Theorem dvds0 15981

Description: Any integer divides 0. Theorem 1.1(g) in [ApostolNT] p. 14. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)

Assertion

Ref	Expression
dvds0	⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∥ 0)

Proof of Theorem dvds0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zcn 12324	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
2	1	mul02d 11173	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (0 · 𝑁) = 0)
3		0z 12330	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℤ
4		dvds0lem 15976	. . . 4 ⊢ (((0 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) ∧ (0 · 𝑁) = 0) → 𝑁 ∥ 0)
5	4	ex 413	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → ((0 · 𝑁) = 0 → 𝑁 ∥ 0))
6	3, 3, 5	mp3an13 1451	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((0 · 𝑁) = 0 → 𝑁 ∥ 0))
7	2, 6	mpd 15	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∥ 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5074  (class class class)co 7275  0cc0 10871   · cmul 10876  ℤcz 12319   ∥ cdvds 15963

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-id 5489  df-po 5503  df-so 5504  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-ov 7278  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-ltxr 11014  df-neg 11208  df-z 12320  df-dvds 15964

This theorem is referenced by:  0dvds  15986  fsumdvds  16017  alzdvds  16029  fzo0dvdseq  16032  z0even  16076  sadadd3  16168  gcddvds  16210  gcd0id  16226  bezoutlem4  16250  dfgcd2  16254  dvdssq  16272  dvdslcm  16303  lcmdvds  16313  dvdslcmf  16336  mulgcddvds  16360  odzdvds  16496  pcdvdsb  16570  pcz  16582  sylow2blem3  19227  odadd1  19449  odadd2  19450  cyggex2  19498  lgsne0  26483  lgsqr  26499  nn0prpw  34512  poimirlem25  35802  poimirlem26  35803  poimirlem27  35804  poimirlem28  35805  0dvds0  40326  dvdsexpnn0  40341  congid  40793  jm2.18  40810  jm2.19  40815  jm2.22  40817  jm2.23  40818  etransclem24  43799  etransclem25  43800  etransclem28  43803