Theorem ovprc2 7427

Description: The value of an operation when the second argument is a proper class. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Apr-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
ovprc1.1	⊢ Rel dom 𝐹

Assertion

Ref	Expression
ovprc2	⊢ (¬ 𝐵 ∈ V → (𝐴𝐹𝐵) = ∅)

Proof of Theorem ovprc2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 484	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → 𝐵 ∈ V)
2		ovprc1.1	. . 3 ⊢ Rel dom 𝐹
3	2	ovprc 7425	. 2 ⊢ (¬ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝐴𝐹𝐵) = ∅)
4	1, 3	nsyl5 159	1 ⊢ (¬ 𝐵 ∈ V → (𝐴𝐹𝐵) = ∅)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3447  ∅c0 4296  dom cdm 5638  Rel wrel 5643  (class class class)co 7387

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pr 5387

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3406  df-v 3449  df-dif 3917  df-un 3919  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-br 5108  df-opab 5170  df-xp 5644  df-rel 5645  df-dm 5648  df-iota 6464  df-fv 6519  df-ov 7390

This theorem is referenced by:  elfvov2  7430  ressbasssg  17207  ressbasssOLD  17210  ress0  17213  wunress  17219  0rest  17392  firest  17395  subcmn  19767  dprdval0prc  19934  zrhval  21417  dsmmval2  21645  psrbas  21842  psr1val  22070  vr1val  22076  ply1ascl  22144  evl1fval  22215  restbas  23045  resstopn  23073  deg1fval  25985  wwlksn  29767  submomnd  33024  suborng  33293  bj-restsnid  37075  1aryenef  48634  2aryenef  48645  prcof1  49377