Users' Mathboxes Mathbox for Asger C. Ipsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dnibnd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dnibnd 36457
Description: The "distance to nearest integer" function is 1-Lipschitz continuous, i.e., is a short map. (Contributed by Asger C. Ipsen, 4-Apr-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
dnibnd.1 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
dnibnd.2 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
dnibnd.3 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
dnibnd (𝜑 → (abs‘((𝑇𝐵) − (𝑇𝐴))) ≤ (abs‘(𝐵𝐴)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝑇(𝑥)

Proof of Theorem dnibnd
StepHypRef Expression
1 dnibnd.1 . . 3 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
2 dnibnd.2 . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
32adantr 480 . . 3 ((𝜑 ∧ (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) ≤ (⌊‘(𝐵 + (1 / 2)))) → 𝐴 ∈ ℝ)
4 dnibnd.3 . . . 4 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
54adantr 480 . . 3 ((𝜑 ∧ (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) ≤ (⌊‘(𝐵 + (1 / 2)))) → 𝐵 ∈ ℝ)
6 simpr 484 . . 3 ((𝜑 ∧ (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) ≤ (⌊‘(𝐵 + (1 / 2)))) → (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) ≤ (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))))
71, 3, 5, 6dnibndlem13 36456 . 2 ((𝜑 ∧ (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) ≤ (⌊‘(𝐵 + (1 / 2)))) → (abs‘((𝑇𝐵) − (𝑇𝐴))) ≤ (abs‘(𝐵𝐴)))
81, 4dnicld2 36439 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑇𝐵) ∈ ℝ)
98recnd 11318 . . . . 5 (𝜑 → (𝑇𝐵) ∈ ℂ)
101, 2dnicld2 36439 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑇𝐴) ∈ ℝ)
1110recnd 11318 . . . . 5 (𝜑 → (𝑇𝐴) ∈ ℂ)
129, 11abssubd 15502 . . . 4 (𝜑 → (abs‘((𝑇𝐵) − (𝑇𝐴))) = (abs‘((𝑇𝐴) − (𝑇𝐵))))
1312adantr 480 . . 3 ((𝜑 ∧ (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) ≤ (⌊‘(𝐴 + (1 / 2)))) → (abs‘((𝑇𝐵) − (𝑇𝐴))) = (abs‘((𝑇𝐴) − (𝑇𝐵))))
144adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) ≤ (⌊‘(𝐴 + (1 / 2)))) → 𝐵 ∈ ℝ)
152adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) ≤ (⌊‘(𝐴 + (1 / 2)))) → 𝐴 ∈ ℝ)
16 simpr 484 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) ≤ (⌊‘(𝐴 + (1 / 2)))) → (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) ≤ (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))))
171, 14, 15, 16dnibndlem13 36456 . . . 4 ((𝜑 ∧ (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) ≤ (⌊‘(𝐴 + (1 / 2)))) → (abs‘((𝑇𝐴) − (𝑇𝐵))) ≤ (abs‘(𝐴𝐵)))
182recnd 11318 . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
194recnd 11318 . . . . . 6 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
2018, 19abssubd 15502 . . . . 5 (𝜑 → (abs‘(𝐴𝐵)) = (abs‘(𝐵𝐴)))
2120adantr 480 . . . 4 ((𝜑 ∧ (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) ≤ (⌊‘(𝐴 + (1 / 2)))) → (abs‘(𝐴𝐵)) = (abs‘(𝐵𝐴)))
2217, 21breqtrd 5192 . . 3 ((𝜑 ∧ (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) ≤ (⌊‘(𝐴 + (1 / 2)))) → (abs‘((𝑇𝐴) − (𝑇𝐵))) ≤ (abs‘(𝐵𝐴)))
2313, 22eqbrtrd 5188 . 2 ((𝜑 ∧ (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) ≤ (⌊‘(𝐴 + (1 / 2)))) → (abs‘((𝑇𝐵) − (𝑇𝐴))) ≤ (abs‘(𝐵𝐴)))
24 halfre 12507 . . . . . 6 (1 / 2) ∈ ℝ
2524a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (1 / 2) ∈ ℝ)
262, 25readdcld 11319 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 + (1 / 2)) ∈ ℝ)
27 reflcl 13847 . . . 4 ((𝐴 + (1 / 2)) ∈ ℝ → (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) ∈ ℝ)
2826, 27syl 17 . . 3 (𝜑 → (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) ∈ ℝ)
294, 25readdcld 11319 . . . 4 (𝜑 → (𝐵 + (1 / 2)) ∈ ℝ)
30 reflcl 13847 . . . 4 ((𝐵 + (1 / 2)) ∈ ℝ → (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) ∈ ℝ)
3129, 30syl 17 . . 3 (𝜑 → (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) ∈ ℝ)
3228, 31letrid 11442 . 2 (𝜑 → ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) ≤ (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) ∨ (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) ≤ (⌊‘(𝐴 + (1 / 2)))))
337, 23, 32mpjaodan 959 1 (𝜑 → (abs‘((𝑇𝐵) − (𝑇𝐴))) ≤ (abs‘(𝐵𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1537  wcel 2108   class class class wbr 5166  cmpt 5249  cfv 6573  (class class class)co 7448  cr 11183  1c1 11185   + caddc 11187  cle 11325  cmin 11520   / cdiv 11947  2c2 12348  cfl 13841  abscabs 15283
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261  ax-pre-sup 11262
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-sup 9511  df-inf 9512  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-div 11948  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-n0 12554  df-z 12640  df-uz 12904  df-rp 13058  df-fl 13843  df-seq 14053  df-exp 14113  df-cj 15148  df-re 15149  df-im 15150  df-sqrt 15284  df-abs 15285
This theorem is referenced by:  dnicn  36458  knoppndvlem11  36488
  Copyright terms: Public domain W3C validator