Theorem divalgmod 16288

Description: The result of the mod operator satisfies the requirements for the remainder 𝑅 in the division algorithm for a positive divisor (compare divalg2 16287 and divalgb 16286). This demonstration theorem justifies the use of mod to yield an explicit remainder from this point forward. (Contributed by Paul Chapman, 31-Mar-2011.) (Revised by AV, 21-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
divalgmod	⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (𝑅 = (𝑁 mod 𝐷) ↔ (𝑅 ∈ ℕ0 ∧ (𝑅 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑅)))))

Proof of Theorem divalgmod

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ovex 7390	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 mod 𝐷) ∈ V
2	1	snid 4622	. . . . 5 ⊢ (𝑁 mod 𝐷) ∈ {(𝑁 mod 𝐷)}
3		eleq1 2825	. . . . 5 ⊢ (𝑅 = (𝑁 mod 𝐷) → (𝑅 ∈ {(𝑁 mod 𝐷)} ↔ (𝑁 mod 𝐷) ∈ {(𝑁 mod 𝐷)}))
4	2, 3	mpbiri 257	. . . 4 ⊢ (𝑅 = (𝑁 mod 𝐷) → 𝑅 ∈ {(𝑁 mod 𝐷)})
5		elsni 4603	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ {(𝑁 mod 𝐷)} → 𝑅 = (𝑁 mod 𝐷))
6	4, 5	impbii 208	. . 3 ⊢ (𝑅 = (𝑁 mod 𝐷) ↔ 𝑅 ∈ {(𝑁 mod 𝐷)})
7		zre 12503	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
8		nnrp 12926	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐷 ∈ ℕ → 𝐷 ∈ ℝ+)
9		modlt 13785	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (𝑁 mod 𝐷) < 𝐷)
10	7, 8, 9	syl2an 596	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (𝑁 mod 𝐷) < 𝐷)
11		nnre 12160	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐷 ∈ ℕ → 𝐷 ∈ ℝ)
12		nnne0 12187	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐷 ∈ ℕ → 𝐷 ≠ 0)
13		redivcl 11874	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ≠ 0) → (𝑁 / 𝐷) ∈ ℝ)
14	7, 11, 12, 13	syl3an 1160	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (𝑁 / 𝐷) ∈ ℝ)
15	14	3anidm23 1421	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (𝑁 / 𝐷) ∈ ℝ)
16	15	flcld 13703	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (⌊‘(𝑁 / 𝐷)) ∈ ℤ)
17		nnz 12520	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐷 ∈ ℕ → 𝐷 ∈ ℤ)
18	17	adantl 482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → 𝐷 ∈ ℤ)
19		zmodcl 13796	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (𝑁 mod 𝐷) ∈ ℕ0)
20	19	nn0zd 12525	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (𝑁 mod 𝐷) ∈ ℤ)
21		zsubcl 12545	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 mod 𝐷) ∈ ℤ) → (𝑁 − (𝑁 mod 𝐷)) ∈ ℤ)
22	20, 21	syldan 591	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (𝑁 − (𝑁 mod 𝐷)) ∈ ℤ)
23		nncn 12161	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐷 ∈ ℕ → 𝐷 ∈ ℂ)
24	23	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → 𝐷 ∈ ℂ)
25	16	zcnd 12608	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (⌊‘(𝑁 / 𝐷)) ∈ ℂ)
26	24, 25	mulcomd 11176	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (𝐷 · (⌊‘(𝑁 / 𝐷))) = ((⌊‘(𝑁 / 𝐷)) · 𝐷))
27		modval 13776	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (𝑁 mod 𝐷) = (𝑁 − (𝐷 · (⌊‘(𝑁 / 𝐷)))))
28	7, 8, 27	syl2an 596	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (𝑁 mod 𝐷) = (𝑁 − (𝐷 · (⌊‘(𝑁 / 𝐷)))))
29	19	nn0cnd 12475	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (𝑁 mod 𝐷) ∈ ℂ)
30		zmulcl 12552	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐷 ∈ ℤ ∧ (⌊‘(𝑁 / 𝐷)) ∈ ℤ) → (𝐷 · (⌊‘(𝑁 / 𝐷))) ∈ ℤ)
31	17, 16, 30	syl2an2 684	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (𝐷 · (⌊‘(𝑁 / 𝐷))) ∈ ℤ)
32	31	zcnd 12608	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (𝐷 · (⌊‘(𝑁 / 𝐷))) ∈ ℂ)
33		zcn 12504	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
34	33	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℂ)
35	29, 32, 34	subexsub 11573	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → ((𝑁 mod 𝐷) = (𝑁 − (𝐷 · (⌊‘(𝑁 / 𝐷)))) ↔ (𝐷 · (⌊‘(𝑁 / 𝐷))) = (𝑁 − (𝑁 mod 𝐷))))
36	28, 35	mpbid 231	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (𝐷 · (⌊‘(𝑁 / 𝐷))) = (𝑁 − (𝑁 mod 𝐷)))
37	26, 36	eqtr3d 2778	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → ((⌊‘(𝑁 / 𝐷)) · 𝐷) = (𝑁 − (𝑁 mod 𝐷)))
38		dvds0lem 16149	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((⌊‘(𝑁 / 𝐷)) ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − (𝑁 mod 𝐷)) ∈ ℤ) ∧ ((⌊‘(𝑁 / 𝐷)) · 𝐷) = (𝑁 − (𝑁 mod 𝐷))) → 𝐷 ∥ (𝑁 − (𝑁 mod 𝐷)))
39	16, 18, 22, 37, 38	syl31anc 1373	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → 𝐷 ∥ (𝑁 − (𝑁 mod 𝐷)))
40		divalg2 16287	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → ∃!𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑧)))
41		breq1 5108	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 = (𝑁 mod 𝐷) → (𝑧 < 𝐷 ↔ (𝑁 mod 𝐷) < 𝐷))
42		oveq2 7365	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 = (𝑁 mod 𝐷) → (𝑁 − 𝑧) = (𝑁 − (𝑁 mod 𝐷)))
43	42	breq2d 5117	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 = (𝑁 mod 𝐷) → (𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑧) ↔ 𝐷 ∥ (𝑁 − (𝑁 mod 𝐷))))
44	41, 43	anbi12d 631	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 = (𝑁 mod 𝐷) → ((𝑧 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑧)) ↔ ((𝑁 mod 𝐷) < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − (𝑁 mod 𝐷)))))
45	44	riota2 7339	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 mod 𝐷) ∈ ℕ0 ∧ ∃!𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑧))) → (((𝑁 mod 𝐷) < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − (𝑁 mod 𝐷))) ↔ (℩𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑧))) = (𝑁 mod 𝐷)))
46	19, 40, 45	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (((𝑁 mod 𝐷) < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − (𝑁 mod 𝐷))) ↔ (℩𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑧))) = (𝑁 mod 𝐷)))
47	10, 39, 46	mpbi2and 710	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (℩𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑧))) = (𝑁 mod 𝐷))
48	47	eqcomd 2742	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (𝑁 mod 𝐷) = (℩𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑧))))
49	48	sneqd 4598	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → {(𝑁 mod 𝐷)} = {(℩𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑧)))})
50		snriota 7347	. . . . . 6 ⊢ (∃!𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑧)) → {𝑧 ∈ ℕ0 ∣ (𝑧 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑧))} = {(℩𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑧)))})
51	40, 50	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → {𝑧 ∈ ℕ0 ∣ (𝑧 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑧))} = {(℩𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑧)))})
52	49, 51	eqtr4d 2779	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → {(𝑁 mod 𝐷)} = {𝑧 ∈ ℕ0 ∣ (𝑧 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑧))})
53	52	eleq2d 2823	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (𝑅 ∈ {(𝑁 mod 𝐷)} ↔ 𝑅 ∈ {𝑧 ∈ ℕ0 ∣ (𝑧 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑧))}))
54	6, 53	bitrid 282	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (𝑅 = (𝑁 mod 𝐷) ↔ 𝑅 ∈ {𝑧 ∈ ℕ0 ∣ (𝑧 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑧))}))
55		breq1 5108	. . . 4 ⊢ (𝑧 = 𝑅 → (𝑧 < 𝐷 ↔ 𝑅 < 𝐷))
56		oveq2 7365	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 𝑅 → (𝑁 − 𝑧) = (𝑁 − 𝑅))
57	56	breq2d 5117	. . . 4 ⊢ (𝑧 = 𝑅 → (𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑧) ↔ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑅)))
58	55, 57	anbi12d 631	. . 3 ⊢ (𝑧 = 𝑅 → ((𝑧 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑧)) ↔ (𝑅 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑅))))
59	58	elrab 3645	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ {𝑧 ∈ ℕ0 ∣ (𝑧 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑧))} ↔ (𝑅 ∈ ℕ0 ∧ (𝑅 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑅))))
60	54, 59	bitrdi 286	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (𝑅 = (𝑁 mod 𝐷) ↔ (𝑅 ∈ ℕ0 ∧ (𝑅 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑅)))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943  ∃!wreu 3351  {crab 3407  {csn 4586   class class class wbr 5105  ‘cfv 6496  ℩crio 7312  (class class class)co 7357  ℂcc 11049  ℝcr 11050  0cc0 11051   · cmul 11056   < clt 11189   − cmin 11385   / cdiv 11812  ℕcn 12153  ℕ₀cn0 12413  ℤcz 12499  ℝ⁺crp 12915  ⌊cfl 13695   mod cmo 13774   ∥ cdvds 16136

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-sup 9378  df-inf 9379  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-rp 12916  df-fz 13425  df-fl 13697  df-mod 13775  df-seq 13907  df-exp 13968  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-dvds 16137

This theorem is referenced by:  divalgmodcl  16289