Theorem dvds0 16470

Description: Any integer divides 0. Theorem 1.1(g) in [ApostolNT] p. 14. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)

Assertion

Ref	Expression
dvds0	⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∥ 0)

Proof of Theorem dvds0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zcn 12725	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
2	1	mul02d 11535	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (0 · 𝑁) = 0)
3		0z 12731	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℤ
4		dvds0lem 16465	. . . 4 ⊢ (((0 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) ∧ (0 · 𝑁) = 0) → 𝑁 ∥ 0)
5	4	ex 418	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → ((0 · 𝑁) = 0 → 𝑁 ∥ 0))
6	3, 3, 5	mp3an13 1482	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((0 · 𝑁) = 0 → 𝑁 ∥ 0))
7	2, 6	mpd 16	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∥ 0)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   class class class wbr 5106  (class class class)co 7443  0cc0 11227   · cmul 11232  ℤcz 12720   ∥ cdvds 16451

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775  ax-resscn 11284  ax-1cn 11285  ax-icn 11286  ax-addcl 11287  ax-addrcl 11288  ax-mulcl 11289  ax-mulrcl 11290  ax-mulcom 11291  ax-addass 11292  ax-mulass 11293  ax-distr 11294  ax-i2m1 11295  ax-1ne0 11296  ax-1rid 11297  ax-rnegex 11298  ax-rrecex 11299  ax-cnre 11300  ax-pre-lttri 11301  ax-pre-lttrn 11302  ax-pre-ltadd 11303

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-id 5550  df-po 5563  df-so 5564  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-ov 7446  df-er 8745  df-en 9002  df-dom 9003  df-sdom 9004  df-pnf 11372  df-mnf 11373  df-ltxr 11375  df-neg 11571  df-z 12721  df-dvds 16452

This theorem is used by:  0dvds  16475  fsumdvds  16507  alzdvds  16519  fzo0dvdseq  16522  z0even  16566  sadadd3  16660  gcddvds  16702  gcd0id  16720  bezoutlem4  16744  dfgcd2  16748  dvdssq  16771  dvdslcm  16802  lcmdvds  16812  dvdslcmf  16835  mulgcddvds  16859  odzdvds  17002  pcdvdsb  17076  pcz  17088  sylow2blem3  19866  odadd1  20092  odadd2  20093  cyggex2  20141  lgsne0  27692  lgsqr  27708  nn0prpw  37289  poimirlem25  38755  poimirlem26  38756  poimirlem27  38757  poimirlem28  38758  aks6d1c5lem1  43378  0dvds0  43577  dvdsexpnn0  43579  congid  44171  jm2.18  44188  jm2.19  44193  jm2.22  44195  jm2.23  44196  etransclem24  47473  etransclem25  47474  etransclem28  47477