Theorem ecexALTV 35603

Description: Existence of a coset, like ecexg 8293 but with a weaker antecedent: only the restricion of 𝑅 by the singleton of 𝐴 needs to be a set, not 𝑅 itself, see e.g. eccnvepex 35607. (Contributed by Peter Mazsa, 22-Feb-2023.)

Assertion

Ref	Expression
ecexALTV	⊢ ((𝑅 ↾ {𝐴}) ∈ 𝑉 → [𝐴]𝑅 ∈ V)

Proof of Theorem ecexALTV

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ec 8291	. 2 ⊢ [𝐴]𝑅 = (𝑅 “ {𝐴})
2		snex 5332	. . 3 ⊢ {𝐴} ∈ V
3		imaexALTV 35602	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ V ∨ ((𝑅 ↾ {𝐴}) ∈ 𝑉 ∧ {𝐴} ∈ V)) → (𝑅 “ {𝐴}) ∈ V)
4	3	olcs 872	. . 3 ⊢ (((𝑅 ↾ {𝐴}) ∈ 𝑉 ∧ {𝐴} ∈ V) → (𝑅 “ {𝐴}) ∈ V)
5	2, 4	mpan2 689	. 2 ⊢ ((𝑅 ↾ {𝐴}) ∈ 𝑉 → (𝑅 “ {𝐴}) ∈ V)
6	1, 5	eqeltrid 2917	1 ⊢ ((𝑅 ↾ {𝐴}) ∈ 𝑉 → [𝐴]𝑅 ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   ∈ wcel 2114  Vcvv 3494  {csn 4567   ↾ cres 5557   “ cima 5558  [cec 8287

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-rep 5190  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pr 5330  ax-un 7461

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-nul 4292  df-if 4468  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4839  df-iun 4921  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-id 5460  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-ec 8291  df-qs 8295

This theorem is referenced by:  eccnvepex  35607