Theorem 1dvds 16217

Description: 1 divides any integer. Theorem 1.1(f) in [ApostolNT] p. 14. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)

Assertion

Ref	Expression
1dvds	⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 1 ∥ 𝑁)

Proof of Theorem 1dvds

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zcn 12562	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
2	1	mulridd 11230	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 · 1) = 𝑁)
3		1z 12591	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℤ
4		dvds0lem 16213	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 · 1) = 𝑁) → 1 ∥ 𝑁)
5	3, 4	mp3anl2 1452	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 · 1) = 𝑁) → 1 ∥ 𝑁)
6	5	anabsan 662	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 · 1) = 𝑁) → 1 ∥ 𝑁)
7	2, 6	mpdan 684	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 1 ∥ 𝑁)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   class class class wbr 5139  (class class class)co 7402  1c1 11108   · cmul 11112  ℤcz 12557   ∥ cdvds 16200

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-ral 3054  df-rex 3063  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-ov 7405  df-om 7850  df-2nd 7970  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-neg 11446  df-nn 12212  df-z 12558  df-dvds 16201

This theorem is referenced by:  dvds1  16265  gcdcllem1  16443  gcdcllem3  16445  lcmfunsnlem  16581  coprmproddvds  16603  1idssfct  16620  isprm2lem  16621  dvdsprime  16627  pclem  16776  prmreclem1  16854  oddvdssubg  19771  perfectlem2  27103  oddpwdc  33872  perfectALTVlem2  46935