Theorem dvdsmul2 16474

Description: An integer divides a multiple of itself. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)

Assertion

Ref	Expression
dvdsmul2	⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∥ (𝑀 · 𝑁))

Proof of Theorem dvdsmul2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zmulcl 12769	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 · 𝑁) ∈ ℤ)
2		eqid 2763	. . 3 ⊢ (𝑀 · 𝑁) = (𝑀 · 𝑁)
3		dvds0lem 16462	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑀 · 𝑁) ∈ ℤ) ∧ (𝑀 · 𝑁) = (𝑀 · 𝑁)) → 𝑁 ∥ (𝑀 · 𝑁))
4	2, 3	mpan2 704	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑀 · 𝑁) ∈ ℤ) → 𝑁 ∥ (𝑀 · 𝑁))
5	1, 4	mpd3an3 1492	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∥ (𝑀 · 𝑁))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   class class class wbr 5106  (class class class)co 7440   · cmul 11229  ℤcz 12717   ∥ cdvds 16448

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7772  ax-resscn 11281  ax-1cn 11282  ax-icn 11283  ax-addcl 11284  ax-addrcl 11285  ax-mulcl 11286  ax-mulrcl 11287  ax-mulcom 11288  ax-addass 11289  ax-mulass 11290  ax-distr 11291  ax-i2m1 11292  ax-1ne0 11293  ax-1rid 11294  ax-rnegex 11295  ax-rrecex 11296  ax-cnre 11297  ax-pre-lttri 11298  ax-pre-lttrn 11299  ax-pre-ltadd 11300

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6319  df-ord 6380  df-on 6381  df-lim 6382  df-suc 6383  df-iota 6509  df-fun 6557  df-fn 6558  df-f 6559  df-f1 6560  df-fo 6561  df-f1o 6562  df-fv 6563  df-riota 7397  df-ov 7443  df-oprab 7444  df-mpo 7445  df-om 7899  df-2nd 8023  df-frecs 8324  df-wrecs 8355  df-recs 8404  df-rdg 8443  df-er 8742  df-en 8999  df-dom 9000  df-sdom 9001  df-pnf 11369  df-mnf 11370  df-ltxr 11372  df-sub 11567  df-neg 11568  df-nn 12360  df-n0 12631  df-z 12718  df-dvds 16449

This theorem is used by:  iddvdsexp  16475  dvdsmultr2  16494  dvdsfac  16522  dvdsexp2im  16523  dvdsexp  16524  fprodfvdvdsd  16530  bitsinv1lem  16637  bitsuz  16670  bitsshft  16671  bezoutlem4  16741  dvdssqim  16753  dvdsexpim  16754  lcmcllem  16797  qredeq  16858  cncongr1  16868  hashdvds  16978  phimullem  16982  difsqpwdvds  17091  oddprmdvds  17107  4sqlem8  17149  prmdvdsprmo  17246  dec2dvds  17267  lagsubg  19436  odadd2  20090  ppiublem1  27556  perfectlem2  27584  lgsdir2lem2  27680  lgsquadlem2  27735  lgsquadlem3  27736  lgsquad2lem1  27738  lgsquad2lem2  27739  2sqlem3  27774  2sqlem8  27780  clwwlkndivn  30698  primrootspoweq0  43347  jm2.19lem2  44188  jm2.23  44194  jm2.20nn  44195  jm2.25  44197  jm2.27a  44203  lighneallem4  48898  nprmdvdsfacm1lem1  48908  perfectALTVlem2  49023