Users' Mathboxes Mathbox for Peter Mazsa < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  disjres Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem disjres 38726
Description: Disjoint restriction. (Contributed by Peter Mazsa, 25-Aug-2023.)
Assertion
Ref Expression
disjres (Rel 𝑅 → ( Disj (𝑅𝐴) ↔ ∀𝑢𝐴𝑣𝐴 (𝑢 = 𝑣 ∨ ([𝑢]𝑅 ∩ [𝑣]𝑅) = ∅)))
Distinct variable groups:   𝑢,𝐴,𝑣   𝑢,𝑅,𝑣

Proof of Theorem disjres
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 relres 6026 . . . 4 Rel (𝑅𝐴)
2 dfdisjALTV4 38698 . . . 4 ( Disj (𝑅𝐴) ↔ (∀𝑥∃*𝑢 𝑢(𝑅𝐴)𝑥 ∧ Rel (𝑅𝐴)))
31, 2mpbiran2 710 . . 3 ( Disj (𝑅𝐴) ↔ ∀𝑥∃*𝑢 𝑢(𝑅𝐴)𝑥)
4 brres 6007 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ V → (𝑢(𝑅𝐴)𝑥 ↔ (𝑢𝐴𝑢𝑅𝑥)))
54elv 3483 . . . . . 6 (𝑢(𝑅𝐴)𝑥 ↔ (𝑢𝐴𝑢𝑅𝑥))
65mobii 2546 . . . . 5 (∃*𝑢 𝑢(𝑅𝐴)𝑥 ↔ ∃*𝑢(𝑢𝐴𝑢𝑅𝑥))
7 df-rmo 3378 . . . . 5 (∃*𝑢𝐴 𝑢𝑅𝑥 ↔ ∃*𝑢(𝑢𝐴𝑢𝑅𝑥))
86, 7bitr4i 278 . . . 4 (∃*𝑢 𝑢(𝑅𝐴)𝑥 ↔ ∃*𝑢𝐴 𝑢𝑅𝑥)
98albii 1816 . . 3 (∀𝑥∃*𝑢 𝑢(𝑅𝐴)𝑥 ↔ ∀𝑥∃*𝑢𝐴 𝑢𝑅𝑥)
103, 9bitri 275 . 2 ( Disj (𝑅𝐴) ↔ ∀𝑥∃*𝑢𝐴 𝑢𝑅𝑥)
11 id 22 . . 3 (𝑢 = 𝑣𝑢 = 𝑣)
1211inecmo 38337 . 2 (Rel 𝑅 → (∀𝑢𝐴𝑣𝐴 (𝑢 = 𝑣 ∨ ([𝑢]𝑅 ∩ [𝑣]𝑅) = ∅) ↔ ∀𝑥∃*𝑢𝐴 𝑢𝑅𝑥))
1310, 12bitr4id 290 1 (Rel 𝑅 → ( Disj (𝑅𝐴) ↔ ∀𝑢𝐴𝑣𝐴 (𝑢 = 𝑣 ∨ ([𝑢]𝑅 ∩ [𝑣]𝑅) = ∅)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  wo 847  wal 1535   = wceq 1537  wcel 2106  ∃*wmo 2536  wral 3059  ∃*wrmo 3377  Vcvv 3478  cin 3962  c0 4339   class class class wbr 5148  cres 5691  Rel wrel 5694  [cec 8742   Disj wdisjALTV 38196
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pr 5438
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-rab 3434  df-v 3480  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-br 5149  df-opab 5211  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-ec 8746  df-coss 38393  df-cnvrefrel 38509  df-disjALTV 38687
This theorem is referenced by:  disjxrnres5  38729
  Copyright terms: Public domain W3C validator