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Theorem isprm5 16583
Description: One need only check prime divisors of 𝑃 up to 𝑃 in order to ensure primality. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.)
Assertion
Ref Expression
isprm5 (𝑃 ∈ ℙ ↔ (𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ ∀𝑧 ∈ ℙ ((𝑧↑2) ≤ 𝑃 → ¬ 𝑧𝑃)))
Distinct variable group:   𝑧,𝑃

Proof of Theorem isprm5
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isprm4 16560 . 2 (𝑃 ∈ ℙ ↔ (𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ ∀𝑧 ∈ (ℤ‘2)(𝑧𝑃𝑧 = 𝑃)))
2 prmuz2 16572 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ ℙ → 𝑧 ∈ (ℤ‘2))
32a1i 11 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ (ℤ‘2) → (𝑧 ∈ ℙ → 𝑧 ∈ (ℤ‘2)))
4 eluz2gt1 12845 . . . . . . . . . . . 12 (𝑃 ∈ (ℤ‘2) → 1 < 𝑃)
5 eluzelre 12774 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑃 ∈ (ℤ‘2) → 𝑃 ∈ ℝ)
6 eluz2nn 12809 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑃 ∈ (ℤ‘2) → 𝑃 ∈ ℕ)
76nngt0d 12202 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑃 ∈ (ℤ‘2) → 0 < 𝑃)
8 ltmulgt11 12015 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑃 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑃) → (1 < 𝑃𝑃 < (𝑃 · 𝑃)))
95, 5, 7, 8syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . 12 (𝑃 ∈ (ℤ‘2) → (1 < 𝑃𝑃 < (𝑃 · 𝑃)))
104, 9mpbid 231 . . . . . . . . . . 11 (𝑃 ∈ (ℤ‘2) → 𝑃 < (𝑃 · 𝑃))
115, 5remulcld 11185 . . . . . . . . . . . 12 (𝑃 ∈ (ℤ‘2) → (𝑃 · 𝑃) ∈ ℝ)
125, 11ltnled 11302 . . . . . . . . . . 11 (𝑃 ∈ (ℤ‘2) → (𝑃 < (𝑃 · 𝑃) ↔ ¬ (𝑃 · 𝑃) ≤ 𝑃))
1310, 12mpbid 231 . . . . . . . . . 10 (𝑃 ∈ (ℤ‘2) → ¬ (𝑃 · 𝑃) ≤ 𝑃)
14 oveq12 7366 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑧 = 𝑃𝑧 = 𝑃) → (𝑧 · 𝑧) = (𝑃 · 𝑃))
1514anidms 567 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = 𝑃 → (𝑧 · 𝑧) = (𝑃 · 𝑃))
1615breq1d 5115 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = 𝑃 → ((𝑧 · 𝑧) ≤ 𝑃 ↔ (𝑃 · 𝑃) ≤ 𝑃))
1716notbid 317 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = 𝑃 → (¬ (𝑧 · 𝑧) ≤ 𝑃 ↔ ¬ (𝑃 · 𝑃) ≤ 𝑃))
1813, 17syl5ibrcom 246 . . . . . . . . 9 (𝑃 ∈ (ℤ‘2) → (𝑧 = 𝑃 → ¬ (𝑧 · 𝑧) ≤ 𝑃))
1918imim2d 57 . . . . . . . 8 (𝑃 ∈ (ℤ‘2) → ((𝑧𝑃𝑧 = 𝑃) → (𝑧𝑃 → ¬ (𝑧 · 𝑧) ≤ 𝑃)))
20 con2 135 . . . . . . . 8 ((𝑧𝑃 → ¬ (𝑧 · 𝑧) ≤ 𝑃) → ((𝑧 · 𝑧) ≤ 𝑃 → ¬ 𝑧𝑃))
2119, 20syl6 35 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ (ℤ‘2) → ((𝑧𝑃𝑧 = 𝑃) → ((𝑧 · 𝑧) ≤ 𝑃 → ¬ 𝑧𝑃)))
223, 21imim12d 81 . . . . . 6 (𝑃 ∈ (ℤ‘2) → ((𝑧 ∈ (ℤ‘2) → (𝑧𝑃𝑧 = 𝑃)) → (𝑧 ∈ ℙ → ((𝑧 · 𝑧) ≤ 𝑃 → ¬ 𝑧𝑃))))
2322ralimdv2 3160 . . . . 5 (𝑃 ∈ (ℤ‘2) → (∀𝑧 ∈ (ℤ‘2)(𝑧𝑃𝑧 = 𝑃) → ∀𝑧 ∈ ℙ ((𝑧 · 𝑧) ≤ 𝑃 → ¬ 𝑧𝑃)))
24 annim 404 . . . . . . . . 9 ((𝑧𝑃 ∧ ¬ 𝑧 = 𝑃) ↔ ¬ (𝑧𝑃𝑧 = 𝑃))
25 oveq12 7366 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑥 = 𝑧𝑥 = 𝑧) → (𝑥 · 𝑥) = (𝑧 · 𝑧))
2625anidms 567 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 · 𝑥) = (𝑧 · 𝑧))
2726breq1d 5115 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 𝑧 → ((𝑥 · 𝑥) ≤ 𝑃 ↔ (𝑧 · 𝑧) ≤ 𝑃))
28 breq1 5108 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 𝑧 → (𝑥𝑃𝑧𝑃))
2927, 28anbi12d 631 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 𝑧 → (((𝑥 · 𝑥) ≤ 𝑃𝑥𝑃) ↔ ((𝑧 · 𝑧) ≤ 𝑃𝑧𝑃)))
3029rspcev 3581 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑧 ∈ (ℤ‘2) ∧ ((𝑧 · 𝑧) ≤ 𝑃𝑧𝑃)) → ∃𝑥 ∈ (ℤ‘2)((𝑥 · 𝑥) ≤ 𝑃𝑥𝑃))
3130ancom2s 648 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑧 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑧𝑃 ∧ (𝑧 · 𝑧) ≤ 𝑃)) → ∃𝑥 ∈ (ℤ‘2)((𝑥 · 𝑥) ≤ 𝑃𝑥𝑃))
3231expr 457 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑧 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧𝑃) → ((𝑧 · 𝑧) ≤ 𝑃 → ∃𝑥 ∈ (ℤ‘2)((𝑥 · 𝑥) ≤ 𝑃𝑥𝑃)))
3332ad2ant2lr 746 . . . . . . . . . . 11 (((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑧𝑃 ∧ ¬ 𝑧 = 𝑃)) → ((𝑧 · 𝑧) ≤ 𝑃 → ∃𝑥 ∈ (ℤ‘2)((𝑥 · 𝑥) ≤ 𝑃𝑥𝑃)))
34 simprl 769 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑧𝑃 ∧ ¬ 𝑧 = 𝑃)) → 𝑧𝑃)
35 eluzelz 12773 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑧 ∈ (ℤ‘2) → 𝑧 ∈ ℤ)
3635ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑧𝑃 ∧ ¬ 𝑧 = 𝑃)) → 𝑧 ∈ ℤ)
37 eluz2nn 12809 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑧 ∈ (ℤ‘2) → 𝑧 ∈ ℕ)
3837ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑧𝑃 ∧ ¬ 𝑧 = 𝑃)) → 𝑧 ∈ ℕ)
3938nnne0d 12203 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑧𝑃 ∧ ¬ 𝑧 = 𝑃)) → 𝑧 ≠ 0)
40 eluzelz 12773 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑃 ∈ (ℤ‘2) → 𝑃 ∈ ℤ)
4140ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑧𝑃 ∧ ¬ 𝑧 = 𝑃)) → 𝑃 ∈ ℤ)
42 dvdsval2 16139 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ≠ 0 ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → (𝑧𝑃 ↔ (𝑃 / 𝑧) ∈ ℤ))
4336, 39, 41, 42syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑧𝑃 ∧ ¬ 𝑧 = 𝑃)) → (𝑧𝑃 ↔ (𝑃 / 𝑧) ∈ ℤ))
4434, 43mpbid 231 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑧𝑃 ∧ ¬ 𝑧 = 𝑃)) → (𝑃 / 𝑧) ∈ ℤ)
45 eluzelre 12774 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑧 ∈ (ℤ‘2) → 𝑧 ∈ ℝ)
4645ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑧𝑃 ∧ ¬ 𝑧 = 𝑃)) → 𝑧 ∈ ℝ)
4746recnd 11183 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑧𝑃 ∧ ¬ 𝑧 = 𝑃)) → 𝑧 ∈ ℂ)
4847mulid2d 11173 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑧𝑃 ∧ ¬ 𝑧 = 𝑃)) → (1 · 𝑧) = 𝑧)
495ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑧𝑃 ∧ ¬ 𝑧 = 𝑃)) → 𝑃 ∈ ℝ)
506ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑧𝑃 ∧ ¬ 𝑧 = 𝑃)) → 𝑃 ∈ ℕ)
51 dvdsle 16192 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℕ) → (𝑧𝑃𝑧𝑃))
5251imp 407 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℕ) ∧ 𝑧𝑃) → 𝑧𝑃)
5336, 50, 34, 52syl21anc 836 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑧𝑃 ∧ ¬ 𝑧 = 𝑃)) → 𝑧𝑃)
54 simprr 771 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑧𝑃 ∧ ¬ 𝑧 = 𝑃)) → ¬ 𝑧 = 𝑃)
5554neqned 2950 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑧𝑃 ∧ ¬ 𝑧 = 𝑃)) → 𝑧𝑃)
5655necomd 2999 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑧𝑃 ∧ ¬ 𝑧 = 𝑃)) → 𝑃𝑧)
5746, 49, 53, 56leneltd 11309 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑧𝑃 ∧ ¬ 𝑧 = 𝑃)) → 𝑧 < 𝑃)
5848, 57eqbrtrd 5127 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑧𝑃 ∧ ¬ 𝑧 = 𝑃)) → (1 · 𝑧) < 𝑃)
59 1red 11156 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑧𝑃 ∧ ¬ 𝑧 = 𝑃)) → 1 ∈ ℝ)
6041zred 12607 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑧𝑃 ∧ ¬ 𝑧 = 𝑃)) → 𝑃 ∈ ℝ)
61 nnre 12160 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑧 ∈ ℕ → 𝑧 ∈ ℝ)
62 nngt0 12184 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑧 ∈ ℕ → 0 < 𝑧)
6361, 62jca 512 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑧 ∈ ℕ → (𝑧 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑧))
6438, 63syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑧𝑃 ∧ ¬ 𝑧 = 𝑃)) → (𝑧 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑧))
65 ltmuldiv 12028 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑧)) → ((1 · 𝑧) < 𝑃 ↔ 1 < (𝑃 / 𝑧)))
