Theorem dvdsmul1 16297

Description: An integer divides a multiple of itself. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)

Assertion

Ref	Expression
dvdsmul1	⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑀 ∥ (𝑀 · 𝑁))

Proof of Theorem dvdsmul1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zcn 12593	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
2		zcn 12593	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℂ)
3		mulcom 11215	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ) → (𝑁 · 𝑀) = (𝑀 · 𝑁))
4	1, 2, 3	syl2anr 597	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 · 𝑀) = (𝑀 · 𝑁))
5		zmulcl 12641	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 · 𝑁) ∈ ℤ)
6		dvds0lem 16286	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑀 · 𝑁) ∈ ℤ) ∧ (𝑁 · 𝑀) = (𝑀 · 𝑁)) → 𝑀 ∥ (𝑀 · 𝑁))
7	6	ex 412	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑀 · 𝑁) ∈ ℤ) → ((𝑁 · 𝑀) = (𝑀 · 𝑁) → 𝑀 ∥ (𝑀 · 𝑁)))
8	7	3com12 1123	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑀 · 𝑁) ∈ ℤ) → ((𝑁 · 𝑀) = (𝑀 · 𝑁) → 𝑀 ∥ (𝑀 · 𝑁)))
9	5, 8	mpd3an3 1464	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑁 · 𝑀) = (𝑀 · 𝑁) → 𝑀 ∥ (𝑀 · 𝑁)))
10	4, 9	mpd 15	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑀 ∥ (𝑀 · 𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5119  (class class class)co 7405  ℂcc 11127   · cmul 11134  ℤcz 12588   ∥ cdvds 16272

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7862  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8719  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-ltxr 11274  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12241  df-n0 12502  df-z 12589  df-dvds 16273

This theorem is referenced by:  dvdsmultr1  16315  3dvdsdec  16351  3dvds2dec  16352  2teven  16374  opoe  16382  omoe  16383  z4even  16391  ndvdsi  16431  bits0e  16448  bits0o  16449  mulgcd  16567  dvdsmulgcd  16575  lcmcllem  16615  lcmgcdlem  16625  qredeq  16676  cncongr2  16687  nprm  16707  exprmfct  16723  prmdiv  16804  iserodd  16855  difsqpwdvds  16907  expnprm  16922  pockthlem  16925  prmreclem3  16938  4sqlem14  16978  odmulg2  19536  odbezout  19539  gexdvds  19565  sylow2alem2  19599  odadd1  19829  odadd2  19830  gexexlem  19833  prmirredlem  21433  znunit  21524  wilthlem2  27031  dvdsflf1o  27149  mpodvdsmulf1o  27156  dvdsmulf1o  27158  ppiublem1  27165  perfectlem1  27192  bposlem3  27249  lgsdir  27295  lgsquadlem1  27343  lgsquad2lem1  27347  lgsquad2lem2  27348  2lgsoddprmlem2  27372  2lgsoddprmlem3  27377  2sqlem4  27384  2sqblem  27394  2sqmod  27399  dchrisumlem1  27452  ex-ind-dvds  30442  jm2.23  43020  jm2.27c  43031  inductionexd  44179  fouriersw  46260  etransclem24  46287  etransclem28  46291  2pwp1prm  47603  m2even  47668  perfectALTVlem1  47735