Theorem dnibndlem12 36436

Description: Lemma for dnibnd 36438. (Contributed by Asger C. Ipsen, 4-Apr-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
dnibndlem12.1	⊢ 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
dnibndlem12.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
dnibndlem12.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
dnibndlem12.4	⊢ (𝜑 → ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 2) ≤ (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))))

Assertion

Ref	Expression
dnibndlem12	⊢ (𝜑 → (abs‘((𝑇‘𝐵) − (𝑇‘𝐴))) ≤ (abs‘(𝐵 − 𝐴)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝑇(𝑥)

Proof of Theorem dnibndlem12

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dnibndlem12.3	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
2	1	dnicld1 36419	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵)) ∈ ℝ)
3		dnibndlem12.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
4	3	dnicld1 36419	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)) ∈ ℝ)
5	2, 4	resubcld 11658	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵)) − (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴))) ∈ ℝ)
6	5	recnd 11256	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵)) − (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴))) ∈ ℂ)
7	6	abscld 15444	. . 3 ⊢ (𝜑 → (abs‘((abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵)) − (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)))) ∈ ℝ)
8		1red 11229	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
9	1, 3	resubcld 11658	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐴) ∈ ℝ)
10	9	recnd 11256	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐴) ∈ ℂ)
11	10	abscld 15444	. . 3 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐵 − 𝐴)) ∈ ℝ)
12	8	rehalfcld 12481	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1 / 2) ∈ ℝ)
13	3, 1	dnibndlem11 36435	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (abs‘((abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵)) − (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)))) ≤ (1 / 2))
14		halflt1 12451	. . . . . 6 ⊢ (1 / 2) < 1
15		halfre 12447	. . . . . . . 8 ⊢ (1 / 2) ∈ ℝ
16		1re 11228	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℝ
17	15, 16	pm3.2i 470	. . . . . . 7 ⊢ ((1 / 2) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ)
18		ltle 11316	. . . . . . 7 ⊢ (((1 / 2) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((1 / 2) < 1 → (1 / 2) ≤ 1))
19	17, 18	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ((1 / 2) < 1 → (1 / 2) ≤ 1)
20	14, 19	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (1 / 2) ≤ 1
21	20	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1 / 2) ≤ 1)
22	7, 12, 8, 13, 21	letrd 11385	. . 3 ⊢ (𝜑 → (abs‘((abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵)) − (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)))) ≤ 1)
23		dnibndlem12.4	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 2) ≤ (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))))
24	3, 1, 23	dnibndlem10 36434	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ (𝐵 − 𝐴))
25	9	leabsd 15422	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐴) ≤ (abs‘(𝐵 − 𝐴)))
26	8, 9, 11, 24, 25	letrd 11385	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ (abs‘(𝐵 − 𝐴)))
27	7, 8, 11, 22, 26	letrd 11385	. 2 ⊢ (𝜑 → (abs‘((abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵)) − (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)))) ≤ (abs‘(𝐵 − 𝐴)))
28		dnibndlem12.1	. . 3 ⊢ 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
29	28, 3, 1	dnibndlem1 36425	. 2 ⊢ (𝜑 → ((abs‘((𝑇‘𝐵) − (𝑇‘𝐴))) ≤ (abs‘(𝐵 − 𝐴)) ↔ (abs‘((abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵)) − (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)))) ≤ (abs‘(𝐵 − 𝐴))))
30	27, 29	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → (abs‘((𝑇‘𝐵) − (𝑇‘𝐴))) ≤ (abs‘(𝐵 − 𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2107   class class class wbr 5117   ↦ cmpt 5199  ‘cfv 6528  (class class class)co 7400  ℝcr 11121  1c1 11123   + caddc 11125   < clt 11262   ≤ cle 11263   − cmin 11459   / cdiv 11887  2c2 12288  ⌊cfl 13797  abscabs 15242

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-sep 5264  ax-nul 5274  ax-pow 5333  ax-pr 5400  ax-un 7724  ax-cnex 11178  ax-resscn 11179  ax-1cn 11180  ax-icn 11181  ax-addcl 11182  ax-addrcl 11183  ax-mulcl 11184  ax-mulrcl 11185  ax-mulcom 11186  ax-addass 11187  ax-mulass 11188  ax-distr 11189  ax-i2m1 11190  ax-1ne0 11191  ax-1rid 11192  ax-rnegex 11193  ax-rrecex 11194  ax-cnre 11195  ax-pre-lttri 11196  ax-pre-lttrn 11197  ax-pre-ltadd 11198  ax-pre-mulgt0 11199  ax-pre-sup 11200

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3357  df-reu 3358  df-rab 3414  df-v 3459  df-sbc 3764  df-csb 3873  df-dif 3927  df-un 3929  df-in 3931  df-ss 3941  df-pss 3944  df-nul 4307  df-if 4499  df-pw 4575  df-sn 4600  df-pr 4602  df-op 4606  df-uni 4882  df-iun 4967  df-br 5118  df-opab 5180  df-mpt 5200  df-tr 5228  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-pred 6288  df-ord 6353  df-on 6354  df-lim 6355  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6530  df-fn 6531  df-f 6532  df-f1 6533  df-fo 6534  df-f1o 6535  df-fv 6536  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7857  df-2nd 7984  df-frecs 8275  df-wrecs 8306  df-recs 8380  df-rdg 8419  df-er 8714  df-en 8955  df-dom 8956  df-sdom 8957  df-sup 9449  df-inf 9450  df-pnf 11264  df-mnf 11265  df-xr 11266  df-ltxr 11267  df-le 11268  df-sub 11461  df-neg 11462  df-div 11888  df-nn 12234  df-2 12296  df-3 12297  df-n0 12495  df-z 12582  df-uz 12846  df-rp 13002  df-fl 13799  df-seq 14010  df-exp 14070  df-cj 15107  df-re 15108  df-im 15109  df-sqrt 15243  df-abs 15244

This theorem is referenced by:  dnibndlem13  36437