Theorem dnibndlem2 36800

Description: Lemma for dnibnd 36812. (Contributed by Asger C. Ipsen, 4-Apr-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
dnibndlem2.1	⊢ 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
dnibndlem2.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
dnibndlem2.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
dnibndlem2.4	⊢ (𝜑 → (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) = (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))))

Assertion

Ref	Expression
dnibndlem2	⊢ (𝜑 → (abs‘((𝑇‘𝐵) − (𝑇‘𝐴))) ≤ (abs‘(𝐵 − 𝐴)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝑇(𝑥)

Proof of Theorem dnibndlem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dnibndlem2.3	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
2		halfre 12385	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1 / 2) ∈ ℝ
3	2	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (1 / 2) ∈ ℝ)
4	1, 3	jca 517	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ ℝ ∧ (1 / 2) ∈ ℝ))
5		readdcl 11116	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ (1 / 2) ∈ ℝ) → (𝐵 + (1 / 2)) ∈ ℝ)
6	4, 5	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐵 + (1 / 2)) ∈ ℝ)
7		reflcl 13750	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 + (1 / 2)) ∈ ℝ → (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) ∈ ℝ)
8	6, 7	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) ∈ ℝ)
9	8	recnd 11168	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) ∈ ℂ)
10	1	recnd 11168	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
11	9, 10	subcld 11500	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵) ∈ ℂ)
12	11	abscld 15396	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵)) ∈ ℝ)
13	12	recnd 11168	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵)) ∈ ℂ)
14		dnibndlem2.4	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) = (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))))
15	14, 9	eqeltrrd 2842	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) ∈ ℂ)
16		dnibndlem2.2	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
17	16	recnd 11168	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
18	15, 17	subcld 11500	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴) ∈ ℂ)
19	18	abscld 15396	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)) ∈ ℝ)
20	19	recnd 11168	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)) ∈ ℂ)
21	13, 20	subcld 11500	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵)) − (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴))) ∈ ℂ)
22	21	abscld 15396	. . 3 ⊢ (𝜑 → (abs‘((abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵)) − (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)))) ∈ ℝ)
23	11, 18	subcld 11500	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵) − ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)) ∈ ℂ)
24	23	abscld 15396	. . 3 ⊢ (𝜑 → (abs‘(((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵) − ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴))) ∈ ℝ)
25	10, 17	subcld 11500	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐴) ∈ ℂ)
26	25	abscld 15396	. . 3 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐵 − 𝐴)) ∈ ℝ)
27	11, 18	abs2difabsd 15419	. . 3 ⊢ (𝜑 → (abs‘((abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵)) − (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)))) ≤ (abs‘(((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵) − ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴))))
28	9, 17, 10	nnncan1d 11534	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐴) − ((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵)) = (𝐵 − 𝐴))
29	28	eqcomd 2747	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐴) = (((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐴) − ((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵)))
30	29	fveq2d 6835	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐵 − 𝐴)) = (abs‘(((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐴) − ((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵))))
31	14	oveq1d 7375	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐴) = ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴))
32	31	oveq1d 7375	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐴) − ((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵)) = (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴) − ((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵)))
33	32	fveq2d 6835	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (abs‘(((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐴) − ((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵))) = (abs‘(((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴) − ((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵))))
34	18, 11	abssubd 15413	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (abs‘(((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴) − ((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵))) = (abs‘(((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵) − ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴))))
35	30, 33, 34	3eqtrd 2780	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐵 − 𝐴)) = (abs‘(((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵) − ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴))))
36	26	leidd 11711	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐵 − 𝐴)) ≤ (abs‘(𝐵 − 𝐴)))
37	35, 36	eqbrtrrd 5099	. . 3 ⊢ (𝜑 → (abs‘(((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵) − ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴))) ≤ (abs‘(𝐵 − 𝐴)))
38	22, 24, 26, 27, 37	letrd 11298	. 2 ⊢ (𝜑 → (abs‘((abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵)) − (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)))) ≤ (abs‘(𝐵 − 𝐴)))
39		dnibndlem2.1	. . 3 ⊢ 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
40	39, 16, 1	dnibndlem1 36799	. 2 ⊢ (𝜑 → ((abs‘((𝑇‘𝐵) − (𝑇‘𝐴))) ≤ (abs‘(𝐵 − 𝐴)) ↔ (abs‘((abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵)) − (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)))) ≤ (abs‘(𝐵 − 𝐴))))
41	38, 40	mpbird 259	1 ⊢ (𝜑 → (abs‘((𝑇‘𝐵) − (𝑇‘𝐴))) ≤ (abs‘(𝐵 − 𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1548   ∈ wcel 2121   class class class wbr 5075   ↦ cmpt 5156  ‘cfv 6489  (class class class)co 7360  ℂcc 11031  ℝcr 11032  1c1 11034   + caddc 11036   ≤ cle 11175   − cmin 11372   / cdiv 11802  2c2 12231  ⌊cfl 13744  abscabs 15191

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-sep 5221  ax-nul 5231  ax-pow 5297  ax-pr 5365  ax-un 7682  ax-cnex 11089  ax-resscn 11090  ax-1cn 11091  ax-icn 11092  ax-addcl 11093  ax-addrcl 11094  ax-mulcl 11095  ax-mulrcl 11096  ax-mulcom 11097  ax-addass 11098  ax-mulass 11099  ax-distr 11100  ax-i2m1 11101  ax-1ne0 11102  ax-1rid 11103  ax-rnegex 11104  ax-rrecex 11105  ax-cnre 11106  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108  ax-pre-ltadd 11109  ax-pre-mulgt0 11110  ax-pre-sup 11111

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3or 1094  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3066  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-pss 3905  df-nul 4265  df-if 4458  df-pw 4534  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4842  df-iun 4926  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5157  df-tr 5183  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-2nd 7936  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-sup 9349  df-inf 9350  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-xr 11178  df-ltxr 11179  df-le 11180  df-sub 11374  df-neg 11375  df-div 11803  df-nn 12170  df-2 12239  df-3 12240  df-n0 12433  df-z 12520  df-uz 12784  df-rp 12938  df-fl 13746  df-seq 13959  df-exp 14019  df-cj 15056  df-re 15057  df-im 15058  df-sqrt 15192  df-abs 15193

This theorem is referenced by:  dnibndlem13  36811