Theorem fullthinc 50790

Description: A functor to a thin category is full iff empty hom-sets are mapped to empty hom-sets. (Contributed by Zhi Wang, 1-Oct-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
fullthinc.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
fullthinc.j	⊢ 𝐽 = (Hom ‘𝐷)
fullthinc.h	⊢ 𝐻 = (Hom ‘𝐶)
fullthinc.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ThinCat)
fullthinc.f	⊢ (𝜑 → 𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺)

Assertion

Ref	Expression
fullthinc	⊢ (𝜑 → (𝐹(𝐶 Full 𝐷)𝐺 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥𝐻𝑦) = ∅ → ((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦)) = ∅)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐶,𝑦   𝑥,𝐷,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦   𝑥,𝐺,𝑦   𝑥,𝐻,𝑦   𝑥,𝐽,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥, 𝑦)

Proof of Theorem fullthinc

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fullthinc.d	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ThinCat)
2		fullthinc.f	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺)
3		fullthinc.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
4		fullthinc.j	. . . . . 6 ⊢ 𝐽 = (Hom ‘𝐷)
5		fullthinc.h	. . . . . 6 ⊢ 𝐻 = (Hom ‘𝐶)
6	3, 4, 5	isfull2 18117	. . . . 5 ⊢ (𝐹(𝐶 Full 𝐷)𝐺 ↔ (𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥𝐺𝑦):(𝑥𝐻𝑦)⟶onto((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦))))
7		foeq2 6815	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥𝐻𝑦) = ∅ → ((𝑥𝐺𝑦):(𝑥𝐻𝑦)⟶onto((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦)) ↔ (𝑥𝐺𝑦):∅⟶onto((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦))))
8		fo00 6884	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥𝐺𝑦):∅⟶onto((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦)) ↔ ((𝑥𝐺𝑦) = ∅ ∧ ((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦)) = ∅))
9	8	simprbi 503	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥𝐺𝑦):∅⟶onto((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦)) → ((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦)) = ∅)
10	7, 9	biimtrdi 256	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥𝐻𝑦) = ∅ → ((𝑥𝐺𝑦):(𝑥𝐻𝑦)⟶onto((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦)) → ((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦)) = ∅))
11	10	com12 33	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥𝐺𝑦):(𝑥𝐻𝑦)⟶onto((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦)) → ((𝑥𝐻𝑦) = ∅ → ((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦)) = ∅))
12	11	2ralimi 3136	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥𝐺𝑦):(𝑥𝐻𝑦)⟶onto((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦)) → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥𝐻𝑦) = ∅ → ((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦)) = ∅))
13	6, 12	simplbiim 514	. . . 4 ⊢ (𝐹(𝐶 Full 𝐷)𝐺 → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥𝐻𝑦) = ∅ → ((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦)) = ∅))
14	13	adantl 487	. . 3 ⊢ (((𝐷 ∈ ThinCat ∧ 𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺) ∧ 𝐹(𝐶 Full 𝐷)𝐺) → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥𝐻𝑦) = ∅ → ((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦)) = ∅))
15		simplr 781	. . . 4 ⊢ (((𝐷 ∈ ThinCat ∧ 𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥𝐻𝑦) = ∅ → ((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦)) = ∅)) → 𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺)
16		imor 867	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥𝐻𝑦) = ∅ → ((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦)) = ∅) ↔ (¬ (𝑥𝐻𝑦) = ∅ ∨ ((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦)) = ∅))
17		simplr 781	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐷 ∈ ThinCat ∧ 𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → 𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺)
18		simprl 783	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐷 ∈ ThinCat ∧ 𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → 𝑥 ∈ 𝐵)
19		simprr 785	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐷 ∈ ThinCat ∧ 𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → 𝑦 ∈ 𝐵)
20	3, 5, 4, 17, 18, 19	funcf2 18072	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐷 ∈ ThinCat ∧ 𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥𝐺𝑦):(𝑥𝐻𝑦)⟶((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦)))
21	20	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐷 ∈ ThinCat ∧ 𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ ¬ (𝑥𝐻𝑦) = ∅) → (𝑥𝐺𝑦):(𝑥𝐻𝑦)⟶((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦)))
22		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐷 ∈ ThinCat ∧ 𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ ¬ (𝑥𝐻𝑦) = ∅) → ¬ (𝑥𝐻𝑦) = ∅)
23	22	neqned 2966	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐷 ∈ ThinCat ∧ 𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ ¬ (𝑥𝐻𝑦) = ∅) → (𝑥𝐻𝑦) ≠ ∅)
24		fdomne0 50166	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑥𝐺𝑦):(𝑥𝐻𝑦)⟶((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦)) ∧ (𝑥𝐻𝑦) ≠ ∅) → ((𝑥𝐺𝑦) ≠ ∅ ∧ ((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦)) ≠ ∅))
25	21, 23, 24	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐷 ∈ ThinCat ∧ 𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ ¬ (𝑥𝐻𝑦) = ∅) → ((𝑥𝐺𝑦) ≠ ∅ ∧ ((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦)) ≠ ∅))
26	25	simprd 501	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐷 ∈ ThinCat ∧ 𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ ¬ (𝑥𝐻𝑦) = ∅) → ((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦)) ≠ ∅)
27		simplll 787	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐷 ∈ ThinCat ∧ 𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ ¬ (𝑥𝐻𝑦) = ∅) → 𝐷 ∈ ThinCat)
28		eqid 2763	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (Base‘𝐷) = (Base‘𝐷)
29	17	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐷 ∈ ThinCat ∧ 𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ ¬ (𝑥𝐻𝑦) = ∅) → 𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺)
30	3, 28, 29	funcf1 18070	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐷 ∈ ThinCat ∧ 𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ ¬ (𝑥𝐻𝑦) = ∅) → 𝐹:𝐵⟶(Base‘𝐷))
31	18	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐷 ∈ ThinCat ∧ 𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ ¬ (𝑥𝐻𝑦) = ∅) → 𝑥 ∈ 𝐵)
32	30, 31	ffvelcdmd 7109	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐷 ∈ ThinCat ∧ 𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ ¬ (𝑥𝐻𝑦) = ∅) → (𝐹‘𝑥) ∈ (Base‘𝐷))
33	19	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐷 ∈ ThinCat ∧ 𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ ¬ (𝑥𝐻𝑦) = ∅) → 𝑦 ∈ 𝐵)
34	30, 33	ffvelcdmd 7109	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐷 ∈ ThinCat ∧ 𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ ¬ (𝑥𝐻𝑦) = ∅) → (𝐹‘𝑦) ∈ (Base‘𝐷))
35		eqidd 2764	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐷 ∈ ThinCat ∧ 𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ ¬ (𝑥𝐻𝑦) = ∅) → (Base‘𝐷) = (Base‘𝐷))
36	4	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐷 ∈ ThinCat ∧ 𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ ¬ (𝑥𝐻𝑦) = ∅) → 𝐽 = (Hom ‘𝐷))
37	27, 32, 34, 35, 36	thincn0eu 50771	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐷 ∈ ThinCat ∧ 𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ ¬ (𝑥𝐻𝑦) = ∅) → (((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦)) ≠ ∅ ↔ ∃!𝑓 𝑓 ∈ ((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦))))
38	26, 37	mpbid 235	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐷 ∈ ThinCat ∧ 𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ ¬ (𝑥𝐻𝑦) = ∅) → ∃!𝑓 𝑓 ∈ ((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦)))
39		eusn 4691	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∃!𝑓 𝑓 ∈ ((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦)) ↔ ∃𝑓((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦)) = {𝑓})
40	38, 39	sylib 221	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐷 ∈ ThinCat ∧ 𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ ¬ (𝑥𝐻𝑦) = ∅) → ∃𝑓((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦)) = {𝑓})
41	25	simpld 500	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐷 ∈ ThinCat ∧ 𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ ¬ (𝑥𝐻𝑦) = ∅) → (𝑥𝐺𝑦) ≠ ∅)
42		foconst 6833	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑥𝐺𝑦):(𝑥𝐻𝑦)⟶{𝑓} ∧ (𝑥𝐺𝑦) ≠ ∅) → (𝑥𝐺𝑦):(𝑥𝐻𝑦)⟶onto{𝑓})
43		feq3 6711	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦)) = {𝑓} → ((𝑥𝐺𝑦):(𝑥𝐻𝑦)⟶((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦)) ↔ (𝑥𝐺𝑦):(𝑥𝐻𝑦)⟶{𝑓}))
44	43	anbi1d 643	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦)) = {𝑓} → (((𝑥𝐺𝑦):(𝑥𝐻𝑦)⟶((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦)) ∧ (𝑥𝐺𝑦) ≠ ∅) ↔ ((𝑥𝐺𝑦):(𝑥𝐻𝑦)⟶{𝑓} ∧ (𝑥𝐺𝑦) ≠ ∅)))
45		foeq3 6816	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦)) = {𝑓} → ((𝑥𝐺𝑦):(𝑥𝐻𝑦)⟶onto((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦)) ↔ (𝑥𝐺𝑦):(𝑥𝐻𝑦)⟶onto{𝑓}))
46	44, 45	imbi12d 347	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦)) = {𝑓} → ((((𝑥𝐺𝑦):(𝑥𝐻𝑦)⟶((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦)) ∧ (𝑥𝐺𝑦) ≠ ∅) → (𝑥𝐺𝑦):(𝑥𝐻𝑦)⟶onto((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦))) ↔ (((𝑥𝐺𝑦):(𝑥𝐻𝑦)⟶{𝑓} ∧ (𝑥𝐺𝑦) ≠ ∅) → (𝑥𝐺𝑦):(𝑥𝐻𝑦)⟶onto{𝑓})))
47	42, 46	mpbiri 261	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦)) = {𝑓} → (((𝑥𝐺𝑦):(𝑥𝐻𝑦)⟶((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦)) ∧ (𝑥𝐺𝑦) ≠ ∅) → (𝑥𝐺𝑦):(𝑥𝐻𝑦)⟶onto((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦))))
48	47	exlimiv 1965	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∃𝑓((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦)) = {𝑓} → (((𝑥𝐺𝑦):(𝑥𝐻𝑦)⟶((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦)) ∧ (𝑥𝐺𝑦) ≠ ∅) → (𝑥𝐺𝑦):(𝑥𝐻𝑦)⟶onto((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦))))
49	48	imp 412	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((∃𝑓((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦)) = {𝑓} ∧ ((𝑥𝐺𝑦):(𝑥𝐻𝑦)⟶((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦)) ∧ (𝑥𝐺𝑦) ≠ ∅)) → (𝑥𝐺𝑦):(𝑥𝐻𝑦)⟶onto((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦)))
50	40, 21, 41, 49	syl12anc 850	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐷 ∈ ThinCat ∧ 𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ ¬ (𝑥𝐻𝑦) = ∅) → (𝑥𝐺𝑦):(𝑥𝐻𝑦)⟶onto((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦)))
51	20	adantr 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐷 ∈ ThinCat ∧ 𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ ((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦)) = ∅) → (𝑥𝐺𝑦):(𝑥𝐻𝑦)⟶((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦)))
52		feq3 6711	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦)) = ∅ → ((𝑥𝐺𝑦):(𝑥𝐻𝑦)⟶((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦)) ↔ (𝑥𝐺𝑦):(𝑥𝐻𝑦)⟶∅))
53	52	adantl 487	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐷 ∈ ThinCat ∧ 𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ ((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦)) = ∅) → ((𝑥𝐺𝑦):(𝑥𝐻𝑦)⟶((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦)) ↔ (𝑥𝐺𝑦):(𝑥𝐻𝑦)⟶∅))
54	51, 53	mpbid 235	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐷 ∈ ThinCat ∧ 𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ ((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦)) = ∅) → (𝑥𝐺𝑦):(𝑥𝐻𝑦)⟶∅)
55		f00 6786	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥𝐺𝑦):(𝑥𝐻𝑦)⟶∅ ↔ ((𝑥𝐺𝑦) = ∅ ∧ (𝑥𝐻𝑦) = ∅))
56	54, 55	sylib 221	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐷 ∈ ThinCat ∧ 𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ ((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦)) = ∅) → ((𝑥𝐺𝑦) = ∅ ∧ (𝑥𝐻𝑦) = ∅))
57	56	simprd 501	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐷 ∈ ThinCat ∧ 𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ ((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦)) = ∅) → (𝑥𝐻𝑦) = ∅)
58	56	simpld 500	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐷 ∈ ThinCat ∧ 𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ ((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦)) = ∅) → (𝑥𝐺𝑦) = ∅)
59		simpr 490	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐷 ∈ ThinCat ∧ 𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ ((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦)) = ∅) → ((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦)) = ∅)
60	8	biimpri 231	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑥𝐺𝑦) = ∅ ∧ ((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦)) = ∅) → (𝑥𝐺𝑦):∅⟶onto((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦)))
61	60, 7	imbitrrid 249	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥𝐻𝑦) = ∅ → (((𝑥𝐺𝑦) = ∅ ∧ ((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦)) = ∅) → (𝑥𝐺𝑦):(𝑥𝐻𝑦)⟶onto((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦))))
62	61	imp 412	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑥𝐻𝑦) = ∅ ∧ ((𝑥𝐺𝑦) = ∅ ∧ ((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦)) = ∅)) → (𝑥𝐺𝑦):(𝑥𝐻𝑦)⟶onto((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦)))
63	57, 58, 59, 62	syl12anc 850	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐷 ∈ ThinCat ∧ 𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ ((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦)) = ∅) → (𝑥𝐺𝑦):(𝑥𝐻𝑦)⟶onto((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦)))
64	50, 63	jaodan 972	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐷 ∈ ThinCat ∧ 𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ (¬ (𝑥𝐻𝑦) = ∅ ∨ ((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦)) = ∅)) → (𝑥𝐺𝑦):(𝑥𝐻𝑦)⟶onto((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦)))
65	16, 64	sylan2b 606	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐷 ∈ ThinCat ∧ 𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ ((𝑥𝐻𝑦) = ∅ → ((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦)) = ∅)) → (𝑥𝐺𝑦):(𝑥𝐻𝑦)⟶onto((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦)))
66	65	ex 418	. . . . . 6 ⊢ (((𝐷 ∈ ThinCat ∧ 𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (((𝑥𝐻𝑦) = ∅ → ((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦)) = ∅) → (𝑥𝐺𝑦):(𝑥𝐻𝑦)⟶onto((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦))))
67	66	ralimdvva 3213	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ ThinCat ∧ 𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺) → (∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥𝐻𝑦) = ∅ → ((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦)) = ∅) → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥𝐺𝑦):(𝑥𝐻𝑦)⟶onto((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦))))
68	67	imp 412	. . . 4 ⊢ (((𝐷 ∈ ThinCat ∧ 𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥𝐻𝑦) = ∅ → ((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦)) = ∅)) → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥𝐺𝑦):(𝑥𝐻𝑦)⟶onto((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦)))
69	15, 68, 6	sylanbrc 595	. . 3 ⊢ (((𝐷 ∈ ThinCat ∧ 𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥𝐻𝑦) = ∅ → ((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦)) = ∅)) → 𝐹(𝐶 Full 𝐷)𝐺)
70	14, 69	impbida 813	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ ThinCat ∧ 𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺) → (𝐹(𝐶 Full 𝐷)𝐺 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥𝐻𝑦) = ∅ → ((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦)) = ∅)))
71	1, 2, 70	syl2anc 596	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹(𝐶 Full 𝐷)𝐺 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥𝐻𝑦) = ∅ → ((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦)) = ∅)))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   = wceq 1570  ∃wex 1812   ∈ wcel 2147  ∃!weu 2596   ≠ wne 2959  ∀wral 3080  ∅c0 4281  {csn 4588   class class class wbr 5106  ⟶wf 6554  ⟶ontowfo 6556  ‘cfv 6558  (class class class)co 7443  Basecbs 17416  Hom chom 17468   Func cfunc 18058   Full cful 18108  ThinCatcthinc 50757

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-id 5550  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-1st 8025  df-2nd 8026  df-map 8877  df-ixp 8954  df-func 18062  df-full 18110  df-thinc 50758

This theorem is used by:  fullthinc2  50791  thincciso  50793  fulltermc  50851