Theorem dprdval0prc 19979

Description: The internal direct product of a family of subgroups indexed by a proper class is empty. (Contributed by AV, 13-Jul-2019.)

Assertion

Ref	Expression
dprdval0prc	⊢ (dom 𝑆 ∉ V → (𝐺 DProd 𝑆) = ∅)

Proof of Theorem dprdval0prc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-nel 3037	. . 3 ⊢ (dom 𝑆 ∉ V ↔ ¬ dom 𝑆 ∈ V)
2		dmexg 7852	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ V → dom 𝑆 ∈ V)
3	2	con3i 154	. . 3 ⊢ (¬ dom 𝑆 ∈ V → ¬ 𝑆 ∈ V)
4	1, 3	sylbi 217	. 2 ⊢ (dom 𝑆 ∉ V → ¬ 𝑆 ∈ V)
5		reldmdprd 19974	. . 3 ⊢ Rel dom DProd
6	5	ovprc2 7407	. 2 ⊢ (¬ 𝑆 ∈ V → (𝐺 DProd 𝑆) = ∅)
7	4, 6	syl 17	1 ⊢ (dom 𝑆 ∉ V → (𝐺 DProd 𝑆) = ∅)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ∉ wnel 3036  Vcvv 3429  ∅c0 4273  dom cdm 5631  (class class class)co 7367   DProd cdprd 19970

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pr 5375  ax-un 7689

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rab 3390  df-v 3431  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4274  df-if 4467  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-br 5086  df-opab 5148  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-dm 5641  df-rn 5642  df-iota 6454  df-fv 6506  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-dprd 19972

This theorem is referenced by: (None)