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Theorem isprm5 15884
Description: One need only check prime divisors of 𝑃 up to 𝑃 in order to ensure primality. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.)
Assertion
Ref Expression
isprm5 (𝑃 ∈ ℙ ↔ (𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ ∀𝑧 ∈ ℙ ((𝑧↑2) ≤ 𝑃 → ¬ 𝑧𝑃)))
Distinct variable group:   𝑧,𝑃

Proof of Theorem isprm5
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isprm4 15861 . 2 (𝑃 ∈ ℙ ↔ (𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ ∀𝑧 ∈ (ℤ‘2)(𝑧𝑃𝑧 = 𝑃)))
2 prmuz2 15873 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ ℙ → 𝑧 ∈ (ℤ‘2))
32a1i 11 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ (ℤ‘2) → (𝑧 ∈ ℙ → 𝑧 ∈ (ℤ‘2)))
4 eluz2gt1 12173 . . . . . . . . . . . 12 (𝑃 ∈ (ℤ‘2) → 1 < 𝑃)
5 eluzelre 12108 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑃 ∈ (ℤ‘2) → 𝑃 ∈ ℝ)
6 eluz2nn 12137 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑃 ∈ (ℤ‘2) → 𝑃 ∈ ℕ)
76nngt0d 11540 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑃 ∈ (ℤ‘2) → 0 < 𝑃)
8 ltmulgt11 11354 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑃 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑃) → (1 < 𝑃𝑃 < (𝑃 · 𝑃)))
95, 5, 7, 8syl3anc 1364 . . . . . . . . . . . 12 (𝑃 ∈ (ℤ‘2) → (1 < 𝑃𝑃 < (𝑃 · 𝑃)))
104, 9mpbid 233 . . . . . . . . . . 11 (𝑃 ∈ (ℤ‘2) → 𝑃 < (𝑃 · 𝑃))
115, 5remulcld 10524 . . . . . . . . . . . 12 (𝑃 ∈ (ℤ‘2) → (𝑃 · 𝑃) ∈ ℝ)
125, 11ltnled 10640 . . . . . . . . . . 11 (𝑃 ∈ (ℤ‘2) → (𝑃 < (𝑃 · 𝑃) ↔ ¬ (𝑃 · 𝑃) ≤ 𝑃))
1310, 12mpbid 233 . . . . . . . . . 10 (𝑃 ∈ (ℤ‘2) → ¬ (𝑃 · 𝑃) ≤ 𝑃)
14 oveq12 7032 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑧 = 𝑃𝑧 = 𝑃) → (𝑧 · 𝑧) = (𝑃 · 𝑃))
1514anidms 567 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = 𝑃 → (𝑧 · 𝑧) = (𝑃 · 𝑃))
1615breq1d 4978 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = 𝑃 → ((𝑧 · 𝑧) ≤ 𝑃 ↔ (𝑃 · 𝑃) ≤ 𝑃))
1716notbid 319 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = 𝑃 → (¬ (𝑧 · 𝑧) ≤ 𝑃 ↔ ¬ (𝑃 · 𝑃) ≤ 𝑃))
1813, 17syl5ibrcom 248 . . . . . . . . 9 (𝑃 ∈ (ℤ‘2) → (𝑧 = 𝑃 → ¬ (𝑧 · 𝑧) ≤ 𝑃))
1918imim2d 57 . . . . . . . 8 (𝑃 ∈ (ℤ‘2) → ((𝑧𝑃𝑧 = 𝑃) → (𝑧𝑃 → ¬ (𝑧 · 𝑧) ≤ 𝑃)))
20 con2 137 . . . . . . . 8 ((𝑧𝑃 → ¬ (𝑧 · 𝑧) ≤ 𝑃) → ((𝑧 · 𝑧) ≤ 𝑃 → ¬ 𝑧𝑃))
2119, 20syl6 35 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ (ℤ‘2) → ((𝑧𝑃𝑧 = 𝑃) → ((𝑧 · 𝑧) ≤ 𝑃 → ¬ 𝑧𝑃)))
223, 21imim12d 81 . . . . . 6 (𝑃 ∈ (ℤ‘2) → ((𝑧 ∈ (ℤ‘2) → (𝑧𝑃𝑧 = 𝑃)) → (𝑧 ∈ ℙ → ((𝑧 · 𝑧) ≤ 𝑃 → ¬ 𝑧𝑃))))
2322ralimdv2 3145 . . . . 5 (𝑃 ∈ (ℤ‘2) → (∀𝑧 ∈ (ℤ‘2)(𝑧𝑃𝑧 = 𝑃) → ∀𝑧 ∈ ℙ ((𝑧 · 𝑧) ≤ 𝑃 → ¬ 𝑧𝑃)))
24 annim 404 . . . . . . . . 9 ((𝑧𝑃 ∧ ¬ 𝑧 = 𝑃) ↔ ¬ (𝑧𝑃𝑧 = 𝑃))
25 oveq12 7032 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑥 = 𝑧𝑥 = 𝑧) → (𝑥 · 𝑥) = (𝑧 · 𝑧))
2625anidms 567 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 · 𝑥) = (𝑧 · 𝑧))
2726breq1d 4978 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 𝑧 → ((𝑥 · 𝑥) ≤ 𝑃 ↔ (𝑧 · 𝑧) ≤ 𝑃))
28 breq1 4971 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 𝑧 → (𝑥𝑃𝑧𝑃))
2927, 28anbi12d 630 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 𝑧 → (((𝑥 · 𝑥) ≤ 𝑃𝑥𝑃) ↔ ((𝑧 · 𝑧) ≤ 𝑃𝑧𝑃)))
3029rspcev 3561 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑧 ∈ (ℤ‘2) ∧ ((𝑧 · 𝑧) ≤ 𝑃𝑧𝑃)) → ∃𝑥 ∈ (ℤ‘2)((𝑥 · 𝑥) ≤ 𝑃𝑥𝑃))
3130ancom2s 646 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑧 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑧𝑃 ∧ (𝑧 · 𝑧) ≤ 𝑃)) → ∃𝑥 ∈ (ℤ‘2)((𝑥 · 𝑥) ≤ 𝑃𝑥𝑃))
3231expr 457 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑧 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧𝑃) → ((𝑧 · 𝑧) ≤ 𝑃 → ∃𝑥 ∈ (ℤ‘2)((𝑥 · 𝑥) ≤ 𝑃𝑥𝑃)))
3332ad2ant2lr 744 . . . . . . . . . . 11 (((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑧𝑃 ∧ ¬ 𝑧 = 𝑃)) → ((𝑧 · 𝑧) ≤ 𝑃 → ∃𝑥 ∈ (ℤ‘2)((𝑥 · 𝑥) ≤ 𝑃𝑥𝑃)))
34 simprl 767 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑧𝑃 ∧ ¬ 𝑧 = 𝑃)) → 𝑧𝑃)
35 eluzelz 12107 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑧 ∈ (ℤ‘2) → 𝑧 ∈ ℤ)
3635ad2antlr 723 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑧𝑃 ∧ ¬ 𝑧 = 𝑃)) → 𝑧 ∈ ℤ)
37 eluz2nn 12137 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑧 ∈ (ℤ‘2) → 𝑧 ∈ ℕ)
3837ad2antlr 723 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑧𝑃 ∧ ¬ 𝑧 = 𝑃)) → 𝑧 ∈ ℕ)
3938nnne0d 11541 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑧𝑃 ∧ ¬ 𝑧 = 𝑃)) → 𝑧 ≠ 0)
40 eluzelz 12107 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑃 ∈ (ℤ‘2) → 𝑃 ∈ ℤ)
4140ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑧𝑃 ∧ ¬ 𝑧 = 𝑃)) → 𝑃 ∈ ℤ)
42 dvdsval2 15447 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ≠ 0 ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → (𝑧𝑃 ↔ (𝑃 / 𝑧) ∈ ℤ))
4336, 39, 41, 42syl3anc 1364 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑧𝑃 ∧ ¬ 𝑧 = 𝑃)) → (𝑧𝑃 ↔ (𝑃 / 𝑧) ∈ ℤ))
4434, 43mpbid 233 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑧𝑃 ∧ ¬ 𝑧 = 𝑃)) → (𝑃 / 𝑧) ∈ ℤ)
45 eluzelre 12108 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑧 ∈ (ℤ‘2) → 𝑧 ∈ ℝ)
4645ad2antlr 723 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑧𝑃 ∧ ¬ 𝑧 = 𝑃)) → 𝑧 ∈ ℝ)
4746recnd 10522 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑧𝑃 ∧ ¬ 𝑧 = 𝑃)) → 𝑧 ∈ ℂ)
4847mulid2d 10512 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑧𝑃 ∧ ¬ 𝑧 = 𝑃)) → (1 · 𝑧) = 𝑧)
495ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑧𝑃 ∧ ¬ 𝑧 = 𝑃)) → 𝑃 ∈ ℝ)
506ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑧𝑃 ∧ ¬ 𝑧 = 𝑃)) → 𝑃 ∈ ℕ)
51 dvdsle 15497 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℕ) → (𝑧𝑃𝑧𝑃))
5251imp 407 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℕ) ∧ 𝑧𝑃) → 𝑧𝑃)
5336, 50, 34, 52syl21anc 834 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑧𝑃 ∧ ¬ 𝑧 = 𝑃)) → 𝑧𝑃)
54 simprr 769 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑧𝑃 ∧ ¬ 𝑧 = 𝑃)) → ¬ 𝑧 = 𝑃)
5554neqned 2993 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑧𝑃 ∧ ¬ 𝑧 = 𝑃)) → 𝑧𝑃)
5655necomd 3041 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑧𝑃 ∧ ¬ 𝑧 = 𝑃)) → 𝑃𝑧)
5746, 49, 53, 56leneltd 10647 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑧𝑃 ∧ ¬ 𝑧 = 𝑃)) → 𝑧 < 𝑃)
5848, 57eqbrtrd 4990 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑧𝑃 ∧ ¬ 𝑧 = 𝑃)) → (1 · 𝑧) < 𝑃)
59 1red 10495 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑧𝑃 ∧ ¬ 𝑧 = 𝑃)) → 1 ∈ ℝ)
6041zred 11941 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑧𝑃 ∧ ¬ 𝑧 = 𝑃)) → 𝑃 ∈ ℝ)
61 nnre 11499 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑧 ∈ ℕ → 𝑧 ∈ ℝ)
62 nngt0 11522 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑧 ∈ ℕ → 0 < 𝑧)
6361, 62jca 512 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑧 ∈ ℕ → (𝑧 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑧))
6438, 63syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑧𝑃 ∧ ¬ 𝑧 = 𝑃)) → (𝑧 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑧))
65 ltmuldiv 11367 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑧)) → ((1 · 𝑧) < 𝑃 ↔ 1 < (𝑃 / 𝑧)))
6659, 60, 64, 65syl3anc 1364 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑧𝑃 ∧ ¬ 𝑧 = 𝑃)) → ((1 · 𝑧) < 𝑃 ↔ 1 < (𝑃 / 𝑧)))
6758, 66mpbid 233 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑧𝑃 ∧ ¬ 𝑧 = 𝑃)) → 1 < (𝑃 / 𝑧))
68 eluz2b1 12172 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑃 / 𝑧) ∈ (ℤ‘2) ↔ ((𝑃 / 𝑧) ∈ ℤ ∧ 1 < (𝑃 / 𝑧)))
6944, 67, 68sylanbrc 583 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑧𝑃 ∧ ¬ 𝑧 = 𝑃)) → (𝑃 / 𝑧) ∈ (ℤ‘2))
7046, 46remulcld 10524 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑧𝑃 ∧ ¬ 𝑧 = 𝑃)) → (𝑧 · 𝑧) ∈ ℝ)
7138, 38nnmulcld 11544 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑧𝑃 ∧ ¬ 𝑧 = 𝑃)) → (𝑧 · 𝑧) ∈ ℕ)
72 nnrp 12254 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑃 ∈ ℕ → 𝑃 ∈ ℝ+)
73 nnrp 12254 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑧 · 𝑧) ∈ ℕ → (𝑧 · 𝑧) ∈ ℝ+)
74 rpdivcl 12268 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑃 ∈ ℝ+ ∧ (𝑧 · 𝑧) ∈ ℝ+) → (𝑃 / (𝑧 · 𝑧)) ∈ ℝ+)
7572, 73, 74syl2an 595 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑃 ∈ ℕ ∧ (𝑧 · 𝑧) ∈ ℕ) → (𝑃 / (𝑧 · 𝑧)) ∈ ℝ+)
7650, 71, 75syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑧𝑃 ∧ ¬ 𝑧 = 𝑃)) → (𝑃 / (𝑧 · 𝑧)) ∈ ℝ+)
7749, 70, 76lemul1d 12328 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑧𝑃 ∧ ¬ 𝑧 = 𝑃)) → (𝑃 ≤ (𝑧 · 𝑧) ↔ (𝑃 · (𝑃 / (𝑧 · 𝑧))) ≤ ((𝑧 · 𝑧) · (𝑃 / (𝑧 · 𝑧)))))
7849recnd 10522 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑧𝑃 ∧ ¬ 𝑧 = 𝑃)) → 𝑃 ∈ ℂ)
7978, 47, 78, 47, 39, 39divmuldivd 11311 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑧𝑃 ∧ ¬ 𝑧 = 𝑃)) → ((𝑃 / 𝑧) · (𝑃 / 𝑧)) = ((𝑃 · 𝑃) / (𝑧 · 𝑧)))
8071nncnd 11508 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑧𝑃 ∧ ¬ 𝑧 = 𝑃)) → (𝑧 · 𝑧) ∈ ℂ)
8171nnne0d 11541 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑧𝑃 ∧ ¬ 𝑧 = 𝑃)) → (𝑧 · 𝑧) ≠ 0)
8278, 78, 80, 81divassd 11305 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑧𝑃 ∧ ¬ 𝑧 = 𝑃)) → ((𝑃 · 𝑃) / (𝑧 · 𝑧)) = (𝑃 · (𝑃 / (𝑧 · 𝑧))))
8379, 82eqtrd 2833 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑧𝑃 ∧ ¬ 𝑧 = 𝑃)) → ((𝑃 / 𝑧) · (𝑃 / 𝑧)) = (𝑃 · (𝑃 / (𝑧 · 𝑧))))
8478, 80, 81divcan2d 11272 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑧𝑃 ∧ ¬ 𝑧 = 𝑃)) → ((𝑧 · 𝑧) · (𝑃 / (𝑧 · 𝑧))) = 𝑃)
8584eqcomd 2803 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑧𝑃 ∧ ¬ 𝑧 = 𝑃)) → 𝑃 = ((𝑧 · 𝑧) · (𝑃 / (𝑧 · 𝑧))))
8683, 85breq12d 4981 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑧𝑃 ∧ ¬ 𝑧 = 𝑃)) → (((𝑃 / 𝑧) · (𝑃 / 𝑧)) ≤ 𝑃 ↔ (𝑃 · (𝑃 / (𝑧 · 𝑧))) ≤ ((𝑧 · 𝑧) · (𝑃 / (𝑧 · 𝑧)))))
8777, 86bitr4d 283 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑧𝑃 ∧ ¬ 𝑧 = 𝑃)) → (𝑃 ≤ (𝑧 · 𝑧) ↔ ((𝑃 / 𝑧) · (𝑃 / 𝑧)) ≤ 𝑃))
8887biimpd 230 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑧𝑃 ∧ ¬ 𝑧 = 𝑃)) → (𝑃 ≤ (𝑧 · 𝑧) → ((𝑃 / 𝑧) · (𝑃 / 𝑧)) ≤ 𝑃))
8978, 47, 39divcan2d 11272 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑧𝑃 ∧ ¬ 𝑧 = 𝑃)) → (𝑧 · (𝑃 / 𝑧)) = 𝑃)
90 dvds0lem 15457 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑧 ∈ ℤ ∧ (𝑃 / 𝑧) ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) ∧ (𝑧 · (𝑃 / 𝑧)) = 𝑃) → (𝑃 / 𝑧) ∥ 𝑃)
9136, 44, 41, 89, 90syl31anc 1366 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑧𝑃 ∧ ¬ 𝑧 = 𝑃)) → (𝑃 / 𝑧) ∥ 𝑃)
9288, 91jctird 527 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑧𝑃 ∧ ¬ 𝑧 = 𝑃)) → (𝑃 ≤ (𝑧 · 𝑧) → (((𝑃 / 𝑧) · (𝑃 / 𝑧)) ≤ 𝑃 ∧ (𝑃 / 𝑧) ∥ 𝑃)))
93 oveq12 7032 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥 = (𝑃 / 𝑧) ∧ 𝑥 = (𝑃 / 𝑧)) → (𝑥 · 𝑥) = ((𝑃 / 𝑧) · (𝑃 / 𝑧)))
9493anidms 567 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = (𝑃 / 𝑧) → (𝑥 · 𝑥) = ((𝑃 / 𝑧) · (𝑃 / 𝑧)))
9594breq1d 4978 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = (𝑃 / 𝑧) → ((𝑥 · 𝑥) ≤ 𝑃 ↔ ((𝑃 / 𝑧) · (𝑃 / 𝑧)) ≤ 𝑃))
96 breq1 4971 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = (𝑃 / 𝑧) → (𝑥𝑃 ↔ (𝑃 / 𝑧) ∥ 𝑃))
9795, 96anbi12d 630 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = (𝑃 / 𝑧) → (((𝑥 · 𝑥) ≤ 𝑃𝑥𝑃) ↔ (((𝑃 / 𝑧) · (𝑃 / 𝑧)) ≤ 𝑃 ∧ (𝑃 / 𝑧) ∥ 𝑃)))
9897rspcev 3561 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑃 / 𝑧) ∈ (ℤ‘2) ∧ (((𝑃 / 𝑧) · (𝑃 / 𝑧)) ≤ 𝑃 ∧ (𝑃 / 𝑧) ∥ 𝑃)) → ∃𝑥 ∈ (ℤ‘2)((𝑥 · 𝑥) ≤ 𝑃𝑥𝑃))
9969, 92, 98syl6an 680 . . . . . . . . . . 11 (((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑧𝑃 ∧ ¬ 𝑧 = 𝑃)) → (𝑃 ≤ (𝑧 · 𝑧) → ∃𝑥 ∈ (ℤ‘2)((𝑥 · 𝑥) ≤ 𝑃𝑥𝑃)))
10070, 49letrid 10645 . . . . . . . . . . 11 (((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑧𝑃 ∧ ¬ 𝑧 = 𝑃)) → ((𝑧 · 𝑧) ≤ 𝑃𝑃 ≤ (𝑧 · 𝑧)))
10133, 99, 100mpjaod 855 . . . . . . . . . 10 (((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑧𝑃 ∧ ¬ 𝑧 = 𝑃)) → ∃𝑥 ∈ (ℤ‘2)((𝑥 · 𝑥) ≤ 𝑃𝑥𝑃))
102101ex 413 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) → ((𝑧𝑃 ∧ ¬ 𝑧 = 𝑃) → ∃𝑥 ∈ (ℤ‘2)((𝑥 · 𝑥) ≤ 𝑃𝑥𝑃)))
10324, 102syl5bir 244 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) → (¬ (𝑧𝑃𝑧 = 𝑃) → ∃𝑥 ∈ (ℤ‘2)((𝑥 · 𝑥) ≤ 𝑃𝑥𝑃)))
104103rexlimdva 3249 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ (ℤ‘2) → (∃𝑧 ∈ (ℤ‘2) ¬ (𝑧𝑃𝑧 = 𝑃) → ∃𝑥 ∈ (ℤ‘2)((𝑥 · 𝑥) ≤ 𝑃𝑥𝑃)))
105 prmz 15852 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 ∈ ℙ → 𝑧 ∈ ℤ)
106105ad2antrl 724 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ‘2)) ∧ ((𝑥 · 𝑥) ≤ 𝑃𝑥𝑃)) ∧ (𝑧 ∈ ℙ ∧ 𝑧𝑥)) → 𝑧 ∈ ℤ)
107106zred 11941 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ‘2)) ∧ ((𝑥 · 𝑥) ≤ 𝑃𝑥𝑃)) ∧ (𝑧 ∈ ℙ ∧ 𝑧𝑥)) → 𝑧 ∈ ℝ)
108107, 107remulcld 10524 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ‘2)) ∧ ((𝑥 · 𝑥) ≤ 𝑃𝑥𝑃)) ∧ (𝑧 ∈ ℙ ∧ 𝑧𝑥)) → (𝑧 · 𝑧) ∈ ℝ)
109 eluzelz 12107 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ (ℤ‘2) → 𝑥 ∈ ℤ)
110109ad3antlr 727 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ‘2)) ∧ ((𝑥 · 𝑥) ≤ 𝑃𝑥𝑃)) ∧ (𝑧 ∈ ℙ ∧ 𝑧𝑥)) → 𝑥 ∈ ℤ)
111110zred 11941 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ‘2)) ∧ ((𝑥 · 𝑥) ≤ 𝑃𝑥𝑃)) ∧ (𝑧 ∈ ℙ ∧ 𝑧𝑥)) → 𝑥 ∈ ℝ)
112111, 111remulcld 10524 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ‘2)) ∧ ((𝑥 · 𝑥) ≤ 𝑃𝑥𝑃)) ∧ (𝑧 ∈ ℙ ∧ 𝑧𝑥)) → (𝑥 · 𝑥) ∈ ℝ)
11340ad3antrrr 726 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ‘2)) ∧ ((𝑥 · 𝑥) ≤ 𝑃𝑥𝑃)) ∧ (𝑧 ∈ ℙ ∧ 𝑧𝑥)) → 𝑃 ∈ ℤ)
114113zred 11941 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ‘2)) ∧ ((𝑥 · 𝑥) ≤ 𝑃𝑥𝑃)) ∧ (𝑧 ∈ ℙ ∧ 𝑧𝑥)) → 𝑃 ∈ ℝ)
115 eluz2nn 12137 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ (ℤ‘2) → 𝑥 ∈ ℕ)
116115ad3antlr 727 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ‘2)) ∧ ((𝑥 · 𝑥) ≤ 𝑃𝑥𝑃)) ∧ (𝑧 ∈ ℙ ∧ 𝑧𝑥)) → 𝑥 ∈ ℕ)
117 simprr 769 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ‘2)) ∧ ((𝑥 · 𝑥) ≤ 𝑃𝑥𝑃)) ∧ (𝑧 ∈ ℙ ∧ 𝑧𝑥)) → 𝑧𝑥)
118 dvdsle 15497 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → (𝑧𝑥𝑧𝑥))
119118imp 407 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℕ) ∧ 𝑧𝑥) → 𝑧𝑥)
120106, 116, 117, 119syl21anc 834 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ‘2)) ∧ ((𝑥 · 𝑥) ≤ 𝑃𝑥𝑃)) ∧ (𝑧 ∈ ℙ ∧ 𝑧𝑥)) → 𝑧𝑥)
121 eluzge2nn0 12140 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑧 ∈ (ℤ‘2) → 𝑧 ∈ ℕ0)
122121nn0ge0d 11812 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑧 ∈ (ℤ‘2) → 0 ≤ 𝑧)
1232, 122syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 ∈ ℙ → 0 ≤ 𝑧)
124123ad2antrl 724 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ‘2)) ∧ ((𝑥 · 𝑥) ≤ 𝑃𝑥𝑃)) ∧ (𝑧 ∈ ℙ ∧ 𝑧𝑥)) → 0 ≤ 𝑧)
125 nnnn0 11758 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ ℕ → 𝑥 ∈ ℕ0)
126125nn0ge0d 11812 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ ℕ → 0 ≤ 𝑥)
127116, 126syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ‘2)) ∧ ((𝑥 · 𝑥) ≤ 𝑃𝑥𝑃)) ∧ (𝑧 ∈ ℙ ∧ 𝑧𝑥)) → 0 ≤ 𝑥)
128 le2msq 11394 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑧 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑧) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥)) → (𝑧𝑥 ↔ (𝑧 · 𝑧) ≤ (𝑥 · 𝑥)))
129107, 124, 111, 127, 128syl22anc 835 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ‘2)) ∧ ((𝑥 · 𝑥) ≤ 𝑃𝑥𝑃)) ∧ (𝑧 ∈ ℙ ∧ 𝑧𝑥)) → (𝑧𝑥 ↔ (𝑧 · 𝑧) ≤ (𝑥 · 𝑥)))
130120, 129mpbid 233 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ‘2)) ∧ ((𝑥 · 𝑥) ≤ 𝑃𝑥𝑃)) ∧ (𝑧 ∈ ℙ ∧ 𝑧𝑥)) → (𝑧 · 𝑧) ≤ (𝑥 · 𝑥))
131 simplrl 773 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ‘2)) ∧ ((𝑥 · 𝑥) ≤ 𝑃𝑥𝑃)) ∧ (𝑧 ∈ ℙ ∧ 𝑧𝑥)) → (𝑥 · 𝑥) ≤ 𝑃)
132108, 112, 114, 130, 131letrd 10650 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ‘2)) ∧ ((𝑥 · 𝑥) ≤ 𝑃𝑥𝑃)) ∧ (𝑧 ∈ ℙ ∧ 𝑧𝑥)) → (𝑧 · 𝑧) ≤ 𝑃)
133 simplrr 774 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ‘2)) ∧ ((𝑥 · 𝑥) ≤ 𝑃𝑥𝑃)) ∧ (𝑧 ∈ ℙ ∧ 𝑧𝑥)) → 𝑥𝑃)
134 dvdstr 15483 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → ((𝑧𝑥𝑥𝑃) → 𝑧𝑃))
135106, 110, 113, 134syl3anc 1364 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ‘2)) ∧ ((𝑥 · 𝑥) ≤ 𝑃𝑥𝑃)) ∧ (𝑧 ∈ ℙ ∧ 𝑧𝑥)) → ((𝑧𝑥𝑥𝑃) → 𝑧𝑃))
136117, 133, 135mp2and 695 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ‘2)) ∧ ((𝑥 · 𝑥) ≤ 𝑃𝑥𝑃)) ∧ (𝑧 ∈ ℙ ∧ 𝑧𝑥)) → 𝑧𝑃)
137132, 136jc 164 . . . . . . . . . 10 ((((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ‘2)) ∧ ((𝑥 · 𝑥) ≤ 𝑃𝑥𝑃)) ∧ (𝑧 ∈ ℙ ∧ 𝑧𝑥)) → ¬ ((𝑧 · 𝑧) ≤ 𝑃 → ¬ 𝑧𝑃))
138 exprmfct 15881 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (ℤ‘2) → ∃𝑧 ∈ ℙ 𝑧𝑥)
139138ad2antlr 723 . . . . . . . . . 10 (((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ‘2)) ∧ ((𝑥 · 𝑥) ≤ 𝑃𝑥𝑃)) → ∃𝑧 ∈ ℙ 𝑧𝑥)
140137, 139reximddv 3240 . . . . . . . . 9 (((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ‘2)) ∧ ((𝑥 · 𝑥) ≤ 𝑃𝑥𝑃)) → ∃𝑧 ∈ ℙ ¬ ((𝑧 · 𝑧) ≤ 𝑃 → ¬ 𝑧𝑃))
141140ex 413 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ‘2)) → (((𝑥 · 𝑥) ≤ 𝑃𝑥𝑃) → ∃𝑧 ∈ ℙ ¬ ((𝑧 · 𝑧) ≤ 𝑃 → ¬ 𝑧𝑃)))
142141rexlimdva 3249 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ (ℤ‘2) → (∃𝑥 ∈ (ℤ‘2)((𝑥 · 𝑥) ≤ 𝑃𝑥𝑃) → ∃𝑧 ∈ ℙ ¬ ((𝑧 · 𝑧) ≤ 𝑃 → ¬ 𝑧𝑃)))
143104, 142syld 47 . . . . . 6 (𝑃 ∈ (ℤ‘2) → (∃𝑧 ∈ (ℤ‘2) ¬ (𝑧𝑃𝑧 = 𝑃) → ∃𝑧 ∈ ℙ ¬ ((𝑧 · 𝑧) ≤ 𝑃 → ¬ 𝑧𝑃)))
144 rexnal 3204 . . . . . 6 (∃𝑧 ∈ (ℤ‘2) ¬ (𝑧𝑃𝑧 = 𝑃) ↔ ¬ ∀𝑧 ∈ (ℤ‘2)(𝑧𝑃𝑧 = 𝑃))
145 rexnal 3204 . . . . . 6 (∃𝑧 ∈ ℙ ¬ ((𝑧 · 𝑧) ≤ 𝑃 → ¬ 𝑧𝑃) ↔ ¬ ∀𝑧 ∈ ℙ ((𝑧 · 𝑧) ≤ 𝑃 → ¬ 𝑧𝑃))
146143, 144, 1453imtr3g 296 . . . . 5 (𝑃 ∈ (ℤ‘2) → (¬ ∀𝑧 ∈ (ℤ‘2)(𝑧𝑃𝑧 = 𝑃) → ¬ ∀𝑧 ∈ ℙ ((𝑧 · 𝑧) ≤ 𝑃 → ¬ 𝑧𝑃)))
14723, 146impcon4bid 228 . . . 4 (𝑃 ∈ (ℤ‘2) → (∀𝑧 ∈ (ℤ‘2)(𝑧𝑃𝑧 = 𝑃) ↔ ∀𝑧 ∈ ℙ ((𝑧 · 𝑧) ≤ 𝑃 → ¬ 𝑧𝑃)))
148 prmnn 15851 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ ℙ → 𝑧 ∈ ℕ)
149148nncnd 11508 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ ℙ → 𝑧 ∈ ℂ)
150149sqvald 13361 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ ℙ → (𝑧↑2) = (𝑧 · 𝑧))
151150breq1d 4978 . . . . . 6 (𝑧 ∈ ℙ → ((𝑧↑2) ≤ 𝑃 ↔ (𝑧 · 𝑧) ≤ 𝑃))
152151imbi1d 343 . . . . 5 (𝑧 ∈ ℙ → (((𝑧↑2) ≤ 𝑃 → ¬ 𝑧𝑃) ↔ ((𝑧 · 𝑧) ≤ 𝑃 → ¬ 𝑧𝑃)))
153152ralbiia 3133 . . . 4 (∀𝑧 ∈ ℙ ((𝑧↑2) ≤ 𝑃 → ¬ 𝑧𝑃) ↔ ∀𝑧 ∈ ℙ ((𝑧 · 𝑧) ≤ 𝑃 → ¬ 𝑧𝑃))
154147, 153syl6bbr 290 . . 3 (𝑃 ∈ (ℤ‘2) → (∀𝑧 ∈ (ℤ‘2)(𝑧𝑃𝑧 = 𝑃) ↔ ∀𝑧 ∈ ℙ ((𝑧↑2) ≤ 𝑃 → ¬ 𝑧𝑃)))
155154pm5.32i 575 . 2 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ ∀𝑧 ∈ (ℤ‘2)(𝑧𝑃𝑧 = 𝑃)) ↔ (𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ ∀𝑧 ∈ ℙ ((𝑧↑2) ≤ 𝑃 → ¬ 𝑧𝑃)))
