Theorem elfunsALTVfunALTV 38657

Description: The element of the class of functions and the function predicate are the same when 𝐹 is a set. (Contributed by Peter Mazsa, 26-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
elfunsALTVfunALTV	⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → (𝐹 ∈ FunsALTV ↔ FunALTV 𝐹))

Proof of Theorem elfunsALTVfunALTV

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cossex 38379	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → ≀ 𝐹 ∈ V)
2		elcnvrefrelsrel 38496	. . . 4 ⊢ ( ≀ 𝐹 ∈ V → ( ≀ 𝐹 ∈ CnvRefRels ↔ CnvRefRel ≀ 𝐹))
3	1, 2	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → ( ≀ 𝐹 ∈ CnvRefRels ↔ CnvRefRel ≀ 𝐹))
4		elrelsrel 38447	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → (𝐹 ∈ Rels ↔ Rel 𝐹))
5	3, 4	anbi12d 632	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → (( ≀ 𝐹 ∈ CnvRefRels ∧ 𝐹 ∈ Rels ) ↔ ( CnvRefRel ≀ 𝐹 ∧ Rel 𝐹)))
6		elfunsALTV 38652	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ FunsALTV ↔ ( ≀ 𝐹 ∈ CnvRefRels ∧ 𝐹 ∈ Rels ))
7		df-funALTV 38642	. 2 ⊢ ( FunALTV 𝐹 ↔ ( CnvRefRel ≀ 𝐹 ∧ Rel 𝐹))
8	5, 6, 7	3bitr4g 314	1 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → (𝐹 ∈ FunsALTV ↔ FunALTV 𝐹))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2107  Vcvv 3463  Rel wrel 5670   ≀ ccoss 38141   Rels crels 38143   CnvRefRels ccnvrefrels 38149   CnvRefRel wcnvrefrel 38150   FunsALTV cfunsALTV 38171   FunALTV wfunALTV 38172

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-sep 5276  ax-nul 5286  ax-pow 5345  ax-pr 5412  ax-un 7737

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rab 3420  df-v 3465  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4888  df-br 5124  df-opab 5186  df-xp 5671  df-rel 5672  df-cnv 5673  df-co 5674  df-dm 5675  df-rn 5676  df-res 5677  df-coss 38371  df-rels 38445  df-ssr 38458  df-cnvrefs 38485  df-cnvrefrels 38486  df-cnvrefrel 38487  df-funss 38640  df-funsALTV 38641  df-funALTV 38642

This theorem is referenced by: (None)