Theorem isprm5 16725

Description: One need only check prime divisors of 𝑃 up to √𝑃 in order to ensure primality. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.)

Assertion

Ref	Expression
isprm5	⊢ (𝑃 ∈ ℙ ↔ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑧 ∈ ℙ ((𝑧↑2) ≤ 𝑃 → ¬ 𝑧 ∥ 𝑃)))

Distinct variable group:   𝑧,𝑃

Proof of Theorem isprm5

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isprm4 16701	. 2 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ ↔ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑧 ∈ (ℤ≥‘2)(𝑧 ∥ 𝑃 → 𝑧 = 𝑃)))
2		prmuz2 16713	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ ℙ → 𝑧 ∈ (ℤ≥‘2))
3	2	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑧 ∈ ℙ → 𝑧 ∈ (ℤ≥‘2)))
4		eluz2gt1 12918	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) → 1 < 𝑃)
5		eluzelre 12847	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑃 ∈ ℝ)
6		eluz2nn 12886	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑃 ∈ ℕ)
7	6	nngt0d 12259	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) → 0 < 𝑃)
8		ltmulgt11 12048	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑃 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑃) → (1 < 𝑃 ↔ 𝑃 < (𝑃 · 𝑃)))
9	5, 5, 7, 8	syl3anc 1389	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) → (1 < 𝑃 ↔ 𝑃 < (𝑃 · 𝑃)))
10	4, 9	mpbid 234	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑃 < (𝑃 · 𝑃))
11	5, 5	remulcld 11209	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑃 · 𝑃) ∈ ℝ)
12	5, 11	ltnled 11327	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑃 < (𝑃 · 𝑃) ↔ ¬ (𝑃 · 𝑃) ≤ 𝑃))
13	10, 12	mpbid 234	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) → ¬ (𝑃 · 𝑃) ≤ 𝑃)
14		oveq12 7401	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑧 = 𝑃 ∧ 𝑧 = 𝑃) → (𝑧 · 𝑧) = (𝑃 · 𝑃))
15	14	anidms 574	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 = 𝑃 → (𝑧 · 𝑧) = (𝑃 · 𝑃))
16	15	breq1d 5109	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 = 𝑃 → ((𝑧 · 𝑧) ≤ 𝑃 ↔ (𝑃 · 𝑃) ≤ 𝑃))
17	16	notbid 320	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 = 𝑃 → (¬ (𝑧 · 𝑧) ≤ 𝑃 ↔ ¬ (𝑃 · 𝑃) ≤ 𝑃))
18	13, 17	syl5ibrcom 249	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑧 = 𝑃 → ¬ (𝑧 · 𝑧) ≤ 𝑃))
19	18	imim2d 57	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝑧 ∥ 𝑃 → 𝑧 = 𝑃) → (𝑧 ∥ 𝑃 → ¬ (𝑧 · 𝑧) ≤ 𝑃)))
20		con2 135	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ∥ 𝑃 → ¬ (𝑧 · 𝑧) ≤ 𝑃) → ((𝑧 · 𝑧) ≤ 𝑃 → ¬ 𝑧 ∥ 𝑃))
21	19, 20	syl6 35	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝑧 ∥ 𝑃 → 𝑧 = 𝑃) → ((𝑧 · 𝑧) ≤ 𝑃 → ¬ 𝑧 ∥ 𝑃)))
22	3, 21	imim12d 81	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝑧 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑧 ∥ 𝑃 → 𝑧 = 𝑃)) → (𝑧 ∈ ℙ → ((𝑧 · 𝑧) ≤ 𝑃 → ¬ 𝑧 ∥ 𝑃))))
23	22	ralimdv2 3170	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) → (∀𝑧 ∈ (ℤ≥‘2)(𝑧 ∥ 𝑃 → 𝑧 = 𝑃) → ∀𝑧 ∈ ℙ ((𝑧 · 𝑧) ≤ 𝑃 → ¬ 𝑧 ∥ 𝑃)))
24		annim 407	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 ∥ 𝑃 ∧ ¬ 𝑧 = 𝑃) ↔ ¬ (𝑧 ∥ 𝑃 → 𝑧 = 𝑃))
25		oveq12 7401	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑥 = 𝑧 ∧ 𝑥 = 𝑧) → (𝑥 · 𝑥) = (𝑧 · 𝑧))
26	25	anidms 574	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 · 𝑥) = (𝑧 · 𝑧))
27	26	breq1d 5109	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → ((𝑥 · 𝑥) ≤ 𝑃 ↔ (𝑧 · 𝑧) ≤ 𝑃))
28		breq1 5102	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 ∥ 𝑃 ↔ 𝑧 ∥ 𝑃))
29	27, 28	anbi12d 641	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (((𝑥 · 𝑥) ≤ 𝑃 ∧ 𝑥 ∥ 𝑃) ↔ ((𝑧 · 𝑧) ≤ 𝑃 ∧ 𝑧 ∥ 𝑃)))
30	29	rspcev 3581	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑧 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ((𝑧 · 𝑧) ≤ 𝑃 ∧ 𝑧 ∥ 𝑃)) → ∃𝑥 ∈ (ℤ≥‘2)((𝑥 · 𝑥) ≤ 𝑃 ∧ 𝑥 ∥ 𝑃))
31	30	ancom2s 660	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑧 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑧 ∥ 𝑃 ∧ (𝑧 · 𝑧) ≤ 𝑃)) → ∃𝑥 ∈ (ℤ≥‘2)((𝑥 · 𝑥) ≤ 𝑃 ∧ 𝑥 ∥ 𝑃))
32	31	expr 460	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑧 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∥ 𝑃) → ((𝑧 · 𝑧) ≤ 𝑃 → ∃𝑥 ∈ (ℤ≥‘2)((𝑥 · 𝑥) ≤ 𝑃 ∧ 𝑥 ∥ 𝑃)))
33	32	ad2ant2lr 758	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑧 ∥ 𝑃 ∧ ¬ 𝑧 = 𝑃)) → ((𝑧 · 𝑧) ≤ 𝑃 → ∃𝑥 ∈ (ℤ≥‘2)((𝑥 · 𝑥) ≤ 𝑃 ∧ 𝑥 ∥ 𝑃)))
34		simprl 780	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑧 ∥ 𝑃 ∧ ¬ 𝑧 = 𝑃)) → 𝑧 ∥ 𝑃)
35		eluzelz 12846	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑧 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑧 ∈ ℤ)
36	35	ad2antlr 737	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑧 ∥ 𝑃 ∧ ¬ 𝑧 = 𝑃)) → 𝑧 ∈ ℤ)
37		eluz2nn 12886	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑧 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑧 ∈ ℕ)
38	37	ad2antlr 737	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑧 ∥ 𝑃 ∧ ¬ 𝑧 = 𝑃)) → 𝑧 ∈ ℕ)
39	38	nnne0d 12260	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑧 ∥ 𝑃 ∧ ¬ 𝑧 = 𝑃)) → 𝑧 ≠ 0)
40		eluzelz 12846	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑃 ∈ ℤ)
41	40	ad2antrr 736	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑧 ∥ 𝑃 ∧ ¬ 𝑧 = 𝑃)) → 𝑃 ∈ ℤ)
42		dvdsval2 16272	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ≠ 0 ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → (𝑧 ∥ 𝑃 ↔ (𝑃 / 𝑧) ∈ ℤ))
