MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isprm5 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isprm5 16644
Description: One need only check prime divisors of ๐‘ƒ up to โˆš๐‘ƒ in order to ensure primality. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.)
Assertion
Ref Expression
isprm5 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†” (๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„™ ((๐‘งโ†‘2) โ‰ค ๐‘ƒ โ†’ ยฌ ๐‘ง โˆฅ ๐‘ƒ)))
Distinct variable group:   ๐‘ง,๐‘ƒ

Proof of Theorem isprm5
Dummy variable ๐‘ฅ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isprm4 16621 . 2 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†” (๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง โˆ€๐‘ง โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)(๐‘ง โˆฅ ๐‘ƒ โ†’ ๐‘ง = ๐‘ƒ)))
2 prmuz2 16633 . . . . . . . 8 (๐‘ง โˆˆ โ„™ โ†’ ๐‘ง โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2))
32a1i 11 . . . . . . 7 (๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ (๐‘ง โˆˆ โ„™ โ†’ ๐‘ง โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)))
4 eluz2gt1 12904 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ 1 < ๐‘ƒ)
5 eluzelre 12833 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„)
6 eluz2nn 12868 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„•)
76nngt0d 12261 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ 0 < ๐‘ƒ)
8 ltmulgt11 12074 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐‘ƒ) โ†’ (1 < ๐‘ƒ โ†” ๐‘ƒ < (๐‘ƒ ยท ๐‘ƒ)))
95, 5, 7, 8syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ (1 < ๐‘ƒ โ†” ๐‘ƒ < (๐‘ƒ ยท ๐‘ƒ)))
104, 9mpbid 231 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ ๐‘ƒ < (๐‘ƒ ยท ๐‘ƒ))
115, 5remulcld 11244 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ (๐‘ƒ ยท ๐‘ƒ) โˆˆ โ„)
125, 11ltnled 11361 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ (๐‘ƒ < (๐‘ƒ ยท ๐‘ƒ) โ†” ยฌ (๐‘ƒ ยท ๐‘ƒ) โ‰ค ๐‘ƒ))
1310, 12mpbid 231 . . . . . . . . . 10 (๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ ยฌ (๐‘ƒ ยท ๐‘ƒ) โ‰ค ๐‘ƒ)
14 oveq12 7418 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ง = ๐‘ƒ โˆง ๐‘ง = ๐‘ƒ) โ†’ (๐‘ง ยท ๐‘ง) = (๐‘ƒ ยท ๐‘ƒ))
1514anidms 568 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ง = ๐‘ƒ โ†’ (๐‘ง ยท ๐‘ง) = (๐‘ƒ ยท ๐‘ƒ))
1615breq1d 5159 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ง = ๐‘ƒ โ†’ ((๐‘ง ยท ๐‘ง) โ‰ค ๐‘ƒ โ†” (๐‘ƒ ยท ๐‘ƒ) โ‰ค ๐‘ƒ))
1716notbid 318 . . . . . . . . . 10 (๐‘ง = ๐‘ƒ โ†’ (ยฌ (๐‘ง ยท ๐‘ง) โ‰ค ๐‘ƒ โ†” ยฌ (๐‘ƒ ยท ๐‘ƒ) โ‰ค ๐‘ƒ))
1813, 17syl5ibrcom 246 . . . . . . . . 9 (๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ (๐‘ง = ๐‘ƒ โ†’ ยฌ (๐‘ง ยท ๐‘ง) โ‰ค ๐‘ƒ))
1918imim2d 57 . . . . . . . 8 (๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ ((๐‘ง โˆฅ ๐‘ƒ โ†’ ๐‘ง = ๐‘ƒ) โ†’ (๐‘ง โˆฅ ๐‘ƒ โ†’ ยฌ (๐‘ง ยท ๐‘ง) โ‰ค ๐‘ƒ)))
20 con2 135 . . . . . . . 8 ((๐‘ง โˆฅ ๐‘ƒ โ†’ ยฌ (๐‘ง ยท ๐‘ง) โ‰ค ๐‘ƒ) โ†’ ((๐‘ง ยท ๐‘ง) โ‰ค ๐‘ƒ โ†’ ยฌ ๐‘ง โˆฅ ๐‘ƒ))
2119, 20syl6 35 . . . . . . 7 (๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ ((๐‘ง โˆฅ ๐‘ƒ โ†’ ๐‘ง = ๐‘ƒ) โ†’ ((๐‘ง ยท ๐‘ง) โ‰ค ๐‘ƒ โ†’ ยฌ ๐‘ง โˆฅ ๐‘ƒ)))
223, 21imim12d 81 . . . . . 6 (๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ ((๐‘ง โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ (๐‘ง โˆฅ ๐‘ƒ โ†’ ๐‘ง = ๐‘ƒ)) โ†’ (๐‘ง โˆˆ โ„™ โ†’ ((๐‘ง ยท ๐‘ง) โ‰ค ๐‘ƒ โ†’ ยฌ ๐‘ง โˆฅ ๐‘ƒ))))
2322ralimdv2 3164 . . . . 5 (๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ (โˆ€๐‘ง โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)(๐‘ง โˆฅ ๐‘ƒ โ†’ ๐‘ง = ๐‘ƒ) โ†’ โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„™ ((๐‘ง ยท ๐‘ง) โ‰ค ๐‘ƒ โ†’ ยฌ ๐‘ง โˆฅ ๐‘ƒ)))
24 annim 405 . . . . . . . . 9 ((๐‘ง โˆฅ ๐‘ƒ โˆง ยฌ ๐‘ง = ๐‘ƒ) โ†” ยฌ (๐‘ง โˆฅ ๐‘ƒ โ†’ ๐‘ง = ๐‘ƒ))
25 oveq12 7418 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐‘ฅ = ๐‘ง โˆง ๐‘ฅ = ๐‘ง) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘ฅ) = (๐‘ง ยท ๐‘ง))
