Theorem dnibndlem12 37026

Description: Lemma for dnibnd 37028. (Contributed by Asger C. Ipsen, 4-Apr-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
dnibndlem12.1	⊢ 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
dnibndlem12.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
dnibndlem12.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
dnibndlem12.4	⊢ (𝜑 → ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 2) ≤ (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))))

Assertion

Ref	Expression
dnibndlem12	⊢ (𝜑 → (abs‘((𝑇‘𝐵) − (𝑇‘𝐴))) ≤ (abs‘(𝐵 − 𝐴)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝑇(𝑥)

Proof of Theorem dnibndlem12

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dnibndlem12.3	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
2	1	dnicld1 37009	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵)) ∈ ℝ)
3		dnibndlem12.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
4	3	dnicld1 37009	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)) ∈ ℝ)
5	2, 4	resubcld 11645	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵)) − (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴))) ∈ ℝ)
6	5	recnd 11240	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵)) − (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴))) ∈ ℂ)
7	6	abscld 15493	. . 3 ⊢ (𝜑 → (abs‘((abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵)) − (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)))) ∈ ℝ)
8		1red 11212	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
9	1, 3	resubcld 11645	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐴) ∈ ℝ)
10	9	recnd 11240	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐴) ∈ ℂ)
11	10	abscld 15493	. . 3 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐵 − 𝐴)) ∈ ℝ)
12	8	rehalfcld 12494	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1 / 2) ∈ ℝ)
13	3, 1	dnibndlem11 37025	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (abs‘((abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵)) − (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)))) ≤ (1 / 2))
14		halflt1 12464	. . . . . 6 ⊢ (1 / 2) < 1
15		halfre 12460	. . . . . . . 8 ⊢ (1 / 2) ∈ ℝ
16		1re 11211	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℝ
17	15, 16	pm3.2i 475	. . . . . . 7 ⊢ ((1 / 2) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ)
18		ltle 11301	. . . . . . 7 ⊢ (((1 / 2) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((1 / 2) < 1 → (1 / 2) ≤ 1))
19	17, 18	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ((1 / 2) < 1 → (1 / 2) ≤ 1)
20	14, 19	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (1 / 2) ≤ 1
21	20	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1 / 2) ≤ 1)
22	7, 12, 8, 13, 21	letrd 11370	. . 3 ⊢ (𝜑 → (abs‘((abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵)) − (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)))) ≤ 1)
23		dnibndlem12.4	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 2) ≤ (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))))
24	3, 1, 23	dnibndlem10 37024	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ (𝐵 − 𝐴))
25	9	leabsd 15469	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐴) ≤ (abs‘(𝐵 − 𝐴)))
26	8, 9, 11, 24, 25	letrd 11370	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ (abs‘(𝐵 − 𝐴)))
27	7, 8, 11, 22, 26	letrd 11370	. 2 ⊢ (𝜑 → (abs‘((abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵)) − (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)))) ≤ (abs‘(𝐵 − 𝐴)))
28		dnibndlem12.1	. . 3 ⊢ 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
29	28, 3, 1	dnibndlem1 37015	. 2 ⊢ (𝜑 → ((abs‘((𝑇‘𝐵) − (𝑇‘𝐴))) ≤ (abs‘(𝐵 − 𝐴)) ↔ (abs‘((abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵)) − (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)))) ≤ (abs‘(𝐵 − 𝐴))))
30	27, 29	mpbird 260	1 ⊢ (𝜑 → (abs‘((𝑇‘𝐵) − (𝑇‘𝐴))) ≤ (abs‘(𝐵 − 𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1568   ∈ wcel 2150   class class class wbr 5114   ↦ cmpt 5197  ‘cfv 6540  (class class class)co 7414  ℝcr 11102  1c1 11104   + caddc 11106   < clt 11246   ≤ cle 11247   − cmin 11444   / cdiv 11874  2c2 12298  ⌊cfl 13826  abscabs 15288

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2152  ax-9 2160  ax-10 2183  ax-11 2199  ax-12 2220  ax-ext 2742  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5340  ax-pr 5408  ax-un 7736  ax-cnex 11159  ax-resscn 11160  ax-1cn 11161  ax-icn 11162  ax-addcl 11163  ax-addrcl 11164  ax-mulcl 11165  ax-mulrcl 11166  ax-mulcom 11167  ax-addass 11168  ax-mulass 11169  ax-distr 11170  ax-i2m1 11171  ax-1ne0 11172  ax-1rid 11173  ax-rnegex 11174  ax-rrecex 11175  ax-cnre 11176  ax-pre-lttri 11177  ax-pre-lttrn 11178  ax-pre-ltadd 11179  ax-pre-mulgt0 11180  ax-pre-sup 11181

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2099  df-mo 2574  df-eu 2604  df-clab 2749  df-cleq 2762  df-clel 2845  df-nfc 2919  df-ne 2966  df-nel 3072  df-ral 3087  df-rex 3097  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3464  df-sbc 3753  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5560  df-eprel 5565  df-po 5573  df-so 5574  df-fr 5618  df-we 5620  df-xp 5671  df-rel 5672  df-cnv 5673  df-co 5674  df-dm 5675  df-rn 5676  df-res 5677  df-ima 5678  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7866  df-2nd 7990  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-er 8697  df-en 8947  df-dom 8948  df-sdom 8949  df-sup 9405  df-inf 9406  df-pnf 11248  df-mnf 11249  df-xr 11250  df-ltxr 11251  df-le 11252  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11875  df-nn 12237  df-2 12306  df-3 12307  df-n0 12508  df-z 12595  df-uz 12866  df-rp 13020  df-fl 13828  df-seq 14041  df-exp 14101  df-cj 15153  df-re 15154  df-im 15155  df-sqrt 15289  df-abs 15290

This theorem is referenced by:  dnibndlem13  37027