![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > dvdsmul1 | Structured version Visualization version GIF version |
Description: An integer divides a multiple of itself. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.) |
Ref | Expression |
---|---|
dvdsmul1 | โข ((๐ โ โค โง ๐ โ โค) โ ๐ โฅ (๐ ยท ๐)) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | zcn 12511 | . . 3 โข (๐ โ โค โ ๐ โ โ) | |
2 | zcn 12511 | . . 3 โข (๐ โ โค โ ๐ โ โ) | |
3 | mulcom 11144 | . . 3 โข ((๐ โ โ โง ๐ โ โ) โ (๐ ยท ๐) = (๐ ยท ๐)) | |
4 | 1, 2, 3 | syl2anr 598 | . 2 โข ((๐ โ โค โง ๐ โ โค) โ (๐ ยท ๐) = (๐ ยท ๐)) |
5 | zmulcl 12559 | . . 3 โข ((๐ โ โค โง ๐ โ โค) โ (๐ ยท ๐) โ โค) | |
6 | dvds0lem 16156 | . . . . 5 โข (((๐ โ โค โง ๐ โ โค โง (๐ ยท ๐) โ โค) โง (๐ ยท ๐) = (๐ ยท ๐)) โ ๐ โฅ (๐ ยท ๐)) | |
7 | 6 | ex 414 | . . . 4 โข ((๐ โ โค โง ๐ โ โค โง (๐ ยท ๐) โ โค) โ ((๐ ยท ๐) = (๐ ยท ๐) โ ๐ โฅ (๐ ยท ๐))) |
8 | 7 | 3com12 1124 | . . 3 โข ((๐ โ โค โง ๐ โ โค โง (๐ ยท ๐) โ โค) โ ((๐ ยท ๐) = (๐ ยท ๐) โ ๐ โฅ (๐ ยท ๐))) |
9 | 5, 8 | mpd3an3 1463 | . 2 โข ((๐ โ โค โง ๐ โ โค) โ ((๐ ยท ๐) = (๐ ยท ๐) โ ๐ โฅ (๐ ยท ๐))) |
10 | 4, 9 | mpd 15 | 1 โข ((๐ โ โค โง ๐ โ โค) โ ๐ โฅ (๐ ยท ๐)) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โง wa 397 โง w3a 1088 = wceq 1542 โ wcel 2107 class class class wbr 5110 (class class class)co 7362 โcc 11056 ยท cmul 11063 โคcz 12506 โฅ cdvds 16143 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1798 ax-4 1812 ax-5 1914 ax-6 1972 ax-7 2012 ax-8 2109 ax-9 2117 ax-10 2138 ax-11 2155 ax-12 2172 ax-ext 2708 ax-sep 5261 ax-nul 5268 ax-pow 5325 ax-pr 5389 ax-un 7677 ax-resscn 11115 ax-1cn 11116 ax-icn 11117 ax-addcl 11118 ax-addrcl 11119 ax-mulcl 11120 ax-mulrcl 11121 ax-mulcom 11122 ax-addass 11123 ax-mulass 11124 ax-distr 11125 ax-i2m1 11126 ax-1ne0 11127 ax-1rid 11128 ax-rnegex 11129 ax-rrecex 11130 ax-cnre 11131 ax-pre-lttri 11132 ax-pre-lttrn 11133 ax-pre-ltadd 11134 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 398 df-or 847 df-3or 1089 df-3an 1090 df-tru 1545 df-fal 1555 df-ex 1783 df-nf 1787 df-sb 2069 df-mo 2539 df-eu 2568 df-clab 2715 df-cleq 2729 df-clel 2815 df-nfc 2890 df-ne 2945 df-nel 3051 df-ral 3066 df-rex 3075 df-reu 3357 df-rab 3411 df-v 3450 df-sbc 3745 df-csb 3861 df-dif 3918 df-un 3920 df-in 3922 df-ss 3932 df-pss 3934 df-nul 4288 df-if 4492 df-pw 4567 df-sn 4592 df-pr 4594 df-op 4598 df-uni 4871 df-iun 4961 df-br 5111 df-opab 5173 df-mpt 5194 df-tr 5228 df-id 5536 df-eprel 5542 df-po 5550 df-so 5551 df-fr 5593 df-we 5595 df-xp 5644 df-rel 5645 df-cnv 5646 df-co 5647 df-dm 5648 df-rn 5649 df-res 5650 df-ima 5651 df-pred 6258 df-ord 6325 df-on 6326 df-lim 6327 df-suc 6328 df-iota 6453 df-fun 6503 df-fn 6504 df-f 6505 df-f1 6506 df-fo 6507 df-f1o 6508 df-fv 6509 df-riota 7318 df-ov 7365 df-oprab 7366 df-mpo 7367 df-om 7808 df-2nd 7927 df-frecs 8217 df-wrecs 8248 df-recs 8322 df-rdg 8361 df-er 8655 df-en 8891 df-dom 8892 df-sdom 8893 df-pnf 11198 df-mnf 11199 df-ltxr 11201 df-sub 11394 df-neg 11395 df-nn 12161 df-n0 12421 df-z 12507 df-dvds 16144 |
This theorem is referenced by: dvdsmultr1 16185 3dvdsdec 16221 3dvds2dec 16222 2teven 16244 opoe 16252 omoe 16253 z4even 16261 ndvdsi 16301 bits0e 16316 bits0o 16317 mulgcd 16436 dvdsmulgcd 16443 lcmcllem 16479 lcmgcdlem 16489 qredeq 16540 cncongr2 16551 nprm 16571 exprmfct 16587 prmdiv 16664 iserodd 16714 difsqpwdvds 16766 expnprm 16781 pockthlem 16784 prmreclem3 16797 4sqlem14 16837 odmulg2 19344 odbezout 19347 gexdvds 19373 sylow2alem2 19407 odadd1 19633 odadd2 19634 gexexlem 19637 prmirredlem 20909 znunit 20986 wilthlem2 26434 dvdsflf1o 26552 dvdsmulf1o 26559 ppiublem1 26566 perfectlem1 26593 bposlem3 26650 lgsdir 26696 lgsquadlem1 26744 lgsquad2lem1 26748 lgsquad2lem2 26749 2lgsoddprmlem2 26773 2lgsoddprmlem3 26778 2sqlem4 26785 2sqblem 26795 2sqmod 26800 dchrisumlem1 26853 ex-ind-dvds 29447 jm2.23 41349 jm2.27c 41360 inductionexd 42501 fouriersw 44546 etransclem24 44573 etransclem28 44577 2pwp1prm 45855 m2even 45920 perfectALTVlem1 45987 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |