2)) ∈ ℝ)
20		reflcl 13718	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 + (1 / 2)) ∈ ℝ → (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) ∈ ℝ)
21	19, 20	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) ∈ ℝ)
22	21	recnd 11162	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) ∈ ℂ)
23	10	recnd 11162	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (1 / 2) ∈ ℂ)
24	22, 23	subcld 11494	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − (1 / 2)) ∈ ℂ)
25	18, 24	subcld 11494	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − ((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − (1 / 2))) ∈ ℂ)
26	4, 10	readdcld 11163	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + (1 / 2)) ∈ ℝ)
27		reflcl 13718	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 + (1 / 2)) ∈ ℝ → (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) ∈ ℝ)
28	26, 27	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) ∈ ℝ)
29	28	recnd 11162	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) ∈ ℂ)
30	29, 23	addcld 11153	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2)) ∈ ℂ)
31	4	recnd 11162	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
32	30, 31	subcld 11494	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2)) − 𝐴) ∈ ℂ)
33	25, 32	addcld 11153	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 − ((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − (1 / 2))) + (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2)) − 𝐴)) ∈ ℂ)
34	33	abscld 15364	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (abs‘((𝐵 − ((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − (1 / 2))) + (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2)) − 𝐴))) ∈ ℝ)
35	4, 1	dnibndlem6 36656	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (abs‘((abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵)) − (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)))) ≤ (((1 / 2) − (abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵))) + ((1 / 2) − (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)))))
36	21, 10	jca 511	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) ∈ ℝ ∧ (1 / 2) ∈ ℝ))
37		resubcl 11447	. . . . . . . . 9 ⊢ (((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) ∈ ℝ ∧ (1 / 2) ∈ ℝ) → ((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − (1 / 2)) ∈ ℝ)
38	36, 37	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − (1 / 2)) ∈ ℝ)
39	1, 38	jca 511	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ ℝ ∧ ((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − (1 / 2)) ∈ ℝ))
40		resubcl 11447	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ ((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − (1 / 2)) ∈ ℝ) → (𝐵 − ((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − (1 / 2))) ∈ ℝ)
41	39, 40	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − ((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − (1 / 2))) ∈ ℝ)
42	28, 10	readdcld 11163	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2)) ∈ ℝ)
43	42, 4	jca 511	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2)) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ))
44		resubcl 11447	. . . . . . 7 ⊢ ((((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2)) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2)) − 𝐴) ∈ ℝ)
45	43, 44	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2)) − 𝐴) ∈ ℝ)
46	1	dnibndlem7 36657	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((1 / 2) − (abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵))) ≤ (𝐵 − ((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − (1 / 2))))
47	4	dnibndlem8 36658	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((1 / 2) − (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴))) ≤ (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2)) − 𝐴))
48	13, 16, 41, 45, 46, 47	le2addd 11758	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((1 / 2) − (abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵))) + ((1 / 2) − (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)))) ≤ ((𝐵 − ((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − (1 / 2))) + (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2)) − 𝐴)))
49	41, 45	readdcld 11163	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 − ((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − (1 / 2))) + (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2)) − 𝐴)) ∈ ℝ)
50		dnibndlem4 36654	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 0 ≤ (𝐵 − ((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − (1 / 2))))
51	1, 50	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝐵 − ((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − (1 / 2))))
52		0red 11137	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
53		dnibndlem5 36655	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 0 < (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2)) − 𝐴))
54	4, 53	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 < (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2)) − 𝐴))
55	52, 45, 54	ltled 11283	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2)) − 𝐴))
56	41, 45, 51, 55	addge0d 11715	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ ((𝐵 − ((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − (1 / 2))) + (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2)) − 𝐴)))
57	49, 56	absidd 15348	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (abs‘((𝐵 − ((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − (1 / 2))) + (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2)) − 𝐴))) = ((𝐵 − ((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − (1 / 2))) + (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2)) − 𝐴)))
58	57	eqcomd 2741	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 − ((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − (1 / 2))) + (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2)) − 𝐴)) = (abs‘((𝐵 − ((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − (1 / 2))) + (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2)) − 𝐴))))
59	48, 58	breqtrd 5123	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((1 / 2) − (abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵))) + ((1 / 2) − (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)))) ≤ (abs‘((𝐵 − ((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − (1 / 2))) + (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2)) − 𝐴))))
60	8, 17, 34, 35, 59	letrd 11292	. . 3 ⊢ (𝜑 → (abs‘((abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵)) − (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)))) ≤ (abs‘((𝐵 − ((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − (1 / 2))) + (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2)) − 𝐴))))
61		dnibndlem9.1	. . . . 5 ⊢ 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
62		dnibndlem9.4	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) = ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 1))
63	61, 4, 1, 62	dnibndlem3 36653	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐵 − 𝐴)) = (abs‘((𝐵 − ((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − (1 / 2))) + (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2)) − 𝐴))))
64	63	eqcomd 2741	. . 3 ⊢ (𝜑 → (abs‘((𝐵 − ((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − (1 / 2))) + (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2)) − 𝐴))) = (abs‘(𝐵 − 𝐴)))
65	60, 64	breqtrd 5123	. 2 ⊢ (𝜑 → (abs‘((abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵)) − (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)))) ≤ (abs‘(𝐵 − 𝐴)))
66	61, 4, 1	dnibndlem1 36651	. 2 ⊢ (𝜑 → ((abs‘((𝑇‘𝐵) − (𝑇‘𝐴))) ≤ (abs‘(𝐵 − 𝐴)) ↔ (abs‘((abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵)) − (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)))) ≤ (abs‘(𝐵 − 𝐴))))
67	65, 66	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → (abs‘((𝑇‘𝐵) − (𝑇‘𝐴))) ≤ (abs‘(𝐵 − 𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5097   ↦ cmpt 5178  ‘cfv 6491  (class class class)co 7358  ℝcr 11027  0cc0 11028  1c1 11029   + caddc 11031   < clt 11168   ≤ cle 11169   − cmin 11366   / cdiv 11796  2c2 12202  ⌊cfl 13712  abscabs 15159

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2183  ax-ext 2707  ax-sep 5240  ax-nul 5250  ax-pow 5309  ax-pr 5376  ax-un 7680  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105  ax-pre-sup 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2538  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2810  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3349  df-reu 3350  df-rab 3399  df-v 3441  df-sbc 3740  df-csb 3849  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-pss 3920  df-nul 4285  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-iun 4947  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6258  df-ord 6319  df-on 6320  df-lim 6321  df-suc 6322  df-iota 6447  df-fun 6493  df-fn 6494  df-f 6495  df-f1 6496  df-fo 6497  df-f1o 6498  df-fv 6499  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-er 8635  df-en 8886  df-dom 8887  df-sdom 8888  df-sup 9347  df-inf 9348  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-div 11797  df-nn 12148  df-2 12210  df-3 12211  df-n0 12404  df-z 12491  df-uz 12754  df-rp 12908  df-fl 13714  df-seq 13927  df-exp 13987  df-cj 15024  df-re 15025  df-im 15026  df-sqrt 15160  df-abs 15161

This theorem is referenced by:  dnibndlem13  36663