Theorem divalgmod 16489

Description: The result of the mod operator satisfies the requirements for the remainder 𝑅 in the division algorithm for a positive divisor (compare divalg2 16488 and divalgb 16487). This demonstration theorem justifies the use of mod to yield an explicit remainder from this point forward. (Contributed by Paul Chapman, 31-Mar-2011.) (Revised by AV, 21-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
divalgmod	⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (𝑅 = (𝑁 mod 𝐷) ↔ (𝑅 ∈ ℕ0 ∧ (𝑅 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑅)))))

Proof of Theorem divalgmod

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ovex 7456	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 mod 𝐷) ∈ V
2	1	snid 4633	. . . . 5 ⊢ (𝑁 mod 𝐷) ∈ {(𝑁 mod 𝐷)}
3		eleq1 2854	. . . . 5 ⊢ (𝑅 = (𝑁 mod 𝐷) → (𝑅 ∈ {(𝑁 mod 𝐷)} ↔ (𝑁 mod 𝐷) ∈ {(𝑁 mod 𝐷)}))
4	2, 3	mpbiri 261	. . . 4 ⊢ (𝑅 = (𝑁 mod 𝐷) → 𝑅 ∈ {(𝑁 mod 𝐷)})
5		elsni 4611	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ {(𝑁 mod 𝐷)} → 𝑅 = (𝑁 mod 𝐷))
6	4, 5	impbii 212	. . 3 ⊢ (𝑅 = (𝑁 mod 𝐷) ↔ 𝑅 ∈ {(𝑁 mod 𝐷)})
7		zre 12613	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
8		nnrp 13046	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐷 ∈ ℕ → 𝐷 ∈ ℝ+)
9		modlt 13933	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (𝑁 mod 𝐷) < 𝐷)
10	7, 8, 9	syl2an 608	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (𝑁 mod 𝐷) < 𝐷)
11		nnre 12258	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐷 ∈ ℕ → 𝐷 ∈ ℝ)
12		nnne0 12288	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐷 ∈ ℕ → 𝐷 ≠ 0)
13		redivcl 11952	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ≠ 0) → (𝑁 / 𝐷) ∈ ℝ)
14	7, 11, 12, 13	syl3an 1178	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (𝑁 / 𝐷) ∈ ℝ)
15	14	3anidm23 1448	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (𝑁 / 𝐷) ∈ ℝ)
16	15	flcld 13851	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (⌊‘(𝑁 / 𝐷)) ∈ ℤ)
17		nnz 12630	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐷 ∈ ℕ → 𝐷 ∈ ℤ)
18	17	adantl 487	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → 𝐷 ∈ ℤ)
19		zmodcl 13944	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (𝑁 mod 𝐷) ∈ ℕ0)
20	19	nn0zd 12634	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (𝑁 mod 𝐷) ∈ ℤ)
21		zsubcl 12654	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 mod 𝐷) ∈ ℤ) → (𝑁 − (𝑁 mod 𝐷)) ∈ ℤ)
22	20, 21	syldan 603	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (𝑁 − (𝑁 mod 𝐷)) ∈ ℤ)
23		nncn 12259	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐷 ∈ ℕ → 𝐷 ∈ ℂ)
24	23	adantl 487	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → 𝐷 ∈ ℂ)
25	16	zcnd 12719	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (⌊‘(𝑁 / 𝐷)) ∈ ℂ)
26	24, 25	mulcomd 11248	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (𝐷 · (⌊‘(𝑁 / 𝐷))) = ((⌊‘(𝑁 / 𝐷)) · 𝐷))
27		modval 13924	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (𝑁 mod 𝐷) = (𝑁 − (𝐷 · (⌊‘(𝑁 / 𝐷)))))
28	7, 8, 27	syl2an 608	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (𝑁 mod 𝐷) = (𝑁 − (𝐷 · (⌊‘(𝑁 / 𝐷)))))
29	19	nn0cnd 12585	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (𝑁 mod 𝐷) ∈ ℂ)
30		zmulcl 12661	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐷 ∈ ℤ ∧ (⌊‘(𝑁 / 𝐷)) ∈ ℤ) → (𝐷 · (⌊‘(𝑁 / 𝐷))) ∈ ℤ)
31	17, 16, 30	syl2an2 699	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (𝐷 · (⌊‘(𝑁 / 𝐷))) ∈ ℤ)
32	31	zcnd 12719	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (𝐷 · (⌊‘(𝑁 / 𝐷))) ∈ ℂ)
33		zcn 12614	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
34	33	adantr 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℂ)
35	29, 32, 34	subexsub 11650	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → ((𝑁 mod 𝐷) = (𝑁 − (𝐷 · (⌊‘(𝑁 / 𝐷)))) ↔ (𝐷 · (⌊‘(𝑁 / 𝐷))) = (𝑁 − (𝑁 mod 𝐷))))
36	28, 35	mpbid 235	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (𝐷 · (⌊‘(𝑁 / 𝐷))) = (𝑁 − (𝑁 mod 𝐷)))
37	26, 36	eqtr3d 2803	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → ((⌊‘(𝑁 / 𝐷)) · 𝐷) = (𝑁 − (𝑁 mod 𝐷)))
38		dvds0lem 16349	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((⌊‘(𝑁 / 𝐷)) ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − (𝑁 mod 𝐷)) ∈ ℤ) ∧ ((⌊‘(𝑁 / 𝐷)) · 𝐷) = (𝑁 − (𝑁 mod 𝐷))) → 𝐷 ∥ (𝑁 − (𝑁 mod 𝐷)))
39	16, 18, 22, 37, 38	syl31anc 1400	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → 𝐷 ∥ (𝑁 − (𝑁 mod 𝐷)))
40		divalg2 16488	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → ∃!𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑧)))
41		breq1 5117	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 = (𝑁 mod 𝐷) → (𝑧 < 𝐷 ↔ (𝑁 mod 𝐷) < 𝐷))
42		oveq2 7431	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 = (𝑁 mod 𝐷) → (𝑁 − 𝑧) = (𝑁 − (𝑁 mod 𝐷)))
43	42	breq2d 5126	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 = (𝑁 mod 𝐷) → (𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑧) ↔ 𝐷 ∥ (𝑁 − (𝑁 mod 𝐷))))
44	41, 43	anbi12d 644	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 = (𝑁 mod 𝐷) → ((𝑧 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑧)) ↔ ((𝑁 mod 𝐷) < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − (𝑁 mod 𝐷)))))
45	44	riota2 7405	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 mod 𝐷) ∈ ℕ0 ∧ ∃!𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑧))) → (((𝑁 mod 𝐷) < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − (𝑁 mod 𝐷))) ↔ (℩𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑧))) = (𝑁 mod 𝐷)))
46	19, 40, 45	syl2anc 596	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (((𝑁 mod 𝐷) < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − (𝑁 mod 𝐷))) ↔ (℩𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑧))) = (𝑁 mod 𝐷)))
47	10, 39, 46	mpbi2and 725	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (℩𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑧))) = (𝑁 mod 𝐷))
48	47	eqcomd 2772	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (𝑁 mod 𝐷) = (℩𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑧))))
49	48	sneqd 4606	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → {(𝑁 mod 𝐷)} = {(℩𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑧)))})
50		snriota 7413	. . . . . 6 ⊢ (∃!𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑧)) → {𝑧 ∈ ℕ0 ∣ (𝑧 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑧))} = {(℩𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑧)))})
51	40, 50	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → {𝑧 ∈ ℕ0 ∣ (𝑧 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑧))} = {(℩𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑧)))})
52	49, 51	eqtr4d 2804	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → {(𝑁 mod 𝐷)} = {𝑧 ∈ ℕ0 ∣ (𝑧 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑧))})
53	52	eleq2d 2852	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (𝑅 ∈ {(𝑁 mod 𝐷)} ↔ 𝑅 ∈ {𝑧 ∈ ℕ0 ∣ (𝑧 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑧))}))
54	6, 53	bitrid 286	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (𝑅 = (𝑁 mod 𝐷) ↔ 𝑅 ∈ {𝑧 ∈ ℕ0 ∣ (𝑧 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑧))}))
55		breq1 5117	. . . 4 ⊢ (𝑧 = 𝑅 → (𝑧 < 𝐷 ↔ 𝑅 < 𝐷))
56		oveq2 7431	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 𝑅 → (𝑁 − 𝑧) = (𝑁 − 𝑅))
57	56	breq2d 5126	. . . 4 ⊢ (𝑧 = 𝑅 → (𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑧) ↔ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑅)))
58	55, 57	anbi12d 644	. . 3 ⊢ (𝑧 = 𝑅 → ((𝑧 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑧)) ↔ (𝑅 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑅))))
59	58	elrab 3653	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ {𝑧 ∈ ℕ0 ∣ (𝑧 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑧))} ↔ (𝑅 ∈ ℕ0 ∧ (𝑅 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑅))))
60	54, 59	bitrdi 290	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (𝑅 = (𝑁 mod 𝐷) ↔ (𝑅 ∈ ℕ0 ∧ (𝑅 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑅)))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2961  ∃!wreu 3370  {crab 3419  {csn 4594   class class class wbr 5114  ‘cfv 6543  ℩crio 7379  (class class class)co 7423  ℂcc 11116  ℝcr 11117  0cc0 11118   · cmul 11123   < clt 11261   − cmin 11459   / cdiv 11889  ℕcn 12251  ℕ₀cn0 12522  ℤcz 12609  ℝ⁺crp 13034  ⌊cfl 13843   mod cmo 13922   ∥ cdvds 16335

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-cnex 11174  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194  ax-pre-mulgt0 11195  ax-pre-sup 11196

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-om 7872  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8703  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-sup 9412  df-inf 9413  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11461  df-neg 11462  df-div 11890  df-nn 12252  df-2 12321  df-3 12322  df-n0 12523  df-z 12610  df-uz 12881  df-rp 13035  df-fz 13554  df-fl 13845  df-mod 13923  df-seq 14058  df-exp 14118  df-cj 15176  df-re 15177  df-im 15178  df-sqrt 15312  df-abs 15313  df-dvds 16336

This theorem is used by:  divalgmodcl  16490