MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  divalgmod Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem divalgmod 16356
Description: The result of the mod operator satisfies the requirements for the remainder ๐‘… in the division algorithm for a positive divisor (compare divalg2 16355 and divalgb 16354). This demonstration theorem justifies the use of mod to yield an explicit remainder from this point forward. (Contributed by Paul Chapman, 31-Mar-2011.) (Revised by AV, 21-Aug-2021.)
Assertion
Ref Expression
divalgmod ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ท โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘… = (๐‘ mod ๐ท) โ†” (๐‘… โˆˆ โ„•0 โˆง (๐‘… < ๐ท โˆง ๐ท โˆฅ (๐‘ โˆ’ ๐‘…)))))

Proof of Theorem divalgmod
Dummy variable ๐‘ง is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ovex 7438 . . . . . 6 (๐‘ mod ๐ท) โˆˆ V
21snid 4659 . . . . 5 (๐‘ mod ๐ท) โˆˆ {(๐‘ mod ๐ท)}
3 eleq1 2815 . . . . 5 (๐‘… = (๐‘ mod ๐ท) โ†’ (๐‘… โˆˆ {(๐‘ mod ๐ท)} โ†” (๐‘ mod ๐ท) โˆˆ {(๐‘ mod ๐ท)}))
42, 3mpbiri 258 . . . 4 (๐‘… = (๐‘ mod ๐ท) โ†’ ๐‘… โˆˆ {(๐‘ mod ๐ท)})
5 elsni 4640 . . . 4 (๐‘… โˆˆ {(๐‘ mod ๐ท)} โ†’ ๐‘… = (๐‘ mod ๐ท))
64, 5impbii 208 . . 3 (๐‘… = (๐‘ mod ๐ท) โ†” ๐‘… โˆˆ {(๐‘ mod ๐ท)})
7 zre 12566 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„)
8 nnrp 12991 . . . . . . . . 9 (๐ท โˆˆ โ„• โ†’ ๐ท โˆˆ โ„+)
9 modlt 13851 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„+) โ†’ (๐‘ mod ๐ท) < ๐ท)
107, 8, 9syl2an 595 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ท โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ mod ๐ท) < ๐ท)
11 nnre 12223 . . . . . . . . . . . 12 (๐ท โˆˆ โ„• โ†’ ๐ท โˆˆ โ„)
12 nnne0 12250 . . . . . . . . . . . 12 (๐ท โˆˆ โ„• โ†’ ๐ท โ‰  0)
13 redivcl 11937 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โ‰  0) โ†’ (๐‘ / ๐ท) โˆˆ โ„)
147, 11, 12, 13syl3an 1157 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ท โˆˆ โ„• โˆง ๐ท โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ / ๐ท) โˆˆ โ„)
15143anidm23 1418 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ท โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ / ๐ท) โˆˆ โ„)
1615flcld 13769 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ท โˆˆ โ„•) โ†’ (โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐ท)) โˆˆ โ„ค)
17 nnz 12583 . . . . . . . . . 10 (๐ท โˆˆ โ„• โ†’ ๐ท โˆˆ โ„ค)
1817adantl 481 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ท โˆˆ โ„•) โ†’ ๐ท โˆˆ โ„ค)
19 zmodcl 13862 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ท โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ mod ๐ท) โˆˆ โ„•0)
2019nn0zd 12588 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ท โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ mod ๐ท) โˆˆ โ„ค)
21 zsubcl 12608 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘ mod ๐ท) โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ โˆ’ (๐‘ mod ๐ท)) โˆˆ โ„ค)
2220, 21syldan 590 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ท โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ โˆ’ (๐‘ mod ๐ท)) โˆˆ โ„ค)
23 nncn 12224 . . . . . . . . . . . 12 (๐ท โˆˆ โ„• โ†’ ๐ท โˆˆ โ„‚)
2423adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ท โˆˆ โ„•) โ†’ ๐ท โˆˆ โ„‚)
2516zcnd 12671 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ท โˆˆ โ„•) โ†’ (โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐ท)) โˆˆ โ„‚)
