Theorem ovprc2 7399

Description: The value of an operation when the second argument is a proper class. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Apr-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
ovprc1.1	⊢ Rel dom 𝐹

Assertion

Ref	Expression
ovprc2	⊢ (¬ 𝐵 ∈ V → (𝐴𝐹𝐵) = ∅)

Proof of Theorem ovprc2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 486	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → 𝐵 ∈ V)
2		ovprc1.1	. . 3 ⊢ Rel dom 𝐹
3	2	ovprc 7397	. 2 ⊢ (¬ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝐴𝐹𝐵) = ∅)
4	1, 3	nsyl5 159	1 ⊢ (¬ 𝐵 ∈ V → (𝐴𝐹𝐵) = ∅)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1548   ∈ wcel 2121  Vcvv 3433  ∅c0 4263  dom cdm 5620  Rel wrel 5625  (class class class)co 7359

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-ext 2713  ax-sep 5220  ax-nul 5230  ax-pr 5364

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-ne 2937  df-ral 3056  df-rex 3066  df-rab 3394  df-v 3435  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-nul 4264  df-if 4457  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4841  df-br 5075  df-opab 5137  df-xp 5626  df-rel 5627  df-dm 5630  df-iota 6444  df-fv 6496  df-ov 7362

This theorem is referenced by:  elfvov2  7402  ressbasssg  17202  ressbasssOLD  17205  ress0  17208  wunress  17214  0rest  17387  firest  17390  subcmn  19806  dprdval0prc  19973  submomnd  20101  suborng  20851  zrhval  21485  dsmmval2  21714  psrbas  21912  psr1val  22174  vr1val  22180  ply1ascl  22247  evl1fval  22317  restbas  23144  resstopn  23172  deg1fval  26066  wwlksn  29925  bj-restsnid  37458  1aryenef  49148  2aryenef  49159  prcof1  49890