Users' Mathboxes Mathbox for Asger C. Ipsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dnibndlem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dnibndlem2 35863
Description: Lemma for dnibnd 35875. (Contributed by Asger C. Ipsen, 4-Apr-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
dnibndlem2.1 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
dnibndlem2.2 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
dnibndlem2.3 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
dnibndlem2.4 (𝜑 → (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) = (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))))
Assertion
Ref Expression
dnibndlem2 (𝜑 → (abs‘((𝑇𝐵) − (𝑇𝐴))) ≤ (abs‘(𝐵𝐴)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝑇(𝑥)

Proof of Theorem dnibndlem2
StepHypRef Expression
1 dnibndlem2.3 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
2 halfre 12430 . . . . . . . . . . . . 13 (1 / 2) ∈ ℝ
32a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (1 / 2) ∈ ℝ)
41, 3jca 511 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐵 ∈ ℝ ∧ (1 / 2) ∈ ℝ))
5 readdcl 11195 . . . . . . . . . . 11 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ (1 / 2) ∈ ℝ) → (𝐵 + (1 / 2)) ∈ ℝ)
64, 5syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐵 + (1 / 2)) ∈ ℝ)
7 reflcl 13767 . . . . . . . . . 10 ((𝐵 + (1 / 2)) ∈ ℝ → (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) ∈ ℝ)
86, 7syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) ∈ ℝ)
98recnd 11246 . . . . . . . 8 (𝜑 → (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) ∈ ℂ)
101recnd 11246 . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
119, 10subcld 11575 . . . . . . 7 (𝜑 → ((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵) ∈ ℂ)
1211abscld 15389 . . . . . 6 (𝜑 → (abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵)) ∈ ℝ)
1312recnd 11246 . . . . 5 (𝜑 → (abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵)) ∈ ℂ)
14 dnibndlem2.4 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) = (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))))
1514, 9eqeltrrd 2828 . . . . . . . 8 (𝜑 → (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) ∈ ℂ)
16 dnibndlem2.2 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
1716recnd 11246 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
1815, 17subcld 11575 . . . . . . 7 (𝜑 → ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴) ∈ ℂ)
1918abscld 15389 . . . . . 6 (𝜑 → (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)) ∈ ℝ)
2019recnd 11246 . . . . 5 (𝜑 → (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)) ∈ ℂ)
2113, 20subcld 11575 . . . 4 (𝜑 → ((abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵)) − (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴))) ∈ ℂ)
2221abscld 15389 . . 3 (𝜑 → (abs‘((abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵)) − (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)))) ∈ ℝ)
2311, 18subcld 11575 . . . 4 (𝜑 → (((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵) − ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)) ∈ ℂ)
2423abscld 15389 . . 3 (𝜑 → (abs‘(((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵) − ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴))) ∈ ℝ)
2510, 17subcld 11575 . . . 4 (𝜑 → (𝐵𝐴) ∈ ℂ)
2625abscld 15389 . . 3 (𝜑 → (abs‘(𝐵𝐴)) ∈ ℝ)
2711, 18abs2difabsd 15412 . . 3 (𝜑 → (abs‘((abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵)) − (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)))) ≤ (abs‘(((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵) − ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴))))
289, 17, 10nnncan1d 11609 . . . . . . 7 (𝜑 → (((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐴) − ((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵)) = (𝐵𝐴))
2928eqcomd 2732 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐵𝐴) = (((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐴) − ((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵)))
3029fveq2d 6889 . . . . 5 (𝜑 → (abs‘(𝐵𝐴)) = (abs‘(((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐴) − ((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵))))
3114oveq1d 7420 . . . . . . 7 (𝜑 → ((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐴) = ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴))
3231oveq1d 7420 . . . . . 6 (𝜑 → (((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐴) − ((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵)) = (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴) − ((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵)))
3332fveq2d 6889 . . . . 5 (𝜑 → (abs‘(((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐴) − ((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵))) = (abs‘(((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴) − ((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵))))
3418, 11abssubd 15406 . . . . 5 (𝜑 → (abs‘(((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴) − ((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵))) = (abs‘(((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵) − ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴))))
3530, 33, 343eqtrd 2770 . . . 4 (𝜑 → (abs‘(𝐵𝐴)) = (abs‘(((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵) − ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴))))
3626leidd 11784 . . . 4 (𝜑 → (abs‘(𝐵𝐴)) ≤ (abs‘(𝐵𝐴)))
3735, 36eqbrtrrd 5165 . . 3 (𝜑 → (abs‘(((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵) − ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴))) ≤ (abs‘(𝐵𝐴)))
3822, 24, 26, 27, 37letrd 11375 . 2 (𝜑 → (abs‘((abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵)) − (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)))) ≤ (abs‘(𝐵𝐴)))
39 dnibndlem2.1 . . 3 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
4039, 16, 1dnibndlem1 35862 . 2 (𝜑 → ((abs‘((𝑇𝐵) − (𝑇𝐴))) ≤ (abs‘(𝐵𝐴)) ↔ (abs‘((abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵)) − (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)))) ≤ (abs‘(𝐵𝐴))))
4138, 40mpbird 257 1 (𝜑 → (abs‘((𝑇𝐵) − (𝑇𝐴))) ≤ (abs‘(𝐵𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1533  wcel 2098   class class class wbr 5141  cmpt 5224  cfv 6537  (class class class)co 7405  cc 11110  cr 11111  1c1 11113   + caddc 11115  cle 11253  cmin 11448   / cdiv 11875  2c2 12271  cfl 13761  abscabs 15187
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-sup 9439  df-inf 9440  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-rp 12981  df-fl 13763  df-seq 13973  df-exp 14033  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189
This theorem is referenced by:  dnibndlem13  35874
  Copyright terms: Public domain W3C validator