2624, 25mulcomd 11239 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ท โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ท ยท (โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐ท))) = ((โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐ท)) ยท ๐ท))
27 modval 13842 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„+) โ†’ (๐‘ mod ๐ท) = (๐‘ โˆ’ (๐ท ยท (โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐ท)))))
287, 8, 27syl2an 595 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ท โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ mod ๐ท) = (๐‘ โˆ’ (๐ท ยท (โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐ท)))))
2919nn0cnd 12538 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ท โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ mod ๐ท) โˆˆ โ„‚)
30 zmulcl 12615 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐ท โˆˆ โ„ค โˆง (โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐ท)) โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ท ยท (โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐ท))) โˆˆ โ„ค)
3117, 16, 30syl2an2 683 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ท โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ท ยท (โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐ท))) โˆˆ โ„ค)
3231zcnd 12671 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ท โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ท ยท (โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐ท))) โˆˆ โ„‚)
33 zcn 12567 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
3433adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ท โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
3529, 32, 34subexsub 11636 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ท โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘ mod ๐ท) = (๐‘ โˆ’ (๐ท ยท (โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐ท)))) โ†” (๐ท ยท (โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐ท))) = (๐‘ โˆ’ (๐‘ mod ๐ท))))
3628, 35mpbid 231 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ท โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ท ยท (โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐ท))) = (๐‘ โˆ’ (๐‘ mod ๐ท)))
3726, 36eqtr3d 2768 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ท โˆˆ โ„•) โ†’ ((โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐ท)) ยท ๐ท) = (๐‘ โˆ’ (๐‘ mod ๐ท)))
38 dvds0lem 16217 . . . . . . . . 9 ((((โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐ท)) โˆˆ โ„ค โˆง ๐ท โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘ โˆ’ (๐‘ mod ๐ท)) โˆˆ โ„ค) โˆง ((โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐ท)) ยท ๐ท) = (๐‘ โˆ’ (๐‘ mod ๐ท))) โ†’ ๐ท โˆฅ (๐‘ โˆ’ (๐‘ mod ๐ท)))
3916, 18, 22, 37, 38syl31anc 1370 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ท โˆˆ โ„•) โ†’ ๐ท โˆฅ (๐‘ โˆ’ (๐‘ mod ๐ท)))
40 divalg2 16355 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ท โˆˆ โ„•) โ†’ โˆƒ!๐‘ง โˆˆ โ„•0 (๐‘ง < ๐ท โˆง ๐ท โˆฅ (๐‘ โˆ’ ๐‘ง)))
41 breq1 5144 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ง = (๐‘ mod ๐ท) โ†’ (๐‘ง < ๐ท โ†” (๐‘ mod ๐ท) < ๐ท))
42 oveq2 7413 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ง = (๐‘ mod ๐ท) โ†’ (๐‘ โˆ’ ๐‘ง) = (๐‘ โˆ’ (๐‘ mod ๐ท)))
4342breq2d 5153 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ง = (๐‘ mod ๐ท) โ†’ (๐ท โˆฅ (๐‘ โˆ’ ๐‘ง) โ†” ๐ท โˆฅ (๐‘ โˆ’ (๐‘ mod ๐ท))))
4441, 43anbi12d 630 . . . . . . . . . 10 (๐‘ง = (๐‘ mod ๐ท) โ†’ ((๐‘ง < ๐ท โˆง ๐ท โˆฅ (๐‘ โˆ’ ๐‘ง)) โ†” ((๐‘ mod ๐ท) < ๐ท โˆง ๐ท โˆฅ (๐‘ โˆ’ (๐‘ mod ๐ท)))))
