Theorem elfunsALTVfunALTV 38985

Description: The element of the class of functions and the function predicate are the same when 𝐹 is a set. (Contributed by Peter Mazsa, 26-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
elfunsALTVfunALTV	⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → (𝐹 ∈ FunsALTV ↔ FunALTV 𝐹))

Proof of Theorem elfunsALTVfunALTV

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cossex 38712	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → ≀ 𝐹 ∈ V)
2		elcnvrefrelsrel 38819	. . . 4 ⊢ ( ≀ 𝐹 ∈ V → ( ≀ 𝐹 ∈ CnvRefRels ↔ CnvRefRel ≀ 𝐹))
3	1, 2	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → ( ≀ 𝐹 ∈ CnvRefRels ↔ CnvRefRel ≀ 𝐹))
4		elrelsrel 38645	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → (𝐹 ∈ Rels ↔ Rel 𝐹))
5	3, 4	anbi12d 633	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → (( ≀ 𝐹 ∈ CnvRefRels ∧ 𝐹 ∈ Rels ) ↔ ( CnvRefRel ≀ 𝐹 ∧ Rel 𝐹)))
6		elfunsALTV 38980	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ FunsALTV ↔ ( ≀ 𝐹 ∈ CnvRefRels ∧ 𝐹 ∈ Rels ))
7		df-funALTV 38970	. 2 ⊢ ( FunALTV 𝐹 ↔ ( CnvRefRel ≀ 𝐹 ∧ Rel 𝐹))
8	5, 6, 7	3bitr4g 314	1 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → (𝐹 ∈ FunsALTV ↔ FunALTV 𝐹))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2114  Vcvv 3441  Rel wrel 5630   ≀ ccoss 38386   Rels crels 38388   CnvRefRels ccnvrefrels 38394   CnvRefRel wcnvrefrel 38395   FunsALTV cfunsALTV 38418   FunALTV wfunALTV 38419

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-ext 2709  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7682

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-sb 2069  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rab 3401  df-v 3443  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-br 5100  df-opab 5162  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-rels 38643  df-coss 38704  df-ssr 38781  df-cnvrefs 38808  df-cnvrefrels 38809  df-cnvrefrel 38810  df-funss 38968  df-funsALTV 38969  df-funALTV 38970

This theorem is referenced by: (None)