Users' Mathboxes Mathbox for Stanislas Polu < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  inductionexd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem inductionexd 43646
Description: Simple induction example. (Contributed by Stanislas Polu, 9-Mar-2020.)
Assertion
Ref Expression
inductionexd (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ 3 โˆฅ ((4โ†‘๐‘) + 5))

Proof of Theorem inductionexd
Dummy variables ๐‘˜ ๐‘› are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 7421 . . . 4 (๐‘˜ = 1 โ†’ (4โ†‘๐‘˜) = (4โ†‘1))
21oveq1d 7428 . . 3 (๐‘˜ = 1 โ†’ ((4โ†‘๐‘˜) + 5) = ((4โ†‘1) + 5))
32breq2d 5156 . 2 (๐‘˜ = 1 โ†’ (3 โˆฅ ((4โ†‘๐‘˜) + 5) โ†” 3 โˆฅ ((4โ†‘1) + 5)))
4 oveq2 7421 . . . 4 (๐‘˜ = ๐‘› โ†’ (4โ†‘๐‘˜) = (4โ†‘๐‘›))
54oveq1d 7428 . . 3 (๐‘˜ = ๐‘› โ†’ ((4โ†‘๐‘˜) + 5) = ((4โ†‘๐‘›) + 5))
65breq2d 5156 . 2 (๐‘˜ = ๐‘› โ†’ (3 โˆฅ ((4โ†‘๐‘˜) + 5) โ†” 3 โˆฅ ((4โ†‘๐‘›) + 5)))
7 oveq2 7421 . . . 4 (๐‘˜ = (๐‘› + 1) โ†’ (4โ†‘๐‘˜) = (4โ†‘(๐‘› + 1)))
87oveq1d 7428 . . 3 (๐‘˜ = (๐‘› + 1) โ†’ ((4โ†‘๐‘˜) + 5) = ((4โ†‘(๐‘› + 1)) + 5))
98breq2d 5156 . 2 (๐‘˜ = (๐‘› + 1) โ†’ (3 โˆฅ ((4โ†‘๐‘˜) + 5) โ†” 3 โˆฅ ((4โ†‘(๐‘› + 1)) + 5)))
10 oveq2 7421 . . . 4 (๐‘˜ = ๐‘ โ†’ (4โ†‘๐‘˜) = (4โ†‘๐‘))
1110oveq1d 7428 . . 3 (๐‘˜ = ๐‘ โ†’ ((4โ†‘๐‘˜) + 5) = ((4โ†‘๐‘) + 5))
1211breq2d 5156 . 2 (๐‘˜ = ๐‘ โ†’ (3 โˆฅ ((4โ†‘๐‘˜) + 5) โ†” 3 โˆฅ ((4โ†‘๐‘) + 5)))
13 3z 12620 . . . 4 3 โˆˆ โ„ค
14 4z 12621 . . . . . 6 4 โˆˆ โ„ค
15 1nn0 12513 . . . . . 6 1 โˆˆ โ„•0
16 zexpcl 14068 . . . . . 6 ((4 โˆˆ โ„ค โˆง 1 โˆˆ โ„•0) โ†’ (4โ†‘1) โˆˆ โ„ค)
1714, 15, 16mp2an 690 . . . . 5 (4โ†‘1) โˆˆ โ„ค
18 5nn 12323 . . . . . 6 5 โˆˆ โ„•
1918nnzi 12611 . . . . 5 5 โˆˆ โ„ค
20 zaddcl 12627 . . . . 5 (((4โ†‘1) โˆˆ โ„ค โˆง 5 โˆˆ โ„ค) โ†’ ((4โ†‘1) + 5) โˆˆ โ„ค)
2117, 19, 20mp2an 690 . . . 4 ((4โ†‘1) + 5) โˆˆ โ„ค
2213, 13, 213pm3.2i 1336 . . 3 (3 โˆˆ โ„ค โˆง 3 โˆˆ โ„ค โˆง ((4โ†‘1) + 5) โˆˆ โ„ค)
23 3t3e9 12404 . . . 4 (3 ยท 3) = 9
24 4nn0 12516 . . . . . . 7 4 โˆˆ โ„•0
2524numexp1 17040 . . . . . 6 (4โ†‘1) = 4
2625oveq1i 7423 . . . . 5 ((4โ†‘1) + 5) = (4 + 5)
27 5cn 12325 . . . . . 6 5 โˆˆ โ„‚
28 4cn 12322 . . . . . 6 4 โˆˆ โ„‚
29 5p4e9 12395 . . . . . 6 (5 + 4) = 9
3027, 28, 29addcomli 11431 . . . . 5 (4 + 5) = 9
3126, 30eqtri 2753 . . . 4 ((4โ†‘1) + 5) = 9
3223, 31eqtr4i 2756 . . 3 (3 ยท 3) = ((4โ†‘1) + 5)
33 dvds0lem 16238 . . 3 (((3 โˆˆ โ„ค โˆง 3 โˆˆ โ„ค โˆง ((4โ†‘1) + 5) โˆˆ โ„ค) โˆง (3 ยท 3) = ((4โ†‘1) + 5)) โ†’ 3 โˆฅ ((4โ†‘1) + 5))
3422, 32, 33mp2an 690 . 2 3 โˆฅ ((4โ†‘1) + 5)
3513a1i 11 . . . . 5 ((๐‘› โˆˆ โ„• โˆง 3 โˆฅ ((4โ†‘๐‘›) + 5)) โ†’ 3 โˆˆ โ„ค)
36 4nn 12320 . . . . . . . . . . 11 4 โˆˆ โ„•
3736a1i 11 . . . . . . . . . 10 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†’ 4 โˆˆ โ„•)
38 nnnn0 12504 . . . . . . . . . 10 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„•0)
3937, 38nnexpcld 14234 . . . . . . . . 9 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†’ (4โ†‘๐‘›) โˆˆ โ„•)
4039nnzd 12610 . . . . . . . 8 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†’ (4โ†‘๐‘›) โˆˆ โ„ค)
4140adantr 479 . . . . . . 7 ((๐‘› โˆˆ โ„• โˆง 3 โˆฅ ((4โ†‘๐‘›) + 5)) โ†’ (4โ†‘๐‘›) โˆˆ โ„ค)
4219a1i 11 . . . . . . 7 ((๐‘› โˆˆ โ„• โˆง 3 โˆฅ ((4โ†‘๐‘›) + 5)) โ†’ 5 โˆˆ โ„ค)
4341, 42zaddcld 12695 . . . . . 6 ((๐‘› โˆˆ โ„• โˆง 3 โˆฅ ((4โ†‘๐‘›) + 5)) โ†’ ((4โ†‘๐‘›) + 5) โˆˆ โ„ค)
4414a1i 11 . . . . . 6 ((๐‘› โˆˆ โ„• โˆง 3 โˆฅ ((4โ†‘๐‘›) + 5)) โ†’ 4 โˆˆ โ„ค)
4543, 44zmulcld 12697 . . . . 5 ((๐‘› โˆˆ โ„• โˆง 3 โˆฅ ((4โ†‘๐‘›) + 5)) โ†’ (((4โ†‘๐‘›) + 5) ยท 4) โˆˆ โ„ค)
4635, 42zmulcld 12697 . . . . 5 ((๐‘› โˆˆ โ„• โˆง 3 โˆฅ ((4โ†‘๐‘›) + 5)) โ†’ (3 ยท 5) โˆˆ โ„ค)
47 simpr 483 . . . . . 6 ((๐‘› โˆˆ โ„• โˆง 3 โˆฅ ((4โ†‘๐‘›) + 5)) โ†’ 3 โˆฅ ((4โ†‘๐‘›) + 5))
4835, 43, 44, 47dvdsmultr1d 16268 . . . . 5 ((๐‘› โˆˆ โ„• โˆง 3 โˆฅ ((4โ†‘๐‘›) + 5)) โ†’ 3 โˆฅ (((4โ†‘๐‘›) + 5) ยท 4))
49 dvdsmul1 16249 . . . . . . 7 ((3 โˆˆ โ„ค โˆง 5 โˆˆ โ„ค) โ†’ 3 โˆฅ (3 ยท 5))
5013, 19, 49mp2an 690 . . . . . 6 3 โˆฅ (3 ยท 5)
5150a1i 11 . . . . 5 ((๐‘› โˆˆ โ„• โˆง 3 โˆฅ ((4โ†‘๐‘›) + 5)) โ†’ 3 โˆฅ (3 ยท 5))
5235, 45, 46, 48, 51dvds2subd 16264 . . . 4 ((๐‘› โˆˆ โ„• โˆง 3 โˆฅ ((4โ†‘๐‘›) + 5)) โ†’ 3 โˆฅ ((((4โ†‘๐‘›) + 5) ยท 4) โˆ’ (3 ยท 5)))
5339nncnd 12253 . . . . . . . 8 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†’ (4โ†‘๐‘›) โˆˆ โ„‚)
5427a1i 11 . . . . . . . 8 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†’ 5 โˆˆ โ„‚)
5528a1i 11 . . . . . . . 8 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†’ 4 โˆˆ โ„‚)
5653, 54, 55adddird 11264 . . . . . . 7 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†’ (((4โ†‘๐‘›) + 5) ยท 4) = (((4โ†‘๐‘›) ยท 4) + (5 ยท 4)))
5756oveq1d 7428 . . . . . 6 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†’ ((((4โ†‘๐‘›) + 5) ยท 4) โˆ’ 15) = ((((4โ†‘๐‘›) ยท 4) + (5 ยท 4)) โˆ’ 15))
