![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > dvds0 | Structured version Visualization version GIF version |
Description: Any integer divides 0. Theorem 1.1(g) in [ApostolNT] p. 14. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.) |
Ref | Expression |
---|---|
dvds0 | โข (๐ โ โค โ ๐ โฅ 0) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | zcn 12585 | . . 3 โข (๐ โ โค โ ๐ โ โ) | |
2 | 1 | mul02d 11434 | . 2 โข (๐ โ โค โ (0 ยท ๐) = 0) |
3 | 0z 12591 | . . 3 โข 0 โ โค | |
4 | dvds0lem 16235 | . . . 4 โข (((0 โ โค โง ๐ โ โค โง 0 โ โค) โง (0 ยท ๐) = 0) โ ๐ โฅ 0) | |
5 | 4 | ex 412 | . . 3 โข ((0 โ โค โง ๐ โ โค โง 0 โ โค) โ ((0 ยท ๐) = 0 โ ๐ โฅ 0)) |
6 | 3, 3, 5 | mp3an13 1449 | . 2 โข (๐ โ โค โ ((0 ยท ๐) = 0 โ ๐ โฅ 0)) |
7 | 2, 6 | mpd 15 | 1 โข (๐ โ โค โ ๐ โฅ 0) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โง w3a 1085 = wceq 1534 โ wcel 2099 class class class wbr 5142 (class class class)co 7414 0cc0 11130 ยท cmul 11135 โคcz 12580 โฅ cdvds 16222 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1790 ax-4 1804 ax-5 1906 ax-6 1964 ax-7 2004 ax-8 2101 ax-9 2109 ax-10 2130 ax-11 2147 ax-12 2164 ax-ext 2698 ax-sep 5293 ax-nul 5300 ax-pow 5359 ax-pr 5423 ax-un 7734 ax-resscn 11187 ax-1cn 11188 ax-icn 11189 ax-addcl 11190 ax-addrcl 11191 ax-mulcl 11192 ax-mulrcl 11193 ax-mulcom 11194 ax-addass 11195 ax-mulass 11196 ax-distr 11197 ax-i2m1 11198 ax-1ne0 11199 ax-1rid 11200 ax-rnegex 11201 ax-rrecex 11202 ax-cnre 11203 ax-pre-lttri 11204 ax-pre-lttrn 11205 ax-pre-ltadd 11206 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 396 df-or 847 df-3or 1086 df-3an 1087 df-tru 1537 df-fal 1547 df-ex 1775 df-nf 1779 df-sb 2061 df-mo 2529 df-eu 2558 df-clab 2705 df-cleq 2719 df-clel 2805 df-nfc 2880 df-ne 2936 df-nel 3042 df-ral 3057 df-rex 3066 df-rab 3428 df-v 3471 df-sbc 3775 df-csb 3890 df-dif 3947 df-un 3949 df-in 3951 df-ss 3961 df-nul 4319 df-if 4525 df-pw 4600 df-sn 4625 df-pr 4627 df-op 4631 df-uni 4904 df-br 5143 df-opab 5205 df-mpt 5226 df-id 5570 df-po 5584 df-so 5585 df-xp 5678 df-rel 5679 df-cnv 5680 df-co 5681 df-dm 5682 df-rn 5683 df-res 5684 df-ima 5685 df-iota 6494 df-fun 6544 df-fn 6545 df-f 6546 df-f1 6547 df-fo 6548 df-f1o 6549 df-fv 6550 df-ov 7417 df-er 8718 df-en 8956 df-dom 8957 df-sdom 8958 df-pnf 11272 df-mnf 11273 df-ltxr 11275 df-neg 11469 df-z 12581 df-dvds 16223 |
This theorem is referenced by: 0dvds 16245 fsumdvds 16276 alzdvds 16288 fzo0dvdseq 16291 z0even 16335 sadadd3 16427 gcddvds 16469 gcd0id 16485 bezoutlem4 16509 dfgcd2 16513 dvdssq 16529 dvdslcm 16560 lcmdvds 16570 dvdslcmf 16593 mulgcddvds 16617 odzdvds 16755 pcdvdsb 16829 pcz 16841 sylow2blem3 19568 odadd1 19794 odadd2 19795 cyggex2 19843 lgsne0 27255 lgsqr 27271 nn0prpw 35743 poimirlem25 37053 poimirlem26 37054 poimirlem27 37055 poimirlem28 37056 aks6d1c5lem1 41539 0dvds0 41808 dvdsexpnn0 41823 congid 42314 jm2.18 42331 jm2.19 42336 jm2.22 42338 jm2.23 42339 etransclem24 45569 etransclem25 45570 etransclem28 45573 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |