MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dprdval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dprdval 19922
Description: The value of the internal direct product operation, which is a function mapping the (infinite, but finitely supported) cartesian product of subgroups (which mutually commute and have trivial intersections) to its (group) sum . (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.) (Revised by AV, 11-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
dprdval.0 0 = (0gโ€˜๐บ)
dprdval.w ๐‘Š = {โ„Ž โˆˆ X๐‘– โˆˆ ๐ผ (๐‘†โ€˜๐‘–) โˆฃ โ„Ž finSupp 0 }
Assertion
Ref Expression
dprdval ((๐บdom DProd ๐‘† โˆง dom ๐‘† = ๐ผ) โ†’ (๐บ DProd ๐‘†) = ran (๐‘“ โˆˆ ๐‘Š โ†ฆ (๐บ ฮฃg ๐‘“)))
Distinct variable groups:   ๐‘“,โ„Ž,๐‘–,๐ผ   ๐‘†,๐‘“,โ„Ž,๐‘–   ๐‘“,๐บ,โ„Ž,๐‘–
Allowed substitution hints:   ๐‘Š(๐‘“,โ„Ž,๐‘–)   0 (๐‘“,โ„Ž,๐‘–)

Proof of Theorem dprdval
Dummy variables ๐‘” ๐‘  ๐‘ฆ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 482 . 2 ((๐บdom DProd ๐‘† โˆง dom ๐‘† = ๐ผ) โ†’ ๐บdom DProd ๐‘†)
2 reldmdprd 19916 . . . . . 6 Rel dom DProd
32brrelex2i 5726 . . . . 5 (๐บdom DProd ๐‘† โ†’ ๐‘† โˆˆ V)
43adantr 480 . . . 4 ((๐บdom DProd ๐‘† โˆง dom ๐‘† = ๐ผ) โ†’ ๐‘† โˆˆ V)
52brrelex1i 5725 . . . . . 6 (๐บdom DProd ๐‘  โ†’ ๐บ โˆˆ V)
6 breq1 5144 . . . . . . . 8 (๐‘” = ๐บ โ†’ (๐‘”dom DProd ๐‘  โ†” ๐บdom DProd ๐‘ ))
7 oveq1 7411 . . . . . . . . 9 (๐‘” = ๐บ โ†’ (๐‘” DProd ๐‘ ) = (๐บ DProd ๐‘ ))
8 fveq2 6884 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘” = ๐บ โ†’ (0gโ€˜๐‘”) = (0gโ€˜๐บ))
9 dprdval.0 . . . . . . . . . . . . . 14 0 = (0gโ€˜๐บ)
108, 9eqtr4di 2784 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘” = ๐บ โ†’ (0gโ€˜๐‘”) = 0 )
1110breq2d 5153 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘” = ๐บ โ†’ (โ„Ž finSupp (0gโ€˜๐‘”) โ†” โ„Ž finSupp 0 ))
1211rabbidv 3434 . . . . . . . . . . 11 (๐‘” = ๐บ โ†’ {โ„Ž โˆˆ X๐‘– โˆˆ dom ๐‘ (๐‘ โ€˜๐‘–) โˆฃ โ„Ž finSupp (0gโ€˜๐‘”)} = {โ„Ž โˆˆ X๐‘– โˆˆ dom ๐‘ (๐‘ โ€˜๐‘–) โˆฃ โ„Ž finSupp 0 })
13 oveq1 7411 . . . . . . . . . . 11 (๐‘” = ๐บ โ†’ (๐‘” ฮฃg ๐‘“) = (๐บ ฮฃg ๐‘“))
1412, 13mpteq12dv 5232 . . . . . . . . . 10 (๐‘” = ๐บ โ†’ (๐‘“ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ X๐‘– โˆˆ dom ๐‘ (๐‘ โ€˜๐‘–) โˆฃ โ„Ž finSupp (0gโ€˜๐‘”)} โ†ฆ (๐‘” ฮฃg ๐‘“)) = (๐‘“ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ X๐‘– โˆˆ dom ๐‘ (๐‘ โ€˜๐‘–) โˆฃ โ„Ž finSupp 0 } โ†ฆ (๐บ ฮฃg ๐‘“)))
1514rneqd 5930 . . . . . . . . 9 (๐‘” = ๐บ โ†’ ran (๐‘“ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ X๐‘– โˆˆ dom ๐‘ (๐‘ โ€˜๐‘–) โˆฃ โ„Ž finSupp (0gโ€˜๐‘”)} โ†ฆ (๐‘” ฮฃg ๐‘“)) = ran (๐‘“ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ X๐‘– โˆˆ dom ๐‘ (๐‘ โ€˜๐‘–) โˆฃ โ„Ž finSupp 0 } โ†ฆ (๐บ ฮฃg ๐‘“)))
167, 15eqeq12d 2742 . . . . . . . 8 (๐‘” = ๐บ โ†’ ((๐‘” DProd ๐‘ ) = ran (๐‘“ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ X๐‘– โˆˆ dom ๐‘ (๐‘ โ€˜๐‘–) โˆฃ โ„Ž finSupp (0gโ€˜๐‘”)} โ†ฆ (๐‘” ฮฃg ๐‘“)) โ†” (๐บ DProd ๐‘ ) = ran (๐‘“ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ X๐‘– โˆˆ dom ๐‘ (๐‘ โ€˜๐‘–) โˆฃ โ„Ž finSupp 0 } โ†ฆ (๐บ ฮฃg ๐‘“))))
176, 16imbi12d 344 . . . . . . 7 (๐‘” = ๐บ โ†’ ((๐‘”dom DProd ๐‘  โ†’ (๐‘” DProd ๐‘ ) = ran (๐‘“ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ X๐‘– โˆˆ dom ๐‘ (๐‘ โ€˜๐‘–) โˆฃ โ„Ž finSupp (0gโ€˜๐‘”)} โ†ฆ (๐‘” ฮฃg ๐‘“))) โ†” (๐บdom DProd ๐‘  โ†’ (๐บ DProd ๐‘ ) = ran (๐‘“ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ X๐‘– โˆˆ dom ๐‘ (๐‘ โ€˜๐‘–) โˆฃ โ„Ž finSupp 0 } โ†ฆ (๐บ ฮฃg ๐‘“)))))
18 df-br 5142 . . . . . . . . 9 (๐‘”dom DProd ๐‘  โ†” โŸจ๐‘”, ๐‘ โŸฉ โˆˆ dom DProd )
19 fvex 6897 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘ โ€˜๐‘–) โˆˆ V
2019rgenw 3059 . . . . . . . . . . . . . . . 16 โˆ€๐‘– โˆˆ dom ๐‘ (๐‘ โ€˜๐‘–) โˆˆ V
21 ixpexg 8915 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (โˆ€๐‘– โˆˆ dom ๐‘ (๐‘ โ€˜๐‘–) โˆˆ V โ†’ X๐‘– โˆˆ dom ๐‘ (๐‘ โ€˜๐‘–) โˆˆ V)
2220, 21ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15 X๐‘– โˆˆ dom ๐‘ (๐‘ โ€˜๐‘–) โˆˆ V
2322mptrabex 7221 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘“ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ X๐‘– โˆˆ dom ๐‘ (๐‘ โ€˜๐‘–) โˆฃ โ„Ž finSupp (0gโ€˜๐‘”)} โ†ฆ (๐‘” ฮฃg ๐‘“)) โˆˆ V
2423rnex 7899 . . . . . . . . . . . . 13 ran (๐‘“ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ X๐‘– โˆˆ dom ๐‘ (๐‘ โ€˜๐‘–) โˆฃ โ„Ž finSupp (0gโ€˜๐‘”)} โ†ฆ (๐‘” ฮฃg ๐‘“)) โˆˆ V
2524rgen2w 3060 . . . . . . . . . . . 12 โˆ€๐‘” โˆˆ Grp โˆ€๐‘  โˆˆ {โ„Ž โˆฃ (โ„Ž:dom โ„ŽโŸถ(SubGrpโ€˜๐‘”) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ dom โ„Ž(โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (dom โ„Ž โˆ– {๐‘–})(โ„Žโ€˜๐‘–) โІ ((Cntzโ€˜๐‘”)โ€˜(โ„Žโ€˜๐‘ฆ)) โˆง ((โ„Žโ€˜๐‘–) โˆฉ ((mrClsโ€˜(SubGrpโ€˜๐‘”))โ€˜โˆช (โ„Ž โ€œ (dom โ„Ž โˆ– {๐‘–})))) = {(0gโ€˜๐‘”)}))}ran (๐‘“ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ X๐‘– โˆˆ dom ๐‘ (๐‘ โ€˜๐‘–) โˆฃ โ„Ž finSupp (0gโ€˜๐‘”)} โ†ฆ (๐‘” ฮฃg ๐‘“)) โˆˆ V
26 df-dprd 19914 . . . . . . . . . . . . 13 DProd = (๐‘” โˆˆ Grp, ๐‘  โˆˆ {โ„Ž โˆฃ (โ„Ž:dom โ„ŽโŸถ(SubGrpโ€˜๐‘”) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ dom โ„Ž(โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (dom โ„Ž โˆ– {๐‘–})(โ„Žโ€˜๐‘–) โІ ((Cntzโ€˜๐‘”)โ€˜(โ„Žโ€˜๐‘ฆ)) โˆง ((โ„Žโ€˜๐‘–) โˆฉ ((mrClsโ€˜(SubGrpโ€˜๐‘”))โ€˜โˆช (โ„Ž โ€œ (dom โ„Ž โˆ– {๐‘–})))) = {(0gโ€˜๐‘”)}))} โ†ฆ ran (๐‘“ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ X๐‘– โˆˆ dom ๐‘ (๐‘ โ€˜๐‘–) โˆฃ โ„Ž finSupp (0gโ€˜๐‘”)} โ†ฆ (๐‘” ฮฃg ๐‘“)))
2726fmpox 8049 . . . . . . . . . . . 12 (โˆ€๐‘” โˆˆ Grp โˆ€๐‘  โˆˆ {โ„Ž โˆฃ (โ„Ž:dom โ„ŽโŸถ(SubGrpโ€˜๐‘”) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ dom โ„Ž(โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (dom โ„Ž โˆ– {๐‘–})(โ„Žโ€˜๐‘–) โІ ((Cntzโ€˜๐‘”)โ€˜(โ„Žโ€˜๐‘ฆ)) โˆง ((โ„Žโ€˜๐‘–) โˆฉ ((mrClsโ€˜(SubGrpโ€˜๐‘”))โ€˜โˆช (โ„Ž โ€œ (dom โ„Ž โˆ– {๐‘–})))) = {(0gโ€˜๐‘”)}))}ran (๐‘“ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ X๐‘– โˆˆ dom ๐‘ (๐‘ โ€˜๐‘–) โˆฃ โ„Ž finSupp (0gโ€˜๐‘”)} โ†ฆ (๐‘” ฮฃg ๐‘“)) โˆˆ V โ†” DProd :โˆช ๐‘” โˆˆ Grp ({๐‘”} ร— {โ„Ž โˆฃ (โ„Ž:dom โ„ŽโŸถ(SubGrpโ€˜๐‘”) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ dom โ„Ž(โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (dom โ„Ž โˆ– {๐‘–})(โ„Žโ€˜๐‘–) โІ ((Cntzโ€˜๐‘”)โ€˜(โ„Žโ€˜๐‘ฆ)) โˆง ((โ„Žโ€˜๐‘–) โˆฉ ((mrClsโ€˜(SubGrpโ€˜๐‘”))โ€˜โˆช (โ„Ž โ€œ (dom โ„Ž โˆ– {๐‘–})))) = {(0gโ€˜๐‘”)}))})โŸถV)
2825, 27mpbi 229 . . . . . . . . . . 11 DProd :โˆช ๐‘” โˆˆ Grp ({๐‘”} ร— {โ„Ž โˆฃ (โ„Ž:dom โ„ŽโŸถ(SubGrpโ€˜๐‘”) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ dom โ„Ž(โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (dom โ„Ž โˆ– {๐‘–})(โ„Žโ€˜๐‘–) โІ ((Cntzโ€˜๐‘”)โ€˜(โ„Žโ€˜๐‘ฆ)) โˆง ((โ„Žโ€˜๐‘–) โˆฉ ((mrClsโ€˜(SubGrpโ€˜๐‘”))โ€˜โˆช (โ„Ž โ€œ (dom โ„Ž โˆ– {๐‘–})))) = {(0gโ€˜๐‘”)}))})โŸถV
2928fdmi 6722 . . . . . . . . . 10 dom DProd = โˆช ๐‘” โˆˆ Grp ({๐‘”} ร— {โ„Ž โˆฃ (โ„Ž:dom โ„ŽโŸถ(SubGrpโ€˜๐‘”) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ dom โ„Ž(โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (dom โ„Ž โˆ– {๐‘–})(โ„Žโ€˜๐‘–) โІ ((Cntzโ€˜๐‘”)โ€˜(โ„Žโ€˜๐‘ฆ)) โˆง ((โ„Žโ€˜๐‘–) โˆฉ ((mrClsโ€˜(SubGrpโ€˜๐‘”))โ€˜โˆช (โ„Ž โ€œ (dom โ„Ž โˆ– {๐‘–})))) = {(0gโ€˜๐‘”)}))})
3029eleq2i 2819 . . . . . . . . 9 (โŸจ๐‘”, ๐‘ โŸฉ โˆˆ dom DProd โ†” โŸจ๐‘”, ๐‘ โŸฉ โˆˆ โˆช ๐‘” โˆˆ Grp ({๐‘”} ร— {โ„Ž โˆฃ (โ„Ž:dom โ„ŽโŸถ(SubGrpโ€˜๐‘”) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ dom โ„Ž(โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (dom โ„Ž โˆ– {๐‘–})(โ„Žโ€˜๐‘–) โІ ((Cntzโ€˜๐‘”)โ€˜(โ„Žโ€˜๐‘ฆ)) โˆง ((โ„Žโ€˜๐‘–) โˆฉ ((mrClsโ€˜(SubGrpโ€˜๐‘”))โ€˜โˆช (โ„Ž โ€œ (dom โ„Ž โˆ– {๐‘–})))) = {(0gโ€˜๐‘”)}))}))
31 opeliunxp 5736 . . . . . . . . 9 (โŸจ๐‘”, ๐‘ โŸฉ โˆˆ โˆช ๐‘” โˆˆ Grp ({๐‘”} ร— {โ„Ž โˆฃ (โ„Ž:dom โ„ŽโŸถ(SubGrpโ€˜๐‘”) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ dom โ„Ž(โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (dom โ„Ž โˆ– {๐‘–})(โ„Žโ€˜๐‘–) โІ ((Cntzโ€˜๐‘”)โ€˜(โ„Žโ€˜๐‘ฆ)) โˆง ((โ„Žโ€˜๐‘–) โˆฉ ((mrClsโ€˜(SubGrpโ€˜๐‘”))โ€˜โˆช (โ„Ž โ€œ (dom โ„Ž โˆ– {๐‘–})))) = {(0gโ€˜๐‘”)}))}) โ†” (๐‘” โˆˆ Grp โˆง ๐‘  โˆˆ {โ„Ž โˆฃ (โ„Ž:dom โ„ŽโŸถ(SubGrpโ€˜๐‘”) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ dom โ„Ž(โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (dom โ„Ž โˆ– {๐‘–})(โ„Žโ€˜๐‘–) โІ ((Cntzโ€˜๐‘”)โ€˜(โ„Žโ€˜๐‘ฆ)) โˆง ((โ„Žโ€˜๐‘–) โˆฉ ((mrClsโ€˜(SubGrpโ€˜๐‘”))โ€˜โˆช (โ„Ž โ€œ (dom โ„Ž โˆ– {๐‘–})))) = {(0gโ€˜๐‘”)}))}))
3218, 30, 313bitri 297 . . . . . . . 8 (๐‘”dom DProd ๐‘  โ†” (๐‘” โˆˆ Grp โˆง ๐‘  โˆˆ {โ„Ž โˆฃ (โ„Ž:dom โ„ŽโŸถ(SubGrpโ€˜๐‘”) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ dom โ„Ž(โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (dom โ„Ž โˆ– {๐‘–})(โ„Žโ€˜๐‘–) โІ ((Cntzโ€˜๐‘”)โ€˜(โ„Žโ€˜๐‘ฆ)) โˆง ((โ„Žโ€˜๐‘–) โˆฉ ((mrClsโ€˜(SubGrpโ€˜๐‘”))โ€˜โˆช (โ„Ž โ€œ (dom โ„Ž โˆ– {๐‘–})))) = {(0gโ€˜๐‘”)}))}))
3326ovmpt4g 7550 . . . . . . . . 9 ((๐‘” โˆˆ Grp โˆง ๐‘  โˆˆ {โ„Ž โˆฃ (โ„Ž:dom โ„ŽโŸถ(SubGrpโ€˜๐‘”) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ dom โ„Ž(โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (dom โ„Ž โˆ– {๐‘–})(โ„Žโ€˜๐‘–) โІ ((Cntzโ€˜๐‘”)โ€˜(โ„Žโ€˜๐‘ฆ)) โˆง ((โ„Žโ€˜๐‘–) โˆฉ ((mrClsโ€˜(SubGrpโ€˜๐‘”))โ€˜โˆช (โ„Ž โ€œ (dom โ„Ž โˆ– {๐‘–})))) = {(0gโ€˜๐‘”)}))} โˆง ran (๐‘“ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ X๐‘– โˆˆ dom ๐‘ (๐‘ โ€˜๐‘–) โˆฃ โ„Ž finSupp (0gโ€˜๐‘”)} โ†ฆ (๐‘” ฮฃg ๐‘“)) โˆˆ V) โ†’ (๐‘” DProd ๐‘ ) = ran (๐‘“ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ X๐‘– โˆˆ dom ๐‘ (๐‘ โ€˜๐‘–) โˆฃ โ„Ž finSupp (0gโ€˜๐‘”)} โ†ฆ (๐‘” ฮฃg ๐‘“)))
3424, 33mp3an3 1446 . . . . . . . 8 ((๐‘” โˆˆ Grp โˆง ๐‘  โˆˆ {โ„Ž โˆฃ (โ„Ž:dom โ„ŽโŸถ(SubGrpโ€˜๐‘”) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ dom โ„Ž(โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (dom โ„Ž โˆ– {๐‘–})(โ„Žโ€˜๐‘–) โІ ((Cntzโ€˜๐‘”)โ€˜(โ„Žโ€˜๐‘ฆ)) โˆง ((โ„Žโ€˜๐‘–) โˆฉ ((mrClsโ€˜(SubGrpโ€˜๐‘”))โ€˜โˆช (โ„Ž โ€œ (dom โ„Ž โˆ– {๐‘–})))) = {(0gโ€˜๐‘”)}))}) โ†’ (๐‘” DProd ๐‘ ) = ran (๐‘“ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ X๐‘– โˆˆ dom ๐‘ (๐‘ โ€˜๐‘–) โˆฃ โ„Ž finSupp (0gโ€˜๐‘”)} โ†ฆ (๐‘” ฮฃg ๐‘“)))
3532, 34sylbi 216 . . . . . . 7 (๐‘”dom DProd ๐‘  โ†’ (๐‘” DProd ๐‘ ) = ran (๐‘“ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ X๐‘– โˆˆ dom ๐‘ (๐‘ โ€˜๐‘–) โˆฃ โ„Ž finSupp (0gโ€˜๐‘”)} โ†ฆ (๐‘” ฮฃg ๐‘“)))
3617, 35vtoclg 3537 . . . . . 6 (๐บ โˆˆ V โ†’ (๐บdom DProd ๐‘  โ†’ (๐บ DProd ๐‘ ) = ran (๐‘“ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ X๐‘– โˆˆ dom ๐‘ (๐‘ โ€˜๐‘–) โˆฃ โ„Ž finSupp 0 } โ†ฆ (๐บ ฮฃg ๐‘“))))
375, 36mpcom 38 . . . . 5 (๐บdom DProd ๐‘  โ†’ (๐บ DProd ๐‘ ) = ran (๐‘“ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ X๐‘– โˆˆ dom ๐‘ (๐‘ โ€˜๐‘–) โˆฃ โ„Ž finSupp 0 } โ†ฆ (๐บ ฮฃg ๐‘“)))
3837sbcth 3787 . . . 4 (๐‘† โˆˆ V โ†’ [๐‘† / ๐‘ ](๐บdom DProd ๐‘  โ†’ (๐บ DProd ๐‘ ) = ran (๐‘“ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ X๐‘– โˆˆ dom ๐‘ (๐‘ โ€˜๐‘–) โˆฃ โ„Ž finSupp 0 } โ†ฆ (๐บ ฮฃg ๐‘“))))
394, 38syl 17 . . 3 ((๐บdom DProd ๐‘† โˆง dom ๐‘† = ๐ผ) โ†’ [๐‘† / ๐‘ ](๐บdom DProd ๐‘  โ†’ (๐บ DProd ๐‘ ) = ran (๐‘“ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ X๐‘– โˆˆ dom ๐‘ (๐‘ โ€˜๐‘–) โˆฃ โ„Ž finSupp 0 } โ†ฆ (๐บ ฮฃg ๐‘“))))
40 simpr 484 . . . . . 6 (((๐บdom DProd ๐‘† โˆง dom ๐‘† = ๐ผ) โˆง ๐‘  = ๐‘†) โ†’ ๐‘  = ๐‘†)
4140breq2d 5153 . . . . 5 (((๐บdom DProd ๐‘† โˆง dom ๐‘† = ๐ผ) โˆง ๐‘  = ๐‘†) โ†’ (๐บdom DProd ๐‘  โ†” ๐บdom DProd ๐‘†))
4240oveq2d 7420 . . . . . 6 (((๐บdom DProd ๐‘† โˆง dom ๐‘† = ๐ผ) โˆง ๐‘  = ๐‘†) โ†’ (๐บ DProd ๐‘ ) = (๐บ DProd ๐‘†))
4340dmeqd 5898 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐บdom DProd ๐‘† โˆง dom ๐‘† = ๐ผ) โˆง ๐‘  = ๐‘†) โ†’ dom ๐‘  = dom ๐‘†)
44 simplr 766 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐บdom DProd ๐‘† โˆง dom ๐‘† = ๐ผ) โˆง ๐‘  = ๐‘†) โ†’ dom ๐‘† = ๐ผ)
4543, 44eqtrd 2766 . . . . . . . . . . . 12 (((๐บdom DProd ๐‘† โˆง dom ๐‘† = ๐ผ) โˆง ๐‘  = ๐‘†) โ†’ dom ๐‘  = ๐ผ)
4645ixpeq1d 8902 . . . . . . . . . . 11 (((๐บdom DProd ๐‘† โˆง dom ๐‘† = ๐ผ) โˆง ๐‘  = ๐‘†) โ†’ X๐‘– โˆˆ dom ๐‘ (๐‘ โ€˜๐‘–) = X๐‘– โˆˆ ๐ผ (๐‘ โ€˜๐‘–))
4740fveq1d 6886 . . . . . . . . . . . 12 (((๐บdom DProd ๐‘† โˆง dom ๐‘† = ๐ผ) โˆง ๐‘  = ๐‘†) โ†’ (๐‘ โ€˜๐‘–) = (๐‘†โ€˜๐‘–))
4847ixpeq2dv 8906 . . . . . . . . . . 11 (((๐บdom DProd ๐‘† โˆง dom ๐‘† = ๐ผ) โˆง ๐‘  = ๐‘†) โ†’ X๐‘– โˆˆ ๐ผ (๐‘ โ€˜๐‘–) = X๐‘– โˆˆ ๐ผ (๐‘†โ€˜๐‘–))
4946, 48eqtrd 2766 . . . . . . . . . 10 (((๐บdom DProd ๐‘† โˆง dom ๐‘† = ๐ผ) โˆง ๐‘  = ๐‘†) โ†’ X๐‘– โˆˆ dom ๐‘ (๐‘ โ€˜๐‘–) = X๐‘– โˆˆ ๐ผ (๐‘†โ€˜๐‘–))
5049rabeqdv 3441 . . . . . . . . 9 (((๐บdom DProd ๐‘† โˆง dom ๐‘† = ๐ผ) โˆง ๐‘  = ๐‘†) โ†’ {โ„Ž โˆˆ X๐‘– โˆˆ dom ๐‘ (๐‘ โ€˜๐‘–) โˆฃ โ„Ž finSupp 0 } = {โ„Ž โˆˆ X๐‘– โˆˆ ๐ผ (๐‘†โ€˜๐‘–) โˆฃ โ„Ž finSupp 0 })
51 dprdval.w . . . . . . . . 9 ๐‘Š = {โ„Ž โˆˆ X๐‘– โˆˆ ๐ผ (๐‘†โ€˜๐‘–) โˆฃ โ„Ž finSupp 0 }
5250, 51eqtr4di 2784 . . . . . . . 8 (((๐บdom DProd ๐‘† โˆง dom ๐‘† = ๐ผ) โˆง ๐‘  = ๐‘†) โ†’ {โ„Ž โˆˆ X๐‘– โˆˆ dom ๐‘ (๐‘ โ€˜๐‘–) โˆฃ โ„Ž finSupp 0 } = ๐‘Š)
53 eqidd 2727 . . . . . . . 8 (((๐บdom DProd ๐‘† โˆง dom ๐‘† = ๐ผ) โˆง ๐‘  = ๐‘†) โ†’ (๐บ ฮฃg ๐‘“) = (๐บ ฮฃg ๐‘“))
5452, 53mpteq12dv 5232 . . . . . . 7 (((๐บdom DProd ๐‘† โˆง dom ๐‘† = ๐ผ) โˆง ๐‘  = ๐‘†) โ†’ (๐‘“ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ X๐‘– โˆˆ dom ๐‘ (๐‘ โ€˜๐‘–) โˆฃ โ„Ž finSupp 0 } โ†ฆ (๐บ ฮฃg ๐‘“)) = (๐‘“ โˆˆ ๐‘Š โ†ฆ (๐บ ฮฃg ๐‘“)))
5554rneqd 5930 . . . . . 6 (((๐บdom DProd ๐‘† โˆง dom ๐‘† = ๐ผ) โˆง ๐‘  = ๐‘†) โ†’ ran (๐‘“ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ X๐‘– โˆˆ dom ๐‘ (๐‘ โ€˜๐‘–) โˆฃ โ„Ž finSupp 0 } โ†ฆ (๐บ ฮฃg ๐‘“)) = ran (๐‘“ โˆˆ ๐‘Š โ†ฆ (๐บ ฮฃg ๐‘“)))