58 3cn 12318 . . . . . . . . 9 3 โˆˆ โ„‚
59 5t3e15 12803 . . . . . . . . 9 (5 ยท 3) = 15
6027, 58, 59mulcomli 11248 . . . . . . . 8 (3 ยท 5) = 15
6160a1i 11 . . . . . . 7 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†’ (3 ยท 5) = 15)
6261oveq2d 7429 . . . . . 6 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†’ ((((4โ†‘๐‘›) + 5) ยท 4) โˆ’ (3 ยท 5)) = ((((4โ†‘๐‘›) + 5) ยท 4) โˆ’ 15))
6355, 38expp1d 14138 . . . . . . . 8 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†’ (4โ†‘(๐‘› + 1)) = ((4โ†‘๐‘›) ยท 4))
64 ax-1cn 11191 . . . . . . . . . . . . . . . 16 1 โˆˆ โ„‚
65 3p1e4 12382 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (3 + 1) = 4
6658, 64, 65addcomli 11431 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1 + 3) = 4
6766eqcomi 2734 . . . . . . . . . . . . . 14 4 = (1 + 3)
6867oveq1i 7423 . . . . . . . . . . . . 13 (4 โˆ’ 3) = ((1 + 3) โˆ’ 3)
6964, 58pncan3oi 11501 . . . . . . . . . . . . 13 ((1 + 3) โˆ’ 3) = 1
7068, 69eqtri 2753 . . . . . . . . . . . 12 (4 โˆ’ 3) = 1
7170oveq2i 7424 . . . . . . . . . . 11 (5 ยท (4 โˆ’ 3)) = (5 ยท 1)
7227, 28, 58subdii 11688 . . . . . . . . . . 11 (5 ยท (4 โˆ’ 3)) = ((5 ยท 4) โˆ’ (5 ยท 3))
7327mulridi 11243 . . . . . . . . . . 11 (5 ยท 1) = 5
7471, 72, 733eqtr3ri 2762 . . . . . . . . . 10 5 = ((5 ยท 4) โˆ’ (5 ยท 3))
7559eqcomi 2734 . . . . . . . . . . 11 15 = (5 ยท 3)
7675oveq2i 7424 . . . . . . . . . 10 ((5 ยท 4) โˆ’ 15) = ((5 ยท 4) โˆ’ (5 ยท 3))
7774, 76eqtr4i 2756 . . . . . . . . 9 5 = ((5 ยท 4) โˆ’ 15)
7877a1i 11 . . . . . . . 8 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†’ 5 = ((5 ยท 4) โˆ’ 15))
7963, 78oveq12d 7431 . . . . . . 7 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†’ ((4โ†‘(๐‘› + 1)) + 5) = (((4โ†‘๐‘›) ยท 4) + ((5 ยท 4) โˆ’ 15)))
8053, 55mulcld 11259 . . . . . . . 8 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†’ ((4โ†‘๐‘›) ยท 4) โˆˆ โ„‚)
8154, 55mulcld 11259 . . . . . . . 8 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†’ (5 ยท 4) โˆˆ โ„‚)
82 5nn0 12517 . . . . . . . . . . 11 5 โˆˆ โ„•0
8315, 82deccl 12717 . . . . . . . . . 10 15 โˆˆ โ„•0
8483nn0cni 12509 . . . . . . . . 9 15 โˆˆ โ„‚
8584a1i 11 . . . . . . . 8 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†’ 15 โˆˆ โ„‚)
8680, 81, 85addsubassd 11616 . . . . . . 7 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†’ ((((4โ†‘๐‘›) ยท 4) + (5 ยท 4)) โˆ’ 15) = (((4โ†‘๐‘›) ยท 4) + ((5 ยท 4) โˆ’ 15)))
8779, 86eqtr4d 2768 . . . . . 6 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†’ ((4โ†‘(๐‘› + 1)) + 5) = ((((4โ†‘๐‘›) ยท 4) + (5 ยท 4)) โˆ’ 15))
8857, 62, 873eqtr4rd 2776 . . . . 5 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†’ ((4โ†‘(๐‘› + 1)) + 5) = ((((4โ†‘๐‘›) + 5) ยท 4) โˆ’ (3 ยท 5)))
8988adantr 479 . . . 4 ((๐‘› โˆˆ โ„• โˆง 3 โˆฅ ((4โ†‘๐‘›) + 5)) โ†’ ((4โ†‘(๐‘› + 1)) + 5) = ((((4โ†‘๐‘›) + 5) ยท 4) โˆ’ (3 ยท 5)))
9052, 89breqtrrd 5172 . . 3 ((๐‘› โˆˆ โ„• โˆง 3 โˆฅ ((4โ†‘๐‘›) + 5)) โ†’ 3 โˆฅ ((4โ†‘(๐‘› + 1)) + 5))
9190ex 411 . 2 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†’ (3 โˆฅ ((4โ†‘๐‘›) + 5) โ†’ 3 โˆฅ ((4โ†‘(๐‘› + 1)) + 5)))
923, 6, 9, 12, 34, 91nnind 12255 1 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ 3 โˆฅ ((4โ†‘๐‘) + 5))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 394   โˆง w3a 1084   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   class class class wbr 5144  (class class class)co 7413  โ„‚cc 11131  1c1 11134   + caddc 11136   ยท cmul 11138   โˆ’ cmin 11469  โ„•cn 12237  3c3 12293  4c4 12294  5c5 12295  9c9 12299  โ„•0cn0 12497  โ„คcz 12583  cdc 12702  โ†‘cexp 14053   โˆฅ cdvds 16225
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735  ax-cnex 11189  ax-resscn 11190  ax-1cn 11191  ax-icn 11192  ax-addcl 11193  ax-addrcl 11194  ax-mulcl 11195  ax-mulrcl 11196  ax-mulcom 11197  ax-addass 11198  ax-mulass 11199  ax-distr 11200  ax-i2m1 11201  ax-1ne0 11202  ax-1rid 11203  ax-rnegex 11204  ax-rrecex 11205  ax-cnre 11206  ax-pre-lttri 11207  ax-pre-lttrn 11208  ax-pre-ltadd 11209  ax-pre-mulgt0 11210
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3961  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4905  df-iun 4994  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7866  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8718  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-pnf 11275  df-mnf 11276  df-xr 11277  df-ltxr 11278  df-le 11279  df-sub 11471  df-neg 11472  df-nn 12238  df-2 12300  df-3 12301  df-4 12302  df-5 12303  df-6 12304  df-7 12305  df-8 12306  df-9 12307  df-n0 12498  df-z 12584  df-dec 12703  df-uz 12848  df-seq 13994  df-exp 14054  df-dvds 16226
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator