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Theorem isprm5 15626
Description: One need only check prime divisors of 𝑃 up to 𝑃 in order to ensure primality. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.)
Assertion
Ref Expression
isprm5 (𝑃 ∈ ℙ ↔ (𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ ∀𝑧 ∈ ℙ ((𝑧↑2) ≤ 𝑃 → ¬ 𝑧𝑃)))
Distinct variable group:   𝑧,𝑃

Proof of Theorem isprm5
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isprm4 15604 . 2 (𝑃 ∈ ℙ ↔ (𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ ∀𝑧 ∈ (ℤ‘2)(𝑧𝑃𝑧 = 𝑃)))
2 prmuz2 15615 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ ℙ → 𝑧 ∈ (ℤ‘2))
32a1i 11 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ (ℤ‘2) → (𝑧 ∈ ℙ → 𝑧 ∈ (ℤ‘2)))
4 eluz2b2 11964 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑃 ∈ (ℤ‘2) ↔ (𝑃 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑃))
54simprbi 484 . . . . . . . . . . . 12 (𝑃 ∈ (ℤ‘2) → 1 < 𝑃)
6 eluzelre 11899 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑃 ∈ (ℤ‘2) → 𝑃 ∈ ℝ)
7 eluz2nn 11928 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑃 ∈ (ℤ‘2) → 𝑃 ∈ ℕ)
87nngt0d 11266 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑃 ∈ (ℤ‘2) → 0 < 𝑃)
9 ltmulgt11 11085 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑃 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑃) → (1 < 𝑃𝑃 < (𝑃 · 𝑃)))
106, 6, 8, 9syl3anc 1476 . . . . . . . . . . . 12 (𝑃 ∈ (ℤ‘2) → (1 < 𝑃𝑃 < (𝑃 · 𝑃)))
115, 10mpbid 222 . . . . . . . . . . 11 (𝑃 ∈ (ℤ‘2) → 𝑃 < (𝑃 · 𝑃))
126, 6remulcld 10272 . . . . . . . . . . . 12 (𝑃 ∈ (ℤ‘2) → (𝑃 · 𝑃) ∈ ℝ)
136, 12ltnled 10386 . . . . . . . . . . 11 (𝑃 ∈ (ℤ‘2) → (𝑃 < (𝑃 · 𝑃) ↔ ¬ (𝑃 · 𝑃) ≤ 𝑃))
1411, 13mpbid 222 . . . . . . . . . 10 (𝑃 ∈ (ℤ‘2) → ¬ (𝑃 · 𝑃) ≤ 𝑃)
15 oveq12 6802 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑧 = 𝑃𝑧 = 𝑃) → (𝑧 · 𝑧) = (𝑃 · 𝑃))
1615anidms 556 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = 𝑃 → (𝑧 · 𝑧) = (𝑃 · 𝑃))
1716breq1d 4796 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = 𝑃 → ((𝑧 · 𝑧) ≤ 𝑃 ↔ (𝑃 · 𝑃) ≤ 𝑃))
1817notbid 307 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = 𝑃 → (¬ (𝑧 · 𝑧) ≤ 𝑃 ↔ ¬ (𝑃 · 𝑃) ≤ 𝑃))
1914, 18syl5ibrcom 237 . . . . . . . . 9 (𝑃 ∈ (ℤ‘2) → (𝑧 = 𝑃 → ¬ (𝑧 · 𝑧) ≤ 𝑃))
2019imim2d 57 . . . . . . . 8 (𝑃 ∈ (ℤ‘2) → ((𝑧𝑃𝑧 = 𝑃) → (𝑧𝑃 → ¬ (𝑧 · 𝑧) ≤ 𝑃)))
21 con2 132 . . . . . . . 8 ((𝑧𝑃 → ¬ (𝑧 · 𝑧) ≤ 𝑃) → ((𝑧 · 𝑧) ≤ 𝑃 → ¬ 𝑧𝑃))
2220, 21syl6 35 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ (ℤ‘2) → ((𝑧𝑃𝑧 = 𝑃) → ((𝑧 · 𝑧) ≤ 𝑃 → ¬ 𝑧𝑃)))
233, 22imim12d 81 . . . . . 6 (𝑃 ∈ (ℤ‘2) → ((𝑧 ∈ (ℤ‘2) → (𝑧𝑃𝑧 = 𝑃)) → (𝑧 ∈ ℙ → ((𝑧 · 𝑧) ≤ 𝑃 → ¬ 𝑧𝑃))))
2423ralimdv2 3110 . . . . 5 (𝑃 ∈ (ℤ‘2) → (∀𝑧 ∈ (ℤ‘2)(𝑧𝑃𝑧 = 𝑃) → ∀𝑧 ∈ ℙ ((𝑧 · 𝑧) ≤ 𝑃 → ¬ 𝑧𝑃)))
25 annim 390 . . . . . . . . 9 ((𝑧𝑃 ∧ ¬ 𝑧 = 𝑃) ↔ ¬ (𝑧𝑃𝑧 = 𝑃))
26 oveq12 6802 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑥 = 𝑧𝑥 = 𝑧) → (𝑥 · 𝑥) = (𝑧 · 𝑧))
2726anidms 556 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 · 𝑥) = (𝑧 · 𝑧))
2827breq1d 4796 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 𝑧 → ((𝑥 · 𝑥) ≤ 𝑃 ↔ (𝑧 · 𝑧) ≤ 𝑃))
29 breq1 4789 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 𝑧 → (𝑥𝑃𝑧𝑃))
3028, 29anbi12d 616 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 𝑧 → (((𝑥 · 𝑥) ≤ 𝑃𝑥𝑃) ↔ ((𝑧 · 𝑧) ≤ 𝑃𝑧𝑃)))
3130rspcev 3460 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑧 ∈ (ℤ‘2) ∧ ((𝑧 · 𝑧) ≤ 𝑃𝑧𝑃)) → ∃𝑥 ∈ (ℤ‘2)((𝑥 · 𝑥) ≤ 𝑃𝑥𝑃))
3231ancom2s 629 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑧 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑧𝑃 ∧ (𝑧 · 𝑧) ≤ 𝑃)) → ∃𝑥 ∈ (ℤ‘2)((𝑥 · 𝑥) ≤ 𝑃𝑥𝑃))
3332expr 444 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑧 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧𝑃) → ((𝑧 · 𝑧) ≤ 𝑃 → ∃𝑥 ∈ (ℤ‘2)((𝑥 · 𝑥) ≤ 𝑃𝑥𝑃)))
3433ad2ant2lr 742 . . . . . . . . . . 11 (((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑧𝑃 ∧ ¬ 𝑧 = 𝑃)) → ((𝑧 · 𝑧) ≤ 𝑃 → ∃𝑥 ∈ (ℤ‘2)((𝑥 · 𝑥) ≤ 𝑃𝑥𝑃)))
35 simprl 754 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑧𝑃 ∧ ¬ 𝑧 = 𝑃)) → 𝑧𝑃)
36 eluzelz 11898 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑧 ∈ (ℤ‘2) → 𝑧 ∈ ℤ)
3736ad2antlr 706 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑧𝑃 ∧ ¬ 𝑧 = 𝑃)) → 𝑧 ∈ ℤ)
38 eluz2nn 11928 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑧 ∈ (ℤ‘2) → 𝑧 ∈ ℕ)
3938ad2antlr 706 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑧𝑃 ∧ ¬ 𝑧 = 𝑃)) → 𝑧 ∈ ℕ)
4039nnne0d 11267 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑧𝑃 ∧ ¬ 𝑧 = 𝑃)) → 𝑧 ≠ 0)
41 eluzelz 11898 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑃 ∈ (ℤ‘2) → 𝑃 ∈ ℤ)
4241ad2antrr 705 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑧𝑃 ∧ ¬ 𝑧 = 𝑃)) → 𝑃 ∈ ℤ)
43 dvdsval2 15192 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ≠ 0 ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → (𝑧𝑃 ↔ (𝑃 / 𝑧) ∈ ℤ))
