Users' Mathboxes Mathbox for Stanislas Polu < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  inductionexd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem inductionexd 44144
Description: Simple induction example. (Contributed by Stanislas Polu, 9-Mar-2020.)
Assertion
Ref Expression
inductionexd (𝑁 ∈ ℕ → 3 ∥ ((4↑𝑁) + 5))

Proof of Theorem inductionexd
Dummy variables 𝑘 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 7438 . . . 4 (𝑘 = 1 → (4↑𝑘) = (4↑1))
21oveq1d 7445 . . 3 (𝑘 = 1 → ((4↑𝑘) + 5) = ((4↑1) + 5))
32breq2d 5159 . 2 (𝑘 = 1 → (3 ∥ ((4↑𝑘) + 5) ↔ 3 ∥ ((4↑1) + 5)))
4 oveq2 7438 . . . 4 (𝑘 = 𝑛 → (4↑𝑘) = (4↑𝑛))
54oveq1d 7445 . . 3 (𝑘 = 𝑛 → ((4↑𝑘) + 5) = ((4↑𝑛) + 5))
65breq2d 5159 . 2 (𝑘 = 𝑛 → (3 ∥ ((4↑𝑘) + 5) ↔ 3 ∥ ((4↑𝑛) + 5)))
7 oveq2 7438 . . . 4 (𝑘 = (𝑛 + 1) → (4↑𝑘) = (4↑(𝑛 + 1)))
87oveq1d 7445 . . 3 (𝑘 = (𝑛 + 1) → ((4↑𝑘) + 5) = ((4↑(𝑛 + 1)) + 5))
98breq2d 5159 . 2 (𝑘 = (𝑛 + 1) → (3 ∥ ((4↑𝑘) + 5) ↔ 3 ∥ ((4↑(𝑛 + 1)) + 5)))
10 oveq2 7438 . . . 4 (𝑘 = 𝑁 → (4↑𝑘) = (4↑𝑁))
1110oveq1d 7445 . . 3 (𝑘 = 𝑁 → ((4↑𝑘) + 5) = ((4↑𝑁) + 5))
1211breq2d 5159 . 2 (𝑘 = 𝑁 → (3 ∥ ((4↑𝑘) + 5) ↔ 3 ∥ ((4↑𝑁) + 5)))
13 3z 12647 . . . 4 3 ∈ ℤ
14 4z 12648 . . . . . 6 4 ∈ ℤ
15 1nn0 12539 . . . . . 6 1 ∈ ℕ0
16 zexpcl 14113 . . . . . 6 ((4 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℕ0) → (4↑1) ∈ ℤ)
1714, 15, 16mp2an 692 . . . . 5 (4↑1) ∈ ℤ
18 5nn 12349 . . . . . 6 5 ∈ ℕ
1918nnzi 12638 . . . . 5 5 ∈ ℤ
20 zaddcl 12654 . . . . 5 (((4↑1) ∈ ℤ ∧ 5 ∈ ℤ) → ((4↑1) + 5) ∈ ℤ)
2117, 19, 20mp2an 692 . . . 4 ((4↑1) + 5) ∈ ℤ
2213, 13, 213pm3.2i 1338 . . 3 (3 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ ∧ ((4↑1) + 5) ∈ ℤ)
23 3t3e9 12430 . . . 4 (3 · 3) = 9
24 4nn0 12542 . . . . . . 7 4 ∈ ℕ0
2524numexp1 17110 . . . . . 6 (4↑1) = 4
2625oveq1i 7440 . . . . 5 ((4↑1) + 5) = (4 + 5)
27 5cn 12351 . . . . . 6 5 ∈ ℂ
28 4cn 12348 . . . . . 6 4 ∈ ℂ
29 5p4e9 12421 . . . . . 6 (5 + 4) = 9
3027, 28, 29addcomli 11450 . . . . 5 (4 + 5) = 9
3126, 30eqtri 2762 . . . 4 ((4↑1) + 5) = 9
3223, 31eqtr4i 2765 . . 3 (3 · 3) = ((4↑1) + 5)
33 dvds0lem 16300 . . 3 (((3 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ ∧ ((4↑1) + 5) ∈ ℤ) ∧ (3 · 3) = ((4↑1) + 5)) → 3 ∥ ((4↑1) + 5))
3422, 32, 33mp2an 692 . 2 3 ∥ ((4↑1) + 5)
3513a1i 11 . . . . 5 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 3 ∥ ((4↑𝑛) + 5)) → 3 ∈ ℤ)
36 4nn 12346 . . . . . . . . . . 11 4 ∈ ℕ
3736a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ → 4 ∈ ℕ)
38 nnnn0 12530 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℕ0)
3937, 38nnexpcld 14280 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ → (4↑𝑛) ∈ ℕ)
4039nnzd 12637 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ → (4↑𝑛) ∈ ℤ)
4140adantr 480 . . . . . . 7 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 3 ∥ ((4↑𝑛) + 5)) → (4↑𝑛) ∈ ℤ)
4219a1i 11 . . . . . . 7 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 3 ∥ ((4↑𝑛) + 5)) → 5 ∈ ℤ)
4341, 42zaddcld 12723 . . . . . 6 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 3 ∥ ((4↑𝑛) + 5)) → ((4↑𝑛) + 5) ∈ ℤ)
4414a1i 11 . . . . . 6 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 3 ∥ ((4↑𝑛) + 5)) → 4 ∈ ℤ)
4543, 44zmulcld 12725 . . . . 5 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 3 ∥ ((4↑𝑛) + 5)) → (((4↑𝑛) + 5) · 4) ∈ ℤ)
4635, 42zmulcld 12725 . . . . 5 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 3 ∥ ((4↑𝑛) + 5)) → (3 · 5) ∈ ℤ)
47 simpr 484 . . . . . 6 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 3 ∥ ((4↑𝑛) + 5)) → 3 ∥ ((4↑𝑛) + 5))
4835, 43, 44, 47dvdsmultr1d 16330 . . . . 5 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 3 ∥ ((4↑𝑛) + 5)) → 3 ∥ (((4↑𝑛) + 5) · 4))
49 dvdsmul1 16311 . . . . . . 7 ((3 ∈ ℤ ∧ 5 ∈ ℤ) → 3 ∥ (3 · 5))
5013, 19, 49mp2an 692 . . . . . 6 3 ∥ (3 · 5)
5150a1i 11 . . . . 5 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 3 ∥ ((4↑𝑛) + 5)) → 3 ∥ (3 · 5))
5235, 45, 46, 48, 51dvds2subd 16326 . . . 4 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 3 ∥ ((4↑𝑛) + 5)) → 3 ∥ ((((4↑𝑛) + 5) · 4) − (3 · 5)))
5339nncnd 12279 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ → (4↑𝑛) ∈ ℂ)
5427a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ → 5 ∈ ℂ)
5528a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ → 4 ∈ ℂ)
5653, 54, 55adddird 11283 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ → (((4↑𝑛) + 5) · 4) = (((4↑𝑛) · 4) + (5 · 4)))
5756oveq1d 7445 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℕ → ((((4↑𝑛) + 5) · 4) − 15) = ((((4↑𝑛) · 4) + (5 · 4)) − 15))
58 3cn 12344 . . . . . . . . 9 3 ∈ ℂ
59 5t3e15 12831 . . . . . . . . 9 (5 · 3) = 15
6027, 58, 59mulcomli 11267 . . . . . . . 8 (3 · 5) = 15
6160a1i 11 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ → (3 · 5) = 15)
6261oveq2d 7446 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℕ → ((((4↑𝑛) + 5) · 4) − (3 · 5)) = ((((4↑𝑛) + 5) · 4) − 15))
6355, 38expp1d 14183 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ → (4↑(𝑛 + 1)) = ((4↑𝑛) · 4))
64 ax-1cn 11210 . . . . . . . . . . . . . . . 16 1 ∈ ℂ
65 3p1e4 12408 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (3 + 1) = 4
6658, 64, 65addcomli 11450 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1 + 3) = 4
6766eqcomi 2743 . . . . . . . . . . . . . 14 4 = (1 + 3)
6867oveq1i 7440 . . . . . . . . . . . . 13 (4 − 3) = ((1 + 3) − 3)
6964, 58pncan3oi 11521 . . . . . . . . . . . . 13 ((1 + 3) − 3) = 1
7068, 69eqtri 2762 . . . . . . . . . . . 12 (4 − 3) = 1
7170oveq2i 7441 . . . . . . . . . . 11 (5 · (4 − 3)) = (5 · 1)
7227, 28, 58subdii 11709 . . . . . . . . . . 11 (5 · (4 − 3)) = ((5 · 4) − (5 · 3))
7327mulridi 11262 . . . . . . . . . . 11 (5 · 1) = 5
7471, 72, 733eqtr3ri 2771 . . . . . . . . . 10 5 = ((5 · 4) − (5 · 3))
7559eqcomi 2743 . . . . . . . . . . 11 15 = (5 · 3)
7675oveq2i 7441 . . . . . . . . . 10 ((5 · 4) − 15) = ((5 · 4) − (5 · 3))
7774, 76eqtr4i 2765 . . . . . . . . 9 5 = ((5 · 4) − 15)
7877a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ → 5 = ((5 · 4) − 15))
7963, 78oveq12d 7448 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ → ((4↑(𝑛 + 1)) + 5) = (((4↑𝑛) · 4) + ((5 · 4) − 15)))
8053, 55mulcld 11278 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ → ((4↑𝑛) · 4) ∈ ℂ)
8154, 55mulcld 11278 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ → (5 · 4) ∈ ℂ)
82 5nn0 12543 . . . . . . . . . . 11 5 ∈ ℕ0
8315, 82deccl 12745 . . . . . . . . . 10 15 ∈ ℕ0
8483nn0cni 12535 . . . . . . . . 9 15 ∈ ℂ
8584a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ → 15 ∈ ℂ)
8680, 81, 85addsubassd 11637 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ → ((((4↑𝑛) · 4) + (5 · 4)) − 15) = (((4↑𝑛) · 4) + ((5 · 4) − 15)))
8779, 86eqtr4d 2777 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℕ → ((4↑(𝑛 + 1)) + 5) = ((((4↑𝑛) · 4) + (5 · 4)) − 15))
8857, 62, 873eqtr4rd 2785 . . . . 5 (𝑛 ∈ ℕ → ((4↑(𝑛 + 1)) + 5) = ((((4↑𝑛) + 5) · 4) − (3 · 5)))
8988adantr 480 . . . 4 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 3 ∥ ((4↑𝑛) + 5)) → ((4↑(𝑛 + 1)) + 5) = ((((4↑𝑛) + 5) · 4) − (3 · 5)))
9052, 89breqtrrd 5175 . . 3 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 3 ∥ ((4↑𝑛) + 5)) → 3 ∥ ((4↑(𝑛 + 1)) + 5))
9190ex 412 . 2 (𝑛 ∈ ℕ → (3 ∥ ((4↑𝑛) + 5) → 3 ∥ ((4↑(𝑛 + 1)) + 5)))
923, 6, 9, 12, 34, 91nnind 12281 1 (𝑁 ∈ ℕ → 3 ∥ ((4↑𝑁) + 5))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1086   = wceq 1536  wcel 2105   class class class wbr 5147  (class class class)co 7430  cc 11150  1c1 11153   + caddc 11155   · cmul 11157  cmin 11489  cn 12263  3c3 12319  4c4 12320  5c5 12321  9c9 12325  0cn0 12523  cz 12610  cdc 12730  cexp 14098  cdvds 16286
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-4 12328  df-5 12329  df-6 12330  df-7 12331  df-8 12332  df-9 12333  df-n0 12524  df-z 12611  df-dec 12731  df-uz 12876  df-seq 14039  df-exp 14099  df-dvds 16287
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator