MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  1dvds Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 1dvds 16160
Description: 1 divides any integer. Theorem 1.1(f) in [ApostolNT] p. 14. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)
Assertion
Ref Expression
1dvds (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ 1 โˆฅ ๐‘)

Proof of Theorem 1dvds
StepHypRef Expression
1 zcn 12511 . . 3 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
21mulid1d 11179 . 2 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘ ยท 1) = ๐‘)
3 1z 12540 . . . 4 1 โˆˆ โ„ค
4 dvds0lem 16156 . . . 4 (((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง 1 โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘ ยท 1) = ๐‘) โ†’ 1 โˆฅ ๐‘)
53, 4mp3anl2 1457 . . 3 (((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘ ยท 1) = ๐‘) โ†’ 1 โˆฅ ๐‘)
65anabsan 664 . 2 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘ ยท 1) = ๐‘) โ†’ 1 โˆฅ ๐‘)
72, 6mpdan 686 1 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ 1 โˆฅ ๐‘)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   class class class wbr 5110  (class class class)co 7362  1c1 11059   ยท cmul 11063  โ„คcz 12506   โˆฅ cdvds 16143
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-ov 7365  df-om 7808  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-neg 11395  df-nn 12161  df-z 12507  df-dvds 16144
This theorem is referenced by:  dvds1  16208  gcdcllem1  16386  gcdcllem3  16388  lcmfunsnlem  16524  coprmproddvds  16546  1idssfct  16563  isprm2lem  16564  dvdsprime  16570  pclem  16717  prmreclem1  16795  oddvdssubg  19640  perfectlem2  26594  oddpwdc  32994  perfectALTVlem2  45988
  Copyright terms: Public domain W3C validator