4437, 40, 42, 43syl3anc 1476 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑧𝑃 ∧ ¬ 𝑧 = 𝑃)) → (𝑧𝑃 ↔ (𝑃 / 𝑧) ∈ ℤ))
4535, 44mpbid 222 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑧𝑃 ∧ ¬ 𝑧 = 𝑃)) → (𝑃 / 𝑧) ∈ ℤ)
46 eluzelre 11899 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑧 ∈ (ℤ‘2) → 𝑧 ∈ ℝ)
4746ad2antlr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑧𝑃 ∧ ¬ 𝑧 = 𝑃)) → 𝑧 ∈ ℝ)
4847recnd 10270 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑧𝑃 ∧ ¬ 𝑧 = 𝑃)) → 𝑧 ∈ ℂ)
4948mulid2d 10260 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑧𝑃 ∧ ¬ 𝑧 = 𝑃)) → (1 · 𝑧) = 𝑧)
507ad2antrr 705 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑧𝑃 ∧ ¬ 𝑧 = 𝑃)) → 𝑃 ∈ ℕ)
51 dvdsle 15241 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℕ) → (𝑧𝑃𝑧𝑃))
5251imp 393 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℕ) ∧ 𝑧𝑃) → 𝑧𝑃)
5337, 50, 35, 52syl21anc 1475 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑧𝑃 ∧ ¬ 𝑧 = 𝑃)) → 𝑧𝑃)
54 simprr 756 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑧𝑃 ∧ ¬ 𝑧 = 𝑃)) → ¬ 𝑧 = 𝑃)
5554neqned 2950 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑧𝑃 ∧ ¬ 𝑧 = 𝑃)) → 𝑧𝑃)
5655necomd 2998 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑧𝑃 ∧ ¬ 𝑧 = 𝑃)) → 𝑃𝑧)
576ad2antrr 705 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑧𝑃 ∧ ¬ 𝑧 = 𝑃)) → 𝑃 ∈ ℝ)
5847, 57ltlend 10384 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑧𝑃 ∧ ¬ 𝑧 = 𝑃)) → (𝑧 < 𝑃 ↔ (𝑧𝑃𝑃𝑧)))
5953, 56, 58mpbir2and 692 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑧𝑃 ∧ ¬ 𝑧 = 𝑃)) → 𝑧 < 𝑃)
6049, 59eqbrtrd 4808 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑧𝑃 ∧ ¬ 𝑧 = 𝑃)) → (1 · 𝑧) < 𝑃)
61 1red 10257 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑧𝑃 ∧ ¬ 𝑧 = 𝑃)) → 1 ∈ ℝ)
6242zred 11684 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑧𝑃 ∧ ¬ 𝑧 = 𝑃)) → 𝑃 ∈ ℝ)
63 nnre 11229 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑧 ∈ ℕ → 𝑧 ∈ ℝ)
64 nngt0 11251 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑧 ∈ ℕ → 0 < 𝑧)
6563, 64jca 501 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑧 ∈ ℕ → (𝑧 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑧))
6639, 65syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑧𝑃 ∧ ¬ 𝑧 = 𝑃)) → (𝑧 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑧))
67 ltmuldiv 11098 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑧)) → ((1 · 𝑧) < 𝑃 ↔ 1 < (𝑃 / 𝑧)))
6861, 62, 66, 67syl3anc 1476 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑧𝑃 ∧ ¬ 𝑧 = 𝑃)) → ((1 · 𝑧) < 𝑃 ↔ 1 < (𝑃 / 𝑧)))
6960, 68mpbid 222 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑧𝑃 ∧ ¬ 𝑧 = 𝑃)) → 1 < (𝑃 / 𝑧))
70 eluz2b1 11962 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑃 / 𝑧) ∈ (ℤ‘2) ↔ ((𝑃 / 𝑧) ∈ ℤ ∧ 1 < (𝑃 / 𝑧)))
7145, 69, 70sylanbrc 572 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑧𝑃 ∧ ¬ 𝑧 = 𝑃)) → (𝑃 / 𝑧) ∈ (ℤ‘2))
7247, 47remulcld 10272 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑧𝑃 ∧ ¬ 𝑧 = 𝑃)) → (𝑧 · 𝑧) ∈ ℝ)
7339, 39nnmulcld 11270 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑧𝑃 ∧ ¬ 𝑧 = 𝑃)) → (𝑧 · 𝑧) ∈ ℕ)
74 nnrp 12045 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑃 ∈ ℕ → 𝑃 ∈ ℝ+)
75 nnrp 12045 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑧 · 𝑧) ∈ ℕ → (𝑧 · 𝑧) ∈ ℝ+)
76 rpdivcl 12059 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑃 ∈ ℝ+ ∧ (𝑧 · 𝑧) ∈ ℝ+) → (𝑃 / (𝑧 · 𝑧)) ∈ ℝ+)
7774, 75, 76syl2an 583 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑃 ∈ ℕ ∧ (𝑧 · 𝑧) ∈ ℕ) → (𝑃 / (𝑧 · 𝑧)) ∈ ℝ+)
7850, 73, 77syl2anc 573 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑧𝑃 ∧ ¬ 𝑧 = 𝑃)) → (𝑃 / (𝑧 · 𝑧)) ∈ ℝ+)
7957, 72, 78lemul1d 12118 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑧𝑃 ∧ ¬ 𝑧 = 𝑃)) → (𝑃 ≤ (𝑧 · 𝑧) ↔ (𝑃 · (𝑃 / (𝑧 · 𝑧))) ≤ ((𝑧 · 𝑧) · (𝑃 / (𝑧 · 𝑧)))))
8057recnd 10270 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑧𝑃 ∧ ¬ 𝑧 = 𝑃)) → 𝑃 ∈ ℂ)
8180, 48, 80, 48, 40, 40divmuldivd 11044 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑧𝑃 ∧ ¬ 𝑧 = 𝑃)) → ((𝑃 / 𝑧) · (𝑃 / 𝑧)) = ((𝑃 · 𝑃) / (𝑧 · 𝑧)))
8273nncnd 11238 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑧𝑃 ∧ ¬ 𝑧 = 𝑃)) → (𝑧 · 𝑧) ∈ ℂ)
8373nnne0d 11267 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑧𝑃 ∧ ¬ 𝑧 = 𝑃)) → (𝑧 · 𝑧) ≠ 0)
8480, 80, 82, 83divassd 11038 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑧𝑃 ∧ ¬ 𝑧 = 𝑃)) → ((𝑃 · 𝑃) / (𝑧 · 𝑧)) = (𝑃 · (𝑃 / (𝑧 · 𝑧))))
8581, 84eqtrd 2805 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑧𝑃 ∧ ¬ 𝑧 = 𝑃)) → ((𝑃 / 𝑧) · (𝑃 / 𝑧)) = (𝑃 · (𝑃 / (𝑧 · 𝑧))))
8680, 82, 83divcan2d 11005 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑧𝑃 ∧ ¬ 𝑧 = 𝑃)) → ((𝑧 · 𝑧) · (𝑃 / (𝑧 · 𝑧))) = 𝑃)
8786eqcomd 2777 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑧𝑃 ∧ ¬ 𝑧 = 𝑃)) → 𝑃 = ((𝑧 · 𝑧) · (𝑃 / (𝑧 · 𝑧))))
8885, 87breq12d 4799 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑧𝑃 ∧ ¬ 𝑧 = 𝑃)) → (((𝑃 / 𝑧) · (𝑃 / 𝑧)) ≤ 𝑃 ↔ (𝑃 · (𝑃 / (𝑧 · 𝑧))) ≤ ((𝑧 · 𝑧) · (𝑃 / (𝑧 · 𝑧)))))
8979, 88bitr4d 271 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑧𝑃 ∧ ¬ 𝑧 = 𝑃)) → (𝑃 ≤ (𝑧 · 𝑧) ↔ ((𝑃 / 𝑧) · (𝑃 / 𝑧)) ≤ 𝑃))
9089biimpd 219 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑧𝑃 ∧ ¬ 𝑧 = 𝑃)) → (𝑃 ≤ (𝑧 · 𝑧) → ((𝑃 / 𝑧) · (𝑃 / 𝑧)) ≤ 𝑃))
9180, 48, 40divcan2d 11005 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑧𝑃 ∧ ¬ 𝑧 = 𝑃)) → (𝑧 · (𝑃 / 𝑧)) = 𝑃)
92 dvds0lem 15201 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑧 ∈ ℤ ∧ (𝑃 / 𝑧) ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) ∧ (𝑧 · (𝑃 / 𝑧)) = 𝑃) → (𝑃 / 𝑧) ∥ 𝑃)
9337, 45, 42, 91, 92syl31anc 1479 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑧𝑃 ∧ ¬ 𝑧 = 𝑃)) → (𝑃 / 𝑧) ∥ 𝑃)
9490, 93jctird 516 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑧𝑃 ∧ ¬ 𝑧 = 𝑃)) → (𝑃 ≤ (𝑧 · 𝑧) → (((𝑃 / 𝑧) · (𝑃 / 𝑧)) ≤ 𝑃 ∧ (𝑃 / 𝑧) ∥ 𝑃)))
95 oveq12 6802 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥 = (𝑃 / 𝑧) ∧ 𝑥 = (𝑃 / 𝑧)) → (𝑥 · 𝑥) = ((𝑃 / 𝑧) · (𝑃 / 𝑧)))
9695anidms 556 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = (𝑃 / 𝑧) → (𝑥 · 𝑥) = ((𝑃 / 𝑧) · (𝑃 / 𝑧)))
9796breq1d 4796 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = (𝑃 / 𝑧) → ((𝑥 · 𝑥) ≤ 𝑃 ↔ ((𝑃 / 𝑧) · (𝑃 / 𝑧)) ≤ 𝑃))
98 breq1 4789 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = (𝑃 / 𝑧) → (𝑥𝑃 ↔ (𝑃 / 𝑧) ∥ 𝑃))
9997, 98anbi12d 616 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = (𝑃 / 𝑧) → (((𝑥 · 𝑥) ≤ 𝑃𝑥𝑃) ↔ (((𝑃 / 𝑧) · (𝑃 / 𝑧)) ≤ 𝑃 ∧ (𝑃 / 𝑧) ∥ 𝑃)))
10099rspcev 3460 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑃 / 𝑧) ∈ (ℤ‘2) ∧ (((𝑃 / 𝑧) · (𝑃 / 𝑧)) ≤ 𝑃 ∧ (𝑃 / 𝑧) ∥ 𝑃)) → ∃𝑥 ∈ (ℤ‘2)((𝑥 · 𝑥) ≤ 𝑃𝑥𝑃))
10171, 94, 100syl6an 663 . . . . . . . . . . 11 (((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑧𝑃 ∧ ¬ 𝑧 = 𝑃)) → (𝑃 ≤ (𝑧 · 𝑧) → ∃𝑥 ∈ (ℤ‘2)((𝑥 · 𝑥) ≤ 𝑃𝑥𝑃)))
10272, 57letrid 10391 . . . . . . . . . . 11 (((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑧𝑃 ∧ ¬ 𝑧 = 𝑃)) → ((𝑧 · 𝑧) ≤ 𝑃𝑃 ≤ (𝑧 · 𝑧)))
10334, 101, 102mpjaod 849 . . . . . . . . . 10 (((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑧𝑃 ∧ ¬ 𝑧 = 𝑃)) → ∃𝑥 ∈ (ℤ‘2)((𝑥 · 𝑥) ≤ 𝑃𝑥𝑃))
104103ex 397 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) → ((𝑧𝑃 ∧ ¬ 𝑧 = 𝑃) → ∃𝑥 ∈ (ℤ‘2)((𝑥 · 𝑥) ≤ 𝑃𝑥𝑃)))