6659, 60, 64, 65syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑧𝑃 ∧ ¬ 𝑧 = 𝑃)) → ((1 · 𝑧) < 𝑃 ↔ 1 < (𝑃 / 𝑧)))
6758, 66mpbid 231 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑧𝑃 ∧ ¬ 𝑧 = 𝑃)) → 1 < (𝑃 / 𝑧))
68 eluz2b1 12844 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑃 / 𝑧) ∈ (ℤ‘2) ↔ ((𝑃 / 𝑧) ∈ ℤ ∧ 1 < (𝑃 / 𝑧)))
6944, 67, 68sylanbrc 583 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑧𝑃 ∧ ¬ 𝑧 = 𝑃)) → (𝑃 / 𝑧) ∈ (ℤ‘2))
7046, 46remulcld 11185 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑧𝑃 ∧ ¬ 𝑧 = 𝑃)) → (𝑧 · 𝑧) ∈ ℝ)
7138, 38nnmulcld 12206 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑧𝑃 ∧ ¬ 𝑧 = 𝑃)) → (𝑧 · 𝑧) ∈ ℕ)
72 nnrp 12926 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑃 ∈ ℕ → 𝑃 ∈ ℝ+)
73 nnrp 12926 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑧 · 𝑧) ∈ ℕ → (𝑧 · 𝑧) ∈ ℝ+)
74 rpdivcl 12940 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑃 ∈ ℝ+ ∧ (𝑧 · 𝑧) ∈ ℝ+) → (𝑃 / (𝑧 · 𝑧)) ∈ ℝ+)
7572, 73, 74syl2an 596 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑃 ∈ ℕ ∧ (𝑧 · 𝑧) ∈ ℕ) → (𝑃 / (𝑧 · 𝑧)) ∈ ℝ+)
7650, 71, 75syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑧𝑃 ∧ ¬ 𝑧 = 𝑃)) → (𝑃 / (𝑧 · 𝑧)) ∈ ℝ+)
7749, 70, 76lemul1d 13000 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑧𝑃 ∧ ¬ 𝑧 = 𝑃)) → (𝑃 ≤ (𝑧 · 𝑧) ↔ (𝑃 · (𝑃 / (𝑧 · 𝑧))) ≤ ((𝑧 · 𝑧) · (𝑃 / (𝑧 · 𝑧)))))
7849recnd 11183 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑧𝑃 ∧ ¬ 𝑧 = 𝑃)) → 𝑃 ∈ ℂ)
7978, 47, 78, 47, 39, 39divmuldivd 11972 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑧𝑃 ∧ ¬ 𝑧 = 𝑃)) → ((𝑃 / 𝑧) · (𝑃 / 𝑧)) = ((𝑃 · 𝑃) / (𝑧 · 𝑧)))
8071nncnd 12169 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑧𝑃 ∧ ¬ 𝑧 = 𝑃)) → (𝑧 · 𝑧) ∈ ℂ)
8171nnne0d 12203 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑧𝑃 ∧ ¬ 𝑧 = 𝑃)) → (𝑧 · 𝑧) ≠ 0)
8278, 78, 80, 81divassd 11966 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑧𝑃 ∧ ¬ 𝑧 = 𝑃)) → ((𝑃 · 𝑃) / (𝑧 · 𝑧)) = (𝑃 · (𝑃 / (𝑧 · 𝑧))))
8379, 82eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑧𝑃 ∧ ¬ 𝑧 = 𝑃)) → ((𝑃 / 𝑧) · (𝑃 / 𝑧)) = (𝑃 · (𝑃 / (𝑧 · 𝑧))))
8478, 80, 81divcan2d 11933 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑧𝑃 ∧ ¬ 𝑧 = 𝑃)) → ((𝑧 · 𝑧) · (𝑃 / (𝑧 · 𝑧))) = 𝑃)
