Users' Mathboxes Mathbox for Asger C. Ipsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dnibnd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dnibnd 33838
Description: The "distance to nearest integer" function is 1-Lipschitz continuous, i.e., is a short map. (Contributed by Asger C. Ipsen, 4-Apr-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
dnibnd.1 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
dnibnd.2 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
dnibnd.3 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
dnibnd (𝜑 → (abs‘((𝑇𝐵) − (𝑇𝐴))) ≤ (abs‘(𝐵𝐴)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝑇(𝑥)

Proof of Theorem dnibnd
StepHypRef Expression
1 dnibnd.1 . . 3 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
2 dnibnd.2 . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
32adantr 484 . . 3 ((𝜑 ∧ (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) ≤ (⌊‘(𝐵 + (1 / 2)))) → 𝐴 ∈ ℝ)
4 dnibnd.3 . . . 4 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
54adantr 484 . . 3 ((𝜑 ∧ (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) ≤ (⌊‘(𝐵 + (1 / 2)))) → 𝐵 ∈ ℝ)
6 simpr 488 . . 3 ((𝜑 ∧ (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) ≤ (⌊‘(𝐵 + (1 / 2)))) → (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) ≤ (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))))
71, 3, 5, 6dnibndlem13 33837 . 2 ((𝜑 ∧ (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) ≤ (⌊‘(𝐵 + (1 / 2)))) → (abs‘((𝑇𝐵) − (𝑇𝐴))) ≤ (abs‘(𝐵𝐴)))
81, 4dnicld2 33820 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑇𝐵) ∈ ℝ)
98recnd 10646 . . . . 5 (𝜑 → (𝑇𝐵) ∈ ℂ)
101, 2dnicld2 33820 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑇𝐴) ∈ ℝ)
1110recnd 10646 . . . . 5 (𝜑 → (𝑇𝐴) ∈ ℂ)
129, 11abssubd 14792 . . . 4 (𝜑 → (abs‘((𝑇𝐵) − (𝑇𝐴))) = (abs‘((𝑇𝐴) − (𝑇𝐵))))
1312adantr 484 . . 3 ((𝜑 ∧ (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) ≤ (⌊‘(𝐴 + (1 / 2)))) → (abs‘((𝑇𝐵) − (𝑇𝐴))) = (abs‘((𝑇𝐴) − (𝑇𝐵))))
144adantr 484 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) ≤ (⌊‘(𝐴 + (1 / 2)))) → 𝐵 ∈ ℝ)
152adantr 484 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) ≤ (⌊‘(𝐴 + (1 / 2)))) → 𝐴 ∈ ℝ)
16 simpr 488 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) ≤ (⌊‘(𝐴 + (1 / 2)))) → (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) ≤ (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))))
171, 14, 15, 16dnibndlem13 33837 . . . 4 ((𝜑 ∧ (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) ≤ (⌊‘(𝐴 + (1 / 2)))) → (abs‘((𝑇𝐴) − (𝑇𝐵))) ≤ (abs‘(𝐴𝐵)))
182recnd 10646 . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
194recnd 10646 . . . . . 6 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
2018, 19abssubd 14792 . . . . 5 (𝜑 → (abs‘(𝐴𝐵)) = (abs‘(𝐵𝐴)))
2120adantr 484 . . . 4 ((𝜑 ∧ (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) ≤ (⌊‘(𝐴 + (1 / 2)))) → (abs‘(𝐴𝐵)) = (abs‘(𝐵𝐴)))
2217, 21breqtrd 5065 . . 3 ((𝜑 ∧ (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) ≤ (⌊‘(𝐴 + (1 / 2)))) → (abs‘((𝑇𝐴) − (𝑇𝐵))) ≤ (abs‘(𝐵𝐴)))
2313, 22eqbrtrd 5061 . 2 ((𝜑 ∧ (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) ≤ (⌊‘(𝐴 + (1 / 2)))) → (abs‘((𝑇𝐵) − (𝑇𝐴))) ≤ (abs‘(𝐵𝐴)))
24 halfre 11829 . . . . . 6 (1 / 2) ∈ ℝ
2524a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (1 / 2) ∈ ℝ)
262, 25readdcld 10647 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 + (1 / 2)) ∈ ℝ)
27 reflcl 13149 . . . 4 ((𝐴 + (1 / 2)) ∈ ℝ → (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) ∈ ℝ)
2826, 27syl 17 . . 3 (𝜑 → (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) ∈ ℝ)
294, 25readdcld 10647 . . . 4 (𝜑 → (𝐵 + (1 / 2)) ∈ ℝ)
30 reflcl 13149 . . . 4 ((𝐵 + (1 / 2)) ∈ ℝ → (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) ∈ ℝ)
3129, 30syl 17 . . 3 (𝜑 → (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) ∈ ℝ)
3228, 31letrid 10769 . 2 (𝜑 → ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) ≤ (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) ∨ (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) ≤ (⌊‘(𝐴 + (1 / 2)))))
337, 23, 32mpjaodan 956 1 (𝜑 → (abs‘((𝑇𝐵) − (𝑇𝐴))) ≤ (abs‘(𝐵𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399   = wceq 1538  wcel 2115   class class class wbr 5039  cmpt 5119  cfv 6328  (class class class)co 7130  cr 10513  1c1 10515   + caddc 10517  cle 10653  cmin 10847   / cdiv 11274  2c2 11670  cfl 13143  abscabs 14572
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2178  ax-ext 2793  ax-sep 5176  ax-nul 5183  ax-pow 5239  ax-pr 5303  ax-un 7436  ax-cnex 10570  ax-resscn 10571  ax-1cn 10572  ax-icn 10573  ax-addcl 10574  ax-addrcl 10575  ax-mulcl 10576  ax-mulrcl 10577  ax-mulcom 10578  ax-addass 10579  ax-mulass 10580  ax-distr 10581  ax-i2m1 10582  ax-1ne0 10583  ax-1rid 10584  ax-rnegex 10585  ax-rrecex 10586  ax-cnre 10587  ax-pre-lttri 10588  ax-pre-lttrn 10589  ax-pre-ltadd 10590  ax-pre-mulgt0 10591  ax-pre-sup 10592
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2623  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2892  df-nfc 2960  df-ne 3008  df-nel 3112  df-ral 3131  df-rex 3132  df-reu 3133  df-rmo 3134  df-rab 3135  df-v 3473  df-sbc 3750  df-csb 3858  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4267  df-if 4441  df-pw 4514  df-sn 4541  df-pr 4543  df-tp 4545  df-op 4547  df-uni 4812  df-iun 4894  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5120  df-tr 5146  df-id 5433  df-eprel 5438  df-po 5447  df-so 5448  df-fr 5487  df-we 5489  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-pred 6121  df-ord 6167  df-on 6168  df-lim 6169  df-suc 6170  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7088  df-ov 7133  df-oprab 7134  df-mpo 7135  df-om 7556  df-2nd 7665  df-wrecs 7922  df-recs 7983  df-rdg 8021  df-er 8264  df-en 8485  df-dom 8486  df-sdom 8487  df-sup 8882  df-inf 8883  df-pnf 10654  df-mnf 10655  df-xr 10656  df-ltxr 10657  df-le 10658  df-sub 10849  df-neg 10850  df-div 11275  df-nn 11616  df-2 11678  df-3 11679  df-n0 11876  df-z 11960  df-uz 12222  df-rp 12368  df-fl 13145  df-seq 13353  df-exp 13414  df-cj 14437  df-re 14438  df-im 14439  df-sqrt 14573  df-abs 14574
This theorem is referenced by:  dnicn  33839  knoppndvlem11  33869
  Copyright terms: Public domain W3C validator