Theorem disjres 36958

Description: Disjoint restriction. (Contributed by Peter Mazsa, 25-Aug-2023.)

Assertion

Ref	Expression
disjres	⊢ (Rel 𝑅 → ( Disj (𝑅 ↾ 𝐴) ↔ ∀𝑢 ∈ 𝐴 ∀𝑣 ∈ 𝐴 (𝑢 = 𝑣 ∨ ([𝑢]𝑅 ∩ [𝑣]𝑅) = ∅)))

Distinct variable groups:   𝑢,𝐴,𝑣   𝑢,𝑅,𝑣

Proof of Theorem disjres

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relres 5932	. . . 4 ⊢ Rel (𝑅 ↾ 𝐴)
2		dfdisjALTV4 36930	. . . 4 ⊢ ( Disj (𝑅 ↾ 𝐴) ↔ (∀𝑥∃*𝑢 𝑢(𝑅 ↾ 𝐴)𝑥 ∧ Rel (𝑅 ↾ 𝐴)))
3	1, 2	mpbiran2 708	. . 3 ⊢ ( Disj (𝑅 ↾ 𝐴) ↔ ∀𝑥∃*𝑢 𝑢(𝑅 ↾ 𝐴)𝑥)
4		brres 5910	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ V → (𝑢(𝑅 ↾ 𝐴)𝑥 ↔ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑢𝑅𝑥)))
5	4	elv 3443	. . . . . 6 ⊢ (𝑢(𝑅 ↾ 𝐴)𝑥 ↔ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑢𝑅𝑥))
6	5	mobii 2546	. . . . 5 ⊢ (∃*𝑢 𝑢(𝑅 ↾ 𝐴)𝑥 ↔ ∃*𝑢(𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑢𝑅𝑥))
7		df-rmo 3331	. . . . 5 ⊢ (∃*𝑢 ∈ 𝐴 𝑢𝑅𝑥 ↔ ∃*𝑢(𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑢𝑅𝑥))
8	6, 7	bitr4i 278	. . . 4 ⊢ (∃*𝑢 𝑢(𝑅 ↾ 𝐴)𝑥 ↔ ∃*𝑢 ∈ 𝐴 𝑢𝑅𝑥)
9	8	albii 1819	. . 3 ⊢ (∀𝑥∃*𝑢 𝑢(𝑅 ↾ 𝐴)𝑥 ↔ ∀𝑥∃*𝑢 ∈ 𝐴 𝑢𝑅𝑥)
10	3, 9	bitri 275	. 2 ⊢ ( Disj (𝑅 ↾ 𝐴) ↔ ∀𝑥∃*𝑢 ∈ 𝐴 𝑢𝑅𝑥)
11		id 22	. . 3 ⊢ (𝑢 = 𝑣 → 𝑢 = 𝑣)
12	11	inecmo 36568	. 2 ⊢ (Rel 𝑅 → (∀𝑢 ∈ 𝐴 ∀𝑣 ∈ 𝐴 (𝑢 = 𝑣 ∨ ([𝑢]𝑅 ∩ [𝑣]𝑅) = ∅) ↔ ∀𝑥∃*𝑢 ∈ 𝐴 𝑢𝑅𝑥))
13	10, 12	bitr4id 290	1 ⊢ (Rel 𝑅 → ( Disj (𝑅 ↾ 𝐴) ↔ ∀𝑢 ∈ 𝐴 ∀𝑣 ∈ 𝐴 (𝑢 = 𝑣 ∨ ([𝑢]𝑅 ∩ [𝑣]𝑅) = ∅)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∨ wo 845  ∀wal 1537   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  ∃*wmo 2536  ∀wral 3061  ∃*wrmo 3329  Vcvv 3437   ∩ cin 3891  ∅c0 4262   class class class wbr 5081   ↾ cres 5602  Rel wrel 5605  [cec 8527   Disj wdisjALTV 36415

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2707  ax-sep 5232  ax-nul 5239  ax-pr 5361

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3331  df-rab 3333  df-v 3439  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-nul 4263  df-if 4466  df-sn 4566  df-pr 4568  df-op 4572  df-br 5082  df-opab 5144  df-id 5500  df-xp 5606  df-rel 5607  df-cnv 5608  df-co 5609  df-dm 5610  df-rn 5611  df-res 5612  df-ima 5613  df-ec 8531  df-coss 36625  df-cnvrefrel 36741  df-disjALTV 36919

This theorem is referenced by:  disjxrnres5  36961