Theorem elfunsALTVfunALTV 37436

Description: The element of the class of functions and the function predicate are the same when 𝐹 is a set. (Contributed by Peter Mazsa, 26-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
elfunsALTVfunALTV	⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → (𝐹 ∈ FunsALTV ↔ FunALTV 𝐹))

Proof of Theorem elfunsALTVfunALTV

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cossex 37158	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → ≀ 𝐹 ∈ V)
2		elcnvrefrelsrel 37275	. . . 4 ⊢ ( ≀ 𝐹 ∈ V → ( ≀ 𝐹 ∈ CnvRefRels ↔ CnvRefRel ≀ 𝐹))
3	1, 2	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → ( ≀ 𝐹 ∈ CnvRefRels ↔ CnvRefRel ≀ 𝐹))
4		elrelsrel 37226	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → (𝐹 ∈ Rels ↔ Rel 𝐹))
5	3, 4	anbi12d 631	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → (( ≀ 𝐹 ∈ CnvRefRels ∧ 𝐹 ∈ Rels ) ↔ ( CnvRefRel ≀ 𝐹 ∧ Rel 𝐹)))
6		elfunsALTV 37431	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ FunsALTV ↔ ( ≀ 𝐹 ∈ CnvRefRels ∧ 𝐹 ∈ Rels ))
7		df-funALTV 37421	. 2 ⊢ ( FunALTV 𝐹 ↔ ( CnvRefRel ≀ 𝐹 ∧ Rel 𝐹))
8	5, 6, 7	3bitr4g 313	1 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → (𝐹 ∈ FunsALTV ↔ FunALTV 𝐹))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∈ wcel 2106  Vcvv 3474  Rel wrel 5675   ≀ ccoss 36912   Rels crels 36914   CnvRefRels ccnvrefrels 36920   CnvRefRel wcnvrefrel 36921   FunsALTV cfunsALTV 36942   FunALTV wfunALTV 36943

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5357  ax-pr 5421  ax-un 7709

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3433  df-v 3476  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-nul 4320  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-br 5143  df-opab 5205  df-xp 5676  df-rel 5677  df-cnv 5678  df-co 5679  df-dm 5680  df-rn 5681  df-res 5682  df-coss 37150  df-rels 37224  df-ssr 37237  df-cnvrefs 37264  df-cnvrefrels 37265  df-cnvrefrel 37266  df-funss 37419  df-funsALTV 37420  df-funALTV 37421

This theorem is referenced by: (None)