Theorem isprm5 16915

Description: One need only check prime divisors of 𝑃 up to √𝑃 in order to ensure primality. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.)

Assertion

Ref	Expression
isprm5	⊢ (𝑃 ∈ ℙ ↔ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑧 ∈ ℙ ((𝑧↑2) ≤ 𝑃 → ¬ 𝑧 ∥ 𝑃)))

Distinct variable group:   𝑧,𝑃

Proof of Theorem isprm5

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isprm4 16891	. 2 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ ↔ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑧 ∈ (ℤ≥‘2)(𝑧 ∥ 𝑃 → 𝑧 = 𝑃)))
2		prmuz2 16903	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ ℙ → 𝑧 ∈ (ℤ≥‘2))
3	2	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑧 ∈ ℙ → 𝑧 ∈ (ℤ≥‘2)))
4		eluz2gt1 13077	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) → 1 < 𝑃)
5		eluzelre 13006	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑃 ∈ ℝ)
6		eluz2nn 13045	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑃 ∈ ℕ)
7	6	nngt0d 12417	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) → 0 < 𝑃)
8		ltmulgt11 12206	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑃 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑃) → (1 < 𝑃 ↔ 𝑃 < (𝑃 · 𝑃)))
9	5, 5, 7, 8	syl3anc 1399	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) → (1 < 𝑃 ↔ 𝑃 < (𝑃 · 𝑃)))
10	4, 9	mpbid 235	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑃 < (𝑃 · 𝑃))
11	5, 5	remulcld 11369	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑃 · 𝑃) ∈ ℝ)
12	5, 11	ltnled 11487	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑃 < (𝑃 · 𝑃) ↔ ¬ (𝑃 · 𝑃) ≤ 𝑃))
13	10, 12	mpbid 235	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) → ¬ (𝑃 · 𝑃) ≤ 𝑃)
14		oveq12 7455	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑧 = 𝑃 ∧ 𝑧 = 𝑃) → (𝑧 · 𝑧) = (𝑃 · 𝑃))
15	14	anidms 577	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 = 𝑃 → (𝑧 · 𝑧) = (𝑃 · 𝑃))
16	15	breq1d 5116	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 = 𝑃 → ((𝑧 · 𝑧) ≤ 𝑃 ↔ (𝑃 · 𝑃) ≤ 𝑃))
17	16	notbid 321	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 = 𝑃 → (¬ (𝑧 · 𝑧) ≤ 𝑃 ↔ ¬ (𝑃 · 𝑃) ≤ 𝑃))
18	13, 17	syl5ibrcom 250	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑧 = 𝑃 → ¬ (𝑧 · 𝑧) ≤ 𝑃))
19	18	imim2d 58	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝑧 ∥ 𝑃 → 𝑧 = 𝑃) → (𝑧 ∥ 𝑃 → ¬ (𝑧 · 𝑧) ≤ 𝑃)))
20		con2 136	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ∥ 𝑃 → ¬ (𝑧 · 𝑧) ≤ 𝑃) → ((𝑧 · 𝑧) ≤ 𝑃 → ¬ 𝑧 ∥ 𝑃))
21	19, 20	syl6 36	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝑧 ∥ 𝑃 → 𝑧 = 𝑃) → ((𝑧 · 𝑧) ≤ 𝑃 → ¬ 𝑧 ∥ 𝑃)))
22	3, 21	imim12d 82	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝑧 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑧 ∥ 𝑃 → 𝑧 = 𝑃)) → (𝑧 ∈ ℙ → ((𝑧 · 𝑧) ≤ 𝑃 → ¬ 𝑧 ∥ 𝑃))))
23	22	ralimdv2 3175	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) → (∀𝑧 ∈ (ℤ≥‘2)(𝑧 ∥ 𝑃 → 𝑧 = 𝑃) → ∀𝑧 ∈ ℙ ((𝑧 · 𝑧) ≤ 𝑃 → ¬ 𝑧 ∥ 𝑃)))
24		annim 409	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 ∥ 𝑃 ∧ ¬ 𝑧 = 𝑃) ↔ ¬ (𝑧 ∥ 𝑃 → 𝑧 = 𝑃))
25		oveq12 7455	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑥 = 𝑧 ∧ 𝑥 = 𝑧) → (𝑥 · 𝑥) = (𝑧 · 𝑧))
26	25	anidms 577	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 · 𝑥) = (𝑧 · 𝑧))
27	26	breq1d 5116	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → ((𝑥 · 𝑥) ≤ 𝑃 ↔ (𝑧 · 𝑧) ≤ 𝑃))
28		breq1 5109	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 ∥ 𝑃 ↔ 𝑧 ∥ 𝑃))
29	27, 28	anbi12d 644	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (((𝑥 · 𝑥) ≤ 𝑃 ∧ 𝑥 ∥ 𝑃) ↔ ((𝑧 · 𝑧) ≤ 𝑃 ∧ 𝑧 ∥ 𝑃)))
30	29	rspcev 3580	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑧 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ((𝑧 · 𝑧) ≤ 𝑃 ∧ 𝑧 ∥ 𝑃)) → ∃𝑥 ∈ (ℤ≥‘2)((𝑥 · 𝑥) ≤ 𝑃 ∧ 𝑥 ∥ 𝑃))
31	30	ancom2s 663	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑧 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑧 ∥ 𝑃 ∧ (𝑧 · 𝑧) ≤ 𝑃)) → ∃𝑥 ∈ (ℤ≥‘2)((𝑥 · 𝑥) ≤ 𝑃 ∧ 𝑥 ∥ 𝑃))
32	31	expr 462	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑧 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∥ 𝑃) → ((𝑧 · 𝑧) ≤ 𝑃 → ∃𝑥 ∈ (ℤ≥‘2)((𝑥 · 𝑥) ≤ 𝑃 ∧ 𝑥 ∥ 𝑃)))
33	32	ad2ant2lr 761	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑧 ∥ 𝑃 ∧ ¬ 𝑧 = 𝑃)) → ((𝑧 · 𝑧) ≤ 𝑃 → ∃𝑥 ∈ (ℤ≥‘2)((𝑥 · 𝑥) ≤ 𝑃 ∧ 𝑥 ∥ 𝑃)))
34		simprl 783	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑧 ∥ 𝑃 ∧ ¬ 𝑧 = 𝑃)) → 𝑧 ∥ 𝑃)
35		eluzelz 13005	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑧 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑧 ∈ ℤ)
36	35	ad2antlr 740	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑧 ∥ 𝑃 ∧ ¬ 𝑧 = 𝑃)) → 𝑧 ∈ ℤ)
37		eluz2nn 13045	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑧 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑧 ∈ ℕ)
38	37	ad2antlr 740	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑧 ∥ 𝑃 ∧ ¬ 𝑧 = 𝑃)) → 𝑧 ∈ ℕ)
39	38	nnne0d 12418	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑧 ∥ 𝑃 ∧ ¬ 𝑧 = 𝑃)) → 𝑧 ≠ 0)
40		eluzelz 13005	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑃 ∈ ℤ)
41	40	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑧 ∥ 𝑃 ∧ ¬ 𝑧 = 𝑃)) → 𝑃 ∈ ℤ)
42		dvdsval2 16457	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ≠ 0 ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → (𝑧 ∥ 𝑃 ↔ (𝑃 / 𝑧) ∈ ℤ))
43	36, 39, 41, 42	syl3anc 1399	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑧 ∥ 𝑃 ∧ ¬ 𝑧 = 𝑃)) → (𝑧 ∥ 𝑃 ↔ (𝑃 / 𝑧) ∈ ℤ))
44	34, 43	mpbid 235	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑧 ∥ 𝑃 ∧ ¬ 𝑧 = 𝑃)) → (𝑃 / 𝑧) ∈ ℤ)
45		eluzelre 13006	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑧 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑧 ∈ ℝ)
46	45	ad2antlr 740	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑧 ∥ 𝑃 ∧ ¬ 𝑧 = 𝑃)) → 𝑧 ∈ ℝ)
47	46	recnd 11367	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑧 ∥ 𝑃 ∧ ¬ 𝑧 = 𝑃)) → 𝑧 ∈ ℂ)
48	47	mullidd 11357	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑧 ∥ 𝑃 ∧ ¬ 𝑧 = 𝑃)) → (1 · 𝑧) = 𝑧)
49	5	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑧 ∥ 𝑃 ∧ ¬ 𝑧 = 𝑃)) → 𝑃 ∈ ℝ)
50	6	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑧 ∥ 𝑃 ∧ ¬ 𝑧 = 𝑃)) → 𝑃 ∈ ℕ)
51		dvdsle 16512	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℕ) → (𝑧 ∥ 𝑃 → 𝑧 ≤ 𝑃))
52	51	imp 412	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℕ) ∧ 𝑧 ∥ 𝑃) → 𝑧 ≤ 𝑃)
53	36, 50, 34, 52	syl21anc 851	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑧 ∥ 𝑃 ∧ ¬ 𝑧 = 𝑃)) → 𝑧 ≤ 𝑃)
54		simprr 785	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑧 ∥ 𝑃 ∧ ¬ 𝑧 = 𝑃)) → ¬ 𝑧 = 𝑃)
55	54	neqned 2966	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑧 ∥ 𝑃 ∧ ¬ 𝑧 = 𝑃)) → 𝑧 ≠ 𝑃)
56	55	necomd 3014	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑧 ∥ 𝑃 ∧ ¬ 𝑧 = 𝑃)) → 𝑃 ≠ 𝑧)
57	46, 49, 53, 56	leneltd 11494	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑧 ∥ 𝑃 ∧ ¬ 𝑧 = 𝑃)) → 𝑧 < 𝑃)
58	48, 57	eqbrtrd 5131	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑧 ∥ 𝑃 ∧ ¬ 𝑧 = 𝑃)) → (1 · 𝑧) < 𝑃)
59		1red 11339	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑧 ∥ 𝑃 ∧ ¬ 𝑧 = 𝑃)) → 1 ∈ ℝ)
60	41	zred 12833	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑧 ∥ 𝑃 ∧ ¬ 𝑧 = 𝑃)) → 𝑃 ∈ ℝ)
61		nnre 12372	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑧 ∈ ℕ → 𝑧 ∈ ℝ)
62		nngt0 12399	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑧 ∈ ℕ → 0 < 𝑧)
63	61, 62	jca 521	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑧 ∈ ℕ → (𝑧 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑧))
64	38, 63	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑧 ∥ 𝑃 ∧ ¬ 𝑧 = 𝑃)) → (𝑧 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑧))
65		ltmuldiv 12220	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑧)) → ((1 · 𝑧) < 𝑃 ↔ 1 < (𝑃 / 𝑧)))
66	59, 60, 64, 65	syl3anc 1399	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑧 ∥ 𝑃 ∧ ¬ 𝑧 = 𝑃)) → ((1 · 𝑧) < 𝑃 ↔ 1 < (𝑃 / 𝑧)))
