Theorem fullthinc 50205

Description: A functor to a thin category is full iff empty hom-sets are mapped to empty hom-sets. (Contributed by Zhi Wang, 1-Oct-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
fullthinc.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
fullthinc.j	⊢ 𝐽 = (Hom ‘𝐷)
fullthinc.h	⊢ 𝐻 = (Hom ‘𝐶)
fullthinc.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ThinCat)
fullthinc.f	⊢ (𝜑 → 𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺)

Assertion

Ref	Expression
fullthinc	⊢ (𝜑 → (𝐹(𝐶 Full 𝐷)𝐺 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥𝐻𝑦) = ∅ → ((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦)) = ∅)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐶,𝑦   𝑥,𝐷,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦   𝑥,𝐺,𝑦   𝑥,𝐻,𝑦   𝑥,𝐽,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem fullthinc

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fullthinc.d	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ThinCat)
2		fullthinc.f	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺)
3		fullthinc.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
4		fullthinc.j	. . . . . 6 ⊢ 𝐽 = (Hom ‘𝐷)
5		fullthinc.h	. . . . . 6 ⊢ 𝐻 = (Hom ‘𝐶)
6	3, 4, 5	isfull2 17971	. . . . 5 ⊢ (𝐹(𝐶 Full 𝐷)𝐺 ↔ (𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥𝐺𝑦):(𝑥𝐻𝑦)–onto→((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦))))
7		foeq2 6791	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥𝐻𝑦) = ∅ → ((𝑥𝐺𝑦):(𝑥𝐻𝑦)–onto→((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦)) ↔ (𝑥𝐺𝑦):∅–onto→((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦))))
8		fo00 6859	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥𝐺𝑦):∅–onto→((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦)) ↔ ((𝑥𝐺𝑦) = ∅ ∧ ((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦)) = ∅))
9	8	simprbi 502	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥𝐺𝑦):∅–onto→((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦)) → ((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦)) = ∅)
10	7, 9	biimtrdi 256	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥𝐻𝑦) = ∅ → ((𝑥𝐺𝑦):(𝑥𝐻𝑦)–onto→((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦)) → ((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦)) = ∅))
11	10	com12 33	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥𝐺𝑦):(𝑥𝐻𝑦)–onto→((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦)) → ((𝑥𝐻𝑦) = ∅ → ((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦)) = ∅))
12	11	2ralimi 3135	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥𝐺𝑦):(𝑥𝐻𝑦)–onto→((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦)) → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥𝐻𝑦) = ∅ → ((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦)) = ∅))
13	6, 12	simplbiim 513	. . . 4 ⊢ (𝐹(𝐶 Full 𝐷)𝐺 → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥𝐻𝑦) = ∅ → ((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦)) = ∅))
14	13	adantl 486	. . 3 ⊢ (((𝐷 ∈ ThinCat ∧ 𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺) ∧ 𝐹(𝐶 Full 𝐷)𝐺) → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥𝐻𝑦) = ∅ → ((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦)) = ∅))
15		simplr 780	. . . 4 ⊢ (((𝐷 ∈ ThinCat ∧ 𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥𝐻𝑦) = ∅ → ((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦)) = ∅)) → 𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺)
16		imor 866	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥𝐻𝑦) = ∅ → ((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦)) = ∅) ↔ (¬ (𝑥𝐻𝑦) = ∅ ∨ ((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦)) = ∅))
17		simplr 780	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐷 ∈ ThinCat ∧ 𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → 𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺)
18		simprl 782	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐷 ∈ ThinCat ∧ 𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → 𝑥 ∈ 𝐵)
19		simprr 784	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐷 ∈ ThinCat ∧ 𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → 𝑦 ∈ 𝐵)
20	3, 5, 4, 17, 18, 19	funcf2 17926	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐷 ∈ ThinCat ∧ 𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥𝐺𝑦):(𝑥𝐻𝑦)⟶((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦)))
21	20	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐷 ∈ ThinCat ∧ 𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ ¬ (𝑥𝐻𝑦) = ∅) → (𝑥𝐺𝑦):(𝑥𝐻𝑦)⟶((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦)))
22		simpr 489	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐷 ∈ ThinCat ∧ 𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ ¬ (𝑥𝐻𝑦) = ∅) → ¬ (𝑥𝐻𝑦) = ∅)
23	22	neqned 2965	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐷 ∈ ThinCat ∧ 𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ ¬ (𝑥𝐻𝑦) = ∅) → (𝑥𝐻𝑦) ≠ ∅)
24		fdomne0 49605	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑥𝐺𝑦):(𝑥𝐻𝑦)⟶((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦)) ∧ (𝑥𝐻𝑦) ≠ ∅) → ((𝑥𝐺𝑦) ≠ ∅ ∧ ((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦)) ≠ ∅))
25	21, 23, 24	syl2anc 595	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐷 ∈ ThinCat ∧ 𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ ¬ (𝑥𝐻𝑦) = ∅) → ((𝑥𝐺𝑦) ≠ ∅ ∧ ((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦)) ≠ ∅))
26	25	simprd 500	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐷 ∈ ThinCat ∧ 𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ ¬ (𝑥𝐻𝑦) = ∅) → ((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦)) ≠ ∅)
27		simplll 786	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐷 ∈ ThinCat ∧ 𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ ¬ (𝑥𝐻𝑦) = ∅) → 𝐷 ∈ ThinCat)
28		eqid 2763	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (Base‘𝐷) = (Base‘𝐷)
29	17	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐷 ∈ ThinCat ∧ 𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ ¬ (𝑥𝐻𝑦) = ∅) → 𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺)
30	3, 28, 29	funcf1 17924	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐷 ∈ ThinCat ∧ 𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ ¬ (𝑥𝐻𝑦) = ∅) → 𝐹:𝐵⟶(Base‘𝐷))
31	18	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐷 ∈ ThinCat ∧ 𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ ¬ (𝑥𝐻𝑦) = ∅) → 𝑥 ∈ 𝐵)
32	30, 31	ffvelcdmd 7082	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐷 ∈ ThinCat ∧ 𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ ¬ (𝑥𝐻𝑦) = ∅) → (𝐹‘𝑥) ∈ (Base‘𝐷))
33	19	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐷 ∈ ThinCat ∧ 𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ ¬ (𝑥𝐻𝑦) = ∅) → 𝑦 ∈ 𝐵)
34	30, 33	ffvelcdmd 7082	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐷 ∈ ThinCat ∧ 𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ ¬ (𝑥𝐻𝑦) = ∅) → (𝐹‘𝑦) ∈ (Base‘𝐷))
35		eqidd 2764	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐷 ∈ ThinCat ∧ 𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ ¬ (𝑥𝐻𝑦) = ∅) → (Base‘𝐷) = (Base‘𝐷))
36	4	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐷 ∈ ThinCat ∧ 𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ ¬ (𝑥𝐻𝑦) = ∅) → 𝐽 = (Hom ‘𝐷))
37	27, 32, 34, 35, 36	thincn0eu 50186	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐷 ∈ ThinCat ∧ 𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ ¬ (𝑥𝐻𝑦) = ∅) → (((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦)) ≠ ∅ ↔ ∃!𝑓 𝑓 ∈ ((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦))))
38	26, 37	mpbid 235	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐷 ∈ ThinCat ∧ 𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ ¬ (𝑥𝐻𝑦) = ∅) → ∃!𝑓 𝑓 ∈ ((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦)))
39		eusn 4697	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∃!𝑓 𝑓 ∈ ((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦)) ↔ ∃𝑓((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦)) = {𝑓})
40	38, 39	sylib 221	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐷 ∈ ThinCat ∧ 𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ ¬ (𝑥𝐻𝑦) = ∅) → ∃𝑓((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦)) = {𝑓})
41	25	simpld 499	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐷 ∈ ThinCat ∧ 𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ ¬ (𝑥𝐻𝑦) = ∅) → (𝑥𝐺𝑦) ≠ ∅)
42		foconst 6809	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑥𝐺𝑦):(𝑥𝐻𝑦)⟶{𝑓} ∧ (𝑥𝐺𝑦) ≠ ∅) → (𝑥𝐺𝑦):(𝑥𝐻𝑦)–onto→{𝑓})
43		feq3 6687	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦)) = {𝑓} → ((𝑥𝐺𝑦):(𝑥𝐻𝑦)⟶((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦)) ↔ (𝑥𝐺𝑦):(𝑥𝐻𝑦)⟶{𝑓}))
44	43	anbi1d 642	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦)) = {𝑓} → (((𝑥𝐺𝑦):(𝑥𝐻𝑦)⟶((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦)) ∧ (𝑥𝐺𝑦) ≠ ∅) ↔ ((𝑥𝐺𝑦):(𝑥𝐻𝑦)⟶{𝑓} ∧ (𝑥𝐺𝑦) ≠ ∅)))
45		foeq3 6792	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦)) = {𝑓} → ((𝑥𝐺𝑦):(𝑥𝐻𝑦)–onto→((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦)) ↔ (𝑥𝐺𝑦):(𝑥𝐻𝑦)–onto→{𝑓}))
46	44, 45	imbi12d 347	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦)) = {𝑓} → ((((𝑥𝐺𝑦):(𝑥𝐻𝑦)⟶((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦)) ∧ (𝑥𝐺𝑦) ≠ ∅) → (𝑥𝐺𝑦):(𝑥𝐻𝑦)–onto→((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦))) ↔ (((𝑥𝐺𝑦):(𝑥𝐻𝑦)⟶{𝑓} ∧ (𝑥𝐺𝑦) ≠ ∅) → (𝑥𝐺𝑦):(𝑥𝐻𝑦)–onto→{𝑓})))
47	42, 46	mpbiri 261	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦)) = {𝑓} → (((𝑥𝐺𝑦):(𝑥𝐻𝑦)⟶((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦)) ∧ (𝑥𝐺𝑦) ≠ ∅) → (𝑥𝐺𝑦):(𝑥𝐻𝑦)–onto→((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦))))
48	47	exlimiv 1960	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∃𝑓((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦)) = {𝑓} → (((𝑥𝐺𝑦):(𝑥𝐻𝑦)⟶((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦)) ∧ (𝑥𝐺𝑦) ≠ ∅) → (𝑥𝐺𝑦):(𝑥𝐻𝑦)–onto→((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦))))
49	48	imp 411	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((∃𝑓((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦)) = {𝑓} ∧ ((𝑥𝐺𝑦):(𝑥𝐻𝑦)⟶((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦)) ∧ (𝑥𝐺𝑦) ≠ ∅)) → (𝑥𝐺𝑦):(𝑥𝐻𝑦)–onto→((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦)))
50	40, 21, 41, 49	syl12anc 849	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐷 ∈ ThinCat ∧ 𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ ¬ (𝑥𝐻𝑦) = ∅) → (𝑥𝐺𝑦):(𝑥𝐻𝑦)–onto→((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦)))
51	20	adantr 485	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐷 ∈ ThinCat ∧ 𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ ((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦)) = ∅) → (𝑥𝐺𝑦):(𝑥𝐻𝑦)⟶((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦)))
52		feq3 6687	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦)) = ∅ → ((𝑥𝐺𝑦):(𝑥𝐻𝑦)⟶((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦)) ↔ (𝑥𝐺𝑦):(𝑥𝐻𝑦)⟶∅))
53	52	adantl 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐷 ∈ ThinCat ∧ 𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ ((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦)) = ∅) → ((𝑥𝐺𝑦):(𝑥𝐻𝑦)⟶((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦)) ↔ (𝑥𝐺𝑦):(𝑥𝐻𝑦)⟶∅))
54	51, 53	mpbid 235	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐷 ∈ ThinCat ∧ 𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ ((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦)) = ∅) → (𝑥𝐺𝑦):(𝑥𝐻𝑦)⟶∅)
55		f00 6762	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥𝐺𝑦):(𝑥𝐻𝑦)⟶∅ ↔ ((𝑥𝐺𝑦) = ∅ ∧ (𝑥𝐻𝑦) = ∅))
56	54, 55	sylib 221	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐷 ∈ ThinCat ∧ 𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ ((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦)) = ∅) → ((𝑥𝐺𝑦) = ∅ ∧ (𝑥𝐻𝑦) = ∅))
57	56	simprd 500	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐷 ∈ ThinCat ∧ 𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ ((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦)) = ∅) → (𝑥𝐻𝑦) = ∅)
58	56	simpld 499	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐷 ∈ ThinCat ∧ 𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ ((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦)) = ∅) → (𝑥𝐺𝑦) = ∅)
59		simpr 489	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐷 ∈ ThinCat ∧ 𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ ((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦)) = ∅) → ((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦)) = ∅)
60	8	biimpri 231	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑥𝐺𝑦) = ∅ ∧ ((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦)) = ∅) → (𝑥𝐺𝑦):∅–onto→((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦)))
61	60, 7	imbitrrid 249	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥𝐻𝑦) = ∅ → (((𝑥𝐺𝑦) = ∅ ∧ ((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦)) = ∅) → (𝑥𝐺𝑦):(𝑥𝐻𝑦)–onto→((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦))))
62	61	imp 411	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑥𝐻𝑦) = ∅ ∧ ((𝑥𝐺𝑦) = ∅ ∧ ((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦)) = ∅)) → (𝑥𝐺𝑦):(𝑥𝐻𝑦)–onto→((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦)))
63	57, 58, 59, 62	syl12anc 849	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐷 ∈ ThinCat ∧ 𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ ((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦)) = ∅) → (𝑥𝐺𝑦):(𝑥𝐻𝑦)–onto→((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦)))
64	50, 63	jaodan 972	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐷 ∈ ThinCat ∧ 𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ (¬ (𝑥𝐻𝑦) = ∅ ∨ ((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦)) = ∅)) → (𝑥𝐺𝑦):(𝑥𝐻𝑦)–onto→((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦)))
65	16, 64	sylan2b 605	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐷 ∈ ThinCat ∧ 𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ ((𝑥𝐻𝑦) = ∅ → ((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦)) = ∅)) → (𝑥𝐺𝑦):(𝑥𝐻𝑦)–onto→((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦)))
66	65	ex 417	. . . . . 6 ⊢ (((𝐷 ∈ ThinCat ∧ 𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (((𝑥𝐻𝑦) = ∅ → ((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦)) = ∅) → (𝑥𝐺𝑦):(𝑥𝐻𝑦)–onto→((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦))))
67	66	ralimdvva 3212	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ ThinCat ∧ 𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺) → (∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥𝐻𝑦) = ∅ → ((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦)) = ∅) → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥𝐺𝑦):(𝑥𝐻𝑦)–onto→((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦))))
68	67	imp 411	. . . 4 ⊢ (((𝐷 ∈ ThinCat ∧ 𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥𝐻𝑦) = ∅ → ((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦)) = ∅)) → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥𝐺𝑦):(𝑥𝐻𝑦)–onto→((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦)))
69	15, 68, 6	sylanbrc 594	. . 3 ⊢ (((𝐷 ∈ ThinCat ∧ 𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥𝐻𝑦) = ∅ → ((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦)) = ∅)) → 𝐹(𝐶 Full 𝐷)𝐺)
70	14, 69	impbida 812	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ ThinCat ∧ 𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺) → (𝐹(𝐶 Full 𝐷)𝐺 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥𝐻𝑦) = ∅ → ((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦)) = ∅)))
71	1, 2, 70	syl2anc 595	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹(𝐶 Full 𝐷)𝐺 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥𝐻𝑦) = ∅ → ((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦)) = ∅)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∨ wo 860   = wceq 1570  ∃wex 1809   ∈ wcel 2143  ∃!weu 2596   ≠ wne 2958  ∀wral 3079  ∅c0 4287  {csn 4590   class class class wbr 5110  ⟶wf 6534  –onto→wfo 6536  ‘cfv 6538  (class class class)co 7412  Basecbs 17270  Hom chom 17322   Func cfunc 17912   Full cful 17962  ThinCatcthinc 50172

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-id 5558  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-map 8827  df-ixp 8897  df-func 17916  df-full 17964  df-thinc 50173

This theorem is referenced by:  fullthinc2  50206  thincciso  50208  fulltermc  50266