5642, 55eqeq12d 2742 . . . . 5 (((๐บdom DProd ๐‘† โˆง dom ๐‘† = ๐ผ) โˆง ๐‘  = ๐‘†) โ†’ ((๐บ DProd ๐‘ ) = ran (๐‘“ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ X๐‘– โˆˆ dom ๐‘ (๐‘ โ€˜๐‘–) โˆฃ โ„Ž finSupp 0 } โ†ฆ (๐บ ฮฃg ๐‘“)) โ†” (๐บ DProd ๐‘†) = ran (๐‘“ โˆˆ ๐‘Š โ†ฆ (๐บ ฮฃg ๐‘“))))
5741, 56imbi12d 344 . . . 4 (((๐บdom DProd ๐‘† โˆง dom ๐‘† = ๐ผ) โˆง ๐‘  = ๐‘†) โ†’ ((๐บdom DProd ๐‘  โ†’ (๐บ DProd ๐‘ ) = ran (๐‘“ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ X๐‘– โˆˆ dom ๐‘ (๐‘ โ€˜๐‘–) โˆฃ โ„Ž finSupp 0 } โ†ฆ (๐บ ฮฃg ๐‘“))) โ†” (๐บdom DProd ๐‘† โ†’ (๐บ DProd ๐‘†) = ran (๐‘“ โˆˆ ๐‘Š โ†ฆ (๐บ ฮฃg ๐‘“)))))
584, 57sbcied 3817 . . 3 ((๐บdom DProd ๐‘† โˆง dom ๐‘† = ๐ผ) โ†’ ([๐‘† / ๐‘ ](๐บdom DProd ๐‘  โ†’ (๐บ DProd ๐‘ ) = ran (๐‘“ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ X๐‘– โˆˆ dom ๐‘ (๐‘ โ€˜๐‘–) โˆฃ โ„Ž finSupp 0 } โ†ฆ (๐บ ฮฃg ๐‘“))) โ†” (๐บdom DProd ๐‘† โ†’ (๐บ DProd ๐‘†) = ran (๐‘“ โˆˆ ๐‘Š โ†ฆ (๐บ ฮฃg ๐‘“)))))
5939, 58mpbid 231 . 2 ((๐บdom DProd ๐‘† โˆง dom ๐‘† = ๐ผ) โ†’ (๐บdom DProd ๐‘† โ†’ (๐บ DProd ๐‘†) = ran (๐‘“ โˆˆ ๐‘Š โ†ฆ (๐บ ฮฃg ๐‘“))))
601, 59mpd 15 1 ((๐บdom DProd ๐‘† โˆง dom ๐‘† = ๐ผ) โ†’ (๐บ DProd ๐‘†) = ran (๐‘“ โˆˆ ๐‘Š โ†ฆ (๐บ ฮฃg ๐‘“)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 395   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  {cab 2703  โˆ€wral 3055  {crab 3426  Vcvv 3468  [wsbc 3772   โˆ– cdif 3940   โˆฉ cin 3942   โІ wss 3943  {csn 4623  โŸจcop 4629  โˆช cuni 4902  โˆช ciun 4990   class class class wbr 5141   โ†ฆ cmpt 5224   ร— cxp 5667  dom cdm 5669  ran crn 5670   โ€œ cima 5672  โŸถwf 6532  โ€˜cfv 6536  (class class class)co 7404  Xcixp 8890   finSupp cfsupp 9360  0gc0g 17391   ฮฃg cgsu 17392  mrClscmrc 17533  Grpcgrp 18860  SubGrpcsubg 19044  Cntzccntz 19228   DProd cdprd 19912
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-ixp 8891  df-dprd 19914
This theorem is referenced by:  eldprd  19923  dprdlub  19945
  Copyright terms: Public domain W3C validator