![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > 1dvds | Structured version Visualization version GIF version |
Description: 1 divides any integer. Theorem 1.1(f) in [ApostolNT] p. 14. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.) |
Ref | Expression |
---|---|
1dvds | โข (๐ โ โค โ 1 โฅ ๐) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | zcn 12593 | . . 3 โข (๐ โ โค โ ๐ โ โ) | |
2 | 1 | mulridd 11261 | . 2 โข (๐ โ โค โ (๐ ยท 1) = ๐) |
3 | 1z 12622 | . . . 4 โข 1 โ โค | |
4 | dvds0lem 16243 | . . . 4 โข (((๐ โ โค โง 1 โ โค โง ๐ โ โค) โง (๐ ยท 1) = ๐) โ 1 โฅ ๐) | |
5 | 3, 4 | mp3anl2 1453 | . . 3 โข (((๐ โ โค โง ๐ โ โค) โง (๐ ยท 1) = ๐) โ 1 โฅ ๐) |
6 | 5 | anabsan 664 | . 2 โข ((๐ โ โค โง (๐ ยท 1) = ๐) โ 1 โฅ ๐) |
7 | 2, 6 | mpdan 686 | 1 โข (๐ โ โค โ 1 โฅ ๐) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 = wceq 1534 โ wcel 2099 class class class wbr 5148 (class class class)co 7420 1c1 11139 ยท cmul 11143 โคcz 12588 โฅ cdvds 16230 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1790 ax-4 1804 ax-5 1906 ax-6 1964 ax-7 2004 ax-8 2101 ax-9 2109 ax-10 2130 ax-11 2147 ax-12 2167 ax-ext 2699 ax-sep 5299 ax-nul 5306 ax-pr 5429 ax-un 7740 ax-resscn 11195 ax-1cn 11196 ax-icn 11197 ax-addcl 11198 ax-addrcl 11199 ax-mulcl 11200 ax-mulrcl 11201 ax-mulcom 11202 ax-mulass 11204 ax-distr 11205 ax-i2m1 11206 ax-1ne0 11207 ax-1rid 11208 ax-rrecex 11210 ax-cnre 11211 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 396 df-or 847 df-3or 1086 df-3an 1087 df-tru 1537 df-fal 1547 df-ex 1775 df-nf 1779 df-sb 2061 df-mo 2530 df-eu 2559 df-clab 2706 df-cleq 2720 df-clel 2806 df-nfc 2881 df-ne 2938 df-ral 3059 df-rex 3068 df-reu 3374 df-rab 3430 df-v 3473 df-sbc 3777 df-csb 3893 df-dif 3950 df-un 3952 df-in 3954 df-ss 3964 df-pss 3966 df-nul 4324 df-if 4530 df-pw 4605 df-sn 4630 df-pr 4632 df-op 4636 df-uni 4909 df-iun 4998 df-br 5149 df-opab 5211 df-mpt 5232 df-tr 5266 df-id 5576 df-eprel 5582 df-po 5590 df-so 5591 df-fr 5633 df-we 5635 df-xp 5684 df-rel 5685 df-cnv 5686 df-co 5687 df-dm 5688 df-rn 5689 df-res 5690 df-ima 5691 df-pred 6305 df-ord 6372 df-on 6373 df-lim 6374 df-suc 6375 df-iota 6500 df-fun 6550 df-fn 6551 df-f 6552 df-f1 6553 df-fo 6554 df-f1o 6555 df-fv 6556 df-ov 7423 df-om 7871 df-2nd 7994 df-frecs 8286 df-wrecs 8317 df-recs 8391 df-rdg 8430 df-neg 11477 df-nn 12243 df-z 12589 df-dvds 16231 |
This theorem is referenced by: dvds1 16295 gcdcllem1 16473 gcdcllem3 16475 lcmfunsnlem 16611 coprmproddvds 16633 1idssfct 16650 isprm2lem 16651 dvdsprime 16657 pclem 16806 prmreclem1 16884 oddvdssubg 19809 perfectlem2 27162 oddpwdc 33974 perfectALTVlem2 47062 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |