MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  1dvds Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 1dvds 16210
Description: 1 divides any integer. Theorem 1.1(f) in [ApostolNT] p. 14. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)
Assertion
Ref Expression
1dvds (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ 1 โˆฅ ๐‘)

Proof of Theorem 1dvds
StepHypRef Expression
1 zcn 12559 . . 3 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
21mulridd 11227 . 2 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘ ยท 1) = ๐‘)
3 1z 12588 . . . 4 1 โˆˆ โ„ค
4 dvds0lem 16206 . . . 4 (((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง 1 โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘ ยท 1) = ๐‘) โ†’ 1 โˆฅ ๐‘)
53, 4mp3anl2 1456 . . 3 (((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘ ยท 1) = ๐‘) โ†’ 1 โˆฅ ๐‘)
65anabsan 663 . 2 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘ ยท 1) = ๐‘) โ†’ 1 โˆฅ ๐‘)
72, 6mpdan 685 1 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ 1 โˆฅ ๐‘)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106   class class class wbr 5147  (class class class)co 7405  1c1 11107   ยท cmul 11111  โ„คcz 12554   โˆฅ cdvds 16193
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-ov 7408  df-om 7852  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-neg 11443  df-nn 12209  df-z 12555  df-dvds 16194
This theorem is referenced by:  dvds1  16258  gcdcllem1  16436  gcdcllem3  16438  lcmfunsnlem  16574  coprmproddvds  16596  1idssfct  16613  isprm2lem  16614  dvdsprime  16620  pclem  16767  prmreclem1  16845  oddvdssubg  19717  perfectlem2  26722  oddpwdc  33341  perfectALTVlem2  46376
  Copyright terms: Public domain W3C validator