![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > dvdsmul1 | Structured version Visualization version GIF version |
Description: An integer divides a multiple of itself. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.) |
Ref | Expression |
---|---|
dvdsmul1 | โข ((๐ โ โค โง ๐ โ โค) โ ๐ โฅ (๐ ยท ๐)) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | zcn 12565 | . . 3 โข (๐ โ โค โ ๐ โ โ) | |
2 | zcn 12565 | . . 3 โข (๐ โ โค โ ๐ โ โ) | |
3 | mulcom 11198 | . . 3 โข ((๐ โ โ โง ๐ โ โ) โ (๐ ยท ๐) = (๐ ยท ๐)) | |
4 | 1, 2, 3 | syl2anr 597 | . 2 โข ((๐ โ โค โง ๐ โ โค) โ (๐ ยท ๐) = (๐ ยท ๐)) |
5 | zmulcl 12613 | . . 3 โข ((๐ โ โค โง ๐ โ โค) โ (๐ ยท ๐) โ โค) | |
6 | dvds0lem 16212 | . . . . 5 โข (((๐ โ โค โง ๐ โ โค โง (๐ ยท ๐) โ โค) โง (๐ ยท ๐) = (๐ ยท ๐)) โ ๐ โฅ (๐ ยท ๐)) | |
7 | 6 | ex 413 | . . . 4 โข ((๐ โ โค โง ๐ โ โค โง (๐ ยท ๐) โ โค) โ ((๐ ยท ๐) = (๐ ยท ๐) โ ๐ โฅ (๐ ยท ๐))) |
8 | 7 | 3com12 1123 | . . 3 โข ((๐ โ โค โง ๐ โ โค โง (๐ ยท ๐) โ โค) โ ((๐ ยท ๐) = (๐ ยท ๐) โ ๐ โฅ (๐ ยท ๐))) |
9 | 5, 8 | mpd3an3 1462 | . 2 โข ((๐ โ โค โง ๐ โ โค) โ ((๐ ยท ๐) = (๐ ยท ๐) โ ๐ โฅ (๐ ยท ๐))) |
10 | 4, 9 | mpd 15 | 1 โข ((๐ โ โค โง ๐ โ โค) โ ๐ โฅ (๐ ยท ๐)) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โง wa 396 โง w3a 1087 = wceq 1541 โ wcel 2106 class class class wbr 5148 (class class class)co 7411 โcc 11110 ยท cmul 11117 โคcz 12560 โฅ cdvds 16199 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1797 ax-4 1811 ax-5 1913 ax-6 1971 ax-7 2011 ax-8 2108 ax-9 2116 ax-10 2137 ax-11 2154 ax-12 2171 ax-ext 2703 ax-sep 5299 ax-nul 5306 ax-pow 5363 ax-pr 5427 ax-un 7727 ax-resscn 11169 ax-1cn 11170 ax-icn 11171 ax-addcl 11172 ax-addrcl 11173 ax-mulcl 11174 ax-mulrcl 11175 ax-mulcom 11176 ax-addass 11177 ax-mulass 11178 ax-distr 11179 ax-i2m1 11180 ax-1ne0 11181 ax-1rid 11182 ax-rnegex 11183 ax-rrecex 11184 ax-cnre 11185 ax-pre-lttri 11186 ax-pre-lttrn 11187 ax-pre-ltadd 11188 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 397 df-or 846 df-3or 1088 df-3an 1089 df-tru 1544 df-fal 1554 df-ex 1782 df-nf 1786 df-sb 2068 df-mo 2534 df-eu 2563 df-clab 2710 df-cleq 2724 df-clel 2810 df-nfc 2885 df-ne 2941 df-nel 3047 df-ral 3062 df-rex 3071 df-reu 3377 df-rab 3433 df-v 3476 df-sbc 3778 df-csb 3894 df-dif 3951 df-un 3953 df-in 3955 df-ss 3965 df-pss 3967 df-nul 4323 df-if 4529 df-pw 4604 df-sn 4629 df-pr 4631 df-op 4635 df-uni 4909 df-iun 4999 df-br 5149 df-opab 5211 df-mpt 5232 df-tr 5266 df-id 5574 df-eprel 5580 df-po 5588 df-so 5589 df-fr 5631 df-we 5633 df-xp 5682 df-rel 5683 df-cnv 5684 df-co 5685 df-dm 5686 df-rn 5687 df-res 5688 df-ima 5689 df-pred 6300 df-ord 6367 df-on 6368 df-lim 6369 df-suc 6370 df-iota 6495 df-fun 6545 df-fn 6546 df-f 6547 df-f1 6548 df-fo 6549 df-f1o 6550 df-fv 6551 df-riota 7367 df-ov 7414 df-oprab 7415 df-mpo 7416 df-om 7858 df-2nd 7978 df-frecs 8268 df-wrecs 8299 df-recs 8373 df-rdg 8412 df-er 8705 df-en 8942 df-dom 8943 df-sdom 8944 df-pnf 11252 df-mnf 11253 df-ltxr 11255 df-sub 11448 df-neg 11449 df-nn 12215 df-n0 12475 df-z 12561 df-dvds 16200 |
This theorem is referenced by: dvdsmultr1 16241 3dvdsdec 16277 3dvds2dec 16278 2teven 16300 opoe 16308 omoe 16309 z4even 16317 ndvdsi 16357 bits0e 16372 bits0o 16373 mulgcd 16492 dvdsmulgcd 16499 lcmcllem 16535 lcmgcdlem 16545 qredeq 16596 cncongr2 16607 nprm 16627 exprmfct 16643 prmdiv 16720 iserodd 16770 difsqpwdvds 16822 expnprm 16837 pockthlem 16840 prmreclem3 16853 4sqlem14 16893 odmulg2 19425 odbezout 19428 gexdvds 19454 sylow2alem2 19488 odadd1 19718 odadd2 19719 gexexlem 19722 prmirredlem 21048 znunit 21125 wilthlem2 26580 dvdsflf1o 26698 dvdsmulf1o 26705 ppiublem1 26712 perfectlem1 26739 bposlem3 26796 lgsdir 26842 lgsquadlem1 26890 lgsquad2lem1 26894 lgsquad2lem2 26895 2lgsoddprmlem2 26919 2lgsoddprmlem3 26924 2sqlem4 26931 2sqblem 26941 2sqmod 26946 dchrisumlem1 26999 ex-ind-dvds 29752 jm2.23 41817 jm2.27c 41828 inductionexd 42988 fouriersw 45026 etransclem24 45053 etransclem28 45057 2pwp1prm 46336 m2even 46401 perfectALTVlem1 46468 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |