Theorem dvds0 16202

Description: Any integer divides 0. Theorem 1.1(g) in [ApostolNT] p. 14. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)

Assertion

Ref	Expression
dvds0	⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∥ 0)

Proof of Theorem dvds0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zcn 12497	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
2	1	mul02d 11335	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (0 · 𝑁) = 0)
3		0z 12503	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℤ
4		dvds0lem 16197	. . . 4 ⊢ (((0 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) ∧ (0 · 𝑁) = 0) → 𝑁 ∥ 0)
5	4	ex 412	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → ((0 · 𝑁) = 0 → 𝑁 ∥ 0))
6	3, 3, 5	mp3an13 1455	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((0 · 𝑁) = 0 → 𝑁 ∥ 0))
7	2, 6	mpd 15	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∥ 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5099  (class class class)co 7360  0cc0 11030   · cmul 11035  ℤcz 12492   ∥ cdvds 16183

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7682  ax-resscn 11087  ax-1cn 11088  ax-icn 11089  ax-addcl 11090  ax-addrcl 11091  ax-mulcl 11092  ax-mulrcl 11093  ax-mulcom 11094  ax-addass 11095  ax-mulass 11096  ax-distr 11097  ax-i2m1 11098  ax-1ne0 11099  ax-1rid 11100  ax-rnegex 11101  ax-rrecex 11102  ax-cnre 11103  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105  ax-pre-ltadd 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-id 5520  df-po 5533  df-so 5534  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-ov 7363  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-ltxr 11175  df-neg 11371  df-z 12493  df-dvds 16184

This theorem is referenced by:  0dvds  16207  fsumdvds  16239  alzdvds  16251  fzo0dvdseq  16254  z0even  16298  sadadd3  16392  gcddvds  16434  gcd0id  16450  bezoutlem4  16473  dfgcd2  16477  dvdssq  16498  dvdslcm  16529  lcmdvds  16539  dvdslcmf  16562  mulgcddvds  16586  odzdvds  16727  pcdvdsb  16801  pcz  16813  sylow2blem3  19555  odadd1  19781  odadd2  19782  cyggex2  19830  lgsne0  27306  lgsqr  27322  nn0prpw  36498  poimirlem25  37817  poimirlem26  37818  poimirlem27  37819  poimirlem28  37820  aks6d1c5lem1  42427  0dvds0  42618  dvdsexpnn0  42625  congid  43249  jm2.18  43266  jm2.19  43271  jm2.22  43273  jm2.23  43274  etransclem24  46538  etransclem25  46539  etransclem28  46542