Theorem elfunsALTVfunALTV 39123

Description: The element of the class of functions and the function predicate are the same when 𝐹 is a set. (Contributed by Peter Mazsa, 26-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
elfunsALTVfunALTV	⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → (𝐹 ∈ FunsALTV ↔ FunALTV 𝐹))

Proof of Theorem elfunsALTVfunALTV

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cossex 38850	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → ≀ 𝐹 ∈ V)
2		elcnvrefrelsrel 38957	. . . 4 ⊢ ( ≀ 𝐹 ∈ V → ( ≀ 𝐹 ∈ CnvRefRels ↔ CnvRefRel ≀ 𝐹))
3	1, 2	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → ( ≀ 𝐹 ∈ CnvRefRels ↔ CnvRefRel ≀ 𝐹))
4		elrelsrel 38783	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → (𝐹 ∈ Rels ↔ Rel 𝐹))
5	3, 4	anbi12d 633	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → (( ≀ 𝐹 ∈ CnvRefRels ∧ 𝐹 ∈ Rels ) ↔ ( CnvRefRel ≀ 𝐹 ∧ Rel 𝐹)))
6		elfunsALTV 39118	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ FunsALTV ↔ ( ≀ 𝐹 ∈ CnvRefRels ∧ 𝐹 ∈ Rels ))
7		df-funALTV 39108	. 2 ⊢ ( FunALTV 𝐹 ↔ ( CnvRefRel ≀ 𝐹 ∧ Rel 𝐹))
8	5, 6, 7	3bitr4g 314	1 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → (𝐹 ∈ FunsALTV ↔ FunALTV 𝐹))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2114  Vcvv 3430  Rel wrel 5631   ≀ ccoss 38524   Rels crels 38526   CnvRefRels ccnvrefrels 38532   CnvRefRel wcnvrefrel 38533   FunsALTV cfunsALTV 38556   FunALTV wfunALTV 38557

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-pow 5304  ax-pr 5372  ax-un 7684

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-sb 2069  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3391  df-v 3432  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-br 5087  df-opab 5149  df-xp 5632  df-rel 5633  df-cnv 5634  df-co 5635  df-dm 5636  df-rn 5637  df-res 5638  df-rels 38781  df-coss 38842  df-ssr 38919  df-cnvrefs 38946  df-cnvrefrels 38947  df-cnvrefrel 38948  df-funss 39106  df-funsALTV 39107  df-funALTV 39108

This theorem is referenced by: (None)