MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvdsmul1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvdsmul1 16167
Description: An integer divides a multiple of itself. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)
Assertion
Ref Expression
dvdsmul1 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐‘€ โˆฅ (๐‘€ ยท ๐‘))

Proof of Theorem dvdsmul1
StepHypRef Expression
1 zcn 12511 . . 3 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
2 zcn 12511 . . 3 (๐‘€ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„‚)
3 mulcom 11144 . . 3 ((๐‘ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐‘ ยท ๐‘€) = (๐‘€ ยท ๐‘))
41, 2, 3syl2anr 598 . 2 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ ยท ๐‘€) = (๐‘€ ยท ๐‘))
5 zmulcl 12559 . . 3 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘€ ยท ๐‘) โˆˆ โ„ค)
6 dvds0lem 16156 . . . . 5 (((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘€ ยท ๐‘) โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘ ยท ๐‘€) = (๐‘€ ยท ๐‘)) โ†’ ๐‘€ โˆฅ (๐‘€ ยท ๐‘))
76ex 414 . . . 4 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘€ ยท ๐‘) โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘ ยท ๐‘€) = (๐‘€ ยท ๐‘) โ†’ ๐‘€ โˆฅ (๐‘€ ยท ๐‘)))
873com12 1124 . . 3 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘€ ยท ๐‘) โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘ ยท ๐‘€) = (๐‘€ ยท ๐‘) โ†’ ๐‘€ โˆฅ (๐‘€ ยท ๐‘)))
95, 8mpd3an3 1463 . 2 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘ ยท ๐‘€) = (๐‘€ ยท ๐‘) โ†’ ๐‘€ โˆฅ (๐‘€ ยท ๐‘)))
104, 9mpd 15 1 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐‘€ โˆฅ (๐‘€ ยท ๐‘))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 397   โˆง w3a 1088   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   class class class wbr 5110  (class class class)co 7362  โ„‚cc 11056   ยท cmul 11063  โ„คcz 12506   โˆฅ cdvds 16143
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-ltxr 11201  df-sub 11394  df-neg 11395  df-nn 12161  df-n0 12421  df-z 12507  df-dvds 16144
This theorem is referenced by:  dvdsmultr1  16185  3dvdsdec  16221  3dvds2dec  16222  2teven  16244  opoe  16252  omoe  16253  z4even  16261  ndvdsi  16301  bits0e  16316  bits0o  16317  mulgcd  16436  dvdsmulgcd  16443  lcmcllem  16479  lcmgcdlem  16489  qredeq  16540  cncongr2  16551  nprm  16571  exprmfct  16587  prmdiv  16664  iserodd  16714  difsqpwdvds  16766  expnprm  16781  pockthlem  16784  prmreclem3  16797  4sqlem14  16837  odmulg2  19344  odbezout  19347  gexdvds  19373  sylow2alem2  19407  odadd1  19633  odadd2  19634  gexexlem  19637  prmirredlem  20909  znunit  20986  wilthlem2  26434  dvdsflf1o  26552  dvdsmulf1o  26559  ppiublem1  26566  perfectlem1  26593  bposlem3  26650  lgsdir  26696  lgsquadlem1  26744  lgsquad2lem1  26748  lgsquad2lem2  26749  2lgsoddprmlem2  26773  2lgsoddprmlem3  26778  2sqlem4  26785  2sqblem  26795  2sqmod  26800  dchrisumlem1  26853  ex-ind-dvds  29447  jm2.23  41349  jm2.27c  41360  inductionexd  42501  fouriersw  44546  etransclem24  44573  etransclem28  44577  2pwp1prm  45855  m2even  45920  perfectALTVlem1  45987
  Copyright terms: Public domain W3C validator