Theorem ovprc2 7196

Description: The value of an operation when the second argument is a proper class. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Apr-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
ovprc1.1	⊢ Rel dom 𝐹

Assertion

Ref	Expression
ovprc2	⊢ (¬ 𝐵 ∈ V → (𝐴𝐹𝐵) = ∅)

Proof of Theorem ovprc2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 487	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → 𝐵 ∈ V)
2	1	con3i 157	. 2 ⊢ (¬ 𝐵 ∈ V → ¬ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V))
3		ovprc1.1	. . 3 ⊢ Rel dom 𝐹
4	3	ovprc 7194	. 2 ⊢ (¬ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝐴𝐹𝐵) = ∅)
5	2, 4	syl 17	1 ⊢ (¬ 𝐵 ∈ V → (𝐴𝐹𝐵) = ∅)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  Vcvv 3494  ∅c0 4291  dom cdm 5555  Rel wrel 5560  (class class class)co 7156

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ral 3143  df-rex 3144  df-rab 3147  df-v 3496  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-nul 4292  df-if 4468  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4839  df-br 5067  df-opab 5129  df-xp 5561  df-rel 5562  df-dm 5565  df-iota 6314  df-fv 6363  df-ov 7159

This theorem is referenced by:  ressbasss  16556  ress0  16558  wunress  16564  0rest  16703  firest  16706  subcmn  18957  dprdval0prc  19124  psrbas  20158  psr1val  20354  vr1val  20360  ply1ascl  20426  evl1fval  20491  zrhval  20655  dsmmval2  20880  restbas  21766  resstopn  21794  deg1fval  24674  wwlksn  27615  submomnd  30711  suborng  30888  bj-restsnid  34381