Theorem 1dvds 15672

Description: 1 divides any integer. Theorem 1.1(f) in [ApostolNT] p. 14. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)

Assertion

Ref	Expression
1dvds	⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 1 ∥ 𝑁)

Proof of Theorem 1dvds

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zcn 12025	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
2	1	mulid1d 10696	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 · 1) = 𝑁)
3		1z 12051	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℤ
4		dvds0lem 15668	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 · 1) = 𝑁) → 1 ∥ 𝑁)
5	3, 4	mp3anl2 1453	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 · 1) = 𝑁) → 1 ∥ 𝑁)
6	5	anabsan 664	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 · 1) = 𝑁) → 1 ∥ 𝑁)
7	2, 6	mpdan 686	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 1 ∥ 𝑁)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   class class class wbr 5032  (class class class)co 7150  1c1 10576   · cmul 10580  ℤcz 12020   ∥ cdvds 15655

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-sep 5169  ax-nul 5176  ax-pr 5298  ax-un 7459  ax-resscn 10632  ax-1cn 10633  ax-icn 10634  ax-addcl 10635  ax-addrcl 10636  ax-mulcl 10637  ax-mulrcl 10638  ax-mulcom 10639  ax-mulass 10641  ax-distr 10642  ax-i2m1 10643  ax-1ne0 10644  ax-1rid 10645  ax-rrecex 10647  ax-cnre 10648

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3697  df-csb 3806  df-dif 3861  df-un 3863  df-in 3865  df-ss 3875  df-pss 3877  df-nul 4226  df-if 4421  df-pw 4496  df-sn 4523  df-pr 4525  df-tp 4527  df-op 4529  df-uni 4799  df-iun 4885  df-br 5033  df-opab 5095  df-mpt 5113  df-tr 5139  df-id 5430  df-eprel 5435  df-po 5443  df-so 5444  df-fr 5483  df-we 5485  df-xp 5530  df-rel 5531  df-cnv 5532  df-co 5533  df-dm 5534  df-rn 5535  df-res 5536  df-ima 5537  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6294  df-fun 6337  df-fn 6338  df-f 6339  df-f1 6340  df-fo 6341  df-f1o 6342  df-fv 6343  df-ov 7153  df-om 7580  df-wrecs 7957  df-recs 8018  df-rdg 8056  df-neg 10911  df-nn 11675  df-z 12021  df-dvds 15656

This theorem is referenced by:  dvds1  15720  gcdcllem1  15898  gcdcllem3  15900  lcmfunsnlem  16037  coprmproddvds  16059  1idssfct  16076  isprm2lem  16077  dvdsprime  16083  pclem  16230  prmreclem1  16307  oddvdssubg  19043  perfectlem2  25913  oddpwdc  31840  perfectALTVlem2  44629