4544riota2 7387 . . . . . . . . 9 (((๐‘ mod ๐ท) โˆˆ โ„•0 โˆง โˆƒ!๐‘ง โˆˆ โ„•0 (๐‘ง < ๐ท โˆง ๐ท โˆฅ (๐‘ โˆ’ ๐‘ง))) โ†’ (((๐‘ mod ๐ท) < ๐ท โˆง ๐ท โˆฅ (๐‘ โˆ’ (๐‘ mod ๐ท))) โ†” (โ„ฉ๐‘ง โˆˆ โ„•0 (๐‘ง < ๐ท โˆง ๐ท โˆฅ (๐‘ โˆ’ ๐‘ง))) = (๐‘ mod ๐ท)))
4619, 40, 45syl2anc 583 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ท โˆˆ โ„•) โ†’ (((๐‘ mod ๐ท) < ๐ท โˆง ๐ท โˆฅ (๐‘ โˆ’ (๐‘ mod ๐ท))) โ†” (โ„ฉ๐‘ง โˆˆ โ„•0 (๐‘ง < ๐ท โˆง ๐ท โˆฅ (๐‘ โˆ’ ๐‘ง))) = (๐‘ mod ๐ท)))
4710, 39, 46mpbi2and 709 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ท โˆˆ โ„•) โ†’ (โ„ฉ๐‘ง โˆˆ โ„•0 (๐‘ง < ๐ท โˆง ๐ท โˆฅ (๐‘ โˆ’ ๐‘ง))) = (๐‘ mod ๐ท))
4847eqcomd 2732 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ท โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ mod ๐ท) = (โ„ฉ๐‘ง โˆˆ โ„•0 (๐‘ง < ๐ท โˆง ๐ท โˆฅ (๐‘ โˆ’ ๐‘ง))))
4948sneqd 4635 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ท โˆˆ โ„•) โ†’ {(๐‘ mod ๐ท)} = {(โ„ฉ๐‘ง โˆˆ โ„•0 (๐‘ง < ๐ท โˆง ๐ท โˆฅ (๐‘ โˆ’ ๐‘ง)))})
50 snriota 7395 . . . . . 6 (โˆƒ!๐‘ง โˆˆ โ„•0 (๐‘ง < ๐ท โˆง ๐ท โˆฅ (๐‘ โˆ’ ๐‘ง)) โ†’ {๐‘ง โˆˆ โ„•0 โˆฃ (๐‘ง < ๐ท โˆง ๐ท โˆฅ (๐‘ โˆ’ ๐‘ง))} = {(โ„ฉ๐‘ง โˆˆ โ„•0 (๐‘ง < ๐ท โˆง ๐ท โˆฅ (๐‘ โˆ’ ๐‘ง)))})
5140, 50syl 17 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ท โˆˆ โ„•) โ†’ {๐‘ง โˆˆ โ„•0 โˆฃ (๐‘ง < ๐ท โˆง ๐ท โˆฅ (๐‘ โˆ’ ๐‘ง))} = {(โ„ฉ๐‘ง โˆˆ โ„•0 (๐‘ง < ๐ท โˆง ๐ท โˆฅ (๐‘ โˆ’ ๐‘ง)))})
5249, 51eqtr4d 2769 . . . 4 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ท โˆˆ โ„•) โ†’ {(๐‘ mod ๐ท)} = {๐‘ง โˆˆ โ„•0 โˆฃ (๐‘ง < ๐ท โˆง ๐ท โˆฅ (๐‘ โˆ’ ๐‘ง))})
5352eleq2d 2813 . . 3 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ท โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘… โˆˆ {(๐‘ mod ๐ท)} โ†” ๐‘… โˆˆ {๐‘ง โˆˆ โ„•0 โˆฃ (๐‘ง < ๐ท โˆง ๐ท โˆฅ (๐‘ โˆ’ ๐‘ง))}))
546, 53bitrid 283 . 2 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ท โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘… = (๐‘ mod ๐ท) โ†” ๐‘… โˆˆ {๐‘ง โˆˆ โ„•0 โˆฃ (๐‘ง < ๐ท โˆง ๐ท โˆฅ (๐‘ โˆ’ ๐‘ง))}))
55 breq1 5144 . . . 4 (๐‘ง = ๐‘… โ†’ (๐‘ง < ๐ท โ†” ๐‘… < ๐ท))
56 oveq2 7413 . . . . 5 (๐‘ง = ๐‘… โ†’ (๐‘ โˆ’ ๐‘ง) = (๐‘ โˆ’ ๐‘…))
5756breq2d 5153 . . . 4 (๐‘ง = ๐‘… โ†’ (๐ท โˆฅ (๐‘ โˆ’ ๐‘ง) โ†” ๐ท โˆฅ (๐‘ โˆ’ ๐‘…)))
5855, 57anbi12d 630 . . 3 (๐‘ง = ๐‘… โ†’ ((๐‘ง < ๐ท โˆง ๐ท โˆฅ (๐‘ โˆ’ ๐‘ง)) โ†” (๐‘… < ๐ท โˆง ๐ท โˆฅ (๐‘ โˆ’ ๐‘…))))
5958elrab 3678 . 2 (๐‘… โˆˆ {๐‘ง โˆˆ โ„•0 โˆฃ (๐‘ง < ๐ท โˆง ๐ท โˆฅ (๐‘ โˆ’ ๐‘ง))} โ†” (๐‘… โˆˆ โ„•0 โˆง (๐‘… < ๐ท โˆง ๐ท โˆฅ (๐‘ โˆ’ ๐‘…))))
6054, 59bitrdi 287 1 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ท โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘… = (๐‘ mod ๐ท) โ†” (๐‘… โˆˆ โ„•0 โˆง (๐‘… < ๐ท โˆง ๐ท โˆฅ (๐‘ โˆ’ ๐‘…)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   โ‰  wne 2934  โˆƒ!wreu 3368  {crab 3426  {csn 4623   class class class wbr 5141  โ€˜cfv 6537  โ„ฉcrio 7360  (class class class)co 7405  โ„‚cc 11110  โ„cr 11111  0cc0 11112   ยท cmul 11117   < clt 11252   โˆ’ cmin 11448   / cdiv 11875  โ„•cn 12216  โ„•0cn0 12476  โ„คcz 12562  โ„+crp 12980  โŒŠcfl 13761   mod cmo 13840   โˆฅ cdvds 16204
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-sup 9439  df-inf 9440  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-rp 12981  df-fz 13491  df-fl 13763  df-mod 13841  df-seq 13973  df-exp 14033  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-dvds 16205
This theorem is referenced by:  divalgmodcl  16357
  Copyright terms: Public domain W3C validator