Theorem dnibnd 37357

Description: The "distance to nearest integer" function is 1-Lipschitz continuous, i.e., is a short map. (Contributed by Asger C. Ipsen, 4-Apr-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
dnibnd.1	⊢ 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
dnibnd.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
dnibnd.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
dnibnd	⊢ (𝜑 → (abs‘((𝑇‘𝐵) − (𝑇‘𝐴))) ≤ (abs‘(𝐵 − 𝐴)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝑇(𝑥)

Proof of Theorem dnibnd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dnibnd.1	. . 3 ⊢ 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
2		dnibnd.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3	2	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) ≤ (⌊‘(𝐵 + (1 / 2)))) → 𝐴 ∈ ℝ)
4		dnibnd.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
5	4	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) ≤ (⌊‘(𝐵 + (1 / 2)))) → 𝐵 ∈ ℝ)
6		simpr 490	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) ≤ (⌊‘(𝐵 + (1 / 2)))) → (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) ≤ (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))))
7	1, 3, 5, 6	dnibndlem13 37356	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) ≤ (⌊‘(𝐵 + (1 / 2)))) → (abs‘((𝑇‘𝐵) − (𝑇‘𝐴))) ≤ (abs‘(𝐵 − 𝐴)))
8	1, 4	dnicld2 37339	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑇‘𝐵) ∈ ℝ)
9	8	recnd 11337	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑇‘𝐵) ∈ ℂ)
10	1, 2	dnicld2 37339	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑇‘𝐴) ∈ ℝ)
11	10	recnd 11337	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑇‘𝐴) ∈ ℂ)
12	9, 11	abssubd 15623	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (abs‘((𝑇‘𝐵) − (𝑇‘𝐴))) = (abs‘((𝑇‘𝐴) − (𝑇‘𝐵))))
13	12	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) ≤ (⌊‘(𝐴 + (1 / 2)))) → (abs‘((𝑇‘𝐵) − (𝑇‘𝐴))) = (abs‘((𝑇‘𝐴) − (𝑇‘𝐵))))
14	4	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) ≤ (⌊‘(𝐴 + (1 / 2)))) → 𝐵 ∈ ℝ)
15	2	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) ≤ (⌊‘(𝐴 + (1 / 2)))) → 𝐴 ∈ ℝ)
16		simpr 490	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) ≤ (⌊‘(𝐴 + (1 / 2)))) → (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) ≤ (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))))
17	1, 14, 15, 16	dnibndlem13 37356	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) ≤ (⌊‘(𝐴 + (1 / 2)))) → (abs‘((𝑇‘𝐴) − (𝑇‘𝐵))) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝐵)))
18	2	recnd 11337	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
19	4	recnd 11337	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
20	18, 19	abssubd 15623	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐴 − 𝐵)) = (abs‘(𝐵 − 𝐴)))
21	20	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) ≤ (⌊‘(𝐴 + (1 / 2)))) → (abs‘(𝐴 − 𝐵)) = (abs‘(𝐵 − 𝐴)))
22	17, 21	breqtrd 5130	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) ≤ (⌊‘(𝐴 + (1 / 2)))) → (abs‘((𝑇‘𝐴) − (𝑇‘𝐵))) ≤ (abs‘(𝐵 − 𝐴)))
23	13, 22	eqbrtrd 5126	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) ≤ (⌊‘(𝐴 + (1 / 2)))) → (abs‘((𝑇‘𝐵) − (𝑇‘𝐴))) ≤ (abs‘(𝐵 − 𝐴)))
24		halfre 12559	. . . . . 6 ⊢ (1 / 2) ∈ ℝ
25	24	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1 / 2) ∈ ℝ)
26	2, 25	readdcld 11338	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + (1 / 2)) ∈ ℝ)
27		reflcl 13936	. . . 4 ⊢ ((𝐴 + (1 / 2)) ∈ ℝ → (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) ∈ ℝ)
28	26, 27	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) ∈ ℝ)
29	4, 25	readdcld 11338	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 + (1 / 2)) ∈ ℝ)
30		reflcl 13936	. . . 4 ⊢ ((𝐵 + (1 / 2)) ∈ ℝ → (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) ∈ ℝ)
31	29, 30	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) ∈ ℝ)
32	28, 31	letrid 11462	. 2 ⊢ (𝜑 → ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) ≤ (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) ∨ (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) ≤ (⌊‘(𝐴 + (1 / 2)))))
33	7, 23, 32	mpjaodan 973	1 ⊢ (𝜑 → (abs‘((𝑇‘𝐵) − (𝑇‘𝐴))) ≤ (abs‘(𝐵 − 𝐴)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   class class class wbr 5102   ↦ cmpt 5185  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  ℝcr 11199  1c1 11201   + caddc 11203   ≤ cle 11344   − cmin 11541   / cdiv 11973  2c2 12397  ⌊cfl 13930  abscabs 15401

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277  ax-pre-sup 11278

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-er 8717  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-sup 9434  df-inf 9435  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-div 11974  df-nn 12336  df-2 12405  df-3 12406  df-n0 12607  df-z 12694  df-uz 12966  df-rp 13121  df-fl 13932  df-seq 14145  df-exp 14205  df-cj 15266  df-re 15267  df-im 15268  df-sqrt 15402  df-abs 15403

This theorem is used by:  dnicn  37358  knoppndvlem11  37388