Users' Mathboxes Mathbox for Stanislas Polu < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  inductionexd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem inductionexd 39127
Description: Simple induction example. (Contributed by Stanislas Polu, 9-Mar-2020.)
Assertion
Ref Expression
inductionexd (𝑁 ∈ ℕ → 3 ∥ ((4↑𝑁) + 5))

Proof of Theorem inductionexd
Dummy variables 𝑘 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 6850 . . . 4 (𝑘 = 1 → (4↑𝑘) = (4↑1))
21oveq1d 6857 . . 3 (𝑘 = 1 → ((4↑𝑘) + 5) = ((4↑1) + 5))
32breq2d 4821 . 2 (𝑘 = 1 → (3 ∥ ((4↑𝑘) + 5) ↔ 3 ∥ ((4↑1) + 5)))
4 oveq2 6850 . . . 4 (𝑘 = 𝑛 → (4↑𝑘) = (4↑𝑛))
54oveq1d 6857 . . 3 (𝑘 = 𝑛 → ((4↑𝑘) + 5) = ((4↑𝑛) + 5))
65breq2d 4821 . 2 (𝑘 = 𝑛 → (3 ∥ ((4↑𝑘) + 5) ↔ 3 ∥ ((4↑𝑛) + 5)))
7 oveq2 6850 . . . 4 (𝑘 = (𝑛 + 1) → (4↑𝑘) = (4↑(𝑛 + 1)))
87oveq1d 6857 . . 3 (𝑘 = (𝑛 + 1) → ((4↑𝑘) + 5) = ((4↑(𝑛 + 1)) + 5))
98breq2d 4821 . 2 (𝑘 = (𝑛 + 1) → (3 ∥ ((4↑𝑘) + 5) ↔ 3 ∥ ((4↑(𝑛 + 1)) + 5)))
10 oveq2 6850 . . . 4 (𝑘 = 𝑁 → (4↑𝑘) = (4↑𝑁))
1110oveq1d 6857 . . 3 (𝑘 = 𝑁 → ((4↑𝑘) + 5) = ((4↑𝑁) + 5))
1211breq2d 4821 . 2 (𝑘 = 𝑁 → (3 ∥ ((4↑𝑘) + 5) ↔ 3 ∥ ((4↑𝑁) + 5)))
13 3z 11657 . . . 4 3 ∈ ℤ
14 4z 11658 . . . . . 6 4 ∈ ℤ
15 1nn0 11556 . . . . . 6 1 ∈ ℕ0
16 zexpcl 13082 . . . . . 6 ((4 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℕ0) → (4↑1) ∈ ℤ)
1714, 15, 16mp2an 683 . . . . 5 (4↑1) ∈ ℤ
18 5nn 11360 . . . . . 6 5 ∈ ℕ
1918nnzi 11648 . . . . 5 5 ∈ ℤ
20 zaddcl 11664 . . . . 5 (((4↑1) ∈ ℤ ∧ 5 ∈ ℤ) → ((4↑1) + 5) ∈ ℤ)
2117, 19, 20mp2an 683 . . . 4 ((4↑1) + 5) ∈ ℤ
2213, 13, 213pm3.2i 1438 . . 3 (3 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ ∧ ((4↑1) + 5) ∈ ℤ)
23 3t3e9 11445 . . . 4 (3 · 3) = 9
24 4nn0 11559 . . . . . . 7 4 ∈ ℕ0
2524numexp1 16060 . . . . . 6 (4↑1) = 4
2625oveq1i 6852 . . . . 5 ((4↑1) + 5) = (4 + 5)
27 5cn 11362 . . . . . 6 5 ∈ ℂ
28 4cn 11358 . . . . . 6 4 ∈ ℂ
29 5p4e9 11436 . . . . . 6 (5 + 4) = 9
3027, 28, 29addcomli 10482 . . . . 5 (4 + 5) = 9
3126, 30eqtri 2787 . . . 4 ((4↑1) + 5) = 9
3223, 31eqtr4i 2790 . . 3 (3 · 3) = ((4↑1) + 5)
33 dvds0lem 15277 . . 3 (((3 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ ∧ ((4↑1) + 5) ∈ ℤ) ∧ (3 · 3) = ((4↑1) + 5)) → 3 ∥ ((4↑1) + 5))
3422, 32, 33mp2an 683 . 2 3 ∥ ((4↑1) + 5)
3513a1i 11 . . . . 5 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 3 ∥ ((4↑𝑛) + 5)) → 3 ∈ ℤ)
36 4nn 11356 . . . . . . . . . . 11 4 ∈ ℕ
3736a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ → 4 ∈ ℕ)
38 nnnn0 11546 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℕ0)
3937, 38nnexpcld 13237 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ → (4↑𝑛) ∈ ℕ)
4039nnzd 11728 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ → (4↑𝑛) ∈ ℤ)
4140adantr 472 . . . . . . 7 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 3 ∥ ((4↑𝑛) + 5)) → (4↑𝑛) ∈ ℤ)
4219a1i 11 . . . . . . 7 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 3 ∥ ((4↑𝑛) + 5)) → 5 ∈ ℤ)
4341, 42zaddcld 11733 . . . . . 6 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 3 ∥ ((4↑𝑛) + 5)) → ((4↑𝑛) + 5) ∈ ℤ)
4414a1i 11 . . . . . 6 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 3 ∥ ((4↑𝑛) + 5)) → 4 ∈ ℤ)
45 simpr 477 . . . . . 6 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 3 ∥ ((4↑𝑛) + 5)) → 3 ∥ ((4↑𝑛) + 5))
4635, 43, 44, 45dvdsmultr1d 15305 . . . . 5 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 3 ∥ ((4↑𝑛) + 5)) → 3 ∥ (((4↑𝑛) + 5) · 4))
47 dvdsmul1 15288 . . . . . . 7 ((3 ∈ ℤ ∧ 5 ∈ ℤ) → 3 ∥ (3 · 5))
4813, 19, 47mp2an 683 . . . . . 6 3 ∥ (3 · 5)
4948a1i 11 . . . . 5 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 3 ∥ ((4↑𝑛) + 5)) → 3 ∥ (3 · 5))
5043, 44zmulcld 11735 . . . . 5 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 3 ∥ ((4↑𝑛) + 5)) → (((4↑𝑛) + 5) · 4) ∈ ℤ)
5135, 42zmulcld 11735 . . . . 5 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 3 ∥ ((4↑𝑛) + 5)) → (3 · 5) ∈ ℤ)
5235, 46, 49, 50, 51dvds2subd 15302 . . . 4 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 3 ∥ ((4↑𝑛) + 5)) → 3 ∥ ((((4↑𝑛) + 5) · 4) − (3 · 5)))
5339nncnd 11292 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ → (4↑𝑛) ∈ ℂ)
5427a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ → 5 ∈ ℂ)
5528a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ → 4 ∈ ℂ)
5653, 54, 55adddird 10319 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ → (((4↑𝑛) + 5) · 4) = (((4↑𝑛) · 4) + (5 · 4)))
5756oveq1d 6857 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℕ → ((((4↑𝑛) + 5) · 4) − 15) = ((((4↑𝑛) · 4) + (5 · 4)) − 15))
58 3cn 11353 . . . . . . . . 9 3 ∈ ℂ
59 5t3e15 11842 . . . . . . . . 9 (5 · 3) = 15
6027, 58, 59mulcomli 10303 . . . . . . . 8 (3 · 5) = 15
6160a1i 11 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ → (3 · 5) = 15)
6261oveq2d 6858 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℕ → ((((4↑𝑛) + 5) · 4) − (3 · 5)) = ((((4↑𝑛) + 5) · 4) − 15))
6355, 38expp1d 13216 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ → (4↑(𝑛 + 1)) = ((4↑𝑛) · 4))
64 ax-1cn 10247 . . . . . . . . . . . . . . . 16 1 ∈ ℂ
65 3p1e4 11423 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (3 + 1) = 4
6658, 64, 65addcomli 10482 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1 + 3) = 4
6766eqcomi 2774 . . . . . . . . . . . . . 14 4 = (1 + 3)
6867oveq1i 6852 . . . . . . . . . . . . 13 (4 − 3) = ((1 + 3) − 3)
6964, 58pncan3oi 10551 . . . . . . . . . . . . 13 ((1 + 3) − 3) = 1
7068, 69eqtri 2787 . . . . . . . . . . . 12 (4 − 3) = 1
7170oveq2i 6853 . . . . . . . . . . 11 (5 · (4 − 3)) = (5 · 1)
7227, 28, 58subdii 10733 . . . . . . . . . . 11 (5 · (4 − 3)) = ((5 · 4) − (5 · 3))
7327mulid1i 10298 . . . . . . . . . . 11 (5 · 1) = 5
7471, 72, 733eqtr3ri 2796 . . . . . . . . . 10 5 = ((5 · 4) − (5 · 3))
7559eqcomi 2774 . . . . . . . . . . 11 15 = (5 · 3)
7675oveq2i 6853 . . . . . . . . . 10 ((5 · 4) − 15) = ((5 · 4) − (5 · 3))
7774, 76eqtr4i 2790 . . . . . . . . 9 5 = ((5 · 4) − 15)
7877a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ → 5 = ((5 · 4) − 15))
7963, 78oveq12d 6860 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ → ((4↑(𝑛 + 1)) + 5) = (((4↑𝑛) · 4) + ((5 · 4) − 15)))
8053, 55mulcld 10314 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ → ((4↑𝑛) · 4) ∈ ℂ)
8154, 55mulcld 10314 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ → (5 · 4) ∈ ℂ)
82 5nn0 11560 . . . . . . . . . . 11 5 ∈ ℕ0
8315, 82deccl 11755 . . . . . . . . . 10 15 ∈ ℕ0
8483nn0cni 11551 . . . . . . . . 9 15 ∈ ℂ
8584a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ → 15 ∈ ℂ)
8680, 81, 85addsubassd 10666 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ → ((((4↑𝑛) · 4) + (5 · 4)) − 15) = (((4↑𝑛) · 4) + ((5 · 4) − 15)))
8779, 86eqtr4d 2802 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℕ → ((4↑(𝑛 + 1)) + 5) = ((((4↑𝑛) · 4) + (5 · 4)) − 15))
8857, 62, 873eqtr4rd 2810 . . . . 5 (𝑛 ∈ ℕ → ((4↑(𝑛 + 1)) + 5) = ((((4↑𝑛) + 5) · 4) − (3 · 5)))
8988adantr 472 . . . 4 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 3 ∥ ((4↑𝑛) + 5)) → ((4↑(𝑛 + 1)) + 5) = ((((4↑𝑛) + 5) · 4) − (3 · 5)))
9052, 89breqtrrd 4837 . . 3 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 3 ∥ ((4↑𝑛) + 5)) → 3 ∥ ((4↑(𝑛 + 1)) + 5))
9190ex 401 . 2 (𝑛 ∈ ℕ → (3 ∥ ((4↑𝑛) + 5) → 3 ∥ ((4↑(𝑛 + 1)) + 5)))
923, 6, 9, 12, 34, 91nnind 11294 1 (𝑁 ∈ ℕ → 3 ∥ ((4↑𝑁) + 5))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384  w3a 1107   = wceq 1652  wcel 2155   class class class wbr 4809  (class class class)co 6842  cc 10187  1c1 10190   + caddc 10192   · cmul 10194  cmin 10520  cn 11274  3c3 11328  4c4 11329  5c5 11330  9c9 11334  0cn0 11538  cz 11624  cdc 11740  cexp 13067  cdvds 15265
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147  ax-cnex 10245  ax-resscn 10246  ax-1cn 10247  ax-icn 10248  ax-addcl 10249  ax-addrcl 10250  ax-mulcl 10251  ax-mulrcl 10252  ax-mulcom 10253  ax-addass 10254  ax-mulass 10255  ax-distr 10256  ax-i2m1 10257  ax-1ne0 10258  ax-1rid 10259  ax-rnegex 10260  ax-rrecex 10261  ax-cnre 10262  ax-pre-lttri 10263  ax-pre-lttrn 10264  ax-pre-ltadd 10265  ax-pre-mulgt0 10266
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-pss 3748  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-tp 4339  df-op 4341  df-uni 4595  df-iun 4678  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-tr 4912  df-id 5185  df-eprel 5190  df-po 5198  df-so 5199  df-fr 5236  df-we 5238  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-pred 5865  df-ord 5911  df-on 5912  df-lim 5913  df-suc 5914  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-riota 6803  df-ov 6845  df-oprab 6846  df-mpt2 6847  df-om 7264  df-2nd 7367  df-wrecs 7610  df-recs 7672  df-rdg 7710  df-er 7947  df-en 8161  df-dom 8162  df-sdom 8163  df-pnf 10330  df-mnf 10331  df-xr 10332  df-ltxr 10333  df-le 10334  df-sub 10522  df-neg 10523  df-nn 11275  df-2 11335  df-3 11336  df-4 11337  df-5 11338  df-6 11339  df-7 11340  df-8 11341  df-9 11342  df-n0 11539  df-z 11625  df-dec 11741  df-uz 11887  df-seq 13009  df-exp 13068  df-dvds 15266
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator