![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > dvdsmul2 | Structured version Visualization version GIF version |
Description: An integer divides a multiple of itself. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.) |
Ref | Expression |
---|---|
dvdsmul2 | โข ((๐ โ โค โง ๐ โ โค) โ ๐ โฅ (๐ ยท ๐)) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | zmulcl 12649 | . 2 โข ((๐ โ โค โง ๐ โ โค) โ (๐ ยท ๐) โ โค) | |
2 | eqid 2728 | . . 3 โข (๐ ยท ๐) = (๐ ยท ๐) | |
3 | dvds0lem 16251 | . . 3 โข (((๐ โ โค โง ๐ โ โค โง (๐ ยท ๐) โ โค) โง (๐ ยท ๐) = (๐ ยท ๐)) โ ๐ โฅ (๐ ยท ๐)) | |
4 | 2, 3 | mpan2 689 | . 2 โข ((๐ โ โค โง ๐ โ โค โง (๐ ยท ๐) โ โค) โ ๐ โฅ (๐ ยท ๐)) |
5 | 1, 4 | mpd3an3 1458 | 1 โข ((๐ โ โค โง ๐ โ โค) โ ๐ โฅ (๐ ยท ๐)) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โง wa 394 โง w3a 1084 = wceq 1533 โ wcel 2098 class class class wbr 5152 (class class class)co 7426 ยท cmul 11151 โคcz 12596 โฅ cdvds 16238 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1789 ax-4 1803 ax-5 1905 ax-6 1963 ax-7 2003 ax-8 2100 ax-9 2108 ax-10 2129 ax-11 2146 ax-12 2166 ax-ext 2699 ax-sep 5303 ax-nul 5310 ax-pow 5369 ax-pr 5433 ax-un 7746 ax-resscn 11203 ax-1cn 11204 ax-icn 11205 ax-addcl 11206 ax-addrcl 11207 ax-mulcl 11208 ax-mulrcl 11209 ax-mulcom 11210 ax-addass 11211 ax-mulass 11212 ax-distr 11213 ax-i2m1 11214 ax-1ne0 11215 ax-1rid 11216 ax-rnegex 11217 ax-rrecex 11218 ax-cnre 11219 ax-pre-lttri 11220 ax-pre-lttrn 11221 ax-pre-ltadd 11222 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 395 df-or 846 df-3or 1085 df-3an 1086 df-tru 1536 df-fal 1546 df-ex 1774 df-nf 1778 df-sb 2060 df-mo 2529 df-eu 2558 df-clab 2706 df-cleq 2720 df-clel 2806 df-nfc 2881 df-ne 2938 df-nel 3044 df-ral 3059 df-rex 3068 df-reu 3375 df-rab 3431 df-v 3475 df-sbc 3779 df-csb 3895 df-dif 3952 df-un 3954 df-in 3956 df-ss 3966 df-pss 3968 df-nul 4327 df-if 4533 df-pw 4608 df-sn 4633 df-pr 4635 df-op 4639 df-uni 4913 df-iun 5002 df-br 5153 df-opab 5215 df-mpt 5236 df-tr 5270 df-id 5580 df-eprel 5586 df-po 5594 df-so 5595 df-fr 5637 df-we 5639 df-xp 5688 df-rel 5689 df-cnv 5690 df-co 5691 df-dm 5692 df-rn 5693 df-res 5694 df-ima 5695 df-pred 6310 df-ord 6377 df-on 6378 df-lim 6379 df-suc 6380 df-iota 6505 df-fun 6555 df-fn 6556 df-f 6557 df-f1 6558 df-fo 6559 df-f1o 6560 df-fv 6561 df-riota 7382 df-ov 7429 df-oprab 7430 df-mpo 7431 df-om 7877 df-2nd 8000 df-frecs 8293 df-wrecs 8324 df-recs 8398 df-rdg 8437 df-er 8731 df-en 8971 df-dom 8972 df-sdom 8973 df-pnf 11288 df-mnf 11289 df-ltxr 11291 df-sub 11484 df-neg 11485 df-nn 12251 df-n0 12511 df-z 12597 df-dvds 16239 |
This theorem is referenced by: iddvdsexp 16264 dvdsmultr2 16282 dvdsfac 16310 dvdsexp2im 16311 dvdsexp 16312 fprodfvdvdsd 16318 bitsinv1lem 16423 bitsuz 16456 bitsshft 16457 bezoutlem4 16525 dvdssqim 16537 lcmcllem 16574 qredeq 16635 cncongr1 16645 hashdvds 16751 phimullem 16755 difsqpwdvds 16863 oddprmdvds 16879 4sqlem8 16921 prmdvdsprmo 17018 dec2dvds 17039 lagsubg 19157 odadd2 19811 ppiublem1 27155 perfectlem2 27183 lgsdir2lem2 27279 lgsquadlem2 27334 lgsquadlem3 27335 lgsquad2lem1 27337 lgsquad2lem2 27338 2sqlem3 27373 2sqlem8 27379 clwwlkndivn 29910 primrootspoweq0 41609 dvdsexpim 41919 jm2.19lem2 42442 jm2.23 42448 jm2.20nn 42449 jm2.25 42451 jm2.27a 42457 lighneallem4 46979 perfectALTVlem2 47091 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |