MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  1dvds Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 1dvds 16247
Description: 1 divides any integer. Theorem 1.1(f) in [ApostolNT] p. 14. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)
Assertion
Ref Expression
1dvds (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ 1 โˆฅ ๐‘)

Proof of Theorem 1dvds
StepHypRef Expression
1 zcn 12593 . . 3 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
21mulridd 11261 . 2 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘ ยท 1) = ๐‘)
3 1z 12622 . . . 4 1 โˆˆ โ„ค
4 dvds0lem 16243 . . . 4 (((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง 1 โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘ ยท 1) = ๐‘) โ†’ 1 โˆฅ ๐‘)
53, 4mp3anl2 1453 . . 3 (((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘ ยท 1) = ๐‘) โ†’ 1 โˆฅ ๐‘)
65anabsan 664 . 2 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘ ยท 1) = ๐‘) โ†’ 1 โˆฅ ๐‘)
72, 6mpdan 686 1 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ 1 โˆฅ ๐‘)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   = wceq 1534   โˆˆ wcel 2099   class class class wbr 5148  (class class class)co 7420  1c1 11139   ยท cmul 11143  โ„คcz 12588   โˆฅ cdvds 16230
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-ov 7423  df-om 7871  df-2nd 7994  df-frecs 8286  df-wrecs 8317  df-recs 8391  df-rdg 8430  df-neg 11477  df-nn 12243  df-z 12589  df-dvds 16231
This theorem is referenced by:  dvds1  16295  gcdcllem1  16473  gcdcllem3  16475  lcmfunsnlem  16611  coprmproddvds  16633  1idssfct  16650  isprm2lem  16651  dvdsprime  16657  pclem  16806  prmreclem1  16884  oddvdssubg  19809  perfectlem2  27162  oddpwdc  33974  perfectALTVlem2  47062
  Copyright terms: Public domain W3C validator