Theorem f1preimaex 35765

Description: If the image under a one-to-one function exists, then the corresponding preimage also exists. (Contributed by BTernaryTau, 21-Jun-2026.)

Assertion

Ref	Expression
f1preimaex	⊢ ((𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ∧ 𝐶 ⊆ 𝐴 ∧ (𝐹 “ 𝐶) ∈ 𝑉) → 𝐶 ∈ V)

Proof of Theorem f1preimaex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-f1 6548	. . . . 5 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ↔ (𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ Fun ◡𝐹))
2	1	simprbi 503	. . . 4 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1→𝐵 → Fun ◡𝐹)
3		funimaexg 6631	. . . 4 ⊢ ((Fun ◡𝐹 ∧ (𝐹 “ 𝐶) ∈ 𝑉) → (◡𝐹 “ (𝐹 “ 𝐶)) ∈ V)
4	2, 3	sylan 592	. . 3 ⊢ ((𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ∧ (𝐹 “ 𝐶) ∈ 𝑉) → (◡𝐹 “ (𝐹 “ 𝐶)) ∈ V)
5	4	3adant2 1149	. 2 ⊢ ((𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ∧ 𝐶 ⊆ 𝐴 ∧ (𝐹 “ 𝐶) ∈ 𝑉) → (◡𝐹 “ (𝐹 “ 𝐶)) ∈ V)
6		f1imacnv 6846	. . . 4 ⊢ ((𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ∧ 𝐶 ⊆ 𝐴) → (◡𝐹 “ (𝐹 “ 𝐶)) = 𝐶)
7	6	eleq1d 2845	. . 3 ⊢ ((𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ∧ 𝐶 ⊆ 𝐴) → ((◡𝐹 “ (𝐹 “ 𝐶)) ∈ V ↔ 𝐶 ∈ V))
8	7	3adant3 1150	. 2 ⊢ ((𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ∧ 𝐶 ⊆ 𝐴 ∧ (𝐹 “ 𝐶) ∈ 𝑉) → ((◡𝐹 “ (𝐹 “ 𝐶)) ∈ V ↔ 𝐶 ∈ V))
9	5, 8	mpbid 235	1 ⊢ ((𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ∧ 𝐶 ⊆ 𝐴 ∧ (𝐹 “ 𝐶) ∈ 𝑉) → 𝐶 ∈ V)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   ∈ wcel 2144  Vcvv 3450   ⊆ wss 3896  ^◡ccnv 5650   “ cima 5654  Fun wfun 6537  ⟶wf 6539  –1-1→wf1 6540

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-pr 5391

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-ss 3897  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-br 5103  df-opab 5167  df-id 5546  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550

This theorem is used by:  vonf1onprcf1ac  35995