Theorem dvdsmul1 16188

Description: An integer divides a multiple of itself. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)

Assertion

Ref	Expression
dvdsmul1	⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑀 ∥ (𝑀 · 𝑁))

Proof of Theorem dvdsmul1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zcn 12473	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
2		zcn 12473	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℂ)
3		mulcom 11092	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ) → (𝑁 · 𝑀) = (𝑀 · 𝑁))
4	1, 2, 3	syl2anr 597	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 · 𝑀) = (𝑀 · 𝑁))
5		zmulcl 12521	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 · 𝑁) ∈ ℤ)
6		dvds0lem 16177	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑀 · 𝑁) ∈ ℤ) ∧ (𝑁 · 𝑀) = (𝑀 · 𝑁)) → 𝑀 ∥ (𝑀 · 𝑁))
7	6	ex 412	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑀 · 𝑁) ∈ ℤ) → ((𝑁 · 𝑀) = (𝑀 · 𝑁) → 𝑀 ∥ (𝑀 · 𝑁)))
8	7	3com12 1123	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑀 · 𝑁) ∈ ℤ) → ((𝑁 · 𝑀) = (𝑀 · 𝑁) → 𝑀 ∥ (𝑀 · 𝑁)))
9	5, 8	mpd3an3 1464	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑁 · 𝑀) = (𝑀 · 𝑁) → 𝑀 ∥ (𝑀 · 𝑁)))
10	4, 9	mpd 15	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑀 ∥ (𝑀 · 𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   class class class wbr 5089  (class class class)co 7346  ℂcc 11004   · cmul 11011  ℤcz 12468   ∥ cdvds 16163

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-ltxr 11151  df-sub 11346  df-neg 11347  df-nn 12126  df-n0 12382  df-z 12469  df-dvds 16164

This theorem is referenced by:  dvdsmultr1  16207  3dvdsdec  16243  3dvds2dec  16244  2teven  16266  opoe  16274  omoe  16275  z4even  16283  ndvdsi  16323  bits0e  16340  bits0o  16341  mulgcd  16459  dvdsmulgcd  16467  lcmcllem  16507  lcmgcdlem  16517  qredeq  16568  cncongr2  16579  nprm  16599  exprmfct  16615  prmdiv  16696  iserodd  16747  difsqpwdvds  16799  expnprm  16814  pockthlem  16817  prmreclem3  16830  4sqlem14  16870  odmulg2  19467  odbezout  19470  gexdvds  19496  sylow2alem2  19530  odadd1  19760  odadd2  19761  gexexlem  19764  prmirredlem  21409  znunit  21500  wilthlem2  27006  dvdsflf1o  27124  mpodvdsmulf1o  27131  dvdsmulf1o  27133  ppiublem1  27140  perfectlem1  27167  bposlem3  27224  lgsdir  27270  lgsquadlem1  27318  lgsquad2lem1  27322  lgsquad2lem2  27323  2lgsoddprmlem2  27347  2lgsoddprmlem3  27352  2sqlem4  27359  2sqblem  27369  2sqmod  27374  dchrisumlem1  27427  ex-ind-dvds  30441  jm2.23  43088  jm2.27c  43099  inductionexd  44247  fouriersw  46328  etransclem24  46355  etransclem28  46359  2pwp1prm  47688  m2even  47753  perfectALTVlem1  47820