Theorem dprdval0prc 20225

Description: The internal direct product of a family of subgroups indexed by a proper class is empty. (Contributed by AV, 13-Jul-2019.)

Assertion

Ref	Expression
dprdval0prc	⊢ (dom 𝑆 ∉ V → (𝐺 DProd 𝑆) = ∅)

Proof of Theorem dprdval0prc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-nel 3062	. . 3 ⊢ (dom 𝑆 ∉ V ↔ ¬ dom 𝑆 ∈ V)
2		dmexg 7915	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ V → dom 𝑆 ∈ V)
3	2	con3i 155	. . 3 ⊢ (¬ dom 𝑆 ∈ V → ¬ 𝑆 ∈ V)
4	1, 3	sylbi 220	. 2 ⊢ (dom 𝑆 ∉ V → ¬ 𝑆 ∈ V)
5		reldmdprd 20220	. . 3 ⊢ Rel dom DProd
6	5	ovprc2 7462	. 2 ⊢ (¬ 𝑆 ∈ V → (𝐺 DProd 𝑆) = ∅)
7	4, 6	syl 18	1 ⊢ (dom 𝑆 ∉ V → (𝐺 DProd 𝑆) = ∅)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ∉ wnel 3061  Vcvv 3450  ∅c0 4277  dom cdm 5650  (class class class)co 7422   DProd cdprd 20216

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pr 5390  ax-un 7753

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-ss 3897  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-dm 5660  df-rn 5661  df-iota 6496  df-fv 6549  df-ov 7425  df-oprab 7426  df-mpo 7427  df-dprd 20218

This theorem is used by: (None)