43	36, 39, 41, 42	syl3anc 1389	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑧 ∥ 𝑃 ∧ ¬ 𝑧 = 𝑃)) → (𝑧 ∥ 𝑃 ↔ (𝑃 / 𝑧) ∈ ℤ))
44	34, 43	mpbid 234	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑧 ∥ 𝑃 ∧ ¬ 𝑧 = 𝑃)) → (𝑃 / 𝑧) ∈ ℤ)
45		eluzelre 12847	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑧 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑧 ∈ ℝ)
46	45	ad2antlr 737	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑧 ∥ 𝑃 ∧ ¬ 𝑧 = 𝑃)) → 𝑧 ∈ ℝ)
47	46	recnd 11207	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑧 ∥ 𝑃 ∧ ¬ 𝑧 = 𝑃)) → 𝑧 ∈ ℂ)
48	47	mullidd 11197	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑧 ∥ 𝑃 ∧ ¬ 𝑧 = 𝑃)) → (1 · 𝑧) = 𝑧)
49	5	ad2antrr 736	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑧 ∥ 𝑃 ∧ ¬ 𝑧 = 𝑃)) → 𝑃 ∈ ℝ)
50	6	ad2antrr 736	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑧 ∥ 𝑃 ∧ ¬ 𝑧 = 𝑃)) → 𝑃 ∈ ℕ)
51		dvdsle 16327	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℕ) → (𝑧 ∥ 𝑃 → 𝑧 ≤ 𝑃))
52	51	imp 410	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℕ) ∧ 𝑧 ∥ 𝑃) → 𝑧 ≤ 𝑃)
53	36, 50, 34, 52	syl21anc 848	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑧 ∥ 𝑃 ∧ ¬ 𝑧 = 𝑃)) → 𝑧 ≤ 𝑃)
54		simprr 782	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑧 ∥ 𝑃 ∧ ¬ 𝑧 = 𝑃)) → ¬ 𝑧 = 𝑃)
55	54	neqned 2963	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑧 ∥ 𝑃 ∧ ¬ 𝑧 = 𝑃)) → 𝑧 ≠ 𝑃)
56	55	necomd 3011	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑧 ∥ 𝑃 ∧ ¬ 𝑧 = 𝑃)) → 𝑃 ≠ 𝑧)
57	46, 49, 53, 56	leneltd 11334	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑧 ∥ 𝑃 ∧ ¬ 𝑧 = 𝑃)) → 𝑧 < 𝑃)
58	48, 57	eqbrtrd 5121	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑧 ∥ 𝑃 ∧ ¬ 𝑧 = 𝑃)) → (1 · 𝑧) < 𝑃)
59		1red 11179	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑧 ∥ 𝑃 ∧ ¬ 𝑧 = 𝑃)) → 1 ∈ ℝ)
60	41	zred 12674	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑧 ∥ 𝑃 ∧ ¬ 𝑧 = 𝑃)) → 𝑃 ∈ ℝ)
61		nnre 12214	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑧 ∈ ℕ → 𝑧 ∈ ℝ)
62		nngt0 12241	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑧 ∈ ℕ → 0 < 𝑧)
63	61, 62	jca 519	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑧 ∈ ℕ → (𝑧 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑧))
64	38, 63	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑧 ∥ 𝑃 ∧ ¬ 𝑧 = 𝑃)) → (𝑧 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑧))
65		ltmuldiv 12062	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑧)) → ((1 · 𝑧) < 𝑃 ↔ 1 < (𝑃 / 𝑧)))
66	59, 60, 64, 65	syl3anc 1389	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑧 ∥ 𝑃 ∧ ¬ 𝑧 = 𝑃)) → ((1 · 𝑧) < 𝑃 ↔ 1 < (𝑃 / 𝑧)))
67	58, 66	mpbid 234	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑧 ∥ 𝑃 ∧ ¬ 𝑧 = 𝑃)) → 1 < (𝑃 / 𝑧))
68		eluz2b1 12917	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑃 / 𝑧) ∈ (ℤ≥‘2) ↔ ((𝑃 / 𝑧) ∈ ℤ ∧ 1 < (𝑃 / 𝑧)))
69	44, 67, 68	sylanbrc 592	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑧 ∥ 𝑃 ∧ ¬ 𝑧 = 𝑃)) → (𝑃 / 𝑧) ∈ (ℤ≥‘2))
70	46, 46	remulcld 11209	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑧 ∥ 𝑃 ∧ ¬ 𝑧 = 𝑃)) → (𝑧 · 𝑧) ∈ ℝ)
71	38, 38	nnmulcld 12263	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑧 ∥ 𝑃 ∧ ¬ 𝑧 = 𝑃)) → (𝑧 · 𝑧) ∈ ℕ)
72		nnrp 13002	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → 𝑃 ∈ ℝ+)
73		nnrp 13002	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑧 · 𝑧) ∈ ℕ → (𝑧 · 𝑧) ∈ ℝ+)
74		rpdivcl 13017	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑃 ∈ ℝ+ ∧ (𝑧 · 𝑧) ∈ ℝ+) → (𝑃 / (𝑧 · 𝑧)) ∈ ℝ+)
75	72, 73, 74	syl2an 605	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ (𝑧 · 𝑧) ∈ ℕ) → (𝑃 / (𝑧 · 𝑧)) ∈ ℝ+)
76	50, 71, 75	syl2anc 593	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑧 ∥ 𝑃 ∧ ¬ 𝑧 = 𝑃)) → (𝑃 / (𝑧 · 𝑧)) ∈ ℝ+)
77	49, 70, 76	lemul1d 13077	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑧 ∥ 𝑃 ∧ ¬ 𝑧 = 𝑃)) → (𝑃 ≤ (𝑧 · 𝑧) ↔ (𝑃 · (𝑃 / (𝑧 · 𝑧))) ≤ ((𝑧 · 𝑧) · (𝑃 / (𝑧 · 𝑧)))))
78	49	recnd 11207	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑧 ∥ 𝑃 ∧ ¬ 𝑧 = 𝑃)) → 𝑃 ∈ ℂ)
79	78, 47, 78, 47, 39, 39	divmuldivd 12005	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑧 ∥ 𝑃 ∧ ¬ 𝑧 = 𝑃)) → ((𝑃 / 𝑧) · (𝑃 / 𝑧)) = ((𝑃 · 𝑃) / (𝑧 · 𝑧)))
80	71	nncnd 12223	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑧 ∥ 𝑃 ∧ ¬ 𝑧 = 𝑃)) → (𝑧 · 𝑧) ∈ ℂ)
81	71	nnne0d 12260	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑧 ∥ 𝑃 ∧ ¬ 𝑧 = 𝑃)) → (𝑧 · 𝑧) ≠ 0)
82	78, 78, 80, 81	divassd 11999	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑧 ∥ 𝑃 ∧ ¬ 𝑧 = 𝑃)) → ((𝑃 · 𝑃) / (𝑧 · 𝑧)) = (𝑃 · (𝑃 / (𝑧 · 𝑧))))
83	79, 82	eqtrd 2796	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑧 ∥ 𝑃 ∧ ¬ 𝑧 = 𝑃)) → ((𝑃 / 𝑧) · (𝑃 / 𝑧)) = (𝑃 · (𝑃 / (𝑧 · 𝑧))))
84	78, 80, 81	divcan2d 11966	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑧 ∥ 𝑃 ∧ ¬ 𝑧 = 𝑃)) → ((𝑧 · 𝑧) · (𝑃 / (𝑧 · 𝑧))) = 𝑃)
85	84	eqcomd 2767	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑧 ∥ 𝑃 ∧ ¬ 𝑧 = 𝑃)) → 𝑃 = ((𝑧 · 𝑧) · (𝑃 / (𝑧 · 𝑧))))
86	83, 85	breq12d 5112	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑧 ∥ 𝑃 ∧ ¬ 𝑧 = 𝑃)) → (((𝑃 / 𝑧) · (𝑃 / 𝑧)) ≤ 𝑃 ↔ (𝑃 · (𝑃 / (𝑧 · 𝑧))) ≤ ((𝑧 · 𝑧) · (𝑃 / (𝑧 · 𝑧)))))
87	77, 86	bitr4d 284	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑧 ∥ 𝑃 ∧ ¬ 𝑧 = 𝑃)) → (𝑃 ≤ (𝑧 · 𝑧) ↔ ((𝑃 / 𝑧) · (𝑃 / 𝑧)) ≤ 𝑃))
88	87	biimpd 231	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑧 ∥ 𝑃 ∧ ¬ 𝑧 = 𝑃)) → (𝑃 ≤ (𝑧 · 𝑧) → ((𝑃 / 𝑧) · (𝑃 / 𝑧)) ≤ 𝑃))
89	78, 47, 39	divcan2d 11966	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑧 ∥ 𝑃 ∧ ¬ 𝑧 = 𝑃)) → (𝑧 · (𝑃 / 𝑧)) = 𝑃)
90		dvds0lem 16283	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑧 ∈ ℤ ∧ (𝑃 / 𝑧) ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) ∧ (𝑧 · (𝑃 / 𝑧)) = 𝑃) → (𝑃 / 𝑧) ∥ 𝑃)
91	36, 44, 41, 89, 90	syl31anc 1391	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑧 ∥ 𝑃 ∧ ¬ 𝑧 = 𝑃)) → (𝑃 / 𝑧) ∥ 𝑃)
92	88, 91	jctird 534	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑧 ∥ 𝑃 ∧ ¬ 𝑧 = 𝑃)) → (𝑃 ≤ (𝑧 · 𝑧) → (((𝑃 / 𝑧) · (𝑃 / 𝑧)) ≤ 𝑃 ∧ (𝑃 / 𝑧) ∥ 𝑃)))
93		oveq12 7401	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑥 = (𝑃 / 𝑧) ∧ 𝑥 = (𝑃 / 𝑧)) → (𝑥 · 𝑥) = ((𝑃 / 𝑧) · (𝑃 / 𝑧)))
94	93	anidms 574	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = (𝑃 / 𝑧) → (𝑥 · 𝑥) = ((𝑃 / 𝑧) · (𝑃 / 𝑧)))
95	94	breq1d 5109	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = (𝑃 / 𝑧) → ((𝑥 · 𝑥) ≤ 𝑃 ↔ ((𝑃 / 𝑧) · (𝑃 / 𝑧)) ≤ 𝑃))
96		breq1 5102	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = (𝑃 / 𝑧) → (𝑥 ∥ 𝑃 ↔ (𝑃 / 𝑧) ∥ 𝑃))
97	95, 96	anbi12d 641	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = (𝑃 / 𝑧) → (((𝑥 · 𝑥) ≤ 𝑃 ∧ 𝑥 ∥ 𝑃) ↔ (((𝑃 / 𝑧) · (𝑃 / 𝑧)) ≤ 𝑃 ∧ (𝑃 / 𝑧) ∥ 𝑃)))
98	97	rspcev 3581	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑃 / 𝑧) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (((𝑃 / 𝑧) · (𝑃 / 𝑧)) ≤ 𝑃 ∧ (𝑃 / 𝑧) ∥ 𝑃)) → ∃𝑥 ∈ (ℤ≥‘2)((𝑥 · 𝑥) ≤ 𝑃 ∧ 𝑥 ∥ 𝑃))
99	69, 92, 98	syl6an 694	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑧 ∥ 𝑃 ∧ ¬ 𝑧 = 𝑃)) → (𝑃 ≤ (𝑧 · 𝑧) → ∃𝑥 ∈ (ℤ≥‘2)((𝑥 · 𝑥) ≤ 𝑃 ∧ 𝑥 ∥ 𝑃)))
100	70, 49	letrid 11332	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑧 ∥ 𝑃 ∧ ¬ 𝑧 = 𝑃)) → ((𝑧 · 𝑧) ≤ 𝑃 ∨ 𝑃 ≤ (𝑧 · 𝑧)))
101	33, 99, 100	mpjaod 871	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑧 ∥ 𝑃 ∧ ¬ 𝑧 = 𝑃)) → ∃𝑥 ∈ (ℤ≥‘2)((𝑥 · 𝑥) ≤ 𝑃 ∧ 𝑥 ∥ 𝑃))
102	101	ex 416	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘2)) → ((𝑧 ∥ 𝑃 ∧ ¬ 𝑧 = 𝑃) → ∃𝑥 ∈ (ℤ≥‘2)((𝑥 · 𝑥) ≤ 𝑃 ∧ 𝑥 ∥ 𝑃)))
103	24, 102	biimtrrid 245	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘2)) → (¬ (𝑧 ∥ 𝑃 → 𝑧 = 𝑃) → ∃𝑥 ∈ (ℤ≥‘2)((𝑥 · 𝑥) ≤ 𝑃 ∧ 𝑥 ∥ 𝑃)))
104	103	rexlimdva 3162	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) → (∃𝑧 ∈ (ℤ≥‘2) ¬ (𝑧 ∥ 𝑃 → 𝑧 = 𝑃) → ∃𝑥 ∈ (ℤ≥‘2)((𝑥 · 𝑥) ≤ 𝑃 ∧ 𝑥 ∥ 𝑃)))
105		prmz 16692	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑧 ∈ ℙ → 𝑧 ∈ ℤ)
106	105	ad2antrl 738	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ ((𝑥 · 𝑥) ≤ 𝑃 ∧ 𝑥 ∥ 𝑃)) ∧ (𝑧 ∈ ℙ ∧ 𝑧 ∥ 𝑥)) → 𝑧 ∈ ℤ)
107	106	zred 12674	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ ((𝑥 · 𝑥) ≤ 𝑃 ∧ 𝑥 ∥ 𝑃)) ∧ (𝑧 ∈ ℙ ∧ 𝑧 ∥ 𝑥)) → 𝑧 ∈ ℝ)
108	107, 107	remulcld 11209	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ ((𝑥 · 𝑥) ≤ 𝑃 ∧ 𝑥 ∥ 𝑃)) ∧ (𝑧 ∈ ℙ ∧ 𝑧 ∥ 𝑥)) → (𝑧 · 𝑧) ∈ ℝ)
109		eluzelz 12846	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑥 ∈ ℤ)
110	109	ad3antlr 741	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ ((𝑥 · 𝑥) ≤ 𝑃 ∧ 𝑥 ∥ 𝑃)) ∧ (𝑧 ∈ ℙ ∧ 𝑧 ∥ 𝑥)) → 𝑥 ∈ ℤ)
111	110	zred 12674	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ ((𝑥 · 𝑥) ≤ 𝑃 ∧ 𝑥 ∥ 𝑃)) ∧ (𝑧 ∈ ℙ ∧ 𝑧 ∥ 𝑥)) → 𝑥 ∈ ℝ)
112	111, 111	remulcld 11209	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ ((𝑥 · 𝑥) ≤ 𝑃 ∧ 𝑥 ∥ 𝑃)) ∧ (𝑧 ∈ ℙ ∧ 𝑧 ∥ 𝑥)) → (𝑥 · 𝑥) ∈ ℝ)
113	40	ad3antrrr 740	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ ((𝑥 · 𝑥) ≤ 𝑃 ∧ 𝑥 ∥ 𝑃)) ∧ (𝑧 ∈ ℙ ∧ 𝑧 ∥ 𝑥)) → 𝑃 ∈ ℤ)
114	113	zred 12674	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ ((𝑥 · 𝑥) ≤ 𝑃 ∧ 𝑥 ∥ 𝑃)) ∧ (𝑧 ∈ ℙ ∧ 𝑧 ∥ 𝑥)) → 𝑃 ∈ ℝ)
115		eluz2nn 12886	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑥 ∈ ℕ)
116	115	ad3antlr 741	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ ((𝑥 · 𝑥) ≤ 𝑃 ∧ 𝑥 ∥ 𝑃)) ∧ (𝑧 ∈ ℙ ∧ 𝑧 ∥ 𝑥)) → 𝑥 ∈ ℕ)
117		simprr 782	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ ((𝑥 · 𝑥) ≤ 𝑃 ∧ 𝑥 ∥ 𝑃)) ∧ (𝑧 ∈ ℙ ∧ 𝑧 ∥ 𝑥)) → 𝑧 ∥ 𝑥)
118		dvdsle 16327	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → (𝑧 ∥ 𝑥 → 𝑧 ≤ 𝑥))
119	118	imp 410	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℕ) ∧ 𝑧 ∥ 𝑥) → 𝑧 ≤ 𝑥)
120	106, 116, 117, 119	syl21anc 848	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ ((𝑥 · 𝑥) ≤ 𝑃 ∧ 𝑥 ∥ 𝑃)) ∧ (𝑧 ∈ ℙ ∧ 𝑧 ∥ 𝑥)) → 𝑧 ≤ 𝑥)
121		eluzge2nn0 12890	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑧 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑧 ∈ ℕ0)
122	121	nn0ge0d 12542	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑧 ∈ (ℤ≥‘2) → 0 ≤ 𝑧)
123	2, 122	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑧 ∈ ℙ → 0 ≤ 𝑧)
124	123	ad2antrl 738	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ ((𝑥 · 𝑥) ≤ 𝑃 ∧ 𝑥 ∥ 𝑃)) ∧ (𝑧 ∈ ℙ ∧ 𝑧 ∥ 𝑥)) → 0 ≤ 𝑧)
125		nnnn0 12485	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ → 𝑥 ∈ ℕ0)
126	125	nn0ge0d 12542	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ → 0 ≤ 𝑥)
127	116, 126	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ ((𝑥 · 𝑥) ≤ 𝑃 ∧ 𝑥 ∥ 𝑃)) ∧ (𝑧 ∈ ℙ ∧ 𝑧 ∥ 𝑥)) → 0 ≤ 𝑥)
128		le2msq 12089	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑧 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑧) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥)) → (𝑧 ≤ 𝑥 ↔ (𝑧 · 𝑧) ≤ (𝑥 · 𝑥)))
129	107, 124, 111, 127, 128	syl22anc 849	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ ((𝑥 · 𝑥) ≤ 𝑃 ∧ 𝑥 ∥ 𝑃)) ∧ (𝑧 ∈ ℙ ∧ 𝑧 ∥ 𝑥)) → (𝑧 ≤ 𝑥 ↔ (𝑧 · 𝑧) ≤ (𝑥 · 𝑥)))
