MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvds0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvds0 16161
Description: Any integer divides 0. Theorem 1.1(g) in [ApostolNT] p. 14. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)
Assertion
Ref Expression
dvds0 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘ โˆฅ 0)

Proof of Theorem dvds0
StepHypRef Expression
1 zcn 12511 . . 3 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
21mul02d 11360 . 2 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (0 ยท ๐‘) = 0)
3 0z 12517 . . 3 0 โˆˆ โ„ค
4 dvds0lem 16156 . . . 4 (((0 โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง 0 โˆˆ โ„ค) โˆง (0 ยท ๐‘) = 0) โ†’ ๐‘ โˆฅ 0)
54ex 414 . . 3 ((0 โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง 0 โˆˆ โ„ค) โ†’ ((0 ยท ๐‘) = 0 โ†’ ๐‘ โˆฅ 0))
63, 3, 5mp3an13 1453 . 2 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ ((0 ยท ๐‘) = 0 โ†’ ๐‘ โˆฅ 0))
72, 6mpd 15 1 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘ โˆฅ 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง w3a 1088   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   class class class wbr 5110  (class class class)co 7362  0cc0 11058   ยท cmul 11063  โ„คcz 12506   โˆฅ cdvds 16143
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-id 5536  df-po 5550  df-so 5551  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-ov 7365  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-ltxr 11201  df-neg 11395  df-z 12507  df-dvds 16144
This theorem is referenced by:  0dvds  16166  fsumdvds  16197  alzdvds  16209  fzo0dvdseq  16212  z0even  16256  sadadd3  16348  gcddvds  16390  gcd0id  16406  bezoutlem4  16430  dfgcd2  16434  dvdssq  16450  dvdslcm  16481  lcmdvds  16491  dvdslcmf  16514  mulgcddvds  16538  odzdvds  16674  pcdvdsb  16748  pcz  16760  sylow2blem3  19411  odadd1  19633  odadd2  19634  cyggex2  19681  lgsne0  26699  lgsqr  26715  nn0prpw  34824  poimirlem25  36132  poimirlem26  36133  poimirlem27  36134  poimirlem28  36135  0dvds0  40841  dvdsexpnn0  40856  congid  41324  jm2.18  41341  jm2.19  41346  jm2.22  41348  jm2.23  41349  etransclem24  44573  etransclem25  44574  etransclem28  44577
  Copyright terms: Public domain W3C validator