1561, 155bitri 276 1 (𝑃 ∈ ℙ ↔ (𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ ∀𝑧 ∈ ℙ ((𝑧↑2) ≤ 𝑃 → ¬ 𝑧𝑃)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 207  wa 396   = wceq 1525  wcel 2083  wne 2986  wral 3107  wrex 3108   class class class wbr 4968  cfv 6232  (class class class)co 7023  cr 10389  0cc0 10390  1c1 10391   · cmul 10395   < clt 10528  cle 10529   / cdiv 11151  cn 11492  2c2 11546  cz 11835  cuz 12097  +crp 12243  cexp 13283  cdvds 15444  cprime 15848
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1781  ax-4 1795  ax-5 1892  ax-6 1951  ax-7 1996  ax-8 2085  ax-9 2093  ax-10 2114  ax-11 2128  ax-12 2143  ax-13 2346  ax-ext 2771  ax-sep 5101  ax-nul 5108  ax-pow 5164  ax-pr 5228  ax-un 7326  ax-cnex 10446  ax-resscn 10447  ax-1cn 10448  ax-icn 10449  ax-addcl 10450  ax-addrcl 10451  ax-mulcl 10452  ax-mulrcl 10453  ax-mulcom 10454  ax-addass 10455  ax-mulass 10456  ax-distr 10457  ax-i2m1 10458  ax-1ne0 10459  ax-1rid 10460  ax-rnegex 10461  ax-rrecex 10462  ax-cnre 10463  ax-pre-lttri 10464  ax-pre-lttrn 10465  ax-pre-ltadd 10466  ax-pre-mulgt0 10467  ax-pre-sup 10468
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1528  df-ex 1766  df-nf 1770  df-sb 2045  df-mo 2578  df-eu 2614  df-clab 2778  df-cleq 2790  df-clel 2865  df-nfc 2937  df-ne 2987  df-nel 3093  df-ral 3112  df-rex 3113  df-reu 3114  df-rmo 3115  df-rab 3116  df-v 3442  df-sbc 3712  df-csb 3818  df-dif 3868  df-un 3870  df-in 3872  df-ss 3880  df-pss 3882  df-nul 4218  df-if 4388  df-pw 4461  df-sn 4479  df-pr 4481  df-tp 4483  df-op 4485  df-uni 4752  df-iun 4833  df-br 4969  df-opab 5031  df-mpt 5048  df-tr 5071  df-id 5355  df-eprel 5360  df-po 5369  df-so 5370  df-fr 5409  df-we 5411  df-xp 5456  df-rel 5457  df-cnv 5458  df-co 5459  df-dm 5460  df-rn 5461  df-res 5462  df-ima 5463  df-pred 6030  df-ord 6076  df-on 6077  df-lim 6078  df-suc 6079  df-iota 6196  df-fun 6234  df-fn 6235  df-f 6236  df-f1 6237  df-fo 6238  df-f1o 6239  df-fv 6240  df-riota 6984  df-ov 7026  df-oprab 7027  df-mpo 7028  df-om 7444  df-1st 7552  df-2nd 7553  df-wrecs 7805  df-recs 7867  df-rdg 7905  df-1o 7960  df-2o 7961  df-er 8146  df-en 8365  df-dom 8366  df-sdom 8367  df-fin 8368  df-sup 8759  df-pnf 10530  df-mnf 10531  df-xr 10532  df-ltxr 10533  df-le 10534  df-sub 10725  df-neg 10726  df-div 11152  df-nn 11493  df-2 11554  df-3 11555  df-n0 11752  df-z 11836  df-uz 12098  df-rp 12244  df-fz 12747  df-seq 13224  df-exp 13284  df-cj 14296  df-re 14297  df-im 14298  df-sqrt 14432  df-abs 14433  df-dvds 15445  df-prm 15849
This theorem is referenced by:  isprm7  15885  pockthg  16075  prmlem1a  16273
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