Users' Mathboxes Mathbox for Asger C. Ipsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dnibndlem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dnibndlem2 34755
Description: Lemma for dnibnd 34767. (Contributed by Asger C. Ipsen, 4-Apr-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
dnibndlem2.1 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
dnibndlem2.2 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
dnibndlem2.3 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
dnibndlem2.4 (𝜑 → (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) = (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))))
Assertion
Ref Expression
dnibndlem2 (𝜑 → (abs‘((𝑇𝐵) − (𝑇𝐴))) ≤ (abs‘(𝐵𝐴)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝑇(𝑥)

Proof of Theorem dnibndlem2
StepHypRef Expression
1 dnibndlem2.3 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
2 halfre 12288 . . . . . . . . . . . . 13 (1 / 2) ∈ ℝ
32a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (1 / 2) ∈ ℝ)
41, 3jca 512 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐵 ∈ ℝ ∧ (1 / 2) ∈ ℝ))
5 readdcl 11055 . . . . . . . . . . 11 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ (1 / 2) ∈ ℝ) → (𝐵 + (1 / 2)) ∈ ℝ)
64, 5syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐵 + (1 / 2)) ∈ ℝ)
7 reflcl 13617 . . . . . . . . . 10 ((𝐵 + (1 / 2)) ∈ ℝ → (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) ∈ ℝ)
86, 7syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) ∈ ℝ)
98recnd 11104 . . . . . . . 8 (𝜑 → (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) ∈ ℂ)
101recnd 11104 . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
119, 10subcld 11433 . . . . . . 7 (𝜑 → ((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵) ∈ ℂ)
1211abscld 15247 . . . . . 6 (𝜑 → (abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵)) ∈ ℝ)
1312recnd 11104 . . . . 5 (𝜑 → (abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵)) ∈ ℂ)
14 dnibndlem2.4 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) = (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))))
1514, 9eqeltrrd 2838 . . . . . . . 8 (𝜑 → (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) ∈ ℂ)
16 dnibndlem2.2 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
1716recnd 11104 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
1815, 17subcld 11433 . . . . . . 7 (𝜑 → ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴) ∈ ℂ)
1918abscld 15247 . . . . . 6 (𝜑 → (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)) ∈ ℝ)
2019recnd 11104 . . . . 5 (𝜑 → (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)) ∈ ℂ)
2113, 20subcld 11433 . . . 4 (𝜑 → ((abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵)) − (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴))) ∈ ℂ)
2221abscld 15247 . . 3 (𝜑 → (abs‘((abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵)) − (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)))) ∈ ℝ)
2311, 18subcld 11433 . . . 4 (𝜑 → (((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵) − ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)) ∈ ℂ)
2423abscld 15247 . . 3 (𝜑 → (abs‘(((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵) − ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴))) ∈ ℝ)
2510, 17subcld 11433 . . . 4 (𝜑 → (𝐵𝐴) ∈ ℂ)
2625abscld 15247 . . 3 (𝜑 → (abs‘(𝐵𝐴)) ∈ ℝ)
2711, 18abs2difabsd 15270 . . 3 (𝜑 → (abs‘((abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵)) − (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)))) ≤ (abs‘(((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵) − ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴))))
289, 17, 10nnncan1d 11467 . . . . . . 7 (𝜑 → (((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐴) − ((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵)) = (𝐵𝐴))
2928eqcomd 2742 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐵𝐴) = (((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐴) − ((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵)))
3029fveq2d 6829 . . . . 5 (𝜑 → (abs‘(𝐵𝐴)) = (abs‘(((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐴) − ((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵))))
3114oveq1d 7352 . . . . . . 7 (𝜑 → ((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐴) = ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴))
3231oveq1d 7352 . . . . . 6 (𝜑 → (((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐴) − ((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵)) = (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴) − ((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵)))
3332fveq2d 6829 . . . . 5 (𝜑 → (abs‘(((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐴) − ((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵))) = (abs‘(((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴) − ((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵))))
3418, 11abssubd 15264 . . . . 5 (𝜑 → (abs‘(((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴) − ((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵))) = (abs‘(((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵) − ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴))))
3530, 33, 343eqtrd 2780 . . . 4 (𝜑 → (abs‘(𝐵𝐴)) = (abs‘(((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵) − ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴))))
3626leidd 11642 . . . 4 (𝜑 → (abs‘(𝐵𝐴)) ≤ (abs‘(𝐵𝐴)))
3735, 36eqbrtrrd 5116 . . 3 (𝜑 → (abs‘(((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵) − ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴))) ≤ (abs‘(𝐵𝐴)))
3822, 24, 26, 27, 37letrd 11233 . 2 (𝜑 → (abs‘((abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵)) − (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)))) ≤ (abs‘(𝐵𝐴)))
39 dnibndlem2.1 . . 3 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
4039, 16, 1dnibndlem1 34754 . 2 (𝜑 → ((abs‘((𝑇𝐵) − (𝑇𝐴))) ≤ (abs‘(𝐵𝐴)) ↔ (abs‘((abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵)) − (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)))) ≤ (abs‘(𝐵𝐴))))
4138, 40mpbird 256 1 (𝜑 → (abs‘((𝑇𝐵) − (𝑇𝐴))) ≤ (abs‘(𝐵𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1540  wcel 2105   class class class wbr 5092  cmpt 5175  cfv 6479  (class class class)co 7337  cc 10970  cr 10971  1c1 10973   + caddc 10975  cle 11111  cmin 11306   / cdiv 11733  2c2 12129  cfl 13611  abscabs 15044
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-sep 5243  ax-nul 5250  ax-pow 5308  ax-pr 5372  ax-un 7650  ax-cnex 11028  ax-resscn 11029  ax-1cn 11030  ax-icn 11031  ax-addcl 11032  ax-addrcl 11033  ax-mulcl 11034  ax-mulrcl 11035  ax-mulcom 11036  ax-addass 11037  ax-mulass 11038  ax-distr 11039  ax-i2m1 11040  ax-1ne0 11041  ax-1rid 11042  ax-rnegex 11043  ax-rrecex 11044  ax-cnre 11045  ax-pre-lttri 11046  ax-pre-lttrn 11047  ax-pre-ltadd 11048  ax-pre-mulgt0 11049  ax-pre-sup 11050
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3349  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3443  df-sbc 3728  df-csb 3844  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3917  df-nul 4270  df-if 4474  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4853  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5176  df-tr 5210  df-id 5518  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-pred 6238  df-ord 6305  df-on 6306  df-lim 6307  df-suc 6308  df-iota 6431  df-fun 6481  df-fn 6482  df-f 6483  df-f1 6484  df-fo 6485  df-f1o 6486  df-fv 6487  df-riota 7293  df-ov 7340  df-oprab 7341  df-mpo 7342  df-om 7781  df-2nd 7900  df-frecs 8167  df-wrecs 8198  df-recs 8272  df-rdg 8311  df-er 8569  df-en 8805  df-dom 8806  df-sdom 8807  df-sup 9299  df-inf 9300  df-pnf 11112  df-mnf 11113  df-xr 11114  df-ltxr 11115  df-le 11116  df-sub 11308  df-neg 11309  df-div 11734  df-nn 12075  df-2 12137  df-3 12138  df-n0 12335  df-z 12421  df-uz 12684  df-rp 12832  df-fl 13613  df-seq 13823  df-exp 13884  df-cj 14909  df-re 14910  df-im 14911  df-sqrt 15045  df-abs 15046
This theorem is referenced by:  dnibndlem13  34766
  Copyright terms: Public domain W3C validator