![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > dvds0 | Structured version Visualization version GIF version |
Description: Any integer divides 0. Theorem 1.1(g) in [ApostolNT] p. 14. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.) |
Ref | Expression |
---|---|
dvds0 | โข (๐ โ โค โ ๐ โฅ 0) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | zcn 12511 | . . 3 โข (๐ โ โค โ ๐ โ โ) | |
2 | 1 | mul02d 11360 | . 2 โข (๐ โ โค โ (0 ยท ๐) = 0) |
3 | 0z 12517 | . . 3 โข 0 โ โค | |
4 | dvds0lem 16156 | . . . 4 โข (((0 โ โค โง ๐ โ โค โง 0 โ โค) โง (0 ยท ๐) = 0) โ ๐ โฅ 0) | |
5 | 4 | ex 414 | . . 3 โข ((0 โ โค โง ๐ โ โค โง 0 โ โค) โ ((0 ยท ๐) = 0 โ ๐ โฅ 0)) |
6 | 3, 3, 5 | mp3an13 1453 | . 2 โข (๐ โ โค โ ((0 ยท ๐) = 0 โ ๐ โฅ 0)) |
7 | 2, 6 | mpd 15 | 1 โข (๐ โ โค โ ๐ โฅ 0) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โง w3a 1088 = wceq 1542 โ wcel 2107 class class class wbr 5110 (class class class)co 7362 0cc0 11058 ยท cmul 11063 โคcz 12506 โฅ cdvds 16143 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1798 ax-4 1812 ax-5 1914 ax-6 1972 ax-7 2012 ax-8 2109 ax-9 2117 ax-10 2138 ax-11 2155 ax-12 2172 ax-ext 2708 ax-sep 5261 ax-nul 5268 ax-pow 5325 ax-pr 5389 ax-un 7677 ax-resscn 11115 ax-1cn 11116 ax-icn 11117 ax-addcl 11118 ax-addrcl 11119 ax-mulcl 11120 ax-mulrcl 11121 ax-mulcom 11122 ax-addass 11123 ax-mulass 11124 ax-distr 11125 ax-i2m1 11126 ax-1ne0 11127 ax-1rid 11128 ax-rnegex 11129 ax-rrecex 11130 ax-cnre 11131 ax-pre-lttri 11132 ax-pre-lttrn 11133 ax-pre-ltadd 11134 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 398 df-or 847 df-3or 1089 df-3an 1090 df-tru 1545 df-fal 1555 df-ex 1783 df-nf 1787 df-sb 2069 df-mo 2539 df-eu 2568 df-clab 2715 df-cleq 2729 df-clel 2815 df-nfc 2890 df-ne 2945 df-nel 3051 df-ral 3066 df-rex 3075 df-rab 3411 df-v 3450 df-sbc 3745 df-csb 3861 df-dif 3918 df-un 3920 df-in 3922 df-ss 3932 df-nul 4288 df-if 4492 df-pw 4567 df-sn 4592 df-pr 4594 df-op 4598 df-uni 4871 df-br 5111 df-opab 5173 df-mpt 5194 df-id 5536 df-po 5550 df-so 5551 df-xp 5644 df-rel 5645 df-cnv 5646 df-co 5647 df-dm 5648 df-rn 5649 df-res 5650 df-ima 5651 df-iota 6453 df-fun 6503 df-fn 6504 df-f 6505 df-f1 6506 df-fo 6507 df-f1o 6508 df-fv 6509 df-ov 7365 df-er 8655 df-en 8891 df-dom 8892 df-sdom 8893 df-pnf 11198 df-mnf 11199 df-ltxr 11201 df-neg 11395 df-z 12507 df-dvds 16144 |
This theorem is referenced by: 0dvds 16166 fsumdvds 16197 alzdvds 16209 fzo0dvdseq 16212 z0even 16256 sadadd3 16348 gcddvds 16390 gcd0id 16406 bezoutlem4 16430 dfgcd2 16434 dvdssq 16450 dvdslcm 16481 lcmdvds 16491 dvdslcmf 16514 mulgcddvds 16538 odzdvds 16674 pcdvdsb 16748 pcz 16760 sylow2blem3 19411 odadd1 19633 odadd2 19634 cyggex2 19681 lgsne0 26699 lgsqr 26715 nn0prpw 34824 poimirlem25 36132 poimirlem26 36133 poimirlem27 36134 poimirlem28 36135 0dvds0 40841 dvdsexpnn0 40856 congid 41324 jm2.18 41341 jm2.19 41346 jm2.22 41348 jm2.23 41349 etransclem24 44573 etransclem25 44574 etransclem28 44577 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |