![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > dvdsmul1 | Structured version Visualization version GIF version |
Description: An integer divides a multiple of itself. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.) |
Ref | Expression |
---|---|
dvdsmul1 | โข ((๐ โ โค โง ๐ โ โค) โ ๐ โฅ (๐ ยท ๐)) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | zcn 12568 | . . 3 โข (๐ โ โค โ ๐ โ โ) | |
2 | zcn 12568 | . . 3 โข (๐ โ โค โ ๐ โ โ) | |
3 | mulcom 11199 | . . 3 โข ((๐ โ โ โง ๐ โ โ) โ (๐ ยท ๐) = (๐ ยท ๐)) | |
4 | 1, 2, 3 | syl2anr 596 | . 2 โข ((๐ โ โค โง ๐ โ โค) โ (๐ ยท ๐) = (๐ ยท ๐)) |
5 | zmulcl 12616 | . . 3 โข ((๐ โ โค โง ๐ โ โค) โ (๐ ยท ๐) โ โค) | |
6 | dvds0lem 16215 | . . . . 5 โข (((๐ โ โค โง ๐ โ โค โง (๐ ยท ๐) โ โค) โง (๐ ยท ๐) = (๐ ยท ๐)) โ ๐ โฅ (๐ ยท ๐)) | |
7 | 6 | ex 412 | . . . 4 โข ((๐ โ โค โง ๐ โ โค โง (๐ ยท ๐) โ โค) โ ((๐ ยท ๐) = (๐ ยท ๐) โ ๐ โฅ (๐ ยท ๐))) |
8 | 7 | 3com12 1122 | . . 3 โข ((๐ โ โค โง ๐ โ โค โง (๐ ยท ๐) โ โค) โ ((๐ ยท ๐) = (๐ ยท ๐) โ ๐ โฅ (๐ ยท ๐))) |
9 | 5, 8 | mpd3an3 1461 | . 2 โข ((๐ โ โค โง ๐ โ โค) โ ((๐ ยท ๐) = (๐ ยท ๐) โ ๐ โฅ (๐ ยท ๐))) |
10 | 4, 9 | mpd 15 | 1 โข ((๐ โ โค โง ๐ โ โค) โ ๐ โฅ (๐ ยท ๐)) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โง wa 395 โง w3a 1086 = wceq 1540 โ wcel 2105 class class class wbr 5149 (class class class)co 7412 โcc 11111 ยท cmul 11118 โคcz 12563 โฅ cdvds 16202 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1796 ax-4 1810 ax-5 1912 ax-6 1970 ax-7 2010 ax-8 2107 ax-9 2115 ax-10 2136 ax-11 2153 ax-12 2170 ax-ext 2702 ax-sep 5300 ax-nul 5307 ax-pow 5364 ax-pr 5428 ax-un 7728 ax-resscn 11170 ax-1cn 11171 ax-icn 11172 ax-addcl 11173 ax-addrcl 11174 ax-mulcl 11175 ax-mulrcl 11176 ax-mulcom 11177 ax-addass 11178 ax-mulass 11179 ax-distr 11180 ax-i2m1 11181 ax-1ne0 11182 ax-1rid 11183 ax-rnegex 11184 ax-rrecex 11185 ax-cnre 11186 ax-pre-lttri 11187 ax-pre-lttrn 11188 ax-pre-ltadd 11189 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 396 df-or 845 df-3or 1087 df-3an 1088 df-tru 1543 df-fal 1553 df-ex 1781 df-nf 1785 df-sb 2067 df-mo 2533 df-eu 2562 df-clab 2709 df-cleq 2723 df-clel 2809 df-nfc 2884 df-ne 2940 df-nel 3046 df-ral 3061 df-rex 3070 df-reu 3376 df-rab 3432 df-v 3475 df-sbc 3779 df-csb 3895 df-dif 3952 df-un 3954 df-in 3956 df-ss 3966 df-pss 3968 df-nul 4324 df-if 4530 df-pw 4605 df-sn 4630 df-pr 4632 df-op 4636 df-uni 4910 df-iun 5000 df-br 5150 df-opab 5212 df-mpt 5233 df-tr 5267 df-id 5575 df-eprel 5581 df-po 5589 df-so 5590 df-fr 5632 df-we 5634 df-xp 5683 df-rel 5684 df-cnv 5685 df-co 5686 df-dm 5687 df-rn 5688 df-res 5689 df-ima 5690 df-pred 6301 df-ord 6368 df-on 6369 df-lim 6370 df-suc 6371 df-iota 6496 df-fun 6546 df-fn 6547 df-f 6548 df-f1 6549 df-fo 6550 df-f1o 6551 df-fv 6552 df-riota 7368 df-ov 7415 df-oprab 7416 df-mpo 7417 df-om 7859 df-2nd 7979 df-frecs 8269 df-wrecs 8300 df-recs 8374 df-rdg 8413 df-er 8706 df-en 8943 df-dom 8944 df-sdom 8945 df-pnf 11255 df-mnf 11256 df-ltxr 11258 df-sub 11451 df-neg 11452 df-nn 12218 df-n0 12478 df-z 12564 df-dvds 16203 |
This theorem is referenced by: dvdsmultr1 16244 3dvdsdec 16280 3dvds2dec 16281 2teven 16303 opoe 16311 omoe 16312 z4even 16320 ndvdsi 16360 bits0e 16375 bits0o 16376 mulgcd 16495 dvdsmulgcd 16502 lcmcllem 16538 lcmgcdlem 16548 qredeq 16599 cncongr2 16610 nprm 16630 exprmfct 16646 prmdiv 16723 iserodd 16773 difsqpwdvds 16825 expnprm 16840 pockthlem 16843 prmreclem3 16856 4sqlem14 16896 odmulg2 19465 odbezout 19468 gexdvds 19494 sylow2alem2 19528 odadd1 19758 odadd2 19759 gexexlem 19762 prmirredlem 21244 znunit 21339 wilthlem2 26806 dvdsflf1o 26924 dvdsmulf1o 26931 ppiublem1 26938 perfectlem1 26965 bposlem3 27022 lgsdir 27068 lgsquadlem1 27116 lgsquad2lem1 27120 lgsquad2lem2 27121 2lgsoddprmlem2 27145 2lgsoddprmlem3 27150 2sqlem4 27157 2sqblem 27167 2sqmod 27172 dchrisumlem1 27225 ex-ind-dvds 29978 jm2.23 42038 jm2.27c 42049 inductionexd 43209 fouriersw 45247 etransclem24 45274 etransclem28 45278 2pwp1prm 46557 m2even 46622 perfectALTVlem1 46689 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |