Users' Mathboxes Mathbox for Asger C. Ipsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dnibndlem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dnibndlem2 33826
Description: Lemma for dnibnd 33838. (Contributed by Asger C. Ipsen, 4-Apr-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
dnibndlem2.1 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
dnibndlem2.2 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
dnibndlem2.3 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
dnibndlem2.4 (𝜑 → (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) = (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))))
Assertion
Ref Expression
dnibndlem2 (𝜑 → (abs‘((𝑇𝐵) − (𝑇𝐴))) ≤ (abs‘(𝐵𝐴)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝑇(𝑥)

Proof of Theorem dnibndlem2
StepHypRef Expression
1 dnibndlem2.3 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
2 halfre 11830 . . . . . . . . . . . . 13 (1 / 2) ∈ ℝ
32a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (1 / 2) ∈ ℝ)
41, 3jca 514 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐵 ∈ ℝ ∧ (1 / 2) ∈ ℝ))
5 readdcl 10598 . . . . . . . . . . 11 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ (1 / 2) ∈ ℝ) → (𝐵 + (1 / 2)) ∈ ℝ)
64, 5syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐵 + (1 / 2)) ∈ ℝ)
7 reflcl 13150 . . . . . . . . . 10 ((𝐵 + (1 / 2)) ∈ ℝ → (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) ∈ ℝ)
86, 7syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) ∈ ℝ)
98recnd 10647 . . . . . . . 8 (𝜑 → (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) ∈ ℂ)
101recnd 10647 . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
119, 10subcld 10975 . . . . . . 7 (𝜑 → ((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵) ∈ ℂ)
1211abscld 14776 . . . . . 6 (𝜑 → (abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵)) ∈ ℝ)
1312recnd 10647 . . . . 5 (𝜑 → (abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵)) ∈ ℂ)
14 dnibndlem2.4 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) = (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))))
1514, 9eqeltrrd 2912 . . . . . . . 8 (𝜑 → (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) ∈ ℂ)
16 dnibndlem2.2 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
1716recnd 10647 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
1815, 17subcld 10975 . . . . . . 7 (𝜑 → ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴) ∈ ℂ)
1918abscld 14776 . . . . . 6 (𝜑 → (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)) ∈ ℝ)
2019recnd 10647 . . . . 5 (𝜑 → (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)) ∈ ℂ)
2113, 20subcld 10975 . . . 4 (𝜑 → ((abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵)) − (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴))) ∈ ℂ)
2221abscld 14776 . . 3 (𝜑 → (abs‘((abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵)) − (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)))) ∈ ℝ)
2311, 18subcld 10975 . . . 4 (𝜑 → (((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵) − ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)) ∈ ℂ)
2423abscld 14776 . . 3 (𝜑 → (abs‘(((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵) − ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴))) ∈ ℝ)
2510, 17subcld 10975 . . . 4 (𝜑 → (𝐵𝐴) ∈ ℂ)
2625abscld 14776 . . 3 (𝜑 → (abs‘(𝐵𝐴)) ∈ ℝ)
2711, 18abs2difabsd 14799 . . 3 (𝜑 → (abs‘((abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵)) − (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)))) ≤ (abs‘(((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵) − ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴))))
289, 17, 10nnncan1d 11009 . . . . . . 7 (𝜑 → (((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐴) − ((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵)) = (𝐵𝐴))
2928eqcomd 2826 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐵𝐴) = (((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐴) − ((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵)))
3029fveq2d 6650 . . . . 5 (𝜑 → (abs‘(𝐵𝐴)) = (abs‘(((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐴) − ((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵))))
3114oveq1d 7148 . . . . . . 7 (𝜑 → ((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐴) = ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴))
3231oveq1d 7148 . . . . . 6 (𝜑 → (((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐴) − ((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵)) = (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴) − ((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵)))
3332fveq2d 6650 . . . . 5 (𝜑 → (abs‘(((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐴) − ((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵))) = (abs‘(((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴) − ((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵))))
3418, 11abssubd 14793 . . . . 5 (𝜑 → (abs‘(((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴) − ((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵))) = (abs‘(((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵) − ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴))))
3530, 33, 343eqtrd 2859 . . . 4 (𝜑 → (abs‘(𝐵𝐴)) = (abs‘(((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵) − ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴))))
3626leidd 11184 . . . 4 (𝜑 → (abs‘(𝐵𝐴)) ≤ (abs‘(𝐵𝐴)))
3735, 36eqbrtrrd 5066 . . 3 (𝜑 → (abs‘(((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵) − ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴))) ≤ (abs‘(𝐵𝐴)))
3822, 24, 26, 27, 37letrd 10775 . 2 (𝜑 → (abs‘((abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵)) − (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)))) ≤ (abs‘(𝐵𝐴)))
39 dnibndlem2.1 . . 3 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
4039, 16, 1dnibndlem1 33825 . 2 (𝜑 → ((abs‘((𝑇𝐵) − (𝑇𝐴))) ≤ (abs‘(𝐵𝐴)) ↔ (abs‘((abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵)) − (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)))) ≤ (abs‘(𝐵𝐴))))
4138, 40mpbird 259 1 (𝜑 → (abs‘((𝑇𝐵) − (𝑇𝐴))) ≤ (abs‘(𝐵𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 398   = wceq 1537  wcel 2114   class class class wbr 5042  cmpt 5122  cfv 6331  (class class class)co 7133  cc 10513  cr 10514  1c1 10516   + caddc 10518  cle 10654  cmin 10848   / cdiv 11275  2c2 11671  cfl 13144  abscabs 14573
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2792  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5242  ax-pr 5306  ax-un 7439  ax-cnex 10571  ax-resscn 10572  ax-1cn 10573  ax-icn 10574  ax-addcl 10575  ax-addrcl 10576  ax-mulcl 10577  ax-mulrcl 10578  ax-mulcom 10579  ax-addass 10580  ax-mulass 10581  ax-distr 10582  ax-i2m1 10583  ax-1ne0 10584  ax-1rid 10585  ax-rnegex 10586  ax-rrecex 10587  ax-cnre 10588  ax-pre-lttri 10589  ax-pre-lttrn 10590  ax-pre-ltadd 10591  ax-pre-mulgt0 10592  ax-pre-sup 10593
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2799  df-cleq 2813  df-clel 2891  df-nfc 2959  df-ne 3007  df-nel 3111  df-ral 3130  df-rex 3131  df-reu 3132  df-rmo 3133  df-rab 3134  df-v 3475  df-sbc 3753  df-csb 3861  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3932  df-nul 4270  df-if 4444  df-pw 4517  df-sn 4544  df-pr 4546  df-tp 4548  df-op 4550  df-uni 4815  df-iun 4897  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-tr 5149  df-id 5436  df-eprel 5441  df-po 5450  df-so 5451  df-fr 5490  df-we 5492  df-xp 5537  df-rel 5538  df-cnv 5539  df-co 5540  df-dm 5541  df-rn 5542  df-res 5543  df-ima 5544  df-pred 6124  df-ord 6170  df-on 6171  df-lim 6172  df-suc 6173  df-iota 6290  df-fun 6333  df-fn 6334  df-f 6335  df-f1 6336  df-fo 6337  df-f1o 6338  df-fv 6339  df-riota 7091  df-ov 7136  df-oprab 7137  df-mpo 7138  df-om 7559  df-2nd 7668  df-wrecs 7925  df-recs 7986  df-rdg 8024  df-er 8267  df-en 8488  df-dom 8489  df-sdom 8490  df-sup 8884  df-inf 8885  df-pnf 10655  df-mnf 10656  df-xr 10657  df-ltxr 10658  df-le 10659  df-sub 10850  df-neg 10851  df-div 11276  df-nn 11617  df-2 11679  df-3 11680  df-n0 11877  df-z 11961  df-uz 12223  df-rp 12369  df-fl 13146  df-seq 13354  df-exp 13415  df-cj 14438  df-re 14439  df-im 14440  df-sqrt 14574  df-abs 14575
This theorem is referenced by:  dnibndlem13  33837
  Copyright terms: Public domain W3C validator