MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvds0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvds0 16212
Description: Any integer divides 0. Theorem 1.1(g) in [ApostolNT] p. 14. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)
Assertion
Ref Expression
dvds0 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘ โˆฅ 0)

Proof of Theorem dvds0
StepHypRef Expression
1 zcn 12560 . . 3 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
21mul02d 11409 . 2 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (0 ยท ๐‘) = 0)
3 0z 12566 . . 3 0 โˆˆ โ„ค
4 dvds0lem 16207 . . . 4 (((0 โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง 0 โˆˆ โ„ค) โˆง (0 ยท ๐‘) = 0) โ†’ ๐‘ โˆฅ 0)
54ex 412 . . 3 ((0 โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง 0 โˆˆ โ„ค) โ†’ ((0 ยท ๐‘) = 0 โ†’ ๐‘ โˆฅ 0))
63, 3, 5mp3an13 1448 . 2 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ ((0 ยท ๐‘) = 0 โ†’ ๐‘ โˆฅ 0))
72, 6mpd 15 1 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘ โˆฅ 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง w3a 1084   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   class class class wbr 5138  (class class class)co 7401  0cc0 11106   ยท cmul 11111  โ„คcz 12555   โˆฅ cdvds 16194
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-id 5564  df-po 5578  df-so 5579  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-ov 7404  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-ltxr 11250  df-neg 11444  df-z 12556  df-dvds 16195
This theorem is referenced by:  0dvds  16217  fsumdvds  16248  alzdvds  16260  fzo0dvdseq  16263  z0even  16307  sadadd3  16399  gcddvds  16441  gcd0id  16457  bezoutlem4  16481  dfgcd2  16485  dvdssq  16501  dvdslcm  16532  lcmdvds  16542  dvdslcmf  16565  mulgcddvds  16589  odzdvds  16727  pcdvdsb  16801  pcz  16813  sylow2blem3  19532  odadd1  19758  odadd2  19759  cyggex2  19807  lgsne0  27184  lgsqr  27200  nn0prpw  35698  poimirlem25  37003  poimirlem26  37004  poimirlem27  37005  poimirlem28  37006  0dvds0  41706  dvdsexpnn0  41721  congid  42199  jm2.18  42216  jm2.19  42221  jm2.22  42223  jm2.23  42224  etransclem24  45459  etransclem25  45460  etransclem28  45463
  Copyright terms: Public domain W3C validator