Theorem divalgmod 16345

Description: The result of the mod operator satisfies the requirements for the remainder 𝑅 in the division algorithm for a positive divisor (compare divalg2 16344 and divalgb 16343). This demonstration theorem justifies the use of mod to yield an explicit remainder from this point forward. (Contributed by Paul Chapman, 31-Mar-2011.) (Revised by AV, 21-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
divalgmod	⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (𝑅 = (𝑁 mod 𝐷) ↔ (𝑅 ∈ ℕ0 ∧ (𝑅 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑅)))))

Proof of Theorem divalgmod

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ovex 7401	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 mod 𝐷) ∈ V
2	1	snid 4621	. . . . 5 ⊢ (𝑁 mod 𝐷) ∈ {(𝑁 mod 𝐷)}
3		eleq1 2825	. . . . 5 ⊢ (𝑅 = (𝑁 mod 𝐷) → (𝑅 ∈ {(𝑁 mod 𝐷)} ↔ (𝑁 mod 𝐷) ∈ {(𝑁 mod 𝐷)}))
4	2, 3	mpbiri 258	. . . 4 ⊢ (𝑅 = (𝑁 mod 𝐷) → 𝑅 ∈ {(𝑁 mod 𝐷)})
5		elsni 4599	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ {(𝑁 mod 𝐷)} → 𝑅 = (𝑁 mod 𝐷))
6	4, 5	impbii 209	. . 3 ⊢ (𝑅 = (𝑁 mod 𝐷) ↔ 𝑅 ∈ {(𝑁 mod 𝐷)})
7		zre 12504	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
8		nnrp 12929	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐷 ∈ ℕ → 𝐷 ∈ ℝ+)
9		modlt 13812	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (𝑁 mod 𝐷) < 𝐷)
10	7, 8, 9	syl2an 597	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (𝑁 mod 𝐷) < 𝐷)
11		nnre 12164	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐷 ∈ ℕ → 𝐷 ∈ ℝ)
12		nnne0 12191	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐷 ∈ ℕ → 𝐷 ≠ 0)
13		redivcl 11872	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ≠ 0) → (𝑁 / 𝐷) ∈ ℝ)
14	7, 11, 12, 13	syl3an 1161	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (𝑁 / 𝐷) ∈ ℝ)
15	14	3anidm23 1424	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (𝑁 / 𝐷) ∈ ℝ)
16	15	flcld 13730	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (⌊‘(𝑁 / 𝐷)) ∈ ℤ)
17		nnz 12521	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐷 ∈ ℕ → 𝐷 ∈ ℤ)
18	17	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → 𝐷 ∈ ℤ)
19		zmodcl 13823	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (𝑁 mod 𝐷) ∈ ℕ0)
20	19	nn0zd 12525	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (𝑁 mod 𝐷) ∈ ℤ)
21		zsubcl 12545	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 mod 𝐷) ∈ ℤ) → (𝑁 − (𝑁 mod 𝐷)) ∈ ℤ)
22	20, 21	syldan 592	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (𝑁 − (𝑁 mod 𝐷)) ∈ ℤ)
23		nncn 12165	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐷 ∈ ℕ → 𝐷 ∈ ℂ)
24	23	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → 𝐷 ∈ ℂ)
25	16	zcnd 12609	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (⌊‘(𝑁 / 𝐷)) ∈ ℂ)
26	24, 25	mulcomd 11165	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (𝐷 · (⌊‘(𝑁 / 𝐷))) = ((⌊‘(𝑁 / 𝐷)) · 𝐷))
27		modval 13803	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (𝑁 mod 𝐷) = (𝑁 − (𝐷 · (⌊‘(𝑁 / 𝐷)))))
28	7, 8, 27	syl2an 597	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (𝑁 mod 𝐷) = (𝑁 − (𝐷 · (⌊‘(𝑁 / 𝐷)))))
29	19	nn0cnd 12476	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (𝑁 mod 𝐷) ∈ ℂ)
30		zmulcl 12552	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐷 ∈ ℤ ∧ (⌊‘(𝑁 / 𝐷)) ∈ ℤ) → (𝐷 · (⌊‘(𝑁 / 𝐷))) ∈ ℤ)
31	17, 16, 30	syl2an2 687	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (𝐷 · (⌊‘(𝑁 / 𝐷))) ∈ ℤ)
32	31	zcnd 12609	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (𝐷 · (⌊‘(𝑁 / 𝐷))) ∈ ℂ)
33		zcn 12505	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
34	33	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℂ)
35	29, 32, 34	subexsub 11567	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → ((𝑁 mod 𝐷) = (𝑁 − (𝐷 · (⌊‘(𝑁 / 𝐷)))) ↔ (𝐷 · (⌊‘(𝑁 / 𝐷))) = (𝑁 − (𝑁 mod 𝐷))))
36	28, 35	mpbid 232	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (𝐷 · (⌊‘(𝑁 / 𝐷))) = (𝑁 − (𝑁 mod 𝐷)))
37	26, 36	eqtr3d 2774	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → ((⌊‘(𝑁 / 𝐷)) · 𝐷) = (𝑁 − (𝑁 mod 𝐷)))
38		dvds0lem 16205	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((⌊‘(𝑁 / 𝐷)) ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − (𝑁 mod 𝐷)) ∈ ℤ) ∧ ((⌊‘(𝑁 / 𝐷)) · 𝐷) = (𝑁 − (𝑁 mod 𝐷))) → 𝐷 ∥ (𝑁 − (𝑁 mod 𝐷)))
39	16, 18, 22, 37, 38	syl31anc 1376	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → 𝐷 ∥ (𝑁 − (𝑁 mod 𝐷)))
40		divalg2 16344	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → ∃!𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑧)))
41		breq1 5103	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 = (𝑁 mod 𝐷) → (𝑧 < 𝐷 ↔ (𝑁 mod 𝐷) < 𝐷))
42		oveq2 7376	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 = (𝑁 mod 𝐷) → (𝑁 − 𝑧) = (𝑁 − (𝑁 mod 𝐷)))
43	42	breq2d 5112	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 = (𝑁 mod 𝐷) → (𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑧) ↔ 𝐷 ∥ (𝑁 − (𝑁 mod 𝐷))))
44	41, 43	anbi12d 633	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 = (𝑁 mod 𝐷) → ((𝑧 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑧)) ↔ ((𝑁 mod 𝐷) < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − (𝑁 mod 𝐷)))))
45	44	riota2 7350	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 mod 𝐷) ∈ ℕ0 ∧ ∃!𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑧))) → (((𝑁 mod 𝐷) < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − (𝑁 mod 𝐷))) ↔ (℩𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑧))) = (𝑁 mod 𝐷)))
46	19, 40, 45	syl2anc 585	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (((𝑁 mod 𝐷) < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − (𝑁 mod 𝐷))) ↔ (℩𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑧))) = (𝑁 mod 𝐷)))
47	10, 39, 46	mpbi2and 713	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (℩𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑧))) = (𝑁 mod 𝐷))
48	47	eqcomd 2743	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (𝑁 mod 𝐷) = (℩𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑧))))
49	48	sneqd 4594	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → {(𝑁 mod 𝐷)} = {(℩𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑧)))})
50		snriota 7358	. . . . . 6 ⊢ (∃!𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑧)) → {𝑧 ∈ ℕ0 ∣ (𝑧 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑧))} = {(℩𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑧)))})
51	40, 50	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → {𝑧 ∈ ℕ0 ∣ (𝑧 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑧))} = {(℩𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑧)))})
52	49, 51	eqtr4d 2775	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → {(𝑁 mod 𝐷)} = {𝑧 ∈ ℕ0 ∣ (𝑧 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑧))})
53	52	eleq2d 2823	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (𝑅 ∈ {(𝑁 mod 𝐷)} ↔ 𝑅 ∈ {𝑧 ∈ ℕ0 ∣ (𝑧 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑧))}))
54	6, 53	bitrid 283	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (𝑅 = (𝑁 mod 𝐷) ↔ 𝑅 ∈ {𝑧 ∈ ℕ0 ∣ (𝑧 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑧))}))
55		breq1 5103	. . . 4 ⊢ (𝑧 = 𝑅 → (𝑧 < 𝐷 ↔ 𝑅 < 𝐷))
56		oveq2 7376	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 𝑅 → (𝑁 − 𝑧) = (𝑁 − 𝑅))
57	56	breq2d 5112	. . . 4 ⊢ (𝑧 = 𝑅 → (𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑧) ↔ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑅)))
58	55, 57	anbi12d 633	. . 3 ⊢ (𝑧 = 𝑅 → ((𝑧 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑧)) ↔ (𝑅 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑅))))
59	58	elrab 3648	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ {𝑧 ∈ ℕ0 ∣ (𝑧 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑧))} ↔ (𝑅 ∈ ℕ0 ∧ (𝑅 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑅))))
60	54, 59	bitrdi 287	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (𝑅 = (𝑁 mod 𝐷) ↔ (𝑅 ∈ ℕ0 ∧ (𝑅 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑅)))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ∃!wreu 3350  {crab 3401  {csn 4582   class class class wbr 5100  ‘cfv 6500  ℩crio 7324  (class class class)co 7368  ℂcc 11036  ℝcr 11037  0cc0 11038   · cmul 11043   < clt 11178   − cmin 11376   / cdiv 11806  ℕcn 12157  ℕ₀cn0 12413  ℤcz 12500  ℝ⁺crp 12917  ⌊cfl 13722   mod cmo 13801   ∥ cdvds 16191

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-sup 9357  df-inf 9358  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-div 11807  df-nn 12158  df-2 12220  df-3 12221  df-n0 12414  df-z 12501  df-uz 12764  df-rp 12918  df-fz 13436  df-fl 13724  df-mod 13802  df-seq 13937  df-exp 13997  df-cj 15034  df-re 15035  df-im 15036  df-sqrt 15170  df-abs 15171  df-dvds 16192

This theorem is referenced by:  divalgmodcl  16346