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Theorem fullthinc 47056
Description: A functor to a thin category is full iff empty hom-sets are mapped to empty hom-sets. (Contributed by Zhi Wang, 1-Oct-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
fullthinc.b 𝐵 = (Base‘𝐶)
fullthinc.j 𝐽 = (Hom ‘𝐷)
fullthinc.h 𝐻 = (Hom ‘𝐶)
fullthinc.d (𝜑𝐷 ∈ ThinCat)
fullthinc.f (𝜑𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺)
Assertion
Ref Expression
fullthinc (𝜑 → (𝐹(𝐶 Full 𝐷)𝐺 ↔ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 ((𝑥𝐻𝑦) = ∅ → ((𝐹𝑥)𝐽(𝐹𝑦)) = ∅)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐶,𝑦   𝑥,𝐷,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦   𝑥,𝐺,𝑦   𝑥,𝐻,𝑦   𝑥,𝐽,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem fullthinc
Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fullthinc.d . 2 (𝜑𝐷 ∈ ThinCat)
2 fullthinc.f . 2 (𝜑𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺)
3 fullthinc.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝐶)
4 fullthinc.j . . . . . 6 𝐽 = (Hom ‘𝐷)
5 fullthinc.h . . . . . 6 𝐻 = (Hom ‘𝐶)
63, 4, 5isfull2 17798 . . . . 5 (𝐹(𝐶 Full 𝐷)𝐺 ↔ (𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺 ∧ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 (𝑥𝐺𝑦):(𝑥𝐻𝑦)–onto→((𝐹𝑥)𝐽(𝐹𝑦))))
7 foeq2 6753 . . . . . . . 8 ((𝑥𝐻𝑦) = ∅ → ((𝑥𝐺𝑦):(𝑥𝐻𝑦)–onto→((𝐹𝑥)𝐽(𝐹𝑦)) ↔ (𝑥𝐺𝑦):∅–onto→((𝐹𝑥)𝐽(𝐹𝑦))))
8 fo00 6820 . . . . . . . . 9 ((𝑥𝐺𝑦):∅–onto→((𝐹𝑥)𝐽(𝐹𝑦)) ↔ ((𝑥𝐺𝑦) = ∅ ∧ ((𝐹𝑥)𝐽(𝐹𝑦)) = ∅))
98simprbi 497 . . . . . . . 8 ((𝑥𝐺𝑦):∅–onto→((𝐹𝑥)𝐽(𝐹𝑦)) → ((𝐹𝑥)𝐽(𝐹𝑦)) = ∅)
107, 9syl6bi 252 . . . . . . 7 ((𝑥𝐻𝑦) = ∅ → ((𝑥𝐺𝑦):(𝑥𝐻𝑦)–onto→((𝐹𝑥)𝐽(𝐹𝑦)) → ((𝐹𝑥)𝐽(𝐹𝑦)) = ∅))
1110com12 32 . . . . . 6 ((𝑥𝐺𝑦):(𝑥𝐻𝑦)–onto→((𝐹𝑥)𝐽(𝐹𝑦)) → ((𝑥𝐻𝑦) = ∅ → ((𝐹𝑥)𝐽(𝐹𝑦)) = ∅))
12112ralimi 3126 . . . . 5 (∀𝑥𝐵𝑦𝐵 (𝑥𝐺𝑦):(𝑥𝐻𝑦)–onto→((𝐹𝑥)𝐽(𝐹𝑦)) → ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 ((𝑥𝐻𝑦) = ∅ → ((𝐹𝑥)𝐽(𝐹𝑦)) = ∅))
136, 12simplbiim 505 . . . 4 (𝐹(𝐶 Full 𝐷)𝐺 → ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 ((𝑥𝐻𝑦) = ∅ → ((𝐹𝑥)𝐽(𝐹𝑦)) = ∅))
1413adantl 482 . . 3 (((𝐷 ∈ ThinCat ∧ 𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺) ∧ 𝐹(𝐶 Full 𝐷)𝐺) → ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 ((𝑥𝐻𝑦) = ∅ → ((𝐹𝑥)𝐽(𝐹𝑦)) = ∅))
15 simplr 767 . . . 4 (((𝐷 ∈ ThinCat ∧ 𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺) ∧ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 ((𝑥𝐻𝑦) = ∅ → ((𝐹𝑥)𝐽(𝐹𝑦)) = ∅)) → 𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺)
16 imor 851 . . . . . . . 8 (((𝑥𝐻𝑦) = ∅ → ((𝐹𝑥)𝐽(𝐹𝑦)) = ∅) ↔ (¬ (𝑥𝐻𝑦) = ∅ ∨ ((𝐹𝑥)𝐽(𝐹𝑦)) = ∅))
17 simplr 767 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐷 ∈ ThinCat ∧ 𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → 𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺)
18 simprl 769 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐷 ∈ ThinCat ∧ 𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → 𝑥𝐵)
19 simprr 771 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐷 ∈ ThinCat ∧ 𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → 𝑦𝐵)
203, 5, 4, 17, 18, 19funcf2 17754 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐷 ∈ ThinCat ∧ 𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑥𝐺𝑦):(𝑥𝐻𝑦)⟶((𝐹𝑥)𝐽(𝐹𝑦)))
2120adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐷 ∈ ThinCat ∧ 𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ ¬ (𝑥𝐻𝑦) = ∅) → (𝑥𝐺𝑦):(𝑥𝐻𝑦)⟶((𝐹𝑥)𝐽(𝐹𝑦)))
22 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐷 ∈ ThinCat ∧ 𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ ¬ (𝑥𝐻𝑦) = ∅) → ¬ (𝑥𝐻𝑦) = ∅)
2322neqned 2950 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐷 ∈ ThinCat ∧ 𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ ¬ (𝑥𝐻𝑦) = ∅) → (𝑥𝐻𝑦) ≠ ∅)
24 fdomne0 46906 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑥𝐺𝑦):(𝑥𝐻𝑦)⟶((𝐹𝑥)𝐽(𝐹𝑦)) ∧ (𝑥𝐻𝑦) ≠ ∅) → ((𝑥𝐺𝑦) ≠ ∅ ∧ ((𝐹𝑥)𝐽(𝐹𝑦)) ≠ ∅))
2521, 23, 24syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐷 ∈ ThinCat ∧ 𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ ¬ (𝑥𝐻𝑦) = ∅) → ((𝑥𝐺𝑦) ≠ ∅ ∧ ((𝐹𝑥)𝐽(𝐹𝑦)) ≠ ∅))
2625simprd 496 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐷 ∈ ThinCat ∧ 𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ ¬ (𝑥𝐻𝑦) = ∅) → ((𝐹𝑥)𝐽(𝐹𝑦)) ≠ ∅)
27 simplll 773 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐷 ∈ ThinCat ∧ 𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ ¬ (𝑥𝐻𝑦) = ∅) → 𝐷 ∈ ThinCat)
28 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . . . 15 (Base‘𝐷) = (Base‘𝐷)
2917adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐷 ∈ ThinCat ∧ 𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ ¬ (𝑥𝐻𝑦) = ∅) → 𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺)
303, 28, 29funcf1 17752 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐷 ∈ ThinCat ∧ 𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ ¬ (𝑥𝐻𝑦) = ∅) → 𝐹:𝐵⟶(Base‘𝐷))
3118adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐷 ∈ ThinCat ∧ 𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ ¬ (𝑥𝐻𝑦) = ∅) → 𝑥𝐵)
3230, 31ffvelcdmd 7036 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐷 ∈ ThinCat ∧ 𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ ¬ (𝑥𝐻𝑦) = ∅) → (𝐹𝑥) ∈ (Base‘𝐷))
3319adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐷 ∈ ThinCat ∧ 𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ ¬ (𝑥𝐻𝑦) = ∅) → 𝑦𝐵)
3430, 33ffvelcdmd 7036 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐷 ∈ ThinCat ∧ 𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ ¬ (𝑥𝐻𝑦) = ∅) → (𝐹𝑦) ∈ (Base‘𝐷))
35 eqidd 2737 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐷 ∈ ThinCat ∧ 𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ ¬ (𝑥𝐻𝑦) = ∅) → (Base‘𝐷) = (Base‘𝐷))
364a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐷 ∈ ThinCat ∧ 𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ ¬ (𝑥𝐻𝑦) = ∅) → 𝐽 = (Hom ‘𝐷))
3727, 32, 34, 35, 36thincn0eu 47042 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐷 ∈ ThinCat ∧ 𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ ¬ (𝑥𝐻𝑦) = ∅) → (((𝐹𝑥)𝐽(𝐹𝑦)) ≠ ∅ ↔ ∃!𝑓 𝑓 ∈ ((𝐹𝑥)𝐽(𝐹𝑦))))
3826, 37mpbid 231 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐷 ∈ ThinCat ∧ 𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ ¬ (𝑥𝐻𝑦) = ∅) → ∃!𝑓 𝑓 ∈ ((𝐹𝑥)𝐽(𝐹𝑦)))
39 eusn 4691 . . . . . . . . . . 11 (∃!𝑓 𝑓 ∈ ((𝐹𝑥)𝐽(𝐹𝑦)) ↔ ∃𝑓((𝐹𝑥)𝐽(𝐹𝑦)) = {𝑓})
4038, 39sylib 217 . . . . . . . . . 10 ((((𝐷 ∈ ThinCat ∧ 𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ ¬ (𝑥𝐻𝑦) = ∅) → ∃𝑓((𝐹𝑥)𝐽(𝐹𝑦)) = {𝑓})
4125simpld 495 . . . . . . . . . 10 ((((𝐷 ∈ ThinCat ∧ 𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ ¬ (𝑥𝐻𝑦) = ∅) → (𝑥𝐺𝑦) ≠ ∅)
42 foconst 6771 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑥𝐺𝑦):(𝑥𝐻𝑦)⟶{𝑓} ∧ (𝑥𝐺𝑦) ≠ ∅) → (𝑥𝐺𝑦):(𝑥𝐻𝑦)–onto→{𝑓})
43 feq3 6651 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐹𝑥)𝐽(𝐹𝑦)) = {𝑓} → ((𝑥𝐺𝑦):(𝑥𝐻𝑦)⟶((𝐹𝑥)𝐽(𝐹𝑦)) ↔ (𝑥𝐺𝑦):(𝑥𝐻𝑦)⟶{𝑓}))
4443anbi1d 630 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐹𝑥)𝐽(𝐹𝑦)) = {𝑓} → (((𝑥𝐺𝑦):(𝑥𝐻𝑦)⟶((𝐹𝑥)𝐽(𝐹𝑦)) ∧ (𝑥𝐺𝑦) ≠ ∅) ↔ ((𝑥𝐺𝑦):(𝑥𝐻𝑦)⟶{𝑓} ∧ (𝑥𝐺𝑦) ≠ ∅)))
45 foeq3 6754 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐹𝑥)𝐽(𝐹𝑦)) = {𝑓} → ((𝑥𝐺𝑦):(𝑥𝐻𝑦)–onto→((𝐹𝑥)𝐽(𝐹𝑦)) ↔ (𝑥𝐺𝑦):(𝑥𝐻𝑦)–onto→{𝑓}))
4644, 45imbi12d 344 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐹𝑥)𝐽(𝐹𝑦)) = {𝑓} → ((((𝑥𝐺𝑦):(𝑥𝐻𝑦)⟶((𝐹𝑥)𝐽(𝐹𝑦)) ∧ (𝑥𝐺𝑦) ≠ ∅) → (𝑥𝐺𝑦):(𝑥𝐻𝑦)–onto→((𝐹𝑥)𝐽(𝐹𝑦))) ↔ (((𝑥𝐺𝑦):(𝑥𝐻𝑦)⟶{𝑓} ∧ (𝑥𝐺𝑦) ≠ ∅) → (𝑥𝐺𝑦):(𝑥𝐻𝑦)–onto→{𝑓})))
4742, 46mpbiri 257 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹𝑥)𝐽(𝐹𝑦)) = {𝑓} → (((𝑥𝐺𝑦):(𝑥𝐻𝑦)⟶((𝐹𝑥)𝐽(𝐹𝑦)) ∧ (𝑥𝐺𝑦) ≠ ∅) → (𝑥𝐺𝑦):(𝑥𝐻𝑦)–onto→((𝐹𝑥)𝐽(𝐹𝑦))))
4847exlimiv 1933 . . . . . . . . . . 11 (∃𝑓((𝐹𝑥)𝐽(𝐹𝑦)) = {𝑓} → (((𝑥𝐺𝑦):(𝑥𝐻𝑦)⟶((𝐹𝑥)𝐽(𝐹𝑦)) ∧ (𝑥𝐺𝑦) ≠ ∅) → (𝑥𝐺𝑦):(𝑥𝐻𝑦)–onto→((𝐹𝑥)𝐽(𝐹𝑦))))
4948imp 407 . . . . . . . . . 10 ((∃𝑓((𝐹𝑥)𝐽(𝐹𝑦)) = {𝑓} ∧ ((𝑥𝐺𝑦):(𝑥𝐻𝑦)⟶((𝐹𝑥)𝐽(𝐹𝑦)) ∧ (𝑥𝐺𝑦) ≠ ∅)) → (𝑥𝐺𝑦):(𝑥𝐻𝑦)–onto→((𝐹𝑥)𝐽(𝐹𝑦)))
5040, 21, 41, 49syl12anc 835 . . . . . . . . 9 ((((𝐷 ∈ ThinCat ∧ 𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ ¬ (𝑥𝐻𝑦) = ∅) → (𝑥𝐺𝑦):(𝑥𝐻𝑦)–onto→((𝐹𝑥)𝐽(𝐹𝑦)))
5120adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐷 ∈ ThinCat ∧ 𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ ((𝐹𝑥)𝐽(𝐹𝑦)) = ∅) → (𝑥𝐺𝑦):(𝑥𝐻𝑦)⟶((𝐹𝑥)𝐽(𝐹𝑦)))
52 feq3 6651 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐹𝑥)𝐽(𝐹𝑦)) = ∅ → ((𝑥𝐺𝑦):(𝑥𝐻𝑦)⟶((𝐹𝑥)𝐽(𝐹𝑦)) ↔ (𝑥𝐺𝑦):(𝑥𝐻𝑦)⟶∅))
5352adantl 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐷 ∈ ThinCat ∧ 𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ ((𝐹𝑥)𝐽(𝐹𝑦)) = ∅) → ((𝑥𝐺𝑦):(𝑥𝐻𝑦)⟶((𝐹𝑥)𝐽(𝐹𝑦)) ↔ (𝑥𝐺𝑦):(𝑥𝐻𝑦)⟶∅))
5451, 53mpbid 231 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐷 ∈ ThinCat ∧ 𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ ((𝐹𝑥)𝐽(𝐹𝑦)) = ∅) → (𝑥𝐺𝑦):(𝑥𝐻𝑦)⟶∅)
55 f00 6724 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥𝐺𝑦):(𝑥𝐻𝑦)⟶∅ ↔ ((𝑥𝐺𝑦) = ∅ ∧ (𝑥𝐻𝑦) = ∅))
5654, 55sylib 217 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐷 ∈ ThinCat ∧ 𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ ((𝐹𝑥)𝐽(𝐹𝑦)) = ∅) → ((𝑥𝐺𝑦) = ∅ ∧ (𝑥𝐻𝑦) = ∅))
5756simprd 496 . . . . . . . . . 10 ((((𝐷 ∈ ThinCat ∧ 𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ ((𝐹𝑥)𝐽(𝐹𝑦)) = ∅) → (𝑥𝐻𝑦) = ∅)
5856simpld 495 . . . . . . . . . 10 ((((𝐷 ∈ ThinCat ∧ 𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ ((𝐹𝑥)𝐽(𝐹𝑦)) = ∅) → (𝑥𝐺𝑦) = ∅)
59 simpr 485 . . . . . . . . . 10 ((((𝐷 ∈ ThinCat ∧ 𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ ((𝐹𝑥)𝐽(𝐹𝑦)) = ∅) → ((𝐹𝑥)𝐽(𝐹𝑦)) = ∅)
608biimpri 227 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑥𝐺𝑦) = ∅ ∧ ((𝐹𝑥)𝐽(𝐹𝑦)) = ∅) → (𝑥𝐺𝑦):∅–onto→((𝐹𝑥)𝐽(𝐹𝑦)))
6160, 7syl5ibr 245 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥𝐻𝑦) = ∅ → (((𝑥𝐺𝑦) = ∅ ∧ ((𝐹𝑥)𝐽(𝐹𝑦)) = ∅) → (𝑥𝐺𝑦):(𝑥𝐻𝑦)–onto→((𝐹𝑥)𝐽(𝐹𝑦))))
6261imp 407 . . . . . . . . . 10 (((𝑥𝐻𝑦) = ∅ ∧ ((𝑥𝐺𝑦) = ∅ ∧ ((𝐹𝑥)𝐽(𝐹𝑦)) = ∅)) → (𝑥𝐺𝑦):(𝑥𝐻𝑦)–onto→((𝐹𝑥)𝐽(𝐹𝑦)))
6357, 58, 59, 62syl12anc 835 . . . . . . . . 9 ((((𝐷 ∈ ThinCat ∧ 𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ ((𝐹𝑥)𝐽(𝐹𝑦)) = ∅) → (𝑥𝐺𝑦):(𝑥𝐻𝑦)–onto→((𝐹𝑥)𝐽(𝐹𝑦)))
6450, 63jaodan 956 . . . . . . . 8 ((((𝐷 ∈ ThinCat ∧ 𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ (¬ (𝑥𝐻𝑦) = ∅ ∨ ((𝐹𝑥)𝐽(𝐹𝑦)) = ∅)) → (𝑥𝐺𝑦):(𝑥𝐻𝑦)–onto→((𝐹𝑥)𝐽(𝐹𝑦)))
6516, 64sylan2b 594 . . . . . . 7 ((((𝐷 ∈ ThinCat ∧ 𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ ((𝑥𝐻𝑦) = ∅ → ((𝐹𝑥)𝐽(𝐹𝑦)) = ∅)) → (𝑥𝐺𝑦):(𝑥𝐻𝑦)–onto→((𝐹𝑥)𝐽(𝐹𝑦)))
6665ex 413 . . . . . 6 (((𝐷 ∈ ThinCat ∧ 𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (((𝑥𝐻𝑦) = ∅ → ((𝐹𝑥)𝐽(𝐹𝑦)) = ∅) → (𝑥𝐺𝑦):(𝑥𝐻𝑦)–onto→((𝐹𝑥)𝐽(𝐹𝑦))))
6766ralimdvva 3201 . . . . 5 ((𝐷 ∈ ThinCat ∧ 𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺) → (∀𝑥𝐵𝑦𝐵 ((𝑥𝐻𝑦) = ∅ → ((𝐹𝑥)𝐽(𝐹𝑦)) = ∅) → ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 (𝑥𝐺𝑦):(𝑥𝐻𝑦)–onto→((𝐹𝑥)𝐽(𝐹𝑦))))
6867imp 407 . . . 4 (((𝐷 ∈ ThinCat ∧ 𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺) ∧ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 ((𝑥𝐻𝑦) = ∅ → ((𝐹𝑥)𝐽(𝐹𝑦)) = ∅)) → ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 (𝑥𝐺𝑦):(𝑥𝐻𝑦)–onto→((𝐹𝑥)𝐽(𝐹𝑦)))
6915, 68, 6sylanbrc 583 . . 3 (((𝐷 ∈ ThinCat ∧ 𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺) ∧ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 ((𝑥𝐻𝑦) = ∅ → ((𝐹𝑥)𝐽(𝐹𝑦)) = ∅)) → 𝐹(𝐶 Full 𝐷)𝐺)
7014, 69impbida 799 . 2 ((𝐷 ∈ ThinCat ∧ 𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺) → (𝐹(𝐶 Full 𝐷)𝐺 ↔ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 ((𝑥𝐻𝑦) = ∅ → ((𝐹𝑥)𝐽(𝐹𝑦)) = ∅)))
711, 2, 70syl2anc 584 1 (𝜑 → (𝐹(𝐶 Full 𝐷)𝐺 ↔ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 ((𝑥𝐻𝑦) = ∅ → ((𝐹𝑥)𝐽(𝐹𝑦)) = ∅)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396  wo 845   = wceq 1541  wex 1781  wcel 2106  ∃!weu 2566  wne 2943  wral 3064  c0 4282  {csn 4586   class class class wbr 5105  wf 6492  ontowfo 6494  cfv 6496  (class class class)co 7357  Basecbs 17083  Hom chom 17144   Func cfunc 17740   Full cful 17789  ThinCatcthinc 47029
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-id 5531  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-map 8767  df-ixp 8836  df-func 17744  df-full 17791  df-thinc 47030
This theorem is referenced by:  fullthinc2  47057  thincciso  47059
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