Users' Mathboxes Mathbox for Zhi Wang < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fullthinc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fullthinc 47666
Description: A functor to a thin category is full iff empty hom-sets are mapped to empty hom-sets. (Contributed by Zhi Wang, 1-Oct-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
fullthinc.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΆ)
fullthinc.j 𝐽 = (Hom β€˜π·)
fullthinc.h 𝐻 = (Hom β€˜πΆ)
fullthinc.d (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ ThinCat)
fullthinc.f (πœ‘ β†’ 𝐹(𝐢 Func 𝐷)𝐺)
Assertion
Ref Expression
fullthinc (πœ‘ β†’ (𝐹(𝐢 Full 𝐷)𝐺 ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 ((π‘₯𝐻𝑦) = βˆ… β†’ ((πΉβ€˜π‘₯)𝐽(πΉβ€˜π‘¦)) = βˆ…)))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐡,𝑦   π‘₯,𝐢,𝑦   π‘₯,𝐷,𝑦   π‘₯,𝐹,𝑦   π‘₯,𝐺,𝑦   π‘₯,𝐻,𝑦   π‘₯,𝐽,𝑦
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘₯,𝑦)

Proof of Theorem fullthinc
Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fullthinc.d . 2 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ ThinCat)
2 fullthinc.f . 2 (πœ‘ β†’ 𝐹(𝐢 Func 𝐷)𝐺)
3 fullthinc.b . . . . . 6 𝐡 = (Baseβ€˜πΆ)
4 fullthinc.j . . . . . 6 𝐽 = (Hom β€˜π·)
5 fullthinc.h . . . . . 6 𝐻 = (Hom β€˜πΆ)
63, 4, 5isfull2 17862 . . . . 5 (𝐹(𝐢 Full 𝐷)𝐺 ↔ (𝐹(𝐢 Func 𝐷)𝐺 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯𝐺𝑦):(π‘₯𝐻𝑦)–ontoβ†’((πΉβ€˜π‘₯)𝐽(πΉβ€˜π‘¦))))
7 foeq2 6803 . . . . . . . 8 ((π‘₯𝐻𝑦) = βˆ… β†’ ((π‘₯𝐺𝑦):(π‘₯𝐻𝑦)–ontoβ†’((πΉβ€˜π‘₯)𝐽(πΉβ€˜π‘¦)) ↔ (π‘₯𝐺𝑦):βˆ…β€“ontoβ†’((πΉβ€˜π‘₯)𝐽(πΉβ€˜π‘¦))))
8 fo00 6870 . . . . . . . . 9 ((π‘₯𝐺𝑦):βˆ…β€“ontoβ†’((πΉβ€˜π‘₯)𝐽(πΉβ€˜π‘¦)) ↔ ((π‘₯𝐺𝑦) = βˆ… ∧ ((πΉβ€˜π‘₯)𝐽(πΉβ€˜π‘¦)) = βˆ…))
98simprbi 498 . . . . . . . 8 ((π‘₯𝐺𝑦):βˆ…β€“ontoβ†’((πΉβ€˜π‘₯)𝐽(πΉβ€˜π‘¦)) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯)𝐽(πΉβ€˜π‘¦)) = βˆ…)
107, 9syl6bi 253 . . . . . . 7 ((π‘₯𝐻𝑦) = βˆ… β†’ ((π‘₯𝐺𝑦):(π‘₯𝐻𝑦)–ontoβ†’((πΉβ€˜π‘₯)𝐽(πΉβ€˜π‘¦)) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯)𝐽(πΉβ€˜π‘¦)) = βˆ…))
1110com12 32 . . . . . 6 ((π‘₯𝐺𝑦):(π‘₯𝐻𝑦)–ontoβ†’((πΉβ€˜π‘₯)𝐽(πΉβ€˜π‘¦)) β†’ ((π‘₯𝐻𝑦) = βˆ… β†’ ((πΉβ€˜π‘₯)𝐽(πΉβ€˜π‘¦)) = βˆ…))
12112ralimi 3124 . . . . 5 (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯𝐺𝑦):(π‘₯𝐻𝑦)–ontoβ†’((πΉβ€˜π‘₯)𝐽(πΉβ€˜π‘¦)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 ((π‘₯𝐻𝑦) = βˆ… β†’ ((πΉβ€˜π‘₯)𝐽(πΉβ€˜π‘¦)) = βˆ…))
136, 12simplbiim 506 . . . 4 (𝐹(𝐢 Full 𝐷)𝐺 β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 ((π‘₯𝐻𝑦) = βˆ… β†’ ((πΉβ€˜π‘₯)𝐽(πΉβ€˜π‘¦)) = βˆ…))
1413adantl 483 . . 3 (((𝐷 ∈ ThinCat ∧ 𝐹(𝐢 Func 𝐷)𝐺) ∧ 𝐹(𝐢 Full 𝐷)𝐺) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 ((π‘₯𝐻𝑦) = βˆ… β†’ ((πΉβ€˜π‘₯)𝐽(πΉβ€˜π‘¦)) = βˆ…))
15 simplr 768 . . . 4 (((𝐷 ∈ ThinCat ∧ 𝐹(𝐢 Func 𝐷)𝐺) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 ((π‘₯𝐻𝑦) = βˆ… β†’ ((πΉβ€˜π‘₯)𝐽(πΉβ€˜π‘¦)) = βˆ…)) β†’ 𝐹(𝐢 Func 𝐷)𝐺)
16 imor 852 . . . . . . . 8 (((π‘₯𝐻𝑦) = βˆ… β†’ ((πΉβ€˜π‘₯)𝐽(πΉβ€˜π‘¦)) = βˆ…) ↔ (Β¬ (π‘₯𝐻𝑦) = βˆ… ∨ ((πΉβ€˜π‘₯)𝐽(πΉβ€˜π‘¦)) = βˆ…))
17 simplr 768 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐷 ∈ ThinCat ∧ 𝐹(𝐢 Func 𝐷)𝐺) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ 𝐹(𝐢 Func 𝐷)𝐺)
18 simprl 770 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐷 ∈ ThinCat ∧ 𝐹(𝐢 Func 𝐷)𝐺) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ π‘₯ ∈ 𝐡)
19 simprr 772 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐷 ∈ ThinCat ∧ 𝐹(𝐢 Func 𝐷)𝐺) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑦 ∈ 𝐡)
203, 5, 4, 17, 18, 19funcf2 17818 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐷 ∈ ThinCat ∧ 𝐹(𝐢 Func 𝐷)𝐺) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (π‘₯𝐺𝑦):(π‘₯𝐻𝑦)⟢((πΉβ€˜π‘₯)𝐽(πΉβ€˜π‘¦)))
2120adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐷 ∈ ThinCat ∧ 𝐹(𝐢 Func 𝐷)𝐺) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) ∧ Β¬ (π‘₯𝐻𝑦) = βˆ…) β†’ (π‘₯𝐺𝑦):(π‘₯𝐻𝑦)⟢((πΉβ€˜π‘₯)𝐽(πΉβ€˜π‘¦)))
22 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐷 ∈ ThinCat ∧ 𝐹(𝐢 Func 𝐷)𝐺) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) ∧ Β¬ (π‘₯𝐻𝑦) = βˆ…) β†’ Β¬ (π‘₯𝐻𝑦) = βˆ…)
2322neqned 2948 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐷 ∈ ThinCat ∧ 𝐹(𝐢 Func 𝐷)𝐺) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) ∧ Β¬ (π‘₯𝐻𝑦) = βˆ…) β†’ (π‘₯𝐻𝑦) β‰  βˆ…)
24 fdomne0 47516 . . . . . . . . . . . . . 14 (((π‘₯𝐺𝑦):(π‘₯𝐻𝑦)⟢((πΉβ€˜π‘₯)𝐽(πΉβ€˜π‘¦)) ∧ (π‘₯𝐻𝑦) β‰  βˆ…) β†’ ((π‘₯𝐺𝑦) β‰  βˆ… ∧ ((πΉβ€˜π‘₯)𝐽(πΉβ€˜π‘¦)) β‰  βˆ…))
2521, 23, 24syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐷 ∈ ThinCat ∧ 𝐹(𝐢 Func 𝐷)𝐺) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) ∧ Β¬ (π‘₯𝐻𝑦) = βˆ…) β†’ ((π‘₯𝐺𝑦) β‰  βˆ… ∧ ((πΉβ€˜π‘₯)𝐽(πΉβ€˜π‘¦)) β‰  βˆ…))
2625simprd 497 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐷 ∈ ThinCat ∧ 𝐹(𝐢 Func 𝐷)𝐺) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) ∧ Β¬ (π‘₯𝐻𝑦) = βˆ…) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯)𝐽(πΉβ€˜π‘¦)) β‰  βˆ…)
27 simplll 774 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐷 ∈ ThinCat ∧ 𝐹(𝐢 Func 𝐷)𝐺) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) ∧ Β¬ (π‘₯𝐻𝑦) = βˆ…) β†’ 𝐷 ∈ ThinCat)
28 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . . 15 (Baseβ€˜π·) = (Baseβ€˜π·)
2917adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐷 ∈ ThinCat ∧ 𝐹(𝐢 Func 𝐷)𝐺) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) ∧ Β¬ (π‘₯𝐻𝑦) = βˆ…) β†’ 𝐹(𝐢 Func 𝐷)𝐺)
303, 28, 29funcf1 17816 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐷 ∈ ThinCat ∧ 𝐹(𝐢 Func 𝐷)𝐺) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) ∧ Β¬ (π‘₯𝐻𝑦) = βˆ…) β†’ 𝐹:𝐡⟢(Baseβ€˜π·))
3118adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐷 ∈ ThinCat ∧ 𝐹(𝐢 Func 𝐷)𝐺) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) ∧ Β¬ (π‘₯𝐻𝑦) = βˆ…) β†’ π‘₯ ∈ 𝐡)
3230, 31ffvelcdmd 7088 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐷 ∈ ThinCat ∧ 𝐹(𝐢 Func 𝐷)𝐺) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) ∧ Β¬ (π‘₯𝐻𝑦) = βˆ…) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ (Baseβ€˜π·))
3319adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐷 ∈ ThinCat ∧ 𝐹(𝐢 Func 𝐷)𝐺) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) ∧ Β¬ (π‘₯𝐻𝑦) = βˆ…) β†’ 𝑦 ∈ 𝐡)
3430, 33ffvelcdmd 7088 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐷 ∈ ThinCat ∧ 𝐹(𝐢 Func 𝐷)𝐺) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) ∧ Β¬ (π‘₯𝐻𝑦) = βˆ…) β†’ (πΉβ€˜π‘¦) ∈ (Baseβ€˜π·))
35 eqidd 2734 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐷 ∈ ThinCat ∧ 𝐹(𝐢 Func 𝐷)𝐺) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) ∧ Β¬ (π‘₯𝐻𝑦) = βˆ…) β†’ (Baseβ€˜π·) = (Baseβ€˜π·))
364a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐷 ∈ ThinCat ∧ 𝐹(𝐢 Func 𝐷)𝐺) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) ∧ Β¬ (π‘₯𝐻𝑦) = βˆ…) β†’ 𝐽 = (Hom β€˜π·))
3727, 32, 34, 35, 36thincn0eu 47652 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐷 ∈ ThinCat ∧ 𝐹(𝐢 Func 𝐷)𝐺) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) ∧ Β¬ (π‘₯𝐻𝑦) = βˆ…) β†’ (((πΉβ€˜π‘₯)𝐽(πΉβ€˜π‘¦)) β‰  βˆ… ↔ βˆƒ!𝑓 𝑓 ∈ ((πΉβ€˜π‘₯)𝐽(πΉβ€˜π‘¦))))
3826, 37mpbid 231 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐷 ∈ ThinCat ∧ 𝐹(𝐢 Func 𝐷)𝐺) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) ∧ Β¬ (π‘₯𝐻𝑦) = βˆ…) β†’ βˆƒ!𝑓 𝑓 ∈ ((πΉβ€˜π‘₯)𝐽(πΉβ€˜π‘¦)))
39 eusn 4735 . . . . . . . . . . 11 (βˆƒ!𝑓 𝑓 ∈ ((πΉβ€˜π‘₯)𝐽(πΉβ€˜π‘¦)) ↔ βˆƒπ‘“((πΉβ€˜π‘₯)𝐽(πΉβ€˜π‘¦)) = {𝑓})
4038, 39sylib 217 . . . . . . . . . 10 ((((𝐷 ∈ ThinCat ∧ 𝐹(𝐢 Func 𝐷)𝐺) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) ∧ Β¬ (π‘₯𝐻𝑦) = βˆ…) β†’ βˆƒπ‘“((πΉβ€˜π‘₯)𝐽(πΉβ€˜π‘¦)) = {𝑓})
4125simpld 496 . . . . . . . . . 10 ((((𝐷 ∈ ThinCat ∧ 𝐹(𝐢 Func 𝐷)𝐺) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) ∧ Β¬ (π‘₯𝐻𝑦) = βˆ…) β†’ (π‘₯𝐺𝑦) β‰  βˆ…)
42 foconst 6821 . . . . . . . . . . . . 13 (((π‘₯𝐺𝑦):(π‘₯𝐻𝑦)⟢{𝑓} ∧ (π‘₯𝐺𝑦) β‰  βˆ…) β†’ (π‘₯𝐺𝑦):(π‘₯𝐻𝑦)–ontoβ†’{𝑓})
43 feq3 6701 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πΉβ€˜π‘₯)𝐽(πΉβ€˜π‘¦)) = {𝑓} β†’ ((π‘₯𝐺𝑦):(π‘₯𝐻𝑦)⟢((πΉβ€˜π‘₯)𝐽(πΉβ€˜π‘¦)) ↔ (π‘₯𝐺𝑦):(π‘₯𝐻𝑦)⟢{𝑓}))
4443anbi1d 631 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πΉβ€˜π‘₯)𝐽(πΉβ€˜π‘¦)) = {𝑓} β†’ (((π‘₯𝐺𝑦):(π‘₯𝐻𝑦)⟢((πΉβ€˜π‘₯)𝐽(πΉβ€˜π‘¦)) ∧ (π‘₯𝐺𝑦) β‰  βˆ…) ↔ ((π‘₯𝐺𝑦):(π‘₯𝐻𝑦)⟢{𝑓} ∧ (π‘₯𝐺𝑦) β‰  βˆ…)))
45 foeq3 6804 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πΉβ€˜π‘₯)𝐽(πΉβ€˜π‘¦)) = {𝑓} β†’ ((π‘₯𝐺𝑦):(π‘₯𝐻𝑦)–ontoβ†’((πΉβ€˜π‘₯)𝐽(πΉβ€˜π‘¦)) ↔ (π‘₯𝐺𝑦):(π‘₯𝐻𝑦)–ontoβ†’{𝑓}))
4644, 45imbi12d 345 . . . . . . . . . . . . 13 (((πΉβ€˜π‘₯)𝐽(πΉβ€˜π‘¦)) = {𝑓} β†’ ((((π‘₯𝐺𝑦):(π‘₯𝐻𝑦)⟢((πΉβ€˜π‘₯)𝐽(πΉβ€˜π‘¦)) ∧ (π‘₯𝐺𝑦) β‰  βˆ…) β†’ (π‘₯𝐺𝑦):(π‘₯𝐻𝑦)–ontoβ†’((πΉβ€˜π‘₯)𝐽(πΉβ€˜π‘¦))) ↔ (((π‘₯𝐺𝑦):(π‘₯𝐻𝑦)⟢{𝑓} ∧ (π‘₯𝐺𝑦) β‰  βˆ…) β†’ (π‘₯𝐺𝑦):(π‘₯𝐻𝑦)–ontoβ†’{𝑓})))
4742, 46mpbiri 258 . . . . . . . . . . . 12 (((πΉβ€˜π‘₯)𝐽(πΉβ€˜π‘¦)) = {𝑓} β†’ (((π‘₯𝐺𝑦):(π‘₯𝐻𝑦)⟢((πΉβ€˜π‘₯)𝐽(πΉβ€˜π‘¦)) ∧ (π‘₯𝐺𝑦) β‰  βˆ…) β†’ (π‘₯𝐺𝑦):(π‘₯𝐻𝑦)–ontoβ†’((πΉβ€˜π‘₯)𝐽(πΉβ€˜π‘¦))))
4847exlimiv 1934 . . . . . . . . . . 11 (βˆƒπ‘“((πΉβ€˜π‘₯)𝐽(πΉβ€˜π‘¦)) = {𝑓} β†’ (((π‘₯𝐺𝑦):(π‘₯𝐻𝑦)⟢((πΉβ€˜π‘₯)𝐽(πΉβ€˜π‘¦)) ∧ (π‘₯𝐺𝑦) β‰  βˆ…) β†’ (π‘₯𝐺𝑦):(π‘₯𝐻𝑦)–ontoβ†’((πΉβ€˜π‘₯)𝐽(πΉβ€˜π‘¦))))
4948imp 408 . . . . . . . . . 10 ((βˆƒπ‘“((πΉβ€˜π‘₯)𝐽(πΉβ€˜π‘¦)) = {𝑓} ∧ ((π‘₯𝐺𝑦):(π‘₯𝐻𝑦)⟢((πΉβ€˜π‘₯)𝐽(πΉβ€˜π‘¦)) ∧ (π‘₯𝐺𝑦) β‰  βˆ…)) β†’ (π‘₯𝐺𝑦):(π‘₯𝐻𝑦)–ontoβ†’((πΉβ€˜π‘₯)𝐽(πΉβ€˜π‘¦)))
5040, 21, 41, 49syl12anc 836 . . . . . . . . 9 ((((𝐷 ∈ ThinCat ∧ 𝐹(𝐢 Func 𝐷)𝐺) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) ∧ Β¬ (π‘₯𝐻𝑦) = βˆ…) β†’ (π‘₯𝐺𝑦):(π‘₯𝐻𝑦)–ontoβ†’((πΉβ€˜π‘₯)𝐽(πΉβ€˜π‘¦)))
5120adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐷 ∈ ThinCat ∧ 𝐹(𝐢 Func 𝐷)𝐺) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) ∧ ((πΉβ€˜π‘₯)𝐽(πΉβ€˜π‘¦)) = βˆ…) β†’ (π‘₯𝐺𝑦):(π‘₯𝐻𝑦)⟢((πΉβ€˜π‘₯)𝐽(πΉβ€˜π‘¦)))
52 feq3 6701 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πΉβ€˜π‘₯)𝐽(πΉβ€˜π‘¦)) = βˆ… β†’ ((π‘₯𝐺𝑦):(π‘₯𝐻𝑦)⟢((πΉβ€˜π‘₯)𝐽(πΉβ€˜π‘¦)) ↔ (π‘₯𝐺𝑦):(π‘₯𝐻𝑦)βŸΆβˆ…))
5352adantl 483 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐷 ∈ ThinCat ∧ 𝐹(𝐢 Func 𝐷)𝐺) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) ∧ ((πΉβ€˜π‘₯)𝐽(πΉβ€˜π‘¦)) = βˆ…) β†’ ((π‘₯𝐺𝑦):(π‘₯𝐻𝑦)⟢((πΉβ€˜π‘₯)𝐽(πΉβ€˜π‘¦)) ↔ (π‘₯𝐺𝑦):(π‘₯𝐻𝑦)βŸΆβˆ…))
5451, 53mpbid 231 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐷 ∈ ThinCat ∧ 𝐹(𝐢 Func 𝐷)𝐺) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) ∧ ((πΉβ€˜π‘₯)𝐽(πΉβ€˜π‘¦)) = βˆ…) β†’ (π‘₯𝐺𝑦):(π‘₯𝐻𝑦)βŸΆβˆ…)
55 f00 6774 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘₯𝐺𝑦):(π‘₯𝐻𝑦)βŸΆβˆ… ↔ ((π‘₯𝐺𝑦) = βˆ… ∧ (π‘₯𝐻𝑦) = βˆ…))
5654, 55sylib 217 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐷 ∈ ThinCat ∧ 𝐹(𝐢 Func 𝐷)𝐺) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) ∧ ((πΉβ€˜π‘₯)𝐽(πΉβ€˜π‘¦)) = βˆ…) β†’ ((π‘₯𝐺𝑦) = βˆ… ∧ (π‘₯𝐻𝑦) = βˆ…))
5756simprd 497 . . . . . . . . . 10 ((((𝐷 ∈ ThinCat ∧ 𝐹(𝐢 Func 𝐷)𝐺) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) ∧ ((πΉβ€˜π‘₯)𝐽(πΉβ€˜π‘¦)) = βˆ…) β†’ (π‘₯𝐻𝑦) = βˆ…)
5856simpld 496 . . . . . . . . . 10 ((((𝐷 ∈ ThinCat ∧ 𝐹(𝐢 Func 𝐷)𝐺) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) ∧ ((πΉβ€˜π‘₯)𝐽(πΉβ€˜π‘¦)) = βˆ…) β†’ (π‘₯𝐺𝑦) = βˆ…)
59 simpr 486 . . . . . . . . . 10 ((((𝐷 ∈ ThinCat ∧ 𝐹(𝐢 Func 𝐷)𝐺) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) ∧ ((πΉβ€˜π‘₯)𝐽(πΉβ€˜π‘¦)) = βˆ…) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯)𝐽(πΉβ€˜π‘¦)) = βˆ…)
608biimpri 227 . . . . . . . . . . . 12 (((π‘₯𝐺𝑦) = βˆ… ∧ ((πΉβ€˜π‘₯)𝐽(πΉβ€˜π‘¦)) = βˆ…) β†’ (π‘₯𝐺𝑦):βˆ…β€“ontoβ†’((πΉβ€˜π‘₯)𝐽(πΉβ€˜π‘¦)))
6160, 7imbitrrid 245 . . . . . . . . . . 11 ((π‘₯𝐻𝑦) = βˆ… β†’ (((π‘₯𝐺𝑦) = βˆ… ∧ ((πΉβ€˜π‘₯)𝐽(πΉβ€˜π‘¦)) = βˆ…) β†’ (π‘₯𝐺𝑦):(π‘₯𝐻𝑦)–ontoβ†’((πΉβ€˜π‘₯)𝐽(πΉβ€˜π‘¦))))
6261imp 408 . . . . . . . . . 10 (((π‘₯𝐻𝑦) = βˆ… ∧ ((π‘₯𝐺𝑦) = βˆ… ∧ ((πΉβ€˜π‘₯)𝐽(πΉβ€˜π‘¦)) = βˆ…)) β†’ (π‘₯𝐺𝑦):(π‘₯𝐻𝑦)–ontoβ†’((πΉβ€˜π‘₯)𝐽(πΉβ€˜π‘¦)))
6357, 58, 59, 62syl12anc 836 . . . . . . . . 9 ((((𝐷 ∈ ThinCat ∧ 𝐹(𝐢 Func 𝐷)𝐺) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) ∧ ((πΉβ€˜π‘₯)𝐽(πΉβ€˜π‘¦)) = βˆ…) β†’ (π‘₯𝐺𝑦):(π‘₯𝐻𝑦)–ontoβ†’((πΉβ€˜π‘₯)𝐽(πΉβ€˜π‘¦)))
6450, 63jaodan 957 . . . . . . . 8 ((((𝐷 ∈ ThinCat ∧ 𝐹(𝐢 Func 𝐷)𝐺) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) ∧ (Β¬ (π‘₯𝐻𝑦) = βˆ… ∨ ((πΉβ€˜π‘₯)𝐽(πΉβ€˜π‘¦)) = βˆ…)) β†’ (π‘₯𝐺𝑦):(π‘₯𝐻𝑦)–ontoβ†’((πΉβ€˜π‘₯)𝐽(πΉβ€˜π‘¦)))
6516, 64sylan2b 595 . . . . . . 7 ((((𝐷 ∈ ThinCat ∧ 𝐹(𝐢 Func 𝐷)𝐺) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) ∧ ((π‘₯𝐻𝑦) = βˆ… β†’ ((πΉβ€˜π‘₯)𝐽(πΉβ€˜π‘¦)) = βˆ…)) β†’ (π‘₯𝐺𝑦):(π‘₯𝐻𝑦)–ontoβ†’((πΉβ€˜π‘₯)𝐽(πΉβ€˜π‘¦)))
6665ex 414 . . . . . 6 (((𝐷 ∈ ThinCat ∧ 𝐹(𝐢 Func 𝐷)𝐺) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (((π‘₯𝐻𝑦) = βˆ… β†’ ((πΉβ€˜π‘₯)𝐽(πΉβ€˜π‘¦)) = βˆ…) β†’ (π‘₯𝐺𝑦):(π‘₯𝐻𝑦)–ontoβ†’((πΉβ€˜π‘₯)𝐽(πΉβ€˜π‘¦))))
6766ralimdvva 3205 . . . . 5 ((𝐷 ∈ ThinCat ∧ 𝐹(𝐢 Func 𝐷)𝐺) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 ((π‘₯𝐻𝑦) = βˆ… β†’ ((πΉβ€˜π‘₯)𝐽(πΉβ€˜π‘¦)) = βˆ…) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯𝐺𝑦):(π‘₯𝐻𝑦)–ontoβ†’((πΉβ€˜π‘₯)𝐽(πΉβ€˜π‘¦))))
6867imp 408 . . . 4 (((𝐷 ∈ ThinCat ∧ 𝐹(𝐢 Func 𝐷)𝐺) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 ((π‘₯𝐻𝑦) = βˆ… β†’ ((πΉβ€˜π‘₯)𝐽(πΉβ€˜π‘¦)) = βˆ…)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯𝐺𝑦):(π‘₯𝐻𝑦)–ontoβ†’((πΉβ€˜π‘₯)𝐽(πΉβ€˜π‘¦)))
6915, 68, 6sylanbrc 584 . . 3 (((𝐷 ∈ ThinCat ∧ 𝐹(𝐢 Func 𝐷)𝐺) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 ((π‘₯𝐻𝑦) = βˆ… β†’ ((πΉβ€˜π‘₯)𝐽(πΉβ€˜π‘¦)) = βˆ…)) β†’ 𝐹(𝐢 Full 𝐷)𝐺)
7014, 69impbida 800 . 2 ((𝐷 ∈ ThinCat ∧ 𝐹(𝐢 Func 𝐷)𝐺) β†’ (𝐹(𝐢 Full 𝐷)𝐺 ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 ((π‘₯𝐻𝑦) = βˆ… β†’ ((πΉβ€˜π‘₯)𝐽(πΉβ€˜π‘¦)) = βˆ…)))
711, 2, 70syl2anc 585 1 (πœ‘ β†’ (𝐹(𝐢 Full 𝐷)𝐺 ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 ((π‘₯𝐻𝑦) = βˆ… β†’ ((πΉβ€˜π‘₯)𝐽(πΉβ€˜π‘¦)) = βˆ…)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∨ wo 846   = wceq 1542  βˆƒwex 1782   ∈ wcel 2107  βˆƒ!weu 2563   β‰  wne 2941  βˆ€wral 3062  βˆ…c0 4323  {csn 4629   class class class wbr 5149  βŸΆwf 6540  β€“ontoβ†’wfo 6542  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  Basecbs 17144  Hom chom 17208   Func cfunc 17804   Full cful 17853  ThinCatcthinc 47639
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-map 8822  df-ixp 8892  df-func 17808  df-full 17855  df-thinc 47640
This theorem is referenced by:  fullthinc2  47667  thincciso  47669
  Copyright terms: Public domain W3C validator