Theorem dvdsmul2 15343

Description: An integer divides a multiple of itself. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)

Assertion

Ref	Expression
dvdsmul2	⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∥ (𝑀 · 𝑁))

Proof of Theorem dvdsmul2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zmulcl 11716	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 · 𝑁) ∈ ℤ)
2		eqid 2799	. . 3 ⊢ (𝑀 · 𝑁) = (𝑀 · 𝑁)
3		dvds0lem 15331	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑀 · 𝑁) ∈ ℤ) ∧ (𝑀 · 𝑁) = (𝑀 · 𝑁)) → 𝑁 ∥ (𝑀 · 𝑁))
4	2, 3	mpan2 683	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑀 · 𝑁) ∈ ℤ) → 𝑁 ∥ (𝑀 · 𝑁))
5	1, 4	mpd3an3 1587	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∥ (𝑀 · 𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 385   ∧ w3a 1108   = wceq 1653   ∈ wcel 2157   class class class wbr 4843  (class class class)co 6878   · cmul 10229  ℤcz 11666   ∥ cdvds 15319

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097  ax-un 7183  ax-resscn 10281  ax-1cn 10282  ax-icn 10283  ax-addcl 10284  ax-addrcl 10285  ax-mulcl 10286  ax-mulrcl 10287  ax-mulcom 10288  ax-addass 10289  ax-mulass 10290  ax-distr 10291  ax-i2m1 10292  ax-1ne0 10293  ax-1rid 10294  ax-rnegex 10295  ax-rrecex 10296  ax-cnre 10297  ax-pre-lttri 10298  ax-pre-lttrn 10299  ax-pre-ltadd 10300

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-tp 4373  df-op 4375  df-uni 4629  df-iun 4712  df-br 4844  df-opab 4906  df-mpt 4923  df-tr 4946  df-id 5220  df-eprel 5225  df-po 5233  df-so 5234  df-fr 5271  df-we 5273  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-res 5324  df-ima 5325  df-pred 5898  df-ord 5944  df-on 5945  df-lim 5946  df-suc 5947  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-riota 6839  df-ov 6881  df-oprab 6882  df-mpt2 6883  df-om 7300  df-wrecs 7645  df-recs 7707  df-rdg 7745  df-er 7982  df-en 8196  df-dom 8197  df-sdom 8198  df-pnf 10365  df-mnf 10366  df-ltxr 10368  df-sub 10558  df-neg 10559  df-nn 11313  df-n0 11581  df-z 11667  df-dvds 15320

This theorem is referenced by:  iddvdsexp  15344  dvdsmultr2  15360  dvdsfac  15387  dvdsexp  15388  fprodfvdvdsd  15394  bitsinv1lem  15498  bitsuz  15531  bitsshft  15532  bezoutlem4  15594  dvdssqim  15608  lcmcllem  15644  qredeq  15705  cncongr1  15715  hashdvds  15813  phimullem  15817  difsqpwdvds  15924  oddprmdvds  15940  4sqlem8  15982  prmdvdsprmo  16079  dec2dvds  16100  lagsubg  17969  odadd2  18567  ppiublem1  25279  perfectlem2  25307  lgsdir2lem2  25403  lgsquadlem2  25458  lgsquadlem3  25459  lgsquad2lem1  25461  lgsquad2lem2  25462  2sqlem3  25497  2sqlem8  25503  clwwlkndivn  27398  dvdspw  32150  jm2.19lem2  38342  jm2.23  38348  jm2.20nn  38349  jm2.25  38351  jm2.27a  38357  lighneallem4  42309  perfectALTVlem2  42413