![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > 1dvds | Structured version Visualization version GIF version |
Description: 1 divides any integer. Theorem 1.1(f) in [ApostolNT] p. 14. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.) |
Ref | Expression |
---|---|
1dvds | โข (๐ โ โค โ 1 โฅ ๐) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | zcn 12511 | . . 3 โข (๐ โ โค โ ๐ โ โ) | |
2 | 1 | mulid1d 11179 | . 2 โข (๐ โ โค โ (๐ ยท 1) = ๐) |
3 | 1z 12540 | . . . 4 โข 1 โ โค | |
4 | dvds0lem 16156 | . . . 4 โข (((๐ โ โค โง 1 โ โค โง ๐ โ โค) โง (๐ ยท 1) = ๐) โ 1 โฅ ๐) | |
5 | 3, 4 | mp3anl2 1457 | . . 3 โข (((๐ โ โค โง ๐ โ โค) โง (๐ ยท 1) = ๐) โ 1 โฅ ๐) |
6 | 5 | anabsan 664 | . 2 โข ((๐ โ โค โง (๐ ยท 1) = ๐) โ 1 โฅ ๐) |
7 | 2, 6 | mpdan 686 | 1 โข (๐ โ โค โ 1 โฅ ๐) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 = wceq 1542 โ wcel 2107 class class class wbr 5110 (class class class)co 7362 1c1 11059 ยท cmul 11063 โคcz 12506 โฅ cdvds 16143 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1798 ax-4 1812 ax-5 1914 ax-6 1972 ax-7 2012 ax-8 2109 ax-9 2117 ax-10 2138 ax-11 2155 ax-12 2172 ax-ext 2708 ax-sep 5261 ax-nul 5268 ax-pr 5389 ax-un 7677 ax-resscn 11115 ax-1cn 11116 ax-icn 11117 ax-addcl 11118 ax-addrcl 11119 ax-mulcl 11120 ax-mulrcl 11121 ax-mulcom 11122 ax-mulass 11124 ax-distr 11125 ax-i2m1 11126 ax-1ne0 11127 ax-1rid 11128 ax-rrecex 11130 ax-cnre 11131 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 398 df-or 847 df-3or 1089 df-3an 1090 df-tru 1545 df-fal 1555 df-ex 1783 df-nf 1787 df-sb 2069 df-mo 2539 df-eu 2568 df-clab 2715 df-cleq 2729 df-clel 2815 df-nfc 2890 df-ne 2945 df-ral 3066 df-rex 3075 df-reu 3357 df-rab 3411 df-v 3450 df-sbc 3745 df-csb 3861 df-dif 3918 df-un 3920 df-in 3922 df-ss 3932 df-pss 3934 df-nul 4288 df-if 4492 df-pw 4567 df-sn 4592 df-pr 4594 df-op 4598 df-uni 4871 df-iun 4961 df-br 5111 df-opab 5173 df-mpt 5194 df-tr 5228 df-id 5536 df-eprel 5542 df-po 5550 df-so 5551 df-fr 5593 df-we 5595 df-xp 5644 df-rel 5645 df-cnv 5646 df-co 5647 df-dm 5648 df-rn 5649 df-res 5650 df-ima 5651 df-pred 6258 df-ord 6325 df-on 6326 df-lim 6327 df-suc 6328 df-iota 6453 df-fun 6503 df-fn 6504 df-f 6505 df-f1 6506 df-fo 6507 df-f1o 6508 df-fv 6509 df-ov 7365 df-om 7808 df-2nd 7927 df-frecs 8217 df-wrecs 8248 df-recs 8322 df-rdg 8361 df-neg 11395 df-nn 12161 df-z 12507 df-dvds 16144 |
This theorem is referenced by: dvds1 16208 gcdcllem1 16386 gcdcllem3 16388 lcmfunsnlem 16524 coprmproddvds 16546 1idssfct 16563 isprm2lem 16564 dvdsprime 16570 pclem 16717 prmreclem1 16795 oddvdssubg 19640 perfectlem2 26594 oddpwdc 32994 perfectALTVlem2 45988 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |