Theorem dvdsmul2 16242

Description: An integer divides a multiple of itself. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)

Assertion

Ref	Expression
dvdsmul2	⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∥ (𝑀 · 𝑁))

Proof of Theorem dvdsmul2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zmulcl 12571	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 · 𝑁) ∈ ℤ)
2		eqid 2737	. . 3 ⊢ (𝑀 · 𝑁) = (𝑀 · 𝑁)
3		dvds0lem 16230	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑀 · 𝑁) ∈ ℤ) ∧ (𝑀 · 𝑁) = (𝑀 · 𝑁)) → 𝑁 ∥ (𝑀 · 𝑁))
4	2, 3	mpan2 692	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑀 · 𝑁) ∈ ℤ) → 𝑁 ∥ (𝑀 · 𝑁))
5	1, 4	mpd3an3 1465	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∥ (𝑀 · 𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5086  (class class class)co 7362   · cmul 11038  ℤcz 12519   ∥ cdvds 16216

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5304  ax-pr 5372  ax-un 7684  ax-resscn 11090  ax-1cn 11091  ax-icn 11092  ax-addcl 11093  ax-addrcl 11094  ax-mulcl 11095  ax-mulrcl 11096  ax-mulcom 11097  ax-addass 11098  ax-mulass 11099  ax-distr 11100  ax-i2m1 11101  ax-1ne0 11102  ax-1rid 11103  ax-rnegex 11104  ax-rrecex 11105  ax-cnre 11106  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108  ax-pre-ltadd 11109

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5521  df-eprel 5526  df-po 5534  df-so 5535  df-fr 5579  df-we 5581  df-xp 5632  df-rel 5633  df-cnv 5634  df-co 5635  df-dm 5636  df-rn 5637  df-res 5638  df-ima 5639  df-pred 6261  df-ord 6322  df-on 6323  df-lim 6324  df-suc 6325  df-iota 6450  df-fun 6496  df-fn 6497  df-f 6498  df-f1 6499  df-fo 6500  df-f1o 6501  df-fv 6502  df-riota 7319  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7813  df-2nd 7938  df-frecs 8226  df-wrecs 8257  df-recs 8306  df-rdg 8344  df-er 8638  df-en 8889  df-dom 8890  df-sdom 8891  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-ltxr 11179  df-sub 11374  df-neg 11375  df-nn 12170  df-n0 12433  df-z 12520  df-dvds 16217

This theorem is referenced by:  iddvdsexp  16243  dvdsmultr2  16262  dvdsfac  16290  dvdsexp2im  16291  dvdsexp  16292  fprodfvdvdsd  16298  bitsinv1lem  16405  bitsuz  16438  bitsshft  16439  bezoutlem4  16506  dvdssqim  16518  dvdsexpim  16519  lcmcllem  16560  qredeq  16621  cncongr1  16631  hashdvds  16740  phimullem  16744  difsqpwdvds  16853  oddprmdvds  16869  4sqlem8  16911  prmdvdsprmo  17008  dec2dvds  17029  lagsubg  19165  odadd2  19819  ppiublem1  27183  perfectlem2  27211  lgsdir2lem2  27307  lgsquadlem2  27362  lgsquadlem3  27363  lgsquad2lem1  27365  lgsquad2lem2  27366  2sqlem3  27401  2sqlem8  27407  clwwlkndivn  30169  primrootspoweq0  42565  jm2.19lem2  43442  jm2.23  43448  jm2.20nn  43449  jm2.25  43451  jm2.27a  43457  lighneallem4  48091  nprmdvdsfacm1lem1  48101  perfectALTVlem2  48216