![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > dvds0 | Structured version Visualization version GIF version |
Description: Any integer divides 0. Theorem 1.1(g) in [ApostolNT] p. 14. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.) |
Ref | Expression |
---|---|
dvds0 | โข (๐ โ โค โ ๐ โฅ 0) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | zcn 12563 | . . 3 โข (๐ โ โค โ ๐ โ โ) | |
2 | 1 | mul02d 11412 | . 2 โข (๐ โ โค โ (0 ยท ๐) = 0) |
3 | 0z 12569 | . . 3 โข 0 โ โค | |
4 | dvds0lem 16210 | . . . 4 โข (((0 โ โค โง ๐ โ โค โง 0 โ โค) โง (0 ยท ๐) = 0) โ ๐ โฅ 0) | |
5 | 4 | ex 414 | . . 3 โข ((0 โ โค โง ๐ โ โค โง 0 โ โค) โ ((0 ยท ๐) = 0 โ ๐ โฅ 0)) |
6 | 3, 3, 5 | mp3an13 1453 | . 2 โข (๐ โ โค โ ((0 ยท ๐) = 0 โ ๐ โฅ 0)) |
7 | 2, 6 | mpd 15 | 1 โข (๐ โ โค โ ๐ โฅ 0) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โง w3a 1088 = wceq 1542 โ wcel 2107 class class class wbr 5149 (class class class)co 7409 0cc0 11110 ยท cmul 11115 โคcz 12558 โฅ cdvds 16197 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1798 ax-4 1812 ax-5 1914 ax-6 1972 ax-7 2012 ax-8 2109 ax-9 2117 ax-10 2138 ax-11 2155 ax-12 2172 ax-ext 2704 ax-sep 5300 ax-nul 5307 ax-pow 5364 ax-pr 5428 ax-un 7725 ax-resscn 11167 ax-1cn 11168 ax-icn 11169 ax-addcl 11170 ax-addrcl 11171 ax-mulcl 11172 ax-mulrcl 11173 ax-mulcom 11174 ax-addass 11175 ax-mulass 11176 ax-distr 11177 ax-i2m1 11178 ax-1ne0 11179 ax-1rid 11180 ax-rnegex 11181 ax-rrecex 11182 ax-cnre 11183 ax-pre-lttri 11184 ax-pre-lttrn 11185 ax-pre-ltadd 11186 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 398 df-or 847 df-3or 1089 df-3an 1090 df-tru 1545 df-fal 1555 df-ex 1783 df-nf 1787 df-sb 2069 df-mo 2535 df-eu 2564 df-clab 2711 df-cleq 2725 df-clel 2811 df-nfc 2886 df-ne 2942 df-nel 3048 df-ral 3063 df-rex 3072 df-rab 3434 df-v 3477 df-sbc 3779 df-csb 3895 df-dif 3952 df-un 3954 df-in 3956 df-ss 3966 df-nul 4324 df-if 4530 df-pw 4605 df-sn 4630 df-pr 4632 df-op 4636 df-uni 4910 df-br 5150 df-opab 5212 df-mpt 5233 df-id 5575 df-po 5589 df-so 5590 df-xp 5683 df-rel 5684 df-cnv 5685 df-co 5686 df-dm 5687 df-rn 5688 df-res 5689 df-ima 5690 df-iota 6496 df-fun 6546 df-fn 6547 df-f 6548 df-f1 6549 df-fo 6550 df-f1o 6551 df-fv 6552 df-ov 7412 df-er 8703 df-en 8940 df-dom 8941 df-sdom 8942 df-pnf 11250 df-mnf 11251 df-ltxr 11253 df-neg 11447 df-z 12559 df-dvds 16198 |
This theorem is referenced by: 0dvds 16220 fsumdvds 16251 alzdvds 16263 fzo0dvdseq 16266 z0even 16310 sadadd3 16402 gcddvds 16444 gcd0id 16460 bezoutlem4 16484 dfgcd2 16488 dvdssq 16504 dvdslcm 16535 lcmdvds 16545 dvdslcmf 16568 mulgcddvds 16592 odzdvds 16728 pcdvdsb 16802 pcz 16814 sylow2blem3 19490 odadd1 19716 odadd2 19717 cyggex2 19765 lgsne0 26838 lgsqr 26854 nn0prpw 35208 poimirlem25 36513 poimirlem26 36514 poimirlem27 36515 poimirlem28 36516 0dvds0 41217 dvdsexpnn0 41232 congid 41710 jm2.18 41727 jm2.19 41732 jm2.22 41734 jm2.23 41735 etransclem24 44974 etransclem25 44975 etransclem28 44978 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |