Theorem ovprc2 7488

Description: The value of an operation when the second argument is a proper class. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Apr-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
ovprc1.1	⊢ Rel dom 𝐹

Assertion

Ref	Expression
ovprc2	⊢ (¬ 𝐵 ∈ V → (𝐴𝐹𝐵) = ∅)

Proof of Theorem ovprc2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 484	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → 𝐵 ∈ V)
2		ovprc1.1	. . 3 ⊢ Rel dom 𝐹
3	2	ovprc 7486	. 2 ⊢ (¬ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝐴𝐹𝐵) = ∅)
4	1, 3	nsyl5 159	1 ⊢ (¬ 𝐵 ∈ V → (𝐴𝐹𝐵) = ∅)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  Vcvv 3488  ∅c0 4352  dom cdm 5700  Rel wrel 5705  (class class class)co 7448

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pr 5447

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rab 3444  df-v 3490  df-dif 3979  df-un 3981  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-br 5167  df-opab 5229  df-xp 5706  df-rel 5707  df-dm 5710  df-iota 6525  df-fv 6581  df-ov 7451

This theorem is referenced by:  elfvov2  7491  ressbasssg  17295  ressbasssOLD  17298  ress0  17302  wunress  17309  wunressOLD  17310  0rest  17489  firest  17492  subcmn  19879  dprdval0prc  20046  zrhval  21541  dsmmval2  21779  psrbas  21976  psr1val  22208  vr1val  22214  ply1ascl  22282  evl1fval  22353  restbas  23187  resstopn  23215  deg1fval  26139  wwlksn  29870  submomnd  33060  suborng  33310  bj-restsnid  37053  1aryenef  48379  2aryenef  48390