MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvds0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvds0 16114
Description: Any integer divides 0. Theorem 1.1(g) in [ApostolNT] p. 14. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)
Assertion
Ref Expression
dvds0 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∥ 0)

Proof of Theorem dvds0
StepHypRef Expression
1 zcn 12462 . . 3 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
21mul02d 11311 . 2 (𝑁 ∈ ℤ → (0 · 𝑁) = 0)
3 0z 12468 . . 3 0 ∈ ℤ
4 dvds0lem 16109 . . . 4 (((0 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) ∧ (0 · 𝑁) = 0) → 𝑁 ∥ 0)
54ex 413 . . 3 ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → ((0 · 𝑁) = 0 → 𝑁 ∥ 0))
63, 3, 5mp3an13 1452 . 2 (𝑁 ∈ ℤ → ((0 · 𝑁) = 0 → 𝑁 ∥ 0))
72, 6mpd 15 1 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∥ 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106   class class class wbr 5103  (class class class)co 7351  0cc0 11009   · cmul 11014  cz 12457  cdvds 16096
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7664  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4864  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-id 5529  df-po 5543  df-so 5544  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-ov 7354  df-er 8606  df-en 8842  df-dom 8843  df-sdom 8844  df-pnf 11149  df-mnf 11150  df-ltxr 11152  df-neg 11346  df-z 12458  df-dvds 16097
This theorem is referenced by:  0dvds  16119  fsumdvds  16150  alzdvds  16162  fzo0dvdseq  16165  z0even  16209  sadadd3  16301  gcddvds  16343  gcd0id  16359  bezoutlem4  16383  dfgcd2  16387  dvdssq  16403  dvdslcm  16434  lcmdvds  16444  dvdslcmf  16467  mulgcddvds  16491  odzdvds  16627  pcdvdsb  16701  pcz  16713  sylow2blem3  19363  odadd1  19585  odadd2  19586  cyggex2  19633  lgsne0  26635  lgsqr  26651  nn0prpw  34733  poimirlem25  36041  poimirlem26  36042  poimirlem27  36043  poimirlem28  36044  0dvds0  40721  dvdsexpnn0  40736  congid  41204  jm2.18  41221  jm2.19  41226  jm2.22  41228  jm2.23  41229  etransclem24  44400  etransclem25  44401  etransclem28  44404
  Copyright terms: Public domain W3C validator