10525, 104syl5bir 233 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) → (¬ (𝑧𝑃𝑧 = 𝑃) → ∃𝑥 ∈ (ℤ‘2)((𝑥 · 𝑥) ≤ 𝑃𝑥𝑃)))
106105rexlimdva 3179 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ (ℤ‘2) → (∃𝑧 ∈ (ℤ‘2) ¬ (𝑧𝑃𝑧 = 𝑃) → ∃𝑥 ∈ (ℤ‘2)((𝑥 · 𝑥) ≤ 𝑃𝑥𝑃)))
107 prmz 15596 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 ∈ ℙ → 𝑧 ∈ ℤ)
108107ad2antrl 707 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ‘2)) ∧ ((𝑥 · 𝑥) ≤ 𝑃𝑥𝑃)) ∧ (𝑧 ∈ ℙ ∧ 𝑧𝑥)) → 𝑧 ∈ ℤ)
109108zred 11684 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ‘2)) ∧ ((𝑥 · 𝑥) ≤ 𝑃𝑥𝑃)) ∧ (𝑧 ∈ ℙ ∧ 𝑧𝑥)) → 𝑧 ∈ ℝ)
110109, 109remulcld 10272 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ‘2)) ∧ ((𝑥 · 𝑥) ≤ 𝑃𝑥𝑃)) ∧ (𝑧 ∈ ℙ ∧ 𝑧𝑥)) → (𝑧 · 𝑧) ∈ ℝ)
111 eluzelz 11898 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ (ℤ‘2) → 𝑥 ∈ ℤ)
112111ad3antlr 710 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ‘2)) ∧ ((𝑥 · 𝑥) ≤ 𝑃𝑥𝑃)) ∧ (𝑧 ∈ ℙ ∧ 𝑧𝑥)) → 𝑥 ∈ ℤ)
113112zred 11684 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ‘2)) ∧ ((𝑥 · 𝑥) ≤ 𝑃𝑥𝑃)) ∧ (𝑧 ∈ ℙ ∧ 𝑧𝑥)) → 𝑥 ∈ ℝ)
114113, 113remulcld 10272 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ‘2)) ∧ ((𝑥 · 𝑥) ≤ 𝑃𝑥𝑃)) ∧ (𝑧 ∈ ℙ ∧ 𝑧𝑥)) → (𝑥 · 𝑥) ∈ ℝ)
11541ad3antrrr 709 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ‘2)) ∧ ((𝑥 · 𝑥) ≤ 𝑃𝑥𝑃)) ∧ (𝑧 ∈ ℙ ∧ 𝑧𝑥)) → 𝑃 ∈ ℤ)
116115zred 11684 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ‘2)) ∧ ((𝑥 · 𝑥) ≤ 𝑃𝑥𝑃)) ∧ (𝑧 ∈ ℙ ∧ 𝑧𝑥)) → 𝑃 ∈ ℝ)
117 eluz2nn 11928 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ (ℤ‘2) → 𝑥 ∈ ℕ)
118117ad3antlr 710 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ‘2)) ∧ ((𝑥 · 𝑥) ≤ 𝑃𝑥𝑃)) ∧ (𝑧 ∈ ℙ ∧ 𝑧𝑥)) → 𝑥 ∈ ℕ)
119 simprr 756 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ‘2)) ∧ ((𝑥 · 𝑥) ≤ 𝑃𝑥𝑃)) ∧ (𝑧 ∈ ℙ ∧ 𝑧𝑥)) → 𝑧𝑥)
120 dvdsle 15241 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → (𝑧𝑥𝑧𝑥))
121120imp 393 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℕ) ∧ 𝑧𝑥) → 𝑧𝑥)
122108, 118, 119, 121syl21anc 1475 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ‘2)) ∧ ((𝑥 · 𝑥) ≤ 𝑃𝑥𝑃)) ∧ (𝑧 ∈ ℙ ∧ 𝑧𝑥)) → 𝑧𝑥)
123 eluzge2nn0 11929 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑧 ∈ (ℤ‘2) → 𝑧 ∈ ℕ0)
124123nn0ge0d 11556 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑧 ∈ (ℤ‘2) → 0 ≤ 𝑧)
1252, 124syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 ∈ ℙ → 0 ≤ 𝑧)
126125ad2antrl 707 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ‘2)) ∧ ((𝑥 · 𝑥) ≤ 𝑃𝑥𝑃)) ∧ (𝑧 ∈ ℙ ∧ 𝑧𝑥)) → 0 ≤ 𝑧)
127 nnnn0 11501 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ ℕ → 𝑥 ∈ ℕ0)
128127nn0ge0d 11556 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ ℕ → 0 ≤ 𝑥)
129118, 128syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ‘2)) ∧ ((𝑥 · 𝑥) ≤ 𝑃𝑥𝑃)) ∧ (𝑧 ∈ ℙ ∧ 𝑧𝑥)) → 0 ≤ 𝑥)
130 le2msq 11125 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑧 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑧) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥)) → (𝑧𝑥 ↔ (𝑧 · 𝑧) ≤ (𝑥 · 𝑥)))
131109, 126, 113, 129, 130syl22anc 1477 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ‘2)) ∧ ((𝑥 · 𝑥) ≤ 𝑃𝑥𝑃)) ∧ (𝑧 ∈ ℙ ∧ 𝑧𝑥)) → (𝑧𝑥 ↔ (𝑧 · 𝑧) ≤ (𝑥 · 𝑥)))
132122, 131mpbid 222 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ‘2)) ∧ ((𝑥 · 𝑥) ≤ 𝑃𝑥𝑃)) ∧ (𝑧 ∈ ℙ ∧ 𝑧𝑥)) → (𝑧 · 𝑧) ≤ (𝑥 · 𝑥))
133 simplrl 762 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ‘2)) ∧ ((𝑥 · 𝑥) ≤ 𝑃𝑥𝑃)) ∧ (𝑧 ∈ ℙ ∧ 𝑧𝑥)) → (𝑥 · 𝑥) ≤ 𝑃)
134110, 114, 116, 132, 133letrd 10396 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ‘2)) ∧ ((𝑥 · 𝑥) ≤ 𝑃𝑥𝑃)) ∧ (𝑧 ∈ ℙ ∧ 𝑧𝑥)) → (𝑧 · 𝑧) ≤ 𝑃)
135 simplrr 763 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ‘2)) ∧ ((𝑥 · 𝑥) ≤ 𝑃𝑥𝑃)) ∧ (𝑧 ∈ ℙ ∧ 𝑧𝑥)) → 𝑥𝑃)
136 dvdstr 15227 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → ((𝑧𝑥𝑥𝑃) → 𝑧𝑃))
137108, 112, 115, 136syl3anc 1476 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ‘2)) ∧ ((𝑥 · 𝑥) ≤ 𝑃𝑥𝑃)) ∧ (𝑧 ∈ ℙ ∧ 𝑧𝑥)) → ((𝑧𝑥𝑥𝑃) → 𝑧𝑃))
138119, 135, 137mp2and 679 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ‘2)) ∧ ((𝑥 · 𝑥) ≤ 𝑃𝑥𝑃)) ∧ (𝑧 ∈ ℙ ∧ 𝑧𝑥)) → 𝑧𝑃)
139134, 138jc 160 . . . . . . . . . 10 ((((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ‘2)) ∧ ((𝑥 · 𝑥) ≤ 𝑃𝑥𝑃)) ∧ (𝑧 ∈ ℙ ∧ 𝑧𝑥)) → ¬ ((𝑧 · 𝑧) ≤ 𝑃 → ¬ 𝑧𝑃))
140 exprmfct 15623 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (ℤ‘2) → ∃𝑧 ∈ ℙ 𝑧𝑥)
141140ad2antlr 706 . . . . . . . . . 10 (((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ‘2)) ∧ ((𝑥 · 𝑥) ≤ 𝑃𝑥𝑃)) → ∃𝑧 ∈ ℙ 𝑧𝑥)
142139, 141reximddv 3166 . . . . . . . . 9 (((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ‘2)) ∧ ((𝑥 · 𝑥) ≤ 𝑃𝑥𝑃)) → ∃𝑧 ∈ ℙ ¬ ((𝑧 · 𝑧) ≤ 𝑃 → ¬ 𝑧𝑃))
143142ex 397 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ‘2)) → (((𝑥 · 𝑥) ≤ 𝑃𝑥𝑃) → ∃𝑧 ∈ ℙ ¬ ((𝑧 · 𝑧) ≤ 𝑃 → ¬ 𝑧𝑃)))
144143rexlimdva 3179 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ (ℤ‘2) → (∃𝑥 ∈ (ℤ‘2)((𝑥 · 𝑥) ≤ 𝑃𝑥𝑃) → ∃𝑧 ∈ ℙ ¬ ((𝑧 · 𝑧) ≤ 𝑃 → ¬ 𝑧𝑃)))
145106, 144syld 47 . . . . . 6 (𝑃 ∈ (ℤ‘2) → (∃𝑧 ∈ (ℤ‘2) ¬ (𝑧𝑃𝑧 = 𝑃) → ∃𝑧 ∈ ℙ ¬ ((𝑧 · 𝑧) ≤ 𝑃 → ¬ 𝑧𝑃)))
146 rexnal 3143 . . . . . 6 (∃𝑧 ∈ (ℤ‘2) ¬ (𝑧𝑃𝑧 = 𝑃) ↔ ¬ ∀𝑧 ∈ (ℤ‘2)(𝑧𝑃𝑧 = 𝑃))
147 rexnal 3143 . . . . . 6 (∃𝑧 ∈ ℙ ¬ ((𝑧 · 𝑧) ≤ 𝑃 → ¬ 𝑧𝑃) ↔ ¬ ∀𝑧 ∈ ℙ ((𝑧 · 𝑧) ≤ 𝑃 → ¬ 𝑧𝑃))
148145, 146, 1473imtr3g 284 . . . . 5 (𝑃 ∈ (ℤ‘2) → (¬ ∀𝑧 ∈ (ℤ‘2)(𝑧𝑃𝑧 = 𝑃) → ¬ ∀𝑧 ∈ ℙ ((𝑧 · 𝑧) ≤ 𝑃 → ¬ 𝑧𝑃)))
14924, 148impcon4bid 217 . . . 4 (𝑃 ∈ (ℤ‘2) → (∀𝑧 ∈ (ℤ‘2)(𝑧𝑃𝑧 = 𝑃) ↔ ∀𝑧 ∈ ℙ ((𝑧 · 𝑧) ≤ 𝑃 → ¬ 𝑧𝑃)))
150 prmnn 15595 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ ℙ → 𝑧 ∈ ℕ)
151150nncnd 11238 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ ℙ → 𝑧 ∈ ℂ)
152151sqvald 13212 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ ℙ → (𝑧↑2) = (𝑧 · 𝑧))
153152breq1d 4796 . . . . . 6 (𝑧 ∈ ℙ → ((𝑧↑2) ≤ 𝑃 ↔ (𝑧 · 𝑧) ≤ 𝑃))
154153imbi1d 330 . . . . 5 (𝑧 ∈ ℙ → (((𝑧↑2) ≤ 𝑃 → ¬ 𝑧𝑃) ↔ ((𝑧 · 𝑧) ≤ 𝑃 → ¬ 𝑧𝑃)))
155154ralbiia 3128 . . . 4 (∀𝑧 ∈ ℙ ((𝑧↑2) ≤ 𝑃 → ¬ 𝑧𝑃) ↔ ∀𝑧 ∈ ℙ ((𝑧 · 𝑧) ≤ 𝑃 → ¬ 𝑧𝑃))
156149, 155syl6bbr 278 . . 3 (𝑃 ∈ (ℤ‘2) → (∀𝑧 ∈ (ℤ‘2)(𝑧𝑃𝑧 = 𝑃) ↔ ∀𝑧 ∈ ℙ ((𝑧↑2) ≤ 𝑃 → ¬ 𝑧𝑃)))
157156pm5.32i 564 . 2 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ ∀𝑧 ∈ (ℤ‘2)(𝑧𝑃𝑧 = 𝑃)) ↔ (𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ ∀𝑧 ∈ ℙ ((𝑧↑2) ≤ 𝑃 → ¬ 𝑧𝑃)))
1581, 157bitri 264 1 (𝑃 ∈ ℙ ↔ (𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ ∀𝑧 ∈ ℙ ((𝑧↑2) ≤ 𝑃 → ¬ 𝑧𝑃)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 382   = wceq 1631  wcel 2145  wne 2943  wral 3061  wrex 3062   class class class wbr 4786  cfv 6031  (class class class)co 6793  cr 10137  0cc0 10138  1c1 10139   · cmul 10143   < clt 10276  cle 10277   / cdiv 10886  cn 11222  2c2 11272  cz 11579  cuz 11888  +crp 12035  cexp 13067  cdvds 15189  cprime 15592
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215  ax-pre-sup 10216
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-1o 7713  df-2o 7714  df-er 7896  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-sup 8504  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-div 10887  df-nn 11223  df-2 11281  df-3 11282  df-n0 11495  df-z 11580  df-uz 11889  df-rp 12036  df-fz 12534  df-seq 13009  df-exp 13068  df-cj 14047  df-re 14048  df-im 14049  df-sqrt 14183  df-abs 14184  df-dvds 15190  df-prm 15593
This theorem is referenced by:  isprm7  15627  pockthg  15817  prmlem1a  16020
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