Theorem isprm5 16708

Description: One need only check prime divisors of 𝑃 up to √𝑃 in order to ensure primality. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.)

Assertion

Ref	Expression
isprm5	⊢ (𝑃 ∈ ℙ ↔ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑧 ∈ ℙ ((𝑧↑2) ≤ 𝑃 → ¬ 𝑧 ∥ 𝑃)))

Distinct variable group:   𝑧,𝑃

Proof of Theorem isprm5

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isprm4 16685	. 2 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ ↔ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑧 ∈ (ℤ≥‘2)(𝑧 ∥ 𝑃 → 𝑧 = 𝑃)))
2		prmuz2 16697	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ ℙ → 𝑧 ∈ (ℤ≥‘2))
3	2	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑧 ∈ ℙ → 𝑧 ∈ (ℤ≥‘2)))
4		eluz2gt1 12956	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) → 1 < 𝑃)
5		eluzelre 12885	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑃 ∈ ℝ)
6		eluz2nn 12920	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑃 ∈ ℕ)
7	6	nngt0d 12313	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) → 0 < 𝑃)
8		ltmulgt11 12125	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑃 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑃) → (1 < 𝑃 ↔ 𝑃 < (𝑃 · 𝑃)))
9	5, 5, 7, 8	syl3anc 1368	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) → (1 < 𝑃 ↔ 𝑃 < (𝑃 · 𝑃)))
10	4, 9	mpbid 231	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑃 < (𝑃 · 𝑃))
11	5, 5	remulcld 11294	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑃 · 𝑃) ∈ ℝ)
12	5, 11	ltnled 11411	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑃 < (𝑃 · 𝑃) ↔ ¬ (𝑃 · 𝑃) ≤ 𝑃))
13	10, 12	mpbid 231	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) → ¬ (𝑃 · 𝑃) ≤ 𝑃)
14		oveq12 7433	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑧 = 𝑃 ∧ 𝑧 = 𝑃) → (𝑧 · 𝑧) = (𝑃 · 𝑃))
15	14	anidms 565	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 = 𝑃 → (𝑧 · 𝑧) = (𝑃 · 𝑃))
16	15	breq1d 5163	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 = 𝑃 → ((𝑧 · 𝑧) ≤ 𝑃 ↔ (𝑃 · 𝑃) ≤ 𝑃))
17	16	notbid 317	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 = 𝑃 → (¬ (𝑧 · 𝑧) ≤ 𝑃 ↔ ¬ (𝑃 · 𝑃) ≤ 𝑃))
18	13, 17	syl5ibrcom 246	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑧 = 𝑃 → ¬ (𝑧 · 𝑧) ≤ 𝑃))
19	18	imim2d 57	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝑧 ∥ 𝑃 → 𝑧 = 𝑃) → (𝑧 ∥ 𝑃 → ¬ (𝑧 · 𝑧) ≤ 𝑃)))
20		con2 135	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ∥ 𝑃 → ¬ (𝑧 · 𝑧) ≤ 𝑃) → ((𝑧 · 𝑧) ≤ 𝑃 → ¬ 𝑧 ∥ 𝑃))
21	19, 20	syl6 35	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝑧 ∥ 𝑃 → 𝑧 = 𝑃) → ((𝑧 · 𝑧) ≤ 𝑃 → ¬ 𝑧 ∥ 𝑃)))
22	3, 21	imim12d 81	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝑧 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑧 ∥ 𝑃 → 𝑧 = 𝑃)) → (𝑧 ∈ ℙ → ((𝑧 · 𝑧) ≤ 𝑃 → ¬ 𝑧 ∥ 𝑃))))
23	22	ralimdv2 3153	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) → (∀𝑧 ∈ (ℤ≥‘2)(𝑧 ∥ 𝑃 → 𝑧 = 𝑃) → ∀𝑧 ∈ ℙ ((𝑧 · 𝑧) ≤ 𝑃 → ¬ 𝑧 ∥ 𝑃)))
24		annim 402	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 ∥ 𝑃 ∧ ¬ 𝑧 = 𝑃) ↔ ¬ (𝑧 ∥ 𝑃 → 𝑧 = 𝑃))
25		oveq12 7433	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑥 = 𝑧 ∧ 𝑥 = 𝑧) → (𝑥 · 𝑥) = (𝑧 · 𝑧))
26	25	anidms 565	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 · 𝑥) = (𝑧 · 𝑧))
27	26	breq1d 5163	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → ((𝑥 · 𝑥) ≤ 𝑃 ↔ (𝑧 · 𝑧) ≤ 𝑃))
28		breq1 5156	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 ∥ 𝑃 ↔ 𝑧 ∥ 𝑃))
29	27, 28	anbi12d 630	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (((𝑥 · 𝑥) ≤ 𝑃 ∧ 𝑥 ∥ 𝑃) ↔ ((𝑧 · 𝑧) ≤ 𝑃 ∧ 𝑧 ∥ 𝑃)))
30	29	rspcev 3608	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑧 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ((𝑧 · 𝑧) ≤ 𝑃 ∧ 𝑧 ∥ 𝑃)) → ∃𝑥 ∈ (ℤ≥‘2)((𝑥 · 𝑥) ≤ 𝑃 ∧ 𝑥 ∥ 𝑃))
31	30	ancom2s 648	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑧 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑧 ∥ 𝑃 ∧ (𝑧 · 𝑧) ≤ 𝑃)) → ∃𝑥 ∈ (ℤ≥‘2)((𝑥 · 𝑥) ≤ 𝑃 ∧ 𝑥 ∥ 𝑃))
32	31	expr 455	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑧 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∥ 𝑃) → ((𝑧 · 𝑧) ≤ 𝑃 → ∃𝑥 ∈ (ℤ≥‘2)((𝑥 · 𝑥) ≤ 𝑃 ∧ 𝑥 ∥ 𝑃)))
33	32	ad2ant2lr 746	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑧 ∥ 𝑃 ∧ ¬ 𝑧 = 𝑃)) → ((𝑧 · 𝑧) ≤ 𝑃 → ∃𝑥 ∈ (ℤ≥‘2)((𝑥 · 𝑥) ≤ 𝑃 ∧ 𝑥 ∥ 𝑃)))
34		simprl 769	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑧 ∥ 𝑃 ∧ ¬ 𝑧 = 𝑃)) → 𝑧 ∥ 𝑃)
35		eluzelz 12884	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑧 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑧 ∈ ℤ)
36	35	ad2antlr 725	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑧 ∥ 𝑃 ∧ ¬ 𝑧 = 𝑃)) → 𝑧 ∈ ℤ)
37		eluz2nn 12920	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑧 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑧 ∈ ℕ)
38	37	ad2antlr 725	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑧 ∥ 𝑃 ∧ ¬ 𝑧 = 𝑃)) → 𝑧 ∈ ℕ)
39	38	nnne0d 12314	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑧 ∥ 𝑃 ∧ ¬ 𝑧 = 𝑃)) → 𝑧 ≠ 0)
40		eluzelz 12884	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑃 ∈ ℤ)
41	40	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑧 ∥ 𝑃 ∧ ¬ 𝑧 = 𝑃)) → 𝑃 ∈ ℤ)
42		dvdsval2 16259	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ≠ 0 ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → (𝑧 ∥ 𝑃 ↔ (𝑃 / 𝑧) ∈ ℤ))
43	36, 39, 41, 42	syl3anc 1368	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑧 ∥ 𝑃 ∧ ¬ 𝑧 = 𝑃)) → (𝑧 ∥ 𝑃 ↔ (𝑃 / 𝑧) ∈ ℤ))
44	34, 43	mpbid 231	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑧 ∥ 𝑃 ∧ ¬ 𝑧 = 𝑃)) → (𝑃 / 𝑧) ∈ ℤ)
45		eluzelre 12885	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑧 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑧 ∈ ℝ)
46	45	ad2antlr 725	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑧 ∥ 𝑃 ∧ ¬ 𝑧 = 𝑃)) → 𝑧 ∈ ℝ)
47	46	recnd 11292	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑧 ∥ 𝑃 ∧ ¬ 𝑧 = 𝑃)) → 𝑧 ∈ ℂ)
48	47	mullidd 11282	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑧 ∥ 𝑃 ∧ ¬ 𝑧 = 𝑃)) → (1 · 𝑧) = 𝑧)
49	5	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑧 ∥ 𝑃 ∧ ¬ 𝑧 = 𝑃)) → 𝑃 ∈ ℝ)
50	6	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑧 ∥ 𝑃 ∧ ¬ 𝑧 = 𝑃)) → 𝑃 ∈ ℕ)
51		dvdsle 16312	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℕ) → (𝑧 ∥ 𝑃 → 𝑧 ≤ 𝑃))
52	51	imp 405	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℕ) ∧ 𝑧 ∥ 𝑃) → 𝑧 ≤ 𝑃)
53	36, 50, 34, 52	syl21anc 836	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑧 ∥ 𝑃 ∧ ¬ 𝑧 = 𝑃)) → 𝑧 ≤ 𝑃)
54		simprr 771	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑧 ∥ 𝑃 ∧ ¬ 𝑧 = 𝑃)) → ¬ 𝑧 = 𝑃)
55	54	neqned 2937	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑧 ∥ 𝑃 ∧ ¬ 𝑧 = 𝑃)) → 𝑧 ≠ 𝑃)
56	55	necomd 2986	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑧 ∥ 𝑃 ∧ ¬ 𝑧 = 𝑃)) → 𝑃 ≠ 𝑧)
57	46, 49, 53, 56	leneltd 11418	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑧 ∥ 𝑃 ∧ ¬ 𝑧 = 𝑃)) → 𝑧 < 𝑃)
58	48, 57	eqbrtrd 5175	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑧 ∥ 𝑃 ∧ ¬ 𝑧 = 𝑃)) → (1 · 𝑧) < 𝑃)
59		1red 11265	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑧 ∥ 𝑃 ∧ ¬ 𝑧 = 𝑃)) → 1 ∈ ℝ)
60	41	zred 12718	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑧 ∥ 𝑃 ∧ ¬ 𝑧 = 𝑃)) → 𝑃 ∈ ℝ)
61		nnre 12271	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑧 ∈ ℕ → 𝑧 ∈ ℝ)
62		nngt0 12295	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑧 ∈ ℕ → 0 < 𝑧)
63	61, 62	jca 510	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑧 ∈ ℕ → (𝑧 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑧))
64	38, 63	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑧 ∥ 𝑃 ∧ ¬ 𝑧 = 𝑃)) → (𝑧 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑧))
65		ltmuldiv 12139	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑧)) → ((1 · 𝑧) < 𝑃 ↔ 1 < (𝑃 / 𝑧)))
66	59, 60, 64, 65	syl3anc 1368	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑧 ∥ 𝑃 ∧ ¬ 𝑧 = 𝑃)) → ((1 · 𝑧) < 𝑃 ↔ 1 < (𝑃 / 𝑧)))
67	58, 66	mpbid 231	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑧 ∥ 𝑃 ∧ ¬ 𝑧 = 𝑃)) → 1 < (𝑃 / 𝑧))
68		eluz2b1 12955	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑃 / 𝑧) ∈ (ℤ≥‘2) ↔ ((𝑃 / 𝑧) ∈ ℤ ∧ 1 < (𝑃 / 𝑧)))
69	44, 67, 68	sylanbrc 581	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑧 ∥ 𝑃 ∧ ¬ 𝑧 = 𝑃)) → (𝑃 / 𝑧) ∈ (ℤ≥‘2))
70	46, 46	remulcld 11294	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑧 ∥ 𝑃 ∧ ¬ 𝑧 = 𝑃)) → (𝑧 · 𝑧) ∈ ℝ)
71	38, 38	nnmulcld 12317	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑧 ∥ 𝑃 ∧ ¬ 𝑧 = 𝑃)) → (𝑧 · 𝑧) ∈ ℕ)
72		nnrp 13039	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → 𝑃 ∈ ℝ+)
73		nnrp 13039	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑧 · 𝑧) ∈ ℕ → (𝑧 · 𝑧) ∈ ℝ+)
74		rpdivcl 13053	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑃 ∈ ℝ+ ∧ (𝑧 · 𝑧) ∈ ℝ+) → (𝑃 / (𝑧 · 𝑧)) ∈ ℝ+)
75	72, 73, 74	syl2an 594	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ (𝑧 · 𝑧) ∈ ℕ) → (𝑃 / (𝑧 · 𝑧)) ∈ ℝ+)
76	50, 71, 75	syl2anc 582	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑧 ∥ 𝑃 ∧ ¬ 𝑧 = 𝑃)) → (𝑃 / (𝑧 · 𝑧)) ∈ ℝ+)
77	49, 70, 76	lemul1d 13113	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑧 ∥ 𝑃 ∧ ¬ 𝑧 = 𝑃)) → (𝑃 ≤ (𝑧 · 𝑧) ↔ (𝑃 · (𝑃 / (𝑧 · 𝑧))) ≤ ((𝑧 · 𝑧) · (𝑃 / (𝑧 · 𝑧)))))
78	49	recnd 11292	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑧 ∥ 𝑃 ∧ ¬ 𝑧 = 𝑃)) → 𝑃 ∈ ℂ)
79	78, 47, 78, 47, 39, 39	divmuldivd 12082	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑧 ∥ 𝑃 ∧ ¬ 𝑧 = 𝑃)) → ((𝑃 / 𝑧) · (𝑃 / 𝑧)) = ((𝑃 · 𝑃) / (𝑧 · 𝑧)))
80	71	nncnd 12280	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑧 ∥ 𝑃 ∧ ¬ 𝑧 = 𝑃)) → (𝑧 · 𝑧) ∈ ℂ)
81	71	nnne0d 12314	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑧 ∥ 𝑃 ∧ ¬ 𝑧 = 𝑃)) → (𝑧 · 𝑧) ≠ 0)
82	78, 78, 80, 81	divassd 12076	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑧 ∥ 𝑃 ∧ ¬ 𝑧 = 𝑃)) → ((𝑃 · 𝑃) / (𝑧 · 𝑧)) = (𝑃 · (𝑃 / (𝑧 · 𝑧))))
83	79, 82	eqtrd 2766	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑧 ∥ 𝑃 ∧ ¬ 𝑧 = 𝑃)) → ((𝑃 / 𝑧) · (𝑃 / 𝑧)) = (𝑃 · (𝑃 / (𝑧 · 𝑧))))
84	78, 80, 81	divcan2d 12043	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑧 ∥ 𝑃 ∧ ¬ 𝑧 = 𝑃)) → ((𝑧 · 𝑧) · (𝑃 / (𝑧 · 𝑧))) = 𝑃)
85	84	eqcomd 2732	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑧 ∥ 𝑃 ∧ ¬ 𝑧 = 𝑃)) → 𝑃 = ((𝑧 · 𝑧) · (𝑃 / (𝑧 · 𝑧))))
86	83, 85	breq12d 5166	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑧 ∥ 𝑃 ∧ ¬ 𝑧 = 𝑃)) → (((𝑃 / 𝑧) · (𝑃 / 𝑧)) ≤ 𝑃 ↔ (𝑃 · (𝑃 / (𝑧 · 𝑧))) ≤ ((𝑧 · 𝑧) · (𝑃 / (𝑧 · 𝑧)))))
87	77, 86	bitr4d 281	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑧 ∥ 𝑃 ∧ ¬ 𝑧 = 𝑃)) → (𝑃 ≤ (𝑧 · 𝑧) ↔ ((𝑃 / 𝑧) · (𝑃 / 𝑧)) ≤ 𝑃))
88	87	biimpd 228	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑧 ∥ 𝑃 ∧ ¬ 𝑧 = 𝑃)) → (𝑃 ≤ (𝑧 · 𝑧) → ((𝑃 / 𝑧) · (𝑃 / 𝑧)) ≤ 𝑃))
89	78, 47, 39	divcan2d 12043	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑧 ∥ 𝑃 ∧ ¬ 𝑧 = 𝑃)) → (𝑧 · (𝑃 / 𝑧)) = 𝑃)
90		dvds0lem 16269	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑧 ∈ ℤ ∧ (𝑃 / 𝑧) ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) ∧ (𝑧 · (𝑃 / 𝑧)) = 𝑃) → (𝑃 / 𝑧) ∥ 𝑃)
91	36, 44, 41, 89, 90	syl31anc 1370	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑧 ∥ 𝑃 ∧ ¬ 𝑧 = 𝑃)) → (𝑃 / 𝑧) ∥ 𝑃)
92	88, 91	jctird 525	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑧 ∥ 𝑃 ∧ ¬ 𝑧 = 𝑃)) → (𝑃 ≤ (𝑧 · 𝑧) → (((𝑃 / 𝑧) · (𝑃 / 𝑧)) ≤ 𝑃 ∧ (𝑃 / 𝑧) ∥ 𝑃)))
93		oveq12 7433	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑥 = (𝑃 / 𝑧) ∧ 𝑥 = (𝑃 / 𝑧)) → (𝑥 · 𝑥) = ((𝑃 / 𝑧) · (𝑃 / 𝑧)))
94	93	anidms 565	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = (𝑃 / 𝑧) → (𝑥 · 𝑥) = ((𝑃 / 𝑧) · (𝑃 / 𝑧)))
95	94	breq1d 5163	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = (𝑃 / 𝑧) → ((𝑥 · 𝑥) ≤ 𝑃 ↔ ((𝑃 / 𝑧) · (𝑃 / 𝑧)) ≤ 𝑃))
96		breq1 5156	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = (𝑃 / 𝑧) → (𝑥 ∥ 𝑃 ↔ (𝑃 / 𝑧) ∥ 𝑃))
97	95, 96	anbi12d 630	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = (𝑃 / 𝑧) → (((𝑥 · 𝑥) ≤ 𝑃 ∧ 𝑥 ∥ 𝑃) ↔ (((𝑃 / 𝑧) · (𝑃 / 𝑧)) ≤ 𝑃 ∧ (𝑃 / 𝑧) ∥ 𝑃)))
98	97	rspcev 3608	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑃 / 𝑧) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (((𝑃 / 𝑧) · (𝑃 / 𝑧)) ≤ 𝑃 ∧ (𝑃 / 𝑧) ∥ 𝑃)) → ∃𝑥 ∈ (ℤ≥‘2)((𝑥 · 𝑥) ≤ 𝑃 ∧ 𝑥 ∥ 𝑃))
99	69, 92, 98	syl6an 682	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑧 ∥ 𝑃 ∧ ¬ 𝑧 = 𝑃)) → (𝑃 ≤ (𝑧 · 𝑧) → ∃𝑥 ∈ (ℤ≥‘2)((𝑥 · 𝑥) ≤ 𝑃 ∧ 𝑥 ∥ 𝑃)))
100	70, 49	letrid 11416	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑧 ∥ 𝑃 ∧ ¬ 𝑧 = 𝑃)) → ((𝑧 · 𝑧) ≤ 𝑃 ∨ 𝑃 ≤ (𝑧 · 𝑧)))
101	33, 99, 100	mpjaod 858	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑧 ∥ 𝑃 ∧ ¬ 𝑧 = 𝑃)) → ∃𝑥 ∈ (ℤ≥‘2)((𝑥 · 𝑥) ≤ 𝑃 ∧ 𝑥 ∥ 𝑃))
102	101	ex 411	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘2)) → ((𝑧 ∥ 𝑃 ∧ ¬ 𝑧 = 𝑃) → ∃𝑥 ∈ (ℤ≥‘2)((𝑥 · 𝑥) ≤ 𝑃 ∧ 𝑥 ∥ 𝑃)))
103	24, 102	biimtrrid 242	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘2)) → (¬ (𝑧 ∥ 𝑃 → 𝑧 = 𝑃) → ∃𝑥 ∈ (ℤ≥‘2)((𝑥 · 𝑥) ≤ 𝑃 ∧ 𝑥 ∥ 𝑃)))
104	103	rexlimdva 3145	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) → (∃𝑧 ∈ (ℤ≥‘2) ¬ (𝑧 ∥ 𝑃 → 𝑧 = 𝑃) → ∃𝑥 ∈ (ℤ≥‘2)((𝑥 · 𝑥) ≤ 𝑃 ∧ 𝑥 ∥ 𝑃)))
105		prmz 16676	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑧 ∈ ℙ → 𝑧 ∈ ℤ)
106	105	ad2antrl 726	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ ((𝑥 · 𝑥) ≤ 𝑃 ∧ 𝑥 ∥ 𝑃)) ∧ (𝑧 ∈ ℙ ∧ 𝑧 ∥ 𝑥)) → 𝑧 ∈ ℤ)
107	106	zred 12718	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ ((𝑥 · 𝑥) ≤ 𝑃 ∧ 𝑥 ∥ 𝑃)) ∧ (𝑧 ∈ ℙ ∧ 𝑧 ∥ 𝑥)) → 𝑧 ∈ ℝ)
108	107, 107	remulcld 11294	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ ((𝑥 · 𝑥) ≤ 𝑃 ∧ 𝑥 ∥ 𝑃)) ∧ (𝑧 ∈ ℙ ∧ 𝑧 ∥ 𝑥)) → (𝑧 · 𝑧) ∈ ℝ)
109		eluzelz 12884	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑥 ∈ ℤ)
110	109	ad3antlr 729	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ ((𝑥 · 𝑥) ≤ 𝑃 ∧ 𝑥 ∥ 𝑃)) ∧ (𝑧 ∈ ℙ ∧ 𝑧 ∥ 𝑥)) → 𝑥 ∈ ℤ)
111	110	zred 12718	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ ((𝑥 · 𝑥) ≤ 𝑃 ∧ 𝑥 ∥ 𝑃)) ∧ (𝑧 ∈ ℙ ∧ 𝑧 ∥ 𝑥)) → 𝑥 ∈ ℝ)
112	111, 111	remulcld 11294	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ ((𝑥 · 𝑥) ≤ 𝑃 ∧ 𝑥 ∥ 𝑃)) ∧ (𝑧 ∈ ℙ ∧ 𝑧 ∥ 𝑥)) → (𝑥 · 𝑥) ∈ ℝ)
113	40	ad3antrrr 728	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ ((𝑥 · 𝑥) ≤ 𝑃 ∧ 𝑥 ∥ 𝑃)) ∧ (𝑧 ∈ ℙ ∧ 𝑧 ∥ 𝑥)) → 𝑃 ∈ ℤ)
114	113	zred 12718	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ ((𝑥 · 𝑥) ≤ 𝑃 ∧ 𝑥 ∥ 𝑃)) ∧ (𝑧 ∈ ℙ ∧ 𝑧 ∥ 𝑥)) → 𝑃 ∈ ℝ)
115		eluz2nn 12920	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑥 ∈ ℕ)
116	115	ad3antlr 729	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ ((𝑥 · 𝑥) ≤ 𝑃 ∧ 𝑥 ∥ 𝑃)) ∧ (𝑧 ∈ ℙ ∧ 𝑧 ∥ 𝑥)) → 𝑥 ∈ ℕ)
117		simprr 771	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ ((𝑥 · 𝑥) ≤ 𝑃 ∧ 𝑥 ∥ 𝑃)) ∧ (𝑧 ∈ ℙ ∧ 𝑧 ∥ 𝑥)) → 𝑧 ∥ 𝑥)
118		dvdsle 16312	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → (𝑧 ∥ 𝑥 → 𝑧 ≤ 𝑥))
119	118	imp 405	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℕ) ∧ 𝑧 ∥ 𝑥) → 𝑧 ≤ 𝑥)
120	106, 116, 117, 119	syl21anc 836	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ ((𝑥 · 𝑥) ≤ 𝑃 ∧ 𝑥 ∥ 𝑃)) ∧ (𝑧 ∈ ℙ ∧ 𝑧 ∥ 𝑥)) → 𝑧 ≤ 𝑥)
121		eluzge2nn0 12923	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑧 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑧 ∈ ℕ0)
122	121	nn0ge0d 12587	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑧 ∈ (ℤ≥‘2) → 0 ≤ 𝑧)
123	2, 122	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑧 ∈ ℙ → 0 ≤ 𝑧)
124	123	ad2antrl 726	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ ((𝑥 · 𝑥) ≤ 𝑃 ∧ 𝑥 ∥ 𝑃)) ∧ (𝑧 ∈ ℙ ∧ 𝑧 ∥ 𝑥)) → 0 ≤ 𝑧)
125		nnnn0 12531	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ → 𝑥 ∈ ℕ0)
126	125	nn0ge0d 12587	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ → 0 ≤ 𝑥)
127	116, 126	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ ((𝑥 · 𝑥) ≤ 𝑃 ∧ 𝑥 ∥ 𝑃)) ∧ (𝑧 ∈ ℙ ∧ 𝑧 ∥ 𝑥)) → 0 ≤ 𝑥)
128		le2msq 12166	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑧 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑧) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥)) → (𝑧 ≤ 𝑥 ↔ (𝑧 · 𝑧) ≤ (𝑥 · 𝑥)))
129	107, 124, 111, 127, 128	syl22anc 837	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ ((𝑥 · 𝑥) ≤ 𝑃 ∧ 𝑥 ∥ 𝑃)) ∧ (𝑧 ∈ ℙ ∧ 𝑧 ∥ 𝑥)) → (𝑧 ≤ 𝑥 ↔ (𝑧 · 𝑧) ≤ (𝑥 · 𝑥)))
130	120, 129	mpbid 231	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ ((𝑥 · 𝑥) ≤ 𝑃 ∧ 𝑥 ∥ 𝑃)) ∧ (𝑧 ∈ ℙ ∧ 𝑧 ∥ 𝑥)) → (𝑧 · 𝑧) ≤ (𝑥 · 𝑥))
131		simplrl 775	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ ((𝑥 · 𝑥) ≤ 𝑃 ∧ 𝑥 ∥ 𝑃)) ∧ (𝑧 ∈ ℙ ∧ 𝑧 ∥ 𝑥)) → (𝑥 · 𝑥) ≤ 𝑃)
132	108, 112, 114, 130, 131	letrd 11421	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ ((𝑥 · 𝑥) ≤ 𝑃 ∧ 𝑥 ∥ 𝑃)) ∧ (𝑧 ∈ ℙ ∧ 𝑧 ∥ 𝑥)) → (𝑧 · 𝑧) ≤ 𝑃)
133		simplrr 776	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ ((𝑥 · 𝑥) ≤ 𝑃 ∧ 𝑥 ∥ 𝑃)) ∧ (𝑧 ∈ ℙ ∧ 𝑧 ∥ 𝑥)) → 𝑥 ∥ 𝑃)
134	106, 110, 113, 117, 133	dvdstrd 16297	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ ((𝑥 · 𝑥) ≤ 𝑃 ∧ 𝑥 ∥ 𝑃)) ∧ (𝑧 ∈ ℙ ∧ 𝑧 ∥ 𝑥)) → 𝑧 ∥ 𝑃)
135	132, 134	jc 161	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ ((𝑥 · 𝑥) ≤ 𝑃 ∧ 𝑥 ∥ 𝑃)) ∧ (𝑧 ∈ ℙ ∧ 𝑧 ∥ 𝑥)) → ¬ ((𝑧 · 𝑧) ≤ 𝑃 → ¬ 𝑧 ∥ 𝑃))
136		exprmfct 16705	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘2) → ∃𝑧 ∈ ℙ 𝑧 ∥ 𝑥)
137	136	ad2antlr 725	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ ((𝑥 · 𝑥) ≤ 𝑃 ∧ 𝑥 ∥ 𝑃)) → ∃𝑧 ∈ ℙ 𝑧 ∥ 𝑥)
138	135, 137	reximddv 3161	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ ((𝑥 · 𝑥) ≤ 𝑃 ∧ 𝑥 ∥ 𝑃)) → ∃𝑧 ∈ ℙ ¬ ((𝑧 · 𝑧) ≤ 𝑃 → ¬ 𝑧 ∥ 𝑃))
139	138	ex 411	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘2)) → (((𝑥 · 𝑥) ≤ 𝑃 ∧ 𝑥 ∥ 𝑃) → ∃𝑧 ∈ ℙ ¬ ((𝑧 · 𝑧) ≤ 𝑃 → ¬ 𝑧 ∥ 𝑃)))
140	139	rexlimdva 3145	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) → (∃𝑥 ∈ (ℤ≥‘2)((𝑥 · 𝑥) ≤ 𝑃 ∧ 𝑥 ∥ 𝑃) → ∃𝑧 ∈ ℙ ¬ ((𝑧 · 𝑧) ≤ 𝑃 → ¬ 𝑧 ∥ 𝑃)))
141	104, 140	syld 47	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) → (∃𝑧 ∈ (ℤ≥‘2) ¬ (𝑧 ∥ 𝑃 → 𝑧 = 𝑃) → ∃𝑧 ∈ ℙ ¬ ((𝑧 · 𝑧) ≤ 𝑃 → ¬ 𝑧 ∥ 𝑃)))
142		rexnal 3090	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑧 ∈ (ℤ≥‘2) ¬ (𝑧 ∥ 𝑃 → 𝑧 = 𝑃) ↔ ¬ ∀𝑧 ∈ (ℤ≥‘2)(𝑧 ∥ 𝑃 → 𝑧 = 𝑃))
143		rexnal 3090	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑧 ∈ ℙ ¬ ((𝑧 · 𝑧) ≤ 𝑃 → ¬ 𝑧 ∥ 𝑃) ↔ ¬ ∀𝑧 ∈ ℙ ((𝑧 · 𝑧) ≤ 𝑃 → ¬ 𝑧 ∥ 𝑃))
144	141, 142, 143	3imtr3g 294	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) → (¬ ∀𝑧 ∈ (ℤ≥‘2)(𝑧 ∥ 𝑃 → 𝑧 = 𝑃) → ¬ ∀𝑧 ∈ ℙ ((𝑧 · 𝑧) ≤ 𝑃 → ¬ 𝑧 ∥ 𝑃)))
145	23, 144	impcon4bid 226	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) → (∀𝑧 ∈ (ℤ≥‘2)(𝑧 ∥ 𝑃 → 𝑧 = 𝑃) ↔ ∀𝑧 ∈ ℙ ((𝑧 · 𝑧) ≤ 𝑃 → ¬ 𝑧 ∥ 𝑃)))
146		prmnn 16675	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ ℙ → 𝑧 ∈ ℕ)
147	146	nncnd 12280	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ ℙ → 𝑧 ∈ ℂ)
148	147	sqvald 14162	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ ℙ → (𝑧↑2) = (𝑧 · 𝑧))
149	148	breq1d 5163	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ ℙ → ((𝑧↑2) ≤ 𝑃 ↔ (𝑧 · 𝑧) ≤ 𝑃))
150	149	imbi1d 340	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ∈ ℙ → (((𝑧↑2) ≤ 𝑃 → ¬ 𝑧 ∥ 𝑃) ↔ ((𝑧 · 𝑧) ≤ 𝑃 → ¬ 𝑧 ∥ 𝑃)))
151	150	ralbiia 3081	. . . 4 ⊢ (∀𝑧 ∈ ℙ ((𝑧↑2) ≤ 𝑃 → ¬ 𝑧 ∥ 𝑃) ↔ ∀𝑧 ∈ ℙ ((𝑧 · 𝑧) ≤ 𝑃 → ¬ 𝑧 ∥ 𝑃))
152	145, 151	bitr4di 288	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) → (∀𝑧 ∈ (ℤ≥‘2)(𝑧 ∥ 𝑃 → 𝑧 = 𝑃) ↔ ∀𝑧 ∈ ℙ ((𝑧↑2) ≤ 𝑃 → ¬ 𝑧 ∥ 𝑃)))
153	152	pm5.32i 573	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑧 ∈ (ℤ≥‘2)(𝑧 ∥ 𝑃 → 𝑧 = 𝑃)) ↔ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑧 ∈ ℙ ((𝑧↑2) ≤ 𝑃 → ¬ 𝑧 ∥ 𝑃)))
154	1, 153	bitri 274	1 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ ↔ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑧 ∈ ℙ ((𝑧↑2) ≤ 𝑃 → ¬ 𝑧 ∥ 𝑃)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   ≠ wne 2930  ∀wral 3051  ∃wrex 3060   class class class wbr 5153  ‘cfv 6554  (class class class)co 7424  ℝcr 11157  0cc0 11158  1c1 11159   · cmul 11163   < clt 11298   ≤ cle 11299   / cdiv 11921  ℕcn 12264  2c2 12319  ℤcz 12610  ℤ_≥cuz 12874  ℝ⁺crp 13028  ↑cexp 14081   ∥ cdvds 16256  ℙcprime 16672

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11214  ax-resscn 11215  ax-1cn 11216  ax-icn 11217  ax-addcl 11218  ax-addrcl 11219  ax-mulcl 11220  ax-mulrcl 11221  ax-mulcom 11222  ax-addass 11223  ax-mulass 11224  ax-distr 11225  ax-i2m1 11226  ax-1ne0 11227  ax-1rid 11228  ax-rnegex 11229  ax-rrecex 11230  ax-cnre 11231  ax-pre-lttri 11232  ax-pre-lttrn 11233  ax-pre-ltadd 11234  ax-pre-mulgt0 11235  ax-pre-sup 11236

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-op 4640  df-uni 4914  df-iun 5003  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-tr 5271  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6312  df-ord 6379  df-on 6380  df-lim 6381  df-suc 6382  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7877  df-1st 8003  df-2nd 8004  df-frecs 8296  df-wrecs 8327  df-recs 8401  df-rdg 8440  df-1o 8496  df-2o 8497  df-er 8734  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-fin 8978  df-sup 9485  df-pnf 11300  df-mnf 11301  df-xr 11302  df-ltxr 11303  df-le 11304  df-sub 11496  df-neg 11497  df-div 11922  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12525  df-z 12611  df-uz 12875  df-rp 13029  df-fz 13539  df-seq 14022  df-exp 14082  df-cj 15104  df-re 15105  df-im 15106  df-sqrt 15240  df-abs 15241  df-dvds 16257  df-prm 16673

This theorem is referenced by:  isprm7  16709  pockthg  16908  prmlem1a  17109