Users' Mathboxes Mathbox for Peter Mazsa < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  disjres Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem disjres 37195
Description: Disjoint restriction. (Contributed by Peter Mazsa, 25-Aug-2023.)
Assertion
Ref Expression
disjres (Rel 𝑅 → ( Disj (𝑅𝐴) ↔ ∀𝑢𝐴𝑣𝐴 (𝑢 = 𝑣 ∨ ([𝑢]𝑅 ∩ [𝑣]𝑅) = ∅)))
Distinct variable groups:   𝑢,𝐴,𝑣   𝑢,𝑅,𝑣

Proof of Theorem disjres
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 relres 5965 . . . 4 Rel (𝑅𝐴)
2 dfdisjALTV4 37167 . . . 4 ( Disj (𝑅𝐴) ↔ (∀𝑥∃*𝑢 𝑢(𝑅𝐴)𝑥 ∧ Rel (𝑅𝐴)))
31, 2mpbiran2 708 . . 3 ( Disj (𝑅𝐴) ↔ ∀𝑥∃*𝑢 𝑢(𝑅𝐴)𝑥)
4 brres 5943 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ V → (𝑢(𝑅𝐴)𝑥 ↔ (𝑢𝐴𝑢𝑅𝑥)))
54elv 3450 . . . . . 6 (𝑢(𝑅𝐴)𝑥 ↔ (𝑢𝐴𝑢𝑅𝑥))
65mobii 2546 . . . . 5 (∃*𝑢 𝑢(𝑅𝐴)𝑥 ↔ ∃*𝑢(𝑢𝐴𝑢𝑅𝑥))
7 df-rmo 3352 . . . . 5 (∃*𝑢𝐴 𝑢𝑅𝑥 ↔ ∃*𝑢(𝑢𝐴𝑢𝑅𝑥))
86, 7bitr4i 277 . . . 4 (∃*𝑢 𝑢(𝑅𝐴)𝑥 ↔ ∃*𝑢𝐴 𝑢𝑅𝑥)
98albii 1821 . . 3 (∀𝑥∃*𝑢 𝑢(𝑅𝐴)𝑥 ↔ ∀𝑥∃*𝑢𝐴 𝑢𝑅𝑥)
103, 9bitri 274 . 2 ( Disj (𝑅𝐴) ↔ ∀𝑥∃*𝑢𝐴 𝑢𝑅𝑥)
11 id 22 . . 3 (𝑢 = 𝑣𝑢 = 𝑣)
1211inecmo 36805 . 2 (Rel 𝑅 → (∀𝑢𝐴𝑣𝐴 (𝑢 = 𝑣 ∨ ([𝑢]𝑅 ∩ [𝑣]𝑅) = ∅) ↔ ∀𝑥∃*𝑢𝐴 𝑢𝑅𝑥))
1310, 12bitr4id 289 1 (Rel 𝑅 → ( Disj (𝑅𝐴) ↔ ∀𝑢𝐴𝑣𝐴 (𝑢 = 𝑣 ∨ ([𝑢]𝑅 ∩ [𝑣]𝑅) = ∅)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  wo 845  wal 1539   = wceq 1541  wcel 2106  ∃*wmo 2536  wral 3063  ∃*wrmo 3351  Vcvv 3444  cin 3908  c0 4281   class class class wbr 5104  cres 5634  Rel wrel 5637  [cec 8643   Disj wdisjALTV 36657
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5255  ax-nul 5262  ax-pr 5383
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ral 3064  df-rex 3073  df-rmo 3352  df-rab 3407  df-v 3446  df-dif 3912  df-un 3914  df-in 3916  df-ss 3926  df-nul 4282  df-if 4486  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-br 5105  df-opab 5167  df-id 5530  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-ec 8647  df-coss 36862  df-cnvrefrel 36978  df-disjALTV 37156
This theorem is referenced by:  disjxrnres5  37198
  Copyright terms: Public domain W3C validator