67	58, 66	mpbid 235	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑧 ∥ 𝑃 ∧ ¬ 𝑧 = 𝑃)) → 1 < (𝑃 / 𝑧))
68		eluz2b1 13076	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑃 / 𝑧) ∈ (ℤ≥‘2) ↔ ((𝑃 / 𝑧) ∈ ℤ ∧ 1 < (𝑃 / 𝑧)))
69	44, 67, 68	sylanbrc 595	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑧 ∥ 𝑃 ∧ ¬ 𝑧 = 𝑃)) → (𝑃 / 𝑧) ∈ (ℤ≥‘2))
70	46, 46	remulcld 11369	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑧 ∥ 𝑃 ∧ ¬ 𝑧 = 𝑃)) → (𝑧 · 𝑧) ∈ ℝ)
71	38, 38	nnmulcld 12421	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑧 ∥ 𝑃 ∧ ¬ 𝑧 = 𝑃)) → (𝑧 · 𝑧) ∈ ℕ)
72		nnrp 13162	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → 𝑃 ∈ ℝ+)
73		nnrp 13162	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑧 · 𝑧) ∈ ℕ → (𝑧 · 𝑧) ∈ ℝ+)
74		rpdivcl 13177	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑃 ∈ ℝ+ ∧ (𝑧 · 𝑧) ∈ ℝ+) → (𝑃 / (𝑧 · 𝑧)) ∈ ℝ+)
75	72, 73, 74	syl2an 608	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ (𝑧 · 𝑧) ∈ ℕ) → (𝑃 / (𝑧 · 𝑧)) ∈ ℝ+)
76	50, 71, 75	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑧 ∥ 𝑃 ∧ ¬ 𝑧 = 𝑃)) → (𝑃 / (𝑧 · 𝑧)) ∈ ℝ+)
77	49, 70, 76	lemul1d 13237	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑧 ∥ 𝑃 ∧ ¬ 𝑧 = 𝑃)) → (𝑃 ≤ (𝑧 · 𝑧) ↔ (𝑃 · (𝑃 / (𝑧 · 𝑧))) ≤ ((𝑧 · 𝑧) · (𝑃 / (𝑧 · 𝑧)))))
78	49	recnd 11367	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑧 ∥ 𝑃 ∧ ¬ 𝑧 = 𝑃)) → 𝑃 ∈ ℂ)
79	78, 47, 78, 47, 39, 39	divmuldivd 12164	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑧 ∥ 𝑃 ∧ ¬ 𝑧 = 𝑃)) → ((𝑃 / 𝑧) · (𝑃 / 𝑧)) = ((𝑃 · 𝑃) / (𝑧 · 𝑧)))
80	71	nncnd 12381	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑧 ∥ 𝑃 ∧ ¬ 𝑧 = 𝑃)) → (𝑧 · 𝑧) ∈ ℂ)
81	71	nnne0d 12418	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑧 ∥ 𝑃 ∧ ¬ 𝑧 = 𝑃)) → (𝑧 · 𝑧) ≠ 0)
82	78, 78, 80, 81	divassd 12158	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑧 ∥ 𝑃 ∧ ¬ 𝑧 = 𝑃)) → ((𝑃 · 𝑃) / (𝑧 · 𝑧)) = (𝑃 · (𝑃 / (𝑧 · 𝑧))))
83	79, 82	eqtrd 2798	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑧 ∥ 𝑃 ∧ ¬ 𝑧 = 𝑃)) → ((𝑃 / 𝑧) · (𝑃 / 𝑧)) = (𝑃 · (𝑃 / (𝑧 · 𝑧))))
84	78, 80, 81	divcan2d 12125	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑧 ∥ 𝑃 ∧ ¬ 𝑧 = 𝑃)) → ((𝑧 · 𝑧) · (𝑃 / (𝑧 · 𝑧))) = 𝑃)
85	84	eqcomd 2769	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑧 ∥ 𝑃 ∧ ¬ 𝑧 = 𝑃)) → 𝑃 = ((𝑧 · 𝑧) · (𝑃 / (𝑧 · 𝑧))))
86	83, 85	breq12d 5119	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑧 ∥ 𝑃 ∧ ¬ 𝑧 = 𝑃)) → (((𝑃 / 𝑧) · (𝑃 / 𝑧)) ≤ 𝑃 ↔ (𝑃 · (𝑃 / (𝑧 · 𝑧))) ≤ ((𝑧 · 𝑧) · (𝑃 / (𝑧 · 𝑧)))))
87	77, 86	bitr4d 285	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑧 ∥ 𝑃 ∧ ¬ 𝑧 = 𝑃)) → (𝑃 ≤ (𝑧 · 𝑧) ↔ ((𝑃 / 𝑧) · (𝑃 / 𝑧)) ≤ 𝑃))
88	87	biimpd 232	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑧 ∥ 𝑃 ∧ ¬ 𝑧 = 𝑃)) → (𝑃 ≤ (𝑧 · 𝑧) → ((𝑃 / 𝑧) · (𝑃 / 𝑧)) ≤ 𝑃))
89	78, 47, 39	divcan2d 12125	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑧 ∥ 𝑃 ∧ ¬ 𝑧 = 𝑃)) → (𝑧 · (𝑃 / 𝑧)) = 𝑃)
90		dvds0lem 16468	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑧 ∈ ℤ ∧ (𝑃 / 𝑧) ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) ∧ (𝑧 · (𝑃 / 𝑧)) = 𝑃) → (𝑃 / 𝑧) ∥ 𝑃)
91	36, 44, 41, 89, 90	syl31anc 1401	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑧 ∥ 𝑃 ∧ ¬ 𝑧 = 𝑃)) → (𝑃 / 𝑧) ∥ 𝑃)
92	88, 91	jctird 536	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑧 ∥ 𝑃 ∧ ¬ 𝑧 = 𝑃)) → (𝑃 ≤ (𝑧 · 𝑧) → (((𝑃 / 𝑧) · (𝑃 / 𝑧)) ≤ 𝑃 ∧ (𝑃 / 𝑧) ∥ 𝑃)))
93		oveq12 7455	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑥 = (𝑃 / 𝑧) ∧ 𝑥 = (𝑃 / 𝑧)) → (𝑥 · 𝑥) = ((𝑃 / 𝑧) · (𝑃 / 𝑧)))
94	93	anidms 577	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = (𝑃 / 𝑧) → (𝑥 · 𝑥) = ((𝑃 / 𝑧) · (𝑃 / 𝑧)))
95	94	breq1d 5116	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = (𝑃 / 𝑧) → ((𝑥 · 𝑥) ≤ 𝑃 ↔ ((𝑃 / 𝑧) · (𝑃 / 𝑧)) ≤ 𝑃))
96		breq1 5109	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = (𝑃 / 𝑧) → (𝑥 ∥ 𝑃 ↔ (𝑃 / 𝑧) ∥ 𝑃))
97	95, 96	anbi12d 644	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = (𝑃 / 𝑧) → (((𝑥 · 𝑥) ≤ 𝑃 ∧ 𝑥 ∥ 𝑃) ↔ (((𝑃 / 𝑧) · (𝑃 / 𝑧)) ≤ 𝑃 ∧ (𝑃 / 𝑧) ∥ 𝑃)))
98	97	rspcev 3580	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑃 / 𝑧) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (((𝑃 / 𝑧) · (𝑃 / 𝑧)) ≤ 𝑃 ∧ (𝑃 / 𝑧) ∥ 𝑃)) → ∃𝑥 ∈ (ℤ≥‘2)((𝑥 · 𝑥) ≤ 𝑃 ∧ 𝑥 ∥ 𝑃))
99	69, 92, 98	syl6an 697	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑧 ∥ 𝑃 ∧ ¬ 𝑧 = 𝑃)) → (𝑃 ≤ (𝑧 · 𝑧) → ∃𝑥 ∈ (ℤ≥‘2)((𝑥 · 𝑥) ≤ 𝑃 ∧ 𝑥 ∥ 𝑃)))
100	70, 49	letrid 11492	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑧 ∥ 𝑃 ∧ ¬ 𝑧 = 𝑃)) → ((𝑧 · 𝑧) ≤ 𝑃 ∨ 𝑃 ≤ (𝑧 · 𝑧)))
101	33, 99, 100	mpjaod 874	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑧 ∥ 𝑃 ∧ ¬ 𝑧 = 𝑃)) → ∃𝑥 ∈ (ℤ≥‘2)((𝑥 · 𝑥) ≤ 𝑃 ∧ 𝑥 ∥ 𝑃))
102	101	ex 418	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘2)) → ((𝑧 ∥ 𝑃 ∧ ¬ 𝑧 = 𝑃) → ∃𝑥 ∈ (ℤ≥‘2)((𝑥 · 𝑥) ≤ 𝑃 ∧ 𝑥 ∥ 𝑃)))
103	24, 102	biimtrrid 246	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘2)) → (¬ (𝑧 ∥ 𝑃 → 𝑧 = 𝑃) → ∃𝑥 ∈ (ℤ≥‘2)((𝑥 · 𝑥) ≤ 𝑃 ∧ 𝑥 ∥ 𝑃)))
104	103	rexlimdva 3167	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) → (∃𝑧 ∈ (ℤ≥‘2) ¬ (𝑧 ∥ 𝑃 → 𝑧 = 𝑃) → ∃𝑥 ∈ (ℤ≥‘2)((𝑥 · 𝑥) ≤ 𝑃 ∧ 𝑥 ∥ 𝑃)))
105		prmz 16882	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑧 ∈ ℙ → 𝑧 ∈ ℤ)
106	105	ad2antrl 741	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ ((𝑥 · 𝑥) ≤ 𝑃 ∧ 𝑥 ∥ 𝑃)) ∧ (𝑧 ∈ ℙ ∧ 𝑧 ∥ 𝑥)) → 𝑧 ∈ ℤ)
107	106	zred 12833	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ ((𝑥 · 𝑥) ≤ 𝑃 ∧ 𝑥 ∥ 𝑃)) ∧ (𝑧 ∈ ℙ ∧ 𝑧 ∥ 𝑥)) → 𝑧 ∈ ℝ)
108	107, 107	remulcld 11369	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ ((𝑥 · 𝑥) ≤ 𝑃 ∧ 𝑥 ∥ 𝑃)) ∧ (𝑧 ∈ ℙ ∧ 𝑧 ∥ 𝑥)) → (𝑧 · 𝑧) ∈ ℝ)
109		eluzelz 13005	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑥 ∈ ℤ)
110	109	ad3antlr 744	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ ((𝑥 · 𝑥) ≤ 𝑃 ∧ 𝑥 ∥ 𝑃)) ∧ (𝑧 ∈ ℙ ∧ 𝑧 ∥ 𝑥)) → 𝑥 ∈ ℤ)
111	110	zred 12833	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ ((𝑥 · 𝑥) ≤ 𝑃 ∧ 𝑥 ∥ 𝑃)) ∧ (𝑧 ∈ ℙ ∧ 𝑧 ∥ 𝑥)) → 𝑥 ∈ ℝ)
112	111, 111	remulcld 11369	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ ((𝑥 · 𝑥) ≤ 𝑃 ∧ 𝑥 ∥ 𝑃)) ∧ (𝑧 ∈ ℙ ∧ 𝑧 ∥ 𝑥)) → (𝑥 · 𝑥) ∈ ℝ)
113	40	ad3antrrr 743	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ ((𝑥 · 𝑥) ≤ 𝑃 ∧ 𝑥 ∥ 𝑃)) ∧ (𝑧 ∈ ℙ ∧ 𝑧 ∥ 𝑥)) → 𝑃 ∈ ℤ)
114	113	zred 12833	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ ((𝑥 · 𝑥) ≤ 𝑃 ∧ 𝑥 ∥ 𝑃)) ∧ (𝑧 ∈ ℙ ∧ 𝑧 ∥ 𝑥)) → 𝑃 ∈ ℝ)
115		eluz2nn 13045	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑥 ∈ ℕ)
116	115	ad3antlr 744	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ ((𝑥 · 𝑥) ≤ 𝑃 ∧ 𝑥 ∥ 𝑃)) ∧ (𝑧 ∈ ℙ ∧ 𝑧 ∥ 𝑥)) → 𝑥 ∈ ℕ)
117		simprr 785	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ ((𝑥 · 𝑥) ≤ 𝑃 ∧ 𝑥 ∥ 𝑃)) ∧ (𝑧 ∈ ℙ ∧ 𝑧 ∥ 𝑥)) → 𝑧 ∥ 𝑥)
118		dvdsle 16512	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → (𝑧 ∥ 𝑥 → 𝑧 ≤ 𝑥))
119	118	imp 412	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℕ) ∧ 𝑧 ∥ 𝑥) → 𝑧 ≤ 𝑥)
120	106, 116, 117, 119	syl21anc 851	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ ((𝑥 · 𝑥) ≤ 𝑃 ∧ 𝑥 ∥ 𝑃)) ∧ (𝑧 ∈ ℙ ∧ 𝑧 ∥ 𝑥)) → 𝑧 ≤ 𝑥)
121		eluzge2nn0 13049	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑧 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑧 ∈ ℕ0)
122	121	nn0ge0d 12700	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑧 ∈ (ℤ≥‘2) → 0 ≤ 𝑧)
123	2, 122	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑧 ∈ ℙ → 0 ≤ 𝑧)
124	123	ad2antrl 741	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ ((𝑥 · 𝑥) ≤ 𝑃 ∧ 𝑥 ∥ 𝑃)) ∧ (𝑧 ∈ ℙ ∧ 𝑧 ∥ 𝑥)) → 0 ≤ 𝑧)
125		nnnn0 12643	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ → 𝑥 ∈ ℕ0)
126	125	nn0ge0d 12700	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ → 0 ≤ 𝑥)
127	116, 126	syl 18	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ ((𝑥 · 𝑥) ≤ 𝑃 ∧ 𝑥 ∥ 𝑃)) ∧ (𝑧 ∈ ℙ ∧ 𝑧 ∥ 𝑥)) → 0 ≤ 𝑥)
128		le2msq 12247	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑧 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑧) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥)) → (𝑧 ≤ 𝑥 ↔ (𝑧 · 𝑧) ≤ (𝑥 · 𝑥)))
129	107, 124, 111, 127, 128	syl22anc 852	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ ((𝑥 · 𝑥) ≤ 𝑃 ∧ 𝑥 ∥ 𝑃)) ∧ (𝑧 ∈ ℙ ∧ 𝑧 ∥ 𝑥)) → (𝑧 ≤ 𝑥 ↔ (𝑧 · 𝑧) ≤ (𝑥 · 𝑥)))
130	120, 129	mpbid 235	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ ((𝑥 · 𝑥) ≤ 𝑃 ∧ 𝑥 ∥ 𝑃)) ∧ (𝑧 ∈ ℙ ∧ 𝑧 ∥ 𝑥)) → (𝑧 · 𝑧) ≤ (𝑥 · 𝑥))
131		simplrl 789	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ ((𝑥 · 𝑥) ≤ 𝑃 ∧ 𝑥 ∥ 𝑃)) ∧ (𝑧 ∈ ℙ ∧ 𝑧 ∥ 𝑥)) → (𝑥 · 𝑥) ≤ 𝑃)
132	108, 112, 114, 130, 131	letrd 11497	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ ((𝑥 · 𝑥) ≤ 𝑃 ∧ 𝑥 ∥ 𝑃)) ∧ (𝑧 ∈ ℙ ∧ 𝑧 ∥ 𝑥)) → (𝑧 · 𝑧) ≤ 𝑃)
133		simplrr 790	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ ((𝑥 · 𝑥) ≤ 𝑃 ∧ 𝑥 ∥ 𝑃)) ∧ (𝑧 ∈ ℙ ∧ 𝑧 ∥ 𝑥)) → 𝑥 ∥ 𝑃)
134	106, 110, 113, 117, 133	dvdstrd 16497	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ ((𝑥 · 𝑥) ≤ 𝑃 ∧ 𝑥 ∥ 𝑃)) ∧ (𝑧 ∈ ℙ ∧ 𝑧 ∥ 𝑥)) → 𝑧 ∥ 𝑃)
135	132, 134	jc 162	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ ((𝑥 · 𝑥) ≤ 𝑃 ∧ 𝑥 ∥ 𝑃)) ∧ (𝑧 ∈ ℙ ∧ 𝑧 ∥ 𝑥)) → ¬ ((𝑧 · 𝑧) ≤ 𝑃 → ¬ 𝑧 ∥ 𝑃))
136		exprmfct 16912	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘2) → ∃𝑧 ∈ ℙ 𝑧 ∥ 𝑥)
137	136	ad2antlr 740	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ ((𝑥 · 𝑥) ≤ 𝑃 ∧ 𝑥 ∥ 𝑃)) → ∃𝑧 ∈ ℙ 𝑧 ∥ 𝑥)
138	135, 137	reximddv 3182	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ ((𝑥 · 𝑥) ≤ 𝑃 ∧ 𝑥 ∥ 𝑃)) → ∃𝑧 ∈ ℙ ¬ ((𝑧 · 𝑧) ≤ 𝑃 → ¬ 𝑧 ∥ 𝑃))
139	138	ex 418	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘2)) → (((𝑥 · 𝑥) ≤ 𝑃 ∧ 𝑥 ∥ 𝑃) → ∃𝑧 ∈ ℙ ¬ ((𝑧 · 𝑧) ≤ 𝑃 → ¬ 𝑧 ∥ 𝑃)))
140	139	rexlimdva 3167	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) → (∃𝑥 ∈ (ℤ≥‘2)((𝑥 · 𝑥) ≤ 𝑃 ∧ 𝑥 ∥ 𝑃) → ∃𝑧 ∈ ℙ ¬ ((𝑧 · 𝑧) ≤ 𝑃 → ¬ 𝑧 ∥ 𝑃)))
141	104, 140	syld 48	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) → (∃𝑧 ∈ (ℤ≥‘2) ¬ (𝑧 ∥ 𝑃 → 𝑧 = 𝑃) → ∃𝑧 ∈ ℙ ¬ ((𝑧 · 𝑧) ≤ 𝑃 → ¬ 𝑧 ∥ 𝑃)))
142		rexnal 3118	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑧 ∈ (ℤ≥‘2) ¬ (𝑧 ∥ 𝑃 → 𝑧 = 𝑃) ↔ ¬ ∀𝑧 ∈ (ℤ≥‘2)(𝑧 ∥ 𝑃 → 𝑧 = 𝑃))
143		rexnal 3118	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑧 ∈ ℙ ¬ ((𝑧 · 𝑧) ≤ 𝑃 → ¬ 𝑧 ∥ 𝑃) ↔ ¬ ∀𝑧 ∈ ℙ ((𝑧 · 𝑧) ≤ 𝑃 → ¬ 𝑧 ∥ 𝑃))
144	141, 142, 143	3imtr3g 298	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) → (¬ ∀𝑧 ∈ (ℤ≥‘2)(𝑧 ∥ 𝑃 → 𝑧 = 𝑃) → ¬ ∀𝑧 ∈ ℙ ((𝑧 · 𝑧) ≤ 𝑃 → ¬ 𝑧 ∥ 𝑃)))
145	23, 144	impcon4bid 230	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) → (∀𝑧 ∈ (ℤ≥‘2)(𝑧 ∥ 𝑃 → 𝑧 = 𝑃) ↔ ∀𝑧 ∈ ℙ ((𝑧 · 𝑧) ≤ 𝑃 → ¬ 𝑧 ∥ 𝑃)))
146		prmnn 16881	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ ℙ → 𝑧 ∈ ℕ)
147	146	nncnd 12381	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ ℙ → 𝑧 ∈ ℂ)
148	147	sqvald 14316	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ ℙ → (𝑧↑2) = (𝑧 · 𝑧))
