MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  divalgmod Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem divalgmod 16382
Description: The result of the mod operator satisfies the requirements for the remainder ๐‘… in the division algorithm for a positive divisor (compare divalg2 16381 and divalgb 16380). This demonstration theorem justifies the use of mod to yield an explicit remainder from this point forward. (Contributed by Paul Chapman, 31-Mar-2011.) (Revised by AV, 21-Aug-2021.)
Assertion
Ref Expression
divalgmod ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ท โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘… = (๐‘ mod ๐ท) โ†” (๐‘… โˆˆ โ„•0 โˆง (๐‘… < ๐ท โˆง ๐ท โˆฅ (๐‘ โˆ’ ๐‘…)))))

Proof of Theorem divalgmod
Dummy variable ๐‘ง is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ovex 7449 . . . . . 6 (๐‘ mod ๐ท) โˆˆ V
21snid 4660 . . . . 5 (๐‘ mod ๐ท) โˆˆ {(๐‘ mod ๐ท)}
3 eleq1 2813 . . . . 5 (๐‘… = (๐‘ mod ๐ท) โ†’ (๐‘… โˆˆ {(๐‘ mod ๐ท)} โ†” (๐‘ mod ๐ท) โˆˆ {(๐‘ mod ๐ท)}))
42, 3mpbiri 257 . . . 4 (๐‘… = (๐‘ mod ๐ท) โ†’ ๐‘… โˆˆ {(๐‘ mod ๐ท)})
5 elsni 4641 . . . 4 (๐‘… โˆˆ {(๐‘ mod ๐ท)} โ†’ ๐‘… = (๐‘ mod ๐ท))
64, 5impbii 208 . . 3 (๐‘… = (๐‘ mod ๐ท) โ†” ๐‘… โˆˆ {(๐‘ mod ๐ท)})
7 zre 12592 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„)
8 nnrp 13017 . . . . . . . . 9 (๐ท โˆˆ โ„• โ†’ ๐ท โˆˆ โ„+)
9 modlt 13877 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„+) โ†’ (๐‘ mod ๐ท) < ๐ท)
107, 8, 9syl2an 594 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ท โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ mod ๐ท) < ๐ท)
11 nnre 12249 . . . . . . . . . . . 12 (๐ท โˆˆ โ„• โ†’ ๐ท โˆˆ โ„)
12 nnne0 12276 . . . . . . . . . . . 12 (๐ท โˆˆ โ„• โ†’ ๐ท โ‰  0)
13 redivcl 11963 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โ‰  0) โ†’ (๐‘ / ๐ท) โˆˆ โ„)
147, 11, 12, 13syl3an 1157 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ท โˆˆ โ„• โˆง ๐ท โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ / ๐ท) โˆˆ โ„)
15143anidm23 1418 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ท โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ / ๐ท) โˆˆ โ„)
1615flcld 13795 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ท โˆˆ โ„•) โ†’ (โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐ท)) โˆˆ โ„ค)
17 nnz 12609 . . . . . . . . . 10 (๐ท โˆˆ โ„• โ†’ ๐ท โˆˆ โ„ค)
1817adantl 480 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ท โˆˆ โ„•) โ†’ ๐ท โˆˆ โ„ค)
19 zmodcl 13888 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ท โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ mod ๐ท) โˆˆ โ„•0)
2019nn0zd 12614 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ท โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ mod ๐ท) โˆˆ โ„ค)
21 zsubcl 12634 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘ mod ๐ท) โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ โˆ’ (๐‘ mod ๐ท)) โˆˆ โ„ค)
2220, 21syldan 589 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ท โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ โˆ’ (๐‘ mod ๐ท)) โˆˆ โ„ค)
23 nncn 12250 . . . . . . . . . . . 12 (๐ท โˆˆ โ„• โ†’ ๐ท โˆˆ โ„‚)
2423adantl 480 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ท โˆˆ โ„•) โ†’ ๐ท โˆˆ โ„‚)
2516zcnd 12697 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ท โˆˆ โ„•) โ†’ (โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐ท)) โˆˆ โ„‚)
2624, 25mulcomd 11265 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ท โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ท ยท (โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐ท))) = ((โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐ท)) ยท ๐ท))
27 modval 13868 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„+) โ†’ (๐‘ mod ๐ท) = (๐‘ โˆ’ (๐ท ยท (โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐ท)))))
287, 8, 27syl2an 594 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ท โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ mod ๐ท) = (๐‘ โˆ’ (๐ท ยท (โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐ท)))))
2919nn0cnd 12564 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ท โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ mod ๐ท) โˆˆ โ„‚)
30 zmulcl 12641 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐ท โˆˆ โ„ค โˆง (โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐ท)) โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ท ยท (โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐ท))) โˆˆ โ„ค)
3117, 16, 30syl2an2 684 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ท โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ท ยท (โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐ท))) โˆˆ โ„ค)
3231zcnd 12697 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ท โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ท ยท (โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐ท))) โˆˆ โ„‚)
33 zcn 12593 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
3433adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ท โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
3529, 32, 34subexsub 11662 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ท โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘ mod ๐ท) = (๐‘ โˆ’ (๐ท ยท (โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐ท)))) โ†” (๐ท ยท (โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐ท))) = (๐‘ โˆ’ (๐‘ mod ๐ท))))
3628, 35mpbid 231 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ท โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ท ยท (โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐ท))) = (๐‘ โˆ’ (๐‘ mod ๐ท)))
3726, 36eqtr3d 2767 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ท โˆˆ โ„•) โ†’ ((โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐ท)) ยท ๐ท) = (๐‘ โˆ’ (๐‘ mod ๐ท)))
38 dvds0lem 16243 . . . . . . . . 9 ((((โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐ท)) โˆˆ โ„ค โˆง ๐ท โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘ โˆ’ (๐‘ mod ๐ท)) โˆˆ โ„ค) โˆง ((โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐ท)) ยท ๐ท) = (๐‘ โˆ’ (๐‘ mod ๐ท))) โ†’ ๐ท โˆฅ (๐‘ โˆ’ (๐‘ mod ๐ท)))
3916, 18, 22, 37, 38syl31anc 1370 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ท โˆˆ โ„•) โ†’ ๐ท โˆฅ (๐‘ โˆ’ (๐‘ mod ๐ท)))
40 divalg2 16381 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ท โˆˆ โ„•) โ†’ โˆƒ!๐‘ง โˆˆ โ„•0 (๐‘ง < ๐ท โˆง ๐ท โˆฅ (๐‘ โˆ’ ๐‘ง)))
41 breq1 5146 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ง = (๐‘ mod ๐ท) โ†’ (๐‘ง < ๐ท โ†” (๐‘ mod ๐ท) < ๐ท))
42 oveq2 7424 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ง = (๐‘ mod ๐ท) โ†’ (๐‘ โˆ’ ๐‘ง) = (๐‘ โˆ’ (๐‘ mod ๐ท)))
4342breq2d 5155 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ง = (๐‘ mod ๐ท) โ†’ (๐ท โˆฅ (๐‘ โˆ’ ๐‘ง) โ†” ๐ท โˆฅ (๐‘ โˆ’ (๐‘ mod ๐ท))))
4441, 43anbi12d 630 . . . . . . . . . 10 (๐‘ง = (๐‘ mod ๐ท) โ†’ ((๐‘ง < ๐ท โˆง ๐ท โˆฅ (๐‘ โˆ’ ๐‘ง)) โ†” ((๐‘ mod ๐ท) < ๐ท โˆง ๐ท โˆฅ (๐‘ โˆ’ (๐‘ mod ๐ท)))))
4544riota2 7398 . . . . . . . . 9 (((๐‘ mod ๐ท) โˆˆ โ„•0 โˆง โˆƒ!๐‘ง โˆˆ โ„•0 (๐‘ง < ๐ท โˆง ๐ท โˆฅ (๐‘ โˆ’ ๐‘ง))) โ†’ (((๐‘ mod ๐ท) < ๐ท โˆง ๐ท โˆฅ (๐‘ โˆ’ (๐‘ mod ๐ท))) โ†” (โ„ฉ๐‘ง โˆˆ โ„•0 (๐‘ง < ๐ท โˆง ๐ท โˆฅ (๐‘ โˆ’ ๐‘ง))) = (๐‘ mod ๐ท)))
4619, 40, 45syl2anc 582 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ท โˆˆ โ„•) โ†’ (((๐‘ mod ๐ท) < ๐ท โˆง ๐ท โˆฅ (๐‘ โˆ’ (๐‘ mod ๐ท))) โ†” (โ„ฉ๐‘ง โˆˆ โ„•0 (๐‘ง < ๐ท โˆง ๐ท โˆฅ (๐‘ โˆ’ ๐‘ง))) = (๐‘ mod ๐ท)))
4710, 39, 46mpbi2and 710 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ท โˆˆ โ„•) โ†’ (โ„ฉ๐‘ง โˆˆ โ„•0 (๐‘ง < ๐ท โˆง ๐ท โˆฅ (๐‘ โˆ’ ๐‘ง))) = (๐‘ mod ๐ท))
4847eqcomd 2731 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ท โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ mod ๐ท) = (โ„ฉ๐‘ง โˆˆ โ„•0 (๐‘ง < ๐ท โˆง ๐ท โˆฅ (๐‘ โˆ’ ๐‘ง))))
4948sneqd 4636 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ท โˆˆ โ„•) โ†’ {(๐‘ mod ๐ท)} = {(โ„ฉ๐‘ง โˆˆ โ„•0 (๐‘ง < ๐ท โˆง ๐ท โˆฅ (๐‘ โˆ’ ๐‘ง)))})
50 snriota 7406 . . . . . 6 (โˆƒ!๐‘ง โˆˆ โ„•0 (๐‘ง < ๐ท โˆง ๐ท โˆฅ (๐‘ โˆ’ ๐‘ง)) โ†’ {๐‘ง โˆˆ โ„•0 โˆฃ (๐‘ง < ๐ท โˆง ๐ท โˆฅ (๐‘ โˆ’ ๐‘ง))} = {(โ„ฉ๐‘ง โˆˆ โ„•0 (๐‘ง < ๐ท โˆง ๐ท โˆฅ (๐‘ โˆ’ ๐‘ง)))})
5140, 50syl 17 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ท โˆˆ โ„•) โ†’ {๐‘ง โˆˆ โ„•0 โˆฃ (๐‘ง < ๐ท โˆง ๐ท โˆฅ (๐‘ โˆ’ ๐‘ง))} = {(โ„ฉ๐‘ง โˆˆ โ„•0 (๐‘ง < ๐ท โˆง ๐ท โˆฅ (๐‘ โˆ’ ๐‘ง)))})
5249, 51eqtr4d 2768 . . . 4 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ท โˆˆ โ„•) โ†’ {(๐‘ mod ๐ท)} = {๐‘ง โˆˆ โ„•0 โˆฃ (๐‘ง < ๐ท โˆง ๐ท โˆฅ (๐‘ โˆ’ ๐‘ง))})
5352eleq2d 2811 . . 3 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ท โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘… โˆˆ {(๐‘ mod ๐ท)} โ†” ๐‘… โˆˆ {๐‘ง โˆˆ โ„•0 โˆฃ (๐‘ง < ๐ท โˆง ๐ท โˆฅ (๐‘ โˆ’ ๐‘ง))}))
546, 53bitrid 282 . 2 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ท โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘… = (๐‘ mod ๐ท) โ†” ๐‘… โˆˆ {๐‘ง โˆˆ โ„•0 โˆฃ (๐‘ง < ๐ท โˆง ๐ท โˆฅ (๐‘ โˆ’ ๐‘ง))}))
55 breq1 5146 . . . 4 (๐‘ง = ๐‘… โ†’ (๐‘ง < ๐ท โ†” ๐‘… < ๐ท))
56 oveq2 7424 . . . . 5 (๐‘ง = ๐‘… โ†’ (๐‘ โˆ’ ๐‘ง) = (๐‘ โˆ’ ๐‘…))
5756breq2d 5155 . . . 4 (๐‘ง = ๐‘… โ†’ (๐ท โˆฅ (๐‘ โˆ’ ๐‘ง) โ†” ๐ท โˆฅ (๐‘ โˆ’ ๐‘…)))
5855, 57anbi12d 630 . . 3 (๐‘ง = ๐‘… โ†’ ((๐‘ง < ๐ท โˆง ๐ท โˆฅ (๐‘ โˆ’ ๐‘ง)) โ†” (๐‘… < ๐ท โˆง ๐ท โˆฅ (๐‘ โˆ’ ๐‘…))))
5958elrab 3674 . 2 (๐‘… โˆˆ {๐‘ง โˆˆ โ„•0 โˆฃ (๐‘ง < ๐ท โˆง ๐ท โˆฅ (๐‘ โˆ’ ๐‘ง))} โ†” (๐‘… โˆˆ โ„•0 โˆง (๐‘… < ๐ท โˆง ๐ท โˆฅ (๐‘ โˆ’ ๐‘…))))
6054, 59bitrdi 286 1 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ท โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘… = (๐‘ mod ๐ท) โ†” (๐‘… โˆˆ โ„•0 โˆง (๐‘… < ๐ท โˆง ๐ท โˆฅ (๐‘ โˆ’ ๐‘…)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 394   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   โ‰  wne 2930  โˆƒ!wreu 3362  {crab 3419  {csn 4624   class class class wbr 5143  โ€˜cfv 6543  โ„ฉcrio 7371  (class class class)co 7416  โ„‚cc 11136  โ„cr 11137  0cc0 11138   ยท cmul 11143   < clt 11278   โˆ’ cmin 11474   / cdiv 11901  โ„•cn 12242  โ„•0cn0 12502  โ„คcz 12588  โ„+crp 13006  โŒŠcfl 13787   mod cmo 13866   โˆฅ cdvds 16230
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215  ax-pre-sup 11216
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8723  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-sup 9465  df-inf 9466  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-div 11902  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-n0 12503  df-z 12589  df-uz 12853  df-rp 13007  df-fz 13517  df-fl 13789  df-mod 13867  df-seq 13999  df-exp 14059  df-cj 15078  df-re 15079  df-im 15080  df-sqrt 15214  df-abs 15215  df-dvds 16231
This theorem is referenced by:  divalgmodcl  16383
  Copyright terms: Public domain W3C validator