Theorem disjres 39593

Description: Disjoint restriction. (Contributed by Peter Mazsa, 25-Aug-2023.)

Assertion

Ref	Expression
disjres	⊢ (Rel 𝑅 → ( Disj (𝑅 ↾ 𝐴) ↔ ∀𝑢 ∈ 𝐴 ∀𝑣 ∈ 𝐴 (𝑢 = 𝑣 ∨ ([𝑢]𝑅 ∩ [𝑣]𝑅) = ∅)))

Distinct variable groups:   𝑢,𝐴,𝑣   𝑢,𝑅,𝑣

Proof of Theorem disjres

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relres 5998	. . . 4 ⊢ Rel (𝑅 ↾ 𝐴)
2		dfdisjALTV4 39550	. . . 4 ⊢ ( Disj (𝑅 ↾ 𝐴) ↔ (∀𝑥∃*𝑢 𝑢(𝑅 ↾ 𝐴)𝑥 ∧ Rel (𝑅 ↾ 𝐴)))
3	1, 2	mpbiran2 723	. . 3 ⊢ ( Disj (𝑅 ↾ 𝐴) ↔ ∀𝑥∃*𝑢 𝑢(𝑅 ↾ 𝐴)𝑥)
4		brres 5979	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ V → (𝑢(𝑅 ↾ 𝐴)𝑥 ↔ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑢𝑅𝑥)))
5	4	elv 3455	. . . . . 6 ⊢ (𝑢(𝑅 ↾ 𝐴)𝑥 ↔ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑢𝑅𝑥))
6	5	mobii 2573	. . . . 5 ⊢ (∃*𝑢 𝑢(𝑅 ↾ 𝐴)𝑥 ↔ ∃*𝑢(𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑢𝑅𝑥))
7		df-rmo 3365	. . . . 5 ⊢ (∃*𝑢 ∈ 𝐴 𝑢𝑅𝑥 ↔ ∃*𝑢(𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑢𝑅𝑥))
8	6, 7	bitr4i 281	. . . 4 ⊢ (∃*𝑢 𝑢(𝑅 ↾ 𝐴)𝑥 ↔ ∃*𝑢 ∈ 𝐴 𝑢𝑅𝑥)
9	8	albii 1852	. . 3 ⊢ (∀𝑥∃*𝑢 𝑢(𝑅 ↾ 𝐴)𝑥 ↔ ∀𝑥∃*𝑢 ∈ 𝐴 𝑢𝑅𝑥)
10	3, 9	bitri 278	. 2 ⊢ ( Disj (𝑅 ↾ 𝐴) ↔ ∀𝑥∃*𝑢 ∈ 𝐴 𝑢𝑅𝑥)
11		id 23	. . 3 ⊢ (𝑢 = 𝑣 → 𝑢 = 𝑣)
12	11	inecmo 39104	. 2 ⊢ (Rel 𝑅 → (∀𝑢 ∈ 𝐴 ∀𝑣 ∈ 𝐴 (𝑢 = 𝑣 ∨ ([𝑢]𝑅 ∩ [𝑣]𝑅) = ∅) ↔ ∀𝑥∃*𝑢 ∈ 𝐴 𝑢𝑅𝑥))
13	10, 12	bitr4id 293	1 ⊢ (Rel 𝑅 → ( Disj (𝑅 ↾ 𝐴) ↔ ∀𝑢 ∈ 𝐴 ∀𝑣 ∈ 𝐴 (𝑢 = 𝑣 ∨ ([𝑢]𝑅 ∩ [𝑣]𝑅) = ∅)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861  ∀wal 1568   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∃*wmo 2562  ∀wral 3076  ∃*wrmo 3364  Vcvv 3450   ∩ cin 3898  ∅c0 4279   class class class wbr 5103   ↾ cres 5657  Rel wrel 5660  [cec 8695   Disj wdisjALTV 38968

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-pr 5398

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-rab 3413  df-v 3452  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-br 5104  df-opab 5168  df-id 5550  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-ec 8699  df-coss 39250  df-cnvrefrel 39356  df-disjALTV 39539

This theorem is used by:  disjxrnres5  39596