Theorem ex-dvds 30543

Description: Example for df-dvds 16192: 3 divides into 6. (Contributed by David A. Wheeler, 19-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ex-dvds	⊢ 3 ∥ 6

Proof of Theorem ex-dvds

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2z 12535	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℤ
2		3z 12536	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℤ
3		6nn 12246	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℕ
4	3	nnzi 12527	. . 3 ⊢ 6 ∈ ℤ
5	1, 2, 4	3pm3.2i 1341	. 2 ⊢ (2 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ ∧ 6 ∈ ℤ)
6		3cn 12238	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℂ
7	6	2timesi 12290	. . 3 ⊢ (2 · 3) = (3 + 3)
8		3p3e6 12304	. . 3 ⊢ (3 + 3) = 6
9	7, 8	eqtri 2760	. 2 ⊢ (2 · 3) = 6
10		dvds0lem 16205	. 2 ⊢ (((2 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ ∧ 6 ∈ ℤ) ∧ (2 · 3) = 6) → 3 ∥ 6)
11	5, 9, 10	mp2an 693	1 ⊢ 3 ∥ 6

Syntax hints:   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5100  (class class class)co 7368   + caddc 11041   · cmul 11043  2c2 12212  3c3 12213  6c6 12216  ℤcz 12500   ∥ cdvds 16191

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-ov 7371  df-om 7819  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-neg 11379  df-nn 12158  df-2 12220  df-3 12221  df-4 12222  df-5 12223  df-6 12224  df-z 12501  df-dvds 16192

This theorem is referenced by: (None)