Mathbox for Asger C. Ipsen < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dnibndlem12 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dnibndlem12 33012
 Description: Lemma for dnibnd 33014. (Contributed by Asger C. Ipsen, 4-Apr-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
dnibndlem12.1 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
dnibndlem12.2 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
dnibndlem12.3 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
dnibndlem12.4 (𝜑 → ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 2) ≤ (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))))
Assertion
Ref Expression
dnibndlem12 (𝜑 → (abs‘((𝑇𝐵) − (𝑇𝐴))) ≤ (abs‘(𝐵𝐴)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝑇(𝑥)

Proof of Theorem dnibndlem12
StepHypRef Expression
1 dnibndlem12.3 . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
21dnicld1 32995 . . . . . 6 (𝜑 → (abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵)) ∈ ℝ)
3 dnibndlem12.2 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
43dnicld1 32995 . . . . . 6 (𝜑 → (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)) ∈ ℝ)
52, 4resubcld 10782 . . . . 5 (𝜑 → ((abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵)) − (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴))) ∈ ℝ)
65recnd 10385 . . . 4 (𝜑 → ((abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵)) − (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴))) ∈ ℂ)
76abscld 14552 . . 3 (𝜑 → (abs‘((abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵)) − (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)))) ∈ ℝ)
8 1red 10357 . . 3 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
91, 3resubcld 10782 . . . . 5 (𝜑 → (𝐵𝐴) ∈ ℝ)
109recnd 10385 . . . 4 (𝜑 → (𝐵𝐴) ∈ ℂ)
1110abscld 14552 . . 3 (𝜑 → (abs‘(𝐵𝐴)) ∈ ℝ)
128rehalfcld 11605 . . . 4 (𝜑 → (1 / 2) ∈ ℝ)
133, 1dnibndlem11 33011 . . . 4 (𝜑 → (abs‘((abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵)) − (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)))) ≤ (1 / 2))
14 halflt1 11576 . . . . . 6 (1 / 2) < 1
15 halfre 11572 . . . . . . . 8 (1 / 2) ∈ ℝ
16 1re 10356 . . . . . . . 8 1 ∈ ℝ
1715, 16pm3.2i 464 . . . . . . 7 ((1 / 2) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ)
18 ltle 10445 . . . . . . 7 (((1 / 2) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((1 / 2) < 1 → (1 / 2) ≤ 1))
1917, 18ax-mp 5 . . . . . 6 ((1 / 2) < 1 → (1 / 2) ≤ 1)
2014, 19ax-mp 5 . . . . 5 (1 / 2) ≤ 1
2120a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (1 / 2) ≤ 1)
227, 12, 8, 13, 21letrd 10513 . . 3 (𝜑 → (abs‘((abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵)) − (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)))) ≤ 1)
23 dnibndlem12.4 . . . . 5 (𝜑 → ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 2) ≤ (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))))
243, 1, 23dnibndlem10 33010 . . . 4 (𝜑 → 1 ≤ (𝐵𝐴))
259leabsd 14530 . . . 4 (𝜑 → (𝐵𝐴) ≤ (abs‘(𝐵𝐴)))
268, 9, 11, 24, 25letrd 10513 . . 3 (𝜑 → 1 ≤ (abs‘(𝐵𝐴)))
277, 8, 11, 22, 26letrd 10513 . 2 (𝜑 → (abs‘((abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵)) − (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)))) ≤ (abs‘(𝐵𝐴)))
28 dnibndlem12.1 . . 3 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
2928, 3, 1dnibndlem1 33001 . 2 (𝜑 → ((abs‘((𝑇𝐵) − (𝑇𝐴))) ≤ (abs‘(𝐵𝐴)) ↔ (abs‘((abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵)) − (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)))) ≤ (abs‘(𝐵𝐴))))
3027, 29mpbird 249 1 (𝜑 → (abs‘((𝑇𝐵) − (𝑇𝐴))) ≤ (abs‘(𝐵𝐴)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 386   = wceq 1658   ∈ wcel 2166   class class class wbr 4873   ↦ cmpt 4952  ‘cfv 6123  (class class class)co 6905  ℝcr 10251  1c1 10253   + caddc 10255   < clt 10391   ≤ cle 10392   − cmin 10585   / cdiv 11009  2c2 11406  ⌊cfl 12886  abscabs 14351 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2391  ax-ext 2803  ax-sep 5005  ax-nul 5013  ax-pow 5065  ax-pr 5127  ax-un 7209  ax-cnex 10308  ax-resscn 10309  ax-1cn 10310  ax-icn 10311  ax-addcl 10312  ax-addrcl 10313  ax-mulcl 10314  ax-mulrcl 10315  ax-mulcom 10316  ax-addass 10317  ax-mulass 10318  ax-distr 10319  ax-i2m1 10320  ax-1ne0 10321  ax-1rid 10322  ax-rnegex 10323  ax-rrecex 10324  ax-cnre 10325  ax-pre-lttri 10326  ax-pre-lttrn 10327  ax-pre-ltadd 10328  ax-pre-mulgt0 10329  ax-pre-sup 10330 This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rmo 3125  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4145  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-uni 4659  df-iun 4742  df-br 4874  df-opab 4936  df-mpt 4953  df-tr 4976  df-id 5250  df-eprel 5255  df-po 5263  df-so 5264  df-fr 5301  df-we 5303  df-xp 5348  df-rel 5349  df-cnv 5350  df-co 5351  df-dm 5352  df-rn 5353  df-res 5354  df-ima 5355  df-pred 5920  df-ord 5966  df-on 5967  df-lim 5968  df-suc 5969  df-iota 6086  df-fun 6125  df-fn 6126  df-f 6127  df-f1 6128  df-fo 6129  df-f1o 6130  df-fv 6131  df-riota 6866  df-ov 6908  df-oprab 6909  df-mpt2 6910  df-om 7327  df-2nd 7429  df-wrecs 7672  df-recs 7734  df-rdg 7772  df-er 8009  df-en 8223  df-dom 8224  df-sdom 8225  df-sup 8617  df-inf 8618  df-pnf 10393  df-mnf 10394  df-xr 10395  df-ltxr 10396  df-le 10397  df-sub 10587  df-neg 10588  df-div 11010  df-nn 11351  df-2 11414  df-3 11415  df-n0 11619  df-z 11705  df-uz 11969  df-rp 12113  df-fl 12888  df-seq 13096  df-exp 13155  df-cj 14216  df-re 14217  df-im 14218  df-sqrt 14352  df-abs 14353 This theorem is referenced by:  dnibndlem13  33013
 Copyright terms: Public domain W3C validator