MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dprdval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dprdval 19967
Description: The value of the internal direct product operation, which is a function mapping the (infinite, but finitely supported) cartesian product of subgroups (which mutually commute and have trivial intersections) to its (group) sum . (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.) (Revised by AV, 11-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
dprdval.0 0 = (0gโ€˜๐บ)
dprdval.w ๐‘Š = {โ„Ž โˆˆ X๐‘– โˆˆ ๐ผ (๐‘†โ€˜๐‘–) โˆฃ โ„Ž finSupp 0 }
Assertion
Ref Expression
dprdval ((๐บdom DProd ๐‘† โˆง dom ๐‘† = ๐ผ) โ†’ (๐บ DProd ๐‘†) = ran (๐‘“ โˆˆ ๐‘Š โ†ฆ (๐บ ฮฃg ๐‘“)))
Distinct variable groups:   ๐‘“,โ„Ž,๐‘–,๐ผ   ๐‘†,๐‘“,โ„Ž,๐‘–   ๐‘“,๐บ,โ„Ž,๐‘–
Allowed substitution hints:   ๐‘Š(๐‘“,โ„Ž,๐‘–)   0 (๐‘“,โ„Ž,๐‘–)

Proof of Theorem dprdval
Dummy variables ๐‘” ๐‘  ๐‘ฆ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 481 . 2 ((๐บdom DProd ๐‘† โˆง dom ๐‘† = ๐ผ) โ†’ ๐บdom DProd ๐‘†)
2 reldmdprd 19961 . . . . . 6 Rel dom DProd
32brrelex2i 5739 . . . . 5 (๐บdom DProd ๐‘† โ†’ ๐‘† โˆˆ V)
43adantr 479 . . . 4 ((๐บdom DProd ๐‘† โˆง dom ๐‘† = ๐ผ) โ†’ ๐‘† โˆˆ V)
52brrelex1i 5738 . . . . . 6 (๐บdom DProd ๐‘  โ†’ ๐บ โˆˆ V)
6 breq1 5155 . . . . . . . 8 (๐‘” = ๐บ โ†’ (๐‘”dom DProd ๐‘  โ†” ๐บdom DProd ๐‘ ))
7 oveq1 7433 . . . . . . . . 9 (๐‘” = ๐บ โ†’ (๐‘” DProd ๐‘ ) = (๐บ DProd ๐‘ ))
8 fveq2 6902 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘” = ๐บ โ†’ (0gโ€˜๐‘”) = (0gโ€˜๐บ))
9 dprdval.0 . . . . . . . . . . . . . 14 0 = (0gโ€˜๐บ)
108, 9eqtr4di 2786 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘” = ๐บ โ†’ (0gโ€˜๐‘”) = 0 )
1110breq2d 5164 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘” = ๐บ โ†’ (โ„Ž finSupp (0gโ€˜๐‘”) โ†” โ„Ž finSupp 0 ))
1211rabbidv 3438 . . . . . . . . . . 11 (๐‘” = ๐บ โ†’ {โ„Ž โˆˆ X๐‘– โˆˆ dom ๐‘ (๐‘ โ€˜๐‘–) โˆฃ โ„Ž finSupp (0gโ€˜๐‘”)} = {โ„Ž โˆˆ X๐‘– โˆˆ dom ๐‘ (๐‘ โ€˜๐‘–) โˆฃ โ„Ž finSupp 0 })
13 oveq1 7433 . . . . . . . . . . 11 (๐‘” = ๐บ โ†’ (๐‘” ฮฃg ๐‘“) = (๐บ ฮฃg ๐‘“))
1412, 13mpteq12dv 5243 . . . . . . . . . 10 (๐‘” = ๐บ โ†’ (๐‘“ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ X๐‘– โˆˆ dom ๐‘ (๐‘ โ€˜๐‘–) โˆฃ โ„Ž finSupp (0gโ€˜๐‘”)} โ†ฆ (๐‘” ฮฃg ๐‘“)) = (๐‘“ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ X๐‘– โˆˆ dom ๐‘ (๐‘ โ€˜๐‘–) โˆฃ โ„Ž finSupp 0 } โ†ฆ (๐บ ฮฃg ๐‘“)))
1514rneqd 5944 . . . . . . . . 9 (๐‘” = ๐บ โ†’ ran (๐‘“ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ X๐‘– โˆˆ dom ๐‘ (๐‘ โ€˜๐‘–) โˆฃ โ„Ž finSupp (0gโ€˜๐‘”)} โ†ฆ (๐‘” ฮฃg ๐‘“)) = ran (๐‘“ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ X๐‘– โˆˆ dom ๐‘ (๐‘ โ€˜๐‘–) โˆฃ โ„Ž finSupp 0 } โ†ฆ (๐บ ฮฃg ๐‘“)))
167, 15eqeq12d 2744 . . . . . . . 8 (๐‘” = ๐บ โ†’ ((๐‘” DProd ๐‘ ) = ran (๐‘“ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ X๐‘– โˆˆ dom ๐‘ (๐‘ โ€˜๐‘–) โˆฃ โ„Ž finSupp (0gโ€˜๐‘”)} โ†ฆ (๐‘” ฮฃg ๐‘“)) โ†” (๐บ DProd ๐‘ ) = ran (๐‘“ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ X๐‘– โˆˆ dom ๐‘ (๐‘ โ€˜๐‘–) โˆฃ โ„Ž finSupp 0 } โ†ฆ (๐บ ฮฃg ๐‘“))))
176, 16imbi12d 343 . . . . . . 7 (๐‘” = ๐บ โ†’ ((๐‘”dom DProd ๐‘  โ†’ (๐‘” DProd ๐‘ ) = ran (๐‘“ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ X๐‘– โˆˆ dom ๐‘ (๐‘ โ€˜๐‘–) โˆฃ โ„Ž finSupp (0gโ€˜๐‘”)} โ†ฆ (๐‘” ฮฃg ๐‘“))) โ†” (๐บdom DProd ๐‘  โ†’ (๐บ DProd ๐‘ ) = ran (๐‘“ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ X๐‘– โˆˆ dom ๐‘ (๐‘ โ€˜๐‘–) โˆฃ โ„Ž finSupp 0 } โ†ฆ (๐บ ฮฃg ๐‘“)))))
18 df-br 5153 . . . . . . . . 9 (๐‘”dom DProd ๐‘  โ†” โŸจ๐‘”, ๐‘ โŸฉ โˆˆ dom DProd )
19 fvex 6915 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘ โ€˜๐‘–) โˆˆ V
2019rgenw 3062 . . . . . . . . . . . . . . . 16 โˆ€๐‘– โˆˆ dom ๐‘ (๐‘ โ€˜๐‘–) โˆˆ V
21 ixpexg 8947 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (โˆ€๐‘– โˆˆ dom ๐‘ (๐‘ โ€˜๐‘–) โˆˆ V โ†’ X๐‘– โˆˆ dom ๐‘ (๐‘ โ€˜๐‘–) โˆˆ V)
2220, 21ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15 X๐‘– โˆˆ dom ๐‘ (๐‘ โ€˜๐‘–) โˆˆ V
2322mptrabex 7243 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘“ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ X๐‘– โˆˆ dom ๐‘ (๐‘ โ€˜๐‘–) โˆฃ โ„Ž finSupp (0gโ€˜๐‘”)} โ†ฆ (๐‘” ฮฃg ๐‘“)) โˆˆ V
2423rnex 7924 . . . . . . . . . . . . 13 ran (๐‘“ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ X๐‘– โˆˆ dom ๐‘ (๐‘ โ€˜๐‘–) โˆฃ โ„Ž finSupp (0gโ€˜๐‘”)} โ†ฆ (๐‘” ฮฃg ๐‘“)) โˆˆ V
2524rgen2w 3063 . . . . . . . . . . . 12 โˆ€๐‘” โˆˆ Grp โˆ€๐‘  โˆˆ {โ„Ž โˆฃ (โ„Ž:dom โ„ŽโŸถ(SubGrpโ€˜๐‘”) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ dom โ„Ž(โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (dom โ„Ž โˆ– {๐‘–})(โ„Žโ€˜๐‘–) โІ ((Cntzโ€˜๐‘”)โ€˜(โ„Žโ€˜๐‘ฆ)) โˆง ((โ„Žโ€˜๐‘–) โˆฉ ((mrClsโ€˜(SubGrpโ€˜๐‘”))โ€˜โˆช (โ„Ž โ€œ (dom โ„Ž โˆ– {๐‘–})))) = {(0gโ€˜๐‘”)}))}ran (๐‘“ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ X๐‘– โˆˆ dom ๐‘ (๐‘ โ€˜๐‘–) โˆฃ โ„Ž finSupp (0gโ€˜๐‘”)} โ†ฆ (๐‘” ฮฃg ๐‘“)) โˆˆ V
26 df-dprd 19959 . . . . . . . . . . . . 13 DProd = (๐‘” โˆˆ Grp, ๐‘  โˆˆ {โ„Ž โˆฃ (โ„Ž:dom โ„ŽโŸถ(SubGrpโ€˜๐‘”) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ dom โ„Ž(โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (dom โ„Ž โˆ– {๐‘–})(โ„Žโ€˜๐‘–) โІ ((Cntzโ€˜๐‘”)โ€˜(โ„Žโ€˜๐‘ฆ)) โˆง ((โ„Žโ€˜๐‘–) โˆฉ ((mrClsโ€˜(SubGrpโ€˜๐‘”))โ€˜โˆช (โ„Ž โ€œ (dom โ„Ž โˆ– {๐‘–})))) = {(0gโ€˜๐‘”)}))} โ†ฆ ran (๐‘“ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ X๐‘– โˆˆ dom ๐‘ (๐‘ โ€˜๐‘–) โˆฃ โ„Ž finSupp (0gโ€˜๐‘”)} โ†ฆ (๐‘” ฮฃg ๐‘“)))
2726fmpox 8077 . . . . . . . . . . . 12 (โˆ€๐‘” โˆˆ Grp โˆ€๐‘  โˆˆ {โ„Ž โˆฃ (โ„Ž:dom โ„ŽโŸถ(SubGrpโ€˜๐‘”) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ dom โ„Ž(โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (dom โ„Ž โˆ– {๐‘–})(โ„Žโ€˜๐‘–) โІ ((Cntzโ€˜๐‘”)โ€˜(โ„Žโ€˜๐‘ฆ)) โˆง ((โ„Žโ€˜๐‘–) โˆฉ ((mrClsโ€˜(SubGrpโ€˜๐‘”))โ€˜โˆช (โ„Ž โ€œ (dom โ„Ž โˆ– {๐‘–})))) = {(0gโ€˜๐‘”)}))}ran (๐‘“ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ X๐‘– โˆˆ dom ๐‘ (๐‘ โ€˜๐‘–) โˆฃ โ„Ž finSupp (0gโ€˜๐‘”)} โ†ฆ (๐‘” ฮฃg ๐‘“)) โˆˆ V โ†” DProd :โˆช ๐‘” โˆˆ Grp ({๐‘”} ร— {โ„Ž โˆฃ (โ„Ž:dom โ„ŽโŸถ(SubGrpโ€˜๐‘”) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ dom โ„Ž(โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (dom โ„Ž โˆ– {๐‘–})(โ„Žโ€˜๐‘–) โІ ((Cntzโ€˜๐‘”)โ€˜(โ„Žโ€˜๐‘ฆ)) โˆง ((โ„Žโ€˜๐‘–) โˆฉ ((mrClsโ€˜(SubGrpโ€˜๐‘”))โ€˜โˆช (โ„Ž โ€œ (dom โ„Ž โˆ– {๐‘–})))) = {(0gโ€˜๐‘”)}))})โŸถV)
2825, 27mpbi 229 . . . . . . . . . . 11 DProd :โˆช ๐‘” โˆˆ Grp ({๐‘”} ร— {โ„Ž โˆฃ (โ„Ž:dom โ„ŽโŸถ(SubGrpโ€˜๐‘”) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ dom โ„Ž(โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (dom โ„Ž โˆ– {๐‘–})(โ„Žโ€˜๐‘–) โІ ((Cntzโ€˜๐‘”)โ€˜(โ„Žโ€˜๐‘ฆ)) โˆง ((โ„Žโ€˜๐‘–) โˆฉ ((mrClsโ€˜(SubGrpโ€˜๐‘”))โ€˜โˆช (โ„Ž โ€œ (dom โ„Ž โˆ– {๐‘–})))) = {(0gโ€˜๐‘”)}))})โŸถV
2928fdmi 6739 . . . . . . . . . 10 dom DProd = โˆช ๐‘” โˆˆ Grp ({๐‘”} ร— {โ„Ž โˆฃ (โ„Ž:dom โ„ŽโŸถ(SubGrpโ€˜๐‘”) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ dom โ„Ž(โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (dom โ„Ž โˆ– {๐‘–})(โ„Žโ€˜๐‘–) โІ ((Cntzโ€˜๐‘”)โ€˜(โ„Žโ€˜๐‘ฆ)) โˆง ((โ„Žโ€˜๐‘–) โˆฉ ((mrClsโ€˜(SubGrpโ€˜๐‘”))โ€˜โˆช (โ„Ž โ€œ (dom โ„Ž โˆ– {๐‘–})))) = {(0gโ€˜๐‘”)}))})
3029eleq2i 2821 . . . . . . . . 9 (โŸจ๐‘”, ๐‘ โŸฉ โˆˆ dom DProd โ†” โŸจ๐‘”, ๐‘ โŸฉ โˆˆ โˆช ๐‘” โˆˆ Grp ({๐‘”} ร— {โ„Ž โˆฃ (โ„Ž:dom โ„ŽโŸถ(SubGrpโ€˜๐‘”) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ dom โ„Ž(โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (dom โ„Ž โˆ– {๐‘–})(โ„Žโ€˜๐‘–) โІ ((Cntzโ€˜๐‘”)โ€˜(โ„Žโ€˜๐‘ฆ)) โˆง ((โ„Žโ€˜๐‘–) โˆฉ ((mrClsโ€˜(SubGrpโ€˜๐‘”))โ€˜โˆช (โ„Ž โ€œ (dom โ„Ž โˆ– {๐‘–})))) = {(0gโ€˜๐‘”)}))}))
