Theorem dvds0 16320

Description: Any integer divides 0. Theorem 1.1(g) in [ApostolNT] p. 14. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)

Assertion

Ref	Expression
dvds0	⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∥ 0)

Proof of Theorem dvds0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zcn 12644	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
2	1	mul02d 11488	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (0 · 𝑁) = 0)
3		0z 12650	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℤ
4		dvds0lem 16315	. . . 4 ⊢ (((0 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) ∧ (0 · 𝑁) = 0) → 𝑁 ∥ 0)
5	4	ex 412	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → ((0 · 𝑁) = 0 → 𝑁 ∥ 0))
6	3, 3, 5	mp3an13 1452	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((0 · 𝑁) = 0 → 𝑁 ∥ 0))
7	2, 6	mpd 15	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∥ 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1087   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5166  (class class class)co 7448  0cc0 11184   · cmul 11189  ℤcz 12639   ∥ cdvds 16302

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-po 5607  df-so 5608  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-ov 7451  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-ltxr 11329  df-neg 11523  df-z 12640  df-dvds 16303

This theorem is referenced by:  0dvds  16325  fsumdvds  16356  alzdvds  16368  fzo0dvdseq  16371  z0even  16415  sadadd3  16507  gcddvds  16549  gcd0id  16565  bezoutlem4  16589  dfgcd2  16593  dvdssq  16614  dvdslcm  16645  lcmdvds  16655  dvdslcmf  16678  mulgcddvds  16702  odzdvds  16842  pcdvdsb  16916  pcz  16928  sylow2blem3  19664  odadd1  19890  odadd2  19891  cyggex2  19939  lgsne0  27397  lgsqr  27413  nn0prpw  36289  poimirlem25  37605  poimirlem26  37606  poimirlem27  37607  poimirlem28  37608  aks6d1c5lem1  42093  0dvds0  42314  dvdsexpnn0  42321  congid  42928  jm2.18  42945  jm2.19  42950  jm2.22  42952  jm2.23  42953  etransclem24  46179  etransclem25  46180  etransclem28  46183