149	148	breq1d 5116	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ ℙ → ((𝑧↑2) ≤ 𝑃 ↔ (𝑧 · 𝑧) ≤ 𝑃))
150	149	imbi1d 344	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ∈ ℙ → (((𝑧↑2) ≤ 𝑃 → ¬ 𝑧 ∥ 𝑃) ↔ ((𝑧 · 𝑧) ≤ 𝑃 → ¬ 𝑧 ∥ 𝑃)))
151	150	ralbiia 3110	. . . 4 ⊢ (∀𝑧 ∈ ℙ ((𝑧↑2) ≤ 𝑃 → ¬ 𝑧 ∥ 𝑃) ↔ ∀𝑧 ∈ ℙ ((𝑧 · 𝑧) ≤ 𝑃 → ¬ 𝑧 ∥ 𝑃))
152	145, 151	bitr4di 292	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) → (∀𝑧 ∈ (ℤ≥‘2)(𝑧 ∥ 𝑃 → 𝑧 = 𝑃) ↔ ∀𝑧 ∈ ℙ ((𝑧↑2) ≤ 𝑃 → ¬ 𝑧 ∥ 𝑃)))
153	152	pm5.32i 585	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑧 ∈ (ℤ≥‘2)(𝑧 ∥ 𝑃 → 𝑧 = 𝑃)) ↔ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑧 ∈ ℙ ((𝑧↑2) ≤ 𝑃 → ¬ 𝑧 ∥ 𝑃)))
154	1, 153	bitri 278	1 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ ↔ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑧 ∈ ℙ ((𝑧↑2) ≤ 𝑃 → ¬ 𝑧 ∥ 𝑃)))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959  ∀wral 3080  ∃wrex 3090   class class class wbr 5106  ‘cfv 6561  (class class class)co 7446  ℝcr 11229  0cc0 11230  1c1 11231   · cmul 11235   < clt 11373   ≤ cle 11374   / cdiv 12003  ℕcn 12365  2c2 12427  ℤcz 12723  ℤ_≥cuz 12995  ℝ⁺crp 13150  ↑cexp 14234   ∥ cdvds 16454  ℙcprime 16878

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7778  ax-cnex 11286  ax-resscn 11287  ax-1cn 11288  ax-icn 11289  ax-addcl 11290  ax-addrcl 11291  ax-mulcl 11292  ax-mulrcl 11293  ax-mulcom 11294  ax-addass 11295  ax-mulass 11296  ax-distr 11297  ax-i2m1 11298  ax-1ne0 11299  ax-1rid 11300  ax-rnegex 11301  ax-rrecex 11302  ax-cnre 11303  ax-pre-lttri 11304  ax-pre-lttrn 11305  ax-pre-ltadd 11306  ax-pre-mulgt0 11307  ax-pre-sup 11308

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5551  df-eprel 5556  df-po 5564  df-so 5565  df-fr 5609  df-we 5611  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-pred 6325  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6515  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7403  df-ov 7449  df-oprab 7450  df-mpo 7451  df-om 7905  df-1st 8028  df-2nd 8029  df-frecs 8330  df-wrecs 8361  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8507  df-2o 8508  df-er 8748  df-en 9005  df-dom 9006  df-sdom 9007  df-fin 9008  df-sup 9464  df-pnf 11375  df-mnf 11376  df-xr 11377  df-ltxr 11378  df-le 11379  df-sub 11573  df-neg 11574  df-div 12004  df-nn 12366  df-2 12435  df-3 12436  df-n0 12637  df-z 12724  df-uz 12996  df-rp 13151  df-fz 13670  df-seq 14175  df-exp 14235  df-cj 15298  df-re 15299  df-im 15300  df-sqrt 15434  df-abs 15435  df-dvds 16455  df-prm 16879

This theorem is used by:  isprm7  16916  pockthg  17116  prmlem1a  17316