Users' Mathboxes Mathbox for Peter Mazsa < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  disjres Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem disjres 37614
Description: Disjoint restriction. (Contributed by Peter Mazsa, 25-Aug-2023.)
Assertion
Ref Expression
disjres (Rel 𝑅 → ( Disj (𝑅𝐴) ↔ ∀𝑢𝐴𝑣𝐴 (𝑢 = 𝑣 ∨ ([𝑢]𝑅 ∩ [𝑣]𝑅) = ∅)))
Distinct variable groups:   𝑢,𝐴,𝑣   𝑢,𝑅,𝑣

Proof of Theorem disjres
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 relres 6011 . . . 4 Rel (𝑅𝐴)
2 dfdisjALTV4 37586 . . . 4 ( Disj (𝑅𝐴) ↔ (∀𝑥∃*𝑢 𝑢(𝑅𝐴)𝑥 ∧ Rel (𝑅𝐴)))
31, 2mpbiran2 709 . . 3 ( Disj (𝑅𝐴) ↔ ∀𝑥∃*𝑢 𝑢(𝑅𝐴)𝑥)
4 brres 5989 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ V → (𝑢(𝑅𝐴)𝑥 ↔ (𝑢𝐴𝑢𝑅𝑥)))
54elv 3481 . . . . . 6 (𝑢(𝑅𝐴)𝑥 ↔ (𝑢𝐴𝑢𝑅𝑥))
65mobii 2543 . . . . 5 (∃*𝑢 𝑢(𝑅𝐴)𝑥 ↔ ∃*𝑢(𝑢𝐴𝑢𝑅𝑥))
7 df-rmo 3377 . . . . 5 (∃*𝑢𝐴 𝑢𝑅𝑥 ↔ ∃*𝑢(𝑢𝐴𝑢𝑅𝑥))
86, 7bitr4i 278 . . . 4 (∃*𝑢 𝑢(𝑅𝐴)𝑥 ↔ ∃*𝑢𝐴 𝑢𝑅𝑥)
98albii 1822 . . 3 (∀𝑥∃*𝑢 𝑢(𝑅𝐴)𝑥 ↔ ∀𝑥∃*𝑢𝐴 𝑢𝑅𝑥)
103, 9bitri 275 . 2 ( Disj (𝑅𝐴) ↔ ∀𝑥∃*𝑢𝐴 𝑢𝑅𝑥)
11 id 22 . . 3 (𝑢 = 𝑣𝑢 = 𝑣)
1211inecmo 37224 . 2 (Rel 𝑅 → (∀𝑢𝐴𝑣𝐴 (𝑢 = 𝑣 ∨ ([𝑢]𝑅 ∩ [𝑣]𝑅) = ∅) ↔ ∀𝑥∃*𝑢𝐴 𝑢𝑅𝑥))
1310, 12bitr4id 290 1 (Rel 𝑅 → ( Disj (𝑅𝐴) ↔ ∀𝑢𝐴𝑣𝐴 (𝑢 = 𝑣 ∨ ([𝑢]𝑅 ∩ [𝑣]𝑅) = ∅)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397  wo 846  wal 1540   = wceq 1542  wcel 2107  ∃*wmo 2533  wral 3062  ∃*wrmo 3376  Vcvv 3475  cin 3948  c0 4323   class class class wbr 5149  cres 5679  Rel wrel 5682  [cec 8701   Disj wdisjALTV 37077
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pr 5428
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-rab 3434  df-v 3477  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-br 5150  df-opab 5212  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-ec 8705  df-coss 37281  df-cnvrefrel 37397  df-disjALTV 37575
This theorem is referenced by:  disjxrnres5  37617
  Copyright terms: Public domain W3C validator