Theorem fnimafnex 44194

Description: The functional image of a function value exists. (Contributed by RP, 31-Oct-2024.)

Hypothesis

Ref	Expression
fnimafnex.f	⊢ 𝐹 Fn 𝐵

Assertion

Ref	Expression
fnimafnex	⊢ (𝐹 “ (𝐺‘𝐴)) ∈ V

Proof of Theorem fnimafnex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fnimafnex.f	. . 3 ⊢ 𝐹 Fn 𝐵
2		fnfun 6635	. . 3 ⊢ (𝐹 Fn 𝐵 → Fun 𝐹)
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ Fun 𝐹
4		fvex 6894	. 2 ⊢ (𝐺‘𝐴) ∈ V
5		funimaexg 6622	. 2 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ (𝐺‘𝐴) ∈ V) → (𝐹 “ (𝐺‘𝐴)) ∈ V)
6	3, 4, 5	mp2an 704	1 ⊢ (𝐹 “ (𝐺‘𝐴)) ∈ V

This proof depends on syntax axioms:   ∈ wcel 2142  Vcvv 3454   “ cima 5663  Fun wfun 6530   Fn wfn 6531  ‘cfv 6536

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-ext 2734  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pr 5403

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-sb 2096  df-mo 2566  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rab 3416  df-v 3456  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4487  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-br 5109  df-opab 5173  df-id 5555  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-fv 6544

This theorem is used by: (None)