Theorem fullthinc 46215

Description: A functor to a thin category is full iff empty hom-sets are mapped to empty hom-sets. (Contributed by Zhi Wang, 1-Oct-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
fullthinc.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
fullthinc.j	⊢ 𝐽 = (Hom ‘𝐷)
fullthinc.h	⊢ 𝐻 = (Hom ‘𝐶)
fullthinc.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ThinCat)
fullthinc.f	⊢ (𝜑 → 𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺)

Assertion

Ref	Expression
fullthinc	⊢ (𝜑 → (𝐹(𝐶 Full 𝐷)𝐺 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥𝐻𝑦) = ∅ → ((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦)) = ∅)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐶,𝑦   𝑥,𝐷,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦   𝑥,𝐺,𝑦   𝑥,𝐻,𝑦   𝑥,𝐽,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem fullthinc

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fullthinc.d	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ThinCat)
2		fullthinc.f	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺)
3		fullthinc.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
4		fullthinc.j	. . . . . 6 ⊢ 𝐽 = (Hom ‘𝐷)
5		fullthinc.h	. . . . . 6 ⊢ 𝐻 = (Hom ‘𝐶)
6	3, 4, 5	isfull2 17543	. . . . 5 ⊢ (𝐹(𝐶 Full 𝐷)𝐺 ↔ (𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥𝐺𝑦):(𝑥𝐻𝑦)–onto→((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦))))
7		foeq2 6669	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥𝐻𝑦) = ∅ → ((𝑥𝐺𝑦):(𝑥𝐻𝑦)–onto→((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦)) ↔ (𝑥𝐺𝑦):∅–onto→((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦))))
8		fo00 6735	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥𝐺𝑦):∅–onto→((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦)) ↔ ((𝑥𝐺𝑦) = ∅ ∧ ((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦)) = ∅))
9	8	simprbi 496	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥𝐺𝑦):∅–onto→((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦)) → ((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦)) = ∅)
10	7, 9	syl6bi 252	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥𝐻𝑦) = ∅ → ((𝑥𝐺𝑦):(𝑥𝐻𝑦)–onto→((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦)) → ((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦)) = ∅))
11	10	com12 32	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥𝐺𝑦):(𝑥𝐻𝑦)–onto→((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦)) → ((𝑥𝐻𝑦) = ∅ → ((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦)) = ∅))
12	11	2ralimi 3087	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥𝐺𝑦):(𝑥𝐻𝑦)–onto→((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦)) → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥𝐻𝑦) = ∅ → ((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦)) = ∅))
13	6, 12	simplbiim 504	. . . 4 ⊢ (𝐹(𝐶 Full 𝐷)𝐺 → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥𝐻𝑦) = ∅ → ((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦)) = ∅))
14	13	adantl 481	. . 3 ⊢ (((𝐷 ∈ ThinCat ∧ 𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺) ∧ 𝐹(𝐶 Full 𝐷)𝐺) → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥𝐻𝑦) = ∅ → ((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦)) = ∅))
15		simplr 765	. . . 4 ⊢ (((𝐷 ∈ ThinCat ∧ 𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥𝐻𝑦) = ∅ → ((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦)) = ∅)) → 𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺)
16		imor 849	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥𝐻𝑦) = ∅ → ((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦)) = ∅) ↔ (¬ (𝑥𝐻𝑦) = ∅ ∨ ((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦)) = ∅))
17		simplr 765	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐷 ∈ ThinCat ∧ 𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → 𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺)
18		simprl 767	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐷 ∈ ThinCat ∧ 𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → 𝑥 ∈ 𝐵)
19		simprr 769	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐷 ∈ ThinCat ∧ 𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → 𝑦 ∈ 𝐵)
20	3, 5, 4, 17, 18, 19	funcf2 17499	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐷 ∈ ThinCat ∧ 𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥𝐺𝑦):(𝑥𝐻𝑦)⟶((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦)))
21	20	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐷 ∈ ThinCat ∧ 𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ ¬ (𝑥𝐻𝑦) = ∅) → (𝑥𝐺𝑦):(𝑥𝐻𝑦)⟶((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦)))
22		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐷 ∈ ThinCat ∧ 𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ ¬ (𝑥𝐻𝑦) = ∅) → ¬ (𝑥𝐻𝑦) = ∅)
23	22	neqned 2949	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐷 ∈ ThinCat ∧ 𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ ¬ (𝑥𝐻𝑦) = ∅) → (𝑥𝐻𝑦) ≠ ∅)
24		fdomne0 46065	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑥𝐺𝑦):(𝑥𝐻𝑦)⟶((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦)) ∧ (𝑥𝐻𝑦) ≠ ∅) → ((𝑥𝐺𝑦) ≠ ∅ ∧ ((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦)) ≠ ∅))
25	21, 23, 24	syl2anc 583	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐷 ∈ ThinCat ∧ 𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ ¬ (𝑥𝐻𝑦) = ∅) → ((𝑥𝐺𝑦) ≠ ∅ ∧ ((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦)) ≠ ∅))
26	25	simprd 495	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐷 ∈ ThinCat ∧ 𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ ¬ (𝑥𝐻𝑦) = ∅) → ((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦)) ≠ ∅)
27		simplll 771	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐷 ∈ ThinCat ∧ 𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ ¬ (𝑥𝐻𝑦) = ∅) → 𝐷 ∈ ThinCat)
28		eqid 2738	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (Base‘𝐷) = (Base‘𝐷)
29	17	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐷 ∈ ThinCat ∧ 𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ ¬ (𝑥𝐻𝑦) = ∅) → 𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺)
30	3, 28, 29	funcf1 17497	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐷 ∈ ThinCat ∧ 𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ ¬ (𝑥𝐻𝑦) = ∅) → 𝐹:𝐵⟶(Base‘𝐷))
31	18	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐷 ∈ ThinCat ∧ 𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ ¬ (𝑥𝐻𝑦) = ∅) → 𝑥 ∈ 𝐵)
32	30, 31	ffvelrnd 6944	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐷 ∈ ThinCat ∧ 𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ ¬ (𝑥𝐻𝑦) = ∅) → (𝐹‘𝑥) ∈ (Base‘𝐷))
33	19	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐷 ∈ ThinCat ∧ 𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ ¬ (𝑥𝐻𝑦) = ∅) → 𝑦 ∈ 𝐵)
34	30, 33	ffvelrnd 6944	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐷 ∈ ThinCat ∧ 𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ ¬ (𝑥𝐻𝑦) = ∅) → (𝐹‘𝑦) ∈ (Base‘𝐷))
35		eqidd 2739	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐷 ∈ ThinCat ∧ 𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ ¬ (𝑥𝐻𝑦) = ∅) → (Base‘𝐷) = (Base‘𝐷))
36	4	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐷 ∈ ThinCat ∧ 𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ ¬ (𝑥𝐻𝑦) = ∅) → 𝐽 = (Hom ‘𝐷))
37	27, 32, 34, 35, 36	thincn0eu 46201	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐷 ∈ ThinCat ∧ 𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ ¬ (𝑥𝐻𝑦) = ∅) → (((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦)) ≠ ∅ ↔ ∃!𝑓 𝑓 ∈ ((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦))))
38	26, 37	mpbid 231	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐷 ∈ ThinCat ∧ 𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ ¬ (𝑥𝐻𝑦) = ∅) → ∃!𝑓 𝑓 ∈ ((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦)))
39		eusn 4663	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∃!𝑓 𝑓 ∈ ((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦)) ↔ ∃𝑓((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦)) = {𝑓})
40	38, 39	sylib 217	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐷 ∈ ThinCat ∧ 𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ ¬ (𝑥𝐻𝑦) = ∅) → ∃𝑓((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦)) = {𝑓})
41	25	simpld 494	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐷 ∈ ThinCat ∧ 𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ ¬ (𝑥𝐻𝑦) = ∅) → (𝑥𝐺𝑦) ≠ ∅)
42		foconst 6687	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑥𝐺𝑦):(𝑥𝐻𝑦)⟶{𝑓} ∧ (𝑥𝐺𝑦) ≠ ∅) → (𝑥𝐺𝑦):(𝑥𝐻𝑦)–onto→{𝑓})
43		feq3 6567	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦)) = {𝑓} → ((𝑥𝐺𝑦):(𝑥𝐻𝑦)⟶((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦)) ↔ (𝑥𝐺𝑦):(𝑥𝐻𝑦)⟶{𝑓}))
44	43	anbi1d 629	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦)) = {𝑓} → (((𝑥𝐺𝑦):(𝑥𝐻𝑦)⟶((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦)) ∧ (𝑥𝐺𝑦) ≠ ∅) ↔ ((𝑥𝐺𝑦):(𝑥𝐻𝑦)⟶{𝑓} ∧ (𝑥𝐺𝑦) ≠ ∅)))
45		foeq3 6670	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦)) = {𝑓} → ((𝑥𝐺𝑦):(𝑥𝐻𝑦)–onto→((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦)) ↔ (𝑥𝐺𝑦):(𝑥𝐻𝑦)–onto→{𝑓}))
46	44, 45	imbi12d 344	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦)) = {𝑓} → ((((𝑥𝐺𝑦):(𝑥𝐻𝑦)⟶((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦)) ∧ (𝑥𝐺𝑦) ≠ ∅) → (𝑥𝐺𝑦):(𝑥𝐻𝑦)–onto→((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦))) ↔ (((𝑥𝐺𝑦):(𝑥𝐻𝑦)⟶{𝑓} ∧ (𝑥𝐺𝑦) ≠ ∅) → (𝑥𝐺𝑦):(𝑥𝐻𝑦)–onto→{𝑓})))
47	42, 46	mpbiri 257	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦)) = {𝑓} → (((𝑥𝐺𝑦):(𝑥𝐻𝑦)⟶((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦)) ∧ (𝑥𝐺𝑦) ≠ ∅) → (𝑥𝐺𝑦):(𝑥𝐻𝑦)–onto→((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦))))
48	47	exlimiv 1934	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∃𝑓((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦)) = {𝑓} → (((𝑥𝐺𝑦):(𝑥𝐻𝑦)⟶((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦)) ∧ (𝑥𝐺𝑦) ≠ ∅) → (𝑥𝐺𝑦):(𝑥𝐻𝑦)–onto→((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦))))
49	48	imp 406	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((∃𝑓((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦)) = {𝑓} ∧ ((𝑥𝐺𝑦):(𝑥𝐻𝑦)⟶((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦)) ∧ (𝑥𝐺𝑦) ≠ ∅)) → (𝑥𝐺𝑦):(𝑥𝐻𝑦)–onto→((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦)))
50	40, 21, 41, 49	syl12anc 833	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐷 ∈ ThinCat ∧ 𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ ¬ (𝑥𝐻𝑦) = ∅) → (𝑥𝐺𝑦):(𝑥𝐻𝑦)–onto→((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦)))
51	20	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐷 ∈ ThinCat ∧ 𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ ((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦)) = ∅) → (𝑥𝐺𝑦):(𝑥𝐻𝑦)⟶((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦)))
52		feq3 6567	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦)) = ∅ → ((𝑥𝐺𝑦):(𝑥𝐻𝑦)⟶((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦)) ↔ (𝑥𝐺𝑦):(𝑥𝐻𝑦)⟶∅))
53	52	adantl 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐷 ∈ ThinCat ∧ 𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ ((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦)) = ∅) → ((𝑥𝐺𝑦):(𝑥𝐻𝑦)⟶((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦)) ↔ (𝑥𝐺𝑦):(𝑥𝐻𝑦)⟶∅))
54	51, 53	mpbid 231	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐷 ∈ ThinCat ∧ 𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ ((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦)) = ∅) → (𝑥𝐺𝑦):(𝑥𝐻𝑦)⟶∅)
55		f00 6640	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥𝐺𝑦):(𝑥𝐻𝑦)⟶∅ ↔ ((𝑥𝐺𝑦) = ∅ ∧ (𝑥𝐻𝑦) = ∅))
56	54, 55	sylib 217	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐷 ∈ ThinCat ∧ 𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ ((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦)) = ∅) → ((𝑥𝐺𝑦) = ∅ ∧ (𝑥𝐻𝑦) = ∅))
57	56	simprd 495	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐷 ∈ ThinCat ∧ 𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ ((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦)) = ∅) → (𝑥𝐻𝑦) = ∅)
58	56	simpld 494	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐷 ∈ ThinCat ∧ 𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ ((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦)) = ∅) → (𝑥𝐺𝑦) = ∅)
59		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐷 ∈ ThinCat ∧ 𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ ((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦)) = ∅) → ((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦)) = ∅)
60	8	biimpri 227	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑥𝐺𝑦) = ∅ ∧ ((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦)) = ∅) → (𝑥𝐺𝑦):∅–onto→((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦)))
61	60, 7	syl5ibr 245	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥𝐻𝑦) = ∅ → (((𝑥𝐺𝑦) = ∅ ∧ ((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦)) = ∅) → (𝑥𝐺𝑦):(𝑥𝐻𝑦)–onto→((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦))))
62	61	imp 406	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑥𝐻𝑦) = ∅ ∧ ((𝑥𝐺𝑦) = ∅ ∧ ((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦)) = ∅)) → (𝑥𝐺𝑦):(𝑥𝐻𝑦)–onto→((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦)))
63	57, 58, 59, 62	syl12anc 833	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐷 ∈ ThinCat ∧ 𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ ((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦)) = ∅) → (𝑥𝐺𝑦):(𝑥𝐻𝑦)–onto→((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦)))
64	50, 63	jaodan 954	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐷 ∈ ThinCat ∧ 𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ (¬ (𝑥𝐻𝑦) = ∅ ∨ ((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦)) = ∅)) → (𝑥𝐺𝑦):(𝑥𝐻𝑦)–onto→((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦)))
65	16, 64	sylan2b 593	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐷 ∈ ThinCat ∧ 𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ ((𝑥𝐻𝑦) = ∅ → ((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦)) = ∅)) → (𝑥𝐺𝑦):(𝑥𝐻𝑦)–onto→((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦)))
66	65	ex 412	. . . . . 6 ⊢ (((𝐷 ∈ ThinCat ∧ 𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (((𝑥𝐻𝑦) = ∅ → ((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦)) = ∅) → (𝑥𝐺𝑦):(𝑥𝐻𝑦)–onto→((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦))))
67	66	ralimdvva 3104	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ ThinCat ∧ 𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺) → (∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥𝐻𝑦) = ∅ → ((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦)) = ∅) → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥𝐺𝑦):(𝑥𝐻𝑦)–onto→((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦))))
68	67	imp 406	. . . 4 ⊢ (((𝐷 ∈ ThinCat ∧ 𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥𝐻𝑦) = ∅ → ((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦)) = ∅)) → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥𝐺𝑦):(𝑥𝐻𝑦)–onto→((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦)))
69	15, 68, 6	sylanbrc 582	. . 3 ⊢ (((𝐷 ∈ ThinCat ∧ 𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥𝐻𝑦) = ∅ → ((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦)) = ∅)) → 𝐹(𝐶 Full 𝐷)𝐺)
70	14, 69	impbida 797	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ ThinCat ∧ 𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺) → (𝐹(𝐶 Full 𝐷)𝐺 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥𝐻𝑦) = ∅ → ((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦)) = ∅)))
71	1, 2, 70	syl2anc 583	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹(𝐶 Full 𝐷)𝐺 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥𝐻𝑦) = ∅ → ((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦)) = ∅)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∨ wo 843   = wceq 1539  ∃wex 1783   ∈ wcel 2108  ∃!weu 2568   ≠ wne 2942  ∀wral 3063  ∅c0 4253  {csn 4558   class class class wbr 5070  ⟶wf 6414  –onto→wfo 6416  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  Basecbs 16840  Hom chom 16899   Func cfunc 17485   Full cful 17534  ThinCatcthinc 46188

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-id 5480  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-map 8575  df-ixp 8644  df-func 17489  df-full 17536  df-thinc 46189

This theorem is referenced by:  fullthinc2  46216  thincciso  46218