130	120, 129	mpbid 234	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ ((𝑥 · 𝑥) ≤ 𝑃 ∧ 𝑥 ∥ 𝑃)) ∧ (𝑧 ∈ ℙ ∧ 𝑧 ∥ 𝑥)) → (𝑧 · 𝑧) ≤ (𝑥 · 𝑥))
131		simplrl 786	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ ((𝑥 · 𝑥) ≤ 𝑃 ∧ 𝑥 ∥ 𝑃)) ∧ (𝑧 ∈ ℙ ∧ 𝑧 ∥ 𝑥)) → (𝑥 · 𝑥) ≤ 𝑃)
132	108, 112, 114, 130, 131	letrd 11337	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ ((𝑥 · 𝑥) ≤ 𝑃 ∧ 𝑥 ∥ 𝑃)) ∧ (𝑧 ∈ ℙ ∧ 𝑧 ∥ 𝑥)) → (𝑧 · 𝑧) ≤ 𝑃)
133		simplrr 787	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ ((𝑥 · 𝑥) ≤ 𝑃 ∧ 𝑥 ∥ 𝑃)) ∧ (𝑧 ∈ ℙ ∧ 𝑧 ∥ 𝑥)) → 𝑥 ∥ 𝑃)
134	106, 110, 113, 117, 133	dvdstrd 16312	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ ((𝑥 · 𝑥) ≤ 𝑃 ∧ 𝑥 ∥ 𝑃)) ∧ (𝑧 ∈ ℙ ∧ 𝑧 ∥ 𝑥)) → 𝑧 ∥ 𝑃)
135	132, 134	jc 161	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ ((𝑥 · 𝑥) ≤ 𝑃 ∧ 𝑥 ∥ 𝑃)) ∧ (𝑧 ∈ ℙ ∧ 𝑧 ∥ 𝑥)) → ¬ ((𝑧 · 𝑧) ≤ 𝑃 → ¬ 𝑧 ∥ 𝑃))
136		exprmfct 16722	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘2) → ∃𝑧 ∈ ℙ 𝑧 ∥ 𝑥)
137	136	ad2antlr 737	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ ((𝑥 · 𝑥) ≤ 𝑃 ∧ 𝑥 ∥ 𝑃)) → ∃𝑧 ∈ ℙ 𝑧 ∥ 𝑥)
138	135, 137	reximddv 3177	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ ((𝑥 · 𝑥) ≤ 𝑃 ∧ 𝑥 ∥ 𝑃)) → ∃𝑧 ∈ ℙ ¬ ((𝑧 · 𝑧) ≤ 𝑃 → ¬ 𝑧 ∥ 𝑃))
139	138	ex 416	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘2)) → (((𝑥 · 𝑥) ≤ 𝑃 ∧ 𝑥 ∥ 𝑃) → ∃𝑧 ∈ ℙ ¬ ((𝑧 · 𝑧) ≤ 𝑃 → ¬ 𝑧 ∥ 𝑃)))
140	139	rexlimdva 3162	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) → (∃𝑥 ∈ (ℤ≥‘2)((𝑥 · 𝑥) ≤ 𝑃 ∧ 𝑥 ∥ 𝑃) → ∃𝑧 ∈ ℙ ¬ ((𝑧 · 𝑧) ≤ 𝑃 → ¬ 𝑧 ∥ 𝑃)))
141	104, 140	syld 47	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) → (∃𝑧 ∈ (ℤ≥‘2) ¬ (𝑧 ∥ 𝑃 → 𝑧 = 𝑃) → ∃𝑧 ∈ ℙ ¬ ((𝑧 · 𝑧) ≤ 𝑃 → ¬ 𝑧 ∥ 𝑃)))
142		rexnal 3113	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑧 ∈ (ℤ≥‘2) ¬ (𝑧 ∥ 𝑃 → 𝑧 = 𝑃) ↔ ¬ ∀𝑧 ∈ (ℤ≥‘2)(𝑧 ∥ 𝑃 → 𝑧 = 𝑃))
143		rexnal 3113	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑧 ∈ ℙ ¬ ((𝑧 · 𝑧) ≤ 𝑃 → ¬ 𝑧 ∥ 𝑃) ↔ ¬ ∀𝑧 ∈ ℙ ((𝑧 · 𝑧) ≤ 𝑃 → ¬ 𝑧 ∥ 𝑃))
144	141, 142, 143	3imtr3g 297	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) → (¬ ∀𝑧 ∈ (ℤ≥‘2)(𝑧 ∥ 𝑃 → 𝑧 = 𝑃) → ¬ ∀𝑧 ∈ ℙ ((𝑧 · 𝑧) ≤ 𝑃 → ¬ 𝑧 ∥ 𝑃)))
145	23, 144	impcon4bid 229	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) → (∀𝑧 ∈ (ℤ≥‘2)(𝑧 ∥ 𝑃 → 𝑧 = 𝑃) ↔ ∀𝑧 ∈ ℙ ((𝑧 · 𝑧) ≤ 𝑃 → ¬ 𝑧 ∥ 𝑃)))
146		prmnn 16691	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ ℙ → 𝑧 ∈ ℕ)
147	146	nncnd 12223	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ ℙ → 𝑧 ∈ ℂ)
148	147	sqvald 14153	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ ℙ → (𝑧↑2) = (𝑧 · 𝑧))
149	148	breq1d 5109	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ ℙ → ((𝑧↑2) ≤ 𝑃 ↔ (𝑧 · 𝑧) ≤ 𝑃))
150	149	imbi1d 343	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ∈ ℙ → (((𝑧↑2) ≤ 𝑃 → ¬ 𝑧 ∥ 𝑃) ↔ ((𝑧 · 𝑧) ≤ 𝑃 → ¬ 𝑧 ∥ 𝑃)))
151	150	ralbiia 3105	. . . 4 ⊢ (∀𝑧 ∈ ℙ ((𝑧↑2) ≤ 𝑃 → ¬ 𝑧 ∥ 𝑃) ↔ ∀𝑧 ∈ ℙ ((𝑧 · 𝑧) ≤ 𝑃 → ¬ 𝑧 ∥ 𝑃))
152	145, 151	bitr4di 291	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) → (∀𝑧 ∈ (ℤ≥‘2)(𝑧 ∥ 𝑃 → 𝑧 = 𝑃) ↔ ∀𝑧 ∈ ℙ ((𝑧↑2) ≤ 𝑃 → ¬ 𝑧 ∥ 𝑃)))
153	152	pm5.32i 582	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑧 ∈ (ℤ≥‘2)(𝑧 ∥ 𝑃 → 𝑧 = 𝑃)) ↔ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑧 ∈ ℙ ((𝑧↑2) ≤ 𝑃 → ¬ 𝑧 ∥ 𝑃)))
154	1, 153	bitri 277	1 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ ↔ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑧 ∈ ℙ ((𝑧↑2) ≤ 𝑃 → ¬ 𝑧 ∥ 𝑃)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   = wceq 1559   ∈ wcel 2141   ≠ wne 2956  ∀wral 3075  ∃wrex 3085   class class class wbr 5099  ‘cfv 6517  (class class class)co 7392  ℝcr 11069  0cc0 11070  1c1 11071   · cmul 11075   < clt 11213   ≤ cle 11214   / cdiv 11841  ℕcn 12207  2c2 12269  ℤcz 12565  ℤ_≥cuz 12836  ℝ⁺crp 12990  ↑cexp 14071   ∥ cdvds 16269  ℙcprime 16688

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7714  ax-cnex 11126  ax-resscn 11127  ax-1cn 11128  ax-icn 11129  ax-addcl 11130  ax-addrcl 11131  ax-mulcl 11132  ax-mulrcl 11133  ax-mulcom 11134  ax-addass 11135  ax-mulass 11136  ax-distr 11137  ax-i2m1 11138  ax-1ne0 11139  ax-1rid 11140  ax-rnegex 11141  ax-rrecex 11142  ax-cnre 11143  ax-pre-lttri 11144  ax-pre-lttrn 11145  ax-pre-ltadd 11146  ax-pre-mulgt0 11147  ax-pre-sup 11148

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4950  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5540  df-eprel 5545  df-po 5553  df-so 5554  df-fr 5598  df-we 5600  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-pred 6284  df-ord 6345  df-on 6346  df-lim 6347  df-suc 6348  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-f1 6522  df-fo 6523  df-f1o 6524  df-fv 6525  df-riota 7349  df-ov 7395  df-oprab 7396  df-mpo 7397  df-om 7843  df-1st 7966  df-2nd 7967  df-frecs 8257  df-wrecs 8288  df-recs 8337  df-rdg 8376  df-1o 8432  df-2o 8433  df-er 8673  df-en 8924  df-dom 8925  df-sdom 8926  df-fin 8927  df-sup 9385  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218  df-le 11219  df-sub 11413  df-neg 11414  df-div 11842  df-nn 12208  df-2 12277  df-3 12278  df-n0 12479  df-z 12566  df-uz 12837  df-rp 12991  df-fz 13510  df-seq 14012  df-exp 14072  df-cj 15109  df-re 15110  df-im 15111  df-sqrt 15245  df-abs 15246  df-dvds 16270  df-prm 16689

This theorem is referenced by:  isprm7  16726  pockthg  16925  prmlem1a  17125