Theorem dprdval0prc 19605

Description: The internal direct product of a family of subgroups indexed by a proper class is empty. (Contributed by AV, 13-Jul-2019.)

Assertion

Ref	Expression
dprdval0prc	⊢ (dom 𝑆 ∉ V → (𝐺 DProd 𝑆) = ∅)

Proof of Theorem dprdval0prc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-nel 3050	. . 3 ⊢ (dom 𝑆 ∉ V ↔ ¬ dom 𝑆 ∈ V)
2		dmexg 7750	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ V → dom 𝑆 ∈ V)
3	2	con3i 154	. . 3 ⊢ (¬ dom 𝑆 ∈ V → ¬ 𝑆 ∈ V)
4	1, 3	sylbi 216	. 2 ⊢ (dom 𝑆 ∉ V → ¬ 𝑆 ∈ V)
5		reldmdprd 19600	. . 3 ⊢ Rel dom DProd
6	5	ovprc2 7315	. 2 ⊢ (¬ 𝑆 ∈ V → (𝐺 DProd 𝑆) = ∅)
7	4, 6	syl 17	1 ⊢ (dom 𝑆 ∉ V → (𝐺 DProd 𝑆) = ∅)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   ∉ wnel 3049  Vcvv 3432  ∅c0 4256  dom cdm 5589  (class class class)co 7275   DProd cdprd 19596

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pr 5352  ax-un 7588

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rab 3073  df-v 3434  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-br 5075  df-opab 5137  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-dm 5599  df-rn 5600  df-iota 6391  df-fv 6441  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-dprd 19598

This theorem is referenced by: (None)