Theorem dnibndlem12 36691

Description: Lemma for dnibnd 36693. (Contributed by Asger C. Ipsen, 4-Apr-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
dnibndlem12.1	⊢ 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
dnibndlem12.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
dnibndlem12.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
dnibndlem12.4	⊢ (𝜑 → ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 2) ≤ (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))))

Assertion

Ref	Expression
dnibndlem12	⊢ (𝜑 → (abs‘((𝑇‘𝐵) − (𝑇‘𝐴))) ≤ (abs‘(𝐵 − 𝐴)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝑇(𝑥)

Proof of Theorem dnibndlem12

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dnibndlem12.3	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
2	1	dnicld1 36674	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵)) ∈ ℝ)
3		dnibndlem12.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
4	3	dnicld1 36674	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)) ∈ ℝ)
5	2, 4	resubcld 11569	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵)) − (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴))) ∈ ℝ)
6	5	recnd 11164	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵)) − (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴))) ∈ ℂ)
7	6	abscld 15366	. . 3 ⊢ (𝜑 → (abs‘((abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵)) − (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)))) ∈ ℝ)
8		1red 11137	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
9	1, 3	resubcld 11569	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐴) ∈ ℝ)
10	9	recnd 11164	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐴) ∈ ℂ)
11	10	abscld 15366	. . 3 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐵 − 𝐴)) ∈ ℝ)
12	8	rehalfcld 12392	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1 / 2) ∈ ℝ)
13	3, 1	dnibndlem11 36690	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (abs‘((abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵)) − (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)))) ≤ (1 / 2))
14		halflt1 12362	. . . . . 6 ⊢ (1 / 2) < 1
15		halfre 12358	. . . . . . . 8 ⊢ (1 / 2) ∈ ℝ
16		1re 11136	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℝ
17	15, 16	pm3.2i 470	. . . . . . 7 ⊢ ((1 / 2) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ)
18		ltle 11225	. . . . . . 7 ⊢ (((1 / 2) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((1 / 2) < 1 → (1 / 2) ≤ 1))
19	17, 18	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ((1 / 2) < 1 → (1 / 2) ≤ 1)
20	14, 19	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (1 / 2) ≤ 1
21	20	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1 / 2) ≤ 1)
22	7, 12, 8, 13, 21	letrd 11294	. . 3 ⊢ (𝜑 → (abs‘((abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵)) − (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)))) ≤ 1)
23		dnibndlem12.4	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 2) ≤ (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))))
24	3, 1, 23	dnibndlem10 36689	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ (𝐵 − 𝐴))
25	9	leabsd 15342	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐴) ≤ (abs‘(𝐵 − 𝐴)))
26	8, 9, 11, 24, 25	letrd 11294	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ (abs‘(𝐵 − 𝐴)))
27	7, 8, 11, 22, 26	letrd 11294	. 2 ⊢ (𝜑 → (abs‘((abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵)) − (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)))) ≤ (abs‘(𝐵 − 𝐴)))
28		dnibndlem12.1	. . 3 ⊢ 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
29	28, 3, 1	dnibndlem1 36680	. 2 ⊢ (𝜑 → ((abs‘((𝑇‘𝐵) − (𝑇‘𝐴))) ≤ (abs‘(𝐵 − 𝐴)) ↔ (abs‘((abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵)) − (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)))) ≤ (abs‘(𝐵 − 𝐴))))
30	27, 29	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → (abs‘((𝑇‘𝐵) − (𝑇‘𝐴))) ≤ (abs‘(𝐵 − 𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5099   ↦ cmpt 5180  ‘cfv 6493  (class class class)co 7360  ℝcr 11029  1c1 11031   + caddc 11033   < clt 11170   ≤ cle 11171   − cmin 11368   / cdiv 11798  2c2 12204  ⌊cfl 13714  abscabs 15161

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7682  ax-cnex 11086  ax-resscn 11087  ax-1cn 11088  ax-icn 11089  ax-addcl 11090  ax-addrcl 11091  ax-mulcl 11092  ax-mulrcl 11093  ax-mulcom 11094  ax-addass 11095  ax-mulass 11096  ax-distr 11097  ax-i2m1 11098  ax-1ne0 11099  ax-1rid 11100  ax-rnegex 11101  ax-rrecex 11102  ax-cnre 11103  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105  ax-pre-ltadd 11106  ax-pre-mulgt0 11107  ax-pre-sup 11108

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4949  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-2nd 7936  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-sup 9349  df-inf 9350  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12150  df-2 12212  df-3 12213  df-n0 12406  df-z 12493  df-uz 12756  df-rp 12910  df-fl 13716  df-seq 13929  df-exp 13989  df-cj 15026  df-re 15027  df-im 15028  df-sqrt 15162  df-abs 15163

This theorem is referenced by:  dnibndlem13  36692