Theorem dvdsmul1 16312

Description: An integer divides a multiple of itself. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)

Assertion

Ref	Expression
dvdsmul1	⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑀 ∥ (𝑀 · 𝑁))

Proof of Theorem dvdsmul1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zcn 12616	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
2		zcn 12616	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℂ)
3		mulcom 11239	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ) → (𝑁 · 𝑀) = (𝑀 · 𝑁))
4	1, 2, 3	syl2anr 597	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 · 𝑀) = (𝑀 · 𝑁))
5		zmulcl 12664	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 · 𝑁) ∈ ℤ)
6		dvds0lem 16301	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑀 · 𝑁) ∈ ℤ) ∧ (𝑁 · 𝑀) = (𝑀 · 𝑁)) → 𝑀 ∥ (𝑀 · 𝑁))
7	6	ex 412	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑀 · 𝑁) ∈ ℤ) → ((𝑁 · 𝑀) = (𝑀 · 𝑁) → 𝑀 ∥ (𝑀 · 𝑁)))
8	7	3com12 1122	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑀 · 𝑁) ∈ ℤ) → ((𝑁 · 𝑀) = (𝑀 · 𝑁) → 𝑀 ∥ (𝑀 · 𝑁)))
9	5, 8	mpd3an3 1461	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑁 · 𝑀) = (𝑀 · 𝑁) → 𝑀 ∥ (𝑀 · 𝑁)))
10	4, 9	mpd 15	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑀 ∥ (𝑀 · 𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1537   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5148  (class class class)co 7431  ℂcc 11151   · cmul 11158  ℤcz 12611   ∥ cdvds 16287

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-ltxr 11298  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-n0 12525  df-z 12612  df-dvds 16288

This theorem is referenced by:  dvdsmultr1  16330  3dvdsdec  16366  3dvds2dec  16367  2teven  16389  opoe  16397  omoe  16398  z4even  16406  ndvdsi  16446  bits0e  16463  bits0o  16464  mulgcd  16582  dvdsmulgcd  16590  lcmcllem  16630  lcmgcdlem  16640  qredeq  16691  cncongr2  16702  nprm  16722  exprmfct  16738  prmdiv  16819  iserodd  16869  difsqpwdvds  16921  expnprm  16936  pockthlem  16939  prmreclem3  16952  4sqlem14  16992  odmulg2  19588  odbezout  19591  gexdvds  19617  sylow2alem2  19651  odadd1  19881  odadd2  19882  gexexlem  19885  prmirredlem  21501  znunit  21600  wilthlem2  27127  dvdsflf1o  27245  mpodvdsmulf1o  27252  dvdsmulf1o  27254  ppiublem1  27261  perfectlem1  27288  bposlem3  27345  lgsdir  27391  lgsquadlem1  27439  lgsquad2lem1  27443  lgsquad2lem2  27444  2lgsoddprmlem2  27468  2lgsoddprmlem3  27473  2sqlem4  27480  2sqblem  27490  2sqmod  27495  dchrisumlem1  27548  ex-ind-dvds  30490  jm2.23  42985  jm2.27c  42996  inductionexd  44145  fouriersw  46187  etransclem24  46214  etransclem28  46218  2pwp1prm  47514  m2even  47579  perfectALTVlem1  47646