Theorem dnibnd 36492

Description: The "distance to nearest integer" function is 1-Lipschitz continuous, i.e., is a short map. (Contributed by Asger C. Ipsen, 4-Apr-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
dnibnd.1	⊢ 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
dnibnd.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
dnibnd.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
dnibnd	⊢ (𝜑 → (abs‘((𝑇‘𝐵) − (𝑇‘𝐴))) ≤ (abs‘(𝐵 − 𝐴)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝑇(𝑥)

Proof of Theorem dnibnd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dnibnd.1	. . 3 ⊢ 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
2		dnibnd.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3	2	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) ≤ (⌊‘(𝐵 + (1 / 2)))) → 𝐴 ∈ ℝ)
4		dnibnd.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
5	4	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) ≤ (⌊‘(𝐵 + (1 / 2)))) → 𝐵 ∈ ℝ)
6		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) ≤ (⌊‘(𝐵 + (1 / 2)))) → (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) ≤ (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))))
7	1, 3, 5, 6	dnibndlem13 36491	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) ≤ (⌊‘(𝐵 + (1 / 2)))) → (abs‘((𝑇‘𝐵) − (𝑇‘𝐴))) ≤ (abs‘(𝐵 − 𝐴)))
8	1, 4	dnicld2 36474	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑇‘𝐵) ∈ ℝ)
9	8	recnd 11289	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑇‘𝐵) ∈ ℂ)
10	1, 2	dnicld2 36474	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑇‘𝐴) ∈ ℝ)
11	10	recnd 11289	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑇‘𝐴) ∈ ℂ)
12	9, 11	abssubd 15492	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (abs‘((𝑇‘𝐵) − (𝑇‘𝐴))) = (abs‘((𝑇‘𝐴) − (𝑇‘𝐵))))
13	12	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) ≤ (⌊‘(𝐴 + (1 / 2)))) → (abs‘((𝑇‘𝐵) − (𝑇‘𝐴))) = (abs‘((𝑇‘𝐴) − (𝑇‘𝐵))))
14	4	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) ≤ (⌊‘(𝐴 + (1 / 2)))) → 𝐵 ∈ ℝ)
15	2	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) ≤ (⌊‘(𝐴 + (1 / 2)))) → 𝐴 ∈ ℝ)
16		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) ≤ (⌊‘(𝐴 + (1 / 2)))) → (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) ≤ (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))))
17	1, 14, 15, 16	dnibndlem13 36491	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) ≤ (⌊‘(𝐴 + (1 / 2)))) → (abs‘((𝑇‘𝐴) − (𝑇‘𝐵))) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝐵)))
18	2	recnd 11289	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
19	4	recnd 11289	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
20	18, 19	abssubd 15492	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐴 − 𝐵)) = (abs‘(𝐵 − 𝐴)))
21	20	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) ≤ (⌊‘(𝐴 + (1 / 2)))) → (abs‘(𝐴 − 𝐵)) = (abs‘(𝐵 − 𝐴)))
22	17, 21	breqtrd 5169	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) ≤ (⌊‘(𝐴 + (1 / 2)))) → (abs‘((𝑇‘𝐴) − (𝑇‘𝐵))) ≤ (abs‘(𝐵 − 𝐴)))
23	13, 22	eqbrtrd 5165	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) ≤ (⌊‘(𝐴 + (1 / 2)))) → (abs‘((𝑇‘𝐵) − (𝑇‘𝐴))) ≤ (abs‘(𝐵 − 𝐴)))
24		halfre 12480	. . . . . 6 ⊢ (1 / 2) ∈ ℝ
25	24	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1 / 2) ∈ ℝ)
26	2, 25	readdcld 11290	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + (1 / 2)) ∈ ℝ)
27		reflcl 13836	. . . 4 ⊢ ((𝐴 + (1 / 2)) ∈ ℝ → (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) ∈ ℝ)
28	26, 27	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) ∈ ℝ)
29	4, 25	readdcld 11290	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 + (1 / 2)) ∈ ℝ)
30		reflcl 13836	. . . 4 ⊢ ((𝐵 + (1 / 2)) ∈ ℝ → (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) ∈ ℝ)
31	29, 30	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) ∈ ℝ)
32	28, 31	letrid 11413	. 2 ⊢ (𝜑 → ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) ≤ (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) ∨ (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) ≤ (⌊‘(𝐴 + (1 / 2)))))
33	7, 23, 32	mpjaodan 961	1 ⊢ (𝜑 → (abs‘((𝑇‘𝐵) − (𝑇‘𝐴))) ≤ (abs‘(𝐵 − 𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5143   ↦ cmpt 5225  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  ℝcr 11154  1c1 11156   + caddc 11158   ≤ cle 11296   − cmin 11492   / cdiv 11920  2c2 12321  ⌊cfl 13830  abscabs 15273

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-sup 9482  df-inf 9483  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-rp 13035  df-fl 13832  df-seq 14043  df-exp 14103  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275

This theorem is referenced by:  dnicn  36493  knoppndvlem11  36523