2625anidms 568 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘ฅ = ๐‘ง โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘ฅ) = (๐‘ง ยท ๐‘ง))
2726breq1d 5159 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘ฅ = ๐‘ง โ†’ ((๐‘ฅ ยท ๐‘ฅ) โ‰ค ๐‘ƒ โ†” (๐‘ง ยท ๐‘ง) โ‰ค ๐‘ƒ))
28 breq1 5152 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘ฅ = ๐‘ง โ†’ (๐‘ฅ โˆฅ ๐‘ƒ โ†” ๐‘ง โˆฅ ๐‘ƒ))
2927, 28anbi12d 632 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ฅ = ๐‘ง โ†’ (((๐‘ฅ ยท ๐‘ฅ) โ‰ค ๐‘ƒ โˆง ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘ƒ) โ†” ((๐‘ง ยท ๐‘ง) โ‰ค ๐‘ƒ โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐‘ƒ)))
3029rspcev 3613 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘ง โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ((๐‘ง ยท ๐‘ง) โ‰ค ๐‘ƒ โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐‘ƒ)) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)((๐‘ฅ ยท ๐‘ฅ) โ‰ค ๐‘ƒ โˆง ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘ƒ))
3130ancom2s 649 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ง โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง (๐‘ง โˆฅ ๐‘ƒ โˆง (๐‘ง ยท ๐‘ง) โ‰ค ๐‘ƒ)) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)((๐‘ฅ ยท ๐‘ฅ) โ‰ค ๐‘ƒ โˆง ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘ƒ))
3231expr 458 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ง โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐‘ƒ) โ†’ ((๐‘ง ยท ๐‘ง) โ‰ค ๐‘ƒ โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)((๐‘ฅ ยท ๐‘ฅ) โ‰ค ๐‘ƒ โˆง ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘ƒ)))
3332ad2ant2lr 747 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐‘ง โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (๐‘ง โˆฅ ๐‘ƒ โˆง ยฌ ๐‘ง = ๐‘ƒ)) โ†’ ((๐‘ง ยท ๐‘ง) โ‰ค ๐‘ƒ โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)((๐‘ฅ ยท ๐‘ฅ) โ‰ค ๐‘ƒ โˆง ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘ƒ)))
34 simprl 770 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐‘ง โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (๐‘ง โˆฅ ๐‘ƒ โˆง ยฌ ๐‘ง = ๐‘ƒ)) โ†’ ๐‘ง โˆฅ ๐‘ƒ)
35 eluzelz 12832 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘ง โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ ๐‘ง โˆˆ โ„ค)
3635ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐‘ง โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (๐‘ง โˆฅ ๐‘ƒ โˆง ยฌ ๐‘ง = ๐‘ƒ)) โ†’ ๐‘ง โˆˆ โ„ค)
37 eluz2nn 12868 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘ง โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ ๐‘ง โˆˆ โ„•)
3837ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐‘ง โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (๐‘ง โˆฅ ๐‘ƒ โˆง ยฌ ๐‘ง = ๐‘ƒ)) โ†’ ๐‘ง โˆˆ โ„•)
3938nnne0d 12262 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐‘ง โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (๐‘ง โˆฅ ๐‘ƒ โˆง ยฌ ๐‘ง = ๐‘ƒ)) โ†’ ๐‘ง โ‰  0)
40 eluzelz 12832 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„ค)
4140ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐‘ง โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (๐‘ง โˆฅ ๐‘ƒ โˆง ยฌ ๐‘ง = ๐‘ƒ)) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„ค)
42 dvdsval2 16200 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โ‰  0 โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ง โˆฅ ๐‘ƒ โ†” (๐‘ƒ / ๐‘ง) โˆˆ โ„ค))
4336, 39, 41, 42syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐‘ง โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (๐‘ง โˆฅ ๐‘ƒ โˆง ยฌ ๐‘ง = ๐‘ƒ)) โ†’ (๐‘ง โˆฅ ๐‘ƒ โ†” (๐‘ƒ / ๐‘ง) โˆˆ โ„ค))
4434, 43mpbid 231 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐‘ง โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (๐‘ง โˆฅ ๐‘ƒ โˆง ยฌ ๐‘ง = ๐‘ƒ)) โ†’ (๐‘ƒ / ๐‘ง) โˆˆ โ„ค)
45 eluzelre 12833 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐‘ง โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ ๐‘ง โˆˆ โ„)
4645ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐‘ง โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (๐‘ง โˆฅ ๐‘ƒ โˆง ยฌ ๐‘ง = ๐‘ƒ)) โ†’ ๐‘ง โˆˆ โ„)
4746recnd 11242 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐‘ง โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (๐‘ง โˆฅ ๐‘ƒ โˆง ยฌ ๐‘ง = ๐‘ƒ)) โ†’ ๐‘ง โˆˆ โ„‚)
4847mullidd 11232 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐‘ง โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (๐‘ง โˆฅ ๐‘ƒ โˆง ยฌ ๐‘ง = ๐‘ƒ)) โ†’ (1 ยท ๐‘ง) = ๐‘ง)
495ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐‘ง โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (๐‘ง โˆฅ ๐‘ƒ โˆง ยฌ ๐‘ง = ๐‘ƒ)) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„)
506ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐‘ง โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (๐‘ง โˆฅ ๐‘ƒ โˆง ยฌ ๐‘ง = ๐‘ƒ)) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„•)
51 dvdsle 16253 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ง โˆฅ ๐‘ƒ โ†’ ๐‘ง โ‰ค ๐‘ƒ))
5251imp 408 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐‘ƒ) โ†’ ๐‘ง โ‰ค ๐‘ƒ)
5336, 50, 34, 52syl21anc 837 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐‘ง โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (๐‘ง โˆฅ ๐‘ƒ โˆง ยฌ ๐‘ง = ๐‘ƒ)) โ†’ ๐‘ง โ‰ค ๐‘ƒ)
54 simprr 772 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐‘ง โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (๐‘ง โˆฅ ๐‘ƒ โˆง ยฌ ๐‘ง = ๐‘ƒ)) โ†’ ยฌ ๐‘ง = ๐‘ƒ)
5554neqned 2948 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐‘ง โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (๐‘ง โˆฅ ๐‘ƒ โˆง ยฌ ๐‘ง = ๐‘ƒ)) โ†’ ๐‘ง โ‰  ๐‘ƒ)
5655necomd 2997 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐‘ง โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (๐‘ง โˆฅ ๐‘ƒ โˆง ยฌ ๐‘ง = ๐‘ƒ)) โ†’ ๐‘ƒ โ‰  ๐‘ง)
5746, 49, 53, 56leneltd 11368 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐‘ง โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (๐‘ง โˆฅ ๐‘ƒ โˆง ยฌ ๐‘ง = ๐‘ƒ)) โ†’ ๐‘ง < ๐‘ƒ)
5848, 57eqbrtrd 5171 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐‘ง โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (๐‘ง โˆฅ ๐‘ƒ โˆง ยฌ ๐‘ง = ๐‘ƒ)) โ†’ (1 ยท ๐‘ง) < ๐‘ƒ)
59 1red 11215 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐‘ง โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (๐‘ง โˆฅ ๐‘ƒ โˆง ยฌ ๐‘ง = ๐‘ƒ)) โ†’ 1 โˆˆ โ„)
6041zred 12666 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐‘ง โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (๐‘ง โˆฅ ๐‘ƒ โˆง ยฌ ๐‘ง = ๐‘ƒ)) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„)
61 nnre 12219 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘ง โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ง โˆˆ โ„)
62 nngt0 12243 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘ง โˆˆ โ„• โ†’ 0 < ๐‘ง)
6361, 62jca 513 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘ง โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘ง โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐‘ง))
6438, 63syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐‘ง โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (๐‘ง โˆฅ ๐‘ƒ โˆง ยฌ ๐‘ง = ๐‘ƒ)) โ†’ (๐‘ง โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐‘ง))
65 ltmuldiv 12087 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((1 โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„ โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐‘ง)) โ†’ ((1 ยท ๐‘ง) < ๐‘ƒ โ†” 1 < (๐‘ƒ / ๐‘ง)))
6659, 60, 64, 65syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐‘ง โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (๐‘ง โˆฅ ๐‘ƒ โˆง ยฌ ๐‘ง = ๐‘ƒ)) โ†’ ((1 ยท ๐‘ง) < ๐‘ƒ โ†” 1 < (๐‘ƒ / ๐‘ง)))
6758, 66mpbid 231 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐‘ง โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (๐‘ง โˆฅ ๐‘ƒ โˆง ยฌ ๐‘ง = ๐‘ƒ)) โ†’ 1 < (๐‘ƒ / ๐‘ง))
68 eluz2b1 12903 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ƒ / ๐‘ง) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†” ((๐‘ƒ / ๐‘ง) โˆˆ โ„ค โˆง 1 < (๐‘ƒ / ๐‘ง)))
6944, 67, 68sylanbrc 584 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐‘ง โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (๐‘ง โˆฅ ๐‘ƒ โˆง ยฌ ๐‘ง = ๐‘ƒ)) โ†’ (๐‘ƒ / ๐‘ง) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2))
7046, 46remulcld 11244 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐‘ง โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (๐‘ง โˆฅ ๐‘ƒ โˆง ยฌ ๐‘ง = ๐‘ƒ)) โ†’ (๐‘ง ยท ๐‘ง) โˆˆ โ„)
7138, 38nnmulcld 12265 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐‘ง โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (๐‘ง โˆฅ ๐‘ƒ โˆง ยฌ ๐‘ง = ๐‘ƒ)) โ†’ (๐‘ง ยท ๐‘ง) โˆˆ โ„•)
72 nnrp 12985 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐‘ƒ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„+)
73 nnrp 12985 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐‘ง ยท ๐‘ง) โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘ง ยท ๐‘ง) โˆˆ โ„+)
74 rpdivcl 12999 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„+ โˆง (๐‘ง ยท ๐‘ง) โˆˆ โ„+) โ†’ (๐‘ƒ / (๐‘ง ยท ๐‘ง)) โˆˆ โ„+)
7572, 73, 74syl2an 597 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ง ยท ๐‘ง) โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ƒ / (๐‘ง ยท ๐‘ง)) โˆˆ โ„+)
7650, 71, 75syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐‘ง โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (๐‘ง โˆฅ ๐‘ƒ โˆง ยฌ ๐‘ง = ๐‘ƒ)) โ†’ (๐‘ƒ / (๐‘ง ยท ๐‘ง)) โˆˆ โ„+)
7749, 70, 76lemul1d 13059 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐‘ง โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (๐‘ง โˆฅ ๐‘ƒ โˆง ยฌ ๐‘ง = ๐‘ƒ)) โ†’ (๐‘ƒ โ‰ค (๐‘ง ยท ๐‘ง) โ†” (๐‘ƒ ยท (๐‘ƒ / (๐‘ง ยท ๐‘ง))) โ‰ค ((๐‘ง ยท ๐‘ง) ยท (๐‘ƒ / (๐‘ง ยท ๐‘ง)))))
7849recnd 11242 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐‘ง โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (๐‘ง โˆฅ ๐‘ƒ โˆง ยฌ ๐‘ง = ๐‘ƒ)) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„‚)
7978, 47, 78, 47, 39, 39divmuldivd 12031 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐‘ง โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (๐‘ง โˆฅ ๐‘ƒ โˆง ยฌ ๐‘ง = ๐‘ƒ)) โ†’ ((๐‘ƒ / ๐‘ง) ยท (๐‘ƒ / ๐‘ง)) = ((๐‘ƒ ยท ๐‘ƒ) / (๐‘ง ยท ๐‘ง)))
8071nncnd 12228 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐‘ง โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (๐‘ง โˆฅ ๐‘ƒ โˆง ยฌ ๐‘ง = ๐‘ƒ)) โ†’ (๐‘ง ยท ๐‘ง) โˆˆ โ„‚)
8171nnne0d 12262 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐‘ง โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (๐‘ง โˆฅ ๐‘ƒ โˆง ยฌ ๐‘ง = ๐‘ƒ)) โ†’ (๐‘ง ยท ๐‘ง) โ‰  0)
8278, 78, 80, 81divassd 12025 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐‘ง โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (๐‘ง โˆฅ ๐‘ƒ โˆง ยฌ ๐‘ง = ๐‘ƒ)) โ†’ ((๐‘ƒ ยท ๐‘ƒ) / (๐‘ง ยท ๐‘ง)) = (๐‘ƒ ยท (๐‘ƒ / (๐‘ง ยท ๐‘ง))))
8379, 82eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐‘ง โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (๐‘ง โˆฅ ๐‘ƒ โˆง ยฌ ๐‘ง = ๐‘ƒ)) โ†’ ((๐‘ƒ / ๐‘ง) ยท (๐‘ƒ / ๐‘ง)) = (๐‘ƒ ยท (๐‘ƒ / (๐‘ง ยท ๐‘ง))))
8478, 80, 81divcan2d 11992 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐‘ง โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (๐‘ง โˆฅ ๐‘ƒ โˆง ยฌ ๐‘ง = ๐‘ƒ)) โ†’ ((๐‘ง ยท ๐‘ง) ยท (๐‘ƒ / (๐‘ง ยท ๐‘ง))) = ๐‘ƒ)
8584eqcomd 2739 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐‘ง โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (๐‘ง โˆฅ ๐‘ƒ โˆง ยฌ ๐‘ง = ๐‘ƒ)) โ†’ ๐‘ƒ = ((๐‘ง ยท ๐‘ง) ยท (๐‘ƒ / (๐‘ง ยท ๐‘ง))))
8683, 85breq12d 5162 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐‘ง โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (๐‘ง โˆฅ ๐‘ƒ โˆง ยฌ ๐‘ง = ๐‘ƒ)) โ†’ (((๐‘ƒ / ๐‘ง) ยท (๐‘ƒ / ๐‘ง)) โ‰ค ๐‘ƒ โ†” (๐‘ƒ ยท (๐‘ƒ / (๐‘ง ยท ๐‘ง))) โ‰ค ((๐‘ง ยท ๐‘ง) ยท (๐‘ƒ / (๐‘ง ยท ๐‘ง)))))
8777, 86bitr4d 282 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐‘ง โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (๐‘ง โˆฅ ๐‘ƒ โˆง ยฌ ๐‘ง = ๐‘ƒ)) โ†’ (๐‘ƒ โ‰ค (๐‘ง ยท ๐‘ง) โ†” ((๐‘ƒ / ๐‘ง) ยท (๐‘ƒ / ๐‘ง)) โ‰ค ๐‘ƒ))
8887biimpd 228 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐‘ง โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (๐‘ง โˆฅ ๐‘ƒ โˆง ยฌ ๐‘ง = ๐‘ƒ)) โ†’ (๐‘ƒ โ‰ค (๐‘ง ยท ๐‘ง) โ†’ ((๐‘ƒ / ๐‘ง) ยท (๐‘ƒ / ๐‘ง)) โ‰ค ๐‘ƒ))
8978, 47, 39divcan2d 11992 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐‘ง โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (๐‘ง โˆฅ ๐‘ƒ โˆง ยฌ ๐‘ง = ๐‘ƒ)) โ†’ (๐‘ง ยท (๐‘ƒ / ๐‘ง)) = ๐‘ƒ)
90 dvds0lem 16210 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘ƒ / ๐‘ง) โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘ง ยท (๐‘ƒ / ๐‘ง)) = ๐‘ƒ) โ†’ (๐‘ƒ / ๐‘ง) โˆฅ ๐‘ƒ)
9136, 44, 41, 89, 90syl31anc 1374 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐‘ง โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (๐‘ง โˆฅ ๐‘ƒ โˆง ยฌ ๐‘ง = ๐‘ƒ)) โ†’ (๐‘ƒ / ๐‘ง) โˆฅ ๐‘ƒ)
9288, 91jctird 528 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐‘ง โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (๐‘ง โˆฅ ๐‘ƒ โˆง ยฌ ๐‘ง = ๐‘ƒ)) โ†’ (๐‘ƒ โ‰ค (๐‘ง ยท ๐‘ง) โ†’ (((๐‘ƒ / ๐‘ง) ยท (๐‘ƒ / ๐‘ง)) โ‰ค ๐‘ƒ โˆง (๐‘ƒ / ๐‘ง) โˆฅ ๐‘ƒ)))
93 oveq12 7418 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐‘ฅ = (๐‘ƒ / ๐‘ง) โˆง ๐‘ฅ = (๐‘ƒ / ๐‘ง)) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘ฅ) = ((๐‘ƒ / ๐‘ง) ยท (๐‘ƒ / ๐‘ง)))
9493anidms 568 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ฅ = (๐‘ƒ / ๐‘ง) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘ฅ) = ((๐‘ƒ / ๐‘ง) ยท (๐‘ƒ / ๐‘ง)))
9594breq1d 5159 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ฅ = (๐‘ƒ / ๐‘ง) โ†’ ((๐‘ฅ ยท ๐‘ฅ) โ‰ค ๐‘ƒ โ†” ((๐‘ƒ / ๐‘ง) ยท (๐‘ƒ / ๐‘ง)) โ‰ค ๐‘ƒ))
96 breq1 5152 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ฅ = (๐‘ƒ / ๐‘ง) โ†’ (๐‘ฅ โˆฅ ๐‘ƒ โ†” (๐‘ƒ / ๐‘ง) โˆฅ ๐‘ƒ))
9795, 96anbi12d 632 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ฅ = (๐‘ƒ / ๐‘ง) โ†’ (((๐‘ฅ ยท ๐‘ฅ) โ‰ค ๐‘ƒ โˆง ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘ƒ) โ†” (((๐‘ƒ / ๐‘ง) ยท (๐‘ƒ / ๐‘ง)) โ‰ค ๐‘ƒ โˆง (๐‘ƒ / ๐‘ง) โˆฅ ๐‘ƒ)))
9897rspcev 3613 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘ƒ / ๐‘ง) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง (((๐‘ƒ / ๐‘ง) ยท (๐‘ƒ / ๐‘ง)) โ‰ค ๐‘ƒ โˆง (๐‘ƒ / ๐‘ง) โˆฅ ๐‘ƒ)) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)((๐‘ฅ ยท ๐‘ฅ) โ‰ค ๐‘ƒ โˆง ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘ƒ))
9969, 92, 98syl6an 683 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐‘ง โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (๐‘ง โˆฅ ๐‘ƒ โˆง ยฌ ๐‘ง = ๐‘ƒ)) โ†’ (๐‘ƒ โ‰ค (๐‘ง ยท ๐‘ง) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)((๐‘ฅ ยท ๐‘ฅ) โ‰ค ๐‘ƒ โˆง ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘ƒ)))
10070, 49letrid 11366 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐‘ง โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (๐‘ง โˆฅ ๐‘ƒ โˆง ยฌ ๐‘ง = ๐‘ƒ)) โ†’ ((๐‘ง ยท ๐‘ง) โ‰ค ๐‘ƒ โˆจ ๐‘ƒ โ‰ค (๐‘ง ยท ๐‘ง)))
10133, 99, 100mpjaod 859 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐‘ง โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (๐‘ง โˆฅ ๐‘ƒ โˆง ยฌ ๐‘ง = ๐‘ƒ)) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)((๐‘ฅ ยท ๐‘ฅ) โ‰ค ๐‘ƒ โˆง ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘ƒ))
102101ex 414 . . . . . . . . 9 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐‘ง โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โ†’ ((๐‘ง โˆฅ ๐‘ƒ โˆง ยฌ ๐‘ง = ๐‘ƒ) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)((๐‘ฅ ยท ๐‘ฅ) โ‰ค ๐‘ƒ โˆง ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘ƒ)))
10324, 102biimtrrid 242 . . . . . . . 8 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐‘ง โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โ†’ (ยฌ (๐‘ง โˆฅ ๐‘ƒ โ†’ ๐‘ง = ๐‘ƒ) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)((๐‘ฅ ยท ๐‘ฅ) โ‰ค ๐‘ƒ โˆง ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘ƒ)))
104103rexlimdva 3156 . . . . . . 7 (๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ (โˆƒ๐‘ง โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) ยฌ (๐‘ง โˆฅ ๐‘ƒ โ†’ ๐‘ง = ๐‘ƒ) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)((๐‘ฅ ยท ๐‘ฅ) โ‰ค ๐‘ƒ โˆง ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘ƒ)))
105 prmz 16612 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ง โˆˆ โ„™ โ†’ ๐‘ง โˆˆ โ„ค)
106105ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง ((๐‘ฅ ยท ๐‘ฅ) โ‰ค ๐‘ƒ โˆง ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘ƒ)) โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐‘ฅ)) โ†’ ๐‘ง โˆˆ โ„ค)
107106zred 12666 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง ((๐‘ฅ ยท ๐‘ฅ) โ‰ค ๐‘ƒ โˆง ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘ƒ)) โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐‘ฅ)) โ†’ ๐‘ง โˆˆ โ„)
108107, 107remulcld 11244 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง ((๐‘ฅ ยท ๐‘ฅ) โ‰ค ๐‘ƒ โˆง ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘ƒ)) โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐‘ฅ)) โ†’ (๐‘ง ยท ๐‘ง) โˆˆ โ„)
109 eluzelz 12832 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ฅ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค)
110109ad3antlr 730 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง ((๐‘ฅ ยท ๐‘ฅ) โ‰ค ๐‘ƒ โˆง ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘ƒ)) โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐‘ฅ)) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค)
111110zred 12666 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง ((๐‘ฅ ยท ๐‘ฅ) โ‰ค ๐‘ƒ โˆง ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘ƒ)) โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐‘ฅ)) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„)
112111, 111remulcld 11244 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง ((๐‘ฅ ยท ๐‘ฅ) โ‰ค ๐‘ƒ โˆง ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘ƒ)) โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐‘ฅ)) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘ฅ) โˆˆ โ„)
11340ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง ((๐‘ฅ ยท ๐‘ฅ) โ‰ค ๐‘ƒ โˆง ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘ƒ)) โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐‘ฅ)) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„ค)
114113zred 12666 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง ((๐‘ฅ ยท ๐‘ฅ) โ‰ค ๐‘ƒ โˆง ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘ƒ)) โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐‘ฅ)) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„)
115 eluz2nn 12868 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ฅ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„•)
116115ad3antlr 730 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง ((๐‘ฅ ยท ๐‘ฅ) โ‰ค ๐‘ƒ โˆง ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘ƒ)) โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐‘ฅ)) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„•)
117 simprr 772 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง ((๐‘ฅ ยท ๐‘ฅ) โ‰ค ๐‘ƒ โˆง ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘ƒ)) โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐‘ฅ)) โ†’ ๐‘ง โˆฅ ๐‘ฅ)
118 dvdsle 16253 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ง โˆฅ ๐‘ฅ โ†’ ๐‘ง โ‰ค ๐‘ฅ))
119118imp 408 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐‘ฅ) โ†’ ๐‘ง โ‰ค ๐‘ฅ)
120106, 116, 117, 119syl21anc 837 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง ((๐‘ฅ ยท ๐‘ฅ) โ‰ค ๐‘ƒ โˆง ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘ƒ)) โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐‘ฅ)) โ†’ ๐‘ง โ‰ค ๐‘ฅ)
121 eluzge2nn0 12871 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘ง โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ ๐‘ง โˆˆ โ„•0)
122121nn0ge0d 12535 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘ง โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ 0 โ‰ค ๐‘ง)
1232, 122syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ง โˆˆ โ„™ โ†’ 0 โ‰ค ๐‘ง)
124123ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง ((๐‘ฅ ยท ๐‘ฅ) โ‰ค ๐‘ƒ โˆง ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘ƒ)) โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐‘ฅ)) โ†’ 0 โ‰ค ๐‘ง)
125 nnnn0 12479 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘ฅ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„•0)
126125nn0ge0d 12535 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ฅ โˆˆ โ„• โ†’ 0 โ‰ค ๐‘ฅ)
127116, 126syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง ((๐‘ฅ ยท ๐‘ฅ) โ‰ค ๐‘ƒ โˆง ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘ƒ)) โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐‘ฅ)) โ†’ 0 โ‰ค ๐‘ฅ)
128 le2msq 12114 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐‘ง โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐‘ง) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐‘ฅ)) โ†’ (๐‘ง โ‰ค ๐‘ฅ โ†” (๐‘ง ยท ๐‘ง) โ‰ค (๐‘ฅ ยท ๐‘ฅ)))
129107, 124, 111, 127, 128syl22anc 838 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง ((๐‘ฅ ยท ๐‘ฅ) โ‰ค ๐‘ƒ โˆง ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘ƒ)) โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐‘ฅ)) โ†’ (๐‘ง โ‰ค ๐‘ฅ โ†” (๐‘ง ยท ๐‘ง) โ‰ค (๐‘ฅ ยท ๐‘ฅ)))
130120, 129mpbid 231 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง ((๐‘ฅ ยท ๐‘ฅ) โ‰ค ๐‘ƒ โˆง ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘ƒ)) โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐‘ฅ)) โ†’ (๐‘ง ยท ๐‘ง) โ‰ค (๐‘ฅ ยท ๐‘ฅ))
131 simplrl 776 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง ((๐‘ฅ ยท ๐‘ฅ) โ‰ค ๐‘ƒ โˆง ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘ƒ)) โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐‘ฅ)) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘ฅ) โ‰ค ๐‘ƒ)
132108, 112, 114, 130, 131letrd 11371 . . . . . . . . . . 11 ((((๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง ((๐‘ฅ ยท ๐‘ฅ) โ‰ค ๐‘ƒ โˆง ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘ƒ)) โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐‘ฅ)) โ†’ (๐‘ง ยท ๐‘ง) โ‰ค ๐‘ƒ)
133 simplrr 777 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง ((๐‘ฅ ยท ๐‘ฅ) โ‰ค ๐‘ƒ โˆง ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘ƒ)) โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐‘ฅ)) โ†’ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘ƒ)
134106, 110, 113, 117, 133dvdstrd 16238 . . . . . . . . . . 11 ((((๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง ((๐‘ฅ ยท ๐‘ฅ) โ‰ค ๐‘ƒ โˆง ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘ƒ)) โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐‘ฅ)) โ†’ ๐‘ง โˆฅ ๐‘ƒ)
135132, 134jc 161 . . . . . . . . . 10 ((((๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง ((๐‘ฅ ยท ๐‘ฅ) โ‰ค ๐‘ƒ โˆง ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘ƒ)) โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐‘ฅ)) โ†’ ยฌ ((๐‘ง ยท ๐‘ง) โ‰ค ๐‘ƒ โ†’ ยฌ ๐‘ง โˆฅ ๐‘ƒ))
136 exprmfct 16641 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฅ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„™ ๐‘ง โˆฅ ๐‘ฅ)
137136ad2antlr 726 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง ((๐‘ฅ ยท ๐‘ฅ) โ‰ค ๐‘ƒ โˆง ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘ƒ)) โ†’ โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„™ ๐‘ง โˆฅ ๐‘ฅ)
138135, 137reximddv 3172 . . . . . . . . 9 (((๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง ((๐‘ฅ ยท ๐‘ฅ) โ‰ค ๐‘ƒ โˆง ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘ƒ)) โ†’ โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„™ ยฌ ((๐‘ง ยท ๐‘ง) โ‰ค ๐‘ƒ โ†’ ยฌ ๐‘ง โˆฅ ๐‘ƒ))
139138ex 414 . . . . . . . 8 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โ†’ (((๐‘ฅ ยท ๐‘ฅ) โ‰ค ๐‘ƒ โˆง ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘ƒ) โ†’ โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„™ ยฌ ((๐‘ง ยท ๐‘ง) โ‰ค ๐‘ƒ โ†’ ยฌ ๐‘ง โˆฅ ๐‘ƒ)))
140139rexlimdva 3156 . . . . . . 7 (๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)((๐‘ฅ ยท ๐‘ฅ) โ‰ค ๐‘ƒ โˆง ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘ƒ) โ†’ โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„™ ยฌ ((๐‘ง ยท ๐‘ง) โ‰ค ๐‘ƒ โ†’ ยฌ ๐‘ง โˆฅ ๐‘ƒ)))
141104, 140syld 47 . . . . . 6 (๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ (โˆƒ๐‘ง โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) ยฌ (๐‘ง โˆฅ ๐‘ƒ โ†’ ๐‘ง = ๐‘ƒ) โ†’ โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„™ ยฌ ((๐‘ง ยท ๐‘ง) โ‰ค ๐‘ƒ โ†’ ยฌ ๐‘ง โˆฅ ๐‘ƒ)))
142 rexnal 3101 . . . . . 6 (โˆƒ๐‘ง โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) ยฌ (๐‘ง โˆฅ ๐‘ƒ โ†’ ๐‘ง = ๐‘ƒ) โ†” ยฌ โˆ€๐‘ง โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)(๐‘ง โˆฅ ๐‘ƒ โ†’ ๐‘ง = ๐‘ƒ))
143 rexnal 3101 . . . . . 6 (โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„™ ยฌ ((๐‘ง ยท ๐‘ง) โ‰ค ๐‘ƒ โ†’ ยฌ ๐‘ง โˆฅ ๐‘ƒ) โ†” ยฌ โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„™ ((๐‘ง ยท ๐‘ง) โ‰ค ๐‘ƒ โ†’ ยฌ ๐‘ง โˆฅ ๐‘ƒ))
144141, 142, 1433imtr3g 295 . . . . 5 (๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ (ยฌ โˆ€๐‘ง โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)(๐‘ง โˆฅ ๐‘ƒ โ†’ ๐‘ง = ๐‘ƒ) โ†’ ยฌ โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„™ ((๐‘ง ยท ๐‘ง) โ‰ค ๐‘ƒ โ†’ ยฌ ๐‘ง โˆฅ ๐‘ƒ)))
14523, 144impcon4bid 226 . . . 4 (๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ (โˆ€๐‘ง โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)(๐‘ง โˆฅ ๐‘ƒ โ†’ ๐‘ง = ๐‘ƒ) โ†” โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„™ ((๐‘ง ยท ๐‘ง) โ‰ค ๐‘ƒ โ†’ ยฌ ๐‘ง โˆฅ ๐‘ƒ)))
146 prmnn 16611 . . . . . . . . 9 (๐‘ง โˆˆ โ„™ โ†’ ๐‘ง โˆˆ โ„•)
147146nncnd 12228 . . . . . . . 8 (๐‘ง โˆˆ โ„™ โ†’ ๐‘ง โˆˆ โ„‚)
148147sqvald 14108 . . . . . . 7 (๐‘ง โˆˆ โ„™ โ†’ (๐‘งโ†‘2) = (๐‘ง ยท ๐‘ง))
149148breq1d 5159 . . . . . 6 (๐‘ง โˆˆ โ„™ โ†’ ((๐‘งโ†‘2) โ‰ค ๐‘ƒ โ†” (๐‘ง ยท ๐‘ง) โ‰ค ๐‘ƒ))
150149imbi1d 342 . . . . 5 (๐‘ง โˆˆ โ„™ โ†’ (((๐‘งโ†‘2) โ‰ค ๐‘ƒ โ†’ ยฌ ๐‘ง โˆฅ ๐‘ƒ) โ†” ((๐‘ง ยท ๐‘ง) โ‰ค ๐‘ƒ โ†’ ยฌ ๐‘ง โˆฅ ๐‘ƒ)))
151150ralbiia 3092 . . . 4 (โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„™ ((๐‘งโ†‘2) โ‰ค ๐‘ƒ โ†’ ยฌ ๐‘ง โˆฅ ๐‘ƒ) โ†” โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„™ ((๐‘ง ยท ๐‘ง) โ‰ค ๐‘ƒ โ†’ ยฌ ๐‘ง โˆฅ ๐‘ƒ))
152145, 151bitr4di 289 . . 3 (๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ (โˆ€๐‘ง โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)(๐‘ง โˆฅ ๐‘ƒ โ†’ ๐‘ง = ๐‘ƒ) โ†” โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„™ ((๐‘งโ†‘2) โ‰ค ๐‘ƒ โ†’ ยฌ ๐‘ง โˆฅ ๐‘ƒ)))
153152pm5.32i 576 . 2 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง โˆ€๐‘ง โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)(๐‘ง โˆฅ ๐‘ƒ โ†’ ๐‘ง = ๐‘ƒ)) โ†” (๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„™ ((๐‘งโ†‘2) โ‰ค ๐‘ƒ โ†’ ยฌ ๐‘ง โˆฅ ๐‘ƒ)))
1541, 153bitri 275 1 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†” (๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„™ ((๐‘งโ†‘2) โ‰ค ๐‘ƒ โ†’ ยฌ ๐‘ง โˆฅ ๐‘ƒ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2941  โˆ€wral 3062  โˆƒwrex 3071   class class class wbr 5149  โ€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  โ„cr 11109  0cc0 11110  1c1 11111   ยท cmul 11115   < clt 11248   โ‰ค cle 11249   / cdiv 11871  โ„•cn 12212  2c2 12267  โ„คcz 12558  โ„คโ‰ฅcuz 12822  โ„+crp 12974  โ†‘cexp 14027   โˆฅ cdvds 16197  โ„™cprime 16608
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-2o 8467  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9437  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-rp 12975  df-fz 13485  df-seq 13967  df-exp 14028  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-dvds 16198  df-prm 16609
This theorem is referenced by:  isprm7  16645  pockthg  16839  prmlem1a  17040
  Copyright terms: Public domain W3C validator