Theorem dnibndlem2 36445

Description: Lemma for dnibnd 36457. (Contributed by Asger C. Ipsen, 4-Apr-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
dnibndlem2.1	⊢ 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
dnibndlem2.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
dnibndlem2.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
dnibndlem2.4	⊢ (𝜑 → (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) = (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))))

Assertion

Ref	Expression
dnibndlem2	⊢ (𝜑 → (abs‘((𝑇‘𝐵) − (𝑇‘𝐴))) ≤ (abs‘(𝐵 − 𝐴)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝑇(𝑥)

Proof of Theorem dnibndlem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dnibndlem2.3	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
2		halfre 12507	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1 / 2) ∈ ℝ
3	2	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (1 / 2) ∈ ℝ)
4	1, 3	jca 511	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ ℝ ∧ (1 / 2) ∈ ℝ))
5		readdcl 11267	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ (1 / 2) ∈ ℝ) → (𝐵 + (1 / 2)) ∈ ℝ)
6	4, 5	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐵 + (1 / 2)) ∈ ℝ)
7		reflcl 13847	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 + (1 / 2)) ∈ ℝ → (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) ∈ ℝ)
8	6, 7	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) ∈ ℝ)
9	8	recnd 11318	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) ∈ ℂ)
10	1	recnd 11318	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
11	9, 10	subcld 11647	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵) ∈ ℂ)
12	11	abscld 15485	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵)) ∈ ℝ)
13	12	recnd 11318	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵)) ∈ ℂ)
14		dnibndlem2.4	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) = (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))))
15	14, 9	eqeltrrd 2845	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) ∈ ℂ)
16		dnibndlem2.2	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
17	16	recnd 11318	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
18	15, 17	subcld 11647	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴) ∈ ℂ)
19	18	abscld 15485	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)) ∈ ℝ)
20	19	recnd 11318	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)) ∈ ℂ)
21	13, 20	subcld 11647	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵)) − (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴))) ∈ ℂ)
22	21	abscld 15485	. . 3 ⊢ (𝜑 → (abs‘((abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵)) − (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)))) ∈ ℝ)
23	11, 18	subcld 11647	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵) − ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)) ∈ ℂ)
24	23	abscld 15485	. . 3 ⊢ (𝜑 → (abs‘(((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵) − ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴))) ∈ ℝ)
25	10, 17	subcld 11647	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐴) ∈ ℂ)
26	25	abscld 15485	. . 3 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐵 − 𝐴)) ∈ ℝ)
27	11, 18	abs2difabsd 15508	. . 3 ⊢ (𝜑 → (abs‘((abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵)) − (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)))) ≤ (abs‘(((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵) − ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴))))
28	9, 17, 10	nnncan1d 11681	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐴) − ((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵)) = (𝐵 − 𝐴))
29	28	eqcomd 2746	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐴) = (((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐴) − ((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵)))
30	29	fveq2d 6924	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐵 − 𝐴)) = (abs‘(((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐴) − ((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵))))
31	14	oveq1d 7463	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐴) = ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴))
32	31	oveq1d 7463	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐴) − ((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵)) = (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴) − ((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵)))
33	32	fveq2d 6924	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (abs‘(((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐴) − ((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵))) = (abs‘(((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴) − ((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵))))
34	18, 11	abssubd 15502	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (abs‘(((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴) − ((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵))) = (abs‘(((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵) − ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴))))
35	30, 33, 34	3eqtrd 2784	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐵 − 𝐴)) = (abs‘(((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵) − ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴))))
36	26	leidd 11856	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐵 − 𝐴)) ≤ (abs‘(𝐵 − 𝐴)))
37	35, 36	eqbrtrrd 5190	. . 3 ⊢ (𝜑 → (abs‘(((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵) − ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴))) ≤ (abs‘(𝐵 − 𝐴)))
38	22, 24, 26, 27, 37	letrd 11447	. 2 ⊢ (𝜑 → (abs‘((abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵)) − (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)))) ≤ (abs‘(𝐵 − 𝐴)))
39		dnibndlem2.1	. . 3 ⊢ 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
40	39, 16, 1	dnibndlem1 36444	. 2 ⊢ (𝜑 → ((abs‘((𝑇‘𝐵) − (𝑇‘𝐴))) ≤ (abs‘(𝐵 − 𝐴)) ↔ (abs‘((abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵)) − (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)))) ≤ (abs‘(𝐵 − 𝐴))))
41	38, 40	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → (abs‘((𝑇‘𝐵) − (𝑇‘𝐴))) ≤ (abs‘(𝐵 − 𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5166   ↦ cmpt 5249  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  ℂcc 11182  ℝcr 11183  1c1 11185   + caddc 11187   ≤ cle 11325   − cmin 11520   / cdiv 11947  2c2 12348  ⌊cfl 13841  abscabs 15283

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261  ax-pre-sup 11262

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-sup 9511  df-inf 9512  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-div 11948  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-n0 12554  df-z 12640  df-uz 12904  df-rp 13058  df-fl 13843  df-seq 14053  df-exp 14113  df-cj 15148  df-re 15149  df-im 15150  df-sqrt 15284  df-abs 15285

This theorem is referenced by:  dnibndlem13  36456