31 opeliunxp 5749 . . . . . . . . 9 (โŸจ๐‘”, ๐‘ โŸฉ โˆˆ โˆช ๐‘” โˆˆ Grp ({๐‘”} ร— {โ„Ž โˆฃ (โ„Ž:dom โ„ŽโŸถ(SubGrpโ€˜๐‘”) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ dom โ„Ž(โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (dom โ„Ž โˆ– {๐‘–})(โ„Žโ€˜๐‘–) โІ ((Cntzโ€˜๐‘”)โ€˜(โ„Žโ€˜๐‘ฆ)) โˆง ((โ„Žโ€˜๐‘–) โˆฉ ((mrClsโ€˜(SubGrpโ€˜๐‘”))โ€˜โˆช (โ„Ž โ€œ (dom โ„Ž โˆ– {๐‘–})))) = {(0gโ€˜๐‘”)}))}) โ†” (๐‘” โˆˆ Grp โˆง ๐‘  โˆˆ {โ„Ž โˆฃ (โ„Ž:dom โ„ŽโŸถ(SubGrpโ€˜๐‘”) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ dom โ„Ž(โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (dom โ„Ž โˆ– {๐‘–})(โ„Žโ€˜๐‘–) โІ ((Cntzโ€˜๐‘”)โ€˜(โ„Žโ€˜๐‘ฆ)) โˆง ((โ„Žโ€˜๐‘–) โˆฉ ((mrClsโ€˜(SubGrpโ€˜๐‘”))โ€˜โˆช (โ„Ž โ€œ (dom โ„Ž โˆ– {๐‘–})))) = {(0gโ€˜๐‘”)}))}))
3218, 30, 313bitri 296 . . . . . . . 8 (๐‘”dom DProd ๐‘  โ†” (๐‘” โˆˆ Grp โˆง ๐‘  โˆˆ {โ„Ž โˆฃ (โ„Ž:dom โ„ŽโŸถ(SubGrpโ€˜๐‘”) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ dom โ„Ž(โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (dom โ„Ž โˆ– {๐‘–})(โ„Žโ€˜๐‘–) โІ ((Cntzโ€˜๐‘”)โ€˜(โ„Žโ€˜๐‘ฆ)) โˆง ((โ„Žโ€˜๐‘–) โˆฉ ((mrClsโ€˜(SubGrpโ€˜๐‘”))โ€˜โˆช (โ„Ž โ€œ (dom โ„Ž โˆ– {๐‘–})))) = {(0gโ€˜๐‘”)}))}))
3326ovmpt4g 7574 . . . . . . . . 9 ((๐‘” โˆˆ Grp โˆง ๐‘  โˆˆ {โ„Ž โˆฃ (โ„Ž:dom โ„ŽโŸถ(SubGrpโ€˜๐‘”) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ dom โ„Ž(โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (dom โ„Ž โˆ– {๐‘–})(โ„Žโ€˜๐‘–) โІ ((Cntzโ€˜๐‘”)โ€˜(โ„Žโ€˜๐‘ฆ)) โˆง ((โ„Žโ€˜๐‘–) โˆฉ ((mrClsโ€˜(SubGrpโ€˜๐‘”))โ€˜โˆช (โ„Ž โ€œ (dom โ„Ž โˆ– {๐‘–})))) = {(0gโ€˜๐‘”)}))} โˆง ran (๐‘“ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ X๐‘– โˆˆ dom ๐‘ (๐‘ โ€˜๐‘–) โˆฃ โ„Ž finSupp (0gโ€˜๐‘”)} โ†ฆ (๐‘” ฮฃg ๐‘“)) โˆˆ V) โ†’ (๐‘” DProd ๐‘ ) = ran (๐‘“ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ X๐‘– โˆˆ dom ๐‘ (๐‘ โ€˜๐‘–) โˆฃ โ„Ž finSupp (0gโ€˜๐‘”)} โ†ฆ (๐‘” ฮฃg ๐‘“)))
3424, 33mp3an3 1446 . . . . . . . 8 ((๐‘” โˆˆ Grp โˆง ๐‘  โˆˆ {โ„Ž โˆฃ (โ„Ž:dom โ„ŽโŸถ(SubGrpโ€˜๐‘”) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ dom โ„Ž(โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (dom โ„Ž โˆ– {๐‘–})(โ„Žโ€˜๐‘–) โІ ((Cntzโ€˜๐‘”)โ€˜(โ„Žโ€˜๐‘ฆ)) โˆง ((โ„Žโ€˜๐‘–) โˆฉ ((mrClsโ€˜(SubGrpโ€˜๐‘”))โ€˜โˆช (โ„Ž โ€œ (dom โ„Ž โˆ– {๐‘–})))) = {(0gโ€˜๐‘”)}))}) โ†’ (๐‘” DProd ๐‘ ) = ran (๐‘“ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ X๐‘– โˆˆ dom ๐‘ (๐‘ โ€˜๐‘–) โˆฃ โ„Ž finSupp (0gโ€˜๐‘”)} โ†ฆ (๐‘” ฮฃg ๐‘“)))
3532, 34sylbi 216 . . . . . . 7 (๐‘”dom DProd ๐‘  โ†’ (๐‘” DProd ๐‘ ) = ran (๐‘“ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ X๐‘– โˆˆ dom ๐‘ (๐‘ โ€˜๐‘–) โˆฃ โ„Ž finSupp (0gโ€˜๐‘”)} โ†ฆ (๐‘” ฮฃg ๐‘“)))
3617, 35vtoclg 3542 . . . . . 6 (๐บ โˆˆ V โ†’ (๐บdom DProd ๐‘  โ†’ (๐บ DProd ๐‘ ) = ran (๐‘“ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ X๐‘– โˆˆ dom ๐‘ (๐‘ โ€˜๐‘–) โˆฃ โ„Ž finSupp 0 } โ†ฆ (๐บ ฮฃg ๐‘“))))
375, 36mpcom 38 . . . . 5 (๐บdom DProd ๐‘  โ†’ (๐บ DProd ๐‘ ) = ran (๐‘“ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ X๐‘– โˆˆ dom ๐‘ (๐‘ โ€˜๐‘–) โˆฃ โ„Ž finSupp 0 } โ†ฆ (๐บ ฮฃg ๐‘“)))
3837sbcth 3793 . . . 4 (๐‘† โˆˆ V โ†’ [๐‘† / ๐‘ ](๐บdom DProd ๐‘  โ†’ (๐บ DProd ๐‘ ) = ran (๐‘“ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ X๐‘– โˆˆ dom ๐‘ (๐‘ โ€˜๐‘–) โˆฃ โ„Ž finSupp 0 } โ†ฆ (๐บ ฮฃg ๐‘“))))
394, 38syl 17 . . 3 ((๐บdom DProd ๐‘† โˆง dom ๐‘† = ๐ผ) โ†’ [๐‘† / ๐‘ ](๐บdom DProd ๐‘  โ†’ (๐บ DProd ๐‘ ) = ran (๐‘“ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ X๐‘– โˆˆ dom ๐‘ (๐‘ โ€˜๐‘–) โˆฃ โ„Ž finSupp 0 } โ†ฆ (๐บ ฮฃg ๐‘“))))
40 simpr 483 . . . . . 6 (((๐บdom DProd ๐‘† โˆง dom ๐‘† = ๐ผ) โˆง ๐‘  = ๐‘†) โ†’ ๐‘  = ๐‘†)
4140breq2d 5164 . . . . 5 (((๐บdom DProd ๐‘† โˆง dom ๐‘† = ๐ผ) โˆง ๐‘  = ๐‘†) โ†’ (๐บdom DProd ๐‘  โ†” ๐บdom DProd ๐‘†))
4240oveq2d 7442 . . . . . 6 (((๐บdom DProd ๐‘† โˆง dom ๐‘† = ๐ผ) โˆง ๐‘  = ๐‘†) โ†’ (๐บ DProd ๐‘ ) = (๐บ DProd ๐‘†))
4340dmeqd 5912 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐บdom DProd ๐‘† โˆง dom ๐‘† = ๐ผ) โˆง ๐‘  = ๐‘†) โ†’ dom ๐‘  = dom ๐‘†)
44 simplr 767 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐บdom DProd ๐‘† โˆง dom ๐‘† = ๐ผ) โˆง ๐‘  = ๐‘†) โ†’ dom ๐‘† = ๐ผ)
4543, 44eqtrd 2768 . . . . . . . . . . . 12 (((๐บdom DProd ๐‘† โˆง dom ๐‘† = ๐ผ) โˆง ๐‘  = ๐‘†) โ†’ dom ๐‘  = ๐ผ)
4645ixpeq1d 8934 . . . . . . . . . . 11 (((๐บdom DProd ๐‘† โˆง dom ๐‘† = ๐ผ) โˆง ๐‘  = ๐‘†) โ†’ X๐‘– โˆˆ dom ๐‘ (๐‘ โ€˜๐‘–) = X๐‘– โˆˆ ๐ผ (๐‘ โ€˜๐‘–))
4740fveq1d 6904 . . . . . . . . . . . 12 (((๐บdom DProd ๐‘† โˆง dom ๐‘† = ๐ผ) โˆง ๐‘  = ๐‘†) โ†’ (๐‘ โ€˜๐‘–) = (๐‘†โ€˜๐‘–))
4847ixpeq2dv 8938 . . . . . . . . . . 11 (((๐บdom DProd ๐‘† โˆง dom ๐‘† = ๐ผ) โˆง ๐‘  = ๐‘†) โ†’ X๐‘– โˆˆ ๐ผ (๐‘ โ€˜๐‘–) = X๐‘– โˆˆ ๐ผ (๐‘†โ€˜๐‘–))
4946, 48eqtrd 2768 . . . . . . . . . 10 (((๐บdom DProd ๐‘† โˆง dom ๐‘† = ๐ผ) โˆง ๐‘  = ๐‘†) โ†’ X๐‘– โˆˆ dom ๐‘ (๐‘ โ€˜๐‘–) = X๐‘– โˆˆ ๐ผ (๐‘†โ€˜๐‘–))
5049rabeqdv 3446 . . . . . . . . 9 (((๐บdom DProd ๐‘† โˆง dom ๐‘† = ๐ผ) โˆง ๐‘  = ๐‘†) โ†’ {โ„Ž โˆˆ X๐‘– โˆˆ dom ๐‘ (๐‘ โ€˜๐‘–) โˆฃ โ„Ž finSupp 0 } = {โ„Ž โˆˆ X๐‘– โˆˆ ๐ผ (๐‘†โ€˜๐‘–) โˆฃ โ„Ž finSupp 0 })
51 dprdval.w . . . . . . . . 9 ๐‘Š = {โ„Ž โˆˆ X๐‘– โˆˆ ๐ผ (๐‘†โ€˜๐‘–) โˆฃ โ„Ž finSupp 0 }
5250, 51eqtr4di 2786 . . . . . . . 8 (((๐บdom DProd ๐‘† โˆง dom ๐‘† = ๐ผ) โˆง ๐‘  = ๐‘†) โ†’ {โ„Ž โˆˆ X๐‘– โˆˆ dom ๐‘ (๐‘ โ€˜๐‘–) โˆฃ โ„Ž finSupp 0 } = ๐‘Š)
53 eqidd 2729 . . . . . . . 8 (((๐บdom DProd ๐‘† โˆง dom ๐‘† = ๐ผ) โˆง ๐‘  = ๐‘†) โ†’ (๐บ ฮฃg ๐‘“) = (๐บ ฮฃg ๐‘“))
5452, 53mpteq12dv 5243 . . . . . . 7 (((๐บdom DProd ๐‘† โˆง dom ๐‘† = ๐ผ) โˆง ๐‘  = ๐‘†) โ†’ (๐‘“ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ X๐‘– โˆˆ dom ๐‘ (๐‘ โ€˜๐‘–) โˆฃ โ„Ž finSupp 0 } โ†ฆ (๐บ ฮฃg ๐‘“)) = (๐‘“ โˆˆ ๐‘Š โ†ฆ (๐บ ฮฃg ๐‘“)))
5554rneqd 5944 . . . . . 6 (((๐บdom DProd ๐‘† โˆง dom ๐‘† = ๐ผ) โˆง ๐‘  = ๐‘†) โ†’ ran (๐‘“ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ X๐‘– โˆˆ dom ๐‘ (๐‘ โ€˜๐‘–) โˆฃ โ„Ž finSupp 0 } โ†ฆ (๐บ ฮฃg ๐‘“)) = ran (๐‘“ โˆˆ ๐‘Š โ†ฆ (๐บ ฮฃg ๐‘“)))
5642, 55eqeq12d 2744 . . . . 5 (((๐บdom DProd ๐‘† โˆง dom ๐‘† = ๐ผ) โˆง ๐‘  = ๐‘†) โ†’ ((๐บ DProd ๐‘ ) = ran (๐‘“ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ X๐‘– โˆˆ dom ๐‘ (๐‘ โ€˜๐‘–) โˆฃ โ„Ž finSupp 0 } โ†ฆ (๐บ ฮฃg ๐‘“)) โ†” (๐บ DProd ๐‘†) = ran (๐‘“ โˆˆ ๐‘Š โ†ฆ (๐บ ฮฃg ๐‘“))))
5741, 56imbi12d 343 . . . 4 (((๐บdom DProd ๐‘† โˆง dom ๐‘† = ๐ผ) โˆง ๐‘  = ๐‘†) โ†’ ((๐บdom DProd ๐‘  โ†’ (๐บ DProd ๐‘ ) = ran (๐‘“ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ X๐‘– โˆˆ dom ๐‘ (๐‘ โ€˜๐‘–) โˆฃ โ„Ž finSupp 0 } โ†ฆ (๐บ ฮฃg ๐‘“))) โ†” (๐บdom DProd ๐‘† โ†’ (๐บ DProd ๐‘†) = ran (๐‘“ โˆˆ ๐‘Š โ†ฆ (๐บ ฮฃg ๐‘“)))))
584, 57sbcied 3824 . . 3 ((๐บdom DProd ๐‘† โˆง dom ๐‘† = ๐ผ) โ†’ ([๐‘† / ๐‘ ](๐บdom DProd ๐‘  โ†’ (๐บ DProd ๐‘ ) = ran (๐‘“ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ X๐‘– โˆˆ dom ๐‘ (๐‘ โ€˜๐‘–) โˆฃ โ„Ž finSupp 0 } โ†ฆ (๐บ ฮฃg ๐‘“))) โ†” (๐บdom DProd ๐‘† โ†’ (๐บ DProd ๐‘†) = ran (๐‘“ โˆˆ ๐‘Š โ†ฆ (๐บ ฮฃg ๐‘“)))))
5939, 58mpbid 231 . 2 ((๐บdom DProd ๐‘† โˆง dom ๐‘† = ๐ผ) โ†’ (๐บdom DProd ๐‘† โ†’ (๐บ DProd ๐‘†) = ran (๐‘“ โˆˆ ๐‘Š โ†ฆ (๐บ ฮฃg ๐‘“))))
601, 59mpd 15 1 ((๐บdom DProd ๐‘† โˆง dom ๐‘† = ๐ผ) โ†’ (๐บ DProd ๐‘†) = ran (๐‘“ โˆˆ ๐‘Š โ†ฆ (๐บ ฮฃg ๐‘“)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 394   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  {cab 2705  โˆ€wral 3058  {crab 3430  Vcvv 3473  [wsbc 3778   โˆ– cdif 3946   โˆฉ cin 3948   โІ wss 3949  {csn 4632  โŸจcop 4638  โˆช cuni 4912  โˆช ciun 5000   class class class wbr 5152   โ†ฆ cmpt 5235   ร— cxp 5680  dom cdm 5682  ran crn 5683   โ€œ cima 5685  โŸถwf 6549  โ€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  Xcixp 8922   finSupp cfsupp 9393  0gc0g 17428   ฮฃg cgsu 17429  mrClscmrc 17570  Grpcgrp 18897  SubGrpcsubg 19082  Cntzccntz 19273   DProd cdprd 19957
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-id 5580  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-ixp 8923  df-dprd 19959
This theorem is referenced by:  eldprd  19968  dprdlub  19990
  Copyright terms: Public domain W3C validator