8584eqcomd 2742 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑧𝑃 ∧ ¬ 𝑧 = 𝑃)) → 𝑃 = ((𝑧 · 𝑧) · (𝑃 / (𝑧 · 𝑧))))
8683, 85breq12d 5118 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑧𝑃 ∧ ¬ 𝑧 = 𝑃)) → (((𝑃 / 𝑧) · (𝑃 / 𝑧)) ≤ 𝑃 ↔ (𝑃 · (𝑃 / (𝑧 · 𝑧))) ≤ ((𝑧 · 𝑧) · (𝑃 / (𝑧 · 𝑧)))))
8777, 86bitr4d 281 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑧𝑃 ∧ ¬ 𝑧 = 𝑃)) → (𝑃 ≤ (𝑧 · 𝑧) ↔ ((𝑃 / 𝑧) · (𝑃 / 𝑧)) ≤ 𝑃))
8887biimpd 228 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑧𝑃 ∧ ¬ 𝑧 = 𝑃)) → (𝑃 ≤ (𝑧 · 𝑧) → ((𝑃 / 𝑧) · (𝑃 / 𝑧)) ≤ 𝑃))
8978, 47, 39divcan2d 11933 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑧𝑃 ∧ ¬ 𝑧 = 𝑃)) → (𝑧 · (𝑃 / 𝑧)) = 𝑃)
90 dvds0lem 16149 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑧 ∈ ℤ ∧ (𝑃 / 𝑧) ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) ∧ (𝑧 · (𝑃 / 𝑧)) = 𝑃) → (𝑃 / 𝑧) ∥ 𝑃)
9136, 44, 41, 89, 90syl31anc 1373 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑧𝑃 ∧ ¬ 𝑧 = 𝑃)) → (𝑃 / 𝑧) ∥ 𝑃)
9288, 91jctird 527 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑧𝑃 ∧ ¬ 𝑧 = 𝑃)) → (𝑃 ≤ (𝑧 · 𝑧) → (((𝑃 / 𝑧) · (𝑃 / 𝑧)) ≤ 𝑃 ∧ (𝑃 / 𝑧) ∥ 𝑃)))
93 oveq12 7366 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥 = (𝑃 / 𝑧) ∧ 𝑥 = (𝑃 / 𝑧)) → (𝑥 · 𝑥) = ((𝑃 / 𝑧) · (𝑃 / 𝑧)))
9493anidms 567 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = (𝑃 / 𝑧) → (𝑥 · 𝑥) = ((𝑃 / 𝑧) · (𝑃 / 𝑧)))
9594breq1d 5115 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = (𝑃 / 𝑧) → ((𝑥 · 𝑥) ≤ 𝑃 ↔ ((𝑃 / 𝑧) · (𝑃 / 𝑧)) ≤ 𝑃))
96 breq1 5108 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = (𝑃 / 𝑧) → (𝑥𝑃 ↔ (𝑃 / 𝑧) ∥ 𝑃))
9795, 96anbi12d 631 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = (𝑃 / 𝑧) → (((𝑥 · 𝑥) ≤ 𝑃𝑥𝑃) ↔ (((𝑃 / 𝑧) · (𝑃 / 𝑧)) ≤ 𝑃 ∧ (𝑃 / 𝑧) ∥ 𝑃)))
9897rspcev 3581 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑃 / 𝑧) ∈ (ℤ‘2) ∧ (((𝑃 / 𝑧) · (𝑃 / 𝑧)) ≤ 𝑃 ∧ (𝑃 / 𝑧) ∥ 𝑃)) → ∃𝑥 ∈ (ℤ‘2)((𝑥 · 𝑥) ≤ 𝑃𝑥𝑃))
9969, 92, 98syl6an 682 . . . . . . . . . . 11 (((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑧𝑃 ∧ ¬ 𝑧 = 𝑃)) → (𝑃 ≤ (𝑧 · 𝑧) → ∃𝑥 ∈ (ℤ‘2)((𝑥 · 𝑥) ≤ 𝑃𝑥𝑃)))
10070, 49letrid 11307 . . . . . . . . . . 11 (((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑧𝑃 ∧ ¬ 𝑧 = 𝑃)) → ((𝑧 · 𝑧) ≤ 𝑃𝑃 ≤ (𝑧 · 𝑧)))
10133, 99, 100mpjaod 858 . . . . . . . . . 10 (((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑧𝑃 ∧ ¬ 𝑧 = 𝑃)) → ∃𝑥 ∈ (ℤ‘2)((𝑥 · 𝑥) ≤ 𝑃𝑥𝑃))
102101ex 413 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) → ((𝑧𝑃 ∧ ¬ 𝑧 = 𝑃) → ∃𝑥 ∈ (ℤ‘2)((𝑥 · 𝑥) ≤ 𝑃𝑥𝑃)))
10324, 102biimtrrid 242 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) → (¬ (𝑧𝑃𝑧 = 𝑃) → ∃𝑥 ∈ (ℤ‘2)((𝑥 · 𝑥) ≤ 𝑃𝑥𝑃)))
104103rexlimdva 3152 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ (ℤ‘2) → (∃𝑧 ∈ (ℤ‘2) ¬ (𝑧𝑃𝑧 = 𝑃) → ∃𝑥 ∈ (ℤ‘2)((𝑥 · 𝑥) ≤ 𝑃𝑥𝑃)))
105 prmz 16551 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 ∈ ℙ → 𝑧 ∈ ℤ)
106105ad2antrl 726 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ‘2)) ∧ ((𝑥 · 𝑥) ≤ 𝑃𝑥𝑃)) ∧ (𝑧 ∈ ℙ ∧ 𝑧𝑥)) → 𝑧 ∈ ℤ)
107106zred 12607 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ‘2)) ∧ ((𝑥 · 𝑥) ≤ 𝑃𝑥𝑃)) ∧ (𝑧 ∈ ℙ ∧ 𝑧𝑥)) → 𝑧 ∈ ℝ)
108107, 107remulcld 11185 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ‘2)) ∧ ((𝑥 · 𝑥) ≤ 𝑃𝑥𝑃)) ∧ (𝑧 ∈ ℙ ∧ 𝑧𝑥)) → (𝑧 · 𝑧) ∈ ℝ)
109 eluzelz 12773 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ (ℤ‘2) → 𝑥 ∈ ℤ)
110109ad3antlr 729 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ‘2)) ∧ ((𝑥 · 𝑥) ≤ 𝑃𝑥𝑃)) ∧ (𝑧 ∈ ℙ ∧ 𝑧𝑥)) → 𝑥 ∈ ℤ)
111110zred 12607 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ‘2)) ∧ ((𝑥 · 𝑥) ≤ 𝑃𝑥𝑃)) ∧ (𝑧 ∈ ℙ ∧ 𝑧𝑥)) → 𝑥 ∈ ℝ)
112111, 111remulcld 11185 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ‘2)) ∧ ((𝑥 · 𝑥) ≤ 𝑃𝑥𝑃)) ∧ (𝑧 ∈ ℙ ∧ 𝑧𝑥)) → (𝑥 · 𝑥) ∈ ℝ)
11340ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ‘2)) ∧ ((𝑥 · 𝑥) ≤ 𝑃𝑥𝑃)) ∧ (𝑧 ∈ ℙ ∧ 𝑧𝑥)) → 𝑃 ∈ ℤ)
114113zred 12607 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ‘2)) ∧ ((𝑥 · 𝑥) ≤ 𝑃𝑥𝑃)) ∧ (𝑧 ∈ ℙ ∧ 𝑧𝑥)) → 𝑃 ∈ ℝ)
115 eluz2nn 12809 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ (ℤ‘2) → 𝑥 ∈ ℕ)
116115ad3antlr 729 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ‘2)) ∧ ((𝑥 · 𝑥) ≤ 𝑃𝑥𝑃)) ∧ (𝑧 ∈ ℙ ∧ 𝑧𝑥)) → 𝑥 ∈ ℕ)
117 simprr 771 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ‘2)) ∧ ((𝑥 · 𝑥) ≤ 𝑃𝑥𝑃)) ∧ (𝑧 ∈ ℙ ∧ 𝑧𝑥)) → 𝑧𝑥)
118 dvdsle 16192 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → (𝑧𝑥𝑧𝑥))
119118imp 407 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℕ) ∧ 𝑧𝑥) → 𝑧𝑥)
120106, 116, 117, 119syl21anc 836 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ‘2)) ∧ ((𝑥 · 𝑥) ≤ 𝑃𝑥𝑃)) ∧ (𝑧 ∈ ℙ ∧ 𝑧𝑥)) → 𝑧𝑥)
121 eluzge2nn0 12812 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑧 ∈ (ℤ‘2) → 𝑧 ∈ ℕ0)
122121nn0ge0d 12476 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑧 ∈ (ℤ‘2) → 0 ≤ 𝑧)
1232, 122syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 ∈ ℙ → 0 ≤ 𝑧)
124123ad2antrl 726 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ‘2)) ∧ ((𝑥 · 𝑥) ≤ 𝑃𝑥𝑃)) ∧ (𝑧 ∈ ℙ ∧ 𝑧𝑥)) → 0 ≤ 𝑧)
125 nnnn0 12420 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ ℕ → 𝑥 ∈ ℕ0)
126125nn0ge0d 12476 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ ℕ → 0 ≤ 𝑥)
127116, 126syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ‘2)) ∧ ((𝑥 · 𝑥) ≤ 𝑃𝑥𝑃)) ∧ (𝑧 ∈ ℙ ∧ 𝑧𝑥)) → 0 ≤ 𝑥)
128 le2msq 12055 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑧 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑧) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥)) → (𝑧𝑥 ↔ (𝑧 · 𝑧) ≤ (𝑥 · 𝑥)))
129107, 124, 111, 127, 128syl22anc 837 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ‘2)) ∧ ((𝑥 · 𝑥) ≤ 𝑃𝑥𝑃)) ∧ (𝑧 ∈ ℙ ∧ 𝑧𝑥)) → (𝑧𝑥 ↔ (𝑧 · 𝑧) ≤ (𝑥 · 𝑥)))
130120, 129mpbid 231 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ‘2)) ∧ ((𝑥 · 𝑥) ≤ 𝑃𝑥𝑃)) ∧ (𝑧 ∈ ℙ ∧ 𝑧𝑥)) → (𝑧 · 𝑧) ≤ (𝑥 · 𝑥))
131 simplrl 775 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ‘2)) ∧ ((𝑥 · 𝑥) ≤ 𝑃𝑥𝑃)) ∧ (𝑧 ∈ ℙ ∧ 𝑧𝑥)) → (𝑥 · 𝑥) ≤ 𝑃)
132108, 112, 114, 130, 131letrd 11312 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ‘2)) ∧ ((𝑥 · 𝑥) ≤ 𝑃𝑥𝑃)) ∧ (𝑧 ∈ ℙ ∧ 𝑧𝑥)) → (𝑧 · 𝑧) ≤ 𝑃)
133 simplrr 776 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ‘2)) ∧ ((𝑥 · 𝑥) ≤ 𝑃𝑥𝑃)) ∧ (𝑧 ∈ ℙ ∧ 𝑧𝑥)) → 𝑥𝑃)
134106, 110, 113, 117, 133dvdstrd 16177 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ‘2)) ∧ ((𝑥 · 𝑥) ≤ 𝑃𝑥𝑃)) ∧ (𝑧 ∈ ℙ ∧ 𝑧𝑥)) → 𝑧𝑃)
135132, 134jc 161 . . . . . . . . . 10 ((((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ‘2)) ∧ ((𝑥 · 𝑥) ≤ 𝑃𝑥𝑃)) ∧ (𝑧 ∈ ℙ ∧ 𝑧𝑥)) → ¬ ((𝑧 · 𝑧) ≤ 𝑃 → ¬ 𝑧𝑃))
136 exprmfct 16580 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (ℤ‘2) → ∃𝑧 ∈ ℙ 𝑧𝑥)
137136ad2antlr 725 . . . . . . . . . 10 (((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ‘2)) ∧ ((𝑥 · 𝑥) ≤ 𝑃𝑥𝑃)) → ∃𝑧 ∈ ℙ 𝑧𝑥)
138135, 137reximddv 3168 . . . . . . . . 9 (((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ‘2)) ∧ ((𝑥 · 𝑥) ≤ 𝑃𝑥𝑃)) → ∃𝑧 ∈ ℙ ¬ ((𝑧 · 𝑧) ≤ 𝑃 → ¬ 𝑧𝑃))
139138ex 413 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ‘2)) → (((𝑥 · 𝑥) ≤ 𝑃𝑥𝑃) → ∃𝑧 ∈ ℙ ¬ ((𝑧 · 𝑧) ≤ 𝑃 → ¬ 𝑧𝑃)))
140139rexlimdva 3152 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ (ℤ‘2) → (∃𝑥 ∈ (ℤ‘2)((𝑥 · 𝑥) ≤ 𝑃𝑥𝑃) → ∃𝑧 ∈ ℙ ¬ ((𝑧 · 𝑧) ≤ 𝑃 → ¬ 𝑧𝑃)))
141104, 140syld 47 . . . . . 6 (𝑃 ∈ (ℤ‘2) → (∃𝑧 ∈ (ℤ‘2) ¬ (𝑧𝑃𝑧 = 𝑃) → ∃𝑧 ∈ ℙ ¬ ((𝑧 · 𝑧) ≤ 𝑃 → ¬ 𝑧𝑃)))
142 rexnal 3103 . . . . . 6 (∃𝑧 ∈ (ℤ‘2) ¬ (𝑧𝑃𝑧 = 𝑃) ↔ ¬ ∀𝑧 ∈ (ℤ‘2)(𝑧𝑃𝑧 = 𝑃))
143 rexnal 3103 . . . . . 6 (∃𝑧 ∈ ℙ ¬ ((𝑧 · 𝑧) ≤ 𝑃 → ¬ 𝑧𝑃) ↔ ¬ ∀𝑧 ∈ ℙ ((𝑧 · 𝑧) ≤ 𝑃 → ¬ 𝑧𝑃))
144141, 142, 1433imtr3g 294 . . . . 5 (𝑃 ∈ (ℤ‘2) → (¬ ∀𝑧 ∈ (ℤ‘2)(𝑧𝑃𝑧 = 𝑃) → ¬ ∀𝑧 ∈ ℙ ((𝑧 · 𝑧) ≤ 𝑃 → ¬ 𝑧𝑃)))
14523, 144impcon4bid 226 . . . 4 (𝑃 ∈ (ℤ‘2) → (∀𝑧 ∈ (ℤ‘2)(𝑧𝑃𝑧 = 𝑃) ↔ ∀𝑧 ∈ ℙ ((𝑧 · 𝑧) ≤ 𝑃 → ¬ 𝑧𝑃)))
146 prmnn 16550 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ ℙ → 𝑧 ∈ ℕ)
147146nncnd 12169 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ ℙ → 𝑧 ∈ ℂ)
148147sqvald 14048 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ ℙ → (𝑧↑2) = (𝑧 · 𝑧))
149148breq1d 5115 . . . . . 6 (𝑧 ∈ ℙ → ((𝑧↑2) ≤ 𝑃 ↔ (𝑧 · 𝑧) ≤ 𝑃))
150149imbi1d 341 . . . . 5 (𝑧 ∈ ℙ → (((𝑧↑2) ≤ 𝑃 → ¬ 𝑧𝑃) ↔ ((𝑧 · 𝑧) ≤ 𝑃 → ¬ 𝑧𝑃)))
151150ralbiia 3094 . . . 4 (∀𝑧 ∈ ℙ ((𝑧↑2) ≤ 𝑃 → ¬ 𝑧𝑃) ↔ ∀𝑧 ∈ ℙ ((𝑧 · 𝑧) ≤ 𝑃 → ¬ 𝑧𝑃))
152145, 151bitr4di 288 . . 3 (𝑃 ∈ (ℤ‘2) → (∀𝑧 ∈ (ℤ‘2)(𝑧𝑃𝑧 = 𝑃) ↔ ∀𝑧 ∈ ℙ ((𝑧↑2) ≤ 𝑃 → ¬ 𝑧𝑃)))
153152pm5.32i 575 . 2 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ ∀𝑧 ∈ (ℤ‘2)(𝑧𝑃𝑧 = 𝑃)) ↔ (𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ ∀𝑧 ∈ ℙ ((𝑧↑2) ≤ 𝑃 → ¬ 𝑧𝑃)))
1541, 153bitri 274 1 (𝑃 ∈ ℙ ↔ (𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ ∀𝑧 ∈ ℙ ((𝑧↑2) ≤ 𝑃 → ¬ 𝑧𝑃)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2943  wral 3064  wrex 3073   class class class wbr 5105  cfv 6496  (class class class)co 7357  cr 11050  0cc0 11051  1c1 11052   · cmul 11056   < clt 11189  cle 11190   / cdiv 11812  cn 12153  2c2 12208  cz 12499  cuz 12763  +crp 12915  cexp 13967  cdvds 16136  cprime 16547
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-2o 8413  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-sup 9378  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-rp 12916  df-fz 13425  df-seq 13907  df-exp 13968  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-dvds 16137  df-prm 16548
This theorem is referenced by:  isprm7  16584  pockthg  16778  prmlem1a  16979
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