Theorem dnibnd 36220

Description: The "distance to nearest integer" function is 1-Lipschitz continuous, i.e., is a short map. (Contributed by Asger C. Ipsen, 4-Apr-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
dnibnd.1	⊢ 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
dnibnd.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
dnibnd.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
dnibnd	⊢ (𝜑 → (abs‘((𝑇‘𝐵) − (𝑇‘𝐴))) ≤ (abs‘(𝐵 − 𝐴)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝑇(𝑥)

Proof of Theorem dnibnd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dnibnd.1	. . 3 ⊢ 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
2		dnibnd.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3	2	adantr 479	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) ≤ (⌊‘(𝐵 + (1 / 2)))) → 𝐴 ∈ ℝ)
4		dnibnd.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
5	4	adantr 479	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) ≤ (⌊‘(𝐵 + (1 / 2)))) → 𝐵 ∈ ℝ)
6		simpr 483	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) ≤ (⌊‘(𝐵 + (1 / 2)))) → (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) ≤ (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))))
7	1, 3, 5, 6	dnibndlem13 36219	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) ≤ (⌊‘(𝐵 + (1 / 2)))) → (abs‘((𝑇‘𝐵) − (𝑇‘𝐴))) ≤ (abs‘(𝐵 − 𝐴)))
8	1, 4	dnicld2 36202	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑇‘𝐵) ∈ ℝ)
9	8	recnd 11296	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑇‘𝐵) ∈ ℂ)
10	1, 2	dnicld2 36202	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑇‘𝐴) ∈ ℝ)
11	10	recnd 11296	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑇‘𝐴) ∈ ℂ)
12	9, 11	abssubd 15466	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (abs‘((𝑇‘𝐵) − (𝑇‘𝐴))) = (abs‘((𝑇‘𝐴) − (𝑇‘𝐵))))
13	12	adantr 479	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) ≤ (⌊‘(𝐴 + (1 / 2)))) → (abs‘((𝑇‘𝐵) − (𝑇‘𝐴))) = (abs‘((𝑇‘𝐴) − (𝑇‘𝐵))))
14	4	adantr 479	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) ≤ (⌊‘(𝐴 + (1 / 2)))) → 𝐵 ∈ ℝ)
15	2	adantr 479	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) ≤ (⌊‘(𝐴 + (1 / 2)))) → 𝐴 ∈ ℝ)
16		simpr 483	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) ≤ (⌊‘(𝐴 + (1 / 2)))) → (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) ≤ (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))))
17	1, 14, 15, 16	dnibndlem13 36219	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) ≤ (⌊‘(𝐴 + (1 / 2)))) → (abs‘((𝑇‘𝐴) − (𝑇‘𝐵))) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝐵)))
18	2	recnd 11296	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
19	4	recnd 11296	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
20	18, 19	abssubd 15466	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐴 − 𝐵)) = (abs‘(𝐵 − 𝐴)))
21	20	adantr 479	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) ≤ (⌊‘(𝐴 + (1 / 2)))) → (abs‘(𝐴 − 𝐵)) = (abs‘(𝐵 − 𝐴)))
22	17, 21	breqtrd 5179	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) ≤ (⌊‘(𝐴 + (1 / 2)))) → (abs‘((𝑇‘𝐴) − (𝑇‘𝐵))) ≤ (abs‘(𝐵 − 𝐴)))
23	13, 22	eqbrtrd 5175	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) ≤ (⌊‘(𝐴 + (1 / 2)))) → (abs‘((𝑇‘𝐵) − (𝑇‘𝐴))) ≤ (abs‘(𝐵 − 𝐴)))
24		halfre 12485	. . . . . 6 ⊢ (1 / 2) ∈ ℝ
25	24	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1 / 2) ∈ ℝ)
26	2, 25	readdcld 11297	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + (1 / 2)) ∈ ℝ)
27		reflcl 13823	. . . 4 ⊢ ((𝐴 + (1 / 2)) ∈ ℝ → (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) ∈ ℝ)
28	26, 27	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) ∈ ℝ)
29	4, 25	readdcld 11297	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 + (1 / 2)) ∈ ℝ)
30		reflcl 13823	. . . 4 ⊢ ((𝐵 + (1 / 2)) ∈ ℝ → (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) ∈ ℝ)
31	29, 30	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) ∈ ℝ)
32	28, 31	letrid 11420	. 2 ⊢ (𝜑 → ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) ≤ (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) ∨ (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) ≤ (⌊‘(𝐴 + (1 / 2)))))
33	7, 23, 32	mpjaodan 956	1 ⊢ (𝜑 → (abs‘((𝑇‘𝐵) − (𝑇‘𝐴))) ≤ (abs‘(𝐵 − 𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1534   ∈ wcel 2100   class class class wbr 5153   ↦ cmpt 5236  ‘cfv 6555  (class class class)co 7425  ℝcr 11161  1c1 11163   + caddc 11165   ≤ cle 11303   − cmin 11498   / cdiv 11925  2c2 12326  ⌊cfl 13817  abscabs 15247

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2102  ax-9 2110  ax-10 2133  ax-11 2150  ax-12 2170  ax-ext 2700  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5434  ax-un 7746  ax-cnex 11218  ax-resscn 11219  ax-1cn 11220  ax-icn 11221  ax-addcl 11222  ax-addrcl 11223  ax-mulcl 11224  ax-mulrcl 11225  ax-mulcom 11226  ax-addass 11227  ax-mulass 11228  ax-distr 11229  ax-i2m1 11230  ax-1ne0 11231  ax-1rid 11232  ax-rnegex 11233  ax-rrecex 11234  ax-cnre 11235  ax-pre-lttri 11236  ax-pre-lttrn 11237  ax-pre-ltadd 11238  ax-pre-mulgt0 11239  ax-pre-sup 11240

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2062  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2707  df-cleq 2721  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2934  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3064  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3428  df-v 3473  df-sbc 3786  df-csb 3902  df-dif 3959  df-un 3961  df-in 3963  df-ss 3973  df-pss 3976  df-nul 4333  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-op 4640  df-uni 4916  df-iun 5005  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-tr 5271  df-id 5581  df-eprel 5587  df-po 5595  df-so 5596  df-fr 5638  df-we 5640  df-xp 5689  df-rel 5690  df-cnv 5691  df-co 5692  df-dm 5693  df-rn 5694  df-res 5695  df-ima 5696  df-pred 6314  df-ord 6380  df-on 6381  df-lim 6382  df-suc 6383  df-iota 6507  df-fun 6557  df-fn 6558  df-f 6559  df-f1 6560  df-fo 6561  df-f1o 6562  df-fv 6563  df-riota 7381  df-ov 7428  df-oprab 7429  df-mpo 7430  df-om 7880  df-2nd 8007  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8404  df-rdg 8443  df-er 8737  df-en 8978  df-dom 8979  df-sdom 8980  df-sup 9489  df-inf 9490  df-pnf 11304  df-mnf 11305  df-xr 11306  df-ltxr 11307  df-le 11308  df-sub 11500  df-neg 11501  df-div 11926  df-nn 12272  df-2 12334  df-3 12335  df-n0 12532  df-z 12618  df-uz 12882  df-rp 13036  df-fl 13819  df-seq 14029  df-exp 14089  df-cj 15112  df-re 15113  df-im 15114  df-sqrt 15248  df-abs 15249

This theorem is referenced by:  dnicn  36